Gazdaságstatisztika

LEÍRÓ STATISZTIKA II.

Gazdaságstatisztika

3. előadás2013. szeptember 18.

Gazdaságstatisztika2013 ősz

A mennyiségi sorok grafikus ábrázolásának alapját a gyakorisági táblázat készítése jelenti.

1. Osztályba sorolás (folytonos adatok és nagyszámú diszkrét megfigyelés esetén);

2. gyakoriságok (fi) megállapítása;

3. relatív gyakoriságok (gi) megállapítása

4. összegzett (kumulált) gyakoriságok (fi’), illetve összegzett relatív gyakoriságok (gi’) megállapítása;

5. gyakorisági táblázat készítése (fi , gi , fi’ , gi’ adataiból);

6. gyakorisági (relatív gyakorisági), illetve összegzett gyakorisági (relatív gyakorisági) hisztogramok (folytonos adatok esetén a poligon és az ogiva) felvétele (tapasztalati eloszlások elkészítése);

7. grafikus ábrázolás2

Adatok csoportosítása, osztályozása


Leállások száma

Gyakoriság (fi)

Relatív gyakoriság

(gi)

Kumulált gyakoriság

(fi’)

Kumulált relatív

gyakoriság(gi’)

0 3 0,125 (12,5%) 3 0,125 (12,5%)

1 5 0,208 (20,8%) 8 0,333 (33,3%)

2 5 0,208 (20,8%) 13 0,541 (54,1%)

3 4 0,168 (16,8%) 17 0,709 (70,9%)

4 3 0,125 (12,5%) 20 0,834 (83,4%)

5 2 0,083 (8,3%) 22 0,917 (91,7%)

6 2 0,083 (8,3%) 24 1,000 (100%)

összesen 24 1,000 (100%)3

Példa – kevés számú diszkrét adat (24 óra alatti gépleállások


Adatok ábrázolása: PÁLCIKA DIAGRAM

gyakoriságokRelatív

gyakoriságok

Leállások száma

5

4

3

2

1

0,2

0,16

0,12

0,08

0,04

0 1 2 3 4 5 64

Példa – kevés számú diszkrét adat


Kumulált relatív gyakoriság ábrázolása:

Kum

ulá

lt r

ela

tív g

yako

risá

gok

Leállások száma0 1 2 3 4 5 6

1

0,5

5

Példa – kevés számú diszkrét adat


Példa – folytonos adat (Bux index)

6

No.

osztály

Osztály-köz

fi fi’ gi [%] gi’ [%]

Alsóhatár

Felsőhatár

1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%

2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%

3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%

4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%

5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%

6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%

7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%

8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%

összesen 99 100,00%


7

Példa – nagy számú folytonos adat

GYAKORISÁGI HISZTOGRAM(tapasztalati sűrűségfüggvény)

Gyakoriság vonaldiagramja


8


Gyakorisági görbe


9


KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁG VONALDIAGRAMJA (tapasztalati eloszlásfüggvény)

Ogiva


Tapasztalati eloszlások jellegzetességei

Középérték-mutatók: helyzeti és számított

Ingadozásmutatók: abszolút és relatív

Alakmutatók Középértékek

Helyzeti Számított

MMóduszódusz

MMediánedián

Számtani átlagSzámtani átlag

Mértani átlag

Harmonikus átlag

Négyzetes átlagNégyzetes átlag

Középérték elvárások:1. Közepes helyzetűek2. Tipikusak3. Egyértelműen meghatározhatóak4. Lehetőleg könnyen

értelmezhetőek10


Medián Helyzeti középérték – valódi középérték, a rangsor közepén található: az az érték,

amelynél az előforduló értékek fele kisebb, fele pedig nagyobb

Páratlan számú adatnál a középső

Páros számú adatnál a két középső érték számtani átlaga

Mindig meghatározható

Érzéketlen a szélsőértékekre, és nem függ a többi ismérvértéktől sem

Sok egyforma ismérvérték esetén azonban nem tanácsos használni

1 0 6 17 23 13 3 2 19

0 1 2 3 6 13 17 19 23

1 0 6 17 23 13 3 2

0 1 2 3 6 13 17 23

4,5 11

min1

N

ii AX MeA ha


12

Medián – diszkrét példa

Leállások száma

Gyakoriság (fi)


(gi)


(fi’)

Kumulált relatív

gyakoriság(gi’)

0 3 0,125 (12,5%) 3 0,125 (12,5%)

1 5 0,208 (20,8%) 8 0,333 (33,3%)

2 5 0,208 (20,8%) 13 0,541 (54,1%)

3 4 0,168 (16,8%) 17 0,709 (70,9%)

4 3 0,125 (12,5%) 20 0,834 (83,4%)

5 2 0,083 (8,3%) 22 0,917 (91,7%)

6 2 0,083 (8,3%) 24 1,000 (100%)

összesen 24 1,000 (100%)

Páros számú adat esetén a rangsor két középső számának átlaga: a 12. és13. adat értéke is 2, így a medián értéke 2


Medián – folytonos példa

13

-15,778% -10,216% -4,881% -2,950% -0,414% 1,152% 2,533% 4,021% 6,182% 10,053%

-15,731% -7,927% -4,857% -2,902% -0,402% 1,320% 2,808% 4,223% 6,280% 10,292%

-13,671% -7,188% -4,360% -2,616% -0,057% 1,698% 2,883% 4,480% 6,368% 10,699%

-12,454% -6,569% -3,817% -2,173% 0,111% 1,836% 2,963% 4,667% 6,599% 10,947%

-12,233% -6,192% -3,696% -2,072% 0,196% 1,946% 3,112% 4,917% 7,427% 11,520%

-11,464% -6,113% -3,634% -1,857% 0,222% 1,999% 3,185% 5,203% 7,997% 12,038%

-11,369% -6,110% -3,433% -1,713% 0,385% 2,072% 3,276% 5,398% 8,200% 13,104%

-11,159% -5,564% -3,304% -1,247% 0,606% 2,119% 3,343% 5,447% 8,234% 14,878%

-11,116% -5,170% -3,210% -0,669% 0,764% 2,161% 3,616% 5,612% 8,298% 15,066%

-10,735% -5,098% -2,963% -0,505% 1,132% 2,372% 3,986% 5,956% 8,558%

Páratlan számú adat esetén a rangsor középső tagja: ez a rangsor 50. tagja(ennél 49 kisebb és 49 nagyobb érték fordul elő)


14

Medián becslése

No.

osztály

Osztály-köz

fi fi’ gi [%] gi’ [%]

Alsóhatár

Felsőhatár

1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%

2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%

3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%

4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%

5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%

6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%

7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%

8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%


meme

me

me hf

fN

XeM

'1

0,2ˆ

me annak a legelső osztályköznek a sorszáma, amelyre igaz, hogy

2' N

fme

A mediánt tartalmazó osztály bal végpontja.

A mediánt tartalmazó osztály hossza.

%0163,1)00,000,5(32

435,4900,02ˆ

'1

0,

meme

me

me hf

fN

XeM


Módusz Helyzeti középérték – tipikus Diszkrét ismérv esetén a leggyakrabban előforduló

ismérvérték Folytonos ismérv esetén pedig a gyakorisági görbe

maximumhelye Nem mindig határozható meg egyértelműen, nem mindig

létezik Érzéketlen a szélsőértékekre, nem függ a többi

ismérvértéktől sem Becslése bizonytalan Nyers módusz

15


Módusz – diszkrét példa

16

Leállások száma

Gyakoriság (fi)


(gi)


(fi’)

Kumulált relatív

gyakoriság(gi’)

0 3 0,125 (12,5%) 3 0,125 (12,5%)

1 5 0,208 (20,8%) 8 0,333 (33,3%)

2 5 0,208 (20,8%) 13 0,541 (54,1%)

3 4 0,168 (16,8%) 17 0,709 (70,9%)

4 3 0,125 (12,5%) 20 0,834 (83,4%)

5 2 0,083 (8,3%) 22 0,917 (91,7%)

6 2 0,083 (8,3%) 24 1,000 (100%)

összesen 24 1,000 (100%)

Nem határozható meg egyértelműen, célszerű más középérték mutatót is számítani.

A gyakorisági sorban egynél több kiugró gyakoriság fordul elő.


Módusz – folytonos példa

17

Folytonos esetben a legnagyobb gyakoriságú osztály tartalmazza.


18

Módusz becslése

No.

osztály

Osztály-köz

fi fi’ gi [%] gi’ [%]

Alsóhatár

Felsőhatár

1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%

2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%

3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%

4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%

5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%

6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%

7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%

8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%


1 momof ffd1 momoa ffdmofa

amo h

dd

dXoM

0,ˆ

mo a legnagyobb gyakoriságú osztály(ok) sorszáma

%73077,1)00,000,5()1532()2332(

)2332(00,0ˆ 0,

mofa

amo h

dd

dXoM

A móduszt tartalmazó osztály bal

végpontja.

A móduszt tartalmazó osztály

hossza.


Számtani átlag Az a szám, amellyel az átlagolandó számértékeket helyettesítve azok összege változatlan marad Leggyakrabban használt középérték Meghatározható gyakorisági sorból is a gyakoriságokkal súlyozva Számított középérték-mutató Bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható Minden alapadatot felhasznál Érzékeny a szélsőértékekre

Nyesett átlag

19

N

X

N

X

N

XXXX

N

ii

N

121 ...

XXN

N

ii XX

1

0)(XXd ii

N

ii AX

1

2)(

r

iiir

ii

r

iii

Xgf

XfX

1

1

1

min. ,ha XA


Számtani átlag –diszkrét példa

Leállások száma óránként

Előfordulások gyakorisága (fi)

Relatív gyakoriság (gi)

0 3 0,125

1 5 0,208

2 5 0,208

3 4 0,168

4 3 0,125

5 2 0,083

6 2 0,083

összesen 24 1,000

20


21

Számtani átlag – folytonos példa

-15,778% -10,216% -4,881% -2,950% -0,414% 1,152% 2,533% 4,021% 6,182% 10,053%

-15,731% -7,927% -4,857% -2,902% -0,402% 1,320% 2,808% 4,223% 6,280% 10,292%

-13,671% -7,188% -4,360% -2,616% -0,057% 1,698% 2,883% 4,480% 6,368% 10,699%

-12,454% -6,569% -3,817% -2,173% 0,111% 1,836% 2,963% 4,667% 6,599% 10,947%

-12,233% -6,192% -3,696% -2,072% 0,196% 1,946% 3,112% 4,917% 7,427% 11,520%

-11,464% -6,113% -3,634% -1,857% 0,222% 1,999% 3,185% 5,203% 7,997% 12,038%

-11,369% -6,110% -3,433% -1,713% 0,385% 2,072% 3,276% 5,398% 8,200% 13,104%

-11,159% -5,564% -3,304% -1,247% 0,606% 2,119% 3,343% 5,447% 8,234% 14,878%

-11,116% -5,170% -3,210% -0,669% 0,764% 2,161% 3,616% 5,612% 8,298% 15,066%

-10,735% -5,098% -2,963% -0,505% 1,132% 2,372% 3,986% 5,956% 8,558%

%372,099

870,36

99

066,15878,14104,13...)671,13()731,15(778,15

99

99

1

i

ixx


22

Számtani átlag – folytonos példa

No.

osztály

Osztály-köz

fi fi’ gi [%] gi’ [%]

Alsóhatár

Felsőhatár

1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%

2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%

3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%

4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%

5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%

6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%

7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%

8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%


%37879,099

50,17150,12850,71550,232

99

)50,2(23)50,7(9)50,12(9)50,17(28

1

8

1

ii

iii

f

xfx

%37879,050,170101,050,120808,050,71515,050,23232,0

)50,2(2323,0)50,7(0909,0)50,12(0909,0)50,17(0202,08

1

iii xgx


Harmonikus átlag A harmonikus átlag az a szám, amellyel az átlagolandó

értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad.

23

r

i ii

r

ii

N

i i

h

Xf

f

X

NX

1

1

1

11

Mértani átlag A mértani átlag az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket

helyettesítve azok szorzata változatlan marad.

k

ri

if f

i

N

i

Ni

N

ig XXX 1

11


Négyzetes átlag

Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve, azok négyzetösszege változatlan marad

Tipikus alkalmazási területe a szórásszámítás

n

xx

2i

q

24

Választás a középértékek között

maxmin XXXXXX qgh



Módusz, medián, számtani átlag?

Melyiket használjuk?

Egyértelműen meghatározható-e?

Az összes rendelkezésre álló adattól függ-e vagy sem?

Mennyire érzékeny a szélsőségesen nagy vagy kicsi

értékekre?

Mekkora és milyen módon értelmezhető hibával képes

helyettesíteni az alapadatokat?

25



Medián Egyértelműen meghatározható, mindig létezik Ha sok az egyforma ismérvérték, akkor nem tanácsos használni Nem függ sem az összes értéktől, sem a szélsőséges értékektől

Módusz Nem mindig határozható meg egyértelműen, nem is mindig létezik Becslése bizonytalan (függ az osztályok kialakításától) Nem függ sem az összes értéktől, sem a szélsőséges értékektől

Számtani átlag Bármely alapadathalmazból egyértelműen meghatározható, minden

alapadatot felhasznál, mindig létezik Érzékeny a szélsőséges értékekre nyesett átlag Nem feltétlen tipikus érték

26


Kvantilisek Eddig egyenlő osztályköz-hosszúságú gyakorisági sorokat

képeztünk, amelyeknek eltért a relatív gyakorisága. A kvantilisek olyan „osztópontok”, amelynek segítségével a

növekvő sorrendbe állított adataink egyenlő gyakoriságú osztályokra bonthatóak

Jelölése: Xi/k

i-edik k-ad rendű kvantilis: az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvérték i/k-ad része kisebb , (1-i/k)-ad része pedig nagyobb (i=1,..,k-1 és k>=2)

A rangsor si/k. tagja

Értéke

1/ Nk

is ki

27


)(/// 1//

kikiki sskiski XXsXX


A legfontosabb kvantilisek

k Elnevezés Általános jelölés

i lehetséges értéke

Lehetséges kvantilisek

2 Medián - 1 Me

4 Kvartilis Qi 1,2,3 Q1, Q2, Q3

5 Kvintilis Ki 1,2,3,4, K1, K2, K3, K4

10 Decilis Di 1,2,…,9 D1, D2, … D9

100 Percentilis Pi 1,2,…,99 P1, P2, …,P99

28


Kvantilisek meghatározása – folytonos példa

29

1. -15,78% 21. -4,88% 41. -0,41% 61. 2,53% 81. 6,18%2. -15,73% 22. -4,86% 42. -0,40% 62. 2,81% 82. 6,28%3. -13,67% 23. -4,36% 43. -0,06% 63. 2,88% 83. 6,37%4. -12,45% 24. -3,82% 44. 0,11% 64. 2,96% 84. 6,60%5. -12,23% 25. -3,70% 45. 0,20% 65. 3,11% 85. 7,43%6. -11,46% 26. -3,63% 46. 0,22% 66. 3,19% 86. 8,00%7. -11,37% 27. -3,43% 47. 0,39% 67. 3,28% 87. 8,20%8. -11,16% 28. -3,30% 48. 0,61% 68. 3,34% 88. 8,23%9. -11,12% 29. -3,21% 49. 0,76% 69. 3,62% 89. 8,30%

10. -10,74% 30. -2,96% 50. 1,13% 70. 3,99% 90. 8,56%11. -10,22% 31. -2,95% 51. 1,15% 71. 4,02% 91. 10,05%12. -7,93% 32. -2,90% 52. 1,32% 72. 4,22% 92. 10,29%13. -7,19% 33. -2,62% 53. 1,70% 73. 4,48% 93. 10,70%14. -6,57% 34. -2,17% 54. 1,84% 74. 4,67% 94. 10,95%15. -6,19% 35. -2,07% 55. 1,95% 75. 4,92% 95. 11,52%16. -6,11% 36. -1,86% 56. 2,00% 76. 5,20% 96. 12,04%17. -6,11% 37. -1,71% 57. 2,07% 77. 5,40% 97. 13,10%18. -5,56% 38. -1,25% 58. 2,12% 78. 5,45% 98. 14,88%19. -5,17% 39. -0,67% 59. 2,16% 79. 5,61% 99. 15,07%20. -5,10% 40. -0,51% 60. 2,37% 80. 5,96%

25)991(4

14/1 s %70,31 Q

75)991(4

34/3 s

%92,43 Q

10)991(10

110/1 s

%74,101 D

90)991(10

910/9 s

%56,89 D


Ingadozásmutatók

Osztályozásuk: Kitüntetett értéktől vett eltérés vagy egymástól vett eltérés

Abszolút vagy relatív

terjedelem

átlagos abszolút különbség

átlagos abszolút eltérés

szórás

relatív szórás

30


31

Terjedelemmutatók1. -15,78% 21. -4,88% 41. -0,41% 61. 2,53% 81. 6,18%2. -15,73% 22. -4,86% 42. -0,40% 62. 2,81% 82. 6,28%3. -13,67% 23. -4,36% 43. -0,06% 63. 2,88% 83. 6,37%4. -12,45% 24. -3,82% 44. 0,11% 64. 2,96% 84. 6,60%5. -12,23% 25. -3,70% 45. 0,20% 65. 3,11% 85. 7,43%6. -11,46% 26. -3,63% 46. 0,22% 66. 3,19% 86. 8,00%7. -11,37% 27. -3,43% 47. 0,39% 67. 3,28% 87. 8,20%8. -11,16% 28. -3,30% 48. 0,61% 68. 3,34% 88. 8,23%9. -11,12% 29. -3,21% 49. 0,76% 69. 3,62% 89. 8,30%

10. -10,74% 30. -2,96% 50. 1,13% 70. 3,99% 90. 8,56%11. -10,22% 31. -2,95% 51. 1,15% 71. 4,02% 91. 10,05%12. -7,93% 32. -2,90% 52. 1,32% 72. 4,22% 92. 10,29%13. -7,19% 33. -2,62% 53. 1,70% 73. 4,48% 93. 10,70%14. -6,57% 34. -2,17% 54. 1,84% 74. 4,67% 94. 10,95%15. -6,19% 35. -2,07% 55. 1,95% 75. 4,92% 95. 11,52%16. -6,11% 36. -1,86% 56. 2,00% 76. 5,20% 96. 12,04%17. -6,11% 37. -1,71% 57. 2,07% 77. 5,40% 97. 13,10%18. -5,56% 38. -1,25% 58. 2,12% 78. 5,45% 98. 14,88%19. -5,17% 39. -0,67% 59. 2,16% 79. 5,61% 99. 15,07%20. -5,10% 40. -0,51% 60. 2,37% 80. 5,96%

minmax XXR

%85,30)78,15(07,15 R

%70,31 Q

%92,43 Q

2,/1/)1(21

kXXR kkk

k

%62,8)70,3(92,4132/1 QQR

%74,101 D

%56,89 D %3,19)74,10(56,81910/8 DDR


Átlagos abszolút különbség (G)

Az átlagos abszolút különbség a minden lehetséges módon párba állított ismérvértékek különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag.

Azt mutatja meg, hogy az X ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól.

Felhasználási területe: koncentrációelemzés

32

N

i

N

jji XX

NNG

1 1)1(

1

45 52 76 87 9245 0 7 31 42 4752 7 0 24 35 4076 31 24 0 11 1687 42 35 11 0 592 47 40 16 5 0

8,25)15(5

516

G

Az 5 hallgató zh-n elért pontja átlagosan 25,8 ponttal tér el egymástól.


Átlagos abszolút eltérés (Δ) Az átlagos abszolút eltérés az egyes

ismérvértékek és a számtani átlag különbségeinek abszolút értékeiből számított számtani átlag.

Súlyozott formula:

33

n

dn

ii

1 XXd ii

r

ii

r

iii

f

df

1

1

leállások száma óránként

az előfordulások gyakorisága

0 31 52 53 44 35 26 2

összesen 24

50342,124

54,262...54,21554,203

A gépleállások átlagosan 1,503-al térnek el az átlagtól.


34

Átlagos abszolút eltérés (Δ)

No.

osztály

Osztály-köz

fi fi’ gi [%] gi’ [%]

Alsóhatár

Felsőhatár

1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%

2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%

3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%

4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%

5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%

6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%

7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%

8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%


%213,699

379,050,171...379,050,129379,050,172

%379,0x

Az egyes hozamadatok átlagosan 6,213%-kal térnek el az átlagtól.


Tapasztalati szórás abszolút érték helyett négyzetre emelés és gyökvonás A szórás az egyes Xi ismérvértékek átlagtól vett di eltéréseinek négyzetes átlaga. Azt mutatja, hogy az egyes értékek átlagosan mennyire térnek el a számtani átlagtól. Olyan átlagos hibaként is felfogható, amit akkor követünk el, ha minden adatot a számtani átlaggal helyettesítünk. Csak akkor 0, ha minden ismérvérték egyenlő. Érzékeny a kiugró értékekre.

35

r

i if

iX

iXif

s

Ni id

N

N

iX

iX

s

r

N

1

12)(

12

1

2


Korrigált tapasztalati szórás

11

1

2

1

2

n

d

n

xxs

n

ii

n

ii

36

A szórás torzítatlan becsléssel a becslés a szóban forgó paraméterérték körül ingadozzék. a becslés (az illető statisztika) várható értéke éppen a

megfelelő paraméterérték legyen. a korrigált tapasztalati szórásnégyzet várható értéke az

elméleti varianciával egyenlő, a tapasztalati szórásnégyzet az elméleti variancia torzított becslése


37

Tapasztalati szórás



0 31 52 53 44 35 26 2

összesen 24

54,2x

779,124

)54,26(2...)54,21(5)54,20(3

1

12

222

7

7

i if

i idifs

Az óránkénti leállások száma 1,779 db-bal tér el az átlagtól.


38

Tapasztalati szórás1. -15,78% 21. -4,88% 41. -0,41% 61. 2,53% 81. 6,18%2. -15,73% 22. -4,86% 42. -0,40% 62. 2,81% 82. 6,28%3. -13,67% 23. -4,36% 43. -0,06% 63. 2,88% 83. 6,37%4. -12,45% 24. -3,82% 44. 0,11% 64. 2,96% 84. 6,60%5. -12,23% 25. -3,70% 45. 0,20% 65. 3,11% 85. 7,43%6. -11,46% 26. -3,63% 46. 0,22% 66. 3,19% 86. 8,00%7. -11,37% 27. -3,43% 47. 0,39% 67. 3,28% 87. 8,20%8. -11,16% 28. -3,30% 48. 0,61% 68. 3,34% 88. 8,23%9. -11,12% 29. -3,21% 49. 0,76% 69. 3,62% 89. 8,30%

10. -10,74% 30. -2,96% 50. 1,13% 70. 3,99% 90. 8,56%11. -10,22% 31. -2,95% 51. 1,15% 71. 4,02% 91. 10,05%12. -7,93% 32. -2,90% 52. 1,32% 72. 4,22% 92. 10,29%13. -7,19% 33. -2,62% 53. 1,70% 73. 4,48% 93. 10,70%14. -6,57% 34. -2,17% 54. 1,84% 74. 4,67% 94. 10,95%15. -6,19% 35. -2,07% 55. 1,95% 75. 4,92% 95. 11,52%16. -6,11% 36. -1,86% 56. 2,00% 76. 5,20% 96. 12,04%17. -6,11% 37. -1,71% 57. 2,07% 77. 5,40% 97. 13,10%18. -5,56% 38. -1,25% 58. 2,12% 78. 5,45% 98. 14,88%19. -5,17% 39. -0,67% 59. 2,16% 79. 5,61% 99. 15,07%20. -5,10% 40. -0,51% 60. 2,37% 80. 5,96%

%372,0x

%77,699

372,007,15...372,073,15372,078,15

99

99

1

2372,0222

ii

X

s

%806,698

372,007,15...372,073,15372,078,15

98

99

1

2372,0222

ii

X

s

Az egyes hozamadatok átlagosan 6,77%-kal, illetve 6,806%-kal térnek el az átlagtól.


39

Tapasztalati szórás

No.

osztály

Osztály-köz

fi fi’ gi [%] gi’ [%]

Alsóhatár

Felsőhatár

1. -20% -15% -17,50% 2 2 2,02% 2,02%

2. -15% -10% -12,50% 9 11 9,09% 11,11%

3. -10% -5% -7,50% 9 20 9,09% 20,20%

4. -5% 0% -2,50% 23 43 23,23% 43,43%

5. 0% 5% 2,50% 32 75 32,32% 75,76%

6. 5% 10% 7,50% 15 90 15,15% 90,91%

7. 10% 15% 12,50% 8 98 8,08% 98,99%

8. 15% 20% 17,50% 1 99 1,01% 100,00%


%3,799

)379,050,17(1...)379,050,12(9)379,050,17(2

1

12

222

8

8

i if

i idifs

%379,0x


Relatív szórás Különböző mértékegységű sorozatok szóródásának összehasonlítására pozitív értékű ismérvekre! az ismérvértékek átlagtól vett átlagos relatív eltérése Nincs mértékegysége! Minél kisebb az értéke, a számtani átlag annál jobb középérték

x

sV

40



0 31 52 53 44 35 26 2

összesen 24 %707,054,2

779,1V


Alakmutatók

A gyakorisági eloszlás milyen mértékben tér el az ún. normális

eloszlástól

Eltérés lehet:

Bal ill. jobb oldali aszimmetria

Csúcsosság vagy lapultság41


Pearson-féle mutatószám

Csúcsossági mutató

42

Normális eloszlás esetén értéke 0,263.

Minél laposabb, annál nagyobb K értéke.

Negatív P esetén jobboldali az aszimmetria (átlag<medián).

s

MexP

)(3

283,077,6

)0173,137879,0(3

P

)(2 19

13

DD

QQK

223,0586,38

612,8

))735,10(558,8(2

)696,3(916,4

K

Gazdaságstatisztika

Documents