II
III
CÁLCULO DE ESTRUCTURAS
ESTRUCTURAS ARTICULADAS, RETICULADAS, ARCOS, CABLES, CÁLCULO MATRICIAL, CÁLCULO DINÁMICO, CÁLCULO PLÁSTICO
TOMO II
CARLOS JURADO CABAÑES Doctor Ingeniero de Caminos Canales y Puertos
Profesor Titular Universidad Politécnica de Madrid Coordinador y Responsable de la asignatura de Cálculo de Estructuras
en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil
IV
Foto de la cubierta Langkawy Skay Bridge, Malasia (cortesía de IABSE)
Primera edición enero 2012
© Carlos Jurado Cabañes
Reservados los derechos para todos los países. Ninguna parte de la publicación puede ser reproducida por ningún medio sin previa autorización del autor.
ISBN TOMO I: 978-84-615-6880-2 ISBN TOMO II: 978-84-615-6881-9 ISBN OBRA COMPLETA: 978-84-615-6437-8 Depósito Legal: M-5022-2012
V
CÁLCULO DE ESTRUCTURAS
TOMO I
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES CAPÍTULO 2: ACCIONES SOBRE LAS ESTRUCTURAS CAPÍTULO 3: TEOREMAS ENERGÉTICOS CAPÍTULO 4: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS PLANAS CAPÍTULO 5: ESTRUCTURAS ARTICULADAS HIPERESTÁTICAS PLANAS CAPÍTULO 6: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESPACIALES CAPÍTULO 7: INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS RETICULADAS CAPÍTULO 8: ESTRUCTURAS RETICULADAS INTRASLACIONALES
TOMO II
CAPÍTULO 9: ESTRUCTURAS RETICULADAS TRASLACIONALES CAPÍTULO 10. ARCOS CAPÍTULO 11. CABLES Y TIRANTES, ESTRUCTURAS RETICULADAS CON BARRAS
ELONGABLES CAPÍTULO 12. LÍNEAS DE INFLUENCIA CAPÍTULO 13. CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS CAPÍTULO 14. CÁLCULO DINÁMICO DE ESTRUCTURAS CAPÍTULO 15. CÁLCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS APÉNDICE: MÉTODO DE CROSS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
VI
A mi esposa e hijos
Cálculo de Estructuras Índice
VII
INDICE
PRÓLOGO DEL AUTOR CAPÍTULO 1: CONCEPTOS FUNDAMENTALES
1.1. Definición de estructura 1.2. Formas y elementos estructurales 1.3. Tipos de apoyo de una estructura 1.4. Estructuras estáticamente determinadas e indeterminadas 1.5. Grado de indeterminación cinemática 1.6. Modelización estructural 1.7. Métodos de cálculo de estructuras 1.8. Clasificación de las estructuras
CAPÍTULO 2: ACCIONES SOBRE LAS ESTRUCTURAS
2.1. Introducción 2.2. Criterios de comprobación de una estructura
2.2.1. Estados Límite de Servicio (E.L.S.) 2.2.2. Estados Límite Últimos (E.L.U.) 2.2.3. Comprobación de la estructura
2.3. Clasificación de las acciones sobre una estructura 2.4. El Código Técnico de la Edificación (CTE)
2.4.1. Verificaciones basadas en coeficientes parciales 2.4.2. Capacidad portante. Verificaciones 2.4.3. Combinación de acciones 2.4.4. Valor de cálculo de la resistencia 2.4.5. Aptitud al servicio 2.4.6. Efectos del tiempo 2.4.7. Acciones permanentes 2.4.8. Acciones variables 2.4.9. Acciones térmicas 2.4.10. Nieve 2.4.11. Acciones accidentales 2.4.12. Otras acciones accidentales
Cálculo de Estructuras Índice
VIII
CAPÍTULO 3: TEOREMAS ENERGÉTICOS
3.1. Introducción 3.2. Ley de Hooke 3.3. Principio de superposición de efectos 3.4. Trabajo de las fuerzas externas 3.5. Energía de deformación de un cuerpo elástico 3.6. Trabajo y trabajo complementario 3.7. Energía de deformación y energía de deformación complementaria
3.7.1. Caso particular de tensión o deformación inicial impuesta 3.7.2. Sistemas conservativos
3.8. Variaciones del trabajo y de la energía de deformación 3.9. Energía de deformación de una viga
3.9.1. Tracción y compresión 3.9.2. Flexión 3.9.3. Cortante 3.9.4. Torsión 3.9.5. Caso general
3.10. Cálculo de los alargamientos en las barras 3.10.1. Barras rectas 3.10.2. Barras curvas
3.11. Principio de los trabajos virtuales 3.12. Principio de los trabajos complementarios virtuales 3.13. Teorema de la fuerza unidad 3.14. Primer teorema de Castigliano 3.15. Segundo teorema de Castigliano 3.16. Teorema del trabajo mínimo o de Menabrea 3.17. Teorema de la Reciprocidad o de Betti-Maxwell 3.18. Cálculo de sistemas estructurales mediante teoremas energéticos
3.18.1. Desplazamientos en arcos 3.18.2. Cálculo de una reacción isostática 3.18.3. Deformaciones en pórticos 3.18.4. Deformaciones en estructuras articuladas 3.18.5. Aplicación del Teorema de Castigliano al cálculo de desplazamientos 3.18.6. Aplicación del Teorema de Menabrea
Cálculo de Estructuras Índice
IX
CAPÍTULO 4: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ISOSTÁTICAS PLANAS
4.1. Conceptos fundamentales 4.2. Idealización de las estructuras articuladas 4.3. Clasificación de las estructuras articuladas según su tipología 4.4. Actuación de las cargas exteriores. Barras curvas 4.5. Isostatismo e hiperestatismo. Planteamiento del método de equilibrio 4.6. Clasificación de las estructuras articuladas según su grado de
hiperestaticidad 4.6.1. Celosías isostáticas 4.6.2. Celosías hiperestáticas 4.6.3. Mecanismos 4.6.4. Estructuras articuladas críticas
4.7. Celosías isostáticas con cargas en los nudos 4.8. Métodos de cálculo de estructuras articuladas simples con cargas en los
nudos 4.8.1. Método de los nudos 4.8.2. Método de Cremona o Maxwell 4.8.3. Método de las secciones
4.9. Estructuras articuladas asimilables a vigas. Cálculo simplificado de esfuerzos
4.10. Cálculo de estructuras articuladas compuestas 4.11. Cálculo de estructuras articuladas complejas
4.11.1. Método de Henneberg 4.11.2. Método iterativo
4.12. Cinemática de las estructuras articuladas 4.12.1. Cálculo de los alargamientos de las barras 4.12.2. Teorema de Castigliano 4.12.3. Método de Maxwell – Mohr 4.12.4. Método gráfico de Williot
4.13. Tratamiento de los alargamientos impuestos de las barras 4.14. Celosías isostáticas con cargas en las barras. Cálculo de esfuerzos
4.14.1. Celosías en las que las cargas fuera de los nudos están aplicadas perpendicularmente al eje de las barras y/o barras horizontales de peso no despreciable
4.14.2. Celosías en las que las cargas fuera de los nudos no están aplicadas perpendicularmente al eje de las barras y/o barras inclinadas de peso no despreciable
Cálculo de Estructuras Índice
X
4.15. Dimensionamiento de las barras de una celosía a tracción y compresión. Método de los coeficientes w
4.15.1. Análisis de la estabilidad 4.15.2. Carga crítica de pandeo de la barra biarticulada 4.15.3. Otros tipos de enlaces 4.15.4. Tensiones críticas y curvas de diseño 4.15.5. Pandeo inelástico
4.15.6. Método de los coeficientes w
CAPÍTULO 5: ESTRUCTURAS ARTICULADAS HIPERESTÁTICAS PLANAS
5.1. Conceptos fundamentales 5.2. Estructuras articuladas hiperestáticas con cargas en los nudos y barras
rectas 5.3. Deformaciones impuestas en estructuras articuladas hiperestáticas 5.4. Estructuras articuladas hiperestáticas con barras rectas cargadas 5.5. Estructuras articuladas hiperestáticas con barras curvas cargadas 5.6. Método general de cálculo de estructuras articuladas hiperestáticas 5.7. Cinemática de las estructuras articuladas hiperestáticas. Cálculo de
movimientos 5.8. Generalización del concepto de barra. Subestructuras 5.9. Cálculo aproximado de estructuras articuladas
5.9.1. Estructuras articuladas de cordones paralelos 5.9.2. Estructuras articuladas de cordones no paralelos
CAPÍTULO 6: ESTRUCTURAS ARTICULADAS ESPACIALES
6.1 Consideraciones generales de fuerzas concurrentes en el espacio 6.2 Clasificación de las estructuras articuladas espaciales según su tipología 6.3 Grado de hiperestaticidad de una estructura articulada espacial 6.4 Clasificación de las estructuras articuladas espaciales según su grado de
hiperestaticidad. 6.4.1. Celosías isostáticas 6.4.2. Celosías hiperestáticas 6.4.3. Mecanismos 6.4.4. Formas críticas
6.5 Cálculo de estructuras articuladas espaciales
Cálculo de Estructuras Índice
XI
6.5.1. Método de los nudos 6.5.2. Método de las secciones 6.5.3. Método de Henneberg
6.6 Cálculo de estructuras articuladas por ordenador
CAPÍTULO 7: INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS RETICULADAS
7.1 Conceptos fundamentales 7.2 Hipótesis de partida 7.3 Ecuaciones básicas a introducir en el cálculo de una estructura 7.4 Métodos generales de cálculo de estructuras
7.4.1. Método de la elongabilidad o de las fuerzas 7.4.2. Método de la rigidez o de los movimientos
7.5. Características elastomecánicas de las barras rectas 7.5.1. Concepto de rigidez de una barra 7.5.2. Concepto de flexibilidad de una barra 7.5.3. Rigidez a axil o elongabilidad 7.5.4. Rigidez al giro y coeficiente de transmisión de una barra 7.5.5. Rigidez a la traslación transversal. Asentamientos diferenciales 7.5.6. Flexibilidades elementales de una barra 7.5.7. Relaciones entre las rigideces y flexibilidades al giro
7.6. Cálculo de movimientos 7.6.1. Teorema de la fuerza unidad 7.6.2. Fórmulas de Navier-Bresse
7.7. Características elastomécanicas de las barras curvas 7.8. Momentos de empotramiento rígido 7.9. Momentos de empotramiento rígido debidos a asentamientos diferenciales 7.10. Ecuación constitutiva de la barra biempotrada 7.11. Ecuación constitutiva de la barra empotrada-articulada 7.12. Simetrías y antimetrías
7.12.1. Estructuras simétricas 7.12.2. Estructuras antimétricas 7.12.3. Movimientos de apoyo en estructuras simétricas con simetría axial
(acciones cinemáticas) 7.12.4. Simetría y antimetría puntual
Cálculo de Estructuras Índice
XII
7.12.5. Movimientos de apoyos en estructuras simétricas con simetría puntual (acciones cinemáticas)
7.12.6. Estructuras simétricas con cargas arbitrarias 7.13. Estructuras antifuniculares 7.14. Nudos de dimensión finita
CAPÍTULO 8: ESTRUCTURAS RETICULADAS INTRASLACIONALES
8.1. Conceptos y definiciones 8.2. Planteamiento general del cálculo en movimientos 8.3. Obtención de esfuerzos cortantes y axiles 8.4. Estructuras de un solo nudo con grado de libertad activo 8.5. Estructuras simétricas y antimétricas
8.5.1. Estructuras simétricas 8.5.2. Estructuras antimétricas 8.5.3. Estructuras simétricas con cargas cualesquiera
8.6. Cálculo de movimientos en estructuras intraslacionales 8.7. Acciones climáticas y defectos de montaje 8.8. Cálculo de vigas contínuas
CAPÍTULO 9: ESTRUCTURAS RETICULADAS TRASLACIONALES
9.1. Traslacionalidad. Grado de traslacionalidad 9.2. Estados paramétricos 9.3. Ecuaciones de equilibrio 9.4. Proceso operativo de cálculo de una estructura traslacional por el método
indirecto 9.4.1. Ejemplo de cálculo de una estructura reticulada traslacional por
métodos indirectos 9.5. Método matricial directo de cálculo de estructuras reticuladas traslacionales 9.6. Estructuras traslacionales bajo acciones cinemáticas 9.7. Estructuras reticuladas no sustentadas en equilibrio 9.8. Influencia de los conceptos de nudo y barra en el grado de traslacionalidad
de una estructura 9.9. Cálculo de movimientos en estructuras reticuladas isostáticas. Ampliación de
los teoremas de Mohr a pórticos
Cálculo de Estructuras Índice
XIII
9.10. Cálculo de estructuras reticuladas hiperestáticas por el método de compatibilidad
9.11. Cálculo de estructuras reticuladas por ordenador CAPÍTULO 10: ARCOS
10.1. Introducción 10.2. Energía de deformación de un arco 10.3. Arcos isostáticos
10.3.1. Arcos triarticulados 10.4. Arcos hiperestáticos
10.4.1. Arcos biarticulados
10.4.2. Arcos biarticulados atirantados
10.4.3. Arcos articulados-empotrados
10.4.4. Arcos biempotrados 10.5. Arcos simétricos y antimétricos 10.6. Arcos antifuniculares 10.7. Centro elástico de un arco 10.8. Cálculo numérico de arcos
CAPÍTULO 11: CABLES Y TIRANTES, ESTRUCTURAS RETICULADAS CON BARRAS ELONGABLES
11.1. Cables. Ecuaciones generales 11.2. Curva funicular parabólica 11.3. Curva funicular catenaria 11.4. Estructuras constituidas por cables. Puentes colgantes y atirantados
11.4.1. Puentes colgantes 11.4.2. Puentes atirantados
11.5. Entramados con barras elongables 11.6. Estructuras con bielas o tirantes. Métodos de cálculo de los movimientos y
de las fuerzas 11.6.1. Los tirantes no pertenecen a la sustentación de la estructura 11.6.2. Los tirantes pertenecen a la sustentación de la estructura
11.7. Subestructuras
Cálculo de Estructuras Índice
XIV
CAPÍTULO 12: LÍNEAS DE INFLUENCIA
12.1. Concepto de línea de Influencia. Definiciones 12.2. Cálculo de líneas de influencia por la aplicación directa de una carga unitaria 12.3. Cálculo de líneas de influencia por el teorema de los trabajos virtuales.
12.3.1. Línea de influencia de momentos flectores 12.3.2. Línea de influencia de esfuerzos cortantes 12.3.3. Línea de influencia de esfuerzos axiles 12.3.4. Línea de influencia de la reacción de un apoyo 12.3.5. Cálculo de líneas de influencia en estructuras articuladas isostáticas
12.4. Cálculo de líneas de influencia por el teorema de la reciprocidad o de Betti-Maxwell
12.5. Aplicación del Teorema de Reciprocidad al cálculo de estructuras articuladas 12.5.1. Cálculo de esfuerzos en estructuras articuladas isostáticas 12.5.2. Cálculo de esfuerzos en estructuras articuladas hiperestáticas 12.5.3. Cálculo de reacciones en estructuras articuladas hiperestáticas 12.5.4. Cálculo de movimientos en celosías por el Teorema de Reciprocidad
12.6. Aplicación del Teorema de Reciprocidad al cálculo de estructuras reticuladas 12.6.1. Líneas de influencia de esfuerzos en vigas isostáticas 12.6.2. Líneas de influencia de esfuerzos en vigas hiperestáticas 12.6.3. Líneas de influencia de reacciones en vigas hiperestáticas 12.6.4. Líneas de influencia en estructuras reticuladas 12.6.5. Líneas de influencia de esfuerzos axiles en pórticos
12.7. Trenes de carga y sobrecarga repartida 12.8. Líneas de influencia en estructuras de edificación
CAPÍTULO 13: CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
13.1 Introducción. Conceptos fundamentales 13.2 Métodos numéricos de cálculo de estructuras 13.3. Introducción al cálculo matricial de estructuras
13.3.1. Modelización geométrica de una estructura 13.3.2. Hipótesis básicas del cálculo matricial 13.3.3. Principio de superposición 13.3.4. Ecuaciones básicas a utilizar en el cálculo matricial de estructuras
Cálculo de Estructuras Índice
XV
13.3.5. Grado de indeterminación de una estructura 13.4. Métodos de cálculo matricial de estructuras
13.4.1. Método de equilibrio, de los movimientos o de la rigidez 13.4.2. Método de la compatibilidad, de las fuerzas o de la flexibilidad 13.4.3. Ventajas e inconvenientes de ambos métodos
13.5. Convenio de signos y notaciones 13.5.1. Vectores de carga y movimientos 13.5.2. Ejes locales y ejes globales 13.5.3. Matrices de transformación
13.6. Método de equilibrio 13.6.1. Matrices de rigidez de una barra en coordenadas locales 13.6.2. Matrices de rigidez de una barra en coordenadas globales 13.6.3. Matrices de rigidez y flexibilidad de una estructura 13.6.4. Cálculo de la matriz de rigidez de una estructura articulada plana 13.6.5. Cálculo de la matriz de rigidez de una estructura reticulada plana 13.6.6. Métodos numéricos para la resolución de la ecuación matricial de la
estructura 13.7. Formación de la matriz de rigidez de una estructura
13.7.1. Propiedades de la matriz de rigidez K´0
13.8. Esfuerzos térmicos y defectos de montaje 13.8.1. Esfuerzos térmicos 13.8.2. Defectos de montaje
13.9. Modificación de la matriz de rigidez por las condiciones de contorno 13.9.1. Condiciones cinemáticas completas 13.9.2. Condiciones estáticas completas 13.9.3. Condiciones mixtas 13.9.4. Apoyos no concordantes
13.10. Nudos con conexiones semirrígidas 13.11. Piezas formadas por elementos unidos en serie o en paralelo 13.12. Ejemplo de cálculo matricial de estructuras
13.12.1. Matriz de rigidez de los elementos 13.12.2. Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura 13.12.3. Sistema de ecuaciones lineales de una estructura 13.12.4. Fuerzas en los elementos
13.13. Aplicación de ordenadores al cálculo matricial de estructuras. Programas comerciales
Cálculo de Estructuras Índice
XVI
CAPÍTULO 14: CÁLCULO DINÁMICO DE ESTRUCTURAS
14.1 Introducción. Conceptos fundamentales 14.2 Formulación de las ecuaciones del movimiento
14.2.1. Principio de D´Alembert 14.2.2. Principio de los Trabajos Virtuales 14.2.3. Principio de Hamilton
14.3. Grados de libertad dinámicos 14.4. Amortiguamiento 14.5. Sistemas con un solo grado de libertad
14.5.1. Vibraciones libres 14.5.2. Vibraciones forzadas 14.5.3. Excitación arbitraria
14.6 Sistemas con varios grados de libertad 14.6.1. Modelos de elementos finitos
14.7. Cálculo sísmico de estructuras 14.7.1. Sistemas con un grado de libertad 14.7.2. Sistemas con muchos grados de libertad
14.8. Aplicación de ordenadores al cálculo dinámico/sísmico de estructuras. Programas comerciales.
CAPÍTULO 15: CÁLCULO PLÁSTICO DE ESTRUCTURAS
15.1. Introducción 15.2 Diferencias entre el cálculo elástico y el cálculo plástico 15.3 Referencias normativas 15.4 Hipótesis iniciales del cálculo plástico 15.5 Comportamiento elastoplástico de la rebanada
15.5.1 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a tracción o compresión simple
15.5.2 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a flexión pura 15.5.3 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a flexión simple 15.5.4 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a flexión compuesta 15.5.5 Comportamiento elastoplástico de la rebanada a compresión
compuesta 15.6 Concepto de rótula plástica 15.7 Momento plástico. Factor de forma
Cálculo de Estructuras Índice
XVII
15.8 Agotamiento de la estructura por formación de rótulas plásticas 15.9 Unicidad de la solución. Teoremas de máximo y mínimo
15.9.1 Unicidad de la solución 15.9.2 Teorema de mínimo o teorema estático 15.9.3 Teorema de máximo o teorema cinemático
15.10 Métodos de cálculo plástico 15.10.1. Método iterativo de generación de rótulas plásticas 15.10.2 Método estático 15.10.3. Método de los trabajos virtuales
15.11 Cálculo plástico de vigas 15.11.1 Viga empotrada-apoyada con carga puntual 15.11.2 Viga empotrada-apoyada con carga uniforme 15.11.3 Viga biempotrada con carga puntual 15.11.4 Viga biempotrada con carga uniforme 15.11.5 Vigas continuas
15.12 Cálculo plástico de pórticos 15.12.1 Consideraciones iniciales 15.12.2 Métodos de cálculo 15.12.3 Ejemplos prácticos
APÉNDICE
MÉTODO DE CROSS. A.1 Introducción A.2. Momentos de empotramiento A.3 Momentos repartidos A.4 Momentos transmitidos A.5. Rigideces y coeficientes de transmisión
A.5.1. Barra recta de sección constante biempotrada A.5.2. Barra recta de sección constante empotrada-articulada A.5.3. Barra recta de sección constante en voladizo A.5.4. Simplificaciones en el caso de piezas rectas con sección y módulo de
elasticidad constantes A.6. Relaciones entre rigideces y coeficientes de transmisión A.7 Método de Cross A.8. Estructuras intraslacionales
Cálculo de Estructuras Índice
XVIII
A.9. Simplificaciones en el método de Cross A.10. Estructuras traslacionales
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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órticos, ar
angulosos s, resulta
o de líneaeticuladas
carga realcon una caya línea de
ra a la qsólo depee estas.
ha estableun sistem
por δ11 y δy P2 respecorrimient
ESTAD
AXWELL
por sus coal estado dcargas 1 (
Líneas de Influ
TEOREMA
encia de esas, por el mrcos y e
en su direventajoso
as de influ.
l (1) y un arga unita
e influencia
que se apenda de lo
ecido en ema de fueδ12, los coectivamenttos eficace
DO 2
orrimientosde cargas (δ12).
uencia
A DE LA
sfuerzos ymétodo deestructuras
ectriz o seaplicar el
encia que
estado dearia con laa se desea
plique seaos estados
l apartadoerzas P1 eorrimientoste, cuandoes cuando
s eficaces2 (P2) por
A
y e s
e l
e
e a a
a s
o e s o o
s r
Cálcu
Como calculaABCD
En prisuprimestruc
Que inalargaA contsin tiradirecci
ulo de Estruct
ejemplo aremos la de la figur
ESTADO
FI
imer lugarme el tiran
tura, con la
ndica que amiento quetinuación, ante (Estaión AC del
ES
turas
de apliclínea de inra, para un
O REAL
IGURA 12.33
r se sustitunte, poniena ecuación
el acercae sufre el tpara aplic
ado 1) y tirante y d
STADO 1 (RE
FI
ación del nfluencia dna carga u
3. APLICAC
uye el estndo en sun de compa
miento entirante camar el teoreun estado
del mismo
EAL SIN TIR
IGURA 12.34
δ
452
teoremadel esfuerznitaria des
CIÓN DEL TE
tado real du lugar lasatibilidad
ntre los pumbiado de ema der reo ficticio (sentido qu
RANTE)
4. ESTADO
AC
estAC E
NL−=δ
Ca
de recipzo en el tirscendente,
EOREMA DE
de la estrus acciones
ntos A y Csigno.
eciprocidadEstado 2)
ue N (figura
ESTAD
REAL Y FIC
ACC
ACLΩ
apítulo 12 –L
procidad orante AC d
recorriend
ESTADO
E RECIPROC
uctura, pos N que e
C de la es
d, consider) con fuera 12.34)
DO 2 (FICTIC
CTICIO
Líneas de Influ
o de Betdel pórtico do el dintel
SIN TIRANT
CIDAD
or otro en este ejerce
structura e
ramos el erzas unita
CIO)
uencia
tti-Maxwellatirantadol BC.
TE
el que see sobre la
(12.11)
es igual al
estado realrias en la
l o
e a
)
l
l a
Cálcu
FIGUR
Se libede la fque seficticioND (x)
FIGUR
Aplica
Y com
Es decdintel extrem
ulo de Estruct
RA 12.50. CÁ
era en el pfigura, dispe obtiene 2 se da uy unitario
EST
RA 12.51. AP
ndo el teor
mo =1, re
cir, la líneen el esta
mo D del so
2Dδ
turas
ÁLCULO DE
punto D deponiendo eel estado
un desplaz2 1Dδ =
TADO 1
PLICACIÓN
rema de la
esulta
a de influeado 2, cuaoporte AD.
LÍNEAS DECON SO
el soporte en los lab1 equivale
zamiento e
DEL TEOREAXI
a reciprocid
encia del ando se da
)1(1 ⋅
467
E INFLUENCOPORTES IN
la coaccióios del coente al es
en D, segú
EMA DE REILES EN PÓ
dad:
ND(x) = f2
esfuerzo aa un desp
2 )( DNxf =
Ca
CIA DE ESFUNCLINADOS
n a esfuerrte las dos
stado real. ún la direct
CIPROCIDARTICOS
2 (x)
axil en el lazamiento
2)( DD x δ⋅
apítulo 12 –L
UERZOS AXS
rzo axil mes fuerzas aA continu
triz del sop
EST
AD AL CÁLC
pilar AD, eo unitario e
Líneas de Influ
XILES EN UN
ediante el daxiles ND uación, en porte AD,
TADO 2
CULO DE ES
es la defoeficaz con
uencia
N PÓRTICO
dispositivo(x), con loel estado
eficaz con
SFUERZOS
(12.24)
rmada deln ND(x) al
o o o n
)
l l
Cálcu
Debe unitaride ine
12.7.
En algmóvilerelativa2 ejessentidode puUIC71separakN/m.
Mientresfuerpues ccarga,
Considmóvil dlínea d
La línedescentanto preacció
ulo de Estruct
apreciarseo el puntolongabilida
TRENES
gunas estres que seas, como e de 300 kNo transverentes de constituid
adas en secada lado
ras que enrzo y la pocorrespond el proceso
deremos pdesde A hde influenc
FI
ea de influndente, depara una pón RB serí
turas
e que com E del sop
ad, no se d
DE CARG
ructuras coe mueven en el casoN cada unsal a este ferrocarril do por cuentido long de las car
n el caso sición de lde al punto es algo m
por ejemplhasta B, cocia de la re
GURA 12.52
uencia de le acuerdo posición gea:
mo las baporte BE y desplaza.
GA Y SOBR
omo los pa lo larg
del vehícuno separad
las ruedase aplica
atro cargaitudinal al rgas puntu
de una cala carga, uto de máxmás compl
o una vigaonservandoacción RB
2. LÍNEA DE
la reaccióncon el teoenérica de
468
arras son la barra E
RECARGA
uentes dego de la ulo pesadodos en sens de cadaun tren d
as puntualpuente 1,6
uales.
arga puntuuna vez dexima ordenlicado.
a AB sobro sus distadel tren de
E INFLUENC
n RB correorema de loel tren de
Ca
inelongablEF, que es
A REPART
carreteraestructura o de la IAPntido longita eje estánde cargas les de 25060 m y dos
ual móvil, eterminadanada de e
re la que sancias relae cargas.
CIA DE UN T
espondienteos trabajoscargas com
apítulo 12 –L
les, durans un punto
TIDA
tienen lugconserva
P11 de 600tudinal al p separadamás impo
0 kN sobrs sobrecarg
la determa la línea desta, en el
se trasladaativas y se
TREN DE CA
e a una cas virtuales mo la indic
Líneas de Influ
nte este mfijo por la
gar trenesando sus 0 kN, conspuente 1,2
as 2,0 m. Eortante dere el eje gas repart
minación dede influencl caso de
a un tren e trata de
ARGAS
arga vertices la líne
cada en la
uencia
movimiento condición
s de cargadistancias
stituido por20 m. y enEn el casoenominadode la vía,idas de 80
el máximoia, es fáciltrenes de
de cargasobtener la
cal unitariaa AB’. Pora figura, la
o n
a s r n o o
0
o l
e
s a
a r a
Cálculo de Estructuras Capítulo 14 –Cálculo Dinámico de Estructuras
577
a) CASO REAL b) MODELO DE MASAS CONCENTRADAS
c) MODELO DE MASAS DISTRIBUIDAS
FIGURA 14.15. MODELIZACIÓN MEDIANTE MASAS CONCENTRADAS Y DISTRIBUIDAS
El caso de masas concentradas que es el más usual y el que recogen los programas comerciales y puede resolverse:
1. En el dominio de la frecuencia, mediante superposición modal, lo que implica que la respuesta de la estructura es elástica y el método proporciona el valor máximo.
2. En el dominio del tiempo, mediante técnicas de integración paso a paso.
14.6.1. Modelos de elementos finitos
Un tercer método es el de discretizar el continuo de la estructura, mediante elementos finitos y calcular la respuesta de la misma en los nodos de dichos elementos. Con el auge del ordenador, los métodos de elementos finitos se han implementado en numerosos programas, pudiendo adaptarse el modelo a cualquier tipo de geometría.
14.7. CÁLCULO SÍSMICO DE LAS ESTRUCTURAS
Uno de los problemas de mayor interés en la ingeniería estructural es el diseño de estructuras que sean capaces de resistir la acción de los terremotos.
La mayor dificultad se encuentra en la definición de la magnitud e intensidad de los terremotos que debe resistir una estructura durante su vida útil.
Otra dificultad descansa en el hecho de que un análisis realístico de una estructura sometida a terremotos, debería tener en cuenta el comportamiento inelástico de la estructura en esa situación excepcional.
Cálculo de Estructuras Capítulo 14 –Cálculo Dinámico de Estructuras
578
14.7.1. Sistemas con un solo grado de libertad
Consideremos una estructura de un solo grado de libertad sometida a la acción de un acelerograma en la base de la misma producido por la acción de un terremoto.
(a) Sistema de un s0lo GDL (b) Modelo sólido libre
FIGURA 14.16. SISTEMAS CON UN SÓLO GRADO DE LIBERTA D
En este caso no existen fuerzas externas ���� actuantes sobre el sistema, sino una aceleración en la base del mismo ���� que produce una aceleración de la masa m con respecto a la base definida por �����, de forma que la aceleración total de la masa m es ���� �� ��� y por tanto la fuerza de inercia generada en dirección contraria a ���� �� ��� es:
�� � m ���� ������
(14.47)
Estableciendo en el diagrama de sólido libre de la figura 14.16�, la ecuación de equilibrio dinámico, se obtiene:
����� ����� ����� � 0
(14.48)
donde ahora no existen fuerzas externas directamente aplicadas sobre m, como se ha visto en los apartados anteriores.
Teniendo en cuenta �14.47� y que:
F���� � � ∙ ���� y F���� � c ∙ �� ���
e introduciendo los valores de �����, ����� y ����� en la ecuación �14.48� se obtiene:
m ���� �� ���� c ∙ �� ��� � ∙ ���� � 0
que se puede poner como: