DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES
REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS SOBRE UNA RECTA
11. Representar los números naturales en una recta.Se marcan dos puntos sobre la recta que representan los números 1 y 2. Llevandoeste segmento a la derecha obtenemos:
12. Representar los números enteros sobre una recta.Se marcan dos puntos sobre la recta que representan los números 0 y 1. Llevando estesegmento a derecha e izquierda tendremos los demás enteros.
–3 6 5 –1613. Calcular la parte entera de los números racionales: ––; ––; ––; ——; 3,25;–4,30; 7,68; –2,39; y representarla sobre la recta. 2 5 6 7
Las partes enteras son: –2; 1; 0; –3; 3; –5; 7; –3.
4. Representar el número real cuyo cuadrado es 3.Queremos calcular un número x tal que x2 = 3.
Para ello buscamos dos números naturales consecutivos tales que sus cuadradossean uno inferior a 3 y el otro superior a 3; estos son 1 y 2, ya que 12 < 3 < 22.
–3–5 3 7–2 10
–4 –2 21 3 4–3 0–1
21 4 87 9 103 65 11
Dividimos el intervalo [1, 2] en 10 partes:
Tomamos dos números con dos cifras decimales consecutivos de este intervalo
tales que sus cuadrados sean uno inferior a 3 y el otro superior a 3; estos son 1,7 y
1,8, ya que 1,72 < 3 < 1,82:
Dividimos el intervalo [1,7, 1,8] en 10 partes.
Tomamos dos números con dos cifras decimales consecutivos de este intervalo
tales que sus cuadrados sean uno inferior a 3 y el otro superior a 3; estos son 1,73
y 1,74, ya que 1,732 < 3 < 1,742.
Y así sucesivamente. Encajando estos intervalos obtenemos el número bus-
cado.
15. Representar el número real cuyo cubo es 9.Queremos calcular un número x tal que x3 = 9.
Para ello buscamos dos números naturales consecutivos tales que sus cubos sean
uno inferior a 9 y el otro superior a 9; estos son 2 y 3, ya que 23 < 9 < 33.
Dividimos el intervalo [2, 3] en 10 partes.
Tomamos dos números con dos cifras decimales consecutivos de este intervalo
tales que sus cubos sean uno inferior a 9 y el otro superior a 9; estos son 2,0 y 2,1,
ya que 2,03 < 9 < 2,13.
21 6 73 54 118 109
1,70 1,71 1,72 1,73 1,74 1,75 1,76 1,77 1,78 1,79 1,80
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
21 6 73 54 118 109
8 DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES
Dividimos el intervalo [2,0; 2,1] en 10 partes.
Tomamos dos números con dos cifras decimales consecutivos de este intervalo
tales que sus cubos sean uno inferior a 9 y el otro superior a 9; estos son 2,08 y 2,09,
ya que 2,083 < 9 < 2,093.
Y así sucesivamente. Encajando estos intervalos obtenemos el número bus-
cado.
16. Representar los siguientes números reales por el procedimiento de losintervalos encajados:
La expresión decimal de es 1,73205... Entonces se toma el intervalo [1, 2] y se
divide en 10 partes iguales:
Se toma el intervalo [1,7, 1,8] y se divide en 10 partes iguales:
Se toma el intervalo [1,73, 1,74] y se divide en 10 partes iguales, y así sucesi-
vamente.
La sucesión de subintervalos encajados [1, 2], [1,7, 1,8], [1,73, 1,74], etc., da lugar
al número buscado.
Observación: La forma de operar en este problema y en el problema 4
no es la misma, pues en aquel no es necesario conocer la forma decimal del
número buscado como en este, sino que hay que ir elevando al cuadrado:
esos números son los que producen los intervalos.
1,711,70 1,75 1,761,72 1,741,73 1,801,77 1,791,78
1,11,0 1,5 1,61,2 1,41,3 2,01,7 1,91,8
3
3 5, , . π
2,012,00 2,05 2,062,02 2,042,03 2,102,07 2,092,08
2,12,0 2,5 2,62,2 2,42,3 3,02,7 2,92,8
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES 9
Procediendo de la misma manera, y como = 2,2360, se toman los intervalos
[2, 3], [2,2, 2,3], [2,23, 2,24], etc., y el único número comprendido en todos los in-
tervalos es .
Análogamente, π = 3,141592..., siendo la sucesión de intervalos encajados que
da lugar a dicho número [3, 4], [3,1, 3,2], [3,14, 3,15], [3,141, 3,142], etc.
17. Representar aplicando el teorema de Pitágoras.
En una recta representamos los números enteros no negativos. A una altura de lon-
gitud 1 llevamos una paralela a la recta, uniendo el 0 con la intersección de la pa-
ralela y la prolongación del número 1 obtenemos .
Se forma así un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1, y por el teorema de Pitágo-
ras la hipotenusa es . Trazando un ángulo con centro en 0 y radio hemos
obtenido su representación sobre la recta. Prolongando hasta cortar con la pa-
ralela obtenemos otro triángulo rectángulo de catetos 1 y , y por el teorema de
Pitágoras su hipotenusa es .
Prosiguiendo de manera análoga obtendríamos todas las raíces cuadradas.
32
2
22
1
1
0 523 43
2
3
3,113,10 3,15 3,163,12 3,143,13 3,203,17 3,193,18
3,13,0 3,5 3,63,2 3,43,3 4,03,7 3,93,8
2,212,20 2,25 2,262,22 2,242,23 2,302,27 2,292,28
2,12,0 2,5 2,62,2 2,42,3 3,02,7 2,92,8
5
5
10 DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES
18. Corregir la siguiente expresión: «La desigualdad 3,26 > 3,5 es cierta por-que 26 es mayor que 5». Representa 3,26 y 3,5 en una recta.
La desigualdad es incorrecta, pues en el primer miembro el número que ocupa lasdecenas es 2 y es menor que el número que ocupa las decenas en el segundo miem-bro, que es 5.
Por tanto, 3,26 < 3,5.
19. Escribir numéricamente las siguientes cantidades y representarlas en unarecta.a) Siete con cinco euros.b) Siete con veinticinco euros.c) Siete con cincuenta euros.
a) 7,05 € b) 7,25 € c) 7,50 €
10. Escribir con letras los siguientes números:a) 1.030,06 b) 238,43c) 7,638 d) 65,0703
a) Mil treinta unidades, seis centésimas.b) Doscientas treinta y ocho unidades, cuarenta y tres centésimas.c) Siete unidades, seiscientas treinta y ocho milésimas.d) Sesenta y cinco unidades, setecientas tres diezmilésimas.
11. Escribir los siguientes números:a) Veintidós unidades, trece milésimas.b) Trescientas ochenta y cuatro unidades, seis milésimas.c) Cuarenta unidades, seiscientas treinta milésimas.d) Siete unidades, veinticinco centésimas.
a) 22,013 b) 384,006c) 40,630 d) 7,25
7,257,057 7,50
3,263 43,50
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES 11
12. ¿Cuántas unidades valen cada una de las cifras del número 32.568?
El 3, treinta mil; el 2, dos mil; el 5, quinientas; el 6, sesenta; y el 8, ocho.
13. Indicar un número racional no finito comprendido entre:a) 35 y 36 b) 63,2 y 63,3c) 15,52 y 15,6 d) 7,2 y 7,23e) 84,3 y 84,31
Cada apartado de este problema tiene infinitas soluciones, de las cuales sólo da-remos una, pues se verifica la siguiente propiedad:
a) b)c) d)e)
14. Ordenar de menor a mayor:
a)
b) 3,528; 3,52; 3,531; 3,509
a) Al igual numerador es mayor la de menor denominador.
b) 3,509 < 3,52 < 3,528 < 3,531. Como las unidades y las décimas son igua-les, nos fijamos en las centésimas y las milésimas.
15. Indicar cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes entre sí:
Si al multiplicar el numerador de una fracción por el denominador de la otra seobtiene el mismo valor, las fracciones son equivalentes.
12
15
4
5
4
5
12
15
652
142
326
71
2 816
25611
11
7
572
364
275
175= = = =; =
– –; ;
.;
–;
––
12
15
4
5
4
5
652
142
275
175
2 816
256
572
36411
11
7
326
71
12
15; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
– – . – – –
7
9
7
5
7
3
7
2 < < < .
7
5
7
3
7
9
7
2, , ,
84 301,) 7 21,
) 15 52,
) 63 27,)
35 4,)
12 DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES
Nota: Entre dos números racionales hay infinitos números racionales.
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS
11. Realizar las siguientes operaciones con números naturales:
a) 5 + 6 – 3 – 7 + 4 b) 8 – 6 / 3 + 4 · 2c) 62 + 102 / 5 – 33 · 2 d) (9 + 3)3 / 42 + 5 · [172 – 31 · (2 + 1) – 5]
a) 5 b) 14c) 2 d) 1.063
12. Realizar las siguientes operaciones con números enteros:
a) (–5)2 + 63 – (–8) / 2 – 33 b) 72 – (53)2 / 25c) a – b + p – q + a d) 5 + a – b + 7 – a
a) 218 b) –576c) 2a – b + p – q d) 12 – b
13. Las hojas de un libro miden 14 cm de ancho y 17 cm de largo. Si tiene132 hojas, ¿qué superficie ocuparía si las extendemos sobre un plano?
Superficie de una hoja: 14 · 17 = 238 cm2
Superficie total: 238 · 132 = 31.416 cm2
14. Si el volumen del libro del ejercicio anterior es de 4.760 cm3, ¿cuál es elespesor de cada hoja?
El espesor del libro es 4.760 / 238 = 20 cmDividiendo el espesor entre el número de hojas: 20 / 132 = 0,1515 cmObtenemos el espesor de cada hoja: 0,1515 cm = 1,5 mm
15. ¿A cuánto asciende la factura por la reparación de un vehículo en la que lamano de obra supone 348 €, las piezas cambiadas,852 €, y el IVA es del 16%?
El IVA es (348 + 852) · 16 / 100 = 192 €La reparación sale en total a 348 + 852 + 192 = 1.392 €
16. Plantear en una línea y resolver el siguiente problema: ¿Cuánto cuestavallar una parcela de 6 m, 25 m, 7 m y 24 m de lados si el metro de valla
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES 13
cuesta 4 €, y se tarda 16 horas en ponerla a 14 € la hora? ¿Cuál es el nom-bre de la figura geométrica que tiene la parcela?
Hay que sumar lo que cuesta el material y la mano de obra: (6 + 25 + 7 + 24) · 4 ++ 16 · 14 = 472 €La forma de la parcela es la de un trapezoide, por tener cuatro lados distintos.
17. La temperatura registrada a las 7:00 hor as de la mañana en Soria hasido 5 ºC bajo cero y a las 13:00 horas, 7 ºC. ¿Cuál ha sido el incremen-to de temperatura en ese tiempo?
7 – (–5) = 12 ºC
18. Poner un ejemplo de un número entero que al multiplicarlo por 2 resulte unnúmero más pequeño. ¿Cómo son los números que cumplen esa propiedad?
Cualquier número negativo.Por ejemplo, (–6) · 2 = –12 y –12 < –6
19. ¿Por qué número hay que multiplicar a dos números enteros cualesquierapara que los resultados coincidan?
Por cero.
10. En la antigua Mesopotamia,sobre el año 539 a.C., se produjo la invasiónpersa y en 1792 a. C. era gobernante Hammurabi.a) ¿Cuál de los dos eventos es más antiguo? b) ¿Cuánto tiempo transcurrió entre ambas fechas? c) ¿Cuántos años han transcurrido entre cada uno de los eventos y la
fecha de publicación de este libro?a) En 1792 a. C. era gobernante Hammurabi.b) –539 – (–1.792) = 1.253 añosc) 2.004 – (–1.792) = 3.796 años y 2004 – (–539) = 2.543 años
11. ¿Cómo explicas que Arquímedes naciera en el año 287 a.C. y muriera enel 212 a. C.? ¿Cuántos años vivió?
Porque esos años son antes de Cristo y matemáticamente son negativos.(–212) – (–287) = 75 años.
14 DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES
12. Aristóteles muere en 322 a. C. y Leonardo da Vinci muere en 1519 d. C.¿Cuántos años transcurrieron entre un fecha y otra?
1.519 – (–322) = 1.841 años
13. René Descartes (1596-1650) descubrió hacia 1619 la fórmula poliédricac + v = a + 2, donde v, a y c son el número de vértices, aristas y caras deun poliedro, conocida como fórmula de Euler.
a) ¿Cuántos años vivió Descartes? b) ¿En qué siglo nació?c) ¿Cuántos años conoció de ese siglo?d) ¿Cuántas aristas tiene un poliedro de 6 caras y 8 vértices? ¿Cómo se
llama?
a) 1.650 – 1.596 = 54 años b) Nació en el siglo XVI
c) Conoció 5 años del siglo XVI d) Tiene 12 aristas y es un dodecaedro
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Y REALES
11. Transformar los siguientes números racionales escritos en forma decimala la forma de fracción irreducible:
a) 6,84; 483,1; –83,652 b)
a)
b)
12. Comprobar que los números racionales periódicos de periodo nueve sepueden escribir sin periodo, resolviendo los siguientes ejemplos:
a) b)
− − − = −59 5
96
( )
6 329 632
9006 33
.,
− =
6 329 5 9 83 009 23 9, ; , ; , ; ,) ) ) )
− −
313
99
44 978
999
3 893
900
896 581
990;
.;
.;
.
−
171
25
4 831
10
20 913
250;
.;
.
− 905 637, 4 325, ;
) −45 023, ; 3 16, ;
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES 15
c) d)
13. Transformar los siguientes números racionales de la forma de fraccióna la forma decimal:
Dividiendo:
14. Expresar el resultado de las siguientes oper aciones, primero en formade fracción irreducible y a continuación en forma decimal:
a)b)c)
a)
b)
c)
15. Indicar si se transformasen los siguientes números racionales de la for-ma de fracción a la decimal, sin hacerlo, si estos serían decimales exac-tos, periódicos puros o periódicos mixtos:
Son decimales exactos cuando el denominador sólo tiene potencia de 2, de 5 ode ambos.
Son periódicos puros cuando el denominador no tiene potencias de 2 ni de 5.Son periódicos mixtos cuando el denominador tiene otros factores además de las
potencias de 2 o de 5.
Por consiguiente:Periódico puro, periódico puro, periódico mixto, decimal exacto, decimal exacto,periódico mixto, periódico puro, periódico puro.
67
43
8
17
71
15
1 632
128
83
625
7 835
6
83
3
43 128
11; ; ;
.; ;
.; ;
.− −
843
100
175 1
99
5 203 52
990
149
10
3 677
15024 513⋅ − − − + = =. .
,)
738 7
99
517
100
305 3
99
296 29
90
22 747
9 9002 2976
− − + − − − = =.
.,
625
100
625 6
99
625 62
90
4 127
6606 2530− − + − = =.,
8 43 1 75 5 203 14 9, , , ,⋅ − +7 38 5 17 3 05 2 96, , , ,− + −
) 6 25 6 25 6 25, , ,− +)
40 806 4 1 1 93, ; , ; ,) ) )
6 121
150
37
9
29
15
.; ;
239 23
924
− =
− − − = −8 300 83 009
90083 01
. ( . ),
16 DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES
16. Hallar el 8% del 20% de 2.000.
El 8% del 20% de 2.000 es 2.000 · 0,20 · 0,08 = 32
17. Hallar el 16% del 350/00 de 6.300.
El 16% del 35‰ de 6.300 es 6.300 · 0,035 · 0,16 = 35,28
18. En la factura del recibo del seguro del coche nos aparecen algunos nú-meros borrosos, ¿cuáles son y cuánto es la cantidad total a pagar?
OBLIGATORIO VOLUNTARIO OCUPANTES
Cuota 122,75 322,16 19,54Consorcio 4,05 6,38 0,93Impuestos 6%Subtotal
OBLIGATORIO VOLUNTARIO OCUPANTES
Cuota 122,75 322,16 19,54Consorcio 4,05 6,38 0,93Impuestos 6% 7,61 19,71 1,23Subtotal 134,41 348,25 21,7
19. Una moto tiene un precio de venta de 2.211,73 € con un descuento del 12%y unos impuestos por IVA del 16%. ¿Cuánto hay que pagar realmente?
2.211,73 – 2.211,73 · 0,12 = 1.946,32 € vale con descuento y sin IVA1.946,32 + 1.946,32 · 0,16 = 2.257,73 € hay que pagar realmente tras aplicar el 16 %de IVA
10. Se compran 10 kg de café por 45 euros. Tostarlos cuesta 8,95 euros, pro-duciéndose una merma de 1/5 de su peso. ¿Cuál será el precio de ventadel kilo de café para obtener un rendimiento del 12%?
El peso final es 10
1
510 8− ⋅ = kg
TOTAL 504,36 €
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES 17
El precio de coste es 45 + 8,95 = 53,95 €El precio de venta será el precio de coste más el beneficio:
53,95 + 53,95 · 12% = 53,95 + 53,95 · 0,12 = 60,42 €El precio por kilo es 60,42 / 8 = 7,55 €
11. Se compran 10 kg de café por 45 euros, más el 7% de IVA.Tostarlos cues-ta 8,95 euros, más el 7% de IVA, produciéndose una merma de 1/5 de supeso. ¿Cuál será el precio de venta del kilo de café,IVA incluido, para ob-tener un rendimiento del 12%?
El peso final es 8 kgEl precio de coste es 53,95 + 53,95 · 0,07 = 57,73 €El precio de venta será: 57,73 + 57,73 · 0,12 = 64,66 €El precio del kilo sin IVA es 64,66 / 8 = 8,08 €El precio de venta, IVA incluido, es: 8,08 + 8,08 · 0,07 = 8,65 €
12. Realizar las operaciones indicadas:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
1
25
8
27
16
9
7
9
3
5
27
2001
3
5
27
200
5
3
9
40
2
2: : :⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= ⋅ = ⋅ =
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − + ⋅ = − + =95
18
4
7
81
80
19
2
4
7
1 539
160
10 133
1 120
. .
.
− + −
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − + ⋅4
7
8
20
35
20
1
9
31
6
4
7
27
20
2
18
93
18
4
7
729
400
2 2
6
4
5
4
35
42
18
42
15
5
6
5
1
4
53
42
9
5
1
4
53
42
5
9
1
4
265
378
341
756−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= − = − ⋅ = − = − : :
53
2
4
3
7
9
3
52
3 22
−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
: :
− + −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅ + +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
7
2
5
7
4
1
95
1
6
2
3
2
5
4
5
6
3
73
6
5−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
:
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES18
13. Un grifo llena un depósito en 5 horas. Un segundo grifo lo hace en 5 ho-ras, 15 minutos, y un tercer grifo, en 5 horas, 36 minutos. ¿Cuánto tar-dan los tres juntos?
Como
es la parte de depósito que llenan los tres juntos en una hora
El tiempo empleado por los tres es
14. Una bañera se llena mediante tres grifos: el primero tardaría 3 horas, elsegundo la llenaría en 5 horas. ¿Cuánto tarda el tercero si los tres jun-tos emplean tres cuartos de hora?
En una hora llenaría de bañera.
Luego, en llenarla tarda de hora.
15. En un estanque de 2 m3 de capacidad una fuente vierte 28 litros en 9 mi-nutos y otra, 30 litros en 7 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará?
Las dos juntas arrojan cada minuto litros. El tiempo en arrojar los
2.000 litros será:
16. Tres empleados están haciendo el mismo trabajo. Cada uno de ellos, in-dividualmente, lo haría en 8 días,14 días y 11 días respectivamente. Si eltrabajo se paga a 531 €, ¿cuánto corresponde a cada uno?
En un día cada uno hace: 1/8, 1/14 y 1/11.
Los tres juntos: siendo x los días en que lo hacen los tres juntos,
días, correspondiéndole a cada uno:
616
177531
1
14132
616
177531
1
11168⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =€ €; .
616
177531
1
8231 ⋅ ⋅ = €;
x = 616
177
1
8
1
14
1
11
1+ + =x
;
2 000
466
63. : 4h30m 23s, .= aproximadamente
28
9
30
7
466
63+ =
5
4
4
3
1
3
1
5
4
5− − =
420
2391 45 26= h m s
1
5
4
21
5
28
239
420+ + =
5 15
21
45 36
28
5h m h h m h= = y
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES 19
17. Un reloj se retrasa 15 minutos diarios. Poniéndolo en hora a las doce enpunto, ¿qué hora será cuando marque las nueve y media?
En una hora retrasa
Cuando transcurra una hora marcará
Cuando marque la 1 habrá transcurrido
Luego, cuando marque las nueve y media serán
POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS
11. Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente natural:32 (–5)3 (–4)2 –44 172 (–1)2 (–1)3
9 –125 16 –256 289 1 –1
12. Expresar en forma racional las siguientes potencias de exponente entero:(–1)–3 2–1 (–3)–2 (–3)–3 (–2)–4 (–1)–2
1 1 –1 1–1 — — — — 12 9 27 16
13. Expresar en forma radical las siguientes potencias de exponente racional:(–3)1/3 51/2 2–1/2 (–3)–2/3 73/5 53/4 (–5)3/5
14. Calcular las siguientes potencias de base racional:
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
− −12
12
12
12
2 2 1 2 1 2
1
44
1
22
−−
−3 51
2
1
37 5 53
23
35 34 35 ( )
( )
91
2
96
959
3
59+
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
= = h 36m
96
95h
1
1
96
95
96− = h
15
24
1
96m h=
20 DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES
15. Efectuar: [3 · 2 · (–5)]3; [(–3) · (–2) · 5]2
–27.000 900
16. Simplificar: a2 · a3 · a4; b3 · b–2 · (–b)3; (87n)m
a9 –b4 87n·m
17. Simplificar: an / a3 a5 · a3 (a5)4
an–3 a8 a20
18. Calcular:
19. Expresar en notación científica: (–0,1)3· (–0,001)2 · (0,004)3 · (0,02)–3
(–10–1)3 · (10–3)2 · (4 · 10–3)3 · (2 · 10–2)–3 = –10–3 · 10–6 43 ·10–9 · 2–3106 = –8 · 10–12
10. Resolver y expresar el resultado en notación científica:a) 45,27 · 38,92 / 6,72 b) 0,000603 · 0,0021
a) 2,6218875 · 102
b) 1,2663 · 10–6
11. Calcular las siguientes raíces:a) b) c)
d) e) f)
a) 9 b) –3
c) 4 d)
e) 0,4 f) 180
12. Calcular el valor de las siguientes expresiones:a) b)
a) b) 6 73 8 10 23⋅ −
64 729 496 ⋅ ⋅ 0 0016 0 08, ,⋅
3
2
32 400. 0 0643 ,
278
3
16 −273 81
64 9 16
64
729; ; ; − a a
( ) ; ( ) ; ( ) ; 2 3 4 23
2 3 2 2
2 3
− −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
a a
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES 21
13. Extraer factores del signo radical:a) b) c)
d) e) f)
a) b) c)
d) e) f)
14. Introducir dentro del signo radical:
a) b) c) d)
e) f) g)
a) b) c) d)
e) f) g)
15. Realizar las siguientes operaciones con raíces:a) b)
c) d)
e)
a) No se puede simplificar. b)
c) d)
e)
16. Simplificar:
a) b)
a) b) a a a a a a a2 66 23 86 46 126 2⋅ = ⋅ = = a a a a a3 26 6 66⋅ = =
a a a a63 333⋅ a a a
23 3⋅
a b3 412
3 2 56 4 312 ⋅ ⋅ 5
90
a ab
a b6
3 24
2
⋅
3 2 53 4⋅ ⋅ 15 3: 5 3 6⋅ ⋅ 2 3 5+ −
2 3 3 2 9 2⋅ + ⋅ − = −( ) ( ) ( )a a a
1
a a
5 6 4a b
432
53 3 5843 . 75
( )3 2 3
3− +
−a
a
a 1a
a a
a
1
ab a5 246 25
3 8 73 5 3
a
ba
29
2
25 3 2a a 7 a
abc ab c d2 34 4 23
2 2
932
7
105
a
b 18 3a 49a
a b c d5 6 74
1283 8
22 DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES
17. Efectuar las siguientes operaciones:a) b)
c) d)
a)
b)c) 0
d)
18. Racionalizar:
19. Racionalizar:
a)
b)
c)
20. Una finca cuadrada tiene 1.369 ha de superficie. Se la tapia con una va-lla de 2 m de alta y 35 cm de ancha. Calcular el volumen de la tapia.
El lado del cuadrado mide el perímetro, 14.800 m, yel volumen de la tapia, 14.800 · 2 · 0,35 = 10.360 m3.
1 369 37 3 700. .= =hm m;
4 3
2 3 2
4 3
2 3 2
2 3 2
2 3 2
4 6 6
10
12 2 6
5−=
−⋅ +
+= + = +( )
2
5 3
2
5 3
5 3
5 3
2 5 3
25 3
+=
+⋅ −
−= − = −( )
1
3 2
1
3 2
3 2
3 23 2
−=
−⋅ +
+= +
a) b) c)1
3 22
5 34 3
2 3 2− +; ;
–
a) b) c) d) e) f)2
5
5
3 2 5
5
5 6
12
3 3 5
5
3 16
4
34 3 23 5
; ; ; ; ;
a) b) c) d) e) f)2
215
3 2
5
5 24 3
6 32 5
3
44 23 3 35; ; ; ; ;
3
2
3
2
3 2
3
3
2
13
6
3
22 2
x a
b
x
2
x a
b
x+ + = +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
3 3 2 3 5 2 2 9 2 15 2 2 2 4 22 2 3− ⋅ + = − + = −
4 3
278
32
1218
2
4
x a x
b
x+ + ( )4 5 125 5 5 2+ − + −x x
3 18 3 50 8− + 5 3 3 3 2 3− +
DE LOS NÚMEROS NATURALES A LOS REALES 23
TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN 195
Desviación típica
EN VARIABLES ESTADÍSTICAS CONTINUAS
Moda
Mediana
Varianza conjunta o covarianza
Coeficiente de correlación de Pearson
Recta de regresión
PROBABILIDAD
Regla de Laplace
En sucesos incompatibles
En sucesos compatibles
En sucesos independientes
En sucesos dependientes p A B p p AB
A∩( ) = ( ) ⋅ ( )
p A B p A p B
p p BBA
∩( ) = ⋅
( ) =
( ) ( )
( )
p A B p A p B p A B∪( ) = + − ∩( ) ( ) ( )
p A B p A p B∪( ) = +( ) ( )
p(A)casos favorables
casos posibles=
y y x xxy
x
− = −( )σσ 2
r x y
x y
= ⋅σσ σ
σ xy
ii
i n
i ix x y y f
N=
−( ) −( )=
=
∑1
M LF
F FL Li
Ni
i ii i= +
−−
−( )−−
−−1
2 1
11
M LD
D DL Li i0
1
1 21 1= +
+−( )−–l
σ =
−( )=
=
∑ x x f
N
i ii
i n 2
1
Ejercicios de Matemáticas para la ESO Juan José Armendáriz No se permite la reproducción total o parcial de este libro, ni su incorporación a un sistema informático, ni su transmisión en cualquier forma o por cualquier medio, sea éste electrónico, mecánico, por fotocopia, por grabación u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito del editor. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (Art. 270 y siguientes del Código Penal) © del diseño de la portada Paso de Zebra © de la realización de los textos, Juan José Armendáriz, 2004 © de las ilustraciones, Aurelia Sanz © Espasa Libros, S. L. U., 2012 Av. Diagonal, 662-664, 08034 Barcelona (España) www.planetadelibros.com Espasa, en su deseo de mejorar sus publicaciones, agradecerá cualquier sugerencia que los lectores hagan al departamento editorial por correo electrónico: [email protected] Primera edición en libro electrónico (PDF): abril de 2012 ISBN: 978-84-670-0796-1 (PDF) Conversión a libro electrónico: Newcomlab, S. L. L. www.newcomlab.com