1
Agar data berguna, pengamatan yangdiperoleh harus disusun dalambentuk yang lebih terorganisir.
Peringkasan data akan memudahkanpengambilan kesimpulan
Peringkasan data dapat menggunakanukuran pemusatan dan ukuranpenyebaran data
2
Kenapa Data Harus Diringkas?
Ukuran Pemusatan
Ukuran pemusatan merupakannilai tengah dari sebuah distribusidata
Ukuran pemusatan sering jugadisebut sebagai ukuran lokasipusat
3
PerbandinganUkuran Pemusatan
4
Kurva A Kurva B
Kurva C
Rata-rata Aritmetika Perhitungan rata-rata yang paling umum digunakan adalah
rata-rata aritmetika
Rata-rata aritmetika merupakan penjumlahan semua nilai
pengamatan dibagi secara langsung dengan jumlah
pengamatannya
Umumnya perhitungan dilakukan dari sampel, dan bukan dari
populasi. Sehingga hasil perhitungan merupakan statistik.
Bila rata-rata aritmetika dihitung dari sampel, disimbolkan
sebagai x-bar
Bila dihitung dari populasi, disimbolkan sebagai μ (dibaca:
myu)
5
Formula Perhitungan Rata-rata Aritmatika
Dari data yang tidak dikelompokkan :
Dari data yang dikelompokkan : Formula
Di mana :
x – bar = rata-rata sampel
∑ = jumlah dari…
f = frekuensi dari tiap kelas interval
x = nilai tengah tiap kelas interval
n = jumlah observasi dalam sampel
n
xfx
).(
6
X-bar = ∑ xi / n
Contoh Perhitungan Rata-rata Aritmetika dari Data Tidak Terkelompok Dari 10 buah generator, diamati jumlah hari di mana
generator tersebut harus diperbaiki. Data terdapat dalamtabel di bawah.
Hitunglah rata-rata aritmetikanya.
7
Generator 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Jumlah
hari
perbaikan
7 23 4 8 2 12 6 13 9 4
x-bar = (7+23+4+8+2+12+6+13+9+4)/10 = 8,8
Perhitungan Rata-rata Aritmatika dari DataTerkelompok
Rata-rata aritmatika dari data yang dikelompokkan :
8
x-bar = 136,5/40 = 3,4125
KelasFrekuensi
(f)Nilai Tengah
(X)f . X
1,5 - 1,9 2 1,7 3,42,0 - 2,4 1 2,2 2,22,5 - 2,9 4 2,7 10,83,0 - 3,4 15 3,2 483,5 - 3,9 10 3,7 374,0 - 4,4 5 4,2 214,5 - 4,9 3 4,7 14,1
40 136,5
Kelebihan dan Kelemahan Rata-rata Aritmatika Kelebihan :
Perhitungannya familiar dan jelas
Setiap set data hanya memiliki satu buah nilai rata-rata
Dapat digunakan untuk membandingkan beberapabuah set data
Kelemahan : Dipengaruhi oleh nilai ekstrim
Tidak dapat dioperasikan, bila terdapat open-endedclass group
9
Modus
10
Modus adalah nilai observasi yang memilikifrekuensi terbesar atau nilai observasi yang palingsering muncul dalam sebuah data set
Terdapat resiko menggunakan ukuran modus daridata tidak terkelompok, terutama bila dalamdistribusi data diketahui bahwa rata-ratahitungnya bernilai jauh di bawah modusnya
Hal ini menimbulkan pertanyaan, apakah benarnilai modus mencerminkan ukuran pemusatandistribusi data tersebut?
Modus dari Data Tidak Terkelompok
11
Observasi
0 2 5 7 15
0 2 5 7 15
1 4 6 8 15
1 4 6 12 19
Modus
a.Buat data arrayb.Tentukan Mo dari frekuensi data terbanyak
Modus dari Data Terkelompok
12
a. Tentukan Kelas Modus
b. Hitung Mo = Lmo + [ d1 / (d1 + d2) ] w
Lmo = Batas bawah kelas yg mengandung modus
w = interval kelas
d1 = selisih frek kelas modus dgn frek kelas sebelumnya
d2 = selisih frek kelas modus dgn kelas sesudahnya
Perhitungan Modus dari Data Terkelompok (1)
Kelas Interval Frekuensi
Frekuensi
Kumulatif
0.00 - 49.99 78 78
50.00 - 99.99 123 201
100.00 - 149.99 187 388
150.00 - 199.99 82 470
200.00 - 249.99 51 521
250.00 - 299.99 47 568
300.00 - 349.99 13 581
350.00 - 399.99 9 590
400.00 - 449.99 6 596
450.00 - 499.99 4 600
Jumlah Observasi 60013
Perhitungan Modus dari Data Terkelompok (2)
95,118
1995,99
)50)(38.0(95,99
5010564
6495,99
21
1
Mo
Mo
Mo
Mo
wdd
dLMo MO
14
Diketahui : Perhitungan Modus:
𝐿𝑀𝑂 =99,95
d1= 187 – 123 = 64
d2= 187 – 82 = 105
w = 50
Multimodal Distributions
Sebuah distribusi data dimungkinkanmemiliki lebih dari satu modus, yaitu bilaterdapat lebih dari satu buah pengamatanyang muncul dalam frekuensi yang sama
Bimodal adalah distribusi data yang memilikidua buah nilai modus
Frekuensi modus dalam bimodal dapat samaatau tidak sama
15
Kelebihan dan Kelemahan Modus
16
Kelebihan :
Dapat digunakan untuk data kualitatif
Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim
Dapat diaplikasikan untuk data yangmemiliki open ended class group
Kelemahan :
Bila terdapat lebih dari 1 modus
Bila tidak terdapat pengamatan yangmuncul lebih dari 1 kali
Median
Median merupakan sebuah nilaitunggal dari sebuah data set yangmengukur titik tengah data setelahdata dibuat dalam bentuk array
Separuh pengamatan terletak sebelumtitik tengah, dan separuh sisanyaterletak sesudah titik tengah
17
Median Data Tidak Terkelompok
Tentukan posisi median terlebih dahulu
Posisi median terletak pada : (n+1)/2 dari seluruhurutan data
Nilai median adalah nilai pengamatan pada posisimedian
Bila jumlah pengamatan genap, maka nilai medianmerupakan pembagian dari dua pengamatan dititik tengah tersebut dibagi dua.
18
Median dari Data Tidak TerkelompokItem data
dalam data
array
1 2 3 4 5 6 7
Nilai
observasi
4.2 4.3 4.7 4.8 5.0 5.1 9.0
Item data
dalam data
array
1 2 3 4 5 6 7 8
Nilai
observasi
86 52 49 43 35 31 30 11
19Median = (43+35)/2 = 39
Median Data Terkelompok
Langkah perhitungan median untukdata terkelompok :Tentukan posisi medianBuat frekuensi kumulatifnya untuk
menentukan kelas di mana medianterdapat
Tentukan besarnya interval kelasHitung median dengan menggunakan
formula median
20
Formulasi Median Data Terkelompok
m
Lw
mf
Fnm
2/~
21
m = median sampel n = total observasi (jumlah item) F = jumlah frekuensi tiap kelas sampai dengan kelas
sebelum median (kelas median tidak termasuk) fm = Frekuensi kelas median w = lebar interval kelas Lm = Batas bawah dari kelas yang mengandung median
Perhitungan Median Data Terkelompok (1)
Kelas Interval Frekuensi
Frekuensi
Kumulatif
0.00 - 49.99 78 78
50.00 - 99.99 123 201
100.00 - 149.99 187 388
150.00 - 199.99 82 470
200.00 - 249.99 51 521
250.00 - 299.99 47 568
300.00 - 349.99 13 581
350.00 - 399.99 9 590
400.00 - 449.99 6 596
450.00 - 499.99 4 600
Jumlah Observasi 60022
Perhitungan Median Data Terkelompok (2)
42.126~95,99)50)(529,0(~
95,9950187
99~
95,9950187
2012/600~
m
m
m
m
23
Kelebihan dan Kelemahan Median Kelebihan :
Nilai ekstrim tidak berpengaruh terhadap perhitungan
Mudah dimengerti dan mudah pula untuk dihitung
Dapat diaplikasikan meskipun terdapat open-ended class group (kecuali
bila median terdapat dalam kelas tersebut)
Dapat diterapkan pada data kualitatif
Kelemahan :
Karena median merupakan titik tengah data array, maka distribusi data
harus diurutkan terlebih dahulu. Akan menyulitkan bila melakukan hal
ini untuk data yang besar, tanpa bantuan komputer
Untuk mengestimasi pemusatan data, penggunaan rata-rata hitung
akan lebih mudah diaplikasikan dibandingkan dengan median
24
Pilihan PenggunaanUkuran Pemusatan
25
Bila distribusi data simetris gunakan rata-ratahitung
Bila data menggunakan timbangan tertentu
gunakan rata-rata tertimbang
Bila distribusi data memiliki skewness positif ataunegatif gunakan median
Bila terdapat banyak modus jangan gunakanukuran ini
Kuartil Membagi sederatan data 9yang sudah dikelompokkan)
terurut menjadi empat bagian yang sama.
Kelas kuartil
Q1 = n/4 → kuartil pertama
Q2 = 2n/4 = n/2 = Me → kuartil kedua
Q3 = 3n/4 → kuartil ketiga
Nilai kuartil
Bq = tepi batas kelas bawah pada kelas kuartil P = interval kelasfkq = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
fq = frekuensi pada kelas kuartiln = ukuran/jumlah sampel
Contoh Soal Hasil Produksi fi
30 – 34 2
35 - 39 8
40 - 44 20
45 - 49 10
50 - 54 4
Jumlah 44
Penentuan kelasQ1 = n/4 = 44/4 = 11Q2 = n/2 = 44/2 = 22Q3 = 3n/4 = 3(44)/4 = 33
Nilai Kuartil Q2 = Me = 42,5
Desil Membagi deretan data menjadi 10 bagian yang sama.
Rumus desil
Desil ke 1 = n/10
Desil ke 2 = 2n/10
Desil ke 3 = 3n/10
Desil ke 4 = 4n/10
Desil ke 5 = 5n/10 → Median
Desil ke 6 = 6n/10
Desil ke 7 = 7n/10
Desil ke 8 = 8n/10
Desil ke 9 = 9n/10
Dimana:Di = D1, D2, …., D9
Bd = Tepi batas kelas bawah kelas desilP = Interval kelasfkd = Frekuensi kumulatif sebelum
kelas desilfd = frekuensi kelas desiln = jumlah sampel
Contoh SoalHasil Produksi fi
30 – 34 2
35 - 39 8
40 - 44 20
45 - 49 10
50 - 54 4
Jumlah 44
Titik desil ke 7 = 7n/10 = 7(44)/10 = 30,8
Nilai desil ke 7 adalah ……
Persentil Membagi deretan data menjadi 100 bagian yang sama.
Rumus persentil
Persentil ke 1 = n/100
Persentil ke 2 = 2n/100
Persentil ke 3 = 3n/100
…………
Persentil ke 99 = 99n/100
Dimana:Pi = P1, P2, …., P99
Bp = Tepi batas kelas bawah kelas persentil
P = Interval kelas
fkp = Frekuensi kumulatif sebelumkelas persentil
fp = frekuensi kelas persentil
n = jumlah sampel
Contoh SoalHasil Produksi fi
30 – 34 2
35 - 39 8
40 - 44 20
45 - 49 10
50 - 54 4
Jumlah 44
Nilai persentil ke 1 & 99adalah ……
Titik persentil ke 1 = n/100 = 44/100= 0,44
Titik persentil ke 99 = 99n/100 =99(44)/100 = 43,56
Kasus
Di bawah ini terdapat kelompok data umurpenduduk sebuah kota dan frekuensinyauntuk tiap kelas. Berdasarkan datatersebut, hitunglah :
Modus
Median
Rata-rata Hitung
33
Kasus - Lanjutan
34
Kelompok Umur Frekuensi
47.0 – 51.9 4
52.0 – 56.9 9
57.0 – 61.9 13
62.0 – 66.9 42
67.0 – 71.9 39
72.0 – 76.9 20
77.0 – 81.9 9