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Curso: Lógica. Prof. José Seoane. 2007. (texto provisorio).
7. Lenguajes de orden uno: semántica
7.1 Introducción
Como se recuerda, el objetivo es elucidar la noción de ‘argumento deductivo” o
“lógicamente correcto’. Luego resulta singularmente valioso -como se discutió en el
caso proposicional- capturar la noción de “consecuencia lógica”; pero esta noción, tal
cual fue definida, es una noción semántica. Luego se hace necesario “interpretar”
nuestro lenguaje, es decir, proveer de “significado” a sus fórmulas. La tarea, dada la
mayor riqueza del lenguaje, es notablemente más sofisticada que en el caso
proposicional. La estrategia expositiva, no obstante, será análoga: primero se ofrece una
aproximación intuitiva y luego se precisan, en términos formales, dichas ideas.
7.2 Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista
intuitivo)
En esta sección se explica –en 7.2.1 y 7.2.2- en términos intuitivos y generales
como se confecciona una semántica para un lenguaje de orden uno. Se espera que tales
desarrollos permitan alcanzar una cierta familiaridad con las nociones básicas de tal
construcción; a los efectos de contribuir al logro de ese objetivo se presentan –en 7.2.3-
algunos ejemplos de “construcciones” semánticas informales.
7.2.1 Interpretación (Primera parte)
En primer lugar, conviene recordar que los conectivos siguen manteniendo su
interpretación habitual y los paréntesis continúan cumpliendo su papel de signos de
puntuación. Así pues se debe atender al resto de categorías de símbolos del alfabeto.
Un razonable punto de partida puede ser la interrogación siguiente: ¿qué
significan las variables de individuo?, ¿cómo interpretarlas? . Estas variables “varían”
sobre individuos. Pero ¿qué entidades son estos “individuos”? La respuesta a esta última
interrogante debe ser provista por la interpretación, es decir, para interpretar el lenguaje
en cuestión se debe decir cuál es el universo de individuos al que nos referiremos. Luego
el primer paso en la tarea de proveer una interpretación para el lenguaje consiste en
definir cuál es el dominio de la interpretación, es decir, el conjunto de individuos sobre
el cual toman sus valores las variables. El dominio de la interpretación puede ser, por
ejemplo,ℵ o ℜ. La única restricción que se asumirá es que no sea vacío.
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Lógica y argumento – J.Seoane 181
Las constantes de indiviudo, como se dijo, funcionan, para continuar con la
analogía con el lenguaje natural, como nombres propios. Esto quiere decir que mientras
una variable “vk ” puede, en principio, denotar a cualquier individuo del dominio –si se
ha elegido ℵ como dominio, a cualquier número natural-, las cosntantes de individuo
tendrán fija su denotación -por ejemplo, podemos usar la constante “c1” para denotar al
número tres. Es decir, interpretar una constante quiere decir asignarle a dicho símbolo
un individuo específico del dominio de la interpretación.
Las letras de predicado -sean monádicas, sean poliádicas1- deberán corresponder
a relaciones de igual aridad entre individuos del dominio. Por ejemplo, si se desea
interpretar la letra de predicado “R2” y se ha definido el dominio como ℵ, suinterpretación podría ser la relación menor o igual entre naturales. La interpretación de
R2 en tal caso luciría luego así
{<n,m>: <n,m>∈ℵxℵ y n≤m}.
Es decir, interpretar una letra de predicado n-aria quiere decir asignarle una relación
n-aria en el dominio de la interpretación.En el caso de lenguajes con el símbolo de igualdad, la interpretación del símbolo
de igualdad “≈” es la previsible; siguiendo con el ejemplo anterior, se trataría del
conjunto de pares ordenados de números naturales donde la primera y la segunda
proyección del par son el mismo número.
Las letras funcionales se interpretarán atribuyéndoles funciones de igual aridad
en el dominio. Por ejemplo, siguiendo con el mismo dominio, podría interpretarse “f 2”
como el producto entre naturales. Es decir, la interpretación de “f 2” sería una función
que va de ℵxℵ en ℵ y asocia, con cada par de naturales m y n, el resultado de
multiplicar m por n.
Como seguramente el lector ya habrá advertido, la interpretación debe tomar en
cuenta exclusivamente los símbolos del lenguaje particular; por ejemplo, si el lenguaje
posee dos símbolos de predicado (R11, R2
1) , dos símbolos funcionales (f 2, g2) y un
1
Se dice que una letra de predicado es “monádica” si es del tipo R1k
, es decir, “exige” un solo términopara convertirse en una fórmula; se dice que es “poliádica” en otro caso, es decir, “exige” dos o más
términos.
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Lógica y argumento – J.Seoane 182
símbolo de constante (c5), la interpretación del mismo deberá atribuir a R11 una relación
unaria y a R21 una relación binaria, a f 2
1 y a f 2
2 funciones binarias y un individuo del
dominio a c5. Esta “porción” del lenguaje -que varía de un lenguaje de primer orden a
otro- se denomina a veces “descriptiva”; en contraposición, los símbolos lógicos están
presentes en todo lenguaje de primer orden.
El caso de los conectivos -como se señaló antes- mantienen su interpretación
habitual. El caso de los cuantificadores, desde el punto de vista intuitivo, es muy
simple.
El cuantificador universal refiere a todos los individuos del dominio, es decir,
∀v1 R1v1
quiere decir que todos los individuos del dominio poseen la propiedad R1-en adelante,nos ahorraremos los superíndices si no afectan la lectura de la letra de predicado.
Siguiendo con el ejemplo de arriba, si se interpreta “R1” como la propiedad ser primo, la
fórmula de arriba afirmaría que todos los números naturales son números primos.
El cuantificador existencial refiere, indeterminadamente, a algún individuo del
dominio, es decir,
∃v1 R1v1
quiere decir que al menos un individuo del dominio posee la propiedad R1; siguiendocon el ejemplo, aseveraría que al menos un número natural es número primo.
Entonces, desde el punto de vista intuitivo, a los efectos de interpretar un
lenguaje de orden uno –dado que la interpretación de conectores y cuantificadores se
mantiene invariable- basta con :
a) fijar un dominio de interpretación -esto es, definir un conjunto no vacío-;
b)
atribuir a los símbolos de constantes de ese lenguaje -si los posee- individuosdeterminados del dominio;
c) atribuir a las letras de relación de ese lenguaje -si las posee- relaciones de igual
aridad en ese dominio y
d) atribuir a las letras funcionales de ese lenguaje -si las posee- funciones de igual
aridad en ese dominio.
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Lógica y argumento – J.Seoane 183
Como los símbolos en que puede diferenciarse un lenguaje de orden uno son los
descriptivos, alcanzará (para individualizar un lenguaje) con indicar cuáles de tales
símbolos son los que forman parte de su vocabulario. De modo que se podría, por
ejemplo, individualizar un cierto lenguaje L1 describiendo su vocabulario del modo
siguiente:
dos letras de constante: c1, c2 ;
una letra de predicado binario: R2;
una letra de función unaria: f 1.
Sólo a los efectos de fijar ideas, si se pidiese una interpretación para este
lenguaje L1 se podría -intuitivamente- resolver el problema así: sea ℵ el dominio deinterpretación -es legítimo hacerlo pues, obviamente, ℵ≠∅-, sea c1 el 0 y c2 el 1 -es
legítimo, pues ambos son naturales, es decir, pertenecen al dominio-, sea R2 la relación
menor estricto definida entre naturales -es decir, una relación en el dominio de la
interpretación- y sea f 1 la función unaria sucesor, es decir, la función que, para cada
n∈ℵ, da como resultado n+1 -es legítimo, pues para cada n∈ℵ, da un cierto j∈ℵ,
donde j=n+1.
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Lógica y argumento – J.Seoane 184
La pregunta obvia es, dada la interpretación del lenguaje, ¿cómo se interpretan
las fórmulas del mismo? Pues si el interés de la teoría lógica es capturar la relación de
consecuencia (en ese lenguaje), deberíamos ser capaces de decidir, interpretado así el
lenguaje, acerca de la verdad o falsedad de sus fórmulas. Trataremos tal desafío en la
próxima sección.
7.2.2 Interpretación (Segunda parte)
En primer lugar, resulta obvio que, respecto de ciertas fórmulas, se puede decidir
sobre su verdad o falsedad una vez que se realiza la operación semántica descripta en la
sección anterior. Tómese el lenguaje L1 y asúmase la interpretación sugerida hacia el
final de 7.2.1, considérese las dos fórmulas siguientes de L1 :
7.1 Problemas y tareas1. Si su dominio de interpretación es el conjunto de números naturales. Defina
interpretaciones posibles para las siguientes letras de predicado:
a.
R11
b.
R12
c.
R13
d.
R21
e. R22
f. R23
2. Si su dominio de interpretación es el conjunto de números enteros. Defina interpretaciones
posibles para las siguientes letras de función:
a.
f 11
b.
f 12
c.
f 13
d. f 21
e. f 22
f. f 23
3. Proponga un lenguaje de orden uno seleccionando letras de predicado y letras de función
de las listas de arriba. Construya una interpretación para el mismo. Si encuentra
dificultades, consulte la sección 7.3.
4.
Sea L5 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R21 ,R2
2 y dos
constantes: c1, c2. Construya una interpretación para tal lenguaje. Si encuentra dificultades,
consulte la sección 7.3.
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i) ∀v1∃v2 R2 v2v1
ii) ∃v1∃v2 R2v1v2.
A la luz de la interpretación anterior, resulta claro que i) es falsa: no es cierto que
para todo natural exista un natural menor estricto que él, pues no hay ningún natural
menor estricto que 0. En cambio ii) es verdad, pues es cierto que existe al menos un
natural que es menor estricto que algún natural: digamos el 0 respecto del 1.
Adviértase que tanto en el caso de i) como en el caso de ii), dada la
interpretación del lenguaje antes ofrecida, no ha existido ninguna dificultad para
determinar su valor de verdad. Podríamos preguntarnos si esto es cierto para cualquier fórmula.
Supóngase ahora que se debe responder, para la interpretación dada, cuál es el
valor de verdad de la fórmula de L1 siguiente:
iii) R21c2v2.
Parece que la respuesta no puede darse, pues no se sabe qué valor denota la
variable. Lo que expresa iii) es que 0 es estrictamente menor que el individuo al cual
refiere v2. Mientras no se sepa cuál es el individuo denotado por esta variable lapregunta sobre el valor de verdad de iii) no puede responderse. Obsérvese que aquí no
basta la interpretación construida. Otro ejemplo puede ser
iv) R21v3v4.
Tampoco es posible determinar el valor de verdad de iv). El problema surge, en ambos
casos, a partir de una limitación básica: los términos no quedan interpretados y, luego,
las fórmulas no poseen significado.
Quizá ayude a percibir más nítidamente esta situación notar que, por ejemplo, siasumimos como se dijo arriba que la letra funcional “f 1” denota la función sucesor,
respecto de
v) f 1 v3
no puede determinarse qué número natural denota, hasta tanto no se sepa qué número
denota la variable. En cambio
vi) f 1c1
, dada la interpretación de la constante ofrecida antes, es obvio que este término denotael número 1.
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Si se comparan i) y ii) con iii) y iv) quizá el lector sospeche ya dónde radica la
diferencia respecto de las fórmulas: en i) y ii) no ocurren variables que no caigan bajo
el alcance de algún cuantificador ; en iii) y iv), en cambio, sí ocurren variables que no
son alcanzadas o gobernadas por ningún cuantificador . Estas últimas ocurrencias se
denominan libres; las que son alcanzadas o gobernadas por algún cuantificador se
denominan ligadas. Este contraste resulta muy intuitivo si pensamos en la información
semántica que aporta la, por así decir, acción cooperativa del cuantificador y la variable
respectiva en el caso en que el primero “liga”, “alcanza” o “afecta” a la segunda. Por
ejemplo,
vii) ∀v1R1v1
afirma que todos los individuos tienen la propiedad R1. Peroviii) ∀v1R1v2
ciertamente no dice lo mismo, ya que el trabajo cooperativo aludido no se produce. Una
fórmula sin ocurrencias libres de variables (o, más directamente, sin variables libres) se
denomina cerrada; en otro caso se denomina abierta.
Más adelante ofreceremos una definición precisa de estos conceptos; por ahora
estos desarrollos serán suficientes.
La diferencia entonces entre fórmulas cerradas y fórmulas abiertas en esteaspecto podría resumirse en el éxito (fracaso) de las primeras (segundas) en términos de
significatividad. Gruesamente, las primeras poseen significado y las segundas carecen
del mismo, una vez especificado el significado de las diversas categorías sintácticas
(exceptuando las variables).
¿Cómo enfrentar pues el problema del significado de las fórmulas abiertas?
Rápidamente podría responderse así: “haciendo” denotar a todos los términos que
ocurren en la fórmula. Para solucionar el problema de forma radical, esto es, para quetoda fórmula adquiera un valor de verdad, es necesario dotar de significado a todo
término del lenguaje. Lograr esto –una vez que se ha definido una interpretación como
la de arriba- requiere una sola operación adicional: asignar valores a todas las variables
de individuo del lenguaje. Por ejemplo, es claro que si asignamos a vi el número natural
i-1, entonces iii) y iv) son satisfechas para esa asignación por la interpretación
anteriormente ofrecida de los símbolos del lenguaje. ¿Por qué? Porque 0 es menor
estricto que 1 y 2 es menor estricto que 3. Ahora si asignamos a v i el número natural i-2,entonces iii) no es satisfecha (ya que 0 no es menor estricto que 0) mientras iv) sí lo es
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(ya que 1 es menor estricto que 2). Se tiene entonces que iii) y iv) son satisfechas para
algunas asignaciones de valores a las variables y para algunas no lo son. Esto es, que iii)
y iv) queden interpretadas depende de que se establezca la asignación de valores a las
variables. En síntesis, para que todas las fórmulas adquieran significado es necesario
ofrecer una interpretación como la ejemplificada arriba y, además, interpretar las
variables. La próxima sección está orientada –como se prometió- a familiarizar al lector
con los conceptos antes expuestos.
7.2.2 Ejemplo en detalle de interpretación
Seguramente el lector recuerda que el alfabeto de todo lenguaje de orden uno
posee un sobconjunto de símbolos comunes y un subconjunto de símbolos específicos,
que varía según el lenguaje particular de que se trate. Luego a los efectos de caracterizar
un lenguaje de orden uno L alcanza con describir el segundo subconjunto de símbolos.
Sea pues L2 un lenguaje de orden uno que cuenta con
Constantes: c1 ;
Letras de predicado: R11, R1
2 , R2
1 ;
Letras de función: f 11 , f 2
1 .
La interpretación de este lenguaje atribuye (y por eso no lo especificaremos en
los casos siguientes) los significados habituales a los símbolos lógicos. Si estamos
interesados en que toda fórmula de L2 adquiera un significado se construye la
interpretación siguiendo estos pasos.
Primero fijamos un dominio de interpretación. Pongamos en este caso ℵ -como
se recuerda la única condición que debe cumplir es que se trate de un conjunto no vacío.
Para fijar ideas podríamos escribirlo así:
Dom=ℵ.Establezcamos ahora el significado de la constante individual –como
seguramente el lector advierte no hay necesidad de comenzar resolviendo el significado
de ésta y no el de, por ejemplo, las letras de función. Dado el dominio, la constante que
tenemos deberá denotar un objeto de ese dominio, a saber, un número natural. Sólo para
fijar ideas podemos expresarlo así (la “flecha ondulada” relaciona, en un sentido
puramente intuitivo y provisional, el elemento lingüístico con su significado):
c1 ≈> 0
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Luego definimos el significado de las letras de predicado. Como se trata de dos
letras de predicado unarias y una binaria, debemos definir dos relaciones unarias en ℵ,
es decir, dos subconjuntos deℵ y asociarlos con las letras de predicado unarias y una
relación binaria, es decir, un subconjunto de ℵxℵ, y asociarla con la letra respectiva .Podríamos plantear una posible atribución de significados así:
R11 ≈> {x: x∈ℵ y existe y∈ℵ tal que 2y=x}
R12 ≈> {x: x∈ℵ y no existe y,z∈ℵ, y>1, z>1 tal que yz=x}
R21 ≈> {<x,y>: x,y∈ℵ y x<y}
Luego caracterizamos el significado de las letras de función. En este caso existen
dos letras de función. A la letra de función unaria debemos asociarle una función unaria
de ℵ en ℵ y a la letra de función binaria una función de ℵxℵ en ℵ. Por ejemplo
f 11 ≈> f 1
1 (x) = x
2 ;
f 21 ≈> f 2
1(x,y)=xy.
Cualquier fórmula cerrada de L1 posee un significado bajo esta interpretación.
Por ejemplo
∀v1 (R21c1v1 → R2
1v1f 1
1v1)
es falsa –bajo esta interpretación. Esta fórmula afirma que, si un número natural es
mayor que cero, entonces su cuadrado es mayor que él. Esto no es cierto, pues 12=1.
Si se desea que toda fórmula posea significado –y no sólo las fórmulas cerradas-
entonces se le asigna a cada variable un elemento del dominio i.e. un número natural.
Por ejemplo
vi ≈> i+5.
Luego una fórmula como
R11 v3
es verdadera.
Las ideas intuitivas introducidas en 7.2.1 y 7.2.2 y ejemplificadas en esta sección
se precisan y desarrollan a partir de la sección 7.3.
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7.3 Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista
formal)
Esta sección se divide en tres sub-secciones. La primera está destinada a ofrecer
la caracterización precisa de los conceptos de estructura-L y asignación, es decir, a
definir rigurosamente lo que ha de entenderse por interpretación (de un lenguaje de
orden uno). Las otras dos se dedican, respectivamente, a estudiar cómo se interpretan los
términos y las fórmulas del lenguaje.
7.3.1 Interpretación = Estructura + Asignación
Tornar más precisas las ideas intuitivas antes expuestas es una operación
exigente. Para facilitar la comprensión de la misma puede resultar útil dividir tal tarea
en diversas etapas. En primer lugar, el interés estará centrado en la interpretación de los
símbolos que se convino arriba pertenecen a la “porción descriptiva” del lenguaje. Es
decir, constantes, letras de relación y letras de función.
7.2 Problemas y tareas
1.
Sea L6 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R21 ,R22.Construya una interpretación para tal lenguaje.
2. Sea L7 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de función: f 1, f 21
,f 22.
Construya una interpretación para tal lenguaje.
3. Sea L8 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de función: f 1, f 21
,f 22 y dos
constantes: c1, c2. Construya una interpretación para tal lenguaje.
4.
Sea L9 un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R21 ,R2
2 y
una constante: c1. Construya una interpretación para tal lenguaje.
5.
Sea L10
un lenguaje de orden uno que posee tres símbolos de relación: R1, R
2
1
,R
2
2 ,
dos símbolos de función: f 1, f 2 y una constante: c1. Construya una interpretación para
tal lenguaje.
6. Para cada uno de los cinco lenguajes referidos arriba, construya dos fórmulas
verdaderas y dos fórmulas falsas (en las interpretaciones respectivas que ha
construido). Obviamente, tales fórmulas deben ser cerradas.
7.
Para cada uno de los cinco lenguajes referidos arriba, construya cuatro fórmulas
abiertas. Dotando de interpretación a las variables logre, para cada caso, que dos de
ellas sean verdaderas y dos de ellas falsas (en las interpretaciones respectivas que ha
construido).
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Como se recordará para efectuar tal tarea debía proveerse un conjunto no vacío,
elementos de ese conjunto y relaciones y funciones definidas en el mismo,
respectivamente. A veces se denomina estructuras a objetos como éstos, a saber: un
conjunto con elementos “distinguidos” y funciones y relaciones definidas sobre el
mismo. En particular, dado un cierto lenguaje L se denominará realización de L o
estructura-L una construcción conjuntista como la descrita que “interpreta” el lenguaje
L. Expresado formalmente.
Definición 7.1 (Estructura-L)Sea L un lenguaje de orden uno. Se denomina
una realización de L o una estructura-L a una estructura compuesta por:
- un conjunto no-vacío A denominado dominio de la realización o estructura-L A ;
-para cada símbolo de constante c j de L, la interpretación del mismo se denota c j* A
y es
un elemento de A;
-para cada letra de función f n de L, la interpretación del mismo se denota f n* A∈A y es
una función de An en A;
-para cada letra de relación Rn de L, la interpretación del mismo se denota Rn*
A
y es unarelación n-aria en A, es decir, Rn*
A ⊆A
n.
En el caso de lenguajes con igualdad, la interpretación de la igualdad se denota
≈* A
y es el conjunto {<x,y>∈M2: x=y}.
Hablando en forma intuitiva, véase que lo que “aporta” la estructura A esa) el dominio A de objetos de los cuales “hablan” las fórmulas del lenguaje;
b) a cada símbolo de constante, le da un objeto de A;
c) a cada letra de relación n-aria, le da una relación n-aria en A;
d) a cada letra de función n-aria, le da una función n-aria en A.
Como puede apreciar el lector, la estructura hace el trabajo de, digámoslo así, la
primera parte de la labor interpretativa desarrollada en el enfoque intuitivo de la secciónanterior –en la sección 7.2.1.
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Dicho directamente, la estructura A otorga significado a una serie de símbolos del
alfabeto y, consecuentemente, a una serie de términos del lenguaje. Por ejemplo, dada
una cierta estructura-L A ,y si las expresiones
f 1c1
y
f 2f 1c2c3
son términos de L, entonces quedan perfectamente definidos los individuos de A
denotados por los mismos.
Pero, como se discutió en la sección anterior, no alcanza tal construcción para
que quede asegurado el significado de todos los términos y, consecuentemente, de todas
las fórmulas de L. Cuando es éste, precisamente, el objetivo, debe precisarse cómo dar
significado a todos los elementos de TER(A). La solución, desde el punto de vista
intuitivo, consiste (como se dijo) en atribuir significado a todas las variables del
lenguaje. La idea es construir entonces una función que hace ese trabajo: a cada variable
de individuo del lenguaje le asigna un objeto del dominio de la estructura –a estas
funciones se les denominará asignaciones. Formalmente
Definición 7.2 (Asignación) Sea A una estructura-L. Sea V el conjunto de las
variables de individuo de L. Se denomina una asignación I a una función que asigna a
cada variable de L un individuo de A, es decir, I:V →A.
Luego, hablando rápidamente, puede entenderse por una interpretación de L el
par formado por una estructura-L A y una cierta asignación I. Esquemáticamenteexpresado
Interpretación = Estructura + Asignación
Una interpretación AI –la motivación para la elección notacional es obvia-, dado
un término t cualesquiera, da como interpretación del mismo un objeto del dominio A y,
dada una fórmula, satisface o hace V o F a la misma. Esta síntesis supone una
simplificación brusca de algunos delicados problemas conceptuales; en especial,
aquellas cuestiones vinculadas con la caracterización de la verdad, no serán atendidas en
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esta exposición rápida de la semántica clásica de los lenguajes de orden uno. Hasta
donde alcanzo a comprender, tal simplificación no produce equívocos técnicos; en este
modesto libro introductorio es todo lo que aspiro al respecto. El lector interesado puede
consultar la valiosa bibliografía que se ocupa del tema2.
Estudiemos v) -que se señaló como un caso de “insuficiencia” de la sola
estructura para determinar su referencia. Supongamos que A=ℵ, f 11
es interpretada por
la función sucesor i.e. f 11*
A (x)=x+1 (con x∈ℵ) y la asignación I se define así I(v j)=j.
Luego
f 11v3
denota el sucesor de 3, es decir, 4 –porque f 11*
A (I(v3))= f 1
1* A
(3)=3+1=4 .
Un raciocinio análogo se hace para las fórmulas. Tomemos el ejemplo iv) dearriba,
R21
v3v4,
si R21 es la relación menor estricto, entonces si I(v j)=j, parece claro que lo que afirma la
fórmula es cierto ya que <I(v3), I(v4)>∈ R21*A
, es decir, <3, 4)>∈ R21*A
, esto es, 3< 4.
Estas últimas apreciaciones son aún de naturaleza intuitiva pero sugieren en forma
precisa el camino de la formalización. Corresponde ahora ofrecer definiciones más
estrictas. Se enfoca primero el caso de los términos y luego el de las fórmulas.
7.3.2 Interpretación de términos
No parece difícil definir cómo se comporta una interpretación AI respecto de
términos. Esta definición puede lucir así 3
Definición 7.3 (Interpretación de términos) Sea A una estructura-L, sea I una
asignación sobre A, sea t un término cualesquiera de L , los ti (con 1≤i≤n) son términos
de L y el superescrito * A
adicionado a un símbolo del alfabeto denota el objeto que la
estructura A otorga a dicho símbolo. Luego:
a) si t≡vk (k ∈ℵ), AI(t)=I(t)=I(vk );
b) si t≡c j (j∈ℵ), AI(t)=c j* A
.
c) si t≡f n jt1...tn, AI(f n
jt1...tn)= f n
j* A AI(t1) ... AI(tn).
2 La noción de verdad en lenguajes formalizados fue introducida por Tarski en Tarski [1935]. Una
discusión importante sobre su importe filosófico puede verse en Nidham, Asimismo una revisión
revolucionaria de las ideas tarskianas puede leerse en Etchemendy [1991]. En este texto hemos seguido,
desde el punto de vista técnico, un enfoque ligeramente diverso al original –véase, por ejemplo, Manzano,M. [1989].3 Se sigue en la exposición de las nociones técnicas, básicamente, a Manzano, M. [1989].
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Adviértase que aquí, directamente, la interpretación conduce a la denotación del
término, es decir, ofrece el elemento del dominio al cual el término denota.
7.3.3 Interpretación de fórmulas
Como se discutió antes, desde el punto de vista intuitivo, para poder dar
significado a la totalidad de las fórmulas de un lenguaje de orden uno es necesario
atribuir valores a las variables libres que intervienen en ella. Usaremos para ello, como
era de esperar, el concepto de asignación. Lo que corresponde es definir rigurosamente
el resultado de aplicar una interpretación AI a una fórmula de L. Pero antes de hacerlo
deberemos introducir un concepto técnico: el de asignación variante. El mismo se
define así:
Definición 7.4 (Asignación variante) Sea I una asignación i.e. I:V →A. La
asignación variante Ixa se define así:
Ixa =(I-{<x,I(x)>})∪{<x,a>}.
La idea es que la asignación variante se comporta igual que I en todos los casos,
excepto (eventualmente) en que atribuye a la variable x el objeto a∈A.
Hagamos más explícito el trabajo de la asignación variante. Supongamos que I
se comporta de modo tal de dar a cada vi el número i. Iv43 es, obviamente, una
asignación variante. La situación puede describirse gráficamente así:
I(v1) = 1 = Iv43(v1)
I(v2) = 2 = Iv43(v2)
I(v3) = 3 = Iv43(v3)
I(v4) = 4 ≠ 3 = Iv43(v4)
I(v5) = 5 = Iv43(v5)
:
:
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Lógica y argumento – J.Seoane 194
La definición prometida que permite interpretar toda fórmula del lenguaje puede lucir
luego así:
Definición 7.5 (satisfacción) Sea A una estructura-L. Sea I una asignación i.e. I:
V →A. . Diremos que la interpretación satisface una fórmula ϕ -se nota AI sat ϕ- si1) a) Sea ϕ∈Ato y F≡Rk
j t1t2...tk -k ∈ℵ* , Rk
j es una letra de relación de L , t1, t2, ... ,
tk ∈TER(A) .
AI sat F si y solamente si:
<t1* AI
,...,tk * AI
>∈Rk * AI
;
b) Sea ϕ∈Ato y -si el lenguaje es un lenguaje con igualdad- ϕ≡t1≈t2 -donde
t1,t2∈TER(A). Entonces
< AI> sat t1≈t2 si y solamente si
t1* AI
= t2* AI
.
2) Sea ϕ ≡¬G, entonces
AI sat ϕ si y solamente si no AI sat G, es decir, la interpretación AI no satisface la
fórmula G;
3) Sea ϕ≡(G∧H), entonces
AI sat F si y solamente si AI sat G y AI sat H ;
4) Sea ϕ≡(G∨H), entonces
AI sat ϕ si y solamente si AI sat G o AI sat H;
5) Sea ϕ≡(G→H), entonces
AI sat ϕ si y solamente si no AI sat G o AI sat H;
6) Sea ϕ≡(G↔H), entonces AI sat ϕ si y solamente si AI sat G y AI sat H o no AI sat G y
no AI sat H;
7) Sea ϕ≡∀v jG , entonces AI sat ϕ si y solamente si, sea cual sea el elemento a∈A, se
tiene que
A Ivja sat G;
8) Sea ϕ≡∃v jG , entonces
AI sat ϕ si y solamente si, para al menos un elemento a∈A, se tiene que A Ivja sat G .
Como es relativamente fácil observar esta definición recoge las ideas intuitivas
antes expuestas. En particular, cuando la fórmula ϕ es cerrada -adviértase los items 7 y 8
de la definición- la atribución particular de valores a las variables no juega ningún papel,
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Lógica y argumento – J.Seoane 195
tal cual fue discutido antes. Cuando se está en ese caso, es decir, si ϕ es cerrada, puede
escribirse consistentemente que en una estructura A, ϕ se cumple. i.e.
A sat ϕ
esto puede leerse como “ A satisface ϕ” o “ϕ es verdadera en A” o “ A es un modelo de
ϕ”. Es obvio que también puede “agregarse” cualquier asignación, es decir, si se da el
caso de arriba, entonces para cualquier asignación I, AI sat ϕ.
La idea de que una estructura es un modelo de una fórmula o un conjunto de
fórmulas serán especialmente importante en nuestra disciplina. De hecho, una de las
ramas más bellas y fascinantes de la lógica matemática es la Teoría de Modelos.
7.4 Expresividad “teórico-modélica”
En el capítulo anterior se estudió la expresividad de los lenguajes de orden uno
en el sentido de su capacidad de permitir “paráfrasis” o “traducciones” aceptables de
enunciados (del lenguaje natural) o de conceptos (definidos en el lenguaje natural). El
propósito de esta sección es sugerir un segundo modo de entender “expresividad” de los
lenguajes de orden uno.
Un ejemplo puede ayudar a introducir este concepto. Se ha usado reiteradamente
en este libro –como mecanismo de prueba- la inducción. La inspiración de tales usos ha
sido la inducción aritmética. El Principio de Inducción en el campo de la aritmética de
los naturales puede expresarse informalmente así (llamémosle Principio de Inducción
Informal):
(PII) Si 0 posee una propiedad y si un natural n cualesquiera la posee, entonces
también la posee el sucesor de n, entonces todos los naturales poseen la
propiedad en cuestión.
Usando los recursos de orden uno podría expresarse así (llamémosle Principio de
Inducción en Orden Uno):
(PIOU) (R1c1 ∧ ∀v1(R1v1→R1f 11v1))→∀v1 R1v1 ;
donde R está en lugar de cualquier letra de predicado unario, c1 debe interpretarse como
0 y f 11 debe interpretarse como la función sucesor (i.e. f(x)=x+1) y el universo es ℵ.
Si se piensa en términos de modelos, la situación puede verse bajo una nueva
luz. Lo que afirma PIOU parece ser lo siguiente: para cualquier letra de predicado
unario R, si 0 posee la propiedad denotada por R y para cualquier natural, si él posee la
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Lógica y argumento – J.Seoane 196
propiedad denotada por R, entonces su sucesor la posee, eso quiere decir que todo
natural tiene la propiedad denotada por R. Adviértase en esta paráfrasis conceptual de
PIOU una diferencia sustancial en relación con la idea intuitiva de inducción establecida
antes (PII): se habla de toda letra de predicado unario R y de todo número natural. ¿Por
qué? Planteado el problema de otro modo, ¿por qué no decir para toda propiedad R ,
como en el caso de PII? La respuesta es simple: porque no se cuenta –en orden uno- con
cuantificadores que cuantifiquen sobre variables de propiedades. Dicho de una forma
grosera: no puede decirse en orden uno, para toda propiedad (de números naturales)
pero sí puede decirse para todo número (natural); en orden uno –como se recuerda-
existe un solo tipo de variables: las variables de individuo. Esta restricción expresiva no
afecta, obviamente, la formulaciónc intuitiva. La “generalidad” de PIOU luego consiste
en ser un “esquema” que tiene tantas instancias como letras de predicado unario tenga el
lenguaje. Es esencial observar que el número total de tales instancias puede ser a lo
sumo numerable, ya que tal es la cardinalidad de los lenguajes que se han definido. Pero
¿cuál es el número total de propiedades de ℵ? Ciertamente ℘(ℵ) i.e. no-numerable.
Luego parece existir un cierto déficit expresivo en PIOU respecto de PII: el número de
propiedades que toma en cuenta (i.e. las letras de predicado) es numerable mientras que
el número de propiedades de ℵ es no-numerable.Debe notarse que estas observaciones sobre “expresividad” presuponen evaluar
la misma a la luz de la semántica conjuntística construida; sólo en esa medida cabe
“medir” de esta forma la diferencia entre el conjunto de las sustituciones posibles y el
conjunto de las propiedades posibles. Dicho de otra forma, al precisar la semántica de
los lenguajes formales puede precisarse también el concepto de expresividad y distinguir
en forma más riguroso los propios límites expresivos de tales lenguajes. Tal vez pueda
decirse que se poseen dos conceptos de expresividad de una fórmula ϕ de L: uno más
intuitivo, en el cual el poder expresivo de ϕ es evaluable (intuitivamente) en relación a
la semántica informal del lenguaje natural y uno más riguroso, en el cual la expresividad
de ϕ es evaluable a la luz de la semántica formal del lenguaje L. La conexión entre
ambos sentidos se encuentra en el plano de la relación entre la semántica (informal) del
lenguaje natural y la semántica (formal) de L. Los problemas conceptuales que emergen
al enfrentar tal cuestión exceden los modestos límites de este texto.
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Lógica y argumento – J.Seoane 197
7.5 Consecuencia semántica y validez
La motivación inicial para la construcción de una semántica para el lenguaje
formal -tal cual se presentó aquí- consistía en obtener una adecuada elucidación de
“argumento lógicamente correcto”. Tal interpretación ha sido confeccionada y se ha
mostrado se comporta armónicamente con algunas importantes intuiciones semánticas
previas. En particular, se está ahora en condiciones de ofrecer una definición rigurosa de
los nuevos conceptos –más refinados que los construidos para el lenguaje proposicional-
de ·consecuencia teórico-modélica y validez teórico-modélica. La idea es muy simple:
sustituimos la noción de interpretación (modelo) antigua por lo nueva. Sólo para
comodidad del lector escribimos nuevamente tales definiciones.
Definición 7.6 (Consecuencia teórico-modélica) Sea Γ un conjunto de
fórmulas cerradas, sea ϕ una fórmula, diremos que ϕ es consecuencia teórico-modélica
de Γ -se nota: Γ|=ϕ- si para toda interpretación A que es modelo de Γ -es decir, que es
modelo de todas las fórmulas que pertenecen a Γ - A es modelo de ϕ.
A veces se ofrece una definición más general, no restringida a fórmulas cerradas.
En ese caso, en lugar de A debe escribirse AI en la definición de arriba. Se ha preferido
la definición tradicional –es decir, se adopta el punto de vista menos general,
restringiendo la definición a fórmulas cerradas- pues es más próximo al sentido intuitivo
de corrección argumental que ha sido ofrecida como la motivación central de la teoría
lógica. Cabe advertir, no obstante, que no es ésta la motivación exclusiva de tal teoría4.
Lo mismo vale respecto de la definición de validez siguiente5.
Definición 7.7 (Validez) Una fórmula cerrada ϕ de L es válida si y solamente si
para toda interpretación A, A es modelo de ϕ.
Un concepto que posee también interés es el de satisfacibilidad . Se trata de
entender más finamente una partición tradicional en la clase de las fórmulas (i.e. de losenunciados): aquellas fórmulas que son, intuitivamente hablando, “contradictorias” o
“absurdas” y aquéllas que no lo son. Estas últimas se denominan satisfacibles, las
primeras se dicen insatisfacibles. Desde el punto de vista formal, las definiciones lucen
así:
4
Baste recordar que algunos autores definen la lógica matemática como el estudio de los lenguajesformales.5 Se sigue en este caso a Manzano, M. Teoría de Modelos, Alianza, 1989.
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Lógica y argumento – J.Seoane 198
Definición 7.8 (Satisfacibilidad) Una fórmula cerrada ϕ de L es satisfacible si y
solamente si existe alguna interpretación A, tal que A es modelo de ϕ. Un conjunto Γ de
fórmulas de L es satisfacible si y solamente si existe alguna interpretación A, tal que A
es modelo de γ , para toda γ∈Γ .Definición 7.8 (Insatisfacibilidad) Una fórmula cerrada ϕ de L es insatisfacible
si y solamente si no existe ninguna interpretación A, tal que A sea modelo de ϕ. Un
conjunto Γ de fórmulas de L es insatisfacible si y solamente si no existe ninguna
interpretación A, tal que A sea modelo de γ , para toda γ∈Γ .
Los conceptos arriba definidos de consecuencia teórico-modélica y validez
teórico-modélica serán de extrema utilidad al enfocar el problema que –principalmente-
motiva estas indagaciones, a saber, el problema de la evaluación argumental. Según se
discutió en el caso proposicional, representamos (en el modelo básico) un argumento así
(I) Pre1
Pre2
.
.
.
Pren
-----
Con
donde “Prei”(1≤i≤n) representan premisas y “Con” la conclusión. El primer paso en el
análisis del mismo -en términos de corrección formal- consistía en efectuar una
“traducción” de sus enunciados (pertenecientes al lenguaje natural) al lenguaje formal
apropiado. Representamos tal proceso así
(II) Pre’1
Pre’2
.
.
.
Pre’n
-----
Con’
El segundo paso consistía en la evaluación de la fórmula
(III) (Pre’1∧Pre’2∧...∧Pre’n)→Con’
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Lógica y argumento – J.Seoane 199
Esta evaluación permitía responder -en términos proposicionales- a la cuestión de si se
estaba frente a un argumento lógicamente correcto. Según se sabe, si (III) es un
tautología, entonces (I) es un argumento lógicamente correcto. La motivación para la
construcción del cálculo de predicados –como se recuerda- es que la conversa no vale:
hay argumentos formalmente correctos cuya traducción no es una tautología. La
pregunta entonces es ¿cuál es la propiedad semántica equivalente, en el cálculo de
predicados, a la tautologicidad? La respuesta es la validez teórico-modélica
(entendiendo “modelo” en el sentido actual).
A partir de la definición expuesta resulta perfectamente claro qué debe
entenderse por validez de una fórmula. En algunos casos es muy evidente que una cierta
fórmula posee, precisamente, esta propiedad. Por ejemplo
∀v1(R11
v1→ R11
v1)
parece –indiscutiblemente- que se trata de una fórmula válida: para cualquier
interpretación AI. Pues se tiene que, para todo elemento a∈A, AIv1a |=(R1
1 v1→ R1
1 v1) ,
es decir, para todo elemento a∈A, AIv1a |≠R1
1 v1 o AIv1
a |=R11
v1 . Luego hemos
mostrado la validez de la fórmula. En otros casos es igualmente evidente que se está
frente a fórmulas no válidas. Por ejemplo
∃v1∀v2 R2
1
v1v2
no es válida; para advertirlo alcanza con tomar la relación como mayor estricto y como
dominio de la interpretación ℵ.
Una cuestión que surge de forma muy natural es cómo puede determinarse, una
vez que se dispone de una semántica para el lenguaje de orden uno, si una cierta
fórmula del lenguaje es o no válida. Si se evoca el caso proposicional, la interrogación
podría incluso reclamar más información: ¿existe algún procedimiento de decisión -es
decir, un procedimiento mecánico- que permita determinar, dada una fórmula ϕ de este
lenguaje, si ella es o no válida? Entre otras, de estas cuestiones se ocupa, precisamente,
el próximo capítulo.
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Lógica y argumento – J.Seoane 200
7.6 Síntesis
En este capítulo se construyó una semántica o, más precisamente, se caracterizó
una forma de proveer semánticas para los lenguajes formales estudiados en el capítulo
anterior. Dado que los lenguajes de primer orden son sintácticamente más complejos,
esta tarea se vuelve más dificultosa que en el caso del lenguaje proposicional. En primer
lugar, cabe distinguir, en el vocabulario, dos “tipos” de símbolos: a) aquellos que
pertenecen a todo lenguaje (conectores, cuantificadores, igualdad, variables) y b) laparte descriptiva del lenguaje (letras de predicado, letras de función, constantes) que
varía de acuerdo a cada lenguaje particular. La interpretación (la atribución de
significado al lenguaje) atiende a esta diferencia; la parte a) es constante, para toda
interpretación –excepto las variables, como se verá enseguida; la parte b), en cambio,
varía, podríamos decir que es la responsable de la diversidad de interpretaciones.
Los símbolos de la parte a) se interpretan de la forma siguiente: los conectores,
como es habitual, son asociados a funciones veritativas, la igualdad posee lainterpretación obvia y el cuantificador universal se interpreta como “todo (objeto del
dominio)” y el cuantificador existencial como “algún (objeto del dominio)”.La pregunta
es :¿cuál es el “dominio”? El conjunto en el cual toman valor las variables. Pero ¿cuál
es ese conjunto? La respuesta a esta interrogante debe (también) ofrecerla la
interpretación.
Un modo rápido de entender la noción de interpretación puede ser este6:
Interpretación = Estructura + Asignación
¿Qué trabajo realizan las estructuras-L? Las estructuras-L aportan –hablando
intuitivamente- el dominio de la interpretación y adjudican significado a las constantes,
a las letras de relación y a las letras de función. Esta operación semántica es suficiente
para que las fórmulas cerradas adquieran significado. Pero ¿es también suficiente para
6 El carácter rápido reside en que dejamos afuera la atribución de significado a los símbolos lógicos. La
justificación es que, dado que tal atribución se mantiene fija, nos concentramos en la parte dinámica.
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Lógica y argumento – J.Seoane 201
que las fórmulas abiertas adquieran significado? La respuesta es: no. Es ese,
precisamente, el papel de las asignaciones: adjudicar significado a todos los términos
del lenguaje y así otorgar significado a todas las fórmulas (cerradas y abiertas) del
lenguaje. Este efecto se logra dado que las asignaciones atribuyen valores a todas las
variables de individuo del lenguaje i.e. son funciones totales de V en el dominio de la
interpretación.
Pueden formularse diversas interrogantes a propósito del comportamiento de esta
noción de interpretación en relación con su capacidad de adecuarse a ciertas intuiciones
básicas. En particular, surgen preguntas conceptualmente cruciales cuando los conceptos
intuitivos previos en los que nos concentramos son los conceptos de “consecuencia
lógica” y “verdad lógica”. Según se ha visto, pueden usarse la noción de “modelo” aquí
construida para ofrecer una contrapartida rigurosa de aquellas venerables nociones
intuitivos. La relación, no obstante, entre el concepto intuitivo de “consecuencia lógica”
(o de “verdad lógica”) y el concepto matemáticamente riguroso de “consecuencia
teórico-modélica” (o de “validez teórico-modélcia”) dista de ser trivial7.
7
Una creciente bibliografía revela la importancia filosófica del problema; puede consultarse al respectouna obra ya clásica de J. Etchemendy, The Concept of Logical Consequence, Harvard University Press,
1990.