Curso: Lógica. Prof. José Seoane. 2007. (texto provisorio). 7. Lenguajes de orden uno: semántica 7.1 IntroducciónComo se recuerda, el objetivo es elucidar la noción de ‘argumento deductivo” o “lógicamen te correcto’. Luego resulta singularmente valioso -como se discutió en el caso proposicional- capturar la noción de “consec uencia lógica”; pero esta noción, tal cual fue definida, es una noción semántica. Luego se hace necesario “interpretar” nuestro lenguaje, es decir, proveer de “significado” a sus fórmulas. La tarea, dada la mayor riqueza del lenguaje, es notablemente más sofisticada que en el caso proposicional. La estrategia expositiva, no obstante, será análoga: primero se ofrece una aproximación intuitiva y luego se precisan, en términos formales, dichas ideas. 7.2 Interpretación de los lenguajes de orden uno (desde el punto de vista intuitivo) En esta sección se explica –en 7.2.1 y 7.2.2- en t érminos intuitivos y generales como se confecciona una semántica para un lenguaje de orden uno. Se espera que tales desarrollos permitan alcanzar una cierta familiaridad con las nociones básicas de tal construcción; a los efectos de contribuir al l ogro de ese objetivo se presentan –en 7.2.3- algunos ejemplos de “construcc iones” semánticas informales. 7.2.1 Interpretación (Primera parte) En primer lugar, conviene recordar que los conectivos siguen manteniendo su interpretación habitual y los paréntesis continúan cumpliendo su papel de signos de puntuación. Así pues se debe atender al resto de categorías de símbolos del alfabeto. Un razonable punto de partida puede ser la interrogación siguien te: ¿qué significan las variables de individuo?, ¿cómo interpretarlas? . Estas variables “varían” sobre individuos. Pero ¿qué entidades son estos “individuos”? La respuesta a esta última interrogante debe ser provista por la interpretación, es decir, para interpretar el lenguaje en cuestión se debe decir cuál es el universo de individuos al que nos referiremos. Luego el primer paso en la tarea de proveer una interpretación para el lenguaje consiste en definir cuál es el dominio de la interpretación, es decir, el conjunto de individuos sobre el cual toman sus valores las variables . El dominio de la interpretación puede ser, por ejemplo, ℵo ℜ. La única restricción que se asumirá es que no sea vacío.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Las constantes de indiviudo, como se dijo, funcionan, para continuar con la
analogía con el lenguaje natural, como nombres propios. Esto quiere decir que mientras
una variable “vk ” puede, en principio, denotar a cualquier individuo del dominio –si se
ha elegido ℵ como dominio, a cualquier número natural-, las cosntantes de individuo
tendrán fija su denotación -por ejemplo, podemos usar la constante “c1” para denotar al
número tres. Es decir, interpretar una constante quiere decir asignarle a dicho símbolo
un individuo específico del dominio de la interpretación.
Las letras de predicado -sean monádicas, sean poliádicas1- deberán corresponder
a relaciones de igual aridad entre individuos del dominio. Por ejemplo, si se desea
interpretar la letra de predicado “R2” y se ha definido el dominio como ℵ, suinterpretación podría ser la relación menor o igual entre naturales. La interpretación de
R2 en tal caso luciría luego así
{<n,m>: <n,m>∈ℵxℵ y n≤m}.
Es decir, interpretar una letra de predicado n-aria quiere decir asignarle una relación
n-aria en el dominio de la interpretación.En el caso de lenguajes con el símbolo de igualdad, la interpretación del símbolo
de igualdad “≈” es la previsible; siguiendo con el ejemplo anterior, se trataría del
conjunto de pares ordenados de números naturales donde la primera y la segunda
proyección del par son el mismo número.
Las letras funcionales se interpretarán atribuyéndoles funciones de igual aridad
en el dominio. Por ejemplo, siguiendo con el mismo dominio, podría interpretarse “f 2”
como el producto entre naturales. Es decir, la interpretación de “f 2” sería una función
que va de ℵxℵ en ℵ y asocia, con cada par de naturales m y n, el resultado de
multiplicar m por n.
Como seguramente el lector ya habrá advertido, la interpretación debe tomar en
cuenta exclusivamente los símbolos del lenguaje particular; por ejemplo, si el lenguaje
posee dos símbolos de predicado (R11, R2
1) , dos símbolos funcionales (f 2, g2) y un
1
Se dice que una letra de predicado es “monádica” si es del tipo R1k
, es decir, “exige” un solo términopara convertirse en una fórmula; se dice que es “poliádica” en otro caso, es decir, “exige” dos o más
símbolo de constante (c5), la interpretación del mismo deberá atribuir a R11 una relación
unaria y a R21 una relación binaria, a f 2
1 y a f 2
2 funciones binarias y un individuo del
dominio a c5. Esta “porción” del lenguaje -que varía de un lenguaje de primer orden a
otro- se denomina a veces “descriptiva”; en contraposición, los símbolos lógicos están
presentes en todo lenguaje de primer orden.
El caso de los conectivos -como se señaló antes- mantienen su interpretación
habitual. El caso de los cuantificadores, desde el punto de vista intuitivo, es muy
simple.
El cuantificador universal refiere a todos los individuos del dominio, es decir,
∀v1 R1v1
quiere decir que todos los individuos del dominio poseen la propiedad R1-en adelante,nos ahorraremos los superíndices si no afectan la lectura de la letra de predicado.
Siguiendo con el ejemplo de arriba, si se interpreta “R1” como la propiedad ser primo, la
fórmula de arriba afirmaría que todos los números naturales son números primos.
El cuantificador existencial refiere, indeterminadamente, a algún individuo del
dominio, es decir,
∃v1 R1v1
quiere decir que al menos un individuo del dominio posee la propiedad R1; siguiendocon el ejemplo, aseveraría que al menos un número natural es número primo.
Entonces, desde el punto de vista intuitivo, a los efectos de interpretar un
lenguaje de orden uno –dado que la interpretación de conectores y cuantificadores se
mantiene invariable- basta con :
a) fijar un dominio de interpretación -esto es, definir un conjunto no vacío-;
b)
atribuir a los símbolos de constantes de ese lenguaje -si los posee- individuosdeterminados del dominio;
c) atribuir a las letras de relación de ese lenguaje -si las posee- relaciones de igual
aridad en ese dominio y
d) atribuir a las letras funcionales de ese lenguaje -si las posee- funciones de igual
Como los símbolos en que puede diferenciarse un lenguaje de orden uno son los
descriptivos, alcanzará (para individualizar un lenguaje) con indicar cuáles de tales
símbolos son los que forman parte de su vocabulario. De modo que se podría, por
ejemplo, individualizar un cierto lenguaje L1 describiendo su vocabulario del modo
siguiente:
dos letras de constante: c1, c2 ;
una letra de predicado binario: R2;
una letra de función unaria: f 1.
Sólo a los efectos de fijar ideas, si se pidiese una interpretación para este
lenguaje L1 se podría -intuitivamente- resolver el problema así: sea ℵ el dominio deinterpretación -es legítimo hacerlo pues, obviamente, ℵ≠∅-, sea c1 el 0 y c2 el 1 -es
legítimo, pues ambos son naturales, es decir, pertenecen al dominio-, sea R2 la relación
menor estricto definida entre naturales -es decir, una relación en el dominio de la
interpretación- y sea f 1 la función unaria sucesor, es decir, la función que, para cada
n∈ℵ, da como resultado n+1 -es legítimo, pues para cada n∈ℵ, da un cierto j∈ℵ,
A la luz de la interpretación anterior, resulta claro que i) es falsa: no es cierto que
para todo natural exista un natural menor estricto que él, pues no hay ningún natural
menor estricto que 0. En cambio ii) es verdad, pues es cierto que existe al menos un
natural que es menor estricto que algún natural: digamos el 0 respecto del 1.
Adviértase que tanto en el caso de i) como en el caso de ii), dada la
interpretación del lenguaje antes ofrecida, no ha existido ninguna dificultad para
determinar su valor de verdad. Podríamos preguntarnos si esto es cierto para cualquier fórmula.
Supóngase ahora que se debe responder, para la interpretación dada, cuál es el
valor de verdad de la fórmula de L1 siguiente:
iii) R21c2v2.
Parece que la respuesta no puede darse, pues no se sabe qué valor denota la
variable. Lo que expresa iii) es que 0 es estrictamente menor que el individuo al cual
refiere v2. Mientras no se sepa cuál es el individuo denotado por esta variable lapregunta sobre el valor de verdad de iii) no puede responderse. Obsérvese que aquí no
basta la interpretación construida. Otro ejemplo puede ser
iv) R21v3v4.
Tampoco es posible determinar el valor de verdad de iv). El problema surge, en ambos
casos, a partir de una limitación básica: los términos no quedan interpretados y, luego,
las fórmulas no poseen significado.
Quizá ayude a percibir más nítidamente esta situación notar que, por ejemplo, siasumimos como se dijo arriba que la letra funcional “f 1” denota la función sucesor,
respecto de
v) f 1 v3
no puede determinarse qué número natural denota, hasta tanto no se sepa qué número
denota la variable. En cambio
vi) f 1c1
, dada la interpretación de la constante ofrecida antes, es obvio que este término denotael número 1.
Si se comparan i) y ii) con iii) y iv) quizá el lector sospeche ya dónde radica la
diferencia respecto de las fórmulas: en i) y ii) no ocurren variables que no caigan bajo
el alcance de algún cuantificador ; en iii) y iv), en cambio, sí ocurren variables que no
son alcanzadas o gobernadas por ningún cuantificador . Estas últimas ocurrencias se
denominan libres; las que son alcanzadas o gobernadas por algún cuantificador se
denominan ligadas. Este contraste resulta muy intuitivo si pensamos en la información
semántica que aporta la, por así decir, acción cooperativa del cuantificador y la variable
respectiva en el caso en que el primero “liga”, “alcanza” o “afecta” a la segunda. Por
ejemplo,
vii) ∀v1R1v1
afirma que todos los individuos tienen la propiedad R1. Peroviii) ∀v1R1v2
ciertamente no dice lo mismo, ya que el trabajo cooperativo aludido no se produce. Una
fórmula sin ocurrencias libres de variables (o, más directamente, sin variables libres) se
denomina cerrada; en otro caso se denomina abierta.
Más adelante ofreceremos una definición precisa de estos conceptos; por ahora
estos desarrollos serán suficientes.
La diferencia entonces entre fórmulas cerradas y fórmulas abiertas en esteaspecto podría resumirse en el éxito (fracaso) de las primeras (segundas) en términos de
significatividad. Gruesamente, las primeras poseen significado y las segundas carecen
del mismo, una vez especificado el significado de las diversas categorías sintácticas
(exceptuando las variables).
¿Cómo enfrentar pues el problema del significado de las fórmulas abiertas?
Rápidamente podría responderse así: “haciendo” denotar a todos los términos que
ocurren en la fórmula. Para solucionar el problema de forma radical, esto es, para quetoda fórmula adquiera un valor de verdad, es necesario dotar de significado a todo
término del lenguaje. Lograr esto –una vez que se ha definido una interpretación como
la de arriba- requiere una sola operación adicional: asignar valores a todas las variables
de individuo del lenguaje. Por ejemplo, es claro que si asignamos a vi el número natural
i-1, entonces iii) y iv) son satisfechas para esa asignación por la interpretación
anteriormente ofrecida de los símbolos del lenguaje. ¿Por qué? Porque 0 es menor
estricto que 1 y 2 es menor estricto que 3. Ahora si asignamos a v i el número natural i-2,entonces iii) no es satisfecha (ya que 0 no es menor estricto que 0) mientras iv) sí lo es
esta exposición rápida de la semántica clásica de los lenguajes de orden uno. Hasta
donde alcanzo a comprender, tal simplificación no produce equívocos técnicos; en este
modesto libro introductorio es todo lo que aspiro al respecto. El lector interesado puede
consultar la valiosa bibliografía que se ocupa del tema2.
Estudiemos v) -que se señaló como un caso de “insuficiencia” de la sola
estructura para determinar su referencia. Supongamos que A=ℵ, f 11
es interpretada por
la función sucesor i.e. f 11*
A (x)=x+1 (con x∈ℵ) y la asignación I se define así I(v j)=j.
Luego
f 11v3
denota el sucesor de 3, es decir, 4 –porque f 11*
A (I(v3))= f 1
1* A
(3)=3+1=4 .
Un raciocinio análogo se hace para las fórmulas. Tomemos el ejemplo iv) dearriba,
R21
v3v4,
si R21 es la relación menor estricto, entonces si I(v j)=j, parece claro que lo que afirma la
fórmula es cierto ya que <I(v3), I(v4)>∈ R21*A
, es decir, <3, 4)>∈ R21*A
, esto es, 3< 4.
Estas últimas apreciaciones son aún de naturaleza intuitiva pero sugieren en forma
precisa el camino de la formalización. Corresponde ahora ofrecer definiciones más
estrictas. Se enfoca primero el caso de los términos y luego el de las fórmulas.
7.3.2 Interpretación de términos
No parece difícil definir cómo se comporta una interpretación AI respecto de
términos. Esta definición puede lucir así 3
Definición 7.3 (Interpretación de términos) Sea A una estructura-L, sea I una
asignación sobre A, sea t un término cualesquiera de L , los ti (con 1≤i≤n) son términos
de L y el superescrito * A
adicionado a un símbolo del alfabeto denota el objeto que la
estructura A otorga a dicho símbolo. Luego:
a) si t≡vk (k ∈ℵ), AI(t)=I(t)=I(vk );
b) si t≡c j (j∈ℵ), AI(t)=c j* A
.
c) si t≡f n jt1...tn, AI(f n
jt1...tn)= f n
j* A AI(t1) ... AI(tn).
2 La noción de verdad en lenguajes formalizados fue introducida por Tarski en Tarski [1935]. Una
discusión importante sobre su importe filosófico puede verse en Nidham, Asimismo una revisión
revolucionaria de las ideas tarskianas puede leerse en Etchemendy [1991]. En este texto hemos seguido,
desde el punto de vista técnico, un enfoque ligeramente diverso al original –véase, por ejemplo, Manzano,M. [1989].3 Se sigue en la exposición de las nociones técnicas, básicamente, a Manzano, M. [1989].
La motivación inicial para la construcción de una semántica para el lenguaje
formal -tal cual se presentó aquí- consistía en obtener una adecuada elucidación de
“argumento lógicamente correcto”. Tal interpretación ha sido confeccionada y se ha
mostrado se comporta armónicamente con algunas importantes intuiciones semánticas
previas. En particular, se está ahora en condiciones de ofrecer una definición rigurosa de
los nuevos conceptos –más refinados que los construidos para el lenguaje proposicional-
de ·consecuencia teórico-modélica y validez teórico-modélica. La idea es muy simple:
sustituimos la noción de interpretación (modelo) antigua por lo nueva. Sólo para
comodidad del lector escribimos nuevamente tales definiciones.
Definición 7.6 (Consecuencia teórico-modélica) Sea Γ un conjunto de
fórmulas cerradas, sea ϕ una fórmula, diremos que ϕ es consecuencia teórico-modélica
de Γ -se nota: Γ|=ϕ- si para toda interpretación A que es modelo de Γ -es decir, que es
modelo de todas las fórmulas que pertenecen a Γ - A es modelo de ϕ.
A veces se ofrece una definición más general, no restringida a fórmulas cerradas.
En ese caso, en lugar de A debe escribirse AI en la definición de arriba. Se ha preferido
la definición tradicional –es decir, se adopta el punto de vista menos general,
restringiendo la definición a fórmulas cerradas- pues es más próximo al sentido intuitivo
de corrección argumental que ha sido ofrecida como la motivación central de la teoría
lógica. Cabe advertir, no obstante, que no es ésta la motivación exclusiva de tal teoría4.
Lo mismo vale respecto de la definición de validez siguiente5.
Definición 7.7 (Validez) Una fórmula cerrada ϕ de L es válida si y solamente si
para toda interpretación A, A es modelo de ϕ.
Un concepto que posee también interés es el de satisfacibilidad . Se trata de
entender más finamente una partición tradicional en la clase de las fórmulas (i.e. de losenunciados): aquellas fórmulas que son, intuitivamente hablando, “contradictorias” o
“absurdas” y aquéllas que no lo son. Estas últimas se denominan satisfacibles, las
primeras se dicen insatisfacibles. Desde el punto de vista formal, las definiciones lucen
así:
4
Baste recordar que algunos autores definen la lógica matemática como el estudio de los lenguajesformales.5 Se sigue en este caso a Manzano, M. Teoría de Modelos, Alianza, 1989.
En este capítulo se construyó una semántica o, más precisamente, se caracterizó
una forma de proveer semánticas para los lenguajes formales estudiados en el capítulo
anterior. Dado que los lenguajes de primer orden son sintácticamente más complejos,
esta tarea se vuelve más dificultosa que en el caso del lenguaje proposicional. En primer
lugar, cabe distinguir, en el vocabulario, dos “tipos” de símbolos: a) aquellos que
pertenecen a todo lenguaje (conectores, cuantificadores, igualdad, variables) y b) laparte descriptiva del lenguaje (letras de predicado, letras de función, constantes) que
varía de acuerdo a cada lenguaje particular. La interpretación (la atribución de
significado al lenguaje) atiende a esta diferencia; la parte a) es constante, para toda
interpretación –excepto las variables, como se verá enseguida; la parte b), en cambio,
varía, podríamos decir que es la responsable de la diversidad de interpretaciones.
Los símbolos de la parte a) se interpretan de la forma siguiente: los conectores,
como es habitual, son asociados a funciones veritativas, la igualdad posee lainterpretación obvia y el cuantificador universal se interpreta como “todo (objeto del
dominio)” y el cuantificador existencial como “algún (objeto del dominio)”.La pregunta
es :¿cuál es el “dominio”? El conjunto en el cual toman valor las variables. Pero ¿cuál
es ese conjunto? La respuesta a esta interrogante debe (también) ofrecerla la
interpretación.
Un modo rápido de entender la noción de interpretación puede ser este6:
Interpretación = Estructura + Asignación
¿Qué trabajo realizan las estructuras-L? Las estructuras-L aportan –hablando
intuitivamente- el dominio de la interpretación y adjudican significado a las constantes,
a las letras de relación y a las letras de función. Esta operación semántica es suficiente
para que las fórmulas cerradas adquieran significado. Pero ¿es también suficiente para
6 El carácter rápido reside en que dejamos afuera la atribución de significado a los símbolos lógicos. La
justificación es que, dado que tal atribución se mantiene fija, nos concentramos en la parte dinámica.
que las fórmulas abiertas adquieran significado? La respuesta es: no. Es ese,
precisamente, el papel de las asignaciones: adjudicar significado a todos los términos
del lenguaje y así otorgar significado a todas las fórmulas (cerradas y abiertas) del
lenguaje. Este efecto se logra dado que las asignaciones atribuyen valores a todas las
variables de individuo del lenguaje i.e. son funciones totales de V en el dominio de la
interpretación.
Pueden formularse diversas interrogantes a propósito del comportamiento de esta
noción de interpretación en relación con su capacidad de adecuarse a ciertas intuiciones
básicas. En particular, surgen preguntas conceptualmente cruciales cuando los conceptos
intuitivos previos en los que nos concentramos son los conceptos de “consecuencia
lógica” y “verdad lógica”. Según se ha visto, pueden usarse la noción de “modelo” aquí
construida para ofrecer una contrapartida rigurosa de aquellas venerables nociones
intuitivos. La relación, no obstante, entre el concepto intuitivo de “consecuencia lógica”
(o de “verdad lógica”) y el concepto matemáticamente riguroso de “consecuencia
teórico-modélica” (o de “validez teórico-modélcia”) dista de ser trivial7.
7
Una creciente bibliografía revela la importancia filosófica del problema; puede consultarse al respectouna obra ya clásica de J. Etchemendy, The Concept of Logical Consequence, Harvard University Press,