เอกสารประกอบการสอนรายวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบคร(Mathematics Principle for Teacher)

ธนชยศ จาปาหวาย

คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

เอกสารประกอบการสอนรายวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบคร(Mathematics Principle for Teacher)

ธนชยศ จาปาหวายวท.ด. (คณตศาสตร)วท.ม. (คณตศาสตร)วท.บ. (คณตศาสตร)

คณะครศาสตรมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

คานาเอกสารประกอบการสอนวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบครเลมน เปนสวนหนงของหลกสตรครศาสตร

บณฑต สาขาวชาคณตศาสตร ( ป) (หลกสตรใหม พ.ศ. ) โดยมวตถประสงคเพอเปนแหลงเรยนรเกยวกบหลกการคณตศาสตรอนประกอบไปดวย ระบบสจพจน ตรรกศาสตรเบองตน วธการพสจน เซตเบองตน ความสมพนธและฟงกชน เซตจากดและเซตอนนต ระบบจานวนจรง และจานวนเชงซอนเบองตนและแนวคดเกยวกบการจดการเรยนรและกจกรรมตาง ๆ ในระดบมธยมศกษา โดยผ เขยนไดใชแนวทางการจดกจกรรมการเรยนรแบบ E เปนรปแบบการสอนแบบสบเสาะหาความรของสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย ไดแบงเนอหาออกเปน บทประกอบไปดวยบทนา ตรรกศาสตร ระเบยบวธการพสจน เซต ความสมพนธ ฟงกชน เซตจากดและเซตอนนต ระบบจานวนจรง และจานวนเชงซอนเบองตน โดยคาศพททางคณตศาสตรทใชในเลมน ผ เขยนจะใชตามพจนานกรมศพททางคณตศาสตรฉบบราชบณฑตยสภา พ.ศ.

เนอหาในเลมนเรยบเรยงมาจากประสบการณการสอนในวชาหลกการคณตศาสตร ทฤษฎจานวน และทฤษฎเซต ทสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา ผ เขยนมงหวงวาเอกสารประกอบการสอนเลมน จะเปนเอกสารอานประกอบเพอนาไปเรยนในวชาดงกลาวไดดยงขน

เนอหาทกลาวไวในวชา "หลกการคณตศาสตรสาหรบคร" เปนคณตศาสตรระดบเบองตนเพอพฒนาพนฐานความเขาใจไปยงระดบสง และนาไปประยกตใชในการเรยนคณตศาสตรในแขนงตาง ๆ อกทงยงเหนการสรางสงตาง ๆ ขนอยางเปนระบบระเบยบ ภายใตสจพจนและกฎทางตรรกศาสตรทยอมรบ ทาใหผ เรยนเหนภาพของคณตศาสตรไดอยางลกซงมากขน โดยเฉพาะครคณตศาสตรทจะถายทอดสงเหลานไปยงลกศษยตอไป

เอกสารประกอบการสอนเลมนจะเกดขนไมไดถาไมมครอาจารยทคอยอบรมสงสอนและเปนแบบอยางทดแกผ เขยน โดยเฉพาะอยางยง ศาสตราจารย ดร.พฒน อดมกะวานช ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย ผ เปนตนแบบของการสอนหลกการคณตศาสตรของผ เขยน รวมถงบดามารดาและพนอง อาจารยในสาขาวชาคณตศาสตรทชวยอานและใหคาแนะนาเพอใหตาราเลมนสมบรณมากยงขน และลกศษยรนปจจบนทชวยหาคาผดอยางตงใจ สดทายหวงวาเอกสารประกอบการสอนเลมนจะเปนประโยชนแกนกศกษาและผ ทสนใจ

ธนชยศ จาปาหวาย

แผนบรหารการจดการเรยนรภาคเรยนท / ระดบครศาสตรบณฑตMED หลกการคณตศาสตรสาหรบคร(Mathematics Principle for Teacher)หนวยกต ( - - ) สาขาวชาคณตศาสตร

หมวดท หลกการและเปาประสงคของรายวชาการเรยนการสอนคณตศาสตรเปลยนแปลงตามยคและสมยมาโดยตลอด และตองการพฒนารปแบบ

การสอนและสอนวตกรรมใหมอยเสมอ เพอใหผ เรยนสามารถเรยนรไดอยางเตมศกยภาพของตนเอง การเรยนคณตศาสตรในปจบนผ เรยนตองสามารถแสวงหาความรไดดวยตนเอง ผานการลงมอปฏบต โดยมผ สอนคอยใหคาแนะนา อยางไรกตามสงทไมคอยจะเปลยนแปลงเทาไรนกคอ ธรรมชาตและโครงสรางทางคณตศาสตร ซงเปนความเขาใจพนฐานในศาสตรวชาน รวมไปถงการใหเหตผลเชงตรรกศาสตรซงเปนสงสาคญในการพสจนขอความตาง ๆ เพอใหทกคนยอมรบความจรงทเกดขนอยางเปนสากล อกประการหนงคอความเขาใจเกยวกบเซตซงเปนมลฐานของทกสาขาในวชาคณตศาสตร และความเขาใจนจะทาใหเขาใจเรอง ความสมพนธ และฟงกชน ไดดยงขน สาหรบความหมายของเซตจากดและอนนตอาศยความรเกยวกบฟงกชนมาชวยอธบายทาใหพสจนบางอยางไดอยางไมนาเชอเมอใชความรสกตดสนและสจพจนของจานวนจรงนาไปพสจนสมบตพนฐานทาใหเกดความเขาใจและสามารถนาสงเหลานไปถายอดไดในอนาคต สาหรบการศกษาจานวนเชงซอนอาศยการขยายแนวคดจากระบบจานวนจรง และสมบตบางประการสามารถนาไปแกปญหาในจานวนจรงได เปาประสงคสดทายคอผ เรยนสามารถเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษา และออกแบบการจดการเรยนการสอนในแตละเนอหาไดอยางเหมาะสม

หมวดท ผลลพธการเรยนรหลงจากทศกษาและเรยนรในรายวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบครนกศกษาจะตองมความร ความ

สามารถและคณลกษณะทตองการดงตอไปน. เพอใหนกศกษาร เขาใจธรรมชาตของคณตศาสตร โครงสรางและระบบทางคณตศาสตร. เพอใหนกศกษาร เขาใจการใหเหตผลเชงตรรกศาสตร และแปลงประโยคภาษาเปนตรรกศาสตรสญลกษณได

. เพอใหนกศกษาสามารถเขยนบทพสจนทง วธ

( ). เพอใหนกศกษาร เขาใจการดาเนนการบนเซต และเขยนพสจนเกยวกบเซตได. เพอใหนกศกษาร เขาใจความสมพนธ และตรวจสอบสมบตตาง ๆ เกยวกบความสมพนธได. เพอใหนกศกษาร เขาใจฟงกชน และพสจนสมบตตาง ๆ เกยวกบฟงกชนได. เพอใหนกศกษานาความรเกยวกบฟงกชนไปอธบายเซตจากดและเซตอนนตได. เพอใหนกศกษาร เขาใจเกยวกบสมบตพนฐานเกยวกบจานวนจรง. เพอใหนกศกษาร เขาใจจานวนเชงซอนเบองตน และพสจนสมบตบางประการได. เพอใหนกศกษาสามารถเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษาได

หมวดท ลกษณะและการดาเนนการคาอธบายรายวชา

ธรรมชาตและโครงสรางของคณตศาสตร ตรรกศาสตรเชงคณตศาสตร ระเบยบวธพสจน เซตเบองตน ความสมพนธและฟงกชน และจานวนเชงซอนเบองตน การเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษา

จานวนชวโมงของการจดกจกรรมการเรยนรจานวนชวโมงของการจดกจกรรมการเรยนรไมนอยกวา ชวโมงตอภาคเรยน เวลาทใชสอนแบงเปน

การสอนภาคบรรยายทฤษฎ ชวโมงการสอนภาคปฏบต - ชวโมงการศกษาดวยตวเอง ชวโมง

มอบหมายงานใหนกศกษาทาการศกษาเอกสาร และงานวจยทเกยวของกบหลกการคณตศาสตร และสอมลตมเดยทเกยวของ และใหศกษาเพมเตมจากเวปไซตเชงวชาการทเกยวของ

จานวนชวโมงตอสปดาหทอาจารยใหคาปรกษาการใหคาปรกษาเปนรายบคคล คนละไมนอยกวา ชวโมงตอสปดาห

หมวดท ผลลพธการเรยนรประจาหนวยหลงจากทศกษาและเรยนรในรายวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบครนกศกษาจะตองมความร ความ

สามารถและคณลกษณะทตองการดงตอไปน

( )

. เพอใหนกศกษาร เขาใจธรรมชาตของคณตศาสตร โครงสรางและระบบทางคณตศาสตร

. เพอใหนกศกษาร เขาใจการใหเหตผลเชงตรรกศาสตร และแปลงประโยคภาษาเปนตรรกศาสตรสญลกษณได

. เพอใหนกศกษาสามารถเขยนบทพสจนทง วธ

. เพอใหนกศกษาร เขาใจการดาเนนการบนเซต และเขยนพสจนเกยวกบเซตได

. เพอใหนกศกษาร เขาใจความสมพนธ และตรวจสอบสมบตตาง ๆ เกยวกบความสมพนธได

. เพอใหนกศกษาร เขาใจฟงกชน และพสจนสมบตตาง ๆ เกยวกบฟงกชนได

. เพอใหนกศกษานาความรเกยวกบฟงกชนไปอธบายเซตจากดและเซตอนนตได

. เพอใหนกศกษาร เขาใจเกยวกบสมบตพนฐานเกยวกบจานวนจรง

. เพอใหนกศกษาร เขาใจจานวนเชงซอนเบองตน และพสจนสมบตบางประการได

. เพอใหนกศกษาสามารถเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษาได

หมวดท แผนการจดการเรยนรและวธการประเมนผลการเรยนรแผนการจดการเรยนรในรายวชาน ไดออกแบบตามผลลพธการเรยนรหลกของรายวชาทกาหนดไว

ขางตน โดยครอบคลม ขอประกอบไปดวย. ผลลพธการเรยนรของรายวชานม ขอ (ดงตารางท ). หวขอเนอหา/สาระ (Contents to be learned)ในรายวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบครไดกาหนดหวขอ/สาระ ไวดงน บทนา (ธรรมชาตและโครงสรางทางคณตศาสตร) ตรรกศาสตร ระเบยบวธการพสจน เซตเบองตน ความสมพนธ ฟงกชน เซตจากดและเซตอนนต ระบบจานวนจรง และจานวนเชงซอนเบองตน

. เทคนควธสอนการสอนในรายวชาน ประกอบไปดวย. วธสอนแบบบรรยาย (Lecture Method) โดยการทบทวนความรเดมผ เรยน โดยตงคาถามและ

ทาแบบทดสอบความรเดม เพอนาไปสการบรรยาย

( ). วธสอนแบบอภปราย (Discussion Method) แบงผ เรยนเปนกลม ๆ โดยการกาหนดหวขอ

แลวใหแตละกลมนาเสนอและอภปราย จากนนผสอนอภปรายเพอนาไปสการสรปเนอหาและความรทตรงตามวตถประสงค

. วธสอนแบบสบเสาะ (Inquiry Method) โดยใหผ เรยนรจกสบเสาะหาความรจาก เอกสาร ตาราหนงสอ หรอคนหาจากอนเตอรเนต

. วธสอนแบบเปด (Open Approach) โดยใชตงคาถามเชงลกเพอใหผ เรยนพบความรดวยตนเอง จากการลงมอปฏบตจรง

ตารางท . การกระจายผลลพธการเรยนร เนอหา/สาระ วธการสอน/กจกรรมการเรยนร หลกฐาน/ผลงานสอและการประเมนผลการเรยนร

สปด./ ผลลพธการเรยนร หวขอเนอหา/สาระ เทคนคการ หลกฐานการ สอการเรยนร การวด/การชม. สอน/กจกรรม เรยนร ผลงาน ประเมนผล/ .เพอใหนกศกษาร -ธรรมชาตของ -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจาก

เขาใจธรรมชาต คณตศาสตร แบบบรรยาย กจกรรม -สอออนไลน ใบบนทกของคณตศาสตร -โครงสรางของ กจกรรมโครงสรางและระบบ คณตศาสตรทางคณตศาสตร -ปฏทรรศน

-ความสาคญของหลกการคณตศาสตร-การจดการเรยนรแบบ E

/ .เพอใหนกศกษาร -ประพจน -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากเขาใจการใหเหตผล -สมมลของประพจน แบบบรรยาย assignment ใบบนทกเชงตรรกศาสตรและ -สจนรนดร assignmentแปลงประโยคภาษาเปนตรรกศาสตรสญลกษณได

/ .เพอใหนกศกษาร -การอางเหตผล -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากเขาใจการใหเหตผล -ตวบงปรมาณ แบบบรรยาย assignment -สอออนไลน ใบบนทกเชงตรรกศาสตรและ -การจดการเรยนร -วธการสอน assignmentแปลงประโยคภาษา เรองตรรกศาสตร แบบอภปราย -ประเมนจากเปนตรรกศาสตร รายงานกลมสญลกษณได. เพอใหนกศกษา

สามารถเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษาได

( )

สปด./ ผลลพธการเรยนร หวขอเนอหา/สาระ เทคนคการ หลกฐานการ สอการเรยนร การวด/การชม. สอน/กจกรรม เรยนร ผลงาน ประเมนผล/ .เพอใหนกศกษา -การพสจนขอความ -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจาก

สามารถเขยนบท แบบมเงอนไข แบบบรรยาย assignment ใบบนทกพสจนทง วธ -การพสจนขอความ assignment

แบบแจกแจงกรณ-การพสจนขอความแบบผนกลบได

/ .เพอใหนกศกษา -การพสจนโดยวธ -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากสามารถเขยนบท ขดแยง แบบบรรยาย assignment ใบบนทกพสจนทง วธ -การพสจนขอความ assignment

ซงเปนไปไดอยางเดยว-การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร

/ .เพอใหนกศกษาร -การดาเนนการบนเซต -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากเขาใจการดาเนนการ -ยเนยนและอนเตอร- แบบบรรยาย assignment ใบบนทกบนเซตและเขยน เซกชนเพมเตม assignmentพสจนเกยวกบเซตได

/ .เพอใหนกศกษาร -ผลคณคารทเซยน -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากเขาใจการดาเนนการ -การจดการเรยนร แบบบรรยาย assignment ใบบนทกบนเซตและเขยน เรองเซต assignmentพสจนเกยวกบเซตได. เพอใหนกศกษา

สามารถเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษาได

/ .เพอใหนกศกษาร -ความสมพนธ -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากเขาใจความสมพนธ โดเมนและเรจน แบบบรรยาย assignment -สอออนไลน ใบบนทกและตรวจสอบสมบต -ความสมพนธสมมล assignmentตาง ๆ เกยวกบความสมพนธได

/ .เพอใหนกศกษาร -ความสมพนธสมมล -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากเขาใจความสมพนธ (ตอจาก / ) แบบบรรยาย assignment ใบบนทกและตรวจสอบสมบต -การเรยงอนดบ assignmentตาง ๆ เกยวกบ บางสวนความสมพนธได

( )

สปด./ ผลลพธการเรยนร หวขอเนอหา/สาระ เทคนคการ หลกฐานการ สอการเรยนร การวด/การชม. สอน/กจกรรม เรยนร ผลงาน ประเมนผล/ .เพอใหนกศกษาร -นยามและชนดของ -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจาก

เขาใจฟงกชนและ ฟงกชน แบบบรรยาย assignment -สอออนไลน ใบบนทกพสจนสมบตตาง ๆ -ฟงกชนคาจรง assignmentเกยวกบฟงกชนได -พชคณตของฟงกชน

-ฟงกชนผกผน/ .เพอใหนกศกษาร -ฟงกชนประกอบ -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจาก

เขาใจฟงกชนและ -ภาพและภาพผกผน แบบบรรยาย assignment ใบบนทกพสจนสมบตตาง ๆ assignmentเกยวกบฟงกชนได

/ .เพอใหนกศกษาร -การดาเนนการ -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากเขาใจฟงกชนและ ทวภาค แบบบรรยาย assignment -สออนไลน ใบบนทกพสจนสมบตตางๆ -การจดการเรยนร -วธการสอน assignmentเกยวกบฟงกชนได เรองฟงกชน แบบเปด. เพอใหนกศกษา

สามารถเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษาได

/ .เพอใหนกศกษา -การเทยบเทา -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากนาความรเกยวกบ ของเซต แบบบรรยาย assignment -สออนไลน ใบบนทกฟงกชนไปอธบาย -เซตจากด -วธสอน ssignmentเซตจากดและ แบบสบเสาะเซตอนนตได

/ .เพอใหนกศกษา -เซตอนนต -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากนาความรเกยวกบ -เซตนบได แบบบรรยาย assignment -สออนไลน ใบบนทกฟงกชนไปอธบาย -เซตนบไมได -วธสอน assignmentเซตจากดและ แบบอภปราย -ประเมนจากเซตอนนตได รายงานกลม

/ .เพอใหนกศกษาร -สจพจนสนาม -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากเขาใจเกยวกบสมบต -กฎไตรวภาค แบบบรรยาย assignment ใบบนทกพนฐานเกยวกบ -คาสมบรณ -วธสอน assignmentจานวนจรง -สจพจนความ แบบสบเสาะ. เพอใหนกศกษา ความบรบรณ

สามารถเชอมโยง -การจดการเรยนรเนอหากบหลกสตร เรองจานวนจรงคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษาได

( )

สปด./ ผลลพธการเรยนร หวขอเนอหา/สาระ เทคนคการ หลกฐานการ สอการเรยนร การวด/การชม. สอน/กจกรรม เรยนร ผลงาน ประเมนผล/ .เพอใหนกศกษาร -การดาเนนการ -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจาก

เขาใจจานวนเชงซอน บนจานวนเชงซอน แบบบรรยาย assignment -สออนไลน ใบบนทกเบองตนและพสจน -มอดลส assignmentสมบตบางประการได -สงยค

-กราฟของจานวนเชงซอน

/ .เพอใหนกศกษาร -จานวนเชงซอน -วธการสอน -ใบบนทก -power point -ประเมนจากเขาใจจานวนเชงซอน ในรปเชงขว แบบบรรยาย assignment -สออนไลน ใบบนทกเบองตนและพสจน -การจดการเรยนร -วธสอน assignmentสมบตบางประการได เรองจานวนเชงซอน แบบอภปราย -ประเมนจาก. เพอใหนกศกษา รายงานกลม

สามารถเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษาได

ตารางท . ปฏทนและแผนการนาเสนอเนอหาสาระและกจกรรมการเรยนร

วนท สปด. ท เนอหา/วธการสอน/กจกรรม นกศกษา/อาจารยส.ค. -ธรรมชาตของคณตศาสตร อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวาย

-โครงสรางของคณตศาสตร-ปฏทรรศน-ความสาคญของหลกการคณตศาสตร-การจดการเรยนรแบบ E-ประพจน อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวายตวเชอมประพจน นเสธประพจน และตารางคาความจรง-สมมลของประพจนการตรวจสอบสมมลโดยตารางคาความจรงการตรวจสอบโดยใชกฎพนฐาน-สจนรนดรการตรวจสอบสมมลโดยตารางคาความจรงการตรวจสอบโดยวธขดแยง

ก.ย. -การอางเหตผล นกศกษา/-ตวบงปรมาณ อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวายการแปลงประโยคภาษาเปนประโยคสญลกษณ-การจดการเรยนรเรองตรรกศาสตรรายงานกลมเรองการจดการเรยนร

( )วนท สปด. ท เนอหา/วธการสอน/กจกรรม นกศกษา/อาจารย

-การพสจนขอความแบบมเงอนไข อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวาย-การพสจนขอความแบบแจกแจงกรณ-การพสจนขอความแบบผนกลบได-การพสจนโดยวธขดแยง อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวาย-การพสจนขอความทเปนไปไดอยางเดยว-การพสจนโดยวธอปนยเชงคณตศาสตร-การดาเนนการบนเซต อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวายอนเตอรเซกชน ยเนยน ผลตาง และสวนเตมเตม-ยเนยนและอนเตอรเซกชนเพมเตม

ต.ค. -ผลคณคารทเซยน อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวาย-การจดการเรยนรเรองเซต-ความสมพนธ อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวายโดเมน เรจน-ความสมพนธสมมล-ความสมพนธสมมล (ตอจาก สปด. ท ) อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวายผลแบงกน-การเรยงอนดบบางสวน-นยามและและชนดของฟงกชน อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวาย-ฟงกชนคาจรงและพชคณตของฟงกชน-ฟงกชนผกผน

พ.ย. -ฟงกชนประกอบ อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวาย-ภาพและภาพผกผน-การดาเนนการทวภาค อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวายสมบตปด สมบตการสลบท สมบตการเปลยนกลมเอกลกษณ และตวผกผน-การจดการเรยนรเรองฟงกชน-การเทยบเทาของเซต อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวาย-เซตจากด-เซตอนนต นกศกษา/-เซตนบไดและเซตนบไมได อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวาย-อภปรายรายกลมเรองเซตชนดของเซต

ธ.ค. -สจพจนสนาม กฎไตรวภาค อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวาย-คาสมบรณ และสจพจนความบรบรณ-การจดการเรยนรเรองจานวนจรง-การดาเนนการบนจานวนเชงซอน อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวายมอดลสและสงยค-กราฟจานวนเชงซอน-จานวนเชงซอนในรปเชงขว อ.ดร.ธนชยศ จาปาหวายการหารากโดยทฤษฎบทเดอรมวฟวร-การจดการเรยนรเรองจานวนเชงซอน

( )การประเมนผลการเรยนรการประเมนผลการเรยนรภาคทฤษฎ และการมสวนรวมในการเรยนร ( %)

ความตงใจ ความสนใจเรยน %คะแนนระหวางเรยน (Assignment) %โครงการรายกลม (Project) %สอบยอย (Quiz) %

หมวดท แหลงทรพยากร และสอการสอนหนงสอและสอการเรยนรหลกสาหรบวชานธนชยศ จาปาหวาย ( ). เอกสารประกอบการสอนวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบคร.

กรงเทพฯ : มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทาเวปไซต http://www.teacher.ssru.ac.th/thanatyod_ja

หนงสอ เอกสารประกอบ และสอทควรศกษาเพมเตมกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลยกรมวชาการ กระทรวงศกษาธการ. ( ). อปนยเชงคณตศาสตร. กรงเทพฯ: กรมวชาการฉฐไชย ลนาวงศ. ( ). ตรรกะแหงการพสจน. กรงเทพฯ: บรษทสานกพมพทอปจากดฉววรรณ รตนประเสรฐ. ( ). วธการพสจนทางคณตศาสตร. นครปฐม: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากรพฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลยอมพร มาคนอง. ( ). คณตศาสตรสาหรบครมธยม. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลยMichael Haese, Sandra Haese, Mark umphries, Edward Kemp and Pamela Vollma. ( )

Mathematics for the international student E MYP (Extended).Marleston, Australia : Haese& Harris Publications

Pual Glendinning. ( ). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions Ltd

แผนบรหารการสอนประจาวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบคร

ชอวชา หลกการคณตศาสตรสาหรบคร รหสวชา MEDMathematics Principle for Teacher

จานวนหนวยกต-ชวโมง ( - - )เวลาเรยน สปดาห ชวโมง/ภาคเรยนคาอธบายรายวชา

ธรรมชาตและโครงสรางของคณตศาสตร ตรรกศาสตรเชงคณตศาสตร ระเบยบวธพสจน เซตเบองตนความสมพนธและฟงกชน และจานวนเชงซอนเบองตน การเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษา

วตถประสงคทวไป

. เพอใหนกศกษาร เขาใจธรรมชาตของคณตศาสตร โครงสรางและระบบทางคณตศาสตร

. เพอใหนกศกษาร เขาใจการใหเหตผลเชงตรรกศาสตร และแปลงประโยคภาษาเปนตรรกศาสตรสญลกษณได

. เพอใหนกศกษาสามารถเขยนบทพสจนทง วธ

. เพอใหนกศกษาร เขาใจการดาเนนการบนเซต และเขยนพสจนเกยวกบเซตได

. เพอใหนกศกษาร เขาใจความสมพนธ และตรวจสอบสมบตตางๆเกยวกบความสมพนธได

. เพอใหนกศกษาร เขาใจฟงกชน และพสจนสมบตตางๆเกยวกบฟงกชนได

. เพอใหนกศกษานาความรเกยวกบฟงกชนไปอธบายเซตจากดและเซตอนนตได

. เพอใหนกศกษาร เขาใจเกยวกบสมบตพนฐานเกยวกบจานวนจรง

. เพอใหนกศกษาร เขาใจจานวนเชงซอนเบองตน และพสจนสมบตบางประการได

. เพอใหนกศกษาสามารถเชอมโยงเนอหากบหลกสตรคณตศาสตรระดบชนมธยมศกษาได

( )เนอหาและเวลาทใชสอนบทท ธรรมชาตของคณตศาสตร ชวโมง

โครงสรางของคณตศาสตรปฏทรรศนความสาคญของหลกการคณตศาสตรการจดการเรยนรแบบ Eสรป

บทท ประพจน ชวโมงสมมลของประพจนสจนรนดรการอางเหตผลตวบงปรมาณการจดการเรยนรเรองตรรกศาสตรสรป

บทท การพสจนขอความแบบมเงอนไข ชวโมงการพสจนขอความแบบแจกแจงกรณการพสจนขอความแบบผนกลบไดการพสจนโดยวธขดแยงการพสจนขอความซงเปนไปไดอยางเดยวการพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตรสรป

บทท การดาเนนการบนเซต ชวโมงยเนยนและอนเตอรเซกชนเพมเตมผลณคารทเซยนการจดการเรยนรเรองเซตสรป

บทท ความสมพนธ ชวโมงความสมพนธสมมล

( )การเรยงอนดบบางสวนสรป

บทท นยามและชนดของฟงกชน ชวโมงฟงกชนคาจรงและพชคณตของฟงกชนฟงกชนผกผนและฟงกชนประกอบภาพและภาพผกผนการดาเนนทวภาคการจดการเรยนรเรองฟงกชนสรป

บทท การเทยบเทาของเซต ชวโมงเซตจากดเซตอนนตเซตนบไดเซตนบไมไดสรป

บทท สจพจนสนาม ชวโมงกฎไตรวภาคคาสมบรณสจพจนความบรบรณการจดการเรยนรเรองจานวนจรงสรป

บทท การดาเนนการบนจานวนเชงซอน ชวโมงมอดลสและสงยคกราฟของจานวนเชงซอนจานวนเชงซอนในรปเชงขวการจดการเรยนรเรองจานวนเชงซอนสรป

( )การวดและการประเมนผล

. การวดผลแบงคะแนนตลอดภาคเรยนออกเปน สวน ดงน. คะแนนระหวางภาคเรยน %

. . ความตงใจ ความสนใจเรยน %

. . งานทมอบหมายในระหวางเรยน (assignment) %

. . โครงการรายกลม (project) %. คะแนนกลางภาคเรยน %. คะแนนปลายภาคเรยน %

. การประเมนผลใชวธองเกณฑโดยเปรยบเทยบระดบคะแนนทกาหนดเพอใหเกรดดงน

ระดบคะแนน ความหมายของผลการศกษา คารอยละ คาระดบคะแนนA ดยอดเยยม 86.00− 100 4.00

A- ดเยยม 82.00− 85.00 3.75

B+ ดมาก 78.00− 81.00 3.50

B ด 74.00− 77.00 .B- คอนขางด 70.00− 73.00 2.75

C+ ปานกลางคอนขางด 66.00− 69.00 2.50

C ปานกลาง 62.00− 65.00 2.00

C- ปานกลางคอนขางออน 58.00− 61.00 1.75

D+ คอนขางออน 54.00− 57.00 1.50

D ออน 50.00− 53.00 1.00

D- ออนมาก 46.00− 49.00 0.75

F ตก 00.00− 45.00 0.00

สารบญหนา

คานา ( )แผนบรหารการจดการเรยนร ( )แผนบรหารการสอนประจาวชา ( )สารบญ ( )สารบญรป ( )สารบญตาราง ( )แผนบรหารการสอนประจาบททบทท บทนา

ธรรมชาตของคณตศาสตรโครงสรางของคณตศาสตรปฏทรรศนความสาคญของหลกการคณตศาสตรการจดการเรยนรแบบ Eสรปคาถามทายบทเอกสารอางอง

แผนบรหารการสอนประจาบททบทท ตรรกศาสตร

ประพจนสมมลของประพจนสจนรนดรการอางเหตผลตวบงปรมาณการจดการเรยนรเรองตรรกศาสตรสรปคาถามทายบทเอกสารอางอง

( )หนา

แผนบรหารการสอนประจาบททบทท ระเบยบวธการพสจน

การพสจนขอความแบบมเงอนไขการพสจนขอความแบบแจกแจงกรณการพสจนขอความแบบผนกลบไดการพสจนโดยวธขดแยงการพสจนขอความซงเปนไปไดอยางเดยวการพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตรสรปคาถามทายบทเอกสารอางอง

แผนบรหารการสอนประจาบททบทท เซต

การดาเนนการบนเซตยเนยนและอนเตอรเซกชนเพมเตมผลณคารทเซยนการจดการเรยนรเรองเซตสรปคาถามทายบทเอกสารอางอง

แผนบรหารการสอนประจาบททบทท ความสมพนธ

ความสมพนธความสมพนธสมมลการเรยงอนดบบางสวนสรปคาถามทายบท

( )หนา

เอกสารอางองแผนบรหารการสอนประจาบททบทท ฟงกชน

นยามและชนดของฟงกชนฟงกชนคาจรงและพชคณตของฟงกชนฟงกชนผกผนและฟงกชนประกอบภาพและภาพผกผนการดาเนนทวภาคการจดการเรยนรเรองฟงกชนสรปคาถามทายบทเอกสารอางอง

แผนบรหารการสอนประจาบททบทท เซตจากดและเซตอนนต

การเทยบเทาของเซตเซตจากดเซตอนนตเซตนบไดเซตนบไมไดสรปคาถามทายบทเอกสารอางอง

แผนบรหารการสอนประจาบททบทท ระบบจานวนจรง

สจพจนสนามกฎไตรวภาคคาสมบรณ

( )หนา

สจพจนความบรบรณการจดการเรยนรเรองจานวนจรงสรปคาถามทายบทเอกสารอางอง

แผนบรหารการสอนประจาบททบทท จานวนเชงซอนเบองตน

การดาเนนการบนจานวนเชงซอนมอดลสและสงยคกราฟของจานวนเชงซอนจานวนเชงซอนในรปเชงขวการจดการเรยนรเรองจานวนเชงซอนสรปคาถามทายบทเอกสารอางอง

บรรณานกรม

( )

สารบญรปรปท หนา

แผนภาพแสดงโครงสรางทางคณตศาสตรตวอยางรปภาพทเกดปฏทรรศนแผนภาพแสดงโครงสรางวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบครการเปรยบเทยบหลกโดมโนกบหลกอปนยเชงคณตศาสตรแผนภาพตนไมแสดงสบเซตทงหมดของเซต {1, 2, 3}

แผนภาพการดาเนนการระหวางเซตแผนภาพแสดงความสมพนธ r ประกอบกบ s

แผนภาพแสดงความสมพนธ (s ◦ r)−1 และ r−1 ◦ s−1

แผนภาพแสดงสมบตของความสมพนธแผนภาพแสดง input และ output ของฟงกชนแผนภาพแสดงเครองจกรทประกอบดวยจาก f และ g

แผนภาพแสดงฟงกชนประกอบ g ◦ f

แผนภาพแสดงภาพและภาพผกผนแผนภาพแสดงการจบคของจานวนนบกบจานวนคแสดงการนบสมาชกของเซต N× N

แสดงจด (a, b) บนระนาบเชงซอนแสดงสงยคและมอดลสบนระนาบเชงซอนแสดงความสมพนธจานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขวแสดงผลคณของจานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขวแสดงรากท n ของจานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขว

( )

สารบญตารางตารางท หนา

คาความจรงของขอความรวม p ∧ q

คาความจรงของขอความเลอก p ∨ q

คาความจรงของขอความแบบมเงอนไข p → q

คาความจรงของขอความแบบผนกลบได p ↔ q

คาความจรงของ ∼ p

ความสมพนธของจานวนประพจนกบจานวนกรณของคาความจรงตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางเรองตรรกศาสตรคาความจรงของประพจน p(x, y)

สรปคาความจรงของประพจน p(x, y) โดยใชตารางจดตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางเรองเซตสรปสมบตความสมพนธเบองตนผลการแบงกนจานวนเตมออกเปน สวนตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางเรองฟงกชนตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางเรองจานวนจรงตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางเรองจานวนเชงซอน

แผนบรหารการสอนประจาบททหวขอเนอหาประจาบท

. ธรรมชาตของคณตศาสตร

. โครงสรางของคณตศาสตร

. ปฏทรรศน

. ความสาคญของหลกการคณตศาสตร

. การจดการเรยนรปแบบ Eวตถประสงคเชงพฤตกรรม

. เขาใจธรรมชาตของคณตศาสตรและโครงสรางทางคณตศาสตร

. เขาใจปฏทรรศนทเกดขนในคณตศาสตร

. เหนถงความสาคญของวชาหลกการคณตศาสตร

. รจกการจดการเรยนรแบบ Eวธและกจกรรมการเรยนการสอน

. วธสอน. วธสอนแบบบรรยาย ประกอบสออเลกทรอนกส. ใชสอทางอนเตอรเนต และใหแตละคนแสดงความคดเหน. วธสอนแบบอภปราย โดยใหหวขอเปนกลมและมานาเสนอหนาชน

. กจกรรมการเรยนการสอน. บรรยายสรปโดยใชสอการสอนประกอบ. ใหผ เรยนศกษาเนอหาจากชดการสอน หนงสอ ตารา เอกสารเพมเตม และสอออนไลน. อภปรายรายกลมตามหวขอทไดรบมอบหมาย

สอการเรยนการสอน

. ชดการสอน เรอง "บทนาของวชาหลกการคณตศาสตร"

. สออเลกทรอนกส เรอง "บทนาของวชาหลกการคณตศาสตร"

. หนงสอ ตารา เอกสารทเกยวของ

. ภาพการเกดปฏทรรศนในสาขาตางๆ

การวดผลและประเมนผล. สงเกตการตอบคาถามและตงคาถามของผ เรยนในระหวางการบรรยายและซกถาม. วดผลจากการทาแบบฝกหดระหวางเรยนตามเนอหาทไดรบมอบหมาย. ประเมนการอภปรายรากลม แลวบนทกคะแนนลงในใบบนทกคะแนน. ตรวจการทาการบาน บนทกคะแนนลงในบนทกผลงาน

บททบทนา

ในบทนจะกลาวถงธรรมชาตและโครงสรางของคณตศาสตร ระบบสจพจน ซงเปนแนวคดพนฐานทางคณตศาสตร และกลาวถงความขดแยงกนแตจรงทเรยกวา ปฏทรรศน (paradox) สดทายกลาวถงความสาคญของหลกการคณตศาสตร ซงจะเปนพนฐานในการศกษาคณตศาสตรในระดบสงตอไป

. ธรรมชาตของคณตศาสตรมนษยสนใจสงทอยรอบตวและพยายามทเขาใจธรรมชาตหรอปรากฏการณตาง ๆ ทเกดขน จงมกจะ

ตงคาถามและพยายามหาคาตอบหรอคาอธบายสงเหลานน นกคณตศาสตรเปนคนกลมหนงทพยายามจะอธบายสงทเกดขนวาเกดจากอะไร เพอใหเขาใจสงเหลานนใหชดเจนยงขน แลวนาไปสรปเปนกฎเกณฑตาง ๆ เพอนาไปประยกตใชในชวตประจาวนได คนทวไปอาจจะมองวาคณตศาสตรหมายถงตวเลขหรอการคานวณเทานน แทจรงแลวคณตศาสตรรวมถงการแกปญหาและการใหเหตผลดวย คณตศาสตรเปนเครองมอสาคญในการศกษาศาสตรตาง ๆ ทาใหเกดการพฒนาเทคโนโลยใหม ๆ และสรางนวตกรรมตางๆ ในปจจบน การศกษาวชาคณตศาสตรจงจาเปนตองเขาใจธรรมชาตของคณตศาสตรเพอประโยชนในการนาไปใชใหถกตองเหมาะสมตอไป

แมความหมายและขอบเขตของคณตศาสตรจะเปลยนแปลงไปตามมมมองของมนษยในแตละยค แตลกษณะธรรมชาตของคณตศาสตรทยงเปนจรงในทกยค (อมพร มาคนอง. . หนา ) มดงน

. คณตศาสตรมลกษณะเปนนามธรรมใชภาษาและสญลกษณในการสอความหมาย ใชจานวนในการแทนปรมาณมากหรอนอย

. คณตศาสตรเปนวชาทแสดงความเปนเหตเปนผลขอความทถกยอมรบในทางคณตศาสตรสามารถอธบายไดอยางมเหตมผลกนทเรยกวาการพสจนโดยไมขดแยงกนเอง

. คณตศาสตรมลกษณะเปนสากลสามารถใชงานไดอยางกวางขวาง เชน คานยามจานวนค และ เครองหมาย + เปนทเขาใจกนทวโลก

บทท . บทนา

. คณตศาสตรเปนศลปะอยางหนงความสวยงามของรปทางดานเรขาคณตตาง ๆ ซงปรากฎตามธรรมาชาตมากมาย

. คณตศาสตรเปนวชาทมโครงสรางมโครงสรางและแบบแผนชดเจน เชนระบบจานวนจรงประกอบดวยประเภทของจานวนตาง ๆ โดยระบไวอยางชดเจน

. โครงสรางของคณตศาสตรโครงสรางทางคณตศาสตรนนเกดจากการทมนษยสงเกตความเปนไปในธรรมชาต โดยพจารณาปญหา

เหลานนแลวสรปในรปนามธรรม แลวสรางแบบจาลองคณตศาสตรทประกอบไปดวย คาอนยาม คานยามหรอ/และบทนยาม สจพจน แลวพสจนขอความทสนใจโดยใชตรรกศาสตรจนออกมาเปน ทฤษฎบทหรอกฎ แลวนากฎเหลานนไปประยกตใชในธรรมชาตตอไป ดงแผนภาพตอไปน

ธรรมชาต

สงเกต แบบจาลองคณตศาสตร• คาอนยาม• บทนยาม• สจพจน

พสจน

ทฤษฎบทประยกตใช

รปท แผนภาพแสดงโครงสรางทางคณตศาสตร

การศกษาสงตาง ๆ ทางคณตศาสตรจะเรมตนดวยการกาหนด คาอนยาม ซงหมายถงคาหรอกลมคาทตกลงกนวาไมตองใหคาจากดความ เพราะเขาใจตรงกนไดเปนสากล ตอมากาหนดคาใหมขนมาเรยกวา คานยาม ดวยขอความสน ๆ รดกมทเรยกวา บทนยาม จากนนถายทอดความคดทบงบอกลกษณะและการมจรงของสงนนออกมาเปนขอความทรดกม เรยกขอความเหลานวา สจพจน ยงสจพจนใกลเคยงกบแนวคดทเปนธรรมชาตของมนษยเทาไหร กจะทาใหยอมรบการมจรงของสงทกาหนดโดยสจพจนดงกลาวมากขนเทานน (พมพเพญ เวชชาชวะ. . คานา) สดทายใชตรรกศาสตรพสจนขอความทสนใจโดยอาศย คาอนยาม คานยาม และสจพจน หรอทฤษฎบททเคยพสจนไวกอนหนาน ขอความนจะถกเรยกวา ทฤษฎบท ระบบทเกดขนในลกษณะเชนนเรยกวา ระบบสจพจน (axiomatic system) ดงนนระบบสจพจนประกอบไปดวย

. คาอนยาม (Undefined term) คอคาสามญพนฐานทไมสามารถอธบายดวยคาอนอยางรดกม และเรากคนเคยกนมาจนเปนทเขาใจตรงกนแลว เพราะถาตองนยามคาทก ๆ คาทจะใชกจะทาใหเกด

. . โครงสรางของคณตศาสตร

การใชคาทไมทราบความหมายไปนยามคาอกคาหนง หรอกลาวอกนยกคอคาหรอกลมคาทตกลงกนวาไมตองใหคาจากดความ เพราะเขาใจตรงกนไดเปนสากล ตวอยางทวไปเชน พอ แม สขาวเปนตน ตวอยางทางเรขาคณตเชน จด เสน มม ระนาบ เปนตน

. คานยาม (Defined term) เปนคาทถกสรางขนโดยคาอนยาม และ/หรอคานยามทมมากอนดวยขอความสน ๆ แตรดกม เรยกวา บทนยาม (defintion) บทนยามทดควรใหความหมายของคานยามเพยงความหมายเดยว ตองไมประกอบดวยขอความขดแยงกนเอง เมอกาหนดบทนยามขนแลวตองบอกไดวาสงใดเปนสงใดไมเปน ดงตวอยางเชน บทนยามของจานวนคและจานวนค

จานวนค (even number) คอจานวนเตมทสามารถเขยนในรป 2k สาหรบบางจานวนเตม k

จานวนค (odd number) คอจานวนเตมทสามารถเขยนในรป 2k+ 1 สาหรบบางจานวนเตม k

ในวชาทฤษฎจานวนใหความหมายของจานวนคไววา "จานวนคคอจานวนเตมท หารลงตว" เมอพจารณาบทนยามนตองใหความหมายของคาวา "หารลงตว" เพอไมใหเกดความเขาใจคลาดเคลอนเมอนาไปใช ดงนนจะใหความหมายของการหารลงตวกอนนยามจานวนค และนยามจานวนคคอจานวนเตมท หารไมลงตว แตถานยามจานวนคเปน "จานวนคคอจานวนเตมทไมใชจานวนค" ตองอธบายคาวาไมใชจานวนคเพมเตม ซงมความยงยากในการนาไปใช อาจเกดความสบสนไดงายจงไมนยมเขยนนยามดงกลาว จะเหนไดวาการเขยนบทนยามทางคณตศาสตรนนมความสาคญอยางยง ตองเขยนใหเขาใจตรงกนโดยอาศย คาอนยาม และคานยามทมมากอน เพอใหบทนยามเหลานนสมบรณและเปนทยอมรบ

. สจพจน (Axiom หรอ Postulate) คอขอความทตกลงวาจะยอมรบโดยไมตองพสจน เปนสงพนฐานทนกคณตศาสตรจะนาไปใชในการพสจนทฤษฎบทตาง ๆ เชน สจพจนเปอาโน (Peano'spostulates) ซงกาหนดโดยนกคณตศาสตรชาวอตาลทชอวา จเซปเป เปอาโน (Giuseppe Peano:

- ) กลาวถงสงทกาหนดการมจรงของจานวนธรรมชาต (natural number) ไว ขอดงน(P ) มจานวนธรรมชาตทเรยกวา ศนย (zero) เพยงจานวนเดยวเทานน(P ) จานวนธรรมชาตทกจานวนตองม ตวตามหลง (successor) ทเปนจานวนธรรมชาตเพยงตว

เดยวเทานน(P ) ศนยไมเปนตวตามหลงของจานวนธรรมชาตใด(P ) ถาจานวนธรรมชาตสองจานวนมตวตามหลงตวเดยวกน แลวจานวนธรรมชาตทงสองยอมเปน

จานวนเดยวกน(P ) ถาเซต S เปนเซตของจานวนธรรมชาตทสอดคลอง เงอนไขตอไปน

( ) เปนสมาชกของ S( ) ถา n เปนสมาชกของ S แลวตวตามหลงของ n เปนสมาชกของ Sจะไดวาเซต S เปนเซตของจานวนธรรมชาตทงหมด

บทท . บทนา

ในทนให ศนยเปนคาอนยามซงเปนจานวนเรมตนของจานวนธรรมชาต และตวตามหลงเปนอกคาอนยามซงคอจานวนทถดจากตวทสนใจ เชน เปนตวตามหลงของ ซงจะเขยนเปนแผนภาพไดดงน

0 −→ 1 −→ 2 −→ 3 −→ · · ·

จะเหนวาทง ขอสอดคลองกบสมบตของจานวนธรรมชาต ทาใหสจพจนดงกลาวไดรบการยอมรบอยางกวางขวาง รวมถงการนาไปสรางทฤษฎบทตาง ๆ ของจานวนธรรมชาตและสรางระบบจานวนจรงโดยเฉพาะ P นาไปใชเปนวธพสจนทเรยกวา อปนยเชงคณตศาสตร (mathematical induction)ตอไปจะกลาวถงสจพจนทสาคญอก สจพจนคอสจพจนยคลด (Euclid's postulates) คอสงทกาหนดการมจรงของเรขาคณต (geometry)

(E ) สามารถลากเสนตรงจากจดหนงไปยงอกจดหนง(E ) สามารถตอสวนเสนตรงออกไปไดไมมทสนสด(E ) สามารถสรางวงกลมไดเมอกาหนดจดศนยกลาง และระยะทางเปนรศม(E ) มมฉากทกมมเทากน(E ) ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงอกสองเสน ทาใหมมภายในทอยขางเดยวกนของเสนตดรวมกน

นอยกวา มมฉาก ถาตอเสนตรงทงสองออกไปเรอย ๆ เสนตรงทงสองจะตดกนทางดานทมมมดงกลาวรวมกนนอยกวาสองมมฉาก

สจพจนสนาม (Field axioms) คอสงทกาหนดการมจรงของระบบจานวนจรงทประกอบดวยเซตการดาเนนการบวกและคณ โดยมสมบตดงน

(R ) ทกจานวนจรง x และ y x+ y และ x · y เปนจานวนจรง(R ) ทกจานวนจรง x และ y x+ y = y + x และ x · y = y · x

(R ) ทกจานวนจรง x, y และ z (x+ y) + z = x+ (y + z) และ (x · y) · z = x · (y · z)

(R ) ทกจานวนจรง x มจานวนจรง 0 x+ 0 = x = 0 + x

(R ) ทกจานวนจรง x มจานวนจรง 1 x · 1 = x = 1 · x

(R ) ทกจานวนจรง x มจานวนจรง y x+ y = 0 = y + x

(R ) ทกจานวนจรง x = 0 มจานวนจรง y x · y = 1 = y · x

(R ) ทกจานวนจรง x, y และ z x · (y + z) = x · y + x · z

สจพจนยคลดเปนสจพจนทมการยอมรบมานบพนป และนาไปสรางสมบตตาง ๆ ทางเรขาคณตมากมาย ในสวนของสจพจนสนามเปนขอตกลงเบองตนทจะใชในการพสจนสมบตทางพชคณต จะกลาวโดยละเอยดเรองระบบจานวนจรง (บทท )

. . ปฏทรรศน

. ทฤษฎบท (Theorem) คอขอความทพสจนไดดวยสจพจน และ/หรอ ทฤษฎบททมมากอน ภายใตกฎเกณฑทางตรรกศาสตร ทฤษฎบททมชอเสยงเชน ทฤษฎบทพทาโกรส ทฤษฎบทหลกมลเลขคณตเปนตน ในการพสจนทฤษฎบทบางทฤษฎบทประกอบดวยการพสจนทมความซบซอนและมหลายขนตอน อาจนาความจรงขนตอนเหลานนมาสรปเพอนาไปอางองบทพสจนทฤษฎบทภายหลง ความจรงของขนตอนทแยกออกมานวา บทตง (Lemma) การพสจนบทตงยงมประโยชนในลกษณะทตองมการใชบทตงเดยวกนไปพสจนหลายทฤษฎบท ซงสามารถถกนาเอาไปใชไดงายขน อยางไรกตามบทตงบางบทกมขอยกเวน คอเปนบทตงทสมบรณแบบในตวเชนเดยวกบทฤษฎบท อาทบทตงซอรน (Zorn’s lemma) และหลงจากพสจนทฤษฎบทแลวพบวามความจรงบางประการเปนผลพลอยได หรอเปนกรณเฉพาะของทฤษฎบทนน อาจนามาเขยนใหมเรยกวาบทแทรก (Corollary)โดยการพสจนมกจะสนและกระชบ ขอความบางอยางทคาดคะเนวานาจะเปนจรงตามประสบการณแตยงไมมการพสจนตามหลกเกณฑทางตรรกศาสตร และยงไมเคยปรากฎความขอขดแยง เรยกวาขอความคาดการณ (Conjecture) การตรวจสอบวาขอความคาดการณนนเปนจรงหรอไม ตองใชวธการพสจนทยอมรบตามหลกตรรกศาสตร เมอไดรบการพสจนขอความคาดการณกจะเปลยนเปนทฤษฎบท ในทสด หรอไมกหา ตวอยางคาน (counter example) เพอทาใหขอคาดการณนนไมจรงเชน ขอความคาดการณของแฟรมา (Fermat's conjecture) ทกลาวไววา

ถา n เปนจานวนเตมทมากกวา แลวสมการ xn + yn = zn

ไมมผลเฉลยเปนจานวนเตมทไมเปนศนย

ซงแฟรมาตงขอสงเกตเพมจากทฤษฎบทของพทาโกรส (กรณ n = 2) และเขาอางวาพสจนไดสาเรจแลว แตมนกคณตศาสตรเหนบทพสจนในกรณท n = 4 เทานน ตอมานกคณตศาสตรรนหลง ๆ ชวยกนพสจนจนเสรจสมบรณในป ค.ศ. ปญหานใชเวลากวา ป เพอเปนเกยรตแกแฟรมาตจงเรยกจงเรยกขอความคาดการณนวา ทฤษฎบทสดทายของแฟรมาต (Fermat's last theorem)

. ปฏทรรศนปฏทรรศน (paradox) คอประโยคหรอขอความทเกดขดแยงในตวเอง หรอความขดแยงกนแตจรง หรอขอความทมลกษณะยอนแยงในตวเอง หมายถงเหตการณของประโยคทเปนจรงชดเจนแตสดทายนาไปสความขดแยงในตวเอง (http://mathworld.wolfram.com/Paradox.html สบคน มนาคม )

บทท . บทนา

รปท ตวอยางรปภาพทเกดปฏทรรศน(ทมา http://mathminton.blogspot.com/ / /paradox-incpetion.html)

ตอไปจะกลาวถงปฏทรรศนทมชอเสยงในเรองทฤษฎเซต นาเสนอโดยนกคณตศาสตรชาวองกฤษชอวา เบอรตแรนด รสเซลล (Bertrand Russull) ในป ค.ศ. ซงตอมาเรยกวา ปฏทรรศนรสเซลล(Russull's paradox) เขาไดยกตวอยางสถานการณในหมบานเลก ๆ แหงหนงทมชางตดผมเพยงคนเดยวชางตดผมคนนนกลาวขนมาวา

“ผชายทกคนในหมบานถาไมตดผมเอง กตองถกชางตดผมเปนคนตดให”คาถามคอ ใครเปนคนตดผมชางตดผม พจารณา กรณตอไปน

• ถาเขาตดผมของตนเอง แสดงวาเขาเปนคนทไมไดตดผมของตนเอง• ถาเขาไมไดตดผมของตนเอง แสดงวาเขาถกตนเองตดผมให

จะเหนวา เกดขอความขดแยงเพราะเขาเปนทงชางตดผมขณะเดยวกนก เปนผชายในหมบาน การพดประโยคดงกลาวจงเกดปฏทรรศนขน บางครงจะเรยกวา ปฏทรรศนชางตดผม (the baber paradox)

รสเซลลไดอธบายวาเกดปฏทรรศนชนดนในสจพจนขอท ของคนทอรทชอวา the axiom of abstraction(เกอรก คนทอร (GeorgCantor) เปนนกคณตศาสตรชาวเยอรมน ผ รเรมใชคาวาเซตและเปนผวางรากฐานและศกษาเรองเซตอยางจรงจง หรอจะกลาวไดวาเขาคอคนททรงอทธพลในเรองทฤษฎเซต) ทกลาวไววา

" เมอกาหนดสมบตใดยอมมเซตประกอบดวยสมบตนน ๆ เสมอ "เซต ๆ หนงนยามโดยเซตทกเซตทไมไดมตวเองเปนสมาชก จะพบปญหาคอเซตนนมตนเองเปนสมาชกหรอไม นนคอสามารถสรางเซต

{X |X /∈ X}

ลกษณะนไดหรอไม ทาใหเกดปฏทรรศนของรสเซลลขน ดงนนไมสามารถสรางเซตของเซตทมสมาชกเปนตวเองไดนนเอง

การนาเสนอปฏทรรศนของรสเซลลทาใหนกคณตศาสตรตองระมดระวงมากขน เมอจะนยามหรอสรางระบบสจพจนใหม ๆ ในทางคณตศาสตร เพอไมใหขดแยงกนเองอนจะนาไปสการไมยอมรบทางคณตศาสตร

ในป นกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอ จลส รชารด (Jules Richard) ไดนาเสนอปฏทรรศนในดานประโยคทางตรรกศาสตร ตวอยางเชน มนกศกษาผหนงพดขนวา

. . ความสาคญของหลกการคณตศาสตร

" นกศกษาทกคนพดโกหก "ประโยคนสรปไดวานกศกษาคนนพดจรงหรอพดโกหก พจารณา กรณตอไปน

• ถานกศกษาคนนพดจรง แสดงวานกศกษาคนนพดโกหก• ถานกศกษาคนนพดโกหก แสดงวานกศกษาคนนพดจรง

จะเหนวาเกดขอขดแยงเพราะนกศกษาคนทพดประโยคนกลาวถงนกศกษาทกคนอนหมายรวมตวเขาเองเขาไปดวย เรยกปฏทรรศนนวา ปฏทรรศนของรชารด (Richard's paradox)

ปฏทรรศนมอกหลายรปแบบซงพบเจอในสาขาวชาอน ๆ เชน. กรณทมการยอนกลบไปแกไขเหตการณในอดต ทจะสงผลใหเกดเหตการณในปจจบน เชน การยอนกลบไปฆาพอแมของตนเองกอนทตนจะเกด กจะเกดขอขดแยงทางเวลาวา ตวของเราเกดมาไดอยางไร เมอพอแมถกฆาไปแลว เรยกวา ปฏทรรศนเวลา (time paradox) หรอปฏทรรศนคณป(grandfather paradox)

. ปฏทรรศนฝาแฝด (twin paradox) ซงเปนผลลพธอนนาฉงนทสดอนหนงในทฤษฎสมพทธภาพของไอนสไตน ในสาขาวทยาศาสตร

. ในวชาเศรษฐศาสตร กลาวถงกรณทวาทาไมนาจงถกกวาเพชร ทง ๆ ทคนตองการนามากกวา เรยกวา diamond-water paradox

. ปฏทรรศนซโน (Zeno's paradox) ในวชาปรชญา กลาวถงขอสรปทฟงดแลวขดกนของซโน จากตวอยางอนมชอเสยงทสดของเขากคอ อาคลสแขงกบเตา กลาวคอ " เตาแขงกบอาคลส โดยเตาบอกใหอาคลสตอใหสบเมตร ซงอาคลสกตกลง แตกอนจะเรมแขงกน เตากบอกกบอาคลสวาถาอาคลสจะเดนทนเตาจะตองเดนผานครงทางใหไดซะกอน อาคลสกเหนดวยกบทเตาบอก "

. ความสาคญของหลกการคณตศาสตรเมอกลาวถงคณตศาสตรหลายคนคงนกถงตวเลขหรอการคานวณ ซงเปนผลมาจากความคนเคยใน

การพบเหนและใชงานในชวตประจาวน แทจรงแลวคณตศาสตรไมไดหมายถงตวเลขและการคานวณเพยงอยางเดยว แตหมายรวมถงการใหเหตผลอยางเปนระบบ และมโครงสรางทชดเจน เพออธบายสงตาง ๆ ทสรางขนอยางรดกมและนาไปประยกตใชใหเกดประโยชน หรอทาใหเราเขาใจธรรมชาตยงขน

การเรยนคณตศาสตรนน ผ เรยนตองมความรความเขาใจหลกพนฐานเปนอยางดเสยกอน จงจะทาใหสามารถเรยนตอในระดบสงขนไปได ซงพนฐานเหลานนเรยกวา "หลกการคณตศาสตร" ดงมการเปรยบเทยบในหนงสอหลกคณตศาสตร ของรองศาสตราจารย กรรณการ กวกเพฑรย ( ) กลาวคอ "หลกการคณตศาสตร" ถาเปรยบกบตนไม กเหมอนสวนทเปน "รากแกว" ของตนไม ซงถารากแกวของตนไมแขงแรง หยงลงลก ตนไมกจะสามารถเตบโตจากตนไมเลกเปนตนไมใหญทมงคง แขงแรง เปนทพงพงของ

บทท . บทนา

สรรพสง และชวยจรรโลงโลกใหสวยงามนาอย คณตศาสตรกเชนกน ถาผ ใดมความรความเขาใจ "หลกการคณตศาสตร" อยางลกซงและแมนยาแลว ผนนกยอมจะมความสามารถในการเรยนคณตศาสตรหรอศาสตรอนทสงขนไปไดอยางด

หลกการคณตศาสตรนนตองเรมตนจากความเขาใจทถกตองเกยวกบตรรกศาสตรเปนอนอบแรก ซงเปนขอตกลงเบองตนทจะใชในการเรยนรเรองตาง ๆ ในคณตศาสตร จงกลาวไดวาตรรกศาสตรเปนพนฐานอยางแรกทมความสาคญเปนอยางยงในการเขาใจคณตศาสตรระดบสงนนเอง แผนภาพตอไปนแสดงถงความสมพนธของเนอหาในแตละเรองของหลกการคณตศาสตร ซงจะกลาวไวในตาราเลมน

ตรรกศาสตร

วธการพสจน

เซต

ความสมพนธระบบจานวนจรง

ฟงกชนจานวนเชงซอน

รปท แผนภาพแสดงโครงสรางวชาหลกการคณตศาสตรสาหรบคร

เหนไดวาตรรกศาสตรเปนพนฐานทสาคญในแตละเรอง เมอมความเขาใจเกยวกบตรรกศาสตรดแลวจะนาไปอางเหตผลหรอการพสจนซงเปนเครองมอในการตรวจสอบขอความทางคณตศาสตร ทาใหเกดการยอมรบขอความตาง ๆ ทกลาวอางวาเปนจรง ตอมาพนฐานเกยวกบเซตซงเปนองคประกอบทสาคญของหลกการคณตศาสตร เพราะทกอยางในคณตศาสตรลวนสมพนธเกยวกบเซตทงสน จงถอวาเซตเปนมลฐาน (fundamental) ทางคณตศาสตร เพราะวาทฤษฎบทตาง ๆ ลวนมเซตเขามาเกยวของเปนพนฐานเกอบทงหมดความสมพนธในธรรมชาตทพบเจอมมากมาย ความสมพนธเหลานนไมตางจากคณตศาสตรเทาไรนก เพยงแตในคณตศาสตรมการนยามทรดกมและสรางสญลกษณขนมาเพอใชอธบายใหสะดวกในการนาไปใชงาน และศกษาสมบตตาง ๆ เพออธบายสงตาง ๆ อยางเปนระบบ และพนฐานในการนยามฟงกชนอนเปรยบเหมอนเครองจกรเมอ input สงเดยวกนเขาไปแลวยอมได output เดยวกนเสมอเชนเครองคดเลขเมอไรกตามเมอ input + เขาในเครองเมอแลวกดเครองหมายเทากบจะมผลลพธคอเสมอ ฟงกชนนนเปนพนฐานสาคญอกอยางหนงทจาเปนตอการเรยนรคณตศาสตรในระดบสง อนจะ

ทาใหเขาใจคณตศาสตรทมความซบซอนมากยงขน ในสวนของหวขอระบบจานวนจรงกลาวถงสจพจนสนามอนเปนขอตกลงในเบองตนของระบบ แลวนาไปพสจนสมบตตาง ๆ ของจานวนจรง อนเปนตนแบบในการศกษาระบบอน ๆ ตอไป เชน ระบบจานวนเชงซอน

จากทกลาวมาหลกการคณตศาสตรนนมความสาคญ อนจะเปนพนฐานดงรากแกวทจะทาใหตนไมเตบโตและแขงแรง และแผกงกานปกคลมไปทวทกทศทาง จะหยงประโยชนแกตนเองและสงคมได ผ เรยน

. . การจดการเรยนรแบบ E

ควรหมนศกษาขยนทบทวนเพอทาความเขาใจใหลกซงอนจะทาเกดประโยชนในการศกษาคณตศาสตรในระดบตอไปได

. การจดการเรยนรแบบ Eในวชาหลการคณตศาสตรสาหรบคร มเนอหาบางสวนทสอดคลองกบเนอหาในระดบมธยมศกษา

ประกอบไปดวย ตรรกศาสตร เซต ความสมพนธ ฟงกชน ระบบจานวนจรง และจานวนเชงซอนเบองตนซงบรรจไวในหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ซงจะกลาวละเอยดในแตละบทตอไป ดงนนในหวขอนผ เขยนจะขอกลาวถงการจดการเรยนรในเรองเหลานน เพอเปนแนวทางแกผ เรยน

ในการจดการเรยนรเรองตาง ๆ ผสอนสามารถจดใหผ เรยนไดรจกการกาหนดปญหา และไดลงมอศกษา สารวจ เพอเสาะแสวงหาความรดวยตนเอง โดยแนวทางการจดกจกรรมการเรยนรแบบ E ( EModel) เปนรปแบบการสอนแบบสบเสาะหาความรของสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย(สสวท., ) ประกอบดวยขนตอนทสาคญดงน

. ขนสรางความสนใจ (Engagement) เปนการนาเขาสบทเรยนหรอเรองทสนใจซงเกดขนจากความสงสย หรออาจเรมจากความสนใจของตวนกเรยนเองหรอเกดจากการอภปรายภายในกลม เรองทนาสนใจอาจมาจากเหตการณทเกดขนอยในชวงเวลานน หรอเปนเรองทเชอมโยงกบความรเดมทเพงเรยนรมาแลว เปนตวกระตนใหนกเรยนสรางคาถาม กาหนดประเดนทศกษา ในกรณทไมมประเดนใดทนาสนใจ ครอาจใหศกษาจากสอตาง ๆ หรอเปนผ กระตนดวยการเสนอดวยประเดนขนมากอน แตไมควรบงคบใหนกเรยนยอมรบประเดนหรอคาถามทครกาลงสนใจเปนเรองทจะใชศกษา เมอมคาถามทนาสนใจและนกเรยนสวนใหญยอมรบใหเปนประเดนทตองการศกษา จงรวมกนกาหนดขอบเขตและแจกแจงรายละเอยดของเรองทจะศกษาใหมความชดเจนมากขน อาจรวมทงการรบรประสบการณเดม หรอความรจากแหลงตาง ๆ ทจะชวยใหนาไปสความเขาใจเรองหรอประเดนทจะศกษามากขน และมแนวทางทใชในการสารวจตรวจสอบอยางหลากหลาย

. ขนสารวจคนหา (Exploration) เมอทาความเขาใจในประเดนหรอคาถามทสนใจจะศกษาอยางถองแทแลว กมการวางแผนกาหนดแนวทางสาหรบการตรวจสอบตงสมมตฐาน กาหนดทางเลอกทเปนไปได ลงมอปฏบต เพอเกบรวบรวมขอมล ขอสนเทศ หรอปรากฏการณตาง ๆ วธการตรวจสอบอาจทาไดหลายวธ เชนทาการทดลอง ทากจกรรมภาคสนาม การใชคอมพวเตอรเพอชวยสรางสถานการณจาลอง (Simulation) การศกษาหาขอมลจากเอกสารอางองหรอจากแหลงขอมลตาง ๆเพอใหไดมาซงขอมลอยางเพยงพอทจะใชในขนตอไป

. ขนอธบายและลงขอสรป (Explanation) เมอไดขอมลอยางเพยงพอจากการสารวจตรวจสอบแลว จงนาขอมลขอสนเทศทไดวเคราะห แปลผล สรปผลและนาเสนอผลทไดในรปตาง ๆ เชนบรรยายสรป สรางแบบจาลองทางคณตศาสตร หรอรปวาด สรางตาราง ฯลฯ การคนพบในขนน

อาจเปนไปไดหลายทาง เชน สนบสนนสมตฐานทตงไว โตแยงกบสมมตฐานทตงไว หรอไมเกยวของกบประเดนทไดกาหนดไว แตผลทไดจะอยในรปใดกสามารถสรางความรและชวยใหเกดการเรยนรได

. ขนขยายความร (Elaboration) เปนการนาความรทสรางขนไปเชอมโยงกบความรเดมหรอความคดทไดคนควาเพมเตมหรอนาแบบจาลองหรอขอสรปทไดไปใชอธบายสถานการณหรอเหตการณอน ๆ ถาใชอธบายเรองตาง ๆ ไดมากกแสดงวาขอจากดนอย ซงจะชวยใหเชอมโยงกบเรองตาง ๆและทาใหเกดความรกวางขวางขน

. ขนประเมน (Evaluation) เปนการประเมนการเรยนรดวยกระบวนการตาง ๆ วานกเรยนมความรอะไรบาง อยางไร และมากนอยเพยงใด จากขนนจะนาไปสการนาความรไปประยกตใชในเรองอนๆ การนาความรหรอแบบจาลองไปใชอธบายหรอประยกตใชกบเหตการณหรอเรองอน ๆ จะนาไปสขอโตแยงหรอขอจากดซงจะกอใหเกดประเดนหรอคาถาม หรอปญหาทจะตองสารวจตรวจสอบตอไป ทาใหเกดเปนกระบวนการทตอเนองกนไปเรอย ๆ จงเรยกวา Inquiry cycle กระบวนการสบเสาะหาความรจงชวยใหนกเรยนเกดการเรยนรทงเนอหาหลกและหลกการ ทฤษฎ ตลอดจนลงมอปฏบตเพอใหไดความรซงจะเปนพนฐานในการเรยนตอไป

กระบวนการจดการเรยนรแบบ E เปนรปแบบการจดการเรยนรทเนน การพฒนาความสามารถในการแกปญหา ดวยวธการฝกใหผ รยนรจกศกษาคนควาหาความรโดยผสอนตงคาถาม เพอกระตนใหผ เรยนใชกระบวนการทางความคดหาเหตผลจนพบความรหรอแนวทางในการแกปญหาทถกตองดวยตนเอง สรปเปนหลกการ กฎเกณฑ หรอวธการในการแกปญหาและสามารถนาไปประยกตใชในการควบคม ปรบปรงเปลยนแปลง หรอสรางสรรค สงแวดลอมในสภาพการณตาง ๆ ไดอยางกวางขวาง (พกตรผกา ศรสวาง,ประสทธ ทองแจม และ สรพล เนาวรตน. )

สรปในบทแรกของตาราเลมนจะชใหเหนถงธรรมชาตและโครงสรางทางคณตศาสตร อนมแนวคดจาก

การสงเกตธรรมชาต จนไดมาซงคาอนยามและระบบสจพจน รวมถงการสรางบทนยาม ทฤษฎบท และการคาดการณขอความทคดวาจะเปนจรงโดยผานกระบวนการพสจนคอการใหเหตผลอยางเปนระบบจนสดทายออกมาเปนทฤษฎบท หรอไมขอคาดการณนนกเปนเทจเมอมผพบตวอยางอยางคาน แตการกาหนดสจพจนบางอยางอาจจะทาใหเกดขอขดแยงทเปนจรงทเรยกวาปฏทรรศน เชนสจพจนขอทเซตของคนทอรในเรองทฤษฎ ทาใหนกคณตศาสตรตองระมดระวงการกาหนดสจพจนตาง ๆ มากยงขนประเดนสดทายในบทนกคอความสาคญของหลกการคณตศาสตร ไดอธบายใหเหนวา เปนรากฐานทสาคญของคณตศาสตร ซงจะนาไปใชทาความเขาใจในคณตศาสตรระดบสงตอไป

. . การจดการเรยนรแบบ E

คาถามทายบท. จากคากลาวทวา "คณตศาสตรเปนศลปะอยางหนง" จงยกตวอยางพรอมอธบายโดยสงเขป. จงบอกองคประกอบของระบบสจพจน. จงยกตวอยางสจพจนทคณรจกมาอยางนอย สจพจน. จงอธบายปฏทรรศนของแตละเหตการณตอไปน

. ชายคนหนงสอบถามนาย A และ B นาย A พดวา "นาย B พดแตเรองโกหก" สวนนาย B กพดวา "นาย A พดแตความจรง" แลวใครพดความจรง ใครพดโกหกกนแน

. (Crocodile Dilemma) จระเขขโมยลกของชายผหนงไป แตมนใหคาสญญาวา มนจะคนลกใหหากชายผนนทายใจมนไดถกตองวามนจะทาอะไร ชายผนนเดาใจมนวา "เขาจะไมไดลกกลบคนมา"

. เตาแขงกบอาคลส โดยเตาบอกใหอาคลสตอใหสบเมตร ซงอาคลสกตกลง แตกอนจะเรมแขงกน เตากบอกกบอาคลสวา ถาอาคลสจะเดนทนเตาจะตองเดนผานครงทางใหไดซะกอนอาคลสกเหนดวยกบทเตาบอก อาคลสจะชนะเตาไดหรอไม

บทท . บทนา

เอกสารอางองกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ : สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.พมพเพญ เวชชาชวะ. ( ). ระบบจานวน. กรงเทพฯ : ว.พรนท( ).พกตรผกา ศรสวาง, ประสทธ ทองแจม และ สรพล เนาวรตน. ( ). ผลการใชกระบวนการ

จดการเรยนรแบบ E วชาคณตศาสตร เรองเซต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท . วารสารศกษาศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม ปท ฉบบพเศษ เมษายนพ.ศ.

.อมพร มาคนอง. ( ). คณตศาสตรสาหรบครมธยม. กรงเทพฯ : สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.Pual Glendinning. ( ). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions Ltd.http://mathworld.wolfram.com/Paradox.html สบคน มนาคม .

แผนบรหารการสอนประจาบททหวขอเนอหาประจาบท

. ประพจน

. สมมลของประพจน

. สจนรนดร

. การอางเหตผล

. ตวบงปรมาณ

. การจดการเรยนรเรองตรรกศาสตรวตถประสงคเชงพฤตกรรม

. บอกไดวาประโยคใดเปนประพจน

. ตรวจสอบไดวาประพจนใดสมมลกน

. ตรวจสอบไดวาประพจนใดเปนสจนรนดร

. สามารถอางเหตผลไดอยางสมเหตสมผล

. สามารถเขยนขอความในรปตวบงปรมาณได

. เขาใจการจดการเรยนรเรองตรรกศาสตรวธและกจกรรมการเรยนการสอน

. วธสอน. วธสอนแบบบรรยาย ประกอบสออเลกทรอนกส. ใชสอทางอนเตอรเนต และใหแตละคนแสดงความคดเหน. วธสอนแบบอภปราย โดยใหหวขอเปนกลมและมานาเสนอหนาชน

. กจกรรมการเรยนการสอน. บรรยายสรปโดยใชสอการสอนประกอบ. ใหผ เรยนศกษาเนอหาจากชดการสอน หนงสอ ตารา เอกสารเพมเตม และสอออนไลน. อภปรายรายกลมตามหวขอทไดรบมอบหมาย

สอการเรยนการสอน

. ชดการสอน เรอง "ตรรกศาสตร"

. สออเลกทรอนกส เรอง "ตรรกศาสตร"

. หนงสอ ตารา เอกสารทเกยวของ

การวดผลและประเมนผล. สงเกตการตอบคาถามและตงคาถามของผ เรยนในระหวางการบรรยายและซกถาม. วดผลจากการทาแบบฝกหดระหวางเรยนตามเนอหาทไดรบมอบหมาย. ตรวจ assignment บนทกคะแนนลงในใบบนทกคะแนน. ตรวจการทาการบาน บนทกลงในบนทกผลงาน

บททตรรกศาสตร

ตรรกศาสตร เมอแปลตามพจนานกรมฉบบราชบณฑตยสถาน พ.ศ. หมายถงปรชญาสาขาหนงวาดวยการคดหาเหตผลวาจะสมเหตสมผลหรอไม ตรงกบคาวา logic ในภาษาองกฤษ ตรรกศาสตรนนมบทบาทสาคญตอการกาหนดโครงสรางของการเขยนขอความทางคณตศาสตร รวมถงการใหเหตผลอยางเปนระบบเพอยนยนวาขอความเหลานนเปนจรงหรอเปนเทจ ตรรกศาสตรมบทบาทสาคญมากในการทาใหเราไดขอสรปและขอโตแยงตาง ๆ จากเหตทเราม และยงมสวนอยางมากในการทาใหเราไดกฎเกณฑและทฤษฎบทตาง ๆ ทงในดานคณตศาสตรและวทยาศาสตรอยางสมเหตสมผล และสามารถนาไปประยกตไดอยางถกตองและเกดประโยชน (กรรณกา กวกเพฑรย. . หนา ) จะเหนไดวาทฤษฎบทตาง ๆ ทเกดขนลวนมาจากการใหเหตผลเชงตรรกศาสตรทงสน จงเปนหลกการททกคนตองยอมรบเพอใหไดมาซงความจรงเหลานน

ในบทนจะกลาวถงประโยคทางตรรกศาสตรทเรยกวาประพจน การนาประพจนเหลานนมาเชอมกนดวยตวเชอม ศกษาประพจนทมความหมายเดยวกนหรอเรยกวาประพจนทสมมลกน ประพจนทมคาความจรงเปนจรงเพยงอยางเดยวหรอสจนรนดร กลาวถงการอางเหตผลอยางสมเหตสมผลอนเปนพนฐานของวธการพสจนในบทตอไป และการเปลยนประโยคภาษาใหเปนประโยคสญลกษณโดยใชตวบงปรมาณสดทายจะนาเสนอตวอยางแนวการสอนตรรกศาสตรในระดบมธยมสาหรบครคณตศาสตร

. ประพจนประโยคในบทนยามหรอทฤษฎบทในทางคณตศาสตร อาจเหมอนประโยคทวไปแทจรงแลวมลกษณะ

การเขยนเฉพาะตว โดยทขอความเหลานนถกเขยนตามหลกตรรกศาสตร จะทาใหสอความหมายของผเขยนไดอยางถกตอง ดวยเหตนจงตองศกษารปแบบของขอความทางตรรกศาสตรเพอนาไปใชไดถกตอง

ขอความทนาสนใจทางคณตศาสตรเปนขอความทเราตดสนใจไดวา ตองเปนจรงหรอเปนเทจอยางใดอยางหนงเทานน จะเปนทงสองอยางไมได กลาวคอถาขอความใดไมเปนจรงแลวขอความนนตองเปนเทจในนยกลบกน ถาขอความใดไมเปนเทจแลวขอความนนตองเปนจรง (พฒน อดมกะวานช. . หนา )เรยกขอความหรอประโยคเหลานนวา ประพจน (proposition หรอ statement)

บทท . ตรรกศาสตร

บทนยาม . . ประพจน คอประโยคหรอขอความทมคาความจรง (truth value) เปนจรง (true) หรอคาความจรงเปนเทจ (false) อยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยวตวอยาง . . จงพจารณาวาประโยคตอไปนเปนประพจนหรอไม ถาเปนประพจนใหบอกคาความจรงของประพจนเหลานน

. พระอาทตยขนทางทศตะวนออก เปนประพจน คาความจรงเปนจรง

. เขาเปนคนองกฤษ ไมเปนประพจน

. กรณา เปดหนาตางใหฉนหนอย ไมเปนประพจน

. คณมาทาอะไรทน ไมเปนประพจน

. จงหวดเลยไมอยในภาคเหนอของประเทศไทย เปนประพจน คาความจรงเปนเทจ

. คณพระชวย ! ไมเปนประพจน

. พตองพาฉนไปดหนงนะ ไมเปนประพจน

. x > 1 ไมเปนประพจน

. จานวนเฉพาะทกจานวนเปนจานวนค เปนประพจน คาความจรงเปนเทจจากตวอยาง . . ประโยคขอรอง คาถาม คาสง และคาอทาน ไมเปนประพจนเพราะไมสามารถหา

คาความจรงได ในสวนของขอ "เขาเปนคนองกฤษ" ถา "เขา" หมายถง ณเดช ขอความนจะเปนประพจนเพราะมคาความจรงเปนเทจ จะเรยก "เขา" วาตวแปร ในทานองเดยวกนขอ ม x เปนตวแปร ถาทราบวา x คออะไรจะทาใหขอความดงกลาวเปนประพจน ขอความลกษณะนเรยกวา ประโยคเปด (opensentence) ดงนยามตอไปนบทนยาม . . ประโยคเปด คอประโยคบอกเลาหรอประโยคปฏเสธทมตวแปร (variable) และเมอแทนทตวแปรดวยสมาชกในเอกภพสมพทธ (universe) แลวประโยคนนจะเปนประพจน

จากตวอยาง . . ขอ , , และ เปนประโยคเดยวทเปนประพจนซงเรยกวา ประพจนเชงเดยว(single statement)ตอไปจะกลาวถงประพจนทมตวเชอม (connective) เรยกวาประพจนเชงประกอบ(compound statement) ตวเชอมประพจนม ชนดคอ

. และ . หรอ . ถา...แลว . กตอเมอบทนยาม . . ให p, q เปนประพจน ขอความรวม (conjunction) ของ p และ q เขยนแทนดวย

p ∧ q อานวา p และ q (p and q)จะมคาความจรงเปนจรงไดเพยงกรณเดยวเทานนคอ p และ q มคาความจรงเปนจรง

. . ประพจน

สรปคาความจรงในแตละกรณตามตารางดงตอไปนซงเรยกวา ตารางคาความจรง (truth table) เมอp และ q เปนประพจน และ T แทนคาความจรงเปนจรง F แทนคาความจรงเปนเทจ

p q p ∧ q

T T TT F FF T FF F F

ตารางท คาความจรงของขอความรวม p ∧ q

ตวอยาง . . จงพจารณาคาความจรงของประพจนตอไปน. องกฤษเปนประเทศในยโรปและไทยเปนประเทศเอเชย คาความจรงเปนจรง. 2 เปนจานวนค และ 1.2 เปนจานวนนบ คาความจรงเปนเทจ. 2 = 3 และ 2 = 2 คาความจรงเปนเทจ

บทนยาม . . ให p, q เปนประพจน ขอความเลอก (disjuction) ของ p และ q เขยนแทนดวยp ∨ q อานวา p หรอ q (p or q)

จะมคาความจรงเปนเทจไดเพยงกรณเดยวเทานนคอ p และ q มคาความจรงเปนเทจ สรปคาความจรงในแตละกรณตามตารางดงตอไปน

p q p ∨ q

T T TT F TF T TF F F

ตารางท คาความจรงของขอความเลอก p ∨ q

ตวอยาง . . จงพจารณาคาความจรงของประพจนตอไปน. ประเทศไทยตดกบประเทศลาวหรอญป นเปนประเทศในเอเชย คาความจรงเปนจรง

. 2 เปนจานวนค หรอ 3 เปนจานวนค คาความจรงเปนเทจ

. 8 < 8 หรอ 8 = 8 คาความจรงเปนจรงบทนยาม . . ให p, q เปนประพจน ขอความแบบเงอนไข (conditional statement/implication) ของp และ q

บทท . ตรรกศาสตรp → q อานวา ถา p แลว q (if p then q)

เรยก p วา เหต (hypothesis) และเรยก q วา ผล (conclusion) จะมคาความจรงเปนเทจไดเพยงกรณเดยวเทานนคอ p มคาความจรงเปนจรง และ q มคาความจรงเปนเทจ และเรยก q → p วาบทกลบ (converse)ของ p → q สรปคาความจรงในแตละกรณตามตารางดงตอไปน

p q p → q

T T TT F FF T TF F T

ตารางท คาความจรงของขอความแบบมเงอนไข p → q

เราอาจจะพบขอความ p → q ในรปแบบอน ๆ เชน• q ถา p (q if p)• p ทาใหได q (p implies q)• p เปนเงอนไขทเพยงพอของ q (p is a sufficient condition for q)• q เปนเงอนไขทจาเปนของ p (q is a necessary condition for p)

ตวอยาง . . จงพจารณาคาความจรงของประพจนตอไปน. ถา iPhone เปนโทรศพท แลวนวตนเปนคนองกฤษ คาความจรงเปนจรง. ถา 2 เปนจานวนค แลว 1 เปนจานวนนบ คาความจรงเปนจรง. ถา 1 + 3 + 5 = 9 แลว 2× 3 = 23 คาความจรงเปนเทจ. ถา 9 · 0 = 9 แลวเชยงใหมอยภาคใตของประเทศไทย คาความจรงเปนจรงจากบทนยามของตวเชอมทง ตวจะไดขอสงเกตดงตอไปน เมอให p เปนประพจนใด ๆ. F ∧ p มคาความจรงเปน F

. T ∨ p มคาความจรงเปน T

. F → p มคาความจรงเปน T

. p → T มคาความจรงเปน T

ประพจน (p → q) ∧ (q → p) เขยนแทนดวยสญลกษณ p ↔ q อานวา p กตอเมอ q ดงนน

. . ประพจน

(p → q) ∧ (q → p) มความหมายวา p ↔ q

จะเรยก p ↔ q วาขอความผนกลบได (biconditional statement) ดงนยามตอไปนบทนยาม . . ให p, q เปนประพจน ขอความแบบผนกลบได ของ p และ q เขยนแทนดวย

p ↔ q อานวา p กตอเมอ q ( p if and only if q, p iff q )จะมคาความจรงเปนจรงเหมอนกบขอความ (p → q) ∧ (q → p) สรปคาความจรงในแตละกรณตามตารางดงตอไปน

p q (p → q) (q → p) (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q

T T T T T TT F F T F FF T T F F FF F T T T Tตารางท คาความจรงของขอความแบบผนกลบได p ↔ q

ตวอยาง . . จงพจารณาคาความจรงของประพจนตอไปน. 1 เปนจานวนค กตอเมอ 5 เปนจานวนนบ คาความจรงเปนเทจ. สนขมเขา กตอเมอ 1 + 1 = 2 คาความจรงเปนจรง. 2−2 = 1 กตอเมอ 3 > 7 คาความจรงเปนจรง. 1 = 1 กตอเมอ นกขมนบนไมได คาความจรงเปนเทจตอไปจะกลาวถง นเสธของประพจน (negation of proposition) หมายถงประพจนทมคาความจรง

ตรงขามกบประพจนนน ดงนยามตอไปนบทนยาม . . ให p เปนประพจน แลว นเสธของประพจน ของ p เขยนแทนดวย

∼ p อานวา นเสธ p (not p)จะมคาความจรงตรงขามกบ p

p ∼ p

T FF T

ตารางท คาความจรงของ ∼ p

ตวอยาง . . จงหานเสธของประพจนตอไปน

บทท . ตรรกศาสตร. องกฤษเปนประเทศในทวปเอเชย นเสธคอ องกฤษไมเปนประเทศในทวปเอเชย

. ∅ เปนเซตอนนต นเสธคอ ∅ ไมเปนเซตอนนต

. นกเขาม 2 ขา นเสธคอ นกเขาไมม 2 ขา

เมอประพจนมการใชตวเชอมหลาย ๆ ตวอาจจะเกดความสบสนของการพจารณาคาความจรง ดงนนเพอความสะดวกจงนยมกาหนดลาดบกอนหลงของตวเชอมประพจนดงน

. ∼

. ∧, ∨ (กรณมทงสองตวเชอมตองใสวงเลบคน)

. →

. ↔

เชนถาเขยน ∼ p ∧ q ↔ r →∼ p จะหมายถง [(∼ p) ∧ q] ↔ [r → (∼ p)] ในกรณทพบตวเชอม ∧, ∨ผ เขยนมกตองใสวงเลบเสมอเพอหลกเลยงการตความหมายผดไป เชน (p∨ q)∧ r แตจะไมเขยน p∨ q ∧ r

ตวอยาง . . จงเขยนประพจนตอไปนตามลาดบกอนหลง

1) ∼ r → p ∧ q ↔ r คาตอบคอ [(∼ r) → (p ∧ q)] ↔ r

2) ∼ p∧ ∼ r → q∧ ∼ r คาตอบคอ [(∼ p) ∧ (∼ r)] → [q ∧ (∼ r)]

3) p∧ ∼ r ↔∼ p →∼ q คาตอบคอ [p ∧ (∼ r)] ↔ [(∼ p) → (∼ q)]

เนองจาก ∼ เปนตวเชอมลาดบแรกจงมกจะละวงเลบในการเขยนเชน ∼ p →∼ q แทนประพจน(∼ p) → (∼ q)

ตอไปจะกลาวถงการสรางตารางคาความจรงเพอแสดงคาความจรงทงหมดของประพจนตาง ๆ ทกาหนดให เรมตนจากการนบจานวนประพจนยอย ๆ ทงหมด โดยใชกฎการนบจะแสดงจานวนดงตารางตอไปน เมอให n เปนจานวนนบ

จานวนประพจนยอย 1 2 3 4 5 6 7 ... n

จานวนกรณ 2 4 8 16 32 64 128 ... 2n

ตารางท ความสมพนธของจานวนประพจนยอยกบจานวนกรณของคาความจรง

ตวอยาง . . จะเหนไดวาประพจน (p → r)∨(p ↔ q) มประพจนยอย ประพจน ทาใหสรางตารางคาความจรงได กรณ ดงน

. . สมมลของประพจน

p q r p → r p ↔ q (p → r) ∨ (p ↔ q)

T T T T T TT T F F T TT F T T F TT F F F F FF T T T F TF T F T F TF F T T T TF F F T T T

. สมมลของประพจนในหวขอนจะกลาวถงสองประพจนมความหมายเดยวกนในทางตรรกศาสตรซงจะเรยกวา สมมลกน

เชงตรรกศาสตร (logically equivalent) ซงมนยามดงตอไปนบทนยาม . . ประพจน p สมมล (equivalence) กบ q เขยนแทนดวย p ≡ q กตอเมอประพจนทงสองมคาความจรงตรงกนทกกรณตวอยาง . . จงแสดงวา p → q สมมลกบ ∼ q →∼ p โดยสรางตารางคาความจรง

p q p → q ∼ q ∼ p ∼ q →∼ p

T T T F F TT F F T F FF T T F T TF F T T T T

ดงนน p → q ≡ ∼ q →∼ p เรยกสมบตนวากฎแยงสลบท (contrapositive law) ตวอยางเชน "ถาแดงไปโรงเรยนแลวแดงจะไดกนขนม" โดยใชกฎแยงสลบทจะสมมลกบ "ถาแดงไมไดกนขนมแลวแดงไมไปโรงเรยน" เปนตนตวอยาง . . จงตรวจสอบวาประพจนตอไปนสมมลกนหรอไม โดยใชตารางคาความจรง

. p ∨ q และ ∼ p → q

p q ∼ p p ∨ q ∼ p → q

T T F T TT F F T TF T T T TF F T F F

บทท . ตรรกศาสตร

ดงนน p ∨ q ≡∼ p → q

. (p ∨ q) → r และ (p → r) ∨ (q → r)

p q r p ∨ q p → r q → r (p ∨ q) → r (p → r) ∨ (q → r)

T T T T T T T TT T F T F F F FT F T T T T T TT F F T F T F TF T T T T T T TF T F T T F F TF F T F T T T TF F F F T T T T

ดงนน (p ∨ q) → r ไมสมมลกบ (p → r) ∨ (q → r)

การตรวจสอบสมมลในตวอยาง . . ทาไดงายเมอใชตารางคาความจรง เนองจากมจานวนประพจนยอยทไมมากนก แตเมอประพจนยอยมจานวนมากจะทาใหกรณของคาความจรงมจานวนมากตามไปดวย การตรวจสอบโดยตารางอาจจะไมสะดวก จงตองศกษาสมบตตาง ๆ เพอเปนเครองมอในการตรวจสอบอกทางหนง

ตอไปนจะเปนตวอยางของประพจนทสมมลกนสามารถนาไปอางได ผ อานสามารถตรวจสอบไดจากตารางคาความจรง เมอกาหนดให p, q และ r เปนประพจนใด ๆ จะไดสมมลดงตอไปน

(E ) p ∧ p ≡ p กฎนจพล (Idempotent law)p ∨ p ≡ p

(E ) p ∧ q ≡ q ∧ p กฎการสลบท (Commutative law)p ∨ q ≡ q ∨ p

(E ) p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r กฎการเปลยนหม (Associative law)p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

(E ) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) กฎการแจกแจง (Distributive law)p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(E ) ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q กฎเดอมอรแกน (De Morgan's law)∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q

(E ) ∼ (∼ p) ≡ p กฎนเสธซอน (Double negation law)(E ) p → q ≡∼ q →∼ p กฎแยงสลบท (contrapositive law)

. . สมมลของประพจน

(E ) p → q ≡∼ p ∨ q

(E ) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) ≡ (q ↔ p)

(E ) p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (∼ p →∼ q)

(E ) p ↔ q ≡ (∼ q →∼ p) ∧ (∼ p →∼ q) ≡∼ p ↔∼ q

(E ) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r)

(E ) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)

(E ) (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r)

(E ) (p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

ตวอยาง . . ให p, q เปนประพจนใด ๆ จงแสดงวา ∼ (p ∧ q)∨ ∼ (p ∨ q) ≡∼ (p ∧ q)

แสดงไดดงน∼ (p ∧ q)∨ ∼ (p ∨ q) ≡∼ [(p ∧ q) ∧ (p ∨ q)] โดย (E6)

≡∼ [((p ∧ q) ∧ p) ∨ ((p ∧ q) ∧ q)] โดย (E5)

≡∼ [((p ∧ p) ∧ q) ∨ (p ∧ (q ∧ q))] โดย (E3)

≡∼ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ q)] โดย (E1)

≡∼ (p ∧ q) โดย (E1)

ตวอยาง . . ให p, q, r เปนประพจนใด ๆ จงแสดงวา (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r)

แสดงไดดงน(p ∧ q) → r ≡∼ (p ∧ q) ∨ r โดย (E9)

≡ (∼ p∨ ∼ q) ∨ r โดย (E6)

≡ (∼ p∨ ∼ q) ∨ (r ∨ r) โดย (E1)

≡ (∼ p ∨ r) ∨ (∼ q ∨ r) โดย (E3)

≡ (p → r) ∨ (q → r) โดย (E9)

ตอไปจะกลาวถงนเสธของประพจนเชงประกอบของตวเชอมทง ซงสรปไดดงตอไปน (ผอานสามารถตรวจสอบไดโดยใชตารางคาความจรง) สาหรบประพจน p และ q จะไดวา

. ∼ (p ∧ q) ≡∼ p∨ ∼ q

. ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q

. ∼ (p → q) ≡ p∧ ∼ q

. ∼ (p ↔ q) ≡∼ p ↔ q ≡ p ↔∼ q

ตวอยาง . . ให p, q, r เปนประพจนใด ๆ จงหานเสธของประพจนตอไปน

บทท . ตรรกศาสตร. p ∧ (∼ q ∨ r) มนเสธคอ

∼ [p ∧ (∼ q ∨ r)] ≡∼ p∨ ∼ (∼ q ∨ r)

≡∼ p ∨ (q∧ ∼ r)

ดงนนนเสธของ p ∧ (∼ q ∨ r) คอ ∼ p ∨ (q∧ ∼ r)

. p → (q → r) มนเสธคอ∼ [p → (q → r)] ≡ p∧ ∼ (q → r)

≡ p ∧ (q∧ ∼ r)

ดงนนนเสธของ p → (q → r) คอ p ∨ (q∧ ∼ r)

ตวอยาง . . จงหานเสธของขอความตอไปน. เสอเปนสแดงและกางเกงเปนสดานเสธคอ เสอไมเปนสแดงหรอกางเกงไมเปนสดา

. 2 > 5 หรอ 8 เปนจานวนคนเสธคอ 2 ≤ 5 และ 8 ไมเปนจานวนค

. ถาหนองบอนเปนจงหวดแลวเลยไมเปนอาเภอนเสธคอ หนองบอนเปนจงหวดและเลยเปนอาเภอ

. xy = 12 กตอเมอ x = 3 และ y = 4

นเสธคอ "xy = 12 กตอเมอ x = 3 และ y = 4" หรอ "xy = 12 กตอเมอ x = 3 หรอ y = 4"

. สจนรนดรประพจนบางประพจนมคาความจรงเปนจรงเพยงอยางเดยวเพราะรปแบบของประพจนนน เชน

" เปนจานวนคหรอ เปนจานวนค" เรยกประพจนลกษณะแบบนวา สจนรนดร (tautology)บทนยาม . . ประพจนทมรปแบบทมคาความจรงเปนจรงเสมอเรยกวา สจนรนดร และเรยกนเสธของสจนรนดรวา ขอความขดแยง (contradiction)ตวอยาง . . จงแสดงวาประพจน p → (p ∨ q) เปนสจนรนดร

p q p ∨ q p → (p ∨ q)

T T T TT F T TF T T TF F F T

. . สจนรนดร

ดงนน p → (p ∨ q) เปนสจนรนดร เรยกวาการเพม (addition)

ตวอยาง . . จงแสดงวาประพจน p∧ ∼ p เปนขอความขดแยงp ∼ p p∧ ∼ q

T F FF T F

ดงนน p∧ ∼ p เปนขอความขดแยงตวอยาง . . จงแสดงวาประพจน (p → q) ↔ (∼ p ∨ q) เปนสจนรนดร

p q ∼ p ∼ p ∨ q p → q (p → q) ↔ (∼ p ∨ q)

T T F T T TT F F T T TF T T F F TF F T T T T

ดงนน (p → q) ↔ (∼ p ∨ q) เปนสจนรนดรจากตวอยาง . . เมอพจารณา p → q และ ∼ p ∨ q ทงสองประพจนสมมลกนซงหมายความวามคา

ความจรงตรงกนทกกรณ เมอนาทงสองประพจนมาเชอมดวย ↔ ทาใหสรปไดวา (p → q) ↔ (∼ p ∨ q) มคาความจรงเปนจรงทกกรณหรอเปนสจนรนดร ในกรณทวไปจะเหนไดวาถา p ≡ q กตอเมอ p ↔ q เปนสจนรนดร (ในหนงสอบางเลมอาจนยามสมมลจากขอสรปดงกลาว) ดงนนสมมลของประพจนตาง ๆ ทเคยกลาวไวในหวขอ . จะสรปเปนสจนรนดรไดดงน เมอให p, q และ r เปนประพจนใด ๆ

(T ) p ∧ p ↔ p กฎนจพล (Idempotent law)p ∨ q ↔ p

(T ) p ∧ q ↔ q ∧ p กฎการสลบท (Commutative law)p ∨ q ↔ q ∨ p

(T ) p ∧ (q ∧ r) ↔ (p ∧ q) ∧ r กฎการเปลยนหม (Associative law)p ∨ (q ∨ r) ↔ (p ∨ q) ∨ r

(T ) p ∧ (q ∨ r) ↔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) กฎการแจกแจง (Distributive law)p ∨ (q ∧ r) ↔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

(T ) ∼ (p ∨ q) ↔∼ p∧ ∼ q กฎเดอมอรแกน (De Morgan's law)∼ (p∧) ↔∼ p∨ ∼ q

(T ) ∼ (∼ p) ↔ p กฎนเสธซอน (Double negation law)

บทท . ตรรกศาสตร

ในทานองเดยวกนเมอพจารณาคาความจรงทไดจากการเชอมทงสองประพจนดวย → จะไดขอสรปดงน

ถา p ≡ q แลว p → q เปนสจนรนดรเมอ p และ q เปนประพจนใด ๆ ซงสามารถนาไปใชตรวจสอบสจนรนดรของประพจนทอยในรปดงกลาวไดดงตวอยางตอไปนตวอยาง . . จงตรวจสอบขอความตอไปนวาเปนสจนรนดรหรอไม

. ∼ (p ∨ q) ↔ (p∧ ∼ q)

โดยกฎเดอมอรแกน ∼ (p ∨ q) ≡∼ p∧ ∼ q ดงนน ∼ (p ∨ q) ไมสมมลกบ p∧ ∼ q จะไดวา∼ (p ∨ q) ↔ (p∧ ∼ q) ไมเปนสจนรนดร

. [(p → r) ∨ (p → q)] ↔ (p → r ∨ q)

จาก (E ) จะไดวา (p → r)∨ (p → q) ≡ (p → r∨q) จะไดวา [(p → r)∨ (p → q)] ↔ (p → r∨q)

เปนสจนรนดร. (p∨ ∼ q) → (q → p)

เนองจาก p∨ ∼ q ≡ q → p จะไดวา (p∨ ∼ q) → (q → p) เปนสจนรนดร. [(p ∨ q) → r] ↔ [∼ r → (∼ p∧ ∼ q)]

โดยกฎแยงสลบทและกฎเดอมอรแกนจะไดวา (p ∨ q) → r ≡∼ r → (∼ p∧ ∼ q) สรปไดวาขอความนเปนสจนรนดร

ตอไปนเปนตวอยางสจนรนดรทมกนาไปใชอางองบอยครง ผ อานสามารถตรวจสอบไดโดยใชตารางคาความจรง เมอให p, q, r เปนประพจน และ c แทนขอความขดแยง แลวประพจนตอไปนเปนสจนรนดร

(T ) ∼ p ∨ p หรอ ∼ (∼ p ∧ p)

(T ) p → p

(T ) p → p ∨ q Addition(T ) p ∧ q → p Simplification

p ∧ q → q

(T ) p ∧ (p → q) → q Modus ponens(T ) ∼ q ∧ (p → q) →∼ p Modus tollens(T ) (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) Hypothetical syllogism(T ) (p ∨ q)∧ ∼ p → q Disjunctive syllogism

(p ∨ q)∧ ∼ q → p

(T ) (∼ p → c) → p

. . สจนรนดร

เนองจากประพจนทเปนสจนรนดรมคาความจรงเปนจรงทก ๆ กรณ ถาสมมตวามกรณทคาความจรงเปนเทจแลวนาไปสความขดแยงแสดงใหเหนวาประพจนนมคาความจรงเปนเทจไมได นนคอมคาความจรงทกกรณหรอเปนสจนรนดรนนเอง เรยกวธนวา การตรวจสอบสจนรนดรโดยวธขดแยง ในกรณประพจนทตองการตรวจสอบอยในรปแบบ p → q หรอ p ∨ q ซงทง รปแบบมคาความจรงเปนเทจเพยงกรณเดยวเทานน อาจจะใช แผนภาพตนไม (tree diagram) เพอหาคาความจรงของประพจนยอย แลวสรปไดดงน

• ถาคาความจรงของประพจนยอยเปนไปได แสดงวาประพจนดงกลาวไมเปนสจนรนดร

• ถาคาความจรงของประพจนยอยเกดขอขดแยง แสดงวาประพจนดงกลาวเปนสจนรนดร

ตวอยาง . . จงตรวจสอบขอความตอไปนวาเปนสจนรนดรโดยวธขดแยง

. (p ∧ q) → (p ∨ q)

(p ∧ q) → (p ∨ q)

F

T F

T T FF

จากแผนภาพตนไมขวามอ p มคาความจรงเปน T และซายมอมคาความจรงเปน F จงเกดขอขดแยงทาใหสรปไดวา (p ∧ q) → (p ∨ q) เปนสจนรนดร

. (p → q) ∨ (p ↔ q)

(p → q) ∨ (p ↔ q)

F

F F

T F FT

จากแผนภาพตนไม p มคาความจรงเปน T และ q มคาความจรงเปน F ดงนน (p → q) ∨ (p ↔ q)

มคาความจรงเปนเทจอยางนอย กรณ สรปไดวาประพจนนไมเปนสจนรนดร

บทท . ตรรกศาสตร

. การอางเหตผลและการพสจนเมอมคนกลาววา "เมอใดกตามทฝนตกการจราจรจะตดขด" ถาวนนฝนตกสามารถสรปไดหรอไมวาวน

นการจราจรจะตดขด ถาเชอคากลาวอางขางตนวาเปนจรงจะสรปไดวาวนนจราจรจะตดขด จะเรยกวาอางเหตผลแบบสมเหตสมผล แตถาวนนจราจรตดขดจะสรปไดหรอไมวาฝนตก คาตอบกคอไมสามารถสรปได เนองจากไมสอดคลองกบคากลาวอางทเชอวาเปนจรง เรยกวาการอางเหตผลแบบไมสมเหตสมผล คากลาวอางตาง ๆ ในทางตรรกศาสตรมมากมายและซบซอนแตกตางกนไป จงจาเปนตองมวธการตรวจสอบทเปนระบบดงจะกลาวในหวขอน สดทายจะใหความหมายของบทพสจนซงเปนทยอมรบและใชในการพสจนขอความทางคณตศาสตรวาเปนจรงบทนยาม . . การอางเหตผล (argument) คอการอางวาประพจน p1, p2, p3, ..., pn ซงจะเรยกวา เหตนนสามารถสรปประพจน q ซงจะเรยกวาผลสรป เขยนแทนดวย

p1, p2, p3, ..., pn ⊢ q

การอางเหตผลจะสมเหตสมผล (valid) กตอเมอp1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn → q

เปนสจนรนดร นอกเหนอจากนเปนการอางเหตผลทไมสมเหตสมผล (invalid)

ตวอยาง . . จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม โดยใชตารางคาความจรง. เหต . p → q

. ∼ q

ผล ∼ p

p q (∼ q ∧ p → q) → ∼ p

T T F F T T FT F T F F T FF T F F T T TF F T T T T Tการอางเหตผลนสมเหตสมผล

. เหต . p → q

. ∼ p

ผล ∼ q

p q (∼ p ∧ p → q) → ∼ q

T T F F T T FT F F F F T TF T T T T F FF F T T T T Tการอางเหตผลนไมสมเหตสมผล

เนองจากเปนการอางเหตผล p1, p2, p3, ..., pn ⊢ q อยในรปp1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn → q

เพอตรวจสอบการเปนสจนรนดร อาจตรวจสอบโดยใชวธขดแยง ดงตวอยางตอไปนตวอยาง . . จงตรวจสอบการอางเหตผล p ∨ q, ∼ q ⊢∼ p โดยใชวธขดแยง

. . การอางเหตผลและการพสจน

นนคอตรวจสอบสจนรนดรของ (p ∨ q)∧ ∼ q →∼ p โดยวธขดแยงดงแผนภาพตนไมตอไปน(p ∨ q)∧ ∼ q →∼ p

F

T F

T T

FT F

T

จากแผนภาพตนไม p มคาความจรงเปน T และ q มคาความจรงเปน F ทาใหประพจน (p∨q)∧ ∼ q →∼ p

มคาความจรงเปนเทจอยางนอย กรณ นนคอประพจนนไมเปนสจนรนดร สรปไดวาการอางเหตผลนไมสมเหตสมผลบทนยาม . . ให p และ q เปนประพจน กลาววา

p สรป q ไดในเชงตรรกศาสตร (p logically implies q)เขยนแทนดวย p ⇒ q กตอเมอประพจน p → q เปนสจนรนดรตวอยาง . . ให p และ q เปนประพจน จะไดวา p ∧ (p → q) สรป q ไดในเชงตรรกศาสตร แสดงไดโดยตารางคาความจรงตอไปน

p q [p ∧ (p → q)] → q

T T T T TT F F F TF T F T TF F F T T

ดงนน [p ∧ (p → q)] ⇒ q ซงเรยกวา กฎอนมาน (rule of influrence) หมายความวา q เปนผลเชงตรรกศาสตรจากขอสมมตฐาน p และ p → q หรอกลาวอกนยหนงวา ขอสมมตฐาน (hypothesis) นาไปสการสรปผล q

ทฤษฎบทในทางคณตศาสตรมกอยในรปมเหตสรปผล เมอตองการแสดงวา p → q เปนจรงจงเพยงพอทจะสมมตวาขอสมมตฐาน p เปนจรง และใชกฎทางตรรศาสตร และกฎการอนมานนาไปสผลสรป q

เปนจรง เพราะหากกรณท p เปนเทจไมวา q จะมคาความจรงอยางไร p → q จะเปนจรงเสมอบทนยาม . . จะกลาว q วา อนมาน (deduce) ไดจาก p1, p2, p3, ..., pn กตอเมอการอางเหตผลp1, p2, p3, ..., pn ⊢ q สมเหตสมผล ถามลาดบของขอความ

s1, s2, s3, ..., sk ลาดบสดทาย sk คอ q

โดยแตละลาดบ si, i = 1, 2, .., k ในลาดบนนตองมสมบตอยางนอยหนงใน ขอตอไปน

บทท . ตรรกศาสตร

(1) si เปนเหตอนหนง หรอขอสมมตฐาน(2) si เปนสจนรนดร

(3) si เปนขอสรปเชงตรรกศาสตร (logical consequence) ของขอความมากอนลาดบนเรยก s1, s2, s3, ..., sk วา บทพสจน (proof) ของ p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn ⇒ q เรยก p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn

วา สมมตฐาน และ q วา บทสรป

ทฤษฎบท (theorem) คอประพจนทสามารถพสจนไดวาเปนจรงเสมอจากบทนยามขางตนตวอยาง . . จงแสดงวา ∼ p อนมานไดจาก p → q, ∼ q

บทพสจนขอความทพสจน เหตผล. ∼ q ขอสมมตฐาน. p → q ขอสมมตฐาน. ∼ p จาก และ และ modus tollens (T )

ตวอยาง . . จงพสจนวา [(p →∼ q) ∧ (∼ r ∨ q) ∧ r] ⇒∼ p

บทพสจนขอความทพสจน เหตผล. p →∼ q ขอสมมตฐาน.∼ r ∨ q ขอสมมตฐาน. r ขอสมมตฐาน. q จาก และ และ disjunctive syllogism (T ). ∼ p จาก และ และ modus tollens (T )

บทพสจนของ p ⇒ q ตามบทนยาม . . จะเรยกวา การพสจนแบบตรง (direct proof) แตอาจจะมบทพสจนแบบอน ๆ หนงในนนคอ การพสจนแบบออม (indirect proof) ซงจะทาไดดงตอไปน กาหนดใหc แทนขอความขดแยง การอางเหตผล p1, p2, p3, ..., pn ⊢ q จะสมเหตสมผล โดยการพสจนวาขอความ

∼ (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn → q) → c

มคาความจรงเปนจรง (กฎการพสจนโดยความขดแยงกน) นนคอ

(p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn∧ ∼ q) → c

มคาความจรงเปนจรง

. . ตวบงปรมาณ

ตวอยาง . . จงพสจนวา p∨ ∼ q, q ⊢ p สมเหตสมผลบทพสจนแบบตรง

ขอความทพสจน เหตผล. p∨ ∼ q ขอสมมตฐาน. q ขอสมมตฐาน. p จาก , และ disjunctive syllogism (T )

บทพสจนแบบออมขอความทพสจน เหตผล. p∨ ∼ q ขอสมมตฐาน. q ขอสมมตฐาน. ∼ p ขอสมมตฐาน (นเสธของผลสรปในการพสจนแบบออม). ∼ q จาก , และ disjunctive syllogism (T ). q∧ ∼ q จาก และ (เกดขอขดแยง). p กฎการพสจนโดยความขดแยงกน

. ตวบงปรมาณให p แทนประพจน x > 2 เมอ x ∈ {1, 2, 3, 4}

x p : x > 2 คาความจรง1 1 > 2 F2 2 > 2 F3 3 > 2 T4 4 > 2 T

จากตารางจะเหนไดวาคาความจรงของประพจน p เปลยนไปตามคา x นยมใช p(x) แทนประพจน p และเรยก {1, 2, 3, 4} วา เอกภพสมพทธ (universe) นยมเขยนแทนดวย U เมอกลาววา

" ม x ใน U ทสอดคลอง p(x) "

ประพจนนมคาความจรงเปนจรงเพราะวาม x = 3 ซงทาให p(3) มคาความจรงเปนจรง เขยนแทนคาวา"ม" ดวย ∃ ดงนนเขยนประพจนดงกลาวไดเปน ∃x ∈ U , p(x) ในทานองเดยวกน ถากลาววา

" ทก ๆ x ใน U ทสอดคลอง p(x) "

บทท . ตรรกศาสตร

ประพจนนจะมคาความจรงเปนเทจเพราะวาม x = 1 ททาให p(1) มคาความจรงเปนเทจ เขยนแทนคาวา"ทก ๆ " ดวย ∀ ดงนนเขยนประพจนดงกลาวไดเปน ∀x ∈ U , p(x) เรยก สญลกษณวา ตวบงปรมาณ(quantifier) และเรยกวธการนวา วธบงปรมาณ (quantification) ซงมได แบบ ดงนยามดงตอไปนบทนยาม . . ให U เปนเอกภพสมพทธ และ p(x) เปนประพจน

แบบท นาหนา p(x) ดวยวลบงปรมาณ

ทก x ใน U / สาหรบแตละ x ใน U / ไมวา x จะเปนอะไรกตามใน U

สาหรบแตละ x ใน U ซงมสมบต p(x) เขยนแทนดวย

∀x ∈ U [ p(x) ] หรอ ∀x [ p(x) ] หรอ ∀x ∈ U , p(x)

เรยก ∀ วา ตวบงปรมาณทงหมด (universal quantifier)แบบท นาหนา p(x) ดวยวลบงปรมาณ

ม x ใน U ซง / บาง x ใน U มสมบตวา

มบาง x ใน U ซงมสมบต p(x) เขยนแทนดวย

∃x ∈ U [ p(x) ] หรอ ∃x [ p(x) ] หรอ ∃x ∈ U , p(x)

เรยก ∃ วา ตวบงปรมาณมอยางนอยหนง (existential quantifier) เรยกสน ๆ วา มเพอความสะดวกในการเขยนตรรศาสตรสญลกษณ กาหนดใหC แทนเซตของจานวนเชงซอนR แทนเซตของจานวนจรงQ แทนเซตของจานวนตรรกยะ

Qc แทนเซตของจานวนอตรรกยะZ แทนเซตของจานวนเตมN แทนเซตของจานวนนบ

ตวอยาง . . จงเขยนขอความตอไปนในรปสญลกษณพรอมบอกเอกภพสมพทธในแตละขอ. มจานวนเตม x ซง x2 = x คาตอบคอ ∃x ∈ Z, x2 = x

. ไมวา x จะเปนจานวนจรงใดกตาม จะไดวา x > 0 คาตอบคอ ∀x ∈ R, x > 0

. จานวนจรงทกจานวนมคาเปนลบเสมอ คาตอบคอ ∀x ∈ R, x < 0

. มจานวนตรรกยะทมคาเปนลบ คาตอบคอ ∃x ∈ Q, x < 0

. จานวนเตมทกจานวนเปนจานวนบวกหรอจานวนลบ คาตอบคอ ∀x ∈ Z, x > 0 ∨ x < 0

. . ตวบงปรมาณ

ตวอยาง . . จงเปลยนสญลกษณตอไปนในรปขอความ. ∀n ∈ N, n > 1

คาตอบคอ ทกจานวนนบมคามากกวาหนง. ∃x ∈ Z, (x = 1) → (x2 > 1)

คาตอบคอ มจานวนเตม x ถา x = 1 แลว x2 > 1

. ∀x ∈ R+, (x < 1) ↔ (x2 < x)

คาตอบคอ ทกจานวนจรงบวก x สอดคลอง x < 1 กตอเมอ x2 < x

บทนยามตอไปนจะเปนการนยามคาความจรงของตวบงปรมาณบทนยาม . . ให U เปนเอกภพสมพทธ และ p(x) เปนประพจน

ขอความ ∀x ∈ U , p(x) มคาความจรงเปนจรงกตอเมอ

ไมวา x จะเปนอะไรกตามใน U p(x) มคาความเปนจรง นอกนนขอความนเปนเทจ

ขอความ ∃x ∈ U , p(x) มคาความจรงเปนจรงกตอเมอ

ม x อยางนอยหนงตวใน U ทาให p(x) มคาความเปนจรง นอกนนขอความนเปนเทจ

ตวอยาง . . ให U = {1, 2, 3, 4} เปนเอกภพสมพทธ พจารณาคาความจรงของ

∀x ∈ U , x > 0

x ขอความ x > 0 คาความจรง1 1 > 0 T2 2 > 0 T3 3 > 0 T4 4 > 0 T

ดงนนขอความ ∀x ∈ U , x > 0 มคาความจรงเปนจรง

∃x ∈ U , x < 2

x ขอความ x < 2 คาความจรง1 1 < 2 T2 2 < 2 F3 3 < 2 F4 4 < 2 F

ดงนนขอความ ∃x ∈ U , x < 2 มคาความจรงเปนจรง

บทท . ตรรกศาสตร

ตวอยาง . . ใหเอกภพสมพทธ U = {−2,−1, 0, 1, 2} พจารณาคาความจรงของขอความตอไปน. ∀x ∈ U , (x2 = x) → (x > 0)

x ขอความ (x2 = x) → (x > 0) คาความจรง−2 ((−2)2 = −2) → (−2 > 0) T−1 ((−1)2 = −1) → (−1 > 0) T0 (02 = 0) → (0 > 0) F1 (12 = 1) → (1 > 0) T2 (22 = 2) → (2 > 0) T

ดงนนขอความ ∀x ∈ U , (x2 = x) → (x > 0) มคาความจรงเปนเทจ. [∀x ∈ U , x2 = x] → [∀x ∈ U , x > 0]

x ขอความ x2 = x คาความจรง ขอความ x > 0 คาความจรง−2 (−2)2 = −2 F −2 > 0 F−1 (−1)2 = −1 F −1 > 0 F0 02 = 0 T 0 > 0 F1 12 = 1 T 1 > 0 T2 22 = 2 F 2 > 0 T

จะไดวา ∀x ∈ U , x2 = x มคาความจรงเปนเทจ และ ∀x ∈ U , x > 0 มคาความจรงเปนเทจ ทาใหสรปไดวา [∀x ∈ U , x2 = x] → [∀x ∈ U , x > 0] มคาความจรงเปนจรง

ตอไปพจารณาคาความจรงของประพจน∃n ∈ N, n เปนจานวนเฉพาะ ∧ (n+ 2) เปนจานวนค

เหนไดชดวาประพจนนมคาความจรงเปนจรงเมอเลอก n = 2 เพราะ เปนจานวนเฉพาะและ 2 + 2 = 4

เปนจานวนค แตเมอพจารณาประพจน∀n ∈ Z, 2 หาร n(n+ 1) ลงตว

เมอแทนคาจานวนเตม n ดงตารางn n(n+ 1)

−2

−1

0

1

2

. . ตวบงปรมาณ

อาจคาดการณไดวาขอความนมคาความจรงเปนจรง ซงการสรปคาตอบดงกลาวไมเปนทยอมรบ เพราะเกดจากการยกตวอยางบางสวนเทานน แทจรงแลวตองตรวจสอบทก n ทเปนจานวนเตม ดงนนจาเปนตองมวธการทรดกม นนคอ การพสจน (proof) จะกลาวในบทถดไป

หลายครงมกจะพบประพจนทซบซอนมากขนเชน "มจานวนเตมจานวนหนงซงบวกกบทกจานวนเตมแลวเทากบศนย" เขยนสญลกษณไดเปน

∃x ∈ Z∀y ∈ Z, x+ y = 0

ประพจนลกษณะนกลาวไดวามตวบงปรมาณ ตว

ตวอยาง . . จงแปลงประพจนตอไปนในรปสญลกษณ

. ทกจานวนจรง x มจานวนจรง y ซง x+ y = 0

คาตอบคอ ∀x ∈ R∃y ∈ R, x+ y = 0

. สาหรบจานวนนบ n และ m จะไดวา n+m > 1

คาตอบคอ ∀n ∈ N∀m ∈ N, n+m > 1

. มจานวนเตม x ซง x = y + 1 ทก ๆ จานวนเตม y

คาตอบคอ ∃x ∈ Z∀y ∈ Z, x = y + 1 จะเหนวาขอความนมตวบงปรมาณ "ทก ๆ จานวนเตม y"อยทายประโยค สามารถแปลงเปนประโยคสญลกษณใหมโดยยายไปตอทาย "มจานวนเตม x" ซงทาใหความหมายไมเปลยนแปลง แตไมสามารถยายไปไวตนประโยคเพราะความหมายอาจเปลยนไปจากเดม ดงแสดงใหเหนในตวอยาง . .

การตรวจสอบคาความจรงประพจนทมตวบงปรมาณ ตวขนไปคอนขางซบซอนถาเอกภพสมพทธเปนเซตทมขนาดใหญ จงขอยกตวอยางเอกภพสมพทธทมสมาชกไมมากเพอความเขาใจดงตวอยางตอไปน

ตวอยาง . . ให U = {−1, 0, 1} เปนเอกภพสมพทธ พจารณาขอความ x + y = 0 โดยสรางแผนภาพตนไมไดดงน

บทท . ตรรกศาสตร

x y x+ y = 0 คาความจรง

−1

−1 −1 + (−1) = 0 F0 −1 + 0 = 0 F1 −1 + 1 = 0 T

0

−1 0 + (−1) = 0 F0 0 + 0 = 0 T1 0 + 1 = 0 F

1

−1 1 + (−1) = 0 T0 1 + 0 = 0 F1 1 + 1 = 0 F

เมอพจารณาคาความจรงของประพจน ∀x ∈ U ∃y ∈ U , x + y = 0 ตองตรวจสอบวาแตละ x จะม y ททาให x + y = 0 หรอไม ซงจะเหนไดวา ถา x = −1 เลอก y = 1 ถา x = 0 เลอก y = 0 และถา x = 1

เลอก y = −1 สอดคลองเงอนไขทงหมดทาใหสรปไดวาประพจนนมคาความจรงเปนจรง ถาผ เขยนสลบอนดบของตวบงปรมาณจะไดประพจน ∃x ∈ U ∀y ∈ U , x + y = 0 ตองตรวจสอบวา ม x ใน U หรอไมททาใหทก ๆ y สอดคลองเงอนไข x + y = 0 จากแผนภาพจะเหนไดชดวา x ทง กรณไมสอดคลองกบy ทกตวทาใหประพจนนเปนเทจ ดงนนการเรยงลาดบตวบงปรมาณจงมความสาคญอยางยงตอการสอความหมายของประพจน ถาเขยนสลบกนกจะทาใหความหมายทตองการสอคลาดเคลอนไป

ตอมาจะกลาวถงการหานเสธของประพจนทมตวบงปรมาณ เชน "ไมมจานวนเตม x ใดเลยทสอดคลองx2 + x+ 1 = 0" เขยนเปนสญลกษณคอ

∼ ∃x ∈ Z, x2 + x+ 1 = 0

หมายถง "ทกจานวนเตม x จะสอดคลอง x2 + x+ 1 = 0" เขยนเปนสญลกษณคอ∀x ∈ Z, x2 + x+ 1 = 0

สรปไดดงบทนยามตอไปนบทนยาม . . ให U เปนเอกภพสมพทธของประพจน p(x) นเสธของตวบงปรมาณนยามโดย

นเสธของ ∀x ∈ U , p(x) คอ ∼ ∀x ∈ U , p(x) ≡ ∃x ∈ U , ∼ p(x)

นเสธของ ∃x ∈ U , p(x) คอ ∼ ∃x ∈ U , p(x) ≡ ∀x ∈ U , ∼ p(x)

ตวอยาง . . จงหานเสธของประพจนตอไปน. ∀x ∈ R , x = x+ 0

คาตอบคอ ∃x ∈ R, x = x+ 0

. . การจดการเรยนรเรองตรรกศาสตร. ∀x ∈ Z∃y ∈ Z, xy > 0 → x+ y > 0

ใชกฎ ∼ (p → q) ≡ p∧ ∼ q ชวยในการหานเสธ นนคอ∼ ∀x ∈ Z∃y ∈ Z, xy > 0 → x+ y > 0

≡ ∃x ∈ Z∀y ∈ Z, ∼ (xy > 0 → x+ y > 0)

≡ ∃x ∈ Z∀y ∈ Z, (xy > 0)∧ ∼ (x+ y > 0)

≡ ∃x ∈ Z∀y ∈ Z, (xy > 0) ∧ (x+ y ≤ 0)

คาตอบคอ ∃x ∈ Z∀y ∈ Z, (xy > 0) ∧ (x+ y ≤ 0)

ตวอยาง . . จงหานเสธของประพจนตอไปน. ไมวา x จะเปนจานวนจรงใดกตาม ถา x > 0 แลว x2 > 0

เขยนเปนประโยคสญลกษณคอ ∀x ∈ R, x > 0 → x2 > 0

นเสธของประพจนนคอ ∃x ∈ R, (x > 0) ∧ (x2 ≤ 0)

หรอเขยนไดเปน "มจานวนจรง x ซง x > 0 และ x2 ≤ 0". มจานวนเตม x และ y ซง xy = 1

เขยนเปนประโยคสญลกษณคอ ∃x ∈ Z∃y ∈ Z, xy = 1

นเสธของประพจนนคอ ∀x ∈ Z∀y ∈ Z, xy = 1

หรอเขยนไดเปน "ทก ๆ จานวนเตม x และ y ซง xy = 1"เพอความกระชบในการเขยนจะใช ∃x, y ∈ Z, xy = 1 แทน ∃x ∈ Z∃y ∈ Z, xy = 1

และ ∀x, y ∈ Z, xy = 1 แทน ∀x ∈ Z∀y ∈ Z, xy = 1

ตวอยาง . . จงหานเสธของประพจนตอไปน. ∃x ∈ U , p(x) → q(x) นเสธคอ ∀x, p(x)∧ ∼ q(x)

. ∀x ∈ U , p(x) ∨ q(x) นเสธคอ ∃x ∈ U , ∼ p(x)∧ ∼ q(x)

. ∃x ∈ U ∀y ∈ U , ∼ p(x, y) → q(x, y) นเสธคอ ∀x ∈ U ∃y ∈ U , ∼ p(x, y)∧ ∼ q(x, y)

. ∀x ∈ U ∀y ∈ U , p(x, y) ↔ q(x, y) นเสธคอ ∃x ∈ U ∃y ∈ U , ∼ p(x, y) ↔ q(x, y)

. ∃x ∈ U , p(x) → ∀x ∈ U , q(x) นเสธคอ ∃x ∈ U , p(x) ∧ ∃x ∈ U , ∼ q(x)

. การจดการเรยนรเรองตรรกศาสตรในการจดการเรยนเพอทาใหเกดทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรกบผ เรยน ในเรองการใหเหตผล

ทาใหพฒนาความคดอยางเปนระบบดงทกลาวไวในหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราชวา "การใหเหตผล เปนความสามารถในการใหเหตผล รบฟงและใหเหตผลสนบสนน หรอโตแยง

บทท . ตรรกศาสตร

เพอนาไปสการสรป โดยมขอเทจจรงทางคณตศาสตรรองรบ" จะเหนไดวาการใหเหตผลนนมความสาคญอยางยงตอการคดวเคราะหเบองตนเกยวกบคณตศาสตร อนจะทาใหเขาใจหลกคดขนสงตอไปได จงไดบรรจในหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช โดยเนอหาจะเนนไปทความรพนฐานทางตรรกศาสตรและการอางเหตผล ในการเรยนระดบชนมธยมศกษาปท ทงสายทเนนวทยาศาสตรและไมเนนวทยาศาสตร ดงนสาระท จานวนและพชคณตมาตรฐาน ค . เขาใจความหลากหลายของการแสดงจานวน ระบบจานวน การดาเนนการของจานวนผลทเกดขนจากการดาเนนการ สมบตของการดาเนนการ และนาไปใช

ชน ตวชวด สาระการเรยนรแกนกลางม. . เขาใจและใชความรเกยวกบเซตและตรรกศาสตร ตรรกศาสตรเบองตน

ไมเนน เบองตน ในการสอสารและสอความหมาย - ประพจนและตวเชอมวทยาศาสตร ทางคณตศาสตร (นเสธ และ หรอ ถา...แลว... กตอเมอ)

ม. . เขาใจและใชความรเกยวกบตรรกศาสตรเบองตน ตรรกศาสตรเนน ในการสอสาร สอความหมาย และอางเหตผล - ประพจนและตวเชอม

วทยาศาสตร - ประโยคทมตวบงปรมาณ- การอางเหตผล

ตารางท ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางเรองตรรกศาสตร

หมายเหต ระดบชน ม. ไมเนนวทยาศาสตร ตวชวดมเรองเซตมาเกยวของจะกลาวถงในบททในการจดกจกรรมการเรยนรเรองตรรกศาสตร ผ สอนสามารถจดใหผ เรยนไดรจกการกาหนดปญหา

และไดลงมอศกษา สารวจ เพอเสาะแสวงหาความรดวยตนเอง โดยแนวทางการจดกจกรรมการเรยนรแบบ Eตวอยางการจดกจกรรมการเรยนรแบบ E

เปนตวอยางการสอนสาระการเรยนร "การหาคาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณสองตว" โดยตรวจสอบคาความจรงทง รปแบบคอ ∀x∀y, p(x, y), ∀x∃y, p(x, y), ∃x∀y, p(x, y) และ ∃x∃y, p(x, y)เมอกาหนดเอกภพสมพทธทมสมาชกไมมากนก และใชตารางแบบเตมจดเพอชวยใหเกดมโนทศน และขยายไปสกรณทวไปไดในทสด ซงทาได ขนตอนดงน

. ขนสรางความสนใจนาเขาสบทเรยนโดยทบทวนการตรวจสอบคาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณเพยวตวเดยวแลวตงคาถามทอยรอบตวเชน นกเรยนทราบหรอไมวาประโยคทครพดตอไปนเปนจรงหรอเปนเทจ

. นกเรยนชายทกคนมหนงสอเรยนวชาคณตศาสตร

. . การจดการเรยนรเรองตรรกศาสตร. นกเรยนหญงและนกเรยนชายทกคนใสแวนตา. มนกเรยนหญงและนกเรยนชายใสแวนตา

ใหนกเรยนแตละคนปรกษากนเพอหาวธตรวจสอบคาความจรงของประโยคดงกลาว ลาดบตอไปจะนาเสนอกจกรรมสรางตารางจดแสดงคาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณโดยมหลกดงนกาหนดเอกภพสมพทธ U = {a, b, c} พจารณาคาความจรงของประพจน p(x, y) ถาคาความจรงเปนจรงใช • และคาความจรงเปนเทจใช ◦ เขยนลงตารางดงน

c p(a, c) p(b, c) p(c, c)

b p(a, b) p(b, b) p(c, b)

a p(a, a) p(b, a) p(c, a)

a b c

ตารางท คาความจรงของประพจน p(x, y)

เชน U = {−1, 0, 1} และ p(x, y) แทนประพจน x+ y = 0 เขยนตารางไดดงน−1 ◦ ◦ •

0 ◦ • ◦

1 • ◦ ◦

−1 0 1

จะเรยกตารางนวา ตารางจด โดยใหแนวนอนเปนคา x และแนวตงเปนคา y ตอไปจะเตรยมโจทยโดยกาหนดเอกภพสมพทธและประพจนตาง ๆ นาบตรคาถามไปแจกใหนกเรยน เพอใหสรางตารางจดและคาดเดาคาความจรงของประพจนนน ๆ ตวอยางบตรคาถาม

U = {1, 2, 3}

p(x, y) แทนประพจน x+ y > 2

∀x∀y, p(x, y) ∃x∃y, p(x, y) ∀x∃y, p(x, y) ∃x∀y, p(x, y)

. ขนสารวจคนหาใหนกเรยนจบกลมกลมละ คนตามความสมครใจ แจกบตรคาถามเพอคาดเดาคาความจรงทงรปแบบใชเวลา - นาท โดยครผสอนจะคอยใหคาปรกษาในขณะลงมอทา

. ขนอธบายและลงขอสรปใหแตละกลมขอสรปคาตอบ และออกมาอภปรายคาตอบทได แลวนกเรยนในชนสรปความคดรวบยอดของการพจารณาตารางจด สรปไดดงน

บทท . ตรรกศาสตรคาความจรงเปนจรง คาความจรงเปนเทจ

∀x∀y, p(x, y) มจดดาทกจด มจดขาวอยางนอย จด∃x∃y, p(x, y) มจดดาอยางนอย จด มจดขาวทกจด∀x∃y, p(x, y) มอยางนอยหนงแถวทมจดดาอยทงแถว ไมมแถวทมจดดาทงแถวทงแถว∃x∀y, p(x, y) มจดดาในทก ๆ แถว มบางแถวเปนจดขาวทงหมด

ตารางท สรปคาความจรงของประพจน p(x, y) โดยใชตารางจด

ครจะถามเชอมโยงไปยงกรณทวไป โดยใชตวอยางประกอบ. ขนขยายความรครแสดงโจทยทมเอกภพสมพทธทหลากหลาย และทวไปมากขน ใหนกเรยนชวยกนตอบตามขอสรปในขนท

. ขนประเมนใหนกเรยนทาใบงานรายบคคล

นอกจากวธการจดการเรยนรแบบ E แลว ยงมวธการจดการเรยนรแบบ STAD คอรปแบบการจดการเรยนการสอนแบบรวมมอกนอกรปแบบหนง ทมชอเตมวา Student Teams Achievement Divisions ซงกาหนดใหนกเรยนทมความสามารถแตกตางกน ทางานรวมกนเปนกลม ๆ ละ - คน ซงประกอบดวยนกเรยนทเรยนเกง คน นกเรยนทเรยนปานกลาง - คน และนกเรยนทเรยนออน คน ผอานสามารถนาไปปรบใชใหเขากบบรบทของชนเรยนไดตามความเหมาะสม

สรปในบทท ไดกลาวถงพนฐานทางตรรกศาสตรซงจะเปนความรเบองตนในการนาไปใชในเขยนพสจน

ดวยวธตาง ๆ ในบทถดไป โดยเรมตนจากคาวาประพจน คอประโยคทบอกคาความจรงไดวาจรงหรอเทจเพยงอยางเดยวเทานน จากนนกลาวถงตวเชอมของประพจนทประกอบไปดวย

. นเสธ . หรอ . และ . ถา...แลว . กตอเมอประพจนทมตวเชอมเหลานเรยกวาประพจนเชงประกอบ ประพจนทไมมตวเชอมเรยกประพจนเชงเดยวตอมาพจารณาประพจนทมความหมายเดยวกนเรยกวาประพจนทงทสมมลกน และศกษาประพจนทมคาความจรงเปนจรงทก ๆ กรณซงเรยกวาสจนรนดร รวมทงการเรยนรกฎตาง ๆ ทเกยวของ ถดไปกลาวถงการอางเหตผลโดยพจารณารปแบบการใหเหตผล พรอมทงวธการตรวจสอบความสมเหตสมผล ถาขอความนนสมเหตสมผลจะกลาวไดวา ผลอนมานไดจากเหตตาง ๆ ทกาหนดไวขางตน และเรยกกระบวนการการใหเหตผลเหลานวา บทพสจน การพสจนทาได แบบคอ การพสจนแบบตรง ทาไดโดยใชบทนยาม. . และการพสจนแบบออม โดยอาศยสจนรนดร (T ) เรยกอกชอวากฎการพสจนโดยความขดแยงกน จะนาไปใชเปนแนวทางในการเรยนวธการพสจนในบทท ตอไป จากนนกกลาวถงตวบงปรมาณทางตรรกศาสตรประกอบดวย ตวคอ ตวบงปรมาณทงหมด และตวบงปรมาณมอยางนอยหนง แลวศกษาการแปลงประโยคภาษาใหเปนประโยคสญลกษณซงมหวใจความสาคญในการวเคราะหทางคณตศาสตรถดไปการหาคาความจรงของประพจนทมตวบงปรมาณตวเดยวและมากกวาหนงตว ถาเอกภพสมพทธมสมาชกไมมากนกตรวจไดโดยงายโดยใชแผนภาพตนไมหรอแจกแจงกรณโดยใชตาราง ความสมมลของประพจนทมตวบงปรมาณอาศยความรเกยวกบสมมลของประพจนทไมมตวบงปรมาณมาชวยในการพจารณา โดยมขอควรระวงคอ เมอมตวบงปรมาณ ตวขนไปทตางกน การสลบลาดบตวบงปรมาณจะมความหมายไมเหมอนเดม และการหานเสธของตวบงปรมาณ นเสธของตวบงปรมาณทงหมดจะเปนตวบงปรมาณมอยางนอยหนง และนเสธของตวบงปรมาณมอยางนอยหนงเปนตวบงปรมาณทงหมด สดทายจะกลาวถงตวอยางแนวทางการจดเรยนการสอนเรองตรรกศาสตรโดยใชแนวทางการจดกจกรรมการเรยนรแบบ E ของสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท. ) ทาใหเหนการนาความรเรองตรรกศาสตรไปใชสอนในระดบมธยม

คาถามทายบท. พจารณาประโยคตอไปนวาเปน ประพจน หรอ ประโยคเปด หรอไมเปนทงสองอยาง

. หามเดนลดสนาม

. ปปจจบนเปนประกา

. นานเปนจงหวดในภาคใต

. มจานวนนบทนอยกวา 1

. ใครเปนคนนดพวกเราทสยามพารากอน

. รถไฟมสองหว. จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน

. ถา 20 = 02 แลว 2 = 0

. ปมาไมมขากตอเมอลงไมมห

. จานวนนบเปนจานวนเตมหรอตรรกยะ

. ถา 2 = 9 แลว นกขมนบนไมได

. ถาชางเปนสตวปกแลวชางเปนตกแตน

. กระตายไมมฟน กตอเมอ 1 > 2

. จงสรางตารางคาความจรงของประพจนตอไปน. (p →∼ q) ∨ (q → p)

. p ∧ (∼ q → r) ↔ (r ∨ q)

. ∼ [∼ p ∧ (q →∼ r)] → (p∧ ∼ r)

. ∼ p ∧ (q ∨ r) → (p → r ∧ s)

. ประพจน p, q, r, s มคาความจรงเปน T, F, F, T ตามลาดบ จงหาคาความจรงของประพจนตอไปน. p → (q ∨ ∼ (p ∧ r))

. ∼ [(p ↔∼ q) ∧ (q →∼ r)] →∼ s

. ∼ (r∧ ∼ s) ↔ (p∨ ∼ q)

. [(∼ p∨ (∼ p → (q∧r)∨s) → p)∧r] ↔ p

. กาหนดให p, q, r เปนประพจนใด จงตรวจสอบวาประพจนตอไปนสมมลกนหรอไม โดยใชตารางคาความจรง. q และ ∼ p ∨ (p ∧ q)

. ∼ p → q และ ∼ q → p

. (p ∨ r) → q และ p → (q ∨ r)

. p ↔ (q ∨ r) และ (p ∨ r) ↔ q

. ให p, q, r เปนประพจนใด ๆ จงตรวจสอบวาประพจนตอไปนสมมลกนหรอไม ถาสมมลกนจงแสดงโดยใชทฤษฎบท ถาไมสมมลจงยกตวอยางคาน. ∼ (p →∼ q) และ p ∧ (p → q)

. p → (q ↔ r) และ (p → q) ↔ r

. p ∧ (q ∨ r) และ (p ∧ q) ∨ r

. p ↔∼ q และ ∼ p ↔ q

. p → (q ∨ r) และ ∼ (∼ r → q) →∼ p

. ∼ (p∧ ∼ q) และ ∼ q →∼ p

. ∼ p → q และ (∼ p → q) ∧ (q →∼ p)

. p → (q → r) และ (p → q) → r

. จงหานเสธของประพจนตอไปน. รองเทาเปนเครองแตงกายชนดหนง. ถาแดงไปโรงเรยน แลวดาจะไมทาการบาน

. . การจดการเรยนรเรองตรรกศาสตร. 2 > 4 และ 3 = 5

. x+ 1 = 3 หรอ π เปนจานวนตรรกยะ

. ถา 2 เปนจานวนค แลว 1 เปนจานวนเฉพาะ

. 5 เปนจานวนเตมบวก กตอเมอ e เปนจานวนอตรรกยะ

. ab = 0 กตอเมอ a = 0 หรอ b = 0

. ถา xy > 0 แลว (x > 0 และ y > 0 ) หรอ (x < 0 และ y < 0 )

. x+ y = 0 กตอเมอ x = −y หรอ y = −x

. ถา 2 หาร x ลงตว หรอ 3 หาร x ลงตว แลว 6 หาร x ลงตว. จงตรวจสอบวาประพจนตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม โดยใชตารางคาความจรง

. (p ∨ q)∨ ∼ (p ∧ q)

. (p →∼ q) → (p ∧ q)

. ∼ p → (p ∨ q)

. ∼ (p ∧ q) →∼ p∧ ∼ q

. (∼ p →∼ q) ∨ (p ↔ q)

. (∼ p → q) ↔∼ (p ∨ q)

. จงตรวจสอบวาประพจนตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม โดยใชทฤษฎบท. (p → q) ↔∼ (p ∧ q)

. (p ↔ q) ↔ (∼ p → q)

. ∼ (p →∼ q) ↔ (p ∧ q)

. (p ∨ q) ↔ (p ∧ q)

. (p →∼ q) ↔∼ (p ∧ q)

. [p → (q → r)] ↔ (p → r)

. (p ↔ q) ↔ [(p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)]

. [∼ p ∨ (r → s)] ↔ [(r ∨ s) → p]

. [p → (r → s)] ↔ [(∼ r ∧ s) → p]

. [(p ∧ q) → r] ↔ [∼ r → (∼ p∨ ∼ q)]

. จงตรวจสอบวาประพจนตอไปนเปนสจนรนดรหรอไม โดยใชวธขดแยง. ∼ (p → q) →∼ q

. [p → (q → p)] → p

. ∼ p ∧ q → p

. (p ∧ q) → (p ∨ q)

. (p → q) ∧ (p → r) → (p → q ∨ r)

. (p → r) ∨ (q → r) → (p ∨ q → r)

. (p ∧ q)∨ ∼ (p ∨ q)

. ((p → q) → r) → (p → (q → r))

. ∼ (p → q) → (∼ p ↔ q)

. ∼ [p ∨ (∼ p ∧ q)] → (∼ p∧ ∼ q)

. (p → q) → (q → p)

. (p → r) → [(p → q) ∧ (q → r)]

. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไม. ∼ p ∨ q, ∼ p → q ⊢ q

. p∧ ∼ q, q →∼ r, r ∧ p ⊢ q → p

. ∼ p → q, q → p ⊢ ∼ q

. p → (p → r), ∼ q →∼ p, p ⊢ r

บทท . ตรรกศาสตร

. จงพจารณาวาการอางเหตผลตอไปน สมเหตสมผลหรอไมโดยใชวธขดแยง. เหต . ∼ p

. ∼ (p ∧ q) → r

ผล r

. เหต . q → (r∨ ∼ s)

. s

. s → q

ผล r ∧ s

. เหต . ∼ t →∼ r

. ∼ s

. t → w

. r ∨ s

ผล w

. เหต . ถาฝนตกแลวนาจะทวม. นาทวม

ผล ฝนตก

. เหต . ∼ (p → q)

. ∼ q → r

ผล r ∧ p

. เหต . p → (∼ q ∨ r)

. q → p

. ∼ p

ผล r

. เหต . p → (q ∧ r)

. q →∼ r

. s → r

. q

ผล ∼ p

. เหต . ถาฝนตกแลวนาจะทวม. ฝนตก

ผล นาทวม

. จงพสจนการอางเหตผลตอไปน. p, ∼ q∨ ∼ p, ∼ q → (r∨ ∼ s) ⊢ s → r

. s → t, p → (q → r), (s∧ ∼ t) ∨ p ⊢ r∨ ∼ q

. จงพสจนการอางเหตผลตอไปนสมเหตสมผลโดยใชวธการพสจนทางออม (indirect proof). p →∼ q, ∼ q → r, p ⊢ r . p, ∼ q →∼ p, q → (r ∨ s) ⊢ ∼ r → s

. จงเขยนขอความตอไปนในรปสญลกษณพรอมบอกเอกภพสมพทธในแตละขอ. มจานวนเตม x ซง |x| = x

. ไมวา x จะเปนจานวนจรงใดกตามจะได x2 > 0

. จานวนนบทกจานวนมคามากกวา 1

. ไมมจานวนตรรกยะใดเลยทเปนจานวนบวก

. มจานวนจรง x และ y ซง x+ y > 0

. มจานวนเตม m ซง m > n ทก ๆ จานวนเตม n

. ใหA = {−1, 0, 1}, B = {−2,−1, 0, 1, 2} และ C = {1, 2, 3, 4} พจารณาคาความจรงของขอความตอไปน

. . การจดการเรยนรเรองตรรกศาสตร. ∀x ∈ A [x+ 1 ≥ x ]

. ∃x ∈ C [x(x+ 1) = x ]

. ∀x ∈ B [ x > 0 → x2 > x ]

. ∀x ∈ A∀y ∈ A [ x = y → x > y ]

. ∀x ∈ B ∃y ∈ B [xy = 1 ]

. ∃x ∈ C ∃y ∈ C [x+ y < xy ]

. ใหเอกภพสมพทธเปนจานวนจรง จงหานเสธของขอความตอไปน. ∀x [

√x ≥ 0 ]

. ∀x [ x = 1 → |x| > 2 ]

. ∃x [ (x < 3) ∧ (x > 3) ]

. ∀x ∀y [xy > 0 → xy> 0 ]

. ∃x ∀y [x = y ↔ x2 = y2 ]

. ∃x ∃y [ (xy = 10 ∧ x > 5) → y > 2 ]

. ใหเอกภพสมพทธเปนจานวนจรง จงหานเสธของขอความตอไปน. ไมมจานวนจรงใดเลยทมากกวาศนย. มจานวนจรง x ซง x+ y = y สาหรบทก ๆ จานวนจรง y. ทก ๆ จานวนเตม m,n ถา m+ n = mn แลว nm = 1

บทท . ตรรกศาสตร

เอกสารอางองกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ฉววรรณ รตนประเสรฐ. ( ). วธการพสจนทางคณตศาสตร. นครปฐม: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร.ชวลต บรพาศรวฒน. ( ). หลกการคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ภาควชาคณตศาสตรและสถต

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย สถาบนราชภฏจนทรเกษม.ธนปตย ปทมโกมล, ปรชา เนาวเยนผล และ อษาวด จนทรสนธ. ( ). ผลการจดกจกรรม

การเรยนรคณตศาสตรเรอง อตราสวนตรโกณมต โดยการใชวธสอนแบบ Eทมตอผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรและความสามารถในการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรของนกเรยนชนมธยมศกษา ปท โรงเรยนมารยวทยาจงหวดนครราชสมา. วารสารศกษาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวร ปท ฉบบทกรกฎาคม – กนยายน พ.ศ. . มหาวทยาลยนเรศวร.

พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.พกตรผกา ศรสวาง, ประสทธ ทองแจม และ สรพล เนาวรตน. ( ). ผลการใชกระบวนการ

จดการเรยนรแบบ E วชาคณตศาสตร เรองเซต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาป ท . วารสารศกษาศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม ปท ฉบบพเศษ เมษายนพ.ศ.

.ไพโรจน เยยระยง. ( ). ตรรกศาสตรและทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.ภทรา เตชาภวาทย. ( ). คณตตรรกศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพมหาวทยาลยเกษตรศาสตรอมพร มาคนอง. ( ). คณตศาสตรสาหรบครมธยม. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ( ). ตรรกศาสตรและ

ระบบจานวนจรง. กรงเทพฯ: โรงพมพพทกษการพมพ.Pual Glendinning. ( ). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions Ltd.

แผนบรหารการสอนประจาบททหวขอเนอหาประจาบท

. การพสจนขอความแบบมเงอนไข

. การพสจนขอความแบบแจกแจงกรณ

. การพสจนขอความแบบผนกลบได

. การพสจนโดยวธขดแยง

. การพสจนขอความทเปนไปไดอยางเดยว

. การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตรวตถประสงคเชงพฤตกรรม

. สามารถเขยนบทพสจนขอความแบบมเงอนไข

. สามารถเขยนบทพสจนโดยวธแจกแจงกรณ

. สามารถเขยนบทพสจนขอความแบบผนกลบได

. สามารถเขยนบทพสจนขอความโดยวธขดแยง

. สามารถเขยนบทพสจนขอความทเปนไปไดอยางเดยว

. สามารถเขยนบทพสจนขอความโดยวธอปนยเชงคณตศาสตรวธและกจกรรมการเรยนการสอน

. วธสอน. วธสอนแบบบรรยาย ประกอบสออเลกทรอนกส. ใชสอทางอนเตอรเนต และใหแตละคนแสดงความคดเหน. วธสอนแบบอภปราย โดยใหหวขอเปนกลมและมานาเสนอหนาชน

. กจกรรมการเรยนการสอน. บรรยายสรปโดยใชสอการสอนประกอบ. ใหผ เรยนศกษาเนอหาจากชดการสอน หนงสอ ตารา เอกสารเพมเตม และสอออนไลน. อภปรายรายกลมตามหวขอทไดรบมอบหมาย. ใหผ เรยนทาแบบฝกหด ทดสอบความเขาใจในเนอหา. มอบหมายใหทา assignment เพอสงทายคาบ

สอการเรยนการสอน. ชดการสอน เรอง "ตรรกศาสตร". สออเลกทรอนกส เรอง "ตรรกศาสตร". หนงสอ ตารา เอกสารทเกยวของ

การวดผลและประเมนผล. สงเกตการตอบคาถามและตงคาถามของผ เรยนในระหวางการบรรยายและซกถาม. วดผลจากการทาแบบฝกหดระหวางเรยนตามเนอหาทไดรบมอบหมาย. ตรวจ assignment บนทกคะแนนลงในใบบนทกคะแนน. ตรวจการทาการบาน บนทกลงในบนทกผลงาน

บททระเบยบวธการพสจน

ในทางคณตศาสตรนนจะสรางโลกของตวเองขนมาโดยสมมตสงทเรยกวา "อนยาม" ขนมาจากนนใหคาจากดความของสงเหลานนเรยกวา "นยาม" และเพมเตมดวยขอความจานวนหนงซงถอวาจรงในโลกโดยไมตองพสจนเรยกวา "สจพจน" และใชเครองมอตาง ๆ เหลานเพอ คาดการณขอความทคดวาจะเปนจรงภายใตเงอนไขทกาหนดเรยกวา "ขอความคาดการณ" การตรวจสอบวาขอความคาดการณนนเปนจรงหรอไม ตองใชวธการพสจนทยอมรบตามหลกตรรศาสตร ขนตอนสาคญในการคนพบความจรงเหลานนคอการ "พสจน" หรอ "อางเหตผล" เมอไดรบการพสจนขอความคาดการณจะเปลยนเปน "ทฤษฎ" ในทสดการพสจนจงเปนเรองจาเปนและสาคญยงสาหรบคณตศาสตร เพราะเปนสงททาใหเรายนยนความเปนจรงตาง ๆ ในคณตศาสตรได ขอความทเราสงสยวาเปนจรงหรอไม เมอไดรบการพสจนแลวเราจะสามารถยอมรบในความจรงของขอความนนตลอดไป เพราะเราใชกระบวนการคดทอาศยหลกตรรกศาสตรซงมความแนนอนชดเจน ไมแปรผนไปตามกาลเวลาหรอสภาพแวดลอม (พมพเพญ เวชชาชวะ. . คานา)

การพสจนในหนงสอหรอตาราแตละเลมอาจใชชอวธหรอจานวนวธแตกตางกนขนอยกบผ เขยน สาหรบตาราเลมนผ เขยนจะมการนาเสนอวธการพสจนไวทงหมด วธ ประกอบไปดวย

. การพสจนขอความแบบมเงอนไข

. การพสจนโดยการแจกแจงกรณ

. การพสจนขอความแบบผนกลบได

. การพสจนโดยวธขดแยง

. การพสจนขอความซงเปนไปไดอยางเดยว

. การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร

บทท . ระเบยบวธการพสจน

. การพสจนขอความแบบมเงอนไขการพสจนขอความทอยในรปแบบ p → q เรยกวา การพสจนขอความแบบมเงอนไข (proof of

conditional statements) ตองการแสดงวา p → q เปนจรง เนองจาก p → q เปนเทจเพยงกรณเดยวคอ p

เปนจรง และ q เปนเทจ ดงนนตองแสดงใหไดวาไมเกดกรณดงกลาว นนคอเมอไรกตามท p เปนจรง ตองแสดงใหไดวา q เปนจรงดวย เขยนเปนโครงพสจนไดดงน

สมมต p เปนจรง...

ดงนน q เปนจรง (ขอสรป) �

จะเรยกวธนวาการพสจนโดยวธตรง (direct proof) นยมใชเครองหมาย � วางไวบรรทดสดทายเพอบอกวาจบการพสจน ในสวนทเวนวางไวนนคอสวนทจะเตมรายละเอยดใหสมบรณอาจจะไดจากนยามทฤษฎบททพสจนมากอนหนา หรอสจพจน เพอใหนาไปสขอสรปอยางเปนเหตเปนผลกน เพอใชในการพสจนในตวอยางตอไปจากน จะนยามบทนยาม . . เรยกจานวนเตม a ทไมใชศนยวาหารจานวนเตม b ลงตว เขยนแทนดวย a | b

ถามจานวนเตม k ซง b = ak

และเรยก a วาตวหาร (divisor) หรอตวประกอบ (factor) ของ b ถา a หาร b ไมลงตวเขยนแทนดวย a - b

บทนยาม . . จานวนค (even number) คอจานวนเตมทหารดวย 2 ลงตว หรอกลาวไดวาถา a เปนจานวนค แลว 2 | a หรอมจานวนเตม k ซง a = 2k

และจานวนเตม a ทมจานวนเตม k ซง a = 2k + 1 เรยกวา จานวนค (odd number)ตวอยาง . . จงพสจนวา " ถา n เปนจานวนค แลว n2 เปนจานวนค "แนวคด ขอความดงกลาวมความหมายวา "ทก ๆ จานวนเตม n ถา n เปนจานวนค แลว n2 เปนจานวนค"เขยนเปนสญลกษณไดดงน

∀n ∈ Z, n เปนจานวนค → n2 เปนจานวนคตองพสจนขอความดงกลาวเปนจรงไมวาจานวนเตม n ใด ๆ เรมเขยนบรรทดแรกดวย "ให n เปนจานวนเตมใด ๆ" และมโครงพสจนดงน

สมมต n เปนจานวนค...

ดงนน n2 เปนจานวนค �

เขยนบทพสจนใหสมบรณไดดงน

. . การพสจนขอความแบบมเงอนไขบทพสจน. ให n เปนจานวนเตมใด ๆ สมมตวา n เปนจานวนค โดยบทนยาม . . จะไดวามจานวนเตมk ซง n = 2k แลวจะไดวา

n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2)

ให p = 2k2 เนองจาก k เปนจานวนเตม ดงนน p เปนจานวนเตม นนคอมจานวนเตม p ซงทาให n2 = 2p

จากบทนยาม . . สรปไดวา n2 เปนจานวนคตวอยาง . . จงพสจนวา " ถา m และ n เปนจานวนค แลว m+ n เปนจานวนค "แนวคด เขยนขอความในรปสญลกษณคอ ∀n,m ∈ Z, n และm เปนจานวนค → n+m เปนจานวนคบทพสจน. ให n และm เปนจานวนเตมใด ๆ สมมตวา n และm เปนจานวนค โดยบทนยาม . . จะไดวามจานวนเตม k และ p ซง n = 2k และ m = 2p แลว

n+m = 2k + 2p = 2(k + p)

ให c = k + p เนองจาก k, p เปนจานวนเตม ดงนน c เปนจานวนเตม นนคอมจานวนเตม c ซงทาใหn+m = 2c

จากบทนยาม . . สรปไดวา n+m เปนจานวนค

ประโยคทวา "โดยบทนยาม" ในการเขยนพสจนจะละไว โดยผอานตองเขาใจไดวามาจากบทนยามของคา ๆ นน และไมเขยนประโยคสญลกษณของประพจนทตองการพสจน เพอความสวยงามและกระชบมากขนในการเขยนบทพสจน (ทาไดเมอผ เขยนเขาในหลกการอยางถกตองแลว)

ตวอยาง . . จงพสจนวา "สาหรบจานวนเตม a, b และ c ซง a = 0 ถา a | b และ a | c แลว a | (2b+3c)"

บทพสจน. ให a, b และ c เปนจานวนเตม ซง a = 0 สมมตวา a | b และ a | c จะไดวามจานวนเตม k และp ซง b = ka และ c = pa แลว

2b+ 3c = 2(ka) + 3(pa) = a(2k + 3p)

ให x = 2k + 3p เนองจาก k, p เปนจานวนเตม ดงนน x เปนจานวนเตม นนคอมจานวนเตม x ซงทาให2b+ 3c = ax สรปไดวา a | (2b+ 3c)

ตวอยาง . . จงพสจนวา "ถา n2 เปนจานวนค แลว n เปนจานวนค"แนวคด มโครงพสจนดงน

สมมต n2 เปนจานวนค...

ดงนน n เปนจานวนค �

บทท . ระเบยบวธการพสจน

ตอมาเตมสวนตาง ๆ ไดดงนให n เปนจานวนเตมใด ๆ สมมตวา n2 เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม k ซง n2 = 2k

...มจานวนเตม p ซงทาให n = 2p ดงนน n เปนจานวนค

จากชองวางทเวนไวคอสวนทตองเตมใหครบโดยจากขอความท n2 = 2k พยายามหา p ททาใหไดn = 2p ซงโดยปกตผอานคงนกถง n ในรปแบบ n =

√2k แตจานวน n ทไดอาจจะไมเปนจานวนเตมและ

เชอมโยงไปหา p ไมได ดงนนการพสจนโดยวธตรงนทาไมได แตทาไดโดยใชกฎแยงสลบทซงมความหมายเดยวกบขอความทตองการจะพสจนคอ p → q ≡∼ q →∼ p ดงนนจะทาการพสจน

∀n ∈ Z, n เปนจานวนค → n2 เปนจานวนคบทพสจน. ให n เปนจานวนเตมใด ๆ สมมตวา n เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม k ซง n = 2k + 1

แลวn2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1

ให p = 2k2 + 2k เนองจาก k เปนจานวนเตม ดงนน p เปนจานวนเตม นนคอมจานวนเตม p ซงทาใหn2 = 2p+ 1 สรปไดวา n2 เปนจานวนค

การพสจน p → q ในตวอยาง . . เรยกวา การพสจนโดยวธการแยงสลบท (contrapositiveproof) มโครงการพสจนดงน

สมมต ∼ q เปนจรง...

ดงนน ∼ p เปนจรง �

อนงในกรณทพยายามใชทง วธแลวแตยงไมสามารถพสจนไดยงมอกหนงวธคอ วธขดแยง (contradiction)ซงจะกลาวในหวขอ . ดงนนสรปการพสจนขอความในรปแบบ p → q ได วธคอ

. พสจนโดยวธตรง (direct proof)

. พสจนโดยวธการแยงสลบท (contrapositive proof)

. พสจนโดยวธขดแยง (proof by contradiction) จะกลาวในหวขอ .การพสจนขอความ p → (q ∨ r) เนองจาก p → (q ∨ r) ≡ p → (∼ q → r) ดงนน

สมมต p และ ∼ q เปนจรง...

ดงนน r เปนจรง

. . การพสจนขอความแบบมเงอนไข

ตวอยาง . . จงพสจนวา " ถา m+ n เปนจานวนค แลว m เปนจานวนค หรอ n เปนจานวนค "แนวคด เขยนขอความในรปสญลกษณคอ

∀m,n ∈ Z, m+ n เปนจานวนค → (m เปนจานวนค ∨ n เปนจานวนค )

บทพสจน. ให m และ n เปนจานวนเตม สมมตวา n+m เปนจานวนค และ m ไมเปนจานวนค (จานวนค) โดยบทนยาม . . จะไดวามจานวนเตม k และ p ซง n+m = 2k + 1 และ m = 2p แลว

m+ n = 2k + 1

2p+ n = 2k + 1

n = 2k − 2p+ 1 = 2(k − p) + 1

ให d = k − p เนองจาก k และ p เปนจานวนเตม ดงนน d เปนจานวนเตม ซงทาให n = 2d+ 1 สรปไดวาn เปนจานวนค

การพสจนขอความ p → (q ∧ r) เนองจาก p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) ดงนน ตองพสจนวาทง ขอความเปนจรง

. p → q

. p → r

สมมต p เปนจรง...

ดงนน q เปนจรง

สมมต p เปนจรง...

ดงนน r เปนจรงตวอยาง . . จงพสจนวา " ถา a เปนจานวนค แลว 4|a2 และ a2 + 1 เปนจานวนค "แนวคด เขยนขอความในรปสญลกษณคอ ∀a ∈ Z, a เปนจานวนค → (4|a2 ∧ a2 + 1 เปนจานวนค )บทพสจน. ให a เปนจานวนเตมใด ๆ สมมตวา a เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม k ซง a = 2k แลว

a2 = (2k)2 = 4k2

ให p = k2 เนองจาก k เปนจานวนเตม ดงนน p เปนจานวนเตม ซงทาให a2 = 4p สรปไดวา 4|a2 และa2 + 1 = (2k)2 + 1 = 4k2 + 1 = 2(2k2) + 1

ให d = 2k2 เนองจาก k เปนจานวนเตม ดงนน d เปนจานวนเตม ซงทาให a2 + 1 = 2d + 1 สรปไดวาa2 + 1 เปนจานวนค

บทท . ระเบยบวธการพสจนตวอยาง . . ขอความ "ถา m+ n เปนจานวนค แลว m และ n เปนจานวนค" เปนจรงหรอเทจวธทา เขยนในรปสญลกษณไดเปน ∀n,m ∈ Z, m+ n เปนจานวนค → n และ m เปนจานวนคถาเลอก m = 1 และ n = 1 จะเหนวา m+ n = 1 + 1 = 2 เปนจานวนค นนคอเหตเปนจรงแตผลเปนเทจเพราะ m และ n เปนจานวนค ทาใหสรปไดวาประพจนนมคาความจรงเปนเทจ จะเรยกตวอยาง m = 1

และ n = 1 วา ตวอยางคาน (counterexample)

ในการพสจนประพจน p เปนเทจ อาจทาไดโดยการพสจนวา ∼ p เปนจรง เชนในตวอยาง . . นเสธของประพจนนนคอ

∃n,m ∈ Z, m+ n เปนจานวนค ∧ (n หรอ m เปนจานวนค )

ประพจนนเปนจรงโดยการเลอก m = 1 และ n = 1 นนเอง

. การพสจนโดยการแจกแจงกรณจะกลาวถงการพสจนขอความในรปแบบ (p ∨ q) → r เนองจาก (p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

ดงนนตองพสจนทง กรณคอ

กรณท p → r

สมมต p เปนจรง...

ดงนน r เปนจรง

กรณท q → r

สมมต q เปนจรง...

ดงนน r เปนจรง �

เรยกวาการพสจนโดยแจกแจงกรณ (proof by cases) ดงจะยกตวอยางตอไปน

ตวอยาง . . จงพสจนวา "ถา a เปนจานวนค หรอ a เปนจานวนค แลว a2 + a เปนจานวนค"แนวคด เขยนในรปสญลกษณไดดงน

∀a ∈ Z, (a เปนจานวนค ∨ a เปนจานวนค ) → a2 + a เปนจานวนค

. . การพสจนโดยการแจกแจงกรณ

บทพสจน. ให a เปนจานวนเตมใด ๆกรณท สมมต a เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม k ซง a = 2k แลว

a2 + a = (2k)2 + 2k = 4k2 + 2k = 2(2k2 + k)

เนองจาก k เปนจานวนเตม ดงนน 2k2 + k เปนจานวนเตม สรปไดวา a2 + a เปนจานวนคกรณท สมมต a เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม c ซง a = 2c+ 1 แลว

a2 + a = (2c+ 1)2 + (2c+ 1) = 4c2 + 4c+ 1 + 2c+ 1 = 2(2c2 + 3c+ 1)

เนองจาก c เปนจานวนเตม ดงนน 2c2 + 3c+ 1 เปนจานวนเตม สรปไดวา a2 + a เปนจานวนค

จากตวอยาง . . ขอความทวา "a เปนจานวนค หรอ a เปนจานวนค" โดยบทนยาม . . หมายถง aเปนจานวนเตม นนคอขอความทจะพสจนอาจเขยนใหมไดหลายรปแบบเชน

. ถา a เปนจานวนเตม แลว a2 + a เปนจานวนค

. ทก ๆ a ทเปนจานวนเตม a2 + a เปนจานวนค

. a2 + a เปนจานวนค สาหรบจานวนเตม a ใด ๆ

กลาวอกนยหนงคอ ถา a จานวนเตม สามารถแบงออกเปน กรณ คอกรณท เมอ a เปนจานวนค และกรณท เมอ a เปนจานวนคตวอยาง . . จงพสจนวา "ถา n เปนจานวนเตม แลว n2 + 3n+ 4 เปนจานวนค"บทพสจน. ให n เปนจานวนเตมกรณท สมมต n เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม k ซง n = 2k แลว

n2 + 3n+ 4 = (2k)2 + 3(2k) + 4 = 2(2k2 + 3k + 2)

เนองจาก k เปนจานวนเตม ดงนน 2k2 + 3k + 2 เปนจานวนเตม สรปไดวา n2 + 3n+ 4 เปนจานวนคกรณท สมมต n เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม c ซง n = 2c+ 1 แลว

n2 + 3n+ 4 = (2c+ 1)2 + 3(2c+ 1) + 4

= 4c2 + 4c+ 1 + 6c+ 3 + 4

= 4c2 + 10c+ 8

= 2(2c2 + 5c+ 4)

เนองจาก c เปนจานวนเตม ดงนน 2c2+5c+4 เปนจานวนเตม สรปไดวา n2+3n+4 เปนจานวนค

บทท . ระเบยบวธการพสจน

จากตวอยาง . . ลองมาวเคราะหกนวา "จะรไดอยางไรวาจะตองพสจนโดยแบงกรณ" เรมดวยการวธพสจนโดยตรงกอน สมมตวา n เปนจานวนเตม แลวพยายามหาขอสรปใหไดวา n2+3n+4 เปนจานวนค ซงขอสรปตองเขยนในรป 2k เมอ k เปนจานวนเตม สาหรบ n ทเปนจานวนเตมไมสามารถเชอมโยงไปหาผลได ทาใหจาเปนตองเลอกวธแบงจานวนเตม n ออกเปนกรณ เนองจากขอสรปกลาวถงจานวนคจงตองแบงเปน กรณคอ n เปนจานวนคและจานวนคนนเอง

สาหรบจานวนเตมแลวไมจาเปนตองแบงเปน กรณคอจานวนคและจานวนค บางครงอาจจะแบงมากกวา กรณ เชนกรณจานวนเตมบวก จานวนเตมลบ และจานวนเตมศนย แบงเปน กรณ หรอจะแบงเปนหลาย ๆ กรณขนอยกบขอความทตองการพสจนโดยมหลกวาตองพจารณาใหครบทกกรณ ในกรณอน ๆ ทไมใชจานวนเตม ยอมสามารถพจารณาโดยใชหลกเดยวกน

สาหรบกรณทวไป (p1 ∨ p2 ∨ ... ∨ pn) → r ตองพสจนวาทง n กรณเปนจรง ตามโครงพสจนน

กรณท p1 → r

กรณท p2 → r

...

กรณท n pn → r

ตอไปจะกลาวถงการแบงจานวนเตมออกเปนหลาย ๆ กรณ โดยใชขนตอนการหาร

ทฤษฎบท . . ขนตอนการหาร (Division Algorithm)ให a และ b เปนจานวนเตม โดยท a = 0 แลวมจานวนเตม q และ r เพยงคเดยว ททาให

b = aq + r โดยท 0 ≤ r < |a|

เรยก a วาตวหาร (denominator) b วาตวถกหาร (numerator) q วาผลหาร (quotient) และ r วาเศษ(remainder)

การพสจนทฤษฎบทนดไดในวชาทฤษฎจานวน ขนตอนการหารจะชวยในการแบงจานวนเตมออกเปนกรณตาง ๆ ไดหลายแบบ เชน

• จานวนเตม a ถกแบงดวยการหาร ได กรณคอ a = 2k และ a = 2k + 1 สาหรบบางจานวนเตมk (หรอกรณ a เปนจานวนค และ a เปนจานวนค)

• จานวนเตม a ถกแบงดวยการหาร ได กรณคอ a = 3k และ a = 3k+1 และ a = 3k+2 สาหรบบางจานวนเตม k

ตวอยาง . . จงแสดงวา 3 | a(a2 + 2) ไมวา a เปนจานวนเตมใด ๆ กตาม

. . การพสจนขอความแบบผนกลบได

บทพสจน. ให a เปนจานวนเตมใด ๆกรณท a = 3k แลว

a(a2 + 2) = 3k((3k)2 + 2) = 3k(9k2 + 2) = 3(9k3 + 2k)

ให p = 9k3 + 2k เนองจาก k ∈ Z ดงนน p ∈ Z ซง a(a2 + 2) = 3p สรปไดวา 3|a(a2 + 2)

กรณท a = 3k + 1 แลวa(a2 + 2) = (3k + 1)((3k + 1)2 + 2) = (3k + 1)(9k2 + 6k + 1 + 2)

= (3k + 1)(9k2 + 6k + 3) = 3[(3k + 1)(3k2 + 2k + 1)]

ให p = (3k + 1)(3k2 + 2k + 1) เนองจาก k ∈ Z ดงนน p ∈ Z ซง a(a2 + 2) = 3p สรปไดวา 3|a(a2 + 2)

กรณท a = 3k + 2 แลวa(a2 + 2) = (3k + 2)((3k + 2)2 + 2) = (3k + 2)(9k2 + 12k + 4 + 2)

= (3k + 2)(9k2 + 12k + 6) = 3[(3k + 2)(3k2 + 4k + 2)]

ให p = (3k+2)(3k2+4k+2) เนองจาก k ∈ Z ดงนน p ∈ Z ซง a(a2+2) = 3p สรปไดวา 3|a(a2+2)

. การพสจนขอความแบบผนกลบไดในหวขอ . ไดพสจนวา "ถา n เปนจานวนค แลว n2 เปนจานวนค" ในตวอยาง . . เมอมเหต n เปน

จานวนค จะนาไปสขอสรป n2 เปนจานวนค เมอตงคาถามตอไปวาในทางกลบกน ขอความนจะเปนจรงหรอไม นนคอตองพสจนวา "ถา n2 เปนจานวนค แลว n เปนจานวนค" ซงไดพสจนไวแลวในตวอยาง . .ทาใหไดวาผลสามารถสรปเหตไดดวย อนหมายถงการพสจนวา

"n เปนจานวนค กตอเมอ n2 เปนจานวนค"

นนคอการพสจนในรปแบบ p ↔ q ซงทา ขนตอนดงน

. p → q เรยกวาขน sufficient part (p เปนเงอนไขทเพยงพอสาหรบ q)

. q → p เรยกวาขน necessily part (p เปนเงอนไขทจาเปนสาหรบ q)

เหตผลทตองพสจนทง ขนตอนเพราะวา p ↔ q ≡ (p → q)∧ (q → p) และเรยกวา การพสจนขอความแบบผนกลบได (proof of biconditional statements)

ตวอยาง . . จงพสจนวา "จานวนเตม a ใด ๆ a เปนจานวนค กตอเมอ a+ 3 เปนจานวนค"แนวคด เขยนโครงพสจนไดดงน

บทท . ระเบยบวธการพสจน

ขนตอนท ขน sufficient partสมมต a เปนจานวนค

...ดงนน a+ 3 เปนจานวนค

ขนตอนท ขน necessily partสมมต a+ 3 เปนจานวนค

...ดงนน a เปนจานวนค �

บทพสจน. ให a เปนจานวนเตมขนตอนท สมมต a เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม k ซง a = 2k + 1 แลว

a+ 3 = (2k + 1) + 3 = 2(k + 2)

เนองจาก k เปนจานวนเตม ดงนน k + 2 เปนจานวนเตม สรปไดวา a+ 3 เปนจานวนเตมคขนตอนท สมมต a+ 3 เปนจานวนเตมค จะไดวามจานวนเตม m ซง a+ 3 = 2m แลว

a = 2m− 3 = 2(m− 2) + 1

เนองจาก m เปนจานวนเตม ดงนน m− 4 เปนจานวนเตม สรปไดวา a เปนจานวนคตวอยาง . . จงพสจนวา

"สาหรบจานวนเตม a และ b ใด ๆ ab เปนจานวนค กตอเมอ a และ b เปนจานวนค"แนวคด เรมตนดวยการเขยนโครงพสจนไดดงน

ขนตอนท ขน sufficient partสมมต ab เปนจานวนค

...ดงนน a และ b เปนจานวนค

จากการวเคราะหจะเหนวาการพสจนโดยตรงทาไมได จงตองพสจนโดยวธการแยงสลบท นนคอสมมต a หรอ b เปนจานวนค

...ดงนน ab เปนจานวนค

. . การพสจนขอความแบบผนกลบได

จะเขารปแบบ (p ∨ q) → r นนคอการพสจนโดยแบงกรณประกอบไปดวยกรณท คอ p → r และกรณท คอ q → r

ขนตอนท ขน necessily partสมมต a และ b เปนจานวนค

...ดงนน ab เปนจานวนค �

บทพสจน. ให a และ b เปนจานวนเตมขนตอนท

กรณท สมมต a เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม k ซง a = 2k แลวab = 2kb = 2(kb)

เนองจาก k และ b เปนจานวนเตม ดงนน kb เปนจานวนเตม สรปไดวา ab เปนจานวนเตมคกรณท สมมต b เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม p ซง b = 2p แลว

ab = a(2p) = 2(ap)

เนองจาก a และ p เปนจานวนเตม ดงนน ab เปนจานวนเตม สรปไดวา ab เปนจานวนเตมคขนตอนท สมมตวา a และ b เปนจานวนเตมค จะไดวามจานวนเตม m และ n ซง a = 2m + 1 และb = 2n+ 1 แลว

ab = (2m+ 1)(2n+ 1)

= 4mn+ 2m+ 2n+ 1

= 2(2mn+m+ n) + 1

เนองจากm และ n เปนจานวนเตม ดงนน 2mn+m+n เปนจานวนเตม สรปไดวา ab เปนจานวนคการพสจนขอความ p ↔ q โดยการสางขอความทสมมลตอเนองกนจากขอความ p ไปยงขอความ q

p ↔ p1 เขยนแทนดวย p ↔ q1

q1 ↔ q2 ↔ q2

q2 ↔ q3 ↔ q3... ...

qn ↔ q ↔ q

เรยกวธการพสจนนวา iff-string

บทท . ระเบยบวธการพสจนบทนยาม . . ให A และ B เปนเซตในเอภพสมพทธ U แลว

ยเนยน (union) A ∪B = {x ∈ U | x ∈ A หรอ x ∈ B}

อนเตอรเซกชน (intersection) A ∩B = {x ∈ U | x ∈ A และ x ∈ B}

ผลตาง (difference) A−B = {x ∈ U | x ∈ A และ x /∈ B}

สวนเตมเตม (complement) Ac = {x ∈ U |x /∈ A}

ตวอยาง . . สาหรบเซต A และ B ในเอกภพสมพทธ U จะไดวา A ∩B = B ∩ A

บทพสจน. ให A และ B เปนเซตใด ๆ ในเอกภพสมพทธ U

x ∈ A ∩B ↔ x ∈ A ∧ x ∈ B

↔ x ∈ B ∧ x ∈ A

↔ x ∈ B ∩ A

ดงนน A ∩B = B ∩ A

ตวอยาง . . สาหรบเซต A และ B ในเอกภพสมพทธ U จะไดวา A−B = A ∩Bc

บทพสจน. ให A และ B เปนเซตใด ๆ ในเอกภพสมพทธ U

x ∈ A−B ↔ x ∈ A ∧ x /∈ B

↔ x ∈ A ∧ x ∈ Bc

↔ x ∈ A ∩Bc

ดงนน A−B = A ∩Bc

ตอไปจะกลาวถงการพสจนขอความทสมมลกนเปนค เชน(p1 ↔ p2) ∧ (p2 ↔ p3) ∧ (p3 ↔ p1)

สามารถพสจนไดจาก(p1 → p2) ∧ (p2 → p3) ∧ (p3 → p1)

ตวอยาง . . สาหรบจานวนเตม a ใด ๆ จงพสจนวาขอความตอไปนสมมลกนทกคp1 : a เปนจานวนคp2 : a2 หารดวย ลงตวp3 : a2 เปนจานวนค

บทพสจน. ให a เปนจานวนเตมใด ๆ

. . การพสจนโดยวธขดแยง

(p1 → p2) สมมต a เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม k ซง a = 2k ดงนนa2 = (2k)2 = 4k2

สรปไดวา 4 | a2

(p2 → p3) สมมตวา 4 | a2 จะไดวามจานวนเตม p ซง a2 = 4p ดงนนa2 = 2(2p)

สรปไดวา a2 เปนจานวนค(p3 → p1) เปนจรงโดยตวอยาง . .

. การพสจนโดยวธขดแยงถาการพสจนขอความโดยวธตาง ๆ ทผานมาแลวไมสามารถทาได ในหวขอนจะนาเสนอทางเลอกอก

วธหนง ถาตองการพสจน p เปนจรงโดยการสมมตวา ∼ p เปนจรง แลวนาไปสขอความขดแยง c หรอเกดประพจน r∧ ∼ r การพสจนแบบนไดจากสจนรนดร (T ) (∼ p → c) → p เรยกวธนวา การพสจนโดยวธขดแยง (proof by contradiction) มโครงการพสจนดงน

สมมต ∼ p เปนจรง...

ดงนน เกดขอขดแยง �

ตวอยาง . . จงพสจนวา "ไมวา x จะเปนจานวนจรงใดกตามทไมใชศนย จะไดวา x−1 = 0" โดยวธขดแยงแนวคด ให p แทนขอความ ∀x ∈ R, x = 0 → x−1 = 0 สมมตวา ∼ p เปนจรง นนคอ

∃x ∈ R, x = 0 ∧ x−1 = 0

บทพสจน. สมมตวา มจานวนจรง x ซง x = 0 และ x−1 = 0

เนองจาก x = 0 โดยสมบตจานวนจรงจะไดวา x(x−1) = 1 แตจากการสมมต x−1 = 0 จะไดวา1 = x(x−1) = x(0) = 0

เกดขดแยง ดงนนขอความนเปนจรงตวอยาง . . จงพสจนวา "ถา x, y เปนจานวนเตม แลว x2 − 4y = 2" โดยวธขดแยง

บทท . ระเบยบวธการพสจน

ให p แทนขอความ ∀x, y ∈ Z, x2 − 4y = 2 สมมตวา ∼ p เปนจรง นนคอ ∃x, y ∈ Z, x2 − 4y = 2

บทพสจน. สมมตวามจานวนเตม x และ y ซง x2 − 4y = 2 แลวx2 = 2(2y + 1)

ดงนน x2 เปนจานวนค โดยตวอยาง . . ทาใหไดวา x เปนจานวนค จะไดวามจานวนเตม k ซง x = 2k

ทาใหไดวา(2k)2 − 4y = 2

4k2 − 4y = 2

2k2 − 2y = 1

2(k2 − y) = 1

จะไดวา 1 เปนจานวนค เกดขอขดแยง ดงนนขอความนเปนจรงตวอยาง . . จงพสจน ∀a, b ∈ R, (∀ϵ > 0, a ≤ b+ ϵ) → (a ≤ b)

แนวคด พสจนโดยวธขดแยง สมมตวา ∃a, b ∈ R, (∀ϵ > 0, a ≤ b+ ϵ) ∧ (a > b) เปนจรงบทพสจน. สมมตวามจานวนจรง a และ b ซง a ≤ b+ ϵ ไมวา ϵ เปนจานวนจรงบวกใดกตาม และ a > b

เพราะวา a > b ดงนน a−b2

> 0 เนองจาก a− b > a−b2

ดงนน a > b+ a−b2

แสดงวาม ϵ = a−b2

> 0 ททาให a > b+ ϵ ซงเกดขอขดแยงทสมมตไววา a ≤ b+ ϵ ไมวา ϵ เปนจานวนจรงบวกใดกตาม ดงนนขอความนเปนจรงบทนยาม . . เรยกจานวนจรง a วา จานวนตรรกยะ (rational number) กตอเมอมจานวนเตม b และจานวนเตม c ทไมใชศนย ซง a = b

cสาหรบจานวนจรงทไมใชจานวนตรรกยะจะเรยกวาจานวนอตรรกยะ

(irrational number)ตวอยาง . . จงพสจนวา "√2 เปนจานวนอตรรกยะ"แนวคด พสจนขอความนโดยวธขดแยง นนคอสมมตวา √

2 เปนจานวนตรรกยะ แลวหาขอขดแยงบทพสจน. สมมตวา √

2 จะเปนจานวนตรรกยะ แลวจะไดวามจานวนเตม b และจานวนเตม c ทไมใชศนย ซง √2 = b

cและตวหารรวมมากของ b และ c เทากบ (เศษสวนอยางตา) แลว

b =√2c

b2 = 2c2

ดงนน b2 เปนจานวนค โดยตวอยาง . . จะไดวา b เปนจานวนค นนคอมจานวนเตม k ซง b = 2k แลว(2k)2 = 2c2

2k2 = c2

. . การพสจนขอความซงเปนไปไดอยางเดยว

ดงนน c2 เปนจานวนค โดยตวอยาง . . จะไดวา c เปนจานวนค สรปไดวา b และ c เปนจานวนค ดงนนตวหารรวมมากของ b และ c ไมเทากบ เกดขอขดแยง ทาใหสรปไดวา√2 จะเปนจานวนอตรรกยะบทนยาม . . จะเรยกจานวนเตมบวก p ทมากกวา วาเปนจานวนเฉพาะ (prime number) กตอเมอตวหารของ p มแค 1 กบ p เทานนตวอยาง . . จงพสจนวา " มจานวนเฉพาะเปนจานวนอนนต "บทพสจน. สมมตวาจานวนเฉพาะมจากดตว ให P เปนจานวนเฉพาะสงสด กาหนดให

Q = 2× 3× 4× · · · × P + 1

จะเหนไดชดวา Q เปนจานวนทมากกวา P ดงนน Q ไมใชจานวนเฉพาะ นนคอตองมจานวนเฉพาะหารมนลงตว จากรปแบบของ Q ทกาหนดจะเหนไดชดวาจะไมมจานวนเตมใด ๆ จาก ถง P ทจะหาร Q ไดลงตวเพราะมนจะเหลอเศษ เสมอ ดงนนจะตองมจานวนเฉพาะทสงกวา P มาหารมนลงตว ทาใหเกดขอขดแยงกบสมมตฐาน ดงนนมจานวนเฉพาะเปนจานวนอนนต

. การพสจนขอความซงเปนไปไดอยางเดยวขอความทเปนไปไดอยางเดยวเทานนเขยนแทนดวย ∃!x ∈ U , p(x) ขอความนสมมลกบ

(∃x ∈ U , p(x)) ∧ (∀x, y ∈ U , p(x) ∧ p(y) → x = y)

ดงนนการพสจน ∃!x ∈ U , p(x) แบงการพสจนออกเปน สวนคอ. ∃x ∈ U , p(x) แสดงวาม x ∈ U อยางนอยหนงตว (existence). ∀x, y ∈ U , p(x) ∧ p(y) → x = y แสดงวาม x ∈ U เพยงหนงตวเทานน (uniqueness)

ตวอยาง . . จงพสจนวา "มจานวนจรง x เพยงตวเดยวเทานนซง 2x = 1"แนวคด เขยนในรปสญลกษณไดเปน ∃!x ∈ R, 2x = 1

บทพสจน. ขนท มอยางนอยหนงตว เลอก x = 0 จะไดวา2x = 20 = 1

ขนท มเพยงตวเดยว ให x, y ∈ R สมมต 2x = 1 และ 2y = 1 แลว2x = 1 = 2y ดงนน 2x = 2y

จากสมบตของเลขยกกาลงจะไดวา x = y

ตวอยาง . . จงพสจนวา "มจานวนจรง x เพยงตวเดยวททาให x3 + 1 = 0"

บทท . ระเบยบวธการพสจนแนวคด เขยนสญลกษณไดเปน ∃!x ∈ R, x3 + 1 = 0

บทพสจน. ขนท มอยางนอยหนงตว เลอก x = −1 จะไดวา x3 + 1 = (−1)3 + 1 = −1 + 1 = 0

ขนท มเพยงตวเดยว ให x, y ∈ R สมมต x3 + 1 = 0 และ y3 + 1 = 0 แลวx3 + 1 = 0 = y3 + 1 ดงนน x3 = y3

จากสมบตของจานวนจรงจะไดวา x = y

ตวอยาง . . จงพสจนวา "ทก ๆ จานวนจรง x จะมจานวนจรง y เพยงตวเดยวเทานนซง x+ y = 1"แนวคด เขยนสญลกษณไดเปน ∀x ∈ R∃!y ∈ R, x+ y = 1

บทพสจน. ให x เปนจานวนจรงใด ๆขนท มอยางนอยหนงตว เลอก y = 1− x ซง y ∈ R จะไดวา

x+ y = x+ (1− x) = 1

ขนท มเพยงตวเดยว ให y, z ∈ R สอดคลอง x+ y = 1 และ x+ z = 1 แลวx+ y = 1 = x+ z ดงนน x+ y = x+ z

จากสมบตการตดออกของการบวกบนจานวนจรงจะไดวา y = z

ตวอยาง . . จงพสจนวา "ทก ๆ จานวนจรง x จะมจานวนจรง y เพยงตวเดยวเทานนซง x+ y = 1"แนวคด เขยนสญลกษณไดเปน ∀x ∈ R∃!y ∈ R, x+ y = 1

บทพสจน. ให x เปนจานวนจรงใด ๆขนท มอยางนอยหนงตว เลอก y = 1− x ซง y ∈ R จะไดวา

x+ y = x+ (1− x) = 1

ขนท มเพยงตวเดยว ให y, z ∈ R สอดคลอง x+ y = 1 และ x+ z = 1 แลวx+ y = 1 = x+ z ดงนน x+ y = x+ z

จากสมบตการตดออกของการบวกบนจานวนจรงจะไดวา y = z

ตวอยาง . . จงพสจนวา"มจานวนจรง x เพยงจานวนเดยวเทานนททาให x+ y = y สาหรบทกจานวนจรง y"

แนวคด เขยนในรปสญลกษณคอ ∃!x ∈ R∀y ∈ R, x+ y = y

บทพสจน. ขนท มอยางนอยหนงตว เลอก x = 0 จะไดวา0 + y = y สาหรบทกจานวนจรง y

ขนท มเพยงตวเดยว ให x, z ∈ R สอดคลอง x+ y = y และ z + y = y สาหรบทกจานวนจรง y แลว

. . การพสจนขอความซงเปนไปไดอยางเดยว

x+ y = y = z + y ดงนน x+ y = z + y

จากสมบตการตดออกของการบวกบนจานวนจรงจะไดวา x = z

จากทง ตวอยางทาใหพอเหนภาพการพสจนขอความซงเปนไปไดอยางเดยว ตอไปจะแสดงวาขอความทมเพยงหนงเดยวเปนเทจโดยแสดงใหไดวา

(∃x ∈ U , p(x)) ∧ (∀x, y ∈ U , p(x) ∧ p(y) → x = y)

เปนเทจซงเพยงพอทจะแสดงวาขนตอน หรอ เปนเทจไดดงน. p(x) เปนเทจ ทก ๆ x ∈ U หรอ

. เลอก x, y ∈ U ทสอดคลอง p(x) และ p(y) แต x = y

ตวอยาง . . พจารณาคาความจรงของ ∃!x ∈ R, x2 = 1

วธทา เนองจากขนท เปนเทจโดยการเลอก x = 1 และ x = −1 ซง x2 = 12 = 1 และ x2 = (−1)2 = 1

แต 1 = −1

นเสธของ ∃!x ∈ U , p(x) คอ ¬∃!x ∈ U , p(x) เมอดตามความหมายจะไดวา∼ (∃x ∈ U , p(x) ∧ ∀x, y ∈ U , p(x) ∧ p(y) → x = y)

สมมลกบ(∀x ∈ U , ∼ p(x)) ∨ (∃x, y ∈ U , p(x) ∧ p(y) ∧ x = y)

การหานเสธของขอความซงเปนไปไดอยางเดยว แสดงใหเหนวาการหานเสธตองอาศยความหมายทแทจรงมใชยดตดเพยงรปแบบเทานน

ถาจะแสดงวาประพจน p เปนเทจ อาจจะพสจนประพจน ∼ p เปนจรงแทนกได ตวอยางเชน∃x ∈ U , p(x) เปนเทจ สมมลกบการพสจน ∀x ∈ U , ∼ p(x) เปนจรง

คอการพสจนวาไมม x ใดใน U ทสอดคลอง p(x) นนเองตวอยาง . . จงพสจนวา ∃x ∈ R, x2 + 1 = 0 เปนเทจแนวคด ตองพสจนขอความ ∀x ∈ R, x2 + 1 = 0 เปนจรง

บทพสจน. ให x เปนจานวนจรงใด ๆ จากสมบตจานวนจรงจะไดวา x2 ≥ 0 ดงนนx2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1

สรปไดวา x2 + 1 = 0

บทท . ระเบยบวธการพสจน

. การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตรทกคนคงเคยเลนโดมโนทเมอผลกตวโดมโนตวแรกแลวจะทาใหตวถด ๆ ไปลมทบไปเรอย ๆ หลกการ

พสจนประพจนทมเอกภพสมพทธเปนจานวนนบในรปแบบ ∀n ∈ N, P (n) นบวามหลกการคลายคลงกบโดมโน คอการเรยงตวตอกนไปไมมทสนสดเพยงแคผลกตวแรกใหลม

หลกโดมโน (domino principle) มวธการกคอตองผลกชนแรกใหลมเสยกอน เรยกขนนวาขนฐาน(basic step) จากนนตองตรวจสอบวาแตละชนจะลมไปไมมทสนสดจรงหรอไม ดวยการตรวจสอบขนทคอตรวจสอบโดมโนทก ๆ ค โดยทชนท k ตองลมไปทบชนท k+ เสมอเรยกขนนวาขนอปนย (inductivestep) ดงรป

1 2 3 4 5 6 k k + 1

รปท การเปรยบเทยบหลกโดมโนกบหลกอปนยเชงคณตศาสตร

การพสจนประพจน ∀n ∈ N, P (n) เปนจรงทาได ขนตอน ดงทฤษฎบทตอไปนทฤษฎบท . . ให P (n) เปนประโยคเปด ถา

. ขนฐาน : P (1) เปนจรง และ

. ขนอปนย : ∀k ∈ N, P (k) → P (k + 1) เปนจรงสรปไดวา ∀n ∈ N, P (n) เปนจรง

ตวอยาง . . จงแสดงวา 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2สาหรบทกจานวนนบ n

บทพสจน. ให n ∈ N และ P (n) แทนขอความ

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

. ขนฐาน : เนองจาก 1 = 1(1+1)2

ดงนน P (1) เปนจรง

. ขนอปนย : ให k ∈ N สมมต P (k) เปนจรง นนคอ

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ k =k(k + 1)

2

. . การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร

ดงนน1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ k + (k + 1) =

k(k + 1)

2+ (k + 1)

= (k + 1)

[k

2+ 1

]=

(k + 1)(k + 2)

2

ทาใหสรปไดวา P (k + 1) เปนจรงโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร สรปไดวา

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

สาหรบทกจานวนนบ n

ตวอยาง . . จงพสจนวา ∀n ∈ N, 4 | (5n − 1)

บทพสจน. ให n ∈ N และ P (n) แทนขอความ 4 | (5n − 1)

. ขนฐาน : เนองจาก 51 − 1 = 4 นนคอ 4 | (51 − 1) ดงนน P (1) เปนจรง

. ขนอปนย : ให k ∈ N สมมต P (k) เปนจรง นนคอ 4 | (5k − 1) จะไดวามจานวนเตม m ซง5k − 1 = 4m หรอ 5k = 1 + 4m แลว

5k+1 − 1 = 5 · 5k − 1 = 5(1 + 4m)− 1

= 4(1 + 5m)

จะไดวา 4 | (5k+1 − 1) ทาใหสรปไดวา P (k + 1) เปนจรงสรปไดวา 4 | (5n − 1) สาหรบทกจานวนนบ n

ตวอยาง . . จงแสดงวา (3!)n | (3n)! สาหรบจานวนนบ n

บทพสจน. ให n ∈ N และ P (n) แทนขอความ (3!)n | (3n)!

. ขนฐาน : เนองจาก (3!)1 = 3! = (3 · 1)! นนคอ (3!)1 | (3 · 1)! ดงนน P (1) เปนจรง

. ขนอปนย : ให k ∈ N สมมต P (k) เปนจรง นนคอ (3!)k | (3k)! จะไดวามจานวนเตม m ซง(3k)! = m(3!)k แลว

(3(k + 1))! = (3k + 3)! = (3k + 3)(3k + 2)(3k + 1)(3k)!

= 3(k + 1)(3k + 2)(3k + 1)m(3!)k

บทท . ระเบยบวธการพสจน

เมอให a = 3k+1 จะได (3k+2)(3k+1) = (a+1)a = a2 + a โดยตวอยาง . . จะไดวา a2 + a

เปนจานวนคนนคอ(3k + 2)(3k + 1) = 2p

สาหรบบางจานวนเตม p ดงนน(3(k + 1))! = 3(k + 1)2pm(3!)k = (k + 1)pm · 6(3!)k

= (k + 1)pm · 3!(3!)k = (k + 1)pm · (3!)k+1

จะไดวา (3!)k+1 | (3(k + 1))! ทาใหสรปไดวา P (k + 1) เปนจรงสรปไดวา (3!)n | (3n)! สาหรบทกจานวนนบ n

ตวอยาง . . จงแสดงวา ∀n ∈ N, 2n < 2n+1

บทพสจน. ให n ∈ N และ P (n) แทนขอความ 2n < 2n+1

. ขนฐาน : เนองจาก 21 = 2 < 4 = 22 = 21+1 ดงนน P (1) เปนจรง

. ขนอปนย : ให k ∈ N สมมต P (k) เปนจรง นนคอ 2k < 2k+1 โดยสมมตฐานขางตนจะไดวา2k+1 = 2 · 2k < 2 · 2k+1 = 2k+2

นนคอ P (k + 1) เปนจรงโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร สรปไดวา ∀n ∈ N, 2n < 2n+1

ตอไปจะกลาวถงการพสจนแบบอปนยเชงคณตศาสตรทเรมขนฐานดวย n0

ทฤษฎบท . . ให n0 ∈ N และ P (n) เปนประโยคเปด ถา. ขนฐาน : P (n0) เปนจรง. ขนอปนย : ∀k ∈ N, k ≥ n0, P (k) → P (k + 1) เปนจรง

สรปไดวา ∀n ∈ N, n ≥ n0, P (n) เปนจรง หรอ P (n) เปนจรงทกจานวนนบ n ≥ n0

ตวอยาง . . จงหาจานวนนบเรมตนททาใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน 2n ≥ n2

บทพสจน. พจารณา 2 = 21 ≥ 12 = 1, 4 = 22 ≥ 22 = 4, 8 = 23 ≥ 32 = 9, 16 = 24 ≥ 42 = 16,32 = 25 ≤ 52 = 25, 64 = 24 ≤ 62 = 36 ดงนนขอความเปนจรงเมอเรม n0 = 4 นนคอพสจนขอความ

∀n ∈ N, n ≥ 4, 2n ≥ n2

. ขนฐาน : เนองจาก 16 = 24 ≥ 42 = 16 ดงนน P (4) เปนจรง

. . การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร

. ขนอปนย : สมมตวา P (k) เปนจรง สาหรบจานวนนบ k ≥ 4 นนคอ 2k ≥ k2

เนองจาก k ≥ 4 ดงนน k2 ≥ 4k = 2k + 2k และ 2k > 1 สรปไดวา k2 ≥ 2k + 1 จากสมมตฐานจะได2k+1 = 2k · 2 ≥ 2(k2) = k2 + k2 ≥ k2 + 2k + 1 = (k + 1)2

ดงนน 2n ≥ n2 เปนจรงทกจานวนนบ n ≥ 4

ตวอยาง . . จงหาจานวนนบเรมตนททาใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน 2n ≤ n!

บทพสจน. พจารณา 21 = 2 > 1 = 1!, 22 = 4 > 2 = 2!, 23 = 8 > 6 = 3!, 24 = 16 ≤ 24 = 4!,25 = 32 ≤ 120 = 5! ดงนนขอความเปนจรงเมอเรม n0 = 4 นนคอพสจนขอความ

∀n ∈ N, n ≥ 4, 2n ≤ n!

. ขนฐาน : เนองจาก 24 = 16 ≤ 24 = 4! ดงนน P (4) เปนจรง

. ขนอปนย : สมมตวา P (k) เปนจรง สาหรบจานวนนบ k ≥ 4 นนคอ 2k ≤ k! จะไดวา2k+1 = 2 · 2k ≤ 2 · k!

เนองจาก k ≥ 4 ดงนน k + 1 ≥ 5 > 2 ทาใหไดวา2k+1 ≤ (k + 1)k! = (k + 1)!

นนคอ P (k + 1) เปนจรงโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร สรปไดวา ∀n ∈ N, n ≥ 4, 2n < n!

สรปวธการพสจนในบทนมทงหมด วธ โดยแตละวธรปแบบและโครงพสจนดงตอไปน

. การพสจนขอความแบบมเงอนไข คอการพสจนขอความในรป p → q โดยมโครงพสจนดงนสมมต p เปนจรง

...ดงนน q เปนจรง �

เรยกวาการพสจนโดยวธตรง ในกรณทพสจนดงกลาวไมไดจะใชการพสจนโดยวธการแยงสลบท มโครงการพสจนคอ

สมมต ∼ q เปนจรง...

ดงนน ∼ p เปนจรง �

สาหรบการพสจนขอความ p → (q ∧ r) ตองพสจนวาทง ขอความเปนจรงคอ p → q และ p → r

. การพสจนโดยการแจกแจงกรณ คอการพสจนขอความในรปแบบ (p∨q) → r ตองพสจน กรณเปนจรงคอ

กรณท p → r

สมมต p เปนจรง...

ดงนน r เปนจรง

กรณท q → r

สมมต q เปนจรง...

ดงนน r เปนจรง �

สาหรบกรณทวไป (p1 ∨ p2 ∨ ... ∨ pn) → r ตองพสจนวาทง n กรณเปนจรง ตามโครงพสจนนกรณท p1 → r

กรณท p2 → r...

กรณท n pn → r

. การพสจนขอความแบบผนกลบได คอการพสจนขอความในรปแบบ p ↔ q ตองทา ขนตอนคอ

. p → q เรยกวาขน sufficient part (p เปนเงอนไขทเพยงพอสาหรบ q)

. q → p เรยกวาขน necessily part (p เปนเงอนไขทจาเปนสาหรบ q)การพสจนแบบ iff-string คอการการพสจนขอความ p ↔ q โดยการสางขอความทสมมลตอเนองกนจากขอความ p ไปยงขอความ q

p ↔ p1 เขยนแทนดวย p ↔ q1

q1 ↔ q2 ↔ q2

q2 ↔ q3 ↔ q3... ...

qn ↔ q ↔ q

สดทายคอการพสจนขอมลทสมมลกน พจารณาขอความทสมมลกนเปนคเชน(p1 ↔ p2) ∧ (p2 ↔ p3) ∧ (p3 ↔ p1)

. . การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร

สามารถพสจนไดจาก(p1 → p2) ∧ (p2 → p3) ∧ (p3 → p1)

. การพสจนโดยวธขดแยง คอการพสจน p เปนจรงโดยการสมมตวา ∼ p เปนจรง แลวนาไปสขอความขดแยง c หรอเกดประพจน r∧ ∼ r การพสจนแบบนไดจากสจนรนดร (T ) (∼ p →

c) → p มโครงการพสจนดงนสมมต ∼ p เปนจรง

...ดงนน เกดขอขดแยง �

การพสจนโดยวธขดแยงจะบอกไมไดวาขดแยงตรงไหนซงเปนความยงยากของวธน ผ พสจนตองอาศยประสบการณและความชานาญ โดยในเบองตน ตองฝกฝนการเขยนพสจนและอานบทพสจนอยเปนประจา เพอใหเหนแนวทางทหลากหลายในการพสจน กอนจะนามาปรบใชไดดวยตนเองตอไป

. การพสจนขอความซงเปนไปไดอยางเดยว คอพสจนขอความ ∃!x ∈ U , p(x) ซงสมมลกบ(∃x ∈ U , p(x)) ∧ (∀x, y ∈ U , p(x) ∧ p(y) → x = y)

ดงนนการพสจนแบงการพสจนออกเปน สวนคอ. ∃x ∈ U , p(x) แสดงวาม x ∈ U อยางนอยหนงตว (existence). ∀x, y ∈ U , p(x) ∧ p(y) → x = y แสดงวาม x ∈ U เพยงหนงตวเทานน (uniqueness)

. การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร การพสจนประพจน ∀n ∈ N, P (n) เปนจรงทาไดขนตอนดงน

. ขนฐาน (Basic step) : P (1) เปนจรง

. ขนอปนย (Inductive step) : ∀k ∈ N, P (k) → P (k + 1) เปนจรงสรปไดวาประพจน ∀n ∈ N, P (n) เปนจรงตอไปการพสจนแบบอปนยเชงคณตศาสตรทเรมขนฐานดวย n0 พสจนไดโดย. ขนฐาน (Basic step) : P (n0) เปนจรง. ขนอปนย (Inductive step) : ∀k ∈ N, k ≥ n0, P (k) → P (k + 1) เปนจรง

สรปไดวาประพจน ∀n ∈ N, n ≥ n0, P (n) เปนจรงในกรณทจะแสดงวาประพจนทมตวบงปรมาณทงหมดเปนเทจ ทาไดโดยหาตวอยางคานททาใหประพจน

นนเปนเทจ สาหรบขอความทตองการพสจนจะใชวธใดนนขนอยกบลกษณะของขอความ เมอผ อานไดศกษาในแตละวธแลวจะเขาใจวาควรเลอกวธใดทเหมาะสมกบขอความทตองการพสจน และบางขอความอาจพสจนไดหลายวธกได

คาถามทายบท. จงพสจนขอความตอไปน โดยเลอกวธพสจนทเหมาะสม

. ถา x เปนจานวนค แลว 3x เปนจานวนค

. ถา m และ n เปนจานวนค แลว 3n+ 5m เปนจานวนค

. ถา m เปนจานวนค และ n เปนจานวนค แลว nm เปนจานวนค

. ถา m3 เปนจานวนค แลว m เปนจานวนค. จงพสจนขอความตอไปน

. ถา n เปนจานวนเตม แลว 7n2 + n+ 2 เปนจานวนค

. ไมวา m จะเปนจานวนเตมใดกตาม m3 −m+ 3 + 1 เปนจานวนค

. สาหรบจานวนเตม n ถา 3 | (n2 − n) แลว 6 | (n2 − n)

. 4 | (n2 − 1) สาหรบจานวนเตมค n

. จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอไม ถาจรงจงพสจน ถาไมจรงจงยกตวอยางคาน. ถา n เปนจานวนเตม แลว n3 − n เปนจานวนค. สาหรบจานวนเตม a, b และ c ทไมใชศนย ถา a|b2 แลว a|b

. ∀x, y ∈ R, x < y → x2 < y2

. จงพสจนขอความตอไปน โดยเลอกวธพสจนทเหมาะสม. สาหรบจานวนเตม a ใดๆ a เปนจานวนค กตอเมอ a2 + 1 เปนจานวนค. สาหรบจานวนเตม a ใดๆ a เปนจานวนค กตอเมอ a2 + 3 เปนจานวนค. มจานวนจรง x และ y ใดๆ x < y กตอเมอ x3 < y3

. ∀x ∈ R [x3 = 1 ↔ x = 1 ]

. จงพสจนขอความตอไปน โดยวธ iff-string. สาหรบเซต A และ B จะไดวา A−Bc = A ∩B

. สาหรบเซต A และ B จะไดวา (A ∪B)c = Ac ∩Bc

. สาหรบเซต A และ B จะไดวา (A ∩B)c = Ac ∪Bc

. จงพสจนวาขอความตอไปนสมมลกนทกคp1 : n เปนจานวนเตมทหารดวย แลวเหลอเศษ

. . การพสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร

p2 : n3 เปนจานวนเตมทหารดวย แลวเหลอเศษp3 : n3 + 4 เปนจานวนเตมทหารดวย แลวเหลอเศษ

. จงพสจนขอความตอไปน. √

3 เปนจานวนอตรรกยะ. สาหรบจานวนเตม a ใดๆ ถา a2 + 2a+ 5 เปนจานวนค แลว a เปนจานวนค. ถา a เปนจานวนเตม แลว a2 = 4a+ 3

. ∀x, y ∈ R+, x+ y > 2√xy

. จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอไม ถาจรงจงพสจน ถาไมจรงจงยกตวอยางคาน. ถา m เปนจานวนเตม และ 4m เปนจานวนค แลว 3m เปนจานวนค. ผลบวกของจานวนตรรกยะกบอตรรกยะเปนจานวนอตรรกยะ. ∀a, b ∈ R, [ (a = 0 ∧ b = 0) → a+ b = 0 ]

. ∀x, y ∈ R, [ x < y → |x| < |y| ]

. จงพสจนขอความตอไปน

. ทกๆจานวนจรง x จะมจานวนจรง y เพยงตวเดยวเทานนซง x+ y = 5

. มจานวนจรง x เพยงจานวนเดยวเทานนททาให xy = x สาหรบทกจานวนจรง y

. จงพสจนวาขอความตอไปนเปนเทจ. มจานวนจรง x ซง x = x+ 1

. มจานวนจรง x ซง x2 + x+ 1 = 0

. ∃n ∈ N, 3 | 2n

. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร

. 12 + 22 + 32 + ...+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6สาหรบทกจานวนนบ n

. 13 + 23 + 33 + ...+ n3 =

[n(n+ 1)

2

]2สาหรบทกจานวนนบ n

. 1 + 3 + 5 + ...+ (2n− 1) = n2 สาหรบทกจานวนนบ n

. 2 + 4 + 6 + ...+ (2n) = n2 + n สาหรบทกจานวนนบ n

. 2 + 22 + 23 + ...+ 2n = 2n+1 − 2 สาหรบทกจานวนนบ n

. 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + ...+ n(n!) = (n+ 1)!− 1 สาหรบทกจานวนนบ n

บทท . ระเบยบวธการพสจน

. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร. 3 | (5n − 2n) เมอ n เปนจานวนเตมบวก. 5 | (33n+1 + 2n+1) เมอ n เปนจานวนเตมบวก. 7 | (32n+1 + 2n+2) สาหรบจานวนนบ n

. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร. ∀n ∈ N, 2n > n

. ∀n ∈ N, 1 + 2−1 + 2−2 + ...+ 2−n ≤ 2

. ∀n ∈ N, n ≥ 10, 2n−10(1000) < 2n − 2n−6

. ให x ∈ R ซง x > −1 จงพสจนวา ∀n ∈ N, (1 + x)n ≥ 1 + nx

. จงหาจานวนนบเรมตนททาใหขอความนเปนจรงพรอมทงพสจน. 2n−1 ≤ n!

. 4n > n4

. (2n)! < 22n(n!)2

. n2 < (32)n

เอกสารอางองกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.กรมวชาการ กระทรวงศกษาธการ. ( ). อปนยเชงคณตศาสตร. กรงเทพฯ: กรมวชาการ.คณะผเขยนวชาคณตศาสตร. ( ). ทฤษฎจานวน. กรงเทพฯ: มลนธ สอวน.ฉฐไชย ลนาวงศ. ( ). ตรรกะแหงการพสจน. กรงเทพฯ: บรษทสานกพมพทอปจากด.ฉววรรณ รตนประเสรฐ. ( ). วธการพสจนทางคณตศาสตร. นครปฐม: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร.ชวลต บรพาศรวฒน. ( ). หลกการคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ภาควชาคณตศาสตรและสถต

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย สถาบนราชภฏจนทรเกษม.พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ไพโรจน เยยระยง. ( ). ตรรกศาสตรและทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.ภทรา เตชาภวาทย. ( ). คณตตรรกศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพมหาวทยาลยเกษตรศาสตร.

แผนบรหารการสอนประจาบททหวขอเนอหาประจาบท

. การดาเนนการบนเซต

. ผลผนวกและผลตดอยางไมเจาะจง

. ผลคณคารทเซยน

. การจดการเรยนเรองเซตวตถประสงคเชงพฤตกรรม

. สามารถพสจนเกยวกบการดาเนนการบนเซต

. สามารถพสจนเกยวกบอนเตอรเซกชนและยเนยนเพมเตม

. สามารถพสจนเกยวกบผลคณคารทเซยน

. เขาใจการจดการเรยนรเรองเซตวธและกจกรรมการเรยนการสอน

. วธสอน. วธสอนแบบบรรยาย ประกอบสออเลกทรอนกส. ใชสอทางอนเตอรเนต และใหแตละคนแสดงความคดเหน. วธสอนแบบอภปราย โดยใหหวขอเปนกลมและมานาเสนอหนาชน

. กจกรรมการเรยนการสอน. บรรยายสรปโดยใชสอการสอนประกอบ. ใหผ เรยนศกษาเนอหาจากชดการสอน หนงสอ ตารา เอกสารเพมเตม และสอออนไลน. อภปรายรายกลมตามหวขอทไดรบมอบหมาย. ใหผ เรยนทาแบบฝกหด ทดสอบความเขาใจในเนอหา. มอบหมายใหทา assignment เพอสงทายคาบ

สอการเรยนการสอน

. ชดการสอน เรอง "เซตเบองตน"

. สออเลกทรอนกส เรอง "เซตเบองตน"

. หนงสอ ตารา เอกสารทเกยวของ

การวดผลและประเมนผล. สงเกตการตอบคาถามและตงคาถามของผ เรยนในระหวางการบรรยายและซกถาม. วดผลจากการทาแบบฝกหดระหวางเรยนตามเนอหาทไดรบมอบหมาย. ตรวจ assignment บนทกคะแนนลงในใบบนทกคะแนน. ตรวจการทาการบาน บนทกลงในบนทกผลงาน

บททเซต

ในทางคณตศาสตรถอวา “เซต (set)” เปนมลฐาน เพราะวาทฤษฎบทตาง ๆ ลวนมเซตเขามาเกยวของเปนพนฐานเกอบทงหมด (กรรณกา กวกเพฑรย. . หนา ) ผ ทเรมใชคาวาเซตเปนคนแรกคอ เกอรกคนทอร (Georg Cantor) ซงเปนนกคณตศาสตรชาวเยอรมน และเซตกถกใชอยางแพรหลายในเวลาตอมาคนทอรไดอธบายเซตอยางงาย ๆ เพอความเขาใจเบองตนวา "เซตคอกลมของสงของหรอจนตนาการ ซงมสมบตบางประการคลายกน และสงของดงกลาวนนเรยกวา สมาชกของเซต"

เซตเปนคาอนยาม หมายถงคาทตองยอมรบกนในเบองตนวาไมสามารถใหความหมายทรดกมได คาวาเซตจงหมายถงกลมของสงของตาง ๆ และเมอกลาวถงกลมใดแลวจะสามารถบอกไดแนนอนวาสงใดอยในกลม และสงใดอยนอกกลม เรยกสงทอยในเซตวา สมาชก (element) (P. Glendinning . หนา) สงตาง ๆ ทอยในเซต ตองเปนสงทสามารถระบไดอยางแจมชด (well-defined) เพอทสามารถระบได

วา สงนนเปนสมาชกในเซตหรอไม เชน {1, 2, 3} และ { สแดง , สเหลอง , สนาเงน } เปนตน ถา a เปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย a ∈ A และถา a ไมเปนสมาชกของเซต A เขยนแทนดวย a /∈ A ตวอยางเชน A = {1, 2, 3} จะเขยนไดวา 1 ∈ A แต 4 /∈ A เปนตน

การเขยนเซตประกอบดวย วธคอ วธแจกแจงสมาชก และวธบอกเงอนไขของสมาชก. วธแจกแจงสมาชก (Tubular form) การเขยนเซตแบบแจกแจงสมาชก คอการเขยนเซตโดยเขยนสมาชกลงในเครองหมายวงเลบปกกา {} และใชเครองหมายจลภาค (, ) คนระหวางสมาชกแตละตว ตวอยางเชน {1, 2, 3}, {4, 5, 6} และ {a, b, c} เปนตน มขอตกลงในการเขยนดงน(ก) ถาสมาชกในเซตซากนจะเขยนสมาชกตวนนเพยงครงเดยว เชน {1, 1, 2, 3} เขยนแทนดวย

{1, 2, 3}

(ข) สมาชกในเซตเดยวกนสามารถเขยนลาดบแบบใดกไดซงความหมายของเซตนนไมเปลยนแปลงเชน {1, 2, 3} เขยนเปน {3, 1, 2} หรอ {2, 1, 3} กได ถอวาทง เซตเปนเซตเดยวกน

(ค) สาหรบเซตทมสมาชกจานวนมากและบอกสมาชกทตามมาไดแนชด เขยน ... แทนดวยสมาชกลาดบถดไปจนถงตวสดทาย ตวอยางเชน

{1, 2, 3, ..., 10} หมายถง {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

บทท . เซต

ทานองเดยวกบสาหรบเซตทมสมาชกไมมทสนสด เชน {1, 2, 3, ...} หมายถงเซตทประกอบดวยสมาชก 1, 2, 3 และลาดบถดไปไมมทสนสด

. วธบอกเงอนไขของสมาชก (Set builder form) การเขยนเซตแบบบอกเงอนไขประกอบดวยสวน สวนแรกหมายถงสมาชก และสวนทสองคอเงอนไขของสมาชก โดยมเครองหมาย | คนระหวางสองสวนนน อานวา "โดยท"

A = { สมาชก | เงอนไขของสมาชก }

ตวอยางเชน A = {x | x เปนจานวนเตมบวกทนอยกวา 5} หมายถง เซต A คอเซตของ x โดยท x

เปนจานวนเตมบวกทนอยกวา 5 และเขยนแจกแจงสมาชกไดเปน A = {1, 2, 3, 4, 5}

ขอสงเกตของการเขยนเซตแตละชนด. เซตทเขยนโดยวธแจกแจงสมาชกจะสามารถเขยนโดยวธบอกเงอนไขสมาชกได แตในบางเซตทเขยนโดยวธบอกมเงอนไขสมาชกไมสามารถเขยนโดยวธแจกแจงสมาชกได เชน

{x |x เปนจานวนอตรรกยะทอยระหวาง 0 ถง 1}

. การเขยนเซตแบบมเงอนไขเขยนไดหลายรปแบบขนอยกบผ เขยน ตวอยางเชน

{x |x เปนจานวนเตมบวกทนอยกวา 5} หรอ {x |x เปนจานวนเตมทอยระหวาง 0 ถง 6}

หมายถงเซตเดยวกนคอ {1, 2, 3, 4, 5}

ในตาราเลมนจะใชสญลกษณC แทนเซตของจานวนเชงซอนR แทนเซตของจานวนจรงQ แทนเซตของจานวนตรรกยะ

Qc แทนเซตของจานวนอตรรกยะZ แทนเซตของจานวนเตมN แทนเซตของจานวนนบ

ถาสนใจเฉพาะสมาชกทเปนบวกจะเขยนเปน Z+,Q+,R+ แทนเซตจานวนเตมบวก จานวนตรรกยะบวก และจานวนจรงบวกตามลาดบ ในทานองเดยวกนZ−,Q−,R− แทนเซตจานวนเตมลบ จานวนตรรกยะลบ และจานวนจรงลบตามลาดบ สาหรบจานวนจรง a, b ซง a < b จะกาหนดให

(a, b) เขยนแทน {x ∈ R | a < x < b}

a b

[a, b] เขยนแทน {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

a b

(a, b] เขยนแทน {x ∈ R | a < x ≤ b}

a b

[a, b) เขยนแทน {x ∈ R | a ≤ x < b}

a b

(a,∞) เขยนแทน {x ∈ R |x > a}

a

[a,∞) เขยนแทน {x ∈ R | x ≥ a}

a

(−∞, a) เขยนแทน {x ∈ R | x < a}

a

(−∞, a] เขยนแทน {x ∈ R | x ≤ a}

a

บทท . เซต

. การดาเนนการบนเซตในเบองตนเพอใหงายตอการนาไปใช กาหนดสญลกษณดงน

. สาหรบเซตทไมมสมาชกเลยเขยนแทนดวย {} หรอ ∅ และเรยกวา เซตวาง (empty set)

. เอกภพสมพทธ (Universe) คอเซตทถกกาหนดขนโดยมขอตกลงวา จะกลาวถงสงทเปนสมาชกของเซตนเทานน และนยมใช U แทนเอกภพสมพทธ

เซตมมากมายหลายแบบแตกตางกนไป เมอสนใจเซต ๆ หนง แลวสรางเซตใหมจากสมาชกของเซตนจะเรยกวา สบเซต (subset) หรอ เซตยอย ดงนยามตอไปนบทนยาม . . ให A และ B เปนเซตใด ๆ จะกลาววา A เปน สบเซต ของ B กตอเมอ ทก ๆ สมาชกในA เปนสมาชกใน B เขยนแทนดวย A ⊆ B

A

B

A ⊆ B ↔ ∀x ∈ U , (x ∈ A → x ∈ B)

หรอกลาวไดอกอยางวา B เปน ซเปอรเซต (superset) ของ A เขยนแทนดวย B ⊇ A ถา A ไมเปนสบเซตของ B เขยนแทนดวย A * B นนคอ

A * B ↔ ∃x ∈ U , (x ∈ A ∧ x /∈ B)

จากนยามจะกลาวไดวา A ⊆ A และ ∅ ⊆ A ทก ๆ เซต A

ตวอยาง . . กาหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5} เซตใดตอไปนเปนสบเซตของ A ใหB = {3, 4}, C = {3, 4, 6} และ D = {1, {2}}

จะไดวา B ⊆ A, C * A และ D * A แตเหนไดวา B ⊆ C ดวยบทนยาม . . จะกลาววาเซต A เทากบเซต B เขยนแทนดวย A = B กตอเมอ A ⊆ B และ B ⊆ A

A = B ↔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)

ถา A ไมเทากบ B เขยนแทนดวย A = B

A = B ↔ (A * B) ∨ (B * A)

บทนยาม . . จะกลาววาเซต A เปน สบเซตแท (proper subset) ของเซต B เขยนแทนดวย A ⊂ B กตอเมอ A ⊆ B แต A = B

A ⊂ B ↔ (A ⊆ B) ∧ (A = B)

ถา A ไมเปนสบเซตแทของ B เขยนแทนดวย A ⊂/ B

A ⊂/ B ↔ (A * B) ∨ (A = B)

. . การดาเนนการบนเซต

ตวอยาง . . ให A = {1, 3, 5, 7}, B = {3, 5, 7}, C = {1, 3, 4} และ D = {3, 5, 7, 1} จะไดวา A = D

และ B เปนสบเซตแทของ Aทฤษฎบท . . ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ จะไดวาถา A ⊆ B และ B ⊆ C แลว A ⊆ C

บทพสจน. ให A,B และ C เปนเซต สมมตวา A ⊆ B และ B ⊆ C

ให x ∈ A เนองจาก A ⊆ B ดงนน x ∈ B ในทานองเดยวกน x ∈ C เพราะวา B ⊆ C สรปไดวาA ⊆ C

ตวอยาง . . จงหาสบเซตทงหมดของ A = {1, 2, 3}

หาสบเซตโดยการแบงกรณตอไปนกรณไมมสมาชก : ∅

กรณมสมาชก ตว : {1}, {2}, {3}กรณมสมาชก ตว : {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}กรณมสมาชก ตว : {1, 2, 3}

ดงนนสบเซตทงหมดของ A คอ ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} และ {1, 2, 3}อาจจะหาสบเซตของ A = {1, 2, 3} โดยใชแผนภาพตนไมโดยพจารณาสมาชกแตละตวใน A อยหรอ

ไมอยในสบเซต กาหนดใหY แทนสมาชกตวนนอยในสบเซต และ N แทนสมาชกตวนนไมอยในสบเซต

แสดงแผนภาพไดดงน

1

Y 2

Y 3

Y → {1, 2, 3}

N → {1, 2}

N 3

Y → {1, 3}

N → {1}

N 2

Y 3

Y → {2, 3}

N → {2}

N 3

Y → {3}

N → {}

รปท แผนภาพตนไมแสดงสบเซตทงหมดของ {1, 2, 3}

บทท . เซต

จากการใชแผนภาพตนไม จานวนสบเซตทงหมดของ A เทากบ 23 = 8 สบเซตจากการสงเกตจะทาใหไดวาจานวนสบเซตทงหมดของ A เทากบ 2n(A) สบเซตตามทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท . . ให A เปนเซตจากด แลวจานวนสบเซตทงหมดของ A เทากบ 2n(A) สบเซต และมจานวนสบเซตแททงหมดเทากบ 2n(A) − 1 สบเซตบทนยาม . . ให A เปนเซตใด ๆ จะเรยกเซตของสบเซตทงหมดของ A วาเซตกาลง (power set) เขยนแทนดวย P(A) นนคอ

P(A) = {X |X ⊆ A}

จะสงเกตเหนวา P(A) = ∅ เพราะวา ∅ ⊆ A นนคอ ∅ ∈ P(A) ไมวา A จะเปนเซตใดกตามตวอยาง . . เซตกาลงของ A = {1, 2, 3} คอ

P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} {1, 2, 3}}

ตวอยาง . . กาหนดให A และ B เปนเซต จะไดวาถา A ⊆ B แลว P(A) ⊆ P(B)

บทพสจน. ให A และ B เปนเซต สมมตวา A ⊆ B

ให X ∈ P(A) จะไดวา X ⊆ A เนองจาก A ⊆ B ดงนน X ⊆ B สรปไดวา X ∈ P(B) นนคอP(A) ⊆ P(B)

บทนยาม . . ให A และ B เปนเซตในเอกภพสมพทธ U แลวยเนยน (union) A ∪B = {x ∈ U | x ∈ A หรอ x ∈ B}

อนเตอรเซกชน (intersection) A ∩B = {x ∈ U | x ∈ A และ x ∈ B}

ผลตาง (difference) A−B = {x ∈ U | x ∈ A และ x /∈ B}

สวนเตมเตม (complement) Ac = {x ∈ U | x /∈ A}

A B

U

A ∪B

A B

U

A ∩B

A B

U

A−B

A

U

Ac

รปท แผนภาพการดาเนนการระหวางเซต

. . การดาเนนการบนเซต

ตอไปจะเปนกฎเกยวกบการดาเนนการบนเซตทมกถกอางองบอยครง และสามารถพสจนโดยใชวธiff-string (ใหผอานทาเปนแบบฝกหด) กาหนดให A,B และ C เปนเซตในเอกภพสมพทธ U จะไดวา

(S ) A ∩ A = A กฎนจพล (Idempotent laws)A ∪ A = A

(S ) A ∩B = B ∩ A กฎการสลบท (Commutative laws)A ∪B = B ∪ A

(S ) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C กฎการเปลยนหม (Associative laws)A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C

(S ) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) กฎการแจกแจง (Distributive laws)A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)

(S ) (A ∩B)c = Ac ∪Bc กฎเดอมอรแกน (De Morgan's laws)(A ∪B)c = Ac ∩Bc

(S ) (Ac)c = A กฎสวนเตมเตมซอน (Double complement law)

ตวอยาง . . สาหรบเซต A และ B ใด ๆ จงพสจนวา A ∪B = B กตอเมอ A ⊆ B

บทพสจน. ให A และ B เปนเซต สมมตวา A ∪ B = B ให x ∈ A จะไดวา x ∈ A ∪ B เนองจากA∪B = B ดงนน x ∈ B สรปไดวา A ⊆ B ในทางกลบกน สมมตวา A ⊆ B เหนไดชดวา B ⊆ A∪B ใหx ∈ A ∪ B ถา x ∈ B จะไดขอสรปทนท ถา x ∈ A จะไดวา x ∈ B เพราะวา A ⊆ B ดงนน A ∪ B ⊆ B

สรปไดวา A ∪B = B

ตวอยาง . . จงพสจนวา "สาหรบเซต A และ B ใด ๆ B ∩ (A−B) = ∅"

บทพสจน. พสจนโดยวธขดแยง สมมต B ∩ (A − B) = ∅ จะไดวาม x ∈ B ∩ (A − B) นนคอ x ∈ B

และ x ∈ A−B ทาใหไดวา x ∈ A และ x /∈ B เกดขอขดแยง

ตวอยาง . . สาหรบเซต A,B และ C ใด ๆ จงพสจนวา A ⊆ B ∩ C กตอเมอ A ⊆ B และ A ⊆ C

บทพสจน. ให A,B และ C เปนเซต สมมตวา A ⊆ B ∩ C ให x ∈ A จะไดวา x ∈ B ∩ C เนองจากA ⊆ B ∩ C ดงนน x ∈ B และ x ∈ C สรปไดวา A ⊆ B และ A ⊆ C ในทางกลบกน สมมตวา A ⊆ B

และ A ⊆ C ให x ∈ A จะไดวา x ∈ B และ x ∈ C โดยสมมตฐาน ดงนน x ∈ B ∩ C สรปไดวาA ⊆ B ∩ C

ตวอยาง . . จงพสจนวา สาหรบเซต A และ B ใด ๆ P(A ∩B) = P(A) ∩ P(B)

บทท . เซตบทพสจน. ให A และ B เปนเซต

X ∈ P(A ∩B) ↔ X ⊆ A ∩B

↔ (X ⊆ A) ∧ (X ⊆ B) (จากตวอยาง 4.1.15)↔ (X ∈ P(A)) ∧ (X ∈ P(B))

↔ X ∈ P(A) ∩ P(B)

สรปไดวา P(A ∩B) = P(A) ∩ P(B)

. ยเนยนและอนเตอรเซกชนเพมเตมพจารณาตวอยาง {A1, A2, A3, A4} เมอ

A1 = [0, 1]

A2 = {0.5, 1, 2}

A3 = {x ∈ Z |x > 1}

A4 = {x ∈ Q | 0 < x < 4}

เซตของดชนลาง {1, 2, 3, 4} เรยกวา เซตดรรชน (index set) หรอเขยนไดวา Aα เมอ α ∈ {1, 2, 3, 4}

ตวอยาง . . ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนนบ ให Λ (อานวาแลมปดา) เปนเซตดรรชน และAα = {1, 2, 3, ..., α}

สาหรบแตละ α ∈ Λ จงหา Aα ทงหมด. เมอ Λ = {1, 3, 5}จะไดวา A1 = {1}, A3 = {1, 2, 3} และ A5 = {1, 2, 3, 4, 5}

. เมอ Λ = {1, 2, 3, 4}จะไดวา A1 = {1}, A2 = {1, 2}, A3 = {1, 2, 3} และ A4 = {1, 2, 3, 4}

ตวอยาง . . ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนจรง ให Λ เปนเซตดรรชน และAx = (x− 1, x+ 1)

สาหรบแตละ x ∈ Λ จงหา Aα ทงหมด. เมอ Λ = {−1, 0, 1}จะไดวา A−1 = (−2, 0), A0 = (−1, 1) และ A1 = (0, 2)

. เมอ Λ = {0.5, 1.2, 4}จะไดวา A0.5 = (−0.5, 1.5), A1.2 = (0.2, 2.2) และ A4 = (3, 5)

บทนยาม . . ให Λ เปนเซตดรรชน จะไดวา

. . ยเนยนและอนเตอรเซกชนเพมเตม. ยเนยนใด ๆ นยามโดย∪

α∈Λ

Aα = {x | x เปนสมาชกของ Aα สาหรบบาง α ∈ Λ} หรอ ∪α∈Λ

Aα = {x | ∃α ∈ Λ, x ∈ Aα}

. อนเตอรเซกชนใด ๆ นยามโดย∩α∈Λ

Aα = {x | x เปนสมาชกของ Aα ทก α ∈ Λ} หรอ ∩α∈Λ

Aα = {x | ∀α ∈ Λ, x ∈ Aα}

กรณ Λ = {1, 2, 3, ..., n} เขยนเปนn∪

i=1

Ai และn∩

i=1

Ai และกรณ Λ = N เขยนเปน∞∪i=1

Ai และ∞∩i=1

Ai

ตวอยางเชน3∪

i=1

Ai = A1 ∪ A2 ∪ A3 และ4∩

i=1

Ai = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4

ตวอยาง . . ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนนบ ให Ai = {1, 2, 3, ..., i} จงหา.

10∪i=1

Ai และ10∩i=1

Ai

A1 = {1}A2 = {1, 2}A3 = {1, 2, 3}

...A10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

ดงนน10∪i=1

Ai = {1, 2, 3, ..., 10} = A10 และ10∩i=1

Ai = {1} = A1

.∞∪i=1

Ai และ∞∩i=1

Ai

จากขอ โดยการดแนวโนมจะไดวา∞∪i=1

Ai = N และ∞∩i=1

Ai = {1} = A1

ตวอยาง . . จงหาเซตตอไปน.

∞∪n=1

An และ∞∩n=1

An เมอ An = (n− 1, n+ 1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A1

A2

A3

A4

บทท . เซต

ดงนน∞∪i=1

An = (0,∞) และ∞∩i=1

An = ∅

. ∪x∈(0,1)

Ax และ∩

x∈(0,1)

Ax เมอ Ax = [1− x, 1 + x]

0 1 2

A0.2

A0.5

A0.8

A0.99

ดงนน ∪x∈(0,1)

Ax = (0, 1) และ ∩x∈(0,1)

Ax = {1}

การหายเนยนและอนเตอรเซกชนใด ๆ เปนแคการคาดการณเทานนในลาดบถดไปจะเสนอการพสจนเพอยนยนความจรงของคาตอบ ในกรณทเซตดรรชนเปนจานวนนบจะใช หลกการของอารคมดสมาชวยในการพสจนดงทฤษฎบทตอไปนทฤษฎบท . . หลกของอารคมดส (Archimedean Principle)

. ทก ๆ จานวนจรง x จะมจานวนนบ n ซง x < n หรอ ∀x ∈ R, ∃n ∈ N, x < n

. ทก ๆ จานวนจรงบวก x จะมจานวนนบ n ซง 1n< x หรอ ∀x ∈ R+, ∃n ∈ N, 1

n< x

บทพสจนจะกลาวในเรองระบบจานวนจรง บททตวอยาง . . กาหนดให An = (1− n, 1 + n) จงหาเซตตอไปน พรอมทงพสจน

. ∪n∈N

An . ∩n∈N

An

พจารณา

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

A1

A2

A3

A4

ดงนน ∪n∈N

An = R และ ∩n∈N

An = (0, 2)

. . ยเนยนและอนเตอรเซกชนเพมเตม. ∪

n∈N

An = R

บทพสจน. เหนไดชดวา ∪n∈N

An ⊆ R เพราะ An เปนสบเซตของจานวนจรงทก ๆ n ∈ N เหลอเพยงแสดงวา R ⊆

∪n∈N

An ให x ∈ R แลวจะไดวา x− 1 ∈ R

กรณท x− 1 ≥ 0 โดยหลกอารคมดสจะไดวามจานวนนบ n0 ซง x− 1 < n0 แลว−n0 < 0 ≤ x− 1 < n0

1− n0 < x < 1 + n0

ดงนน x ∈ An0 สรปไดวา x ∈∪n∈N

An นนคอ R ⊆∪n∈N

An

กรณท x − 1 < 0 จะไดวา 1 − x > 0 โดยหลกอารคมดสจะไดวามจานวนนบ n0 ซง1− x < n0 แลว

−n0 < 0 ≤ 1− x < n0

−1− n0 < −x < −1 + n0

1− n0 < x < 1 + n0

ดงนน x ∈ An0 สรปไดวา x ∈∪n∈N

An นนคอ R ⊆∪n∈N

An

. ∩n∈N

An = (0, 2)

บทพสจน. ให x ∈∩n∈N

An จะไดวา x ∈ An ทก ๆ n ∈ N นนคอ

1− n < x < 1 + n ทก ๆ n ∈ N

เลอก n = 1 จะไดวา 0 < x < 2 สรปไดวา x ∈ (0, 2) ดงนน ∩n∈N

An ⊆ (0, 2) แสดงสบเซตอกดาน

โดย ให x ∈ (0, 2) นนคอ 0 < x < 2 ทาใหไดวา −1 < x− 1 < 1 สาหรบทก ๆ จานวนนบ n จะไดวา n ≥ 1 และ −n ≤ −1 ดงนน −n ≤ −1 < x− 1 < 1 ≤ n ทก ๆ n ∈ N

1− n < x < 1 + n ทก ๆ n ∈ N

ดงนน x ∈ An ทก ๆ n ∈ N กลาวคอ x ∈∩n∈N

An นนคอ (0, 2) ⊆∩n∈N

An

ตวอยาง . . จงหาผลผนวกและผลตดอยางไมเจาะจง พรอมทงพสจน

บทท . เซต

. ∪n∈N

(1− 1

n, 1 +

1

n) . ∩

n∈N

(1− 1

n, 1 +

1

n)

ให An = (1− 1n, 1 + 1

n) พจารณา

0 1 2

A1

A2

A3

A4

ดงนน ∪n∈N

An = (0, 2) และ ∩n∈N

An = {1}

. ∪n∈N

An = (0, 2)

บทพสจน. ให x ∈∪n∈N

An จะไดวาม n0 ∈ N ซง x ∈ An0 นนคอ 1− 1n0

< x < 1 + 1n0

เนองจาก n0 ≥ 1 ดงนน 1n0

≤ 1 และ −1 ≤ − 1n0

ทาใหไดวา

0 < 1− 1

n0

< x < 1 +1

n0

< 2

ดงนน x ∈ (0, 2) สรปไดวา ∪n∈N

An ⊆ (0, 2) แสดงสบเซตขากลบโดย ให x ∈ (0, 2) เนองจาก

A1 = (0, 2) ดงนน x ∈ A1 ทาใหไดวา x ∈∪

n∈N An สรปไดวา (0, 2) ⊆∪n∈N

An

. ∩n∈N

An = {1}

บทพสจน. ให x ∈∩n∈N

An จะไดวา 1− 1n< x < 1 + 1

nทก ๆ n ∈ N หรอกลาวไดวา

− 1n< x− 1 < 1

nทก ๆ n ∈ N

จะแสดงวา x = 1 โดยวธขดแยงสมมตวา x = 1 ดงนน x− 1 = 0

กรณท x− 1 > 0 โดยหลกอารคมดสจะไดวาม n0 ซง 1n0

< x− 1 เกดขอขดแยงกรณท x− 1 < 0 จะไดวา 1− x > 0 โดยหลกอารคมดสจะไดวาม n0 ซง 1

n0< 1− x หรอ

− 1n0

> x− 1 เกดขอขดแยง

. . ยเนยนและอนเตอรเซกชนเพมเตม

ดงนน x = 1 ตอไปแสดงสบเซตอกดาน ให x = 1 เนองจาก n ∈ N ทาใหไดวา n ≥ 1 และ 1n> 0

ทก ๆ n ∈ N ทาใหไดวา1− 1

n< 1 < 1 + 1

nทก ๆ n ∈ N

นนคอ x = 1 ∈ An ทก ๆ n ∈ N จะไดวา 1 ∈∩n∈N

An

ตวอยาง . . จงพสจนวา ∩n∈N

(1− 1

n, 1) = ∅

บทพสจน. พสจนโดยวธขดแยง สมมต ∩n∈N

(1− 1

n, 1) = ∅ นนคอม x ∈

∩n∈N

(1− 1

n, 1) จะไดวา

1− 1n< x < 1 ทก ๆ n ∈ N

จาก x < 1 ทาใหไดวา 1− x > 0 โดยหลกอารคมดสจะไดวาม n0 ซง 1n0

< 1− x นนคอ x < 1− 1n0

เกดขอขดแยง สรปไดวา ∩n∈N

(1− 1

n, 1) = ∅

ทฤษฎบท . . ให Λ เปนเซตดรรชน และ Aα เปนเซตซง α ∈ Λ แลว

.(∪

α∈Λ

Aα

)c

=∩α∈Λ

(Aα)c .

(∪α∈Λ

Aα

)c

=∩α∈Λ

(Aα)c

บทพสจน. .

x ∈

(∪α∈Λ

Aα

)c

↔ x /∈∪α∈Λ

Aα

↔ ∀α ∈ Λ, x /∈ Aα

↔ ∀α ∈ Λ, x ∈ (Aα)c

↔ x ∈∩α∈Λ

(Aα)c

ดงนน(∪

α∈Λ

Aα

)c

=∩α∈Λ

(Aα)c

. ทาเปนแบบฝกหด

ทฤษฎบท . . ให Λ เปนเซตดรรชน และ Aα เปนเซตซง α ∈ Λ และ B เปนเซตใด ๆ

บทท . เซต

. B ∪

(∪α∈Λ

Aα

)=∪α∈Λ

(B ∪ Aα)

.(∪

α∈Λ

Aα

)∪B =

∪α∈Λ

(Aα ∪B)

. B ∩

(∩α∈Λ

Aα

)=∩α∈Λ

(B ∩ Aα)

.(∩

α∈Λ

Aα

)∩B =

∩α∈Λ

(Aα ∩B)

. B ∩

(∪α∈Λ

Aα

)=∪α∈Λ

(B ∩ Aα)

.(∪

α∈Λ

Aα

)∩B =

∪α∈Λ

(Aα ∩B)

. B ∪

(∩α∈Λ

Aα

)=∩α∈Λ

(B ∪ Aα)

.(∩

α∈Λ

Aα

)∪B =

∩α∈Λ

(Aα ∪B)

บทพสจน. .

x ∈ B ∪

(∪α∈Λ

Aα

)↔ x ∈ B ∨ x ∈

∪α∈Λ

Aα

↔ x ∈ B ∨ ∃α ∈ Λ, x ∈ Aα

↔ ∃α ∈ Λ, x ∈ B ∨ x ∈ Aα

↔ ∃α ∈ Λ, x ∈ B ∪ Aα

↔ x ∈∪α∈Λ

(B ∪ Aα)

ดงนน B ∪

(∪α∈Λ

Aα

)=∪α∈Λ

(B ∪ Aα)

ขอ - ทาเปนแบบฝกหด

. ผลคณคารทเซยนให a และ b เปนจานวนจรง จะเรยก (a, b) วาคอนดบ (ordered pair) คอพกดบอกตาแหนงในระนาบ

สองมต (ในทางเรขาคณต) นยามการเทากนของคอนดบดงตอไปนบทนยาม . . ให a และ b เปนจานวนจรง กาหนดให (a, b) และ (c, d) เปนคอนดบ จะกลาววา

(a, b) = (c, d) กตอเมอ a = c และ b = d

ตวอยาง . . ถา (x− 1, y + 12) = (2y − 1, 3x+ 2) จงหา x, y ทสอดคลองเงอนไขนจากบทนยามจะไดวา x− 1 = 2y − 1 และ y + 12 = 3x+ 2 จะไดวา x = 4 และ y = 2

. . ผลคณคารทเซยน

บทนยาม . . ให A และ B เปนเซตใด ๆ ผลคณคารทเซยน (cartesian product) นยามโดยA×B = {(a, b) | a ∈ A และ b ∈ B}

ขอสงเกต A×∅ = ∅× A = ∅ขอตกลง ถา A และ B เปนสบเซตของจานวนจรง แผนภาพ A × B เขยนโดยให A เปนแกน X และ B

เปนแกน Y

ตวอยาง . . ให A = {1, 2, 3} และ B = {1, 2, 3, 4} จะไดวา. A×B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}

. B × A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}

. A× A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}

เขยนแผนภาพไดดงน

X

Y

0 1 2 3 4

1

2

3

4

A×B

X

Y

0 1 2 3 4

1

2

3

4

B × A

X

Y

0 1 2 3 4

1

2

3

4

A× A

ทฤษฎบท . . ให A และ B เปนเซตจากด แลว n(A×B) = n(A) · n(B)

ตวอยาง . . ให A = [1, 4] และ B = [1, 2] ∪ (3, 5) จงเขยนแผนภาพแทนเซตตอไปน. A× A

X

Y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

. A×B

X

Y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

บทท . เซต. B × A

X

Y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

. B ×B

X

Y

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

ตวอยาง . . จงแจกแจงสมาชกและเขยนแผนภาพของ {(x, y) ∈ Z× Z |xy = 3x+ 12}

สาหรบ x, y ทเปนจานวนเตม จดรปสมการ xy = 3x+ 12 จะไดวาx(y − 3) = 12 ดงนน x =

12

y − 3

เนองจาก x, y ∈ Z ดงนน (y − 3) | 12 นนคอy − 3 = ±1,±2,±3,±4,±6,±12

สรปไดดงตารางx −1 −2 −3 −4 −6 −12 12 6 4 3 2 1

y −9 −3 −1 0 1 2 4 5 6 7 9 15

เขยนแทนดวยกราฟตอไปน

X

Y

−12 −8 −4 0 4 8 12

−8

−4

0

4

8

12

. . ผลคณคารทเซยน

ตวอยาง . . จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน. A = {(x, y) ∈ Z× Z | yx+ y = x+ 7}สาหรบ x, y ทเปนจานวนเตม จดรปสมการ yx+ y = x+ 7 จะไดวา

y(x+ 1) = (x+ 1) + 6 ดงนน y = 1 +6

x+ 1

เนองจาก x, y ∈ Z ดงนน (x+ 1) | 6 นนคอ x+ 1 = ±1,±2,±3,±6 สรปเปนตารางไดดงน

x −7 −4 −3 −2 0 1 2 5

y 0 −1 −2 −5 7 4 3 2

ดงนน A = {(−7, 0), (−4,−1), (−3,−2), (−2,−5), (0, 7), (1, 4), (2, 3), (5, 2)}

. A = {(x, y) ∈ R× R | y2 + x2 − 2x+ 4y + 5 = 0}จดรปสมการ y2 + x2 − 2x+ 4y + 5 = 0 จะไดวา

(y2 − 2y + 1) + (x2 + 4x+ 4) = 0

(y − 1)2 + (x+ 2)2 = 0

จากสมบตจานวนจรงจะไดวา x = −2 และ y = 1 ดงนน A = {(−2, 1)}

ตวอยาง . . จงหาเงอนไขท A×B = B × A

คาตอบคอ A = ∅ หรอ B = ∅ หรอ A = B ซงคาดการณวาขอความตอไปนเปนจรงA×B = B × A กตอเมอ A = ∅ หรอ B = ∅ หรอ A = B

บทพสจน. ให A และ B เปนเซตใด ๆ สมมต A × B = B × A และ A = ∅ และ B = ∅ ให x ∈ A

เนองจาก B = ∅ จะม y ∈ B ซง (x, y) ∈ A×B เนองจาก A×B = B×A ดงนน (x, y) ∈ B×A ทาใหไดวา x ∈ B สรปไดวา A ⊆ B สาหรบการพสจน B ⊆ A ทาไดในทานองเดยวกน สรปไดวา A = B ในทางกลบกน ถา A = ∅ หรอ B = ∅ หรอ A = B เหนไดชดวา A×B = B × A

ตวอยาง . . จงพสจนวา "สาหรบเซต A และ B ใด ๆ A×B = ∅ กตอเมอ A = ∅ หรอ B = ∅"บทพสจน. ให A และ B เปนเซตใด ๆ สมมต A = ∅ และ B = ∅ โดยนยามของผลคณคารทเซยนจะไดวา A×B = ∅ ในทางกลบกน ถา A = ∅ หรอ B = ∅ เหนไดชดวา A×B = ∅

ตวอยาง . . จะเหนวาขอความ "สาหรบเซต A,B และ C ใด ๆ ถา A×B = A×C แลว B = C" เปนเทจโดยเลอกตวอยางคานคอ A = ∅, B = ∅ และ C = {1}

ตวอยาง . . ให A,B และ C เปนเซต จงพสจนวา ถา A = ∅ และ A×B = A× C แลว B = C

บทท . เซตบทพสจน. ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ สมมต A = ∅ และ A × B = A × C ถา B = ∅ จะไดวาA× C = ∅ เนองจาก A = ∅ ดงนน C = ∅ ดงนน B = C สมมตวา B = ∅ ให y ∈ B เนองจาก A = ∅จะม x ∈ A ซง (x, y) ∈ A×B เนองจาก A×B = B ×C ดงนน (x, y) ∈ B ×C ทาใหไดวา y ∈ C สรปไดวา B ⊆ C สาหรบการพสจน C ⊆ B ทาไดในทานองเดยวกน สรปไดวา B = C

ตวอยาง . . สาหรบเซต A,B และ C ใด ๆ จงพสจนวา (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C)

บทพสจน. ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ(x, y) ∈ (A ∪B)× C ↔ x ∈ (A ∪B) ∧ y ∈ C

↔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ y ∈ C

↔ (x ∈ A ∧ y ∈ C) ∨ (x ∈ B ∧ y ∈ C)

↔ (x, y) ∈ A× C ∨ (x, y) ∈ B × C

↔ (x, y) ∈ (A× C) ∪ (B × C)

ดงนน (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C)

เราอาจจะขยายผลคณคารเซยนใหมากกวาสองตว เราจะเรยกผลคณดงกลาววาผลคณตรง ให n ∈ Nและ A1, A2, ..., An เปนเซต ผลคณตรง (direct product) ของเซต A1, A2, A3, ..., An เขยนแทนดวย

n∏i=1

Ai = A1 × A2 × ...× An

และเราจะเขยน An แทนn∏

i=1

Ai และ Rn =n∏

i=1

Ai = R × R × ... × R เมอ Ai = R ทก ๆ i เรยกผลคณ

ตรงนวาปรภมยคลด (Euclidean n-space) สาหรบ (a1, a2, ..., an) ∈ Rn เรยกวา อนดบ n-tupleตวอยาง . . กาหนดให A = {1, 2} จะไดวา

A× A× A = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 1, 1), (2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 2, 2)}

. การจดการเรยนรเรองเซตเซตเปนพนฐานทางคณตศาสตรทสาคญ ทจะทาใหผ เรยนเขาใจคณตศาสตรในระดบตอไป ในหลกสตร

แกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช เนอหาจะเนนไปทความรเบองตนและสญลกษณพนฐาน ในการเรยนระดบชนมธยมศกษาปท ทงสายทเนนวทยาศาสตร และไมเนนวทยาศาสตร ดงนสาระท จานวนและพชคณตมาตรฐาน ค . เขาใจความหลากหลายของการแสดงจานวน ระบบจานวน การดาเนนการของจานวนผลทเกดขนจากการดาเนนการ สมบตของการดาเนนการ และนาไปใช

. . การจดการเรยนรเรองเซต

ชน ตวชวด สาระการเรยนรแกนกลางม. . เขาใจและใชความรเกยวกบเซต เซต

ไมเนน และตรรกศาสตรเบองตนในการ - ความรเบองตนและสญลกษณพนฐานวทยาศาสตร สอสารและสอความหมายทาง เกยวกบเซต

คณตศาสตร - ยเนยน อนเตอรเซกชน และคอมพลเมนตของเซต

ม. . เขาใจและใชความรเกยวกบเซต เซตเนน ในการสอสารและสอความหมาย - ความรเบองตนและสญลกษณพนฐาน

วทยาศาสตร ทางคณตศาสตร เกยวกบเซต- ยเนยน อนเตอรเซกชน และคอมพลเมนตของเซต

ตารางท ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางเรองเซต

ตวอยางการจดกจกรรมการเรยนรแบบ Eผ เขยนขอยกตวอยางการสอนสาระการเรยนร "การหาจานวนสมาชกสวนตาง ๆ ของเซต" ซงจะเนนไป

ทการวเคราะหมลเปนเบองตน เพอใหเกดมโนทศน และขยายไปสกรณทวไปไดในทสด ซงทาได ขนตอนดงน

. ขนสรางความสนใจนาเขาสบทเรยนโดยทบทวนการดาเนนการระหวางเซต และเขยนแผนภาพเวนนออยเลอรแทนการดาเนนการเหลานน แลวตงคาถามปลายเปด เรมดวยกจกรรม "พนทเทาไร" โดยแบงนกเรยนเปนกลม ๆ ละ คน ใหนกเรยนหา n(A ∪B) ตวอยางบตรคาถามทง ใบ

A BU

ใบท

A B

ใบท

n(A) = 8n(B) = 5n(A ∩B) = 3

U

บทท . เซต

A Bn(A) = 8n(B − A) = 5n(A ∩B) = 2

ใบท

U

. ขนสารวจคนหาแจกบตรคาถามทงหมด ใบแจกทละใบใหแกนกเรยนแตละกลม พอเสรจใบแรก ใบทสอง และใบทสาม ใชรวมเวลา นาท ใหนกเรยนทาตามเวลาทกาหนด (บตรคาถามจะเรยงลาดบจากงายไปหายาก) โดยครผสอนจะคอยใหคาปรกษาในขณะลงมอทา

. ขนอธบายและลงขอสรปใหแตละกลมสรปคาตอบ และออกมานาเสนอคาตอบทได แลวนกเรยนในชนเรยนสรปความคดรวบยอดของการพจารณาจากแผนภาพเวนนออยเลอรโดยเนนการหาสมาชกของ เซต สรปไดดงน

. หลกการตดออก n(A) = n(U)− n(Ac)

. หลกการไมซอนทบ n(A ∪B) = n(A) + n(B) เมอ A ∩B = ∅

. ยเนยนสาหรบสองเซต n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)

. ขนขยายความรครแสดงโจทยทม เซต และตงคาถามทซบซอนมากขน ใหนกเรยนชวยกนตอบเพอใหไดขอสรปผลผนวกสาหรบสามเซตดงนn(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩B)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) + n(A ∩B ∩ C)

. ขนประเมนใหนกเรยนทาใบงานรายบคคล

สรปเซตในทางคณตศาสตรถอเปนพนฐานทสาคญ เซตเปนคาอนยามแตอธบายงาย ๆ วา เซตคอกลม

ของสงของซงมสมบตบางประการคลายกน การเขยนเซตม แบบคอ แบบแจกแจงสมาชก และแบบบอกเงอนไขสมาชก และเซตทไมมสมาชกเลยเรยกวาเซตวาง ถาเซตทมสมาชกทกตวมาจากเซตหนงจะเรยกวาสบเซตของเซตนน สาหรบเซตของสบเซตทงหมดของเซตทสนใจเรยกวาเซตกาลงของเซตนน การดาเนนการบนเซตมดงน

. ยเนยน A ∪B = {x ∈ U |x ∈ A หรอ x ∈ B}

. . การจดการเรยนรเรองเซต. อนเตอรเซกชน A ∩B = {x ∈ U |x ∈ A และ x ∈ B}

. ผลตาง A−B = {x ∈ U |x ∈ A และ x /∈ B}

. สวนเตมเตม Ac = {x ∈ U |x /∈ A}

ตอไปกลาวถงการศกษาเกยวกบยเนยนและอนเตอรเซกชนใด ๆ ดงน∪α∈Λ

Aα = {x | ∃α ∈ Λ, x ∈ Aα} และ ∩α∈Λ

Aα = {x | ∀α ∈ Λ, x ∈ Aα}

โดยเฉพาะกรณทเซตดรรชนเปนเซตของจานวนนบ ไดใชหลกของอารคมดสมาชวยในการพสจนยเนยนและอนเตอรเซกชนเหลานน ถดไปกลาวถงผลคณคารทเซยนซงหมายถงเซตของคอนดบระหวางสองเซตและสมบตเบองตน และปดทายดวยตวอยางการจดการเรยนรเรองเซต โดยจดกจกรรมการเรยนรแบบ Eเรองการหาจานวนสมาชกตาง ๆ ของเซต เพอเปนตวอยางในการนาไปใชจดการเรยนรในหองเรยน

คาถามทายบท. กาหนดให A และ B เปนเซตใด ๆ และ U เปนเอกภพสมพทธ จงพสจนขอความตอไปน

. A−∅ = A

. ∅− A = ∅

. A ∪∅ = A

. A ∩∅ = ∅

. A− U = ∅

. U − A = Ac

. A ∪ U = U

. A ∩ U = A

. (Ac)c = A

. A− A = ∅

. A ∪ Ac = U

. A−B ⊆ A

. A ∩B ⊆ A

. A ∪B ⊇ B

. A ∪B ⊇ A ∩B

. กาหนดให A,B และ C เปนเซตใดๆ และ U เปนเอกภพสมพทธ จงพสจนขอความตอไปน. A ∪ (B − A) = A ∪B

. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

. A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C)

. (A∪B)− (A∩B) = (A−B)∪ (B −A)

. กาหนดให A,B,C และ D เปนเซตใดๆ และ U เปนเอกภพสมพทธ จงพสจนขอความตอไปน. A ⊆ ∅ ↔ A = ∅

. A ∩B = A ↔ A ⊆ B

. A ⊆ Bc ↔ A ∩B = ∅

. A ⊆ B ↔ Ac ∪B = U

. A−B = ∅ ↔ A ⊆ B

. A ⊆ B ↔ A−B ⊆ B

. A = B ↔ P(A) = P(B)

. A ⊆ B ↔ Bc ⊆ Ac

. (A ⊆ B ∧B ⊆ C) ↔ A ∪B ⊆ C

. (A ⊆ C ∧B ⊆ D) ↔ (A∪B) ⊆ (C ∪D)

บทท . เซต

. กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ และ U เปนเอกภพสมพทธ จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอเทจ ถาเปนจรงจงพสจน ถาเปนเทจจงยกตวอยางคาน. P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪B)

. P(A) ∪ P(B) ⊇ P(A ∪B)

. P(A ∩B) ⊆ P(A ∪B)

. P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∪B)

. P(A−B) = P(A)− P(B)

. A ⊆ B → P(Bc) ⊆ P(Ac)

. จงหายเนยน ๆ และอนเตอรเซกชนใด ๆ ตอไปน พรอมทงพสจน. ∪

n∈N

[− 1

n,1

n]

. ∪n∈N

(− 1

n, 1 +

1

n)

. ∪n∈N

(1− 1

n, 2 +

1

n]

. ∪n∈N

[−1,1

n)

. ∪n∈N

(1− 1

n, 1)

. ∪x∈R+

(−x, x)

. ∪x∈R+

(1− x, 1 + x)

. ∪y∈R+

(−y

2,y

2)

. ∩n∈N

[− 1

n,1

n]

. ∩n∈N

(− 1

n, 1 +

1

n)

. ∩n∈N

(1− 1

n, 1)

. ∩x∈R+

(−x, x)

. จงแจกแจงสมาชกของเซตตอไปน พรอมทงเขยนแผนภาพ. {(x, y) ∈ N× N |x+ y = 5}

. {(x, y) ∈ N× N |x+ 2y < 7}

. {(x, y) ∈ N× N |xy = 12}

. {(x, y) ∈ Z× Z |xy = 12}

. {(x, y) ∈ R× R |x2 + 4y2 − 2x+ 4y + 2 = 0}

. ให A,B,C และ D เปนเซต ขอความตอไปนเปนจรงหรอเทจ ถาเปนจรงจงพสจน ถาเปนเทจจงยกตวอยางคาน. (A×B) ∪ (C ×D) = (A ∪ C)× (B ∪D)

. A× (B − C) = (A×B)− (A× C)

. A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

. (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C)

. B ⊆ C → A×B ⊆ A× C

. A×B = B × A → A = B

. . การจดการเรยนรเรองเซต

เอกสารอางองกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ฉววรรณ รตนประเสรฐ. ( ). วธการพสจนทางคณตศาสตร. นครปฐม: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปกร.ชวลต บรพาศรวฒน. ( ). หลกการคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ภาควชาคณตศาสตรและสถต

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย สถาบนราชภฏจนทรเกษม.ชะเอม สายทอง. ( ). ทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพโอเดยนสโตร.มานะ เอกจรยวงศ. ( ). ทฤษฎเซต. ลพบร: ศนยตาราและเอกสารทางวชาการ สถาบนราชภฏ

เทพสตร ลพบร.พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ไพโรจน เยยระยง. ( ). ตรรกศาสตรและทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.อมพร มาคนอง. ( ). คณตศาสตรสาหรบครมธยม. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ( ). เซต ความสมพนธ

และฟงกชน กรงเทพฯ: โรงพมพพทกษการพมพ.F. William Lawvere and Robert Rosebrugh. ( ). Sets for Mathematics. UK: Cambridge

university press.Michael Haese, Sandra Haese, Mark umphries, Edward Kemp and Pamela Vollma. ( )

Mathematics for the international student E MYP (Extended).Marleston, Australia : Haese& Harris Publications.

บทท . เซต

แผนบรหารการสอนประจาบททหวขอเนอหาประจาบท

. ความสมพนธ

. ความสมพนธสมมล

. การเรยงอนดบบางสวนวตถประสงคเชงพฤตกรรม

. เขาใจความสมพนธ และพสจนขอความเกยวกบความสมพนธได

. พสจนความสมพนธสมมล และเขยนชนสมมลได

. ตรวจสอบความสมพนธทเปนการเรยงอนดบบางสวน และเขยนแผนภาพเฮสเซไดวธและกจกรรมการเรยนการสอน

. วธสอน. วธสอนแบบบรรยาย ประกอบสออเลกทรอนกส. ใชสอทางอนเตอรเนต และใหแตละคนแสดงความคดเหน. วธสอนแบบอภปราย โดยใหหวขอเปนกลมและมานาเสนอหนาชน

. กจกรรมการเรยนการสอน. บรรยายสรปโดยใชสอการสอนประกอบ. ใหผ เรยนศกษาเนอหาจากชดการสอน หนงสอ ตารา เอกสารเพมเตม และสอออนไลน. อภปรายรายกลมตามหวขอทไดรบมอบหมาย. ใหผ เรยนทาแบบฝกหด ทดสอบความเขาใจในเนอหา. มอบหมายใหทา assignment เพอสงทายคาบ

สอการเรยนการสอน

. ชดการสอน เรอง "ความสมพนธ"

. สออเลกทรอนกส เรอง "ความสมพนธ"

. หนงสอ ตารา เอกสารทเกยวของ

การวดผลและประเมนผล. สงเกตการตอบคาถามและตงคาถามของผ เรยนในระหวางการบรรยายและซกถาม. วดผลจากการทาแบบฝกหดระหวางเรยนตามเนอหาทไดรบมอบหมาย. ตรวจ assignment บนทกคะแนนลงในใบบนทกคะแนน. ตรวจการทาการบาน บนทกลงในในบนทกผลงาน

บททความสมพนธ

ในชวตประจาวนมประโยคทกลาวถงความสมพนธระหวางสองอยางอยบอยครง เชน " ศรเรอนเปนแมของศรจนทร " จากประโยคดงกลาว " เปนแม " เปนคาทแสดงถงความสมพนธระหวาง ศรเรอนกบศรจนทรหรอตวอยางในทางคณตศาสตรเชน 5 < 7 คาวา " นอยกวา " เปนคาทแสดงถงความสมพนธระหวาง 5 กบ7 ซงกคอ 5 นอยกวา 7 นนเอง ในบทนจะศกษานยามของความสมพนธในทางคณตศาสตรและสมบตตางๆ ของความสมพนธเหลานน

. ความสมพนธบทนยาม . . ให A และ B เปนเซตใด ๆ ความสมพนธ (relation) จาก A ไป B คอสบเซตของ A×B

ถา r เปนความสมพนธจาก A ไป B และ (a, b) ∈ r เขยนแทนดวย a r b และนยามโดเมน (domain) ของ r เขยนแทนดวย Dom(r) คอ Dom(r) = {a ∈ A | ∃b ∈ B, (a, b) ∈ r}

เรจน (range) ของ r เขยนแทนดวย Ran(r) คอ Ran(r) = {b ∈ B | ∃a ∈ A, (a, b) ∈ r}

ในกรณท r เปนความสมพนธจาก A ไป A จะเรยก r วา ความสมพนธบน A

ขอสงเกต Dom(r) ⊆ A และ Ran(r) ⊆ B

ตวอยาง . . ให A = {1, 2, 3} และ B = {x, y, z} กาหนดให r = {(1, x), (2, y), (3, x)} เปนความสมพนธจาก A ไป B เขยนเปนแผนภาพไดดงน

1

2

3

A

x

y

z

B

จะไดวา Dom(r) = {1, 2, 3} และ Ran(r) = {x, y}

บทท . ความสมพนธ

ตวอยาง . . จงเขยนความสมพนธตอไปนในรปเซต พรอมทงหาโดเมนและเรนจ

. ให x, y ∈ R กาหนดให x r y มความหมายวา x = y

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

ดงนน r = {(x, y) ∈ R × R | y = x} หรอ r = {(x, x) |x ∈ R} เปนความสมพนธบน R ซงมDom(r) = Ran(r) = R เรยกความสมพนธนวา "ความสมพนธเอกลกษณบน R" นยามทวไปคอ

iA = {(a, a) | a ∈ A}

เมอ A = ∅ เรยก iA วา ความสมพนธเอกลกษณ (identity relation) บน A

. ให x, y ∈ R กาหนดให x r y มความหมายวา y = x2

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

6

ดงนน r = {(x, y) ∈ R× R | y = x2} และม Dom(r) = R และ Ran(r) = [0,∞)

. ให x, y ∈ R กาหนดให x r y มความหมายวา x < y

. . ความสมพนธ

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

ดงนน r = {(x, y) ∈ R× R |x < y} และม Dom(r) = Ran(r) = Rเรยกความสมพนธนวา "นอยกวา" บน R เขยนแทนดวย "<"

ตวอยาง . . จงเขยนความสมพนธตอไปนในรปเซต พรอมทงหาโดเมนและเรนจ

. ให x, y ∈ N กาหนดให x r y มความหมายวา x | y

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

ดงนน r = {(x, y) ∈ N× N |x | y} และม Dom(r) = Ran(r) = Nเรยกความสมพนธนวา "หารลงตว" บน N เขยนแทนดวย " | "

. ให x, y ∈ Z กาหนดให x r y มความหมายวา 2 | (x− y)

บทท . ความสมพนธ

X

Y

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

ดงนน r = {(x, y) ∈ Z× Z | 2 | (x− y)} และม Dom(r) = Ran(r) = Z

ตวอยาง . . กาหนดให A = {{1}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 4}} สาหรบ X,Y ∈ A นยามX r Y มความหมายวา X ⊆ Y

เขยนเปนแผนภาพไดดงน

{2, 3} {1, 2}{1, 3}

{1}

{1, 2, 4}

ดงนน r = {(X,Y ) ∈ A× A |X ⊆ Y } ซงม Dom(r) = Ran(r) = {{1}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 4}}ในกรณสาหรบเซต S และ X,Y ∈ P(S) นยาม X r Y มความหมายวา X ⊆ Y แลว

r = {(X, Y ) ∈ P(S)×P(S) |X ⊆ Y } เปนความสมพนธบน P(S)

จะไดวา Dom(r) = Ran(r) = P(S)

ตวอยาง . . ให A เปนเซตของเสนตรงในระนาบสองมต และ ℓ1, ℓ2 ∈ A กาหนดใหℓ1 r ℓ2 มความหมายวา ℓ1 ขนานกบ ℓ2

ดงนน r = {(ℓ1, ℓ2) ∈ A× A | ℓ1 ขนานกบ ℓ2} เปนความสมพนธบน A ม Dom(r) = Ran(r) = A

ตวอยาง . . ให A เปนเซตของประพจน และ p, q ∈ A กาหนดใหp r q มความหมายวา p → q เปนสจนรนดร

ดงนน r = {(p, q) ∈ A× A | p → q เปนสจนรนดร } เปนความสมพนธบน A ม Dom(r) = Ran(r) = A

ตวอยาง . . ให A = {1, 2} จงหาทกความสมพนธบน A นนคอหาสบเซตทงหมดของA× A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

. . ความสมพนธ

r1 = ∅

r2 = {(1, 1)}

r3 = {(1, 2)}

r4 = {(2, 1)}

r5 = {(2, 2)}

r6 = {(1, 1), (1, 2)}

r7 = {(1, 1), (2, 1)}

r8 = {(1, 1), (2, 2)}

r9 = {(1, 2), (2, 1)}

r10 = {(1, 2), (2, 2)}

r11 = {(2, 1), (2, 2)}

r12 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}

r13 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}

r14 = {(1, 1), (2, 1), (2, 2)}

r15 = {(1, 2), (2, 1), (2, 2)}

r16 = A× A

เรยก∅ วาความสมพนธวาง (empty relation) และเรยกA×A วาความสมพนธเอกภพ (universalrelation) เมอ A = ∅ จากตวอยางนจะเหนไดวาจานวนความสมพนธทงหมดคานวณไดจาก

2n(A×A) = 24 = 16

โดยทฤษฎบท . . เพราะความสมพนธบน A คอสบเซตของ A × A และใชทฤษฎบท . . ทาใหไดทฤษฎบทตอไปนทฤษฎบท . . ให A และ B เปนเซตจากด แลวจานวนความสมพนธจาก A ไป B ทงหมดเทากบ2n(A)·n(B)

ตวอยาง . . ให r = {(x, y) ∈ R× R | y = x2 + 1} จงหาโดเมนและเรนจของ r พรอมทงพสจน

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

6

จากราฟจะไดวา Dom(r) = R และ Ran(r) = [1,∞)

บทพสจน. จะแสดงโดยนยามทวา A = B กตอเมอ A ⊆ B และ B ⊆ A

. Dom(r) = Rเหนไดชดวา Dom(r) ⊆ R ให x ∈ R เลอก y = 1 + x2 ดงนน y ∈ R นนคอ (x, y) ∈ r เพราะฉะนนx ∈ Dom(r) นนคอ R ⊆ Dom(r) สรปไดวา Dom(r) = R

บทท . ความสมพนธ. Ran(r) = [1,∞)

ให y ∈ Ran(r) จะม x ∈ R ซง y = 1 + x2 เนองจากx2 ≥ 0

y = 1 + x2 ≥ 1

ดงนน y ∈ [1,∞) เพราะฉะนน Ran(r) ⊆ [1,∞) ในทางกลบกนให y ≥ 1 แลว y − 1 ≥ 0

เลอก x =√1− y ดงนน x ∈ R และ x2 = 1− y แลว

y = x2 + 1

นนคอ (x, y) ∈ r จงไดวา y ∈ Ran(r) เพราะฉะนน [1,∞) ⊆ Ran(r) สรปไดวา Ran(r) = [1,∞)

ตวอยาง . . ให r = {(x, y) ∈ R× R |x2 + y2 = 9} จงหาโดเมนและเรนจของ r พรอมทงพสจน

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

จากราฟจะไดวา Dom(r) = [−3, 3] และ Ran(r) = [−3, 3]

บทพสจน. จะแสดงวา Dom(r) = [−3, 3] และ Ran(r) = [−3, 3]

. Dom(r) = [−3, 3]

ให x ∈ Dom(r) จะไดวาม y ∈ R ซง x2 + y2 = 9 แลว 9− x2 = y2 ≥ 0 ดงนน9− x2 ≥ 0

x2 − 9 ≤ 0

(x− 3)(x+ 3) ≤ 0

ทาใหไดวา x ∈ [−3, 3] นนคอ Dom(r) ⊆ [−3, 3] ในทางกลบกนให x ∈ [−3, 3] แลว−3 ≤ x ≤ 3

0 ≤ x2 ≤ 9

∴ 9− x2 ≥ 0

. . ความสมพนธ

เลอก y =√9− x2 ดงนน y ∈ R และ x2+ y2 = 9 ทาใหไดวา (x, y) ∈ r เพราะฉะนน x ∈ Dom(r)

นนคอ [−3, 3] ⊆ Dom(r) สรปไดวา Dom(r) = [−3, 3]

. Ran(r) = [−3, 3] ทาเปนแบบฝกหด

ตวอยาง . . ให r = {(x, y) ∈ R × R | 4x2 + 9y2 = 36} จงหาโดเมนและเรนจของ r พรอมทงพสจน

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

จากราฟจะไดวา Dom(r) = [−3, 3] และ Ran(r) = [−2, 2]

บทพสจน. จะแสดงวา Dom(r) = [−3, 3] และ Ran(r) = [−2, 2]

. Ran(r) = [−2, 2]

ให y ∈ Ran(r) จะไดวาม x ∈ R ซง 4x2 + 9y2 = 36 แลว 36− 9y2 = 4x2 ≥ 0 ดงนน

36− 9y2 ≥ 0

y2 − 4 ≤ 0

(y − 2)(y + 2) ≤ 0

ทาใหไดวา y ∈ [−2, 2] นนคอ Ran(r) ⊆ [−2, 2] ในทางกลบกนให y ∈ [−2, 2] แลว

−2 ≤ y ≤ 2

0 ≤ y2 ≤ 4

0 ≤ 9y2 ≤ 36

∴ 36− 9y2 ≥ 0

บทท . ความสมพนธ

เลอก x = 12

√36− 9y2 ดงนน x ∈ R และ

x =1

2

√36− 9y2

x2 =1

4(36− 9y2)

4x2 + 9y2 = 36

ทาใหไดวา (x, y) ∈ r เพราะฉะนน y ∈ Ran(r) นนคอ [−2, 2] ⊆ Ran(r) สรปไดวา Ran(r) =

[−2, 2]

. Dom(r) = [−3, 3] ทาเปนแบบฝกหด

ตวอยาง . . ให r และ s เปนความสมพนธ จาก A ไป B จงแสดงวา

Dom(r ∪ s) ⊆ Dom(r) ∪ Dom(s)

บทพสจน. ให x ∈ Dom(r ∪ s) จะไดวาม y ∈ B ซง (x, y) ∈ r ∪ s ดงนน (x, y) ∈ r หรอ (x, y) ∈ s

ทาใหไดวา x ∈ Dom(r) หรอ x ∈ Dom(s) นนคอ x ∈ Dom(r) ∪ Dom(s)

ตวอยาง . . ให r และ s เปนความสมพนธ จาก A ไป B จงแสดงวา

Ran(r ∪ s) ⊆ Ran(r) ∪ Ran(s)

บทพสจน. ให y ∈ Ran(r∪ s) จะไดวาม x ∈ A ซง (x, y) ∈ r∪ s ดงนน (x, y) ∈ r หรอ (x, y) ∈ s ทาใหไดวา y ∈ Ran(r) หรอ y ∈ Ran(s) นนคอ y ∈ Ran(r) ∪ Ran(s)

บทนยาม . . ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B ความสมพนธผกผน (inverse relation) ของ r

เขยนแทนดวย r−1 คอความสมพนธจาก B ไป A กาหนดให x r−1 y กตอเมอ y r x

เขยนในรปเซตไดดงนr−1 = {(x, y) ∈ B × A | (y, x) ∈ r}

ขอสงเกต Dom(r−1) = Ran(r) และ Ran(r−1) = Dom(r)

ตวอยาง . . ความสมพนธผกผนของ r = {(1, 2), (1, 4), (2, 5), (4, 5), (3, 8)} คอ

r−1 = {(2, 1), (4, 1), (5, 2), (5, 4), (8, 3)}

เขยนกราฟแสดงความสมพนธไดดงน

. . ความสมพนธ

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x

จากกราฟจะเหนไดวา r และ r−1 มความสมพนธเอกลกษณเปนแกนสมมาตร

ตวอยาง . . จงหา r−1 พรอมทงเขยนกราฟแสดงความสมพนธ

. ให r = {(x, y) ∈ R×R | y = x2} จะไดวา r−1 = {(x, y) ∈ R×R |x = y2} เขยนกราฟไดดงน

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

y = x

r

r−1

. ให x r y กตอเมอ y = 2x+ 1 สาหรบ x, y ∈ Rจะไดวา x r−1 y กตอเมอ x = 2y + 1 เขยนกราฟไดดงน

บทท . ความสมพนธ

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

y = xr

r−1

บทนยาม . . ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B และ s เปนความสมพนธจาก B ไป C ความสมพนธ r ประกอบกบ s ( r composed with s) จะเขยนแทนดวย s ◦ r คอความสมพนธจาก A ไป C

กาหนดโดยs ◦ r = {(x, z) ∈ A× C | ∃y ∈ B, (x, y) ∈ r ∧ (y, z) ∈ s}

sr

x

A

y

B

z

C

s ◦ r

รปท แผนภาพแสดงความสมพนธ r ประกอบกบ s

ตวอยาง . . กาหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5, 6, 7} และ C = {2, 4, 6, 8, 9} ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B และ s เปนความสมพนธจาก B ไป C ดงน

r = {(1, 3), (3, 3), (3, 5), (4, 7)} และ s = {(3, 2), (5, 4), (6, 6), (7, 9)}

จงหา s ◦ r

. . ความสมพนธ

1

2

3

4

5

A

3

5

6

7

B

2

4

6

8

9

C

s ◦ r

r s

ดงนน s ◦ r = {(1, 2), (3, 2), (3, 4), (4, 9)}

ตวอยาง . . ให A = {1, 2, 3, 4, 5} โดย r และ s เปนความสมพนธบนเซต A ดงนr = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1)} และ s = {(1, 2), (2, 5), (3, 4), (4, 1), (5, 3)} จะไดวา

. r ◦ s = {(1, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 2), (5, 4)}

. s ◦ r = {(1, 5), (2, 4), (3, 1), (4, 3), (5, 2)}

. (s ◦ r)−1 = {(5, 1), (4, 2), (1, 3), (3, 4), (2, 5)}

. s−1 ◦ r−1 = {(1, 2), (2, 4), (3, 1), (4, 5), (5, 3)}

. r−1 ◦ s−1 = {(5, 1), (4, 2), (1, 3), (3, 4), (2, 5)}

จากตวอยางนสรปไดวา s ◦ r = r ◦ s และ (s ◦ r)−1 = s−1 ◦ r−1

ตวอยาง . . ให A,B และ C เปนเซตใดๆ ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B และ ให s เปนความสมพนธจาก B ไป C แลว (s ◦ r)−1 = r−1 ◦ s−1

s

s−1

r

r−1

x

A

y

B

z

C

r−1 ◦ s−1

s ◦ r

รปท แผนภาพแสดงความสมพนธ (s ◦ r)−1 และ r−1 ◦ s−1

บทท . ความสมพนธบทพสจน. ให x ∈ A และ z ∈ C แลว

(z, x) ∈ (s ◦ r)−1 ↔ (x, z) ∈ s ◦ r↔ ∃y ∈ B, (x, y) ∈ r ∧ (y, z) ∈ s

↔ ∃y ∈ B, (y, x) ∈ r−1 ∧ (z, y) ∈ s−1

↔ (z, x) ∈ r−1 ◦ s−1

สรปไดวา (s ◦ r)−1 = r−1 ◦ s−1

บทนยาม . . ให A เปนเซตใดๆ และ r เปนความสมพนธบน A จะกลาววา r มสมบต. สะทอน (reflexive) กตอเมอ ∀a ∈ A, a r a

. สมมาตร (symmetric) กตอเมอ ∀a, b ∈ A, a r b → b r a

. ปฏสมมาตร (antisymmetric) กตอเมอ ∀a, b ∈ A, (a r b ∧ b r a) → a = b

. ถายทอด (transitive) กตอเมอ ∀a, b, c ∈ A, (a r b ∧ b r c) → a r c

a

สมบตสะทอน

a b

สมบตสมมาตร

a ba = b

สมบตปฏสมมาตร

ab

c

สมบตถายทอด

รปท แผนภาพแสดงสมบตของความสมพนธ

ตวอยาง . . กาหนดให A = {1, 2, 3, 4} จงพจารณาวาความสมพนธบน A ตอไปนมสมบตใดบาง. r คอความพนธวางจะไดวา r = ∅

. r คอความพนธเอกลกษณบน A

จะไดวา r = iA = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

. r คอความสมพนธ "นอยกวา" บน A

จะไดวา r = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

. r คอความสมพนธ "นอยกวาหรอเทากบ" บน A

จะไดวา r = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)}

. . ความสมพนธ

. r คอความสมพนธ "หารลงตว" บน A

จะไดวา r = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)}

. r คอความพนธเอกภพ บน A

จะไดวา r = A× A

สรปสมบตแตละความสมพนธมสมบตดงตารางความสมพนธ/สมบต สะทอน สมมาตร ปฏสมมาตร ถายทอดความสมพนธวาง × X X Xความสมพนธเอกลกษณ X X X Xความสมพนธ "นอยกวา" × × × Xความสมพนธ "นอยกวาหรอเทากบ" X × X Xความสมพนธ "หารลงตว" X × X Xความสมพนธเอกภพ X X × X

ตารางท สรปสมบตความสมพนธเบองตนตวอยาง . . จงแสดงวาความสมพนธ "หารลงตว" บน N มสมบตสะทอน ปฏสมมาตร และถายทอดแตไมมสมบตสมมาตร

. สมบตสะทอนเนองจาก x = x(1) ดงนน x | x ทกๆ x ∈ N

. เนองจาก 1 | 2 แต 2 - 1 ดงนนความสมพนธ "หารลงตว" บน N ไมมสมบตสมมาตร

. สมบตปฏสมมาตรให x, y ∈ N สมมต x | y และ y | x จะไดวามจานวนนบ k, p ซง y = kx และ x = py แลว

y = k(py)

y(1− kp) = 0

เนองจาก y = 0 ดงนน 1 − kp = 0 นนคอ kp = 1 เนองจาก k, p ∈ N ดงนน k = p = 1 สรปไดวาx = y

. สมบตถายทอดให x, y, z ∈ N สมมต x | y และ y | z จะไดวามจานวนนบ k, p ซง y = kx และ z = py แลว

z = p(kx) = (pk)x

ดงนน x | z

ตวอยาง . . กาหนดให r = {(x, y) ∈ Q × Q | y = |x|} จงตรวจสอบวาความสมพนธ r บน R มสมบตใดบางพรอมทงพสจน

บทท . ความสมพนธ

. เนองจาก −1 = | − 1| ดงนน (−1,−1) /∈ r สรปไดวา r ไมมสมบตสะทอน

. เนองจาก 1 = | − 1| และ −1 = |1| ดงนน (−1, 1) ∈ r แต (1,−1) /∈ r สรป r ไมมสมบตสมมาตร

. สมบตปฏสมมาตรให x, y ∈ R สมมต x r y และ y r x จะไดวา y = |x| และ x = |y| แลว

y = ||y|| = |y| = x

. สมบตถายทอดให x, y, z ∈ R สมมต x r y และ y r z จะไดวา y = |x| และ z = |y| แลว

z = ||x|| = |x|

ดงนน x r z

ตวอยาง . . ให x, y ∈ Z กาหนดให x r y กตอเมอ 3|(y−x) จงตรวจสอบวาความสมพนธ r บนZ มสมบตใดบางพรอมทงพสจน

. เนองจาก 3 | (x− x) ทกๆ x ∈ Z ดงนน r มสมบตสะทอน

. สาหรบทกจานวนเตม x, y ถา 3 | (y − x) แลว 3 | (x− y) ดงนน r มสมบตสมมาตร

. เนองจาก 3 | (4− 1) และ 3 | (1− 4) แต 1 = 4 ดงนน r ไมมสมบตปฏสมมาตร

. สมบตถายทอดให x, y, z ∈ Z สมมต x r y และ y r z จะไดวา 3 | (y−x) และ 3 | (z− y) จะไดวามตานวนเตม k, p

ซง y − x = 3k และ z − y = 3p แลวz − x = (z − y) + (y − x) = 3k + 3p = 3(k + p)

ดงนน 3 | (z − x) สรปไดวา x r z

ทฤษฎบท . . ให r เปนความสมพนธบน A เมอ A = ∅ แลวจะไดวา. r มสมมบตสะทอน กตอเมอ iA ⊆ r

. r มสมมบตสมมาตร กตอเมอ r = r−1

. r มสมมบตปฏสมมาตร กตอเมอ r ∩ r−1 ⊆ iA

. r มสมบตถายทอด กตอเมอ r ◦ r ⊆ r

บทพสจน. ให r เปนความสมพนธบน A

. . ความสมพนธสมมล

. สมมต r มสมมบตสะทอน ให (x, y) ∈ iA จะไดวา x = y เนองจาก r มสมมบตสะทอน จะไดวา(x, y) ∈ r ดงนน iA ⊆ r ในทางกลบกนสมมตวา iA ⊆ r ให a ∈ A จะไดวา (a, a) ∈ iA เนองจากiA ⊆ r ดงนน (a, a) ∈ r สรปไดวา r มสมมบตสะทอน

- เปนแบบฝกหด

. ความสมพนธสมมลบทนยาม . . ความสมพนธ r บนเซต A จะเรยกวา ความสมพนธสมมล (equivalent relation)กตอเมอ r มสมบตสะทอน สมมาตร และถายทอดตวอยาง . . ให A = {1, 2, 3} ขอใดตอไปนเปนความสมพนธสมมลบน A

. r = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} เปนความสมพนธสมมล

. r = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} ไมเปนความสมพนธสมมล เพราะไมมสมบตสะทอนและสมมาตร

. r = {(1, 1)} ไมเปนความสมพนธสมมล เพราะไมมทง สมบต

. r = A× A เปนความสมพนธสมมล

. r = ∅ ไมเปนความสมพนธสมมล เพราะไมมสมบตสะทอนตวอยาง . . ความสมพนธ r ทนยามโดย

x r y กตอเมอ 3 | (y − x) สาหรบ x, y ∈ Z

เปนความสมพนธสมมลบน Z โดยตวอยาง . .

จากตวอยางนสามารถขยายแนวคดจาก ไปเปนจานวนเตม n > 1 ไดดงตวอยางตอไปนตวอยาง . . ให n ∈ Z ซง n > 1 และความสมพนธ r บน Z นยามโดย

x r y กตอเมอ n | (y − x)

จงแสดงวา r เปนความสมพนธสมมลบน Z

บทพสจน. ให n ∈ Z ซง n > 1

. เนองจาก n | (x− x) ทก ๆ x ∈ Z ดงนน r มสมบตสะทอน

. สาหรบทกจานวนเตม x, y ถา n | (y − x) แลว n | (x− y) ดงนน r มสมบตสมมาตร

บทท . ความสมพนธ. ให x, y, z ∈ Z สมมต x r y และ y r z จะไดวา n | (y − x) และ n | (z − y) จะไดวามจานวนเตมk, p ซง y − x = nk และ z − y = np แลว

z − x = (z − y) + (y − x) = nk + np = n(k + p)

ดงนน n | (z − x) สรปไดวา x r z ทาใหไดวา r มสมมบตถายทอด

ดงนน r เปนความสมพนธสมมลบน Z

บทนยาม . . ให r เปนความสมพนธสมมลบนเซตA = ∅ และ a ∈ A ชนสมมล (equivalence class)ของ a มอดโล r เขยนแทนดวย [a]r หรอ [a] หรอ a หมายถงเซตของสมาชกใน A ทสมพนธกบ a นนคอ

[a]r = {x ∈ A |x r a}

และเซตของชนสมมลเรยกวา เซต A มอดโล r (A mudulo r) เขยนแทนดวย A/r ดงนน

A/r = {[a]r | a ∈ A}

ตวอยาง . . จงหาเซต Z/r ของความสมพนธ r บน Z โดย x r y กตอเมอ 3|(x− y) ในตวอยาง . .

[a] = {x ∈ Z | x r a} = {x ∈ Z | 3 | (a− x)}

[−3] = {x ∈ N | 3|(−3− x)} = {...,−6,−3, 0, 3, 6, ...}

[−2] = {x ∈ N | 3|(−2− x)} = {...,−8,−5,−2, 1, 4, 7, ...}

[−1] = {x ∈ N | 3|(−1− x)} = {...,−7,−4,−1, 2, 5, 8, ...}

[0] = {x ∈ N | 3|(0− x)} = {...,−6,−3, 0, 3, 6, ...}

[1] = {x ∈ N | 3|(1− x)} = {...,−8,−5,−2, 1, 4, 7, ...}

[2] = {x ∈ N | 3|(2− x)} = {...,−7,−4,−1, 2, 5, 8, ...}

[3] = {x ∈ N | 3|(0− 3)} = {...,−6,−3, 0, 3, 6, ...}

จะไดวา [0] = [3k], [1] = [3k + 1] และ [2] = [3k + 2] ทกจานวนเตม k ดงนน

Z/r = {[0], [1], [2]}

เมอ [0], [1] และ [2] หมายถงเซตของจานวนเตมทหารดวย เหลอเศษเทากบ , และ ตามลาดบ

. . ความสมพนธสมมล

Z

[1] [2] [0]... ... ...- - -- -

... ... ...

ตารางท ผลการแบงกนจานวนเตมออกเปน สวนสงเกตไดวาเซต Z ถกแบงออกเปนเซตยอยได เซตเทานนคอ [0], [1] และ [2] จะเหนวาแตละเซตยอย

ไมมสมาชกซากน และเมอรวมสมาชกทงหมดของเซตยอยเหลานนยอมเทากบ Zในทานองเดยวกนจากตวอยาง . . เมอ [k] = {nq + k | q ∈ Z} ทก k ∈ {0, 1, 2, ..., n− 1} จะไดวา

Z/r = {[0], [1], [3], ..., [n− 1]}

เรยกเซตนวา เซตของจานวนเตมมอดโล n (the set of integer molulo n) เขยนแทนดวย Zn

ตวอยาง . . พจารณา iA เปนความสมพนธเอกลกษณ บน A เมอ ∅ = A ⊆ R จงหา R/iA จะไดวา[a] = {x ∈ R |x = a}

จะเหนไดวา [−1] = {−1}, [2] = {2}, [1.2] = {1.2} นนคอชนสมมลแตละชนมสมาชกเพยงตวเดยวคอจานวนนน ดงนน [a] = {a} สรปไดวา

R/iA = {{a} | a ∈ R}

ตวอยาง . . พจารณาความสมพนธเอกภพ r = A× A บน A = ∅ จงหา A/A× A จะไดวา[a] = {x ∈ A | (x, a) ∈ A× A}

เหนไดวาไมวา a จะเปนสมาชกใดใน A จะไดวา [a] = A× A ดงนนA/A× A = {A× A}

ทฤษฎบท . . ให r เปนความสมพนธสมมลบนเซต A = ∅ แลว. ∀a ∈ A, [a]r = ∅

. ∀a, b ∈ A, [a]r ∩ [b]r = ∅ ↔ a r b

. ∀a, b ∈ A, [a]r = [b]r ↔ a r b

บทท . ความสมพนธ. ∀a, b ∈ A, [a]r = [b]r ↔ [a]r ∩ [b]r = ∅

บทพสจน. ให r เปนความสมพนธสมมลบน A

. ให a ∈ A เนองจาก r มสมบตสะทอนจะไดวา a r a ดงนน a ∈ [a]r นนคอ [a]r = ∅

. ให a, b ∈ A สมมตวา [a]r ∩ [b]r = ∅ จะไดวาม x ∈ A ซง x ∈ [a]r ∩ [b]r แลว x ∈ [a]r และx ∈ [b]r ดงนน a rx และ x r b โดยสมบตถายทอด จะไดวา a r b ในทางกลบกน สมมตวา a r b จะไดวา a ∈ [b]r และ a ∈ [a]r ดงนน a ∈ [a]r ∩ [b]r = ∅

- ทาเปนแบบฝกหด

บทนยาม . . ให A เปนเซตทไมใชเซตวาง และ Λ เปนเซตรรชน จะกลาววาΠ = {Aα |∅ = Aα ⊆ A และ α ∈ Λ}

เปนผลแบงกน (partition) ของ A ถา( ) ∪

α∈Λ

Aα = A

( ) ∀α, β ∈ Λ, Aα = Aβ หรอ Aα ∩ Aβ = ∅

ตวอยาง . . กาหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} จงยกตวอยางผลแบงกนของ A มาอยางนอย เซตΠ1 = {{2, 4, 6, 8}, {1, 3, 5, 7}}Π2 = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8}}Π3 = {{1}{2, 5, 8}, {3, 4}, {6, 7}}

ทฤษฎบท . . ให A เปนเซตไมใชเซตวาง และ r เปนความสมพนธสมมลบน A แลว A/r เปนผลแบงกนหนงของ Aบทพสจน. ให r เปนความสมพนธสมมลบน A

( ) จะแสดงวา ∪a∈A

[a] = A

เนองจาก a ∈ [a] ⊆ A ทกๆ a ∈ A จะไดวา A ⊆∪a∈A

[a] ⊆ A สรปไดวา ∪a∈A

[a] = A

( ) จะไดวา ∀a, b ∈ A, [a] = [b] หรอ [a] ∩ [b] = ∅ โดยทฤษฎบท . . ขอสรปไดวา A/r เปนผลแบงกนของ Aบทนยาม . . ให Π เปนผลแบงกนของเซต A นยามความสมพนธ A/Π บน A เรยกวา A มอดโล Π

โดย

. . ความสมพนธสมมล

(x, y) ∈ A/Π กตอเมอ ม B ∈ Π ซง {x, y} ⊆ B

ตวอยาง . . กาหนดให A = {a, b, c, d} และ Π = {{a, b}, {c}, {c, d}} จงหา A/Π จะไดวาA/Π = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c), (c, c), (c, d), (d, c), (d, d)}

ตวอยาง . . กาหนดให A = N และ Π = {{1, 3, 5, 7, ...}, {2, 4, 6, 8, ...}} จงหา A/Π จะไดA/Π = {(x, y) ∈ N× N | 2 | (y − x)}

ทฤษฎบท . . ให Π เปนผลแบงกนของเซต A = ∅ แลว A/Π เปนความสมพนธสมมลบน A

บทพสจน. ให Π เปนผลแบงกนของ A

. ให a ∈ A เนองจาก Π เปนผลแบงกนจะไดวาม B ∈ Π ซง x ∈ B หรอ {x} ⊆ B

นนคอ (x, x) ∈ A/Π ดงนน A/Π มสมบตสะทอน. ให x, y ∈ A สมมต (x, y) ∈ A/Π จะไดวาม B ∈ Π ซง {x, y} ⊆ B เนองจาก {y, x} ⊆ B ดงนน(y, x) ∈ A/Π นนคอ A/Π มสมบตสมมาตร

. ให x, y, z ∈ A สมมต (x, y) ∈ A/Π และ (y, z) ∈ A/Π จะไดวาม B1, B2 ∈ Π ซง {x, y} ⊆ B1

{y, z} ⊆ B2 เหนไดชดวา y ∈ B1 ∩B2 = ∅ ดงนน B1 = B2

{x, z} ⊆ {x, y, z} = {x, y} ∪ {y, z} ⊆ B1 ∪B2 = B1

ดงนน (x, z) ∈ A/Π สรปไดวา A/Π มสมมบตถายทอดดงนน A/Π เปนความสมพนธสมมลบน A

ทฤษฎบท . . ให Π เปนผลแบงกนของเซต A = ∅ และ r เปนความสมพนธสมมลบน A แลวA/(A/r) = r และ A/(A/Π) = Π

บทพสจน. เปนแบบฝกหด

บทท . ความสมพนธ

. การเรยงอนดบบางสวนบทนยาม . . เรยกความสมพนธ r บนเซต P วา การเรยงอนดบบางสวน (partial ordering)กตอเมอ r มสมบตสะทอน ปฏสมมาตร และถายทอด โดยทวไปนยามเขยน - แทนอนดบทละสวน และเรยกคอนดบ (P,-) วาเซตซงเรยงอนดบบางสวนได (partially ordered set) หรอ โพเซต (poset)

สาหรบโพเซต (P,-) นยามความสมพนธ ≺ บน P โดยสาหรบ a, b ∈ P

a ≺ b กตอเมอ a - b และ a = b

ตวอยาง . . กาหนดให P = {1, 2, 3} จงพจารณาวาขอใดเปนการเรยงอนดบบางสวนบน P

. ความสมพนธเอกลกษณ เปนการเรยงอนดบบางสวน เขยนแทนดวย (P,=)

. ความสมพนธวาง ไมเปนการเรยงอนดบบางสวนเพราะไมมสมบตสะทอน

. ความสมพนธเอกภพ ไมเปนการเรยงอนดบบางสวนเพราะไมมสมบตปฏสมมาตร

. ความสมพนธ "นอยกวา" ไมเปนการเรยงอนดบบางสวนเพราะไมมสมบตสะทอน

. ความสมพนธ "นอยกวาหรอเทากบ" เปนการเรยงอนดบบางสวน เขยนแทนดวย (P,≤)

. ความสมพนธ "หารลงตว" เปนการเรยงอนดบบางสวน เขยนแทนดวย (P, |)

ตวอยางโพเซตอนๆ เชน (R,≤), (N, |) และ (P(A),⊆) เมอ A เปนเซตทไมใชเซตวางในกรณทเซต P เปนเซตจากดทไมเซตวาง นยมแทน (P,-) ดวยแผนภาพเฮสเซ (Hasse diagram)

ซงประกอบไปดวยจดหรอวงกลมเลกๆแทนสมาชกใน P และสวนของเสนตรงเชอมระหวางจด a และจด b

เมอ a ≺ b และไมม c ∈ P ซง a ≺ c ≺ b โดยจด b จะถกเขยนไวเหนอจด a ดงตวอยางตอไปนตวอยาง . . ให P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} จงเขยนแผนภาพเฮสเซของโพเซตตอไปน

. (P, |)

1

52 3

4 6

. . การเรยงอนดบบางสวน

. (P,≤)

1

2

3

4

5

6

ตวอยาง . . จงเขยนแผนภาพเฮสเซของโพเซต (P(A),⊆) เมอ A = {x, y, z}

∅

{y} {z}{x}

{x, z} {y, z}{x, y}

{x, y, z}

ตวอยาง . . จากแผนภาพเฮสเซของโพเซต จงหาโพเซตและอนดบบางสวน

ab

c

d

e

ให P = {a, b, c, d, e} และ a - a, a - e, a - c, b - b, b - d, b - e, d - d, d - c, c - c, e - e หรอ-= {(a, a), (a, e), (a, c), (b, b), (b, d), (b, e), (d, d), (d, c), (c, c), (e, e)}

จะไดวา (P,-) เปนโพเซต

บทท . ความสมพนธบทนยาม . . ให (P,-) เปนโพเซต m และ n เปนสมาชกใน P จะกลาววา

m เปนสมาชกตวใหญเฉพาะกลม (maximal element) ของ P กตอเมอไมม x ∈ P ซง m ≺ x

นนคอ ∀x ∈ P, m - x → m = x

n เปนสมาชกตวเลกเฉพาะกลม (minimal element) ของ P กตอเมอไมม x ∈ P ซง x ≺ n

นนคอ ∀x ∈ P, x - n → n = x

ตวอยาง . . จากแผนภาพเฮสเซของโพเซต ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, |)

1

52 3

4 6

สมาชกตวใหญเฉพาะกลมคอ , และ สมาชกตวเลกเฉพาะกลมคอจากตวอยางขางตนจะเหนไดวาสมาชกใหญเฉพาะกลมมไดหลายตว ในทานองเดยวกนสมาชกเลก

เฉพาะกลมของเชนกนดงตวอยางตวอยาง . . จากแผนภาพเฮสเซของโพเซต ({a, b, c, d, e},-)

ab

c

d

e

สมาชกตวใหญเฉพาะกลมคอ c และ e สมาชกตวเลกเฉพาะกลมคอ a และ b

สรปในบททนไดกลาวถงความสมพนธ r ในแงคณตศาสตรหมายถงเซตของคอนดบทในผลคณคารทเซยน

A×B นยามโดเมนและเรจนดงนDom(r) = {a ∈ A | ∃b ∈ B, (a, b) ∈ r}

Ran(r) = {b ∈ B | ∃a ∈ A, (a, b) ∈ r}

พรอมตวอยางความสมพนธทมลกษณะเฉพาะเชน ความสมพนธวาง ความสมพนธเอกภพ ความสมพนธเอกลกษณ ความสมพนธหารลงตว และความสมพนธนอยกวา เปนตน ตอมาศกษาความสมพนธบนเซตA และตรวจสอบสมบต ขอคอ

. r มสมบตสะทอน กตอเมอ ∀a ∈ A, a r a

. r มสมบตสมมาตร กตอเมอ ∀a, b ∈ A, a r b → b r a

. r มสมบตปฏสมมาตร กตอเมอ ∀a, b ∈ A, (a r b ∧ b r a) → a = b

. r มสมบตถายทอด กตอเมอ ∀a, b, c ∈ A, (a r b ∧ b r c) → a r c

ถาความสมพนธใดมสมบตสะทอน สมมาตร และถายทอด จะเรยกวาความสมพนธสมมล และสรางชนสมมลของสมาชกตางๆในความสมพนธ และชนสมมลเหลานนจะกลายเปนผลแบงกนของเซตA ถาความสมพนธใดมสมมบตสะทอน ปฏสมมาตร และถายทอด จะเรยกวาการเรยกวาโพเซต หรอการเรยงอนดบบางสวน เขยนแทนดวย (P,-) และนยามสมาชกใหญเฉพาะกลม และสมาชกเลกเฉพาะกลมไดดงน

. m เปนสมาชกตวใหญเฉพาะกลม ของ P กตอเมอไมม x ∈ P ซง m ≺ x นนคอ∀x ∈ P, m - x → m = x

. n เปนสมาชกตวเลกเฉพาะกลม ของ P กตอเมอไมม x ∈ P ซง x ≺ n นนคอ∀x ∈ P, x - n → n = x

ถาพจารณาจากนยามจะเหนวาสมาชกเลกเฉพาะกลมและใหญเฉพาะกลม ไมไดมความหมายเดยวกบสมาชกเลกสดและใหญสด ทาใหเหนมมมองทหลากหลายของการนยามสมาชกเหลานน

คาถามทายบท. จงหาโดเมนและเรจนของความสมพนธ r พรอมทงพสจนคาตอบดงกลาว

. ให x, y ∈ R กาหนดให x r y มความหมายวา x > y2

. ให x, y ∈ Z กาหนดให x r y กตอเมอ 3 | (2x− y)

. r = {(x, y) ∈ R× R | 9x2 + 16y2 = 1}

. r = {(x, y) ∈ R× R | |x|+ |y| < 1}

. ให A และ B เปนเซตใดๆ กาหนดให r และ s เปนความสมพนธ จาก A ไป B จงแสดงวา. Dom(r ∪ s) = Dom(r)∪ Dom(s)

. Dom(r ∩ s) ⊆ Dom(r)∩ Dom(s)

. Ran(r ∪ s) = Ran(r) ∪ Ran(s)

. Ran(r ∩ s) ⊆ Ran(r) ∩ Ran(s)

. จงตรวจสอบวาความสมพนธ r มสมบตใดบางพรอมทงพสจน. r = {(x, y) ∈ R× R | y2 = x2}

. r = {(x, y) ∈ R× R | y ≤ |x|}

. ให x, y ∈ Z กาหนดให x r y กตอเมอ 3 | (x− 2y)

. กาหนดให r และ s เปนความสมพนธบน A = ∅ จงพสจนหรอยกตวอยางคานขอความตอไปน. ถา r และ s มสมบตสะทอน แลว r ∪ s มสมบตสะทอน. ถา r หรอ s มสมบตสะทอน แลว r ∪ s มสมบตสะทอน. ถา r และ s มสมบตสมมาตร แลว r ∪ s มสมบตสมมาตร. ถา r หรอ s มสมบตสมมาตร แลว r ∩ s มสมบตสมมาตร. ถา r และ s มสมบตถายทอด แลว r ∩ s มสมบตถายทอด. ถา r และ s มสมบตถายทอด แลว r ∪ s มสมบตถายทอด

. กาหนดให r = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} และ s = {(1, 3), (2, 2), (3, 4), (4, 2)} จงหา. s ◦ r

. Dom(s ◦ r)

. Dom(r ◦ s)

. Ran(s ◦ r)

. Ran(r ◦ s)

. r−1 ◦ s−1

. (r ◦ s)−1

. (s ◦ r) ◦ s

. ให A = ∅ และ r เปนความสมพนธบนเซต A จงแสดงวา. (r−1)−1 = r

. . การเรยงอนดบบางสวน

. (iA)−1 = iA

. r เปนความสมพนธสมมล กตอเมอ r−1 เปนความสมพนธสมมล

. ถา r มสมบตสมมาตร แลว r ◦ r มสมบตสมมาตร

. r เปนความสมพนธอนดบบางสวน กตอเมอ r−1 เปนความสมพนธอนดบบางสวน. ให A,B และ C เปนเซตใด ๆ ให r เปนความสมพนธจาก A ไป B และ s เปนความสมพนธจาก B

ไป C จงแสดงวา. Dom(s ◦ r) ⊂ Dom(r)

. Ran(s ◦ r) ⊆ Ran(s)

. ถา Ran(r) ⊆ Dom(s) แลว Dom(s ◦ r) = Dom(r)

. ให A = ∅ เปนเซตใด ๆ ให r และ s เปนความสมพนธบน A จงพจารณาขอความตอไปนถาเปนจรงจงพสจน ถาไมจรงจงยกตวอยางคาน. ถา r ∪ s เปนความสมพนธสมมล แลว s ◦ r = r ◦ s

. ถา r ∪ s = r ◦ s แลว r ∪ s เปนความสมพนธสมมล

. ถา r ∪ s = r ◦ s แลว s ◦ r = r ◦ s

. กาหนดให A = {a, b, c, d} จงพจารณาวาความสมพนธบน A ตอไปนมขอใดเปนความสมพนธสมมลหรอความสมพนธอนดบบางสวน. r = {(a, b), (b, a)}

. r = {(c, d), (c, c)}

. r = {(a, a), (b, b)}

. r = {(d, c)}

. จงพจารณาความสมพนธตอไปนเปนความสมพนธสมมลหรอความสมพนธอนดบบางสวน. r = {(x, y) ∈ N× N |x+ y = 2}

. r = {(x, y) ∈ Z× Z | 4|(x− y)}

. ให S เปนเซต และ A,B ∈ P(S) กาหนดให ArB มความหมายวา A ⊆ B

. ให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Π = {{1, 2, 4}, {3, 5, 6}, {7, 8}}และ r = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (1, 2), (2, 1)}จงหาสมาชกของ. A/r

. [3]r

. A/Π

. [3]A/Π

. A/(A/r)

. A/(A/Π)

บทท . ความสมพนธ

เอกสารอางองกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ฉววรรณ รตนประเสรฐ. ( ). วธการพสจนทางคณตศาสตร. นครปฐม: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร.ชวลต บรพาศรวฒน. ( ). หลกการคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ภาควชาคณตศาสตรและสถต

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย สถาบนราชภฏจนทรเกษม.ชะเอม สายทอง. ( ). ทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพโอเดยนสโตร.พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.พมพเพญ เวชชาชวะ. ( ). ระบบจานวน. กรงเทพฯ: ว.พรนท( ).ไพโรจน เยยระยง. ( ). ตรรกศาสตรและทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.มานะ เอกจรยวงศ. ( ). ทฤษฎเซต. ลพบร: ศนยตาราและเอกสารทางวชาการ สถาบนราชภฏ

เทพสตร ลพบร.อมพร มาคนอง. ( ). ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร: การพฒนาเพอพฒนาการ.

กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ( ). เซต ความสมพนธ

และฟงกชน กรงเทพฯ: โรงพมพพทกษการพมพ.Michael Haese, Sandra Haese, Mark umphries, Edward Kemp and Pamela Vollma. ( )

Mathematics for the international student E MYP (Extended).Marleston, Australia : Haese& Harris Publications.

Pual Glendinning. ( ). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions Ltd.

แผนบรหารการสอนประจาบททหวขอเนอหาประจาบท

. นยามและชนดของฟงกชน

. ฟงกชนคาจรงและพชคณตของฟงกชน

. ฟงกชนผกผนและฟงกชนประกอบ

. ภาพและภาพผกผน

. การดาเนนการทวภาค

. การจดการเรยนรเรองฟงกชนวตถประสงคเชงพฤตกรรม

. ตรวจสอบความสมพนธทเปนฟงกชนและระบชนดของฟงกชนได

. รจกฟงกชนคาจรงและตรวจสอบสมบตตางๆเกยวกบฟงกชนคาจรง

. ตรวจสอบฟงกชนทเปนฟงกชนผกผนได

. เขาใจเกยวกบฟงกชนประกอบและพสจนสมบตบางประการได

. ตรวจสอบสมบตของการดาเนนการทวภาคทกาหนดใหได

. รจกการจดการเรยนรเรองฟงกชนวธและกจกรรมการเรยนการสอน

. วธสอน. วธสอนแบบบรรยาย ประกอบสออเลกทรอนกส. ใชสอทางอนเตอรเนต และใหแตละคนแสดงความคดเหน. วธสอนแบบอภปราย โดยใหหวขอเปนกลมและมานาเสนอหนาชน

. กจกรรมการเรยนการสอน. บรรยายสรปโดยใชสอการสอนประกอบ. ใหผ เรยนศกษาเนอหาจากชดการสอน หนงสอ ตารา เอกสารเพมเตม และสอออนไลน. อภปรายรายกลมตามหวขอทไดรบมอบหมาย. ใหผ เรยนทาแบบฝกหด ทดสอบความเขาใจในเนอหา. มอบหมายใหทา assignment เพอสงทายคาบ

สอการเรยนการสอน

. ชดการสอน เรอง "ฟงกชน"

. สออเลกทรอนกส เรอง "ฟงกชน"

. หนงสอ ตารา เอกสารทเกยวของการวดผลและประเมนผล

. สงเกตการตอบคาถามและตงคาถามของผ เรยนในระหวางการบรรยายและซกถาม

. วดผลจากการทาแบบฝกหดระหวางเรยนตามเนอหาทไดรบมอบหมาย

. ตรวจ assignment บนทกคะแนนลงในใบบนทกคะแนน

. ตรวจการทาการบาน บนทกลงในบนทกผลงาน

บททฟงกชน

หลายครงทเราเคยไดยนคาวา "ฟงกชน (function)" ในชวตประจาวน โดยเฉพาะในเครองมอสอสารใหม ๆ นกโฆษณามกจะกลาววาสนคาของตวเองมฟงกชนตาง ๆ มากมาย ทาใหผ อานเองพอนกออกวาฟงกชนนาจะหมายถงคาสงทเราเลอกทาสงตาง ๆ บนอปกรณหรอสนคาเหลานนเพอใหไดผลลพธทเราตองการ แตนเปนความหมายทางคอมพวเตอรได ในทางคณตศาสตรใหความหมายของฟงกชนคอความสมพนธทสมาชกตวหนาแตละตวจะจบคกบสมาชกตวหลงไดเพยงครงเดยวเทานน ตวอยางเชน

"ระดบคะแนนวชาแคลคลส ของนกศกษาสาขาวชาคณตศาสตร" เปนฟงกชนจากเซตของนกศกษาวชาคณตศาสตรไปยงเซตของระดบคะแนน {F,D−, D,D+, C−, C, C+, B−, B,B+, A−, A} ถานายอทธไดระดบคะแนน A เขยนแทนดวย (นายอทธ, A) สมาชกตวหนาจบไดเพยงครงเดยวกบสมาชกตวหลงเพราะเปนไปไมไดทนกศกษาหนงคนจะไดระดบคะแนนวชาแคลคลส หลายระดบคะแนน

ในบทนจะกลาวถงนยามของฟงกชน ตวอยาง ทฤษฎบท และสมบตตาง ๆ ทเกยวของของฟงกชน

. นยามและชนดของฟงกชนบทนยาม . . จะกลาววาความสมพนธ f ⊆ A×B เปนฟงกชน (function หรอ mapping)กตอเมอแตละ (x1, y1) และ (x2, y2) ใน f ถา x1 = x2 แลว y1 = y2 นนคอ

f ⊆ A×B เปนฟงกชน ↔ ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ f, x1 = x2 → y1 = y2

จากนยามจะไดวา ∅ เปนฟงกชน และ f ไมเปนฟงกชนกตอเมอม (x1, y1), (x2, y2) ∈ f ซง x1 = x2 แตy1 = y2

ตวอยาง . . ให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} จงตรวจสอบวาขอใดตอไปนเปนฟงกชน. f = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)}

. g = {(1, a), (2, b), (4, c)}

. h = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, a)}

บทท . ฟงกชน

1

2

3

4

A

a

bc

B

f

1

2

3

4

A

a

bc

B

g

1

2

3

4

A

a

bc

B

h

จะเหนไดวา f และ g เปนฟงกชน แต h ไมเปนฟงกชนเพราะวา (1, a) ∈ f และ (1, b) ∈ f แต a = b

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวาความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม. f = {(x, y) ∈ R× R | y = 1− x2}วธทา ให (x1, y1) ∈ f และ (x2, y2) ∈ f สมมตวา x1 = x2 จะไดวา

y1 = 1− x21 = 1− x2

2 = y2

ดงนน f เปนฟงกชน. g = {(x, y) ∈ R× R | |x|+ |y| = 2}วธทา จะเหนไดวา (1, 1) ∈ g และ (1,−1) ∈ g แต 1 = −1 ดงนน g ไมเปนฟงกชน

ถา f ⊆ A×B เปนฟงกชน แตละ x ∈ A ม y ∈ B เพยงตวเดยวเทานนท (x, y) ∈ f เราจงแทน y ดวยf(x) นนคอ y = f(x)

ตวอยาง . . ให f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} และ g = {(1, 1), (2, 1), (3, 3), (4, 2)} แลวจะไดวา. f(1) + f(2) = 2 + 3 = 5

. g(3)− g(4) = 3− 2 = 1

. f(4) · g(2) = 1 · 1 = 1

เนองจากฟงกชนเปนความสมพนธ ดงนนโดเมนและเรนจของฟงกชนมความหมายเดยวกบโดเมนและเรนจของความสมพนธบทนยาม . . f เปนฟงกชนจาก A ไป B (function from A into B) เขยนแทนดวย f : A → B

กตอเมอ. f เปนฟงกชน. Dom(f) = A

. Ran(f) ⊆ B

. . นยามและชนดของฟงกชน

ตวอยาง . . ให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c, d} ขอใดตอไปนเปนฟงกชนจาก A ไป B

. f = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, c)} เปนฟงกชนจาก A ไป B

. g = {(1, a), (1, b), (3, c), (4, d)} ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B เพราะ g ไมเปนฟงกชน

. h = {(1, a), (2, b), (3, c)} ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B เพราะ Dom(h) = A

. t = {(a, 1), (b, 2), (c, 1), (d, 3)} ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B เพราะ Dom(t) = A

ตวอยาง . . จงแสดงวา f = {(x, y) ∈ R× R | y = 2x+ 1} เปนฟงกชนจาก R ไป R

บทพสจน. ให (x1, y1), (x2, y2) ∈ f สมมตวา x1 = x2 จะไดวาy1 = 2x1 + 1 = 2x2 + 1 = y2

ดงนน f เปนฟงกชน เนองจาก Dom(f) ⊆ R และถา x ∈ R เลอก y = 2x + 1 จะไดวา x ∈ Dom(f) นนคอ R ⊆ Dom(f) ดงนน Dom(f) = R สรปไดวา f : R → R

จากตวอยางขางตนนยมเขยนf : R → R กาหนดโดย f(x) = 2x+ 1 แทน f = {(x, y) ∈ R× R | y = 2x+ 1}

บางครงใชสญลกษณf : R → R กาหนดโดย x 7−→ 2x+ 1

สญลกษณ x 7−→ y หมายถง x ถกสง (map) ไปยง y โดยการมองวาฟงกชนเปนเครองจกรอนหนง เมอใส x (input) ผลทออกมาจากเครองจกรนกคอ y หรอ f(x) (output) แสดงดงภาพ

ฟงกชน fOutputInput

f(x)x

รปท แผนภาพแสดง input และ output ของฟงกชน

จากตวอยาง . . เขยนเปนแผนภาพไดดงน

ฟงกชน f 2x+ 1x

ความหมายคอเมอสง x เขาไปฟงกชนนจะทาการคณสองเทาของ x และบวกเพมอก แลวสงผลลพธออกมาจากฟงกชนตวอยาง . . จงแสดงวา f = {(x, y) ∈ R× R | y = x2 − 1} เปนฟงกชนจาก R ไป R

บทท . ฟงกชนบทพสจน. ให (x1, y1), (x2, y2) ∈ f สมมตวา x1 = x2 จะไดวา

y1 = x21 − 1 = x2

2 − 1 = y2

ดงนน f เปนฟงกชน เนองจาก Dom(f) ⊆ R และถา x ∈ R เลอก y = x2 − 1 จะไดวา x ∈ Dom(f) นนคอ R ⊆ Dom(f) ดงนน Dom(f) = R สรปไดวา f : R → R

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวา f = {(x, y) ∈ R× R | y =√x} เปนฟงกชนจาก R ไป R หรอไม

วธทา เนองจาก −1 /∈ Dom(f) ดงนน Dom(f) = R สรปไดวา f ไมเปนฟงกชนจาก R ไป Rตอไปจะแสดงวา f : [0,∞) → R

บทพสจน. ให (x1, y1), (x2, y2) ∈ f สมมตวา x1 = x2 เมอ x1, x2 ∈ [0,∞) จะไดวาy1 =

√x1 =

√x2 = y2

ดงนน f เปนฟงกชน ให x ∈ Dom(f) แลว y =√x ดงนน x ≥ 0 จะไดวา Dom(f) ⊆ [0,∞)

ในทางกลบกนให x ≥ 0 เลอก y =√x นนคอ x ∈ Dom(f) ดงนน [0,∞) ⊆ Dom(f)

สรปไดวา Dom(f) = [0,∞)

จากตวอยางขางตนสรปไดวาถา f ⊆ A × B เปนฟงกชน แลวจะไดวา f : Dom(f) → B ตอไปจะพจารณาการเทากนของฟงกชนเนองจากฟงกชนเปนเซตดงนน f = g กตอเมอ f ⊆ g และ g ⊆ f แตไมนยมใชวธนในการตรวจสอบเนองจากฟงกชนมกเขยน y ในรปของ f(x) จงใชทฤษฎบทตอไปนในการตรวจสอบทฤษฎบท . . ให f และ g เปนฟงกชน แลว

f = g กตอเมอ Dom(f) = Dom(g) และ f(x) = g(x) ทก ๆ x ∈ Dom(f)

บทพสจน. ให f และ g เปนฟงกชนสมมต f = g จะไดเหนไดชดวา Dom(f) = Dom(g) เนองจากคอนดบทกคใน f และ g เหมอนกน ใหx ∈ Dom(f) จะไดวาม y ซง (x, y) ∈ f นนคอ y = f(x) เนองจาก f = g ดงนน (x, y) ∈ g นนคอy = g(x) สรปไดวา f(x) = g(x) ทก ๆ x ∈ Dom(f) ในทางกลบกนสมมต Dom(f) = Dom(g) และf(x) = g(x) ทก ๆ x ∈ Dom(f) ให (x, y) ∈ f จะไดวา x ∈ Dom(f) และ y = f(x) เนองจากDom(f) = Dom(g) ฉะนน x ∈ Dom(g) และ y = f(x) = g(x) ดงนน (x, y) ∈ g สรปไดวา f ⊆ g ในทานองเดยวกนพสจนไดวา g ⊆ f ทาใหไดวา f = g

ตวอยาง . . กาหนดใหf = {(x, y) ∈ R× R | y = x+ 2}

g =

{(x, y) ∈ R× R | y =

x2 − 4

x− 2

}จะไดวา f = g เพราะวา 2 ∈ Dom(f) แต 2 /∈ Dom(g) ดงนน Dom(f) = Dom(g)

. . นยามและชนดของฟงกชน

ตวอยาง . . กาหนดใหf : Z → Z กาหนดโดย f(x) = 2x+ 1

g : N → Z กาหนดโดย g(x) = 2x+ 1

จะไดวา f = g เพราะวา Dom(f) = Z = N = Dom(g)

บทนยาม . . กาหนดให f : A → B จะกลาววา. f เปนฟงกชนหนงตอหนง (one-to-one หรอ injection) หรอ ฟงกชน - กตอเมอ

∀x1, x2 ∈ A, f(x1) = f(x2) → x1 = x2

เขยนแทนฟงกชน - จาก A ไป B ดวย f : A1−1−−→ B

. f เปนฟงกชนทวถง (onto function หรอ surjection) กตอเมอ Ran(f) = B หรอ

∀y ∈ B∃x ∈ A, y = f(x)

เขยนแทนฟงกชนจาก A ทวถง B ดวย f : Aทวถง−−→ B

. f เปนฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถง (bijection) หรอการสมนยแบบหนงตอหนง (one-to-onecorrespondence) กตอเมอ f เปนฟงกชน - และ f เปนฟงกชนทวถงเขยนแทนฟงกชน - จาก A ทวถง B ดวย f : A

ทวถง−−→1−1

B

ตวอยาง . . ให f : R → R กาหนดโดย f(x) = 2x+ 1 พจารณาชนดของฟงกชน f

. ให x1, x2 ∈ R สมมต f(x1) = f(x2) แลว2x1 + 1 = 2x2 + 1

x1 = x2

ดงนน f เปนฟงกชน -. ให y ∈ R เลอก x = y−1

2∈ R จะไดวา

f(x) = f

(y − 1

2

)= 2

(y − 1

2

)+ 1 = y

ดงนน f เปนฟงกชนทวถงสรปไดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถงตวอยาง . . ให f : (0, 1) → R กาหนดโดย f(x) =

x

x+ 1พจารณาชนดของฟงกชน f

บทท . ฟงกชน. ให x1, x2 ∈ (0, 1) สมมต f(x1) = f(x2) แลว

x1

x1 + 1=

x2

x2 + 1

x1(x2 + 1) = x2(x1 + 1)

x1x2 + x1 = x2x1 + x2

x1 = x2

ดงนน f เปนฟงกชน -. เนองจาก x = x + 1 ทก ๆ x ∈ (0, 1) ดงนน f(x) = 1 x ∈ (0, 1) สรปไดวา Ran(f) = f ดงนน f

ไมเปนฟงกชนทวถงสรปไดวา f ไมเปนฟงกชน - แบบทวถงตวอยาง . . ให f : R → R กาหนดโดย f(x) = x2 − 1 พจารณาชนดของฟงกชน f

. จะเหนไดชดวา f(1) = 12 − 1 = 0 = (−1)2 − 1 = f(−1) แต 1 = −1 ดงนน f ไมเปนฟงกชน -

. เนองจาก x2 ≥ 0 ทก ๆ x ∈ R ดงนน y = f(x) = x2 − 1 ≥ 0 สรปไดวา Ran(f) = [0,∞) = R ดงนน f ไมเปนฟงกชนทวถง

สรปไดวา f ไมเปนฟงกชน - แบบทวถง จากการสงเกตขางตนจะไดวา f : R ทวถง−−→ [0,∞)

ดงนนถา f : A → B แลว f : Aทวถง−−→ Ran(f)

ตวอยาง . . ให f : N → N กาหนดโดย f(x) =

x2

เมอ x เปนจานวนคx+12

เมอ x เปนจานวนคพจารณาชนดของฟงกชน f

. เหนไดชดวา f(2) =2

2= 1 =

1 + 1

2= f(1) แต 2 = 1 ดงนน f ไมเปนฟงกชน -

. ให y ∈ N เลอก x = 2y ดงนน x เปนจานวนค จะไดวาf(x) = f(2y) =

2y

2= y

ดงนน f เปนฟงกชนทวถงสรปไดวา f ไมเปนฟงกชน - แบบทวถง

ตวอยาง . . ให f : N → Z กาหนดโดย f(x) =

x2

เมอ x เปนจานวนค−x+1

2เมอ x เปนจานวนค

จงแสดงวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง

. . นยามและชนดของฟงกชน

. จะพสจนวา f เปนฟงกชน - โดยวธแยงสลบท นนคอ ∀x1, x2 ∈ N, x1 = x2 → f(x1) = f(x2)

ให x1, x2 ∈ N สมมตวา x1 = x2

กรณท x1 และ x2 เปนจานวนค เนองจาก x1 = x2 จะไดวา x1

2= x2

2สรปไดวา f(x1) = f(x2)

กรณท x1 และ x2 เปนจานวนค เนองจาก x1 = x2 จะไดวา −x1+12

= −x2+12

สรปไดวา f(x1) = f(x2)

กรณท x1 เปนจานวนค และ x2 เปนจานวนค เนองจาก x1 ∈ N จะไดวา x1 ≥ 1

นนคอ −1− x1 ≤ −2 และเปนจานวนค ดงนน f(x1) = −x1+12

≤ −1

เนองจาก x2 ∈ N และเปนจานวนค จะไดวา x2 ≥ 2 ดงนน f(x2) =x2

2≥ 1 สรปไดวา

f(x1) ≤ −1 = 1 ≤ f(x2)

กรณท x1 เปนจานวนค และ x2 เปนจานวนค พสจนในทานองเดยวกบกรณทดงนน f เปนฟงกชน -

. ให y ∈ Zกรณท y > 0

จะไดวา 2y > 0 และเปนจานวนค เลอก x = 2y ดงนน

f(x) = f(2y) =2y

2= y

กรณท y ≤ 0

จะไดวา −2y − 1 < 0 และเปนจานวนค เลอก x = −2y − 1 ดงนน

f(x) = f(−2y − 1) = −−2y − 1 + 1

2= y

ดงนน f เปนฟงกชนทวถงสรปไดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง

บทท . ฟงกชน

. ฟงกชนคาจรงและพชคณตของฟงกชนบทนยาม . . จะเรยก f : A → R วา ฟงกชนคาจรง (real-value function) นนคอ Ran(f) ⊆ R

ในตาราเลมนจะกลาวถงฟงกชนคาจรงในกรณท A ⊆ R ตวอยาง f : R → R โดย f(x) = 2x + 1

เปนตน และเขยนยอ ๆ วา f(x) = 2x+ 1 แทนฟงกชนคาจรงซงมโดเมนเปนสบเซตจานวนจรงจะเหนไดวาฟงกชนคาจรงเปนสบเซตของ R × R ซงสามารถเขยนแทนดวยกราฟในระนาบสองมต

ดงทเคยแสดงมาแลวในเรองความสมพนธ ตอไปจะเปนการตรวจสอบความสมพนธ f ⊆ R × R วาเปนฟงกชนหรอไมโดยใชการทดสอบเสนแนวดง (verticle line test) หลกการคอลากเสนแนวดง (เสนตงฉากกบแกน X) ถา f เปนฟงกชนทก ๆ เสนแนวดงในบรเวณโดเมนตองตดกบกราฟความสมพนธเพยงจดเดยวเทานนตวอยาง . . ความสมพนธตอไปนเปนฟงกชนหรอไม โดยใชการทดสอบเสนแนวดง

. f1 = {(x, y) ∈ R× R | y = x2}

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

f1

X

X

X

X

เนองจากเสนแนวดงทกเสนบนโดเมนตดกราฟ f1 เพยงจดเดยวเสมอ ทาใหสรปไดวา f1 เปนฟงกชน. f2 = {(x, y) ∈ R× R | y2 = x− 1}

X

Y

1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

f2

X

X

. . ฟงกชนคาจรงและพชคณตของฟงกชน

เนองจากเสนแนวดง x = 4 ตดกราฟ f2 สองจด ทาใหสรปไดวา f2 ไมเปนฟงกชน

. f3 = {(x, y) ∈ R× R |x2 + y2 = 9}

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4 f3

X

X

เนองจากเสนแนวดง x = 2 ตดกราฟ f3 สองจด ทาใหสรปไดวา f3 ไมเปนฟงกชน

. f4 = {(x, y) ∈ R× R+ | x2 + y2 = 9}

X

Y

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

f4

XXXX

เนองจากเสนแนวดงทกเสนบนโดเมนตดกราฟ f4 เพยงจดเดยวเสมอ ทาใหสรปไดวา f4 เปนฟงกชน

สาหรบฟงกชนคาจรง f การตรวจสอบฟงกชนแบบหนงตอหนงทาไดโดยการทดสอบเสนแนวนอน(horizontal line test) ถา f เปนฟงกชน - ถาเสนแนวนอนทกเสนบนเรนจตดกราฟ f เพยงจดเดยวเทานน

ตวอยาง . . ฟงกชนคาจรงตอไปนเปนฟงกชน - หรอไม โดยใชการทดสอบเสนแนวนอน

. f(x) = 2x+ 1

บทท . ฟงกชน

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6 f

X

X

X

เนองจากเสนแนวนอนทกเสนบนเรนจตดกราฟ f เพยงจดเดยวเสมอ ทาใหสรปไดวา f เปนฟงกชน-

. g(x) = x2

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

g

XX

เนองจากเสนแนวนอน y = 4 ตดกราฟ g สองจด ทาใหสรปไดวา g ไมเปนฟงกชน -

ขอควรระวงในการทดสอบเสนแนวนอน ถาความสมพนธทกาหนดมายงไมทราบแนชดวาเปนฟงกชนคาจรงหรอไม จะตองทดสอบเสนแนวดงเพอตรวจสอบการเปนฟงกชนกอนถาไมเปนฟงกชนจะไมทดสอบเสนแนวนอน มเชนนนจะเกดขอผดพลาดในการสรปคาตอบได ตวอยางเชน

. . ฟงกชนคาจรงและพชคณตของฟงกชน

X

Y

1 2 3 4 5 6

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

f2

X

มองเผน ๆ จะไดวากราฟนเปนฟงกชน - แตคากลาวนผดเมอทดสอบเสนแนวดงพบวากราฟนไมเปนฟงกชนเพราะเสนแนวดงตดมากกวา จด

ในการกาหนด f(x) กระทาโดยไมรอบคอบอาจทาให f ทไดไมใช ฟงกชน ควรตรวจสอบการเปนฟงกชนทกครงเมอไมแนใจ นนคอการตรวจสอบวา การกาหนดฟงกชนเปนไปอยางแจมชด (well-defined) หรอไม ตวอยางเชน สาหรบ a

b∈ Q กาหนดโดย f(a

b) = a + b เปนการกาหนดแบบไมแจมชด

เพราะวา f(12) = 1 + 2 = 3 = 6 = 2 + 4 = f(2

4) แต 1

2= 2

4

บทนยาม . . ให f : A1 → R และ g : A2 → R โดยท A1 ∩ A2 = ∅ กาหนดให A = A1 ∩ A2 นยามพชคณตของฟงกชน (algebra of functions) ดงน

f + g : A → R กาหนดโดย (f + g)(x) = f(x) + g(x)

f − g : A → R กาหนดโดย (f − g)(x) = f(x) + g(x)

fg : A → R กาหนดโดย (fg)(x) = f(x)g(x)

fg: A− {x ∈ A | g(x) = 0} → R กาหนดโดย (f

g)(x) = f(x)

g(x)

ตวอยาง . . กาหนดให

f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 1), (7, 3)}g = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), (4, 5), (5, 2), (6, 0)}

บทท . ฟงกชน

จะไดวา Dom(f) ∩ Dom(g) = {1, 2, 3, 4, 5} ดงนนf + g = {(1, 2 + 0), (2, 3 + 1), (3, 4 + 2), (4, 5 + 5), (5, 1 + 2)}

= {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 10), (5, 3)}f − g = {(1, 2− 0), (2, 3− 1), (3, 4− 2), (4, 5− 5), (5, 1− 2)}

= {(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 0), (5,−1)}fg = {(1, 2 · 0), (2, 3 · 1), (3, 4 · 2), (4, 5 · 5), (5, 1 · 2)}

= {(1, 0), (2, 3), (3, 8), (4, 25), (5, 2)}f

g=

{(2,

3

1

),

(3,

4

2

),

(4,

5

5

),

(5,

1

2

)}=

{(2, 3), (3, 2), (4, 1),

(5,

1

2

)}ตวอยาง . . กาหนดให f(x) =

x

x2 − 1และ g(x) =

x

x+ 1

เนองจาก Dom(f) = R−{−1, 1} และDom(g) = R−{−1} ดงนน Dom(f)∩Dom(g) = R−{−1, 1}จะไดวา

(f + g)(x) = f(x) + g(x) =x

x2 − 1+

x

x+ 1=

x2

x2 − 1เมอ x = −1, 1

(f − g)(x) = f(x)− g(x) =x

x2 − 1− x

x+ 1=

2x− x2

x2 − 1เมอ x = −1, 1

(fg)(x) = f(x)g(x) =x

x2 − 1· x

x+ 1=

x2

(x2 − 1)(x+ 1)เมอ x = −1, 1

จะเหนวา g(x) = 0 กตอเมอ x = 0 ดงนน(f

g

)(x) =

f(x)

g(x)=

x

x2 − 1· x+ 1

x=

1

x− 1เมอ x = −1, 0, 1

. ฟงกชนผกผนและประกอบจากหวขอทผานมาความสมพนธผกผนยอมเปนความสมพนธ แตสาหรบฟงกชนเมอผกผนไมจาเปน

ตองเปนฟงกชนเสมอไปเชนฟงกชน f = {(1, 2), (3, 2)} เมอผกผนจะได f−1 = {(2, 1), (2, 3)} ไมเปนฟงกชน

ในหวขอนจะกลาวถงฟงกชนลกษณะใดทผกผนแลวยงเปนฟงกชนบทนยาม . . ให f : A → B จะกลาววา f เปนฟงกชนผกผนได (invertible function) กตอเมอ

f−1 = {(y, x) | (x, y) ∈ f} เปนฟงกชน

. . ฟงกชนผกผนและประกอบ

และเรยก f−1 วาฟงกชนผกผน (inverse function) ของ fตวอยาง . . ให f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} และ g = {(1, 2), (2, 1), (3, 2)}วธทา จะไดวา f−1 = {(2, 1), (3, 2), (4, 3)} และ g−1 = {(2, 1), (1, 2), (2, 3)} ดงนน f−1 เปนฟงกชน นนคอ f เปนฟงกชนผกผนได แต g−1 ไมเปนฟงกชน ดงนน g เปนฟงกชนผกผนไมไดทฤษฎบท . . ให f : A → B แลวจะไดวา

f เปนฟงกชนผกผนได กตอเมอ f เปนฟงกชน -บทพสจน. สมมต f เปนฟงกชนผกผนได นนคอ f−1 เปนฟงกชน ให (x1, y1) ∈ f และ (x2, y2) ∈ f

สมมตวา y1 = y2 เนองจาก (y1, x1) ∈ f−1 และ (y2, x2) ∈ f−1 และ f−1 เปนฟงกชน ดงนน x1 = x2 ในทางกลบกนสมมต f เปนฟงกชน - (x1, y1) ∈ f−1 และ (x2, y2) ∈ f−1 สมมตวา x1 = x2 เนองจาก(y1, x1) ∈ f และ (y2, x2) ∈ f และ f เปนฟงกชน - ดงนน y1 = y2 นนคอ f−1 เปนฟงกชน หรอกลาวไดวา f เปนฟงกชนผกผนไดทฤษฎบท . . f : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถง กตอเมอ f−1 : B → A เปนฟงกชน - แบบทวถงบทพสจน. สมมต f เปนฟงกชน - แบบทวถง นนคอ f เปนฟงกชน - โดยทฤษฎบท . . f เปนฟงกชนผกผนได หรอ f−1 เปนฟงกชน เนองจาก f เปนฟงกชนทวถงดงนน Ran(f) = B จาก Dom(f) =

A ทาใหไดวา Dom(f−1) = Ran(f) = B และ Ran(f−1) = Dom(f) = A สรปไดวา f−1 : B → A

เปนฟงกชนทวถง ให (x1, y1) ∈ f−1 และ (x2, y2) ∈ f−1 สมมตวา y1 = y2 เนองจาก (y1, x1) ∈ f และ(y2, x2) ∈ f และ f เปนฟงกชน ดงนน x1 = x2 ทาใหไดวา f−1 เปนฟงกชน - สรปไดวา f−1 : B → A

เปนฟงกชน - แบบทวถง ดานกลบกนใหทาเปนแบบฝกหดตวอยาง . . จงตรวจสอบวาฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนผกผนไดหรอไม พรอมใหเหตผล

. f : R → R นยามโดย f(x) = x2

วธทา เนองจาก f(1) = 12 = 1 = (−1)2 = f(−1) แต 1 = −1 ดงนน f ไมเปนฟงกชน - โดยทฤษฎบท . . สรปไดวา f เปนฟงกชนผกผนไมได

. f : N → R นยามโดย f(x) =x

x+ 1

วธทา ให x1, x2 ∈ N สมมต f(x1) = f(x2) ดงนนx1

x1 + 1=

x2

x2 + 1

x1(x2 + 1) = x2(x1 + 1)

x1x2 + x1 = x2x1 + x2

x1 = x2

ดงนน f เปนฟงกชน - โดยทฤษฎบท . . สรปไดวา f เปนฟงกชนผกผนได

บทท . ฟงกชน. f : R → R นยามโดย f(x) = 2x+ 1

วธทา จากตวอยาง . . จะไดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง โดยทฤษฎบท . . จะไดวาf−1 : R → R เปนฟงกชน - แบบทวถง นอกจากน

(x, y) ∈ f−1 ↔ (y, x) ∈ f ↔ x = 2y + 1 ↔ y =x− 1

2

ดงนน f−1 =

{(x, y) ∈ R× R | y =

x− 1

2

}หรอ f−1 : R → R กาหนดโดย f−1(x) =

x− 1

2

ตวอยาง . . ให f : R → R กาหนดโดย f(x) = x|x|จงแสดงวา f−1 เปนฟงกชน - แบบทวถง และหา f−1(x)

. ให x1, x2 ∈ R สมมต x1 = x2 แลวกรณท x1 ≥ 0 และ x2 ≥ 0 จะไดวา x2

1 = x22 ดงนน

f(x1) = x1|x1| = x21 = x2

2 = x2|x2| = f(x2)

กรณท x1 < 0 และ x2 < 0 จะไดวา −x21 = −x2

2 ดงนนf(x1) = x1|x1| = −x2

1 = −x22 = x2|x2| = f(x2)

กรณท x1 ≥ 0 และ x2 < 0 จะไดวา x1|x1| ≥ 0 และ x2|x2| < 0 ดงนนf(x2) = x2|x2| < 0 ≤ x1|x1| = f(x1)

กรณท x1 > 0 และ x2 ≥ 0 พสจนในทานองเดยวกบกรณทดงนน f เปนฟงกชน -

. ให y ∈ R

กรณท y ≥ 0 เลอก x =√y ∈ R จะไดวา

f(x) = f(√y) =

√y|√y| = y

ดงนน y ∈ Ran(f)กรณท y < 0 นนคอ −y > 0 เลอก x = −

√−y ∈ R จะไดวา

f(x) = f(−√−y) = −

√−y| −

√−y| = y

ดงนน f เปนฟงกชนทวถง

. . ฟงกชนผกผนและประกอบ

สรปไดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง โดยทฤษฎบท . . f−1 : R → R เปนฟงกชน - แบบทวถง ให(x, y) ∈ f−1 กตอเมอ x = y|y|

กรณท x ≥ 0 จะได y ≥ 0 ดงนน y2 = x หรอ y =√x

กรณท x < 0 จะได y < 0 ดงนน −y2 = x หรอ y = −√−x

ดงนน f−1 : R → R กาหนดโดย f−1(x) =

√x เมอ x ≥ 0

−√−x เมอ x < 0

ถาเปรยบเทยบฟงกชนคอเครองจกรชนหนงเรยกวา f เมอใส x หรอ input เขาไปในเครองจะได f(x)

ออกมาตามหนาทของเครองจกรชนดนน จากแนวคดนเมอประกอบเครองจกรอกเครองทเรยกวา g อกชนโดยนา f(x) หรอ output จากเครองจกร f ใสเขาไปในเครองจกร g แลวไดผลเปน g(f(x)) เรยกเครองจกรประกอบจากสองชนนวา h ดงภาพ

g(f(x))x f gf(x)

h

รปท แผนภาพแสดงเครองจกรทประกอบจาก f และ g

จะเรยกฟงกชน h ทไดจากแนวคดนวา ฟงกชนประกอบ (composite function) ซงมนยามดงตอไปนบทนยาม . . ให f : A → B และ g : C → D และ E = {x ∈ A | f(x) ∈ C} นยามฟงกชนประกอบของ f และ g เขยนแทนดวยสญลกษณ g ◦ f โดยท

. ถา E = ∅ แลว g ◦ f เปนฟงกชนวาง (empty function)

. ถา E = ∅ แลว g ◦ f : E → D กาหนดโดย g ◦ f(x) = g(f(x))

gf

E

x

A

f(x)

CB

g((x))

D

g ◦ f

รปท แผนภาพแสดงฟงกชนประกอบ g ◦ f

บทท . ฟงกชนขอสงเกต

. Dom(g ◦ f) = E = {x |x ∈ Dom(f) และ f(x) ∈ Dom(g)}

. เนองจากฟงกชนเปนความสมพนธ g ◦ f จะสอดคลองกบนยามความสมพนธประกอบนนคอg ◦ f = {(x, z) ∈ A×D |x ∈ Dom(f) ∧ ∃y ∈ Ran(f) ∩ Dom(g), y = f(x) ∧ z = g(y)}

. กรณท f : A → B และ g : B → C จะไดวา g ◦ f : A → C

ตวอยาง . . ให f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 1)} และ g = {(2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4)}จะไดวา g ◦ f = {(1, 3), (2, 2), (3, 5)} แสดงไดดงแผนภาพตอไปน

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

f g

1

2

3

1

2

3

4

5

g ◦ f

ตวอยาง . . ให f, g เปนฟงกชนคาจรงโดย f(x) =√x และ g(x) = x2 จงหา g ◦ f(x) และ f ◦ g(x)

พรอมทงโดเมนและเรจนของทงสองพจารณา f(x) =

√x จะไดวา Dom(f) = [0,∞) และ Ran(f) = [0,∞)

สาหรบ g(x) = x2 ม Dom(f) = R และ Ran(f) = [0,∞) ดงนนf ◦ g(x) = f(g(x)) = f(x2) =

√x2 = |x|

ทาใหไดวา Dom(f ◦ g) = R และ Ran(f ◦ g) = [0,∞)

g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(√x) = (

√x)2 = x เมอ x ≥ 0

ทาใหไดวา Dom(g ◦ f) = [0,∞) และ Ran(g ◦ f) = [0,∞)

จากตวอยางขางตนสรปไดวา f ◦ g ไมเทากบ g ◦ f และตองระมดระวงการหาโดเมนและเรจนของฟงกชนประกอบโดยการพจารณาตามนยามและความหมายอยางรดกมทฤษฎบท . . กาหนดให f : A → B และ g : B → C จะไดวา

. ถา f และ g เปนฟงกชน - แลว g ◦ f เปนฟงกชน -

. ถา f และ g เปนฟงกชนทวถง แลว g ◦ f เปนฟงกชนทวถง

. ถา f และ g เปนฟงกชน - แบบทวถง แลว g ◦ f เปนฟงก - แบบทวถง

. . ฟงกชนผกผนและประกอบ

บทพสจน. ให f : A → B และ g : B → C จะไดวา

. สมมต f และ g เปนฟงกชน - ให x1, x2 ∈ A โดยท g ◦ f(x1) = g ◦ f(x2) แลวg(f(x1)) = g(f(x2))

เนองจาก g เปนฟงกชน - ดงนน f(x1) = f(x2) สรปไดวา x1 = x2 เพราะ f เปนฟงกชน - ดงนน g ◦ f เปนฟงกชน -

. สมมต f และ g เปนฟงกชนทวถง ให y ∈ C เนองจาก g เปนฟงกชนทวถง จะไดวาม z ∈ B ซงg(z) = y และเนองจาก f เปนฟงกชนทวถง นนคอม x ∈ A ซง f(x) = z ดงนน

y = g(z) = g(f(x)) = g ◦ f(x)

สรปไดวา g ◦ f เปนฟงกชนทวถง. เปนผลมาจาก และ

ทฤษฎบท . . กาหนดให f : A → B และ g : B → C จะไดวา. ถา g ◦ f เปนฟงกชน - แลว f เปนฟงกชน -. ถา g ◦ f เปนฟงกชนทวถง แลว g เปนฟงกชนทวถง. ถา g ◦ f เปนฟงกชน - แบบทวถง แลว f เปนฟงก - และ g เปนฟงกชนแบบทวถง

บทพสจน. ให f : A → B และ g : B → C จะไดวา

. สมมต g ◦ f เปนฟงกชน - ให x1, x2 ∈ A โดยท f(x1) = f(x2) เนองจาก g ◦ f เปนฟงกชน จะไดg ◦ f(x1) = g(f(x1)) = g(f(x2)) = g ◦ f(x2)

เนองจาก g ◦ f เปนฟงกชน - ดงนน x1 = x2 สรปไดวา f เปนฟงกชน -

. สมมต g ◦ f เปนฟงกชนทวถง ให y ∈ C จะไดวาม x ∈ A ซง g ◦ f(x) = y ดงนน f(x) ∈ B และg(f(x)) = g ◦ f(x) = y

ดงนน g เปนฟงกชนทวถง. เปนผลมาจาก และ

บทท . ฟงกชน

บทนยาม . . ให A เปนเซตทไมใชเซตวาง ฟงกชนเอกลกษณ (identity function) บน A คอฟงกชนiA : A → A นยามโดย iA(x) = x

ตวอยาง . . กาหนดให f(x) =1− x

1 + xและ A = Dom(f) จงแสดงวา f = f−1 และ f ◦f = iA

เหนไดชดวา A = Dom(f) = R− {−1} ตอไปจะแสดงวา f เปนฟงกชน - ให x1, x2 ∈ A สมมตวาf(x1) = f(x2) แลว

1− x1

1 + x1

=1− x2

1 + x2

(1− x1)(1 + x2) = (1− x2)(1 + x1)

1 + x2 − x1 − x1x2 = 1 + x1 − x2 − x1x2

2x2 = 2x1

x2 = x1

ดงนน f เปนฟงกชน - โดยทฤษฎบท . . f เปนฟงกชนผกผนได และ (x, y) ∈ f−1 สอดคลอง

x =1− y

1 + y

x(1 + y) = 1− y

x+ xy = 1− y

xy + y = 1− x

y(1 + x) = 1− x

y =1− x

1 + x

จะเหนไดวา Dom(f−1) = Dom(f) = A และ f(x) = f−1(x) ทก ๆ x ∈ A ดงนน f = f−1

สาหรบ x ∈ A จะไดวาf ◦ f(x) = f(f(x)) =

1− f(x)

1 + f(x)

=1− 1−x

1+x

1 + 1−x1+x

=2x1+x2

1+x

= x = iA(x)

ดงนน f ◦ f = iA

ทฤษฎบท . . ให f : A → B แลว. f ◦ iA = f

. iB ◦ f = f

. . ฟงกชนผกผนและประกอบ

บทพสจน. ให f : A → B

. เนองจาก iA : A → A จะได Dom(f ◦ iA) = A = Dom(f) ให x ∈ A จะไดวาf ◦ iA(x) = f(iA(x)) = f(x)

ดงนน f ◦ iA = f

. เนองจาก iB : B → B จะได Dom(iB ◦ f) = A = Dom(f) ให x ∈ A จะไดวาiB ◦ f(x) = iB(f(x)) = f(x)

ดงนน iB ◦ f = f

ทฤษฎบท . . ให f : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถง จะไดวา. f ◦ f−1 = iB

. f−1 ◦ f = iA

บทพสจน. ให f : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถง โดยทฤษฎบท . . จะไดวา f−1 : B → A เปนฟงกชน - แบบทวถง

. จะไดวา f ◦ f−1 : B → B แลว Dom(f ◦ f−1) = B = Dom(iB) ให x ∈ B นนคอม z ∈ A ซงf−1(x) = z ดงนน f(z) = x จะไดวา

f ◦ f−1(x) = f(f−1(x)) = f(z) = x = iB(x)

ดงนน f ◦ f−1 = iB

. ทาเปนแบบฝกหด

ทฤษฎบท . . ให f : A → B เปนฟงกชนผกผนได แลว f−1 เปนฟงกชนผกผนได และ (f−1)−1 = f

บทพสจน. ให f : A → B เปนฟงกชนผกผนได โดยทฤษฎบท . . f เปนฟงกชน -ดงนน f−1 : Ran(f) → A เปนฟงกชน - แบบทวถง จะไดวา Dom((f−1)−1) = A = Dom(f) ให x ∈ A

จะไดวาม y ∈ B ซง f(x) = y นนคอ f−1(y) = x แลว(f−1)−1(x) = y = f(x)

ดงนน (f−1)−1 = f

บทท . ฟงกชน

ทฤษฎบท . . กาหนดให f : A → B และ g : B → C เปนฟงกชน - แบบทวถง จะไดวา(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

บทพสจน. สมมต f : A → B และ g : B → C เปนฟงกชน - แบบทวถง โดยทฤษฎบท . . จะไดวา f , g และ g ◦ f เปนฟงกชน - แบบทวถง ฉะนน f−1, g−1 และ (g ◦ f)−1 เปนฟงกชน - แบบทวถงโดยทฤษฎบท . . เหนไดชดวา Dom((g ◦ f)−1) = C = Dom(f−1 ◦ g−1)

สาหรบ x ∈ C จะไดวาม y ∈ B ซง g−1(x) = y จะไดวาม z ∈ A ซง f−1(y) = z ดงนนf−1 ◦ g−1(x) = f−1(g−1(x)) = f−1(y) = z

จาก f−1(y) = z จะได f(z) = y ฉะนน g ◦ f(z) = g(f(z)) = g(y) = x ดงนน(g ◦ f)−1(x) = z

สรปไดวา (g ◦ f)−1(x) = z = f−1 ◦ g−1(x) นนคอ (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1

. ภาพและภาพผกผนบทนยาม . . ให f : A → B และ U ⊆ A นยาม ภาพ (image) ของ U ภายใต f เขยนแทนดวย f [U ]

กาหนดโดยf [U ] = {y ∈ B | ∃x ∈ A, f(x) = y}

และ V ⊆ B นยาม ภาพผกผน (inverse image) ของ V ภายใต f เขยนแทนดวย f−1[V ] กาหนดโดยf−1[V ] = {x ∈ A | f(x) ∈ V }

fA

U

B

f [U ]

fA

f−1[V ]

B

V

รปท แผนภาพแสดงภาพและภาพผกผน

จากบทนยามขางตนจะไดขอสงเกตดงตอไปน. f [∅] = ∅ และ f−1[∅] = ∅

. . ภาพและภาพผกผน

. f [U ] ⊆ Ran(f) และ f [A] = Ran(f)

. f−1[V ] ⊆ Dom(f) และ f−1[B] = Dom(f)

. y ∈ f [U ] กตอเมอ ∃x ∈ U, y = f(x)

. x ∈ f−1[V ] กตอเมอ f(x) ∈ V

ตวอยาง . . ให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b, c, d} กาหนดฟงกชน f : A → B โดยf = {(1, a), (2, a), (3, b), (4, a), (5, c)}

จะไดวา. f [{1, 2}] = {a}

. f [{2, 4, 5}] = {a, c}

. f [A] = {a, b, c}

. f−1[{a, c}] = {1, 2, 4, 5}

. f−1[{b, c, d}] = {3, 5}

. f−1[B] = {1, 2, 3, 4, 5} = A

ตวอยาง . . ให f : R → R โดย f(x) = x2 − 1 จะไดวา. f [{0, 1, 2, 3}] = {0, 3}

. f [{−3,−2, 2, 3}] = {8, 3}

. f−1[{0, 1, 3}] = {−2,−1, 1, 0, 2}

. f−1[{−4,−3,−2}] = ∅

ตวอยาง . . ให f : R → R โดย f(x) = 2x+ 1 จงหา f [[1, 2]] และ f−1[(−3, 3]]

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

จากกราฟจะไดวา f [[1, 2]] = [3, 5] และ f−1[(−3, 3]] = (−2, 1]

ตวอยาง . . ให f : R → R โดย f(x) = x2 จงหาภาพและภาพผกผนตอไปน พรอมทงพสจน

บทท . ฟงกชน. f [(−1, 2]]

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

ดงนน f [(−1, 2]] = [0, 4]

บทพสจน. ให y ∈ f [(−1, 2]] จะไดวาม x ∈ (−1, 2] ซง f(x) = y นนคอ y = x2 เนองจาก−1 < x ≤ 2 ดงนน

0 ≤ x2 ≤ 4

0 ≤ y ≤ 4

ทาใหไดวา y ∈ [0, 4] ดงนน f [(−1, 2]] ⊆ [0, 4] ในทางกลบกนให y ∈ [0, 4] นนคอ 0 ≤ y ≤ 4 ดงนน0 ≤ √

y ≤ 2 เลอก x =√y จะไดวา x ∈ [0, 2] ⊆ (−1, 2] และ

f(x) = f(√y) = (

√y)2 = y

ดงนน y ∈ f [(−1, 2]] นนคอ [0, 2] ⊆ f [(−1, 2]] ทาใหสรปไดวา f [(−1, 2]] = [0, 4]

. f−1[[1, 4]]

X

Y

−3 −2 −1 0 1 2 3

1

2

3

4

5

ดงนน f−1[[1, 4]] = [−2,−1] ∪ [1, 2]

. . ภาพและภาพผกผน

บทพสจน. ให x ∈ f−1[[1, 4]] จะไดวา f(x) ∈ [1, 4] นนคอ1 ≤ f(x) ≤ 4

1 ≤ x2 ≤ 4

1 ≤ |x| ≤ 2

แลว x ∈ [−2,−1]∪[1, 2]ดงนน f−1[[1, 4]] ⊆ [−2,−1]∪[1, 2] ในทางกลบกนให x ∈ [−2,−1]∪[1, 2]กรณท −2 ≤ x ≤ −1 จะไดวา 1 ≤ x2 ≤ 4 ดงนน f(x) ∈ [1, 4] และกรณท 1 ≤ x ≤ 2 จะไดวา 1 ≤ x2 ≤ 4 ดงนน f(x) ∈ [1, 4] จะไดวา [−2,−1] ∪ [1, 2] ⊆ f−1[[1, 4]] ทาใหสรปไดวาf−1[[1, 4]] = [−2,−1] ∪ [1, 2]

ทฤษฎบท . . ให f : A → B จะไดวา. สมมต X ⊆ A และ Y ⊆ A ถา X ⊆ Y แลว f [X] ⊆ f [Y ]

. สมมต C ⊆ B และ D ⊆ B ถา C ⊆ D แลว f−1[C] ⊆ f−1[D]

บทพสจน. ให f : A → B

. สมมต X ⊆ A และ Y ⊆ A โดยท X ⊆ Y ให y ∈ f [X] จะไดวาม x ∈ X ซง f(x) = y เนองจากX ⊆ Y ดงนน x ∈ Y ทาใหไดวา y ∈ f [Y ] สรปไดวา f [X] ⊆ f [Y ]

. สมมต C ⊆ B และD ⊆ B โดยท C ⊆ D ให x ∈ f−1[C] จะไดวา f(x) ∈ C ⊆ D ดงนน f(x) ∈ D

ทาใหไดวา x ∈ f−1[D] สรปไดวา f−1[C] ⊆ f−1[D]

ทฤษฎบท . . ให f : A → B และ X ⊆ A และ Y ⊆ A จะไดวา. f [X ∪ Y ] = f [X] ∪ f [Y ]

. f [X ∩ Y ] ⊆ f [X] ∩ f [Y ]

บทพสจน. ให f : A → B และ X ⊆ A และ Y ⊆ A

. ให b ∈ f [X ∪ Y ] จะไดวาม a ∈ X ∪ Y ซง f(a) = b

ถา a ∈ X จะไดวา b ∈ f [X] ⊆ f [X] ∪ f [Y ]

ถา a ∈ Y จะไดวา b ∈ f [Y ] ⊆ f [X] ∪ f [Y ]

ดงนน f [X ∪ Y ] ⊆ f [X] ∪ f [Y ] ในทางกลบกนให b ∈ f [X] ∪ f [Y ]

ถา b ∈ f [X] จะไดวาม a ∈ X ⊆ X ∪ Y ซง f(a) = b นนคอ b ∈ f [X ∪ Y ]

ถา b ∈ f [Y ] จะไดวาม a ∈ Y ⊆ X ∪ Y ซง f(a) = b นนคอ b ∈ f [X ∪ Y ]

ดงนน f [X] ∪ f [Y ] ⊆ f [X ∪ Y ] สรปไดวา f [X ∪ Y ] = f [X] ∪ f [Y ]

บทท . ฟงกชน. ทาเปนแบบฝกหด

ทฤษฎบท . . ให f : A → B และ Aα ⊆ A ทก ๆ α ∈ Λ จะไดวา

. f[∪α∈Λ

Aα

]=∪α∈Λ

f [Aα]

. f[∩α∈Λ

Aα

]⊆∩α∈Λ

f [Aα]

บทพสจน. ให f : A → B และ Aα ⊆ A ทก ๆ α ∈ Λ

. ให y ∈ f

[∪α∈Λ

Aα

]แลวจะไดวาม x ∈

∪α∈Λ

Aα ซง f(x) = y นนคอม α0 ∈ Λ ซง x ∈ Aα0

ดงนน y ∈ f [Aα0 ] ทาใหไดวา y ∈∪α∈Λ

f [Aα] ในทางกลบกนให b ∈∪α∈Λ

f [Aα] จะไดวาม α1 ∈ Λ

ซง b ∈ f [Aα1 ] ดงนน f(a) = b สาหรบบาง a ∈ Aα1 ⊆∪α∈Λ

Aα ดงนน b ∈ f

[∪α∈Λ

Aα

]

. ทาเปนแบบฝกหด

ทฤษฎบท . . ให f : A → B และ C ⊆ B และ D ⊆ B จะไดวา. f−1[C ∪D] = f−1[C] ∪ f−1[D]

. f−1[C ∩D] = f−1[C] ∩ f−1[D]

บทพสจน. ให f : A → B และ C ⊆ B และ D ⊆ B

. สาหรบ x ∈ A ใด ๆx ∈ f−1[C ∪D] ↔ f(x) ∈ C ∪D

↔ f(x) ∈ C ∨ f(x) ∈ D

↔ x ∈ f−1[C] ∨ x ∈ f−1[D]

↔ x ∈ f−1[C] ∪ f−1[D]

สรปไดวา f−1[C ∪D] = f−1[C] ∪ f−1[D]

. ทาเปนแบบฝกหด

. . ภาพและภาพผกผน

ทฤษฎบท . . ให f : A → B และ Bα ⊆ B ทก ๆ α ∈ Λ จะไดวา

. f−1

[∪α∈Λ

Bα

]=∪α∈Λ

f−1[Bα]

. f−1

[∩α∈Λ

Bα

]=∩α∈Λ

f−1[Bα]

บทพสจน. ให f : A → B และ Bα ⊆ B ทก ๆ α ∈ Λ

. ทาเปนแบบฝกหด

. สาหรบ x ใด ๆ

x ∈ f−1

[∩α∈Λ

Bα

]↔ f(x) ∈

∩α∈Λ

Bα

↔ ∀α ∈ Λ, f(x) ∈ Bα

↔ ∀α ∈ Λ, x ∈ f−1[Bα]

↔ ∀x ∈∪α∈Λ

f−1[Bα]

ดงนน f−1

[∪α∈Λ

Bα

]=∪α∈Λ

f−1[Bα]

ทฤษฎบท . . ให f : A → B และ X ⊆ A และ Y ⊆ B จะไดวา. X ⊆ f−1[f [X]]

. f [f−1[Y ]] ⊆ Y

บทพสจน. ให f : A → B และ X ⊆ A และ Y ⊆ B

. ให x ∈ X จะไดวา f(x) ∈ f [X] นนคอ x ∈ f−1[f [X]] สรปไดวา X ⊆ f−1[f [X]]

. ให y ∈ f [f−1[Y ]] จะไดวาม x ∈ f−1[Y ] ซง f(x) = y นนคอ f(x) ∈ Y ทาใหไดวา y ∈ Y สรปไดวา f [f−1[Y ]] ⊆ Y

ทฤษฎบท . . ให f : A → B และ X ⊆ A และ Y ⊆ B จะไดวา. ถา f เปนฟงกชน - แลว f−1[f [X]] = X

. ถา f เปนฟงกชนทวถง แลว f [f−1[Y ]] = Y

บทท . ฟงกชนบทพสจน. ทาเปนแบบฝกหดทฤษฎบท . . ให f : A → B จะไดวา

ถา f เปนฟงกชนทวถง กตอเมอ B − f [C] ⊆ f [A− C] ทก ๆ C ⊆ A

บทพสจน. สมมตวา f เปนฟงกชนทวถง และ C ⊆ A ให y ∈ B − f [C] จะไดวา y ∈ B แต y /∈ f [C]

ดงนนม x ∈ A ซง f(x) = y ดงนน f(x) /∈ f [C] นนคอ x /∈ C ทาใหไดวา x ∈ A − C สรปไดวาy ∈ f [A − C] พสจนขากลบโดยสมมตวา B − f [C] ⊆ f [A − C] ทก ๆ C ⊆ A เลอก C = A จะไดวาB − f [A] = f [A− A] = f [∅] = ∅ นนคอ B ⊆ f [A] เนองจาก f [A] ⊆ B สรปไดวา f [A] = B ดงนน f

เปนฟงกชนทวถง

. การดาเนนการทวภาคหลายคนคงคนเคยกบการดาเนนการตาง ๆ เชน การบวก การลบ การคณ และการหาร ในหวขอนจะ

กลาวถงนยามของการเนนการใหอยในรปทวไปทเรยกวา การดาเนนการทวภาค (binary operation) ซงเปนฟงกชนหนงโดยนยามดงตอไปนบทนยาม . . ให G เปนเซตทไมใชเซตวาง แลว ∗ เปน การดาเนนการทวภาค บนเซต G กตอเมอ

∗ : G×G → G

นยมเขยน a ∗ b = c แทน ∗(a, b) = c

ตวอยาง . . ตอไปนเปนตวอยางการดาเนนการทวภาคทคนเคย เชน. + เปนการดาเนนการทวภาคบน Z เขยน a+ b แทน +((a, b))

. × เปนการดาเนนการทวภาคบน Z เขยน a× b แทน ×((a, b))

. ∪ เปนการดาเนนการทวภาคบนเอกภพสมพทธ เขยน A ∩B แทน ∩((A,B))

. ∧ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซตของประพจน เขยน p ∧ q แทน ∧((p, q))

ตวอยาง . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซตของจานวนนบ โดยa ∗ b = 1

2(a+ b)(a+ b− 1)

จะไดวา. 3 ∗ 2 = 1

2(3 + 2)(3 + 2− 1) = 10

. 2 ∗ 3 = 12(2 + 3)(2 + 3− 1) = 10

. . การดาเนนการทวภาค

. 1 ∗ (2 ∗ 3) = 1 ∗ 10 = 12(1 + 10)(1 + 10− 1) = 55

. (1 ∗ 2) ∗ 3 =(12(1 + 2)(1 + 2− 1)

)∗ 3 = 3 ∗ 3 = 1

2(3 + 3)(3 + 3− 1) = 15

ตวอยาง . . สาหรบ x และ y เปนจานวนจรงบวกใด ๆ กาหนดให x ∗ y ทมเงอนไขตอไปน(1) x ∗ (xy) = (x ∗ x)y

(2) x ∗ (1 ∗ x) = 1 ∗ x

(3) 1 ∗ 1 = 1

คาของ 2 ∗ (5 ∗ (5 ∗ 6)) เทากบเทาใดจากเงอนไขท ( ) แทน x ดวย 1 จะไดวา 1 ∗ y = (1 ∗ 1)y = (1)y = y ดงนน

1 ∗ y = y ทก ๆ จานวนจรงบวก y

จากเงอนไข ( ) จะไดวา สาหรบ x เปนจานวนจรงบวกใด ๆ แลวx ∗ (1 ∗ x) = 1 ∗ x

x ∗ x = x

จาก ( ) จะไดวา x ∗ (xy) = (x ∗ x)y = xy ดงนน x ∗ xy = xy ทก ๆ จานวนจรงบวก x และ y ดงนน5 ∗ 6 = 5 ∗ 5 · 6

5= 5 · 6

5= 6

5 ∗ (5 ∗ 6) = 5 ∗ 6 = 6

∴ 2 ∗ (5 ∗ (5 ∗ 6)) = 2 ∗ 6 = 2 ∗ 2 · 3 = 2 · 3 = 6 #

ตอไปจะกลาวถงการสราง ตารางเคยเลย (Cayley table) สาหรบการดาเนนการบนเซตจากดเพอใหแสดงถงคาตาง ๆ ทเกดจากการดาเนนการทกาหนดให โดยมหลกวาตวดาเนนการตวหนากาหนดไวเปนหลกแรกและตวดาเนนการตวหลงกาหนดไวแถวบนสด และผลการดาเนนการคอสวนตารางทเกดจากตวหนาและตวหลง ดงตวอยาง ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต {a, b, c}

∗ a b c

a a ∗ a a ∗ b a ∗ cb b ∗ a b ∗ b b ∗ cc c ∗ a c ∗ b c ∗ c

สาหรบการบวกและการคณบนเซต {1, 2, 3} เขยนตารางเคยเลยไดดงน+ 1 2 3

1

2

3

× 1 2 3

1

2

3

บทท . ฟงกชนตวอยาง . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต {−2, 0, 2} นยามโดย

a ∗ b = 1

2(a+ b)

สรางตารางเคยเลยไดดงน∗ −2 0 2

−2 −2 −1 0

0 −1 0 1

2 0 1 2

ตวอยาง . . ตารางเคยเลยของการดาเนนการทวภาค ∗ บนเซต G = {1, 2, 3, 4} คอ∗ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 1 4 3

3 3 4 1 2

4 4 3 2 1

. (1 ∗ 2) ∗ (3 ∗ 2) = 2 ∗ 4 = 3

. (4 ∗ 4) ∗ (3 ∗ 3) = 1 ∗ 1 = 1

. 1 ∗ (2 ∗ (3 ∗ 4)) = 1 ∗ (2 ∗ 2) = 1 ∗ 1 = 1

บทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G และให A ⊆ G ถา∀a, b ∈ A, a ∗ b ∈ A

แลวจะกลาววา เซต A มสมบตปด (closed) ภายใต ∗ หรอ ∗ มสมบตปดบนเซต A

เหนไดวาการบวกและการคณมสมบตปดบนเซตจานวนจรง จานวนเตม และจานวนตรรกยะตวอยาง . . ให E = {0,±2,±4,±6, ...} และ O = {±1,±3,±5, ...} จะเหนไดวา

. เซตของจานวนค E มสมบตปดภายใตการบวก และการคณ

. เซตของจานวนค O มสมบตปดภายใตการคณ แตไมมสมบตปดภายใตการบวก

ตวอยาง . . พจารณาการดาเนนการตอไปน. กาหนดให a ∗ b = a + b + 1 สาหรบ a, b ∈ N แลว ∗ มสมบตปดบนเซตของจานวนนบเนองจากสจพจนทวาผลบวกของจานวนนบยอมเปนจานวนนบ

. . การดาเนนการทวภาค

. กาหนดให a ∗ b = a+ b− 2 สาหรบ a, b ∈ N แลว ∗ ไมมสมบตปดบนเซตของจานวนนบเนองจาก1 ∗ 1 = 1 + 1− 2 = 0 /∈ N

สามารถตรวจสอบสมบตปดโดยใชตารางเคยเลยไดดงนตวอยางตอไปนตวอยาง . . กาหนดให a ∗ b = 3

√ab เมอ a, b ∈ {−1, 0, 1}

∗ −1 0 1

−1 1 0 −1

0 0 0 0

1 −1 0 1

จากตารางเคยเลยเหนไดชดวา ∗ มสมบตปดบนเซต {−1, 0, 1}

ตวอยาง . . กาหนดให A = {1,√2 + 1,

√2− 1} กบการคณ จะไดวา

× 1√2− 1

√2 + 1

1 1√2− 1

√2 + 1√

2− 1√2− 1 3− 2

√2 1√

2 + 1√2 + 1 1 3 + 2

√2

จากตารางเคยเลย ทาใหไดวา A ไมมมสมบตปดภายใตการคณบทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G ถา

∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a

แลวจะกลาววา เซต G มสมบตสลบท (commutative law) ภายใต ∗ หรอ ∗ มสมบตสลบทบนเซต G

เหนไดวาการบวกและการคณมสมบตการสบทบนเซตจานวนจรง จานวนเตม และจานวนตรรกยะตวอยาง . . พจารณาการดาเนนทวภาคตอไปน

. กาหนดให a ∗ b = a+ b+ 5 เมอ a, b ∈ Nเนองจาก a ∗ b = a+ b+ 5 = b+ a+ 5 = b ∗ a ดงนน N มสมบตสลบทภายใต ∗

. กาหนดให a ∗ b = a2 + ab เมอ a, b ∈ Zเนองจาก 2 ∗ 3 = 22 + 2(3) = 10 = 15 = 32 + 3(2) = 3 ∗ 2 ดงนน N ไมมสมบตสลบทภายใต ∗

การตรวจสอบสมบตสลบทจากตารางเคยเลย ทาไดโดยลากเสนผานแนวทแยงจากซายบนไปยงขวาลางถาคาแตละคาในตารางสมมาตรกนผานเสนทแยงจะไดสรปไดวาการดาเนนการนนมสมบตปดตวอยาง . . กาหนดตารางเคยเลยของการดาเนนทวภาค ∗

บทท . ฟงกชน

. นยาม ∗ บน G1 = {0, 1, 2} ดงน∗ 0 1 2

0 2 0 0

1 0 1 2

2 1 2 2

. นยาม ⋆ บน G2 = {1, 2, 3} ดงน⋆ 1 2 3

1 1 3 2

2 3 2 1

3 2 1 3

เหนไดชดวาขอ ตารางไมสมมาตรแตขอ สมมาตร ดงนน ∗ ไมมสมบตสลบทบน G1 แต ⋆ ไมมสมบตสลบทบน G2

บทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G ถา∀a, b, c ∈ G, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c

แลวจะกลาววา เซต G มสมบตการเปลยนกลม (associative law) ทภายใต ∗ หรอ ∗ มสมบตการจดกลมทบนเซต G

เหนไดวาการบวกและการคณมสมบตการจดกลมบนเซตจานวนจรง จานวนเตม และจานวนตรรกยะตวอยาง . . จงตรวจสอบสมบตการเปลยนกลมของการดาเนนทวภาคบนเซตในแตละขอตอไปน

. กาหนดให a ∗ b = a+ b+ 1 เมอ a, b ∈ Nให a, b, c ∈ N จะไดวา

a ∗ (b ∗ c) = a ∗ (b+ c+ 1)

= a+ (b+ c+ 1) + 1

= (a+ b+ 1) + c+ 1

= (a ∗ b) + c+ 1

= (a ∗ b) ∗ c

ดงนน ∗ มสมบตการเปลยนกลมบน N

. กาหนดให a ∗ b = a+ b+ ab เมอ a, b ∈ Zเนองจาก

1 ∗ (2 ∗ 3) = 1 ∗ (2 + 3 + 2 · 3) = 1 ∗ 11 = 1 + 11 + 1 · 11= 23

= 27 = 6 + 3 + 6 · 3 = 6 ∗ 3= (1 + 2 + 1 · 3) ∗ 3 = (1 ∗ 2) ∗ 3

ดงนน ∗ ไมมสมบตการเปลยนกลมบน Z

. . การดาเนนการทวภาค

บทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G ถาม e ∈ G ซงสอดคลอง∀ a ∈ G, a ∗ e = a = e ∗ a

แลวจะกลาววา เซต G ม e เปน เอกลกษณ (identity) ภายใต ∗

สาหรบเซตจานวนจรงการบวกม เปนเอกลกษณ และการคณม เปนเอกลกษณตวอยาง . . จากตารางเคยเลย

∗ 1 2 3

1 1 1 2

2 1 2 3

3 2 3 3

จะไดวา 2 เปนเอกลกษณเนองจาก 2 ∗ a = a = a ∗ 2 ทก ๆ a ∈ {1, 2, 3}

ตวอยาง . . จงหาเอกลกษณ (ถาม) ของการดาเนนบนเซตในแตละขอตอไปน. ให a ∗ b = a+ b− 7 เมอ a, b ∈ Zเนองจาก 7 ∈ Z และ 7∗a = 7+a−7 = a = a+7−7 = 7∗a ทก ๆ a ∈ Z ดงนน 7 เปนเอกลกษณ

. ให a ∗ b = 7ab เมอ a, b ∈ Z จะแสดงวา ∗ ไมมเอกลกษณบนจานวนเตม สมมตวาม e ∈ Z ซง

a ∗ e = a = e ∗ a สาหรบทก ๆ a ∈ Z

นนคอ 7ae = a หรอ a(7e− 1) = 0 เลอก a = 1 จะไดวา 7e = 1 นนคอ 7 | 1 เกดขอขดแยง สรปไดวา ∗ ไมมเอกลกษณบน Zขอสงเกต ∗ มเอกลกษณบน R โดยมเอกลกษณคอ 1

7

. ให a ∗ b = a− 2b เมอ a, b ∈ Q จะแสดงวา ∗ ไมมเอกลกษณบนจานวนเตม สมมตวาม e ∈ Q ซง

a ∗ e = a = e ∗ a สาหรบทก ๆ a ∈ Q

นนคอ a = a − 2e ดงนน e = 0 แต e ∗ a = 0 ∗ a = 0 − 2a = −2a = a เมอ a = 0 เกดขอขดแยงสรปไดวา ∗ ไมมเอกลกษณบน Q

ทฤษฎบท . . ถา G มเอกลกษณภายใตการดาเนนการ ∗ จะมไดเพยงตวเดยวเทานนบทพสจน. ให e1 และ e2 เปนเอกลกษณของ G ภายใต ∗ สาหรบทก ๆ a ∈ G จะไดวา

e1 ∗ a = a = a ∗ e1 และ e2 ∗ a = a = a ∗ e2

บทท . ฟงกชน

เนองจาก e1 ∈ G ดงนนe1 = e1 ∗ e2 = e2

บทนยาม . . ให ∗ เปนการดาเนนการทวภาคบนเซต G ทม e เปนเอกลกษณ ถา a ∈ G และ

∃ b ∈ G, a ∗ b = e = b ∗ a

จะกลาววา b วาตวผกผน (inverse) ของ a เขยนสญลกษณดวย a−1

ตวอยาง . . จงหาตวผกผน (ถาม) ของสมาชกทกตวจากตารางเคยเลย

∗ 1 2 3

1 1 2 3

2 2 1 3

3 3 3 3

จากตารางจะไดวา 1 เปนเอกลกษณ จะเหนวา และ ตวผกผนคอ และ ตามลาดบ แต ไมมตวผกผน

ตวอยาง . . กาหนดให a ∗ b = a+ b− 7 สาหรบ a, b ∈ Zจากตวอยาง . . จะไดวา เปนเอกลกษณเนองจาก 2 ∗ 12 = 2 + 12− 7 = 7 = 12 + 2− 7 = 12 ∗ 2 ดงนน เปนตวผกผนของเนองจาก −5 ∗ 19 = −5 + 19− 7 = 7 = 19 + (−5)− 7 = 19 ∗ (−5) ดงนน เปนตวผกผนของ −5

สาหรบจานวนเตม a ใด ๆ

a ∗ (14− a) = a+ (14− a)− 7 = 7 = (14− a) + a− 7 = (14− a) ∗ a

ดงนน 14− a เปนตวผกผนของ a

ตวอยาง . . ให G = {−1, 1,−i, i} เมอ i =√−1 กบการคณ แสดงตารางเคยเลยไดดงน

× −1 1 −i i

−1 1 −1 i −i

1 −1 1 −i i

−i i −i −1 1

i −i i 1 −1

จะไดวา เปนเอกลกษณ ดงนน −1, 1,−i และ i มตวผกผนคอ −1, 1, i และ −i ตามลาดบ

. . การจดการเรยนรเรองฟงกชน

. การจดการเรยนรเรองฟงกชนความรพนฐานเกยวกบฟงกชนมบทบาทสาคญในวชาคณตศาสตร ซงเปนพนฐานในการเรยนการสอน

คณตศาสตรในระดบสง ทาใหถกบรรจในหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช โดยเนอหาจะเนนไปทความเขาใขเกยวกบฟงกชน และการนาไปใชอธบายสถาณการณและใชแกปญหา ในการเรยนระดบชนมธยมศกษาปท และมธยมศกษาปท สายทเนนวทยาศาสตร และมธยมศกษาปทสายไมเนนวทยาศาสตร ดงนสาระท จานวนและพชคณตมาตรฐาน ค . เขาใจและวเคราะหรปแบบ ความสมพนธ ฟงกชน ลาดบและอนกรม และนาไปใช

ชน ตวชวด สาระการเรยนรแกนกลางม. . เขาใจและใชความรเกยวกบเกยวกบ ฟงกชนกาลงสอง

ฟงกชนกาลงสองในการแกปญหา - กราฟของฟงกชนกาลงสองทางคณตศาสตร - การนาความรเกยวกบฟงกชนกาลงสอง

ไปใชในการแกปญหาม. . ใชฟงกชนและกราฟของฟงกชน ฟงกชน

ไมเนน อธบายสถานการณทกาหนด - ฟงกชนและกราฟวทยาศาสตร (ฟงกชนเชงเสน ฟงกชนกาลงสอง

ฟงกชนขนบนได ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล)ม. . ใชฟงกชนและกราฟของฟงกชน ฟงกชนเนน อธบายสถานการณทกาหนด - ฟงกชนและกราฟฟงกชน

วทยาศาสตร . หาผลลพธของการบวก การลบ การคณ - การบวก การลบ การคณ การหารฟงกชนการหารฟงกชน หาฟงกชนประกอบและ - ฟงกชนประกอบฟงกชนผกผน - ฟงกชนผกผน

. ใชสมบตของฟงกชนในการแกปญหา

ตารางท ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางของเรองฟงกชนตวอยางการจดกจกรรมการเรยนรแบบ Eผ เขยนขอยกตวอยางการสอนสาระการเรยนร "ความสมพนธระหวางรากของสมการกาลงสองกบ

กราฟของฟงกชนกาลงสอง" โดยการใหกราฟของฟงกชนกาลงสองในรปแบบตาง ๆ และตงคาถามถงความสมพนธกบสมการกาลงสอง ซงทาได ขนตอนดงน

. ขนสรางความสนใจนาเขาสบทเรยนโดยทบทวนฟงกชนกาลงสอง และอธบายเกยวกบกราฟของฟงกชนกาลงสองทอยในรปแบบทวไปคอ f(x) = ax2 + bx + c และรปแบบมาตรฐาน f(x) = a(x − h)2 + k โดยแสดง

บทท . ฟงกชน

กราฟแกนกเรยน และถามเพอทบทวนรปแบบตาง ๆ และสวนประกอบของกราฟ เชน จดยอด เสนสมมาตร ลกษณะของกราฟ (หงาย หรอ ควา) คาสงสดหรอคาตาสด

X

Y

X

Y

X

Y

แบงนกเรยนเปนกลมๆละ คน พรอมใหบตรคาถามของสมการกาลงสองทง รปแบบ พรอมแจกกระดาษกราฟกลมละ แผน ตวอยางคาถาม ขอ เชน

ขอ : x2 + x+ 1 = 0 ขอ : x2 − 2x+ 1 = 0 และ ขอ : x2 − x− 2 = 0

. ขนสารวจคนหาใหนกเรยนแตละกลมหาคาตอบ พรอมทงเขยนกราฟกาลงสองจากสมการ จากตวอยางทง ขอทใหไว จะเขยนกราฟของ

ขอ : y = x2 + x+ 1 ขอ : y = x2 − 2x+ 1 และ ขอ : y = x2 − x− 2

ใชเวลา นาทใหการทากจกรรมดงกลาว โดยใหนกเรยนชวยกนวเคราะหความสมพนธของจานวนรากของสมการกาลงสองกบกราฟ รปแบบ

. ขนอธบายและลงขอสรปใหแตละกลมขอสรปคาตอบ และออกมาอภปรายคาตอบทได แลวนกเรยนในชนสรปความคดรวบยอดของสมการกาลงสอง ax2 + bx+ c = 0 สรปไดดงน

. กรณ b2 − ac > 0 สมการกาลงมรากของสมการเปนจานวนจรง ราก กราฟของฟงกชนกาลงสองจะตดแกน X ทงหมด จด

. กรณ b2 − ac = 0 สมการกาลงมรากของสมการเปนจานวนจรง ราก กราฟของฟงกชนกาลงสองจะตดแกน X ทงหมด จด คอจดยอด

. กรณ b2 − ac < 0 สมการกาลงไมมรากของสมการเปนจานวนจรง กราฟของฟงกชนกาลงสองจะไมตดแกน X

. . การจดการเรยนรเรองฟงกชน

. ขนขยายความรครแสดงโจทยทหลากหลาย และขยายไปสสมการทสองกวากาลงสอง เชนสมการกาลงสามและกาลงส อาจจะใชโปรแกรมทางคณตศาสตร เพอแสดงใหแนวคดเปนพนฐานเดมทไดสรปไว

. ขนประเมนใหนกเรยนทาใบงานรายบคคล

สรปฟงกชนคอความสมพนธทมสมบตวา แตละ (x1, y1) และ (x2, y2) ใน f ถา x1 = x2 แลว y1 = y2

สาหรบ (x, y) ∈ f เขยนแทนดวย y = f(x) มองวา x เปนถกตวสง (input) เขาไปในฟงกชน f และ y คอผลทแสดงออกมา (output) ถาฟงกชนทสบเซตของ A × B และมโดเมนเทากบ A จะเรยกวาฟงกชนจากA ไป B และพจารณาชนดของฟงกชนไดดงน

. f เปนฟงกชนหนงตอหนง กตอเมอ ∀x1, x2 ∈ A, f(x1) = f(x2) → x1 = x2

. f เปนฟงกชนทวถง กตอเมอ Ran(f) = B หรอ ∀y ∈ B ∃x ∈ A, y = f(x)

. f เปนฟงกชนหนงตอหนงแบบทวถง กตอเมอ f เปนฟงกชน - และ f เปนฟงกชนทวถงตอมาศกษาฟงกชนคาจรงและสนใจกรณทโดเมนเปนสบเซตของจานวนจรง ซงสามารถเขยนกราฟแทนความสมพนธเหลานนได และอาศยการตรวจสอบความเปนฟงกชนโดยใชเสนแนวดงทกครงลากตดกราฟตองตดเพยงจดเดยวถงจะเปนฟงกชน และในทานองเดยวกนใชเสนแนวนอนเพอตรวจสอบฟงกชนหนงตอหนง พชคณตของฟงกชน (บวก ลบ คณ หาร) โดยอาศยนยามการดาเนนการระหวางคา output โดยทตว input เปนตวเดยวกน ถดไปศกษาฟงกชนผกผนไดซงสรปไดวาฟงกชนทผกผนไดคอฟงกชนหนงตอหนง จากนนกลาวถงฟงกชนประกอบ

g ◦ f = {(x, z) | x ∈ Dom(f) ∧ ∃y ∈ Ran(f) ∩ Dom(g), y = f(x) ∧ z = g(y)}

และไดสมบตทคลายคลงกบสมบตของจานวนจรง จากนนกลาวถงภาพและภาพผกผนซงมนยามดงนf [U ] = {y ∈ B | ∃x ∈ A, f(x) = y} และ f−1[V ] = {x ∈ A | f(x) ∈ V }

และมสมบตทเดนชดดงน. f [U ∪ V ] = f [U ] ∪ f [V ]

. f [U ∩ V ] ⊆ f [U ] ∪ f [V ]

. f−1[U ∪ V ] = f−1[U ] ∪ f−1[V ]

. f−1[U ∩ V ] = f−1[U ] ∩ f−1[V ]

เมอกลาวถงการดาเนนการทวภาคซงเปนฟงกชนชนดหนง สาหรบ ∗ ตวดาเนนการทวภาคบน A จะศกษาสมบตการสลบท เปลยนกลม การมเอกลกษณ การมตวผกผน ดงนยามตอไปน

บทท . ฟงกชน

. สมบตสลบท : ทก ๆ x, y ∈ A จะไดวา x ∗ y = y ∗ x

. สมบตการเปลยนกลม : ทก ๆ x, y, z ∈ R จะไดวา (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

. สมบตการมเอกลกษณ : ม e ∈ A ซง x ∗ e = x = e ∗ x ทก ๆ x ∈ A

เรยก e วาเอกลกษณของ A ภายใต ∗

. สมบตการมตวผกผน : สาหรบ x ∈ A จะม y ∈ A ซง x ∗ y = e = y ∗ xเรยก y วาตวผกผนของ x ภายใต ∗

และสดทายกลาวถงการจดการเรยนรเรองฟงกชน โดยยกตวอยางเรองการนาฟงกชนกาลงสองไปใชอธบายจานวนรากของสมการกาลงสอง ทาใหเหนภาพการจดการเรยนร และประโชยนฟงกชนมากยงขน

คาถามทายบท. พจารณาความสมพนธตอไปนวาเปนฟงกชนจาก R ไป R หรอไมพรอมทงใหเหตผล ถาเปนจงตรวจสอบวาเปนฟงกชนหนงตอหนง ทวถง R และสมนยหนงตอหนงหรอไมพรอมทงใหเหตผล. f = {(x, y) ∈ R× R | y = 3x+ 2}

. f = {(x, y) ∈ R× R | y =√1− x}

. f = {(x, y) ∈ R× R | y = 1x−1

}

. f = {(x, y) ∈ R× R | y = xx2+1

}

. f = {(x, y) ∈ R× R | y = 2x2 + 1}

. f = {(x, y) ∈ R× R |x2 + y2 = 9}

. f = {(x, y) ∈ R× R | y = 3√x}

. f = {(x, y) ∈ R× R | y = |x− 1|}

. ให f, g : N → R โดยท f(x) = x− 1 และ g(x) = x2−1x+1

จงแสดงวาฟงกชน f = g

. ให f : N → N กาหนดโดย f(x) =

x2+ 1 เมอ x เปนจานวนค

x+12

เมอ x เปนจานวนคจงพจารณาวา f มสมบตใดตอไปนพรอมทงใหเหตผล. f มสมบตหนงตอหนง. f มสมบตทวถง

. ใหA เปนเซตทไมใชเซตวาง และฟงกชนχA : A → {0, 1} นยามโดย χA(x) =

1 เมอ x ∈ A

0 เมอ x /∈ A

เมอให A และ B เปนเซตทไมใชเซตวาง จงพจารณาขอความตอไปนวาเปนจรงหรอเทจ พรอมทงพสจน

. . การจดการเรยนรเรองฟงกชน. χA∩B = χA · χB . χA∪B = χA · χB + χA + χB

. ให f, g : A → B จงพจารณาขอความตอไปนวาจรงหรอไม พรอมทงพสจน. f ∪ g : A → B

. f ∩ g : A → B

. ถา f ∪ g : A → B แลว f = g

. ถา f ∩ g : A → B แลว f = g

. ถา f และ g เปนฟงกชนหนงตอหนง แลว f ∪ g : A → B เปนฟงกชนหนงตอหนง

. ถา f และ g เปนฟงกชนหนงตอหนง แลว f ∩ g : A → B เปนฟงกชนหนงตอหนง

. ถา f และ g เปนฟงกชนทวถง แลว f ∪ g : A → B เปนฟงกชนทวถง

. ถา f และ g เปนฟงกชนทวถง แลว f ∩ g : A → B เปนฟงกชนทวถง. จงตรวจสอบวาฟงกชนตอไปนมฟงกชนผกผนหรอไม พรอมใหเหตผล

. f : R → R นยามโดย f(x) = 1− 2x

. f : R → R นยามโดย f(x) = x3 + 1

. f : N → R นยามโดย f(x) = x−1x+1

. f : R+ → R นยามโดย f(x) =√x

. จงแสดงวา ถา f : A → B และ g : B → C แลว g ◦ f : A → C

. ให f : A → B และ g : B → C จงพสจนขอความตอไปน

. ถา g ◦ f มสมบตหนงตอหนง แลว f มสมบตหนงตอหนง

. ถา g ◦ f มสมบตทวถงบน C แลว g มสมบตทวถงบน C

. ให f : A → B จงพสจน

. ถา f มสมบตหนงตอหนง กตอเมอ ม g : B → A ซง g ◦ f = iA

. ถา f มสมบตทวถงบน B กตอเมอ ม g : B → A ซง f ◦ g = iB

. ถา f มสมบตทวถงบน B กตอเมอ f ◦ f−1 = iB

. ให A และ B เปนเซตไมใชเซตวาง และ f : A → B ( f−1 อาจไมเปนฟงกชนกได). จงแสดงวา f−1 ◦ f เปนความสมพนธสมมลบนเซต A

. จงหาเซตของชนสมมล [x]f−1◦f

. ให f : A → B และ g : B → C จงแสดงวา ถา g ◦ f = iA และ f ◦ g = iB แลว f มสมบตสมนยหนงตอหนง และ g = f−1

บทท . ฟงกชน

. ให f : A → B มสมบตทวถงบน B, g : B → C และ h : B → C จงแสดงวา ถา g ◦ f = h ◦ f แลวg = h

. ให f : B → C มสมบตหนงตอหนง, g : A → B และ h : A → B จงแสดงวา ถา f ◦ g = f ◦ h แลวg = h

. ใหฟงกชน f : R → R โดย f(x) = |x| จงหาภาพและภาพผกผนตอไปน พรอมทงพสจน. f [[0, 1]] . f [(−1, 1)] . f−1[(−1, 1)] . f−1[[1, 3)]

. ใหฟงกชน f : R → R โดย f(x) = x2 + 1 จงหาภาพและภาพผกผนตอไปน พรอมทงพสจน. f([0, 2]) . f([−2, 1)) . f−1((−1, 2]) . f−1((−2, 2))

. ให f : A → B และ g : B → C และ D ⊆ C จงแสดงวา (g ◦ f)−1[D] = f−1[g−1[D]]

. จงตรวจสอบสมบตปดของการดาเนนการทวภาค ∗ บนเซต A ตอไปน. นยาม a ∗ b = a2 − ab− 2b2

a+ bบน A = N

. นยาม a ∗ b = (a+ b)2 − (a+ b)

2บน A = N

. นยาม a ∗ b = เศษทเหลอจากการหาร a+ b ดวย 7 บน A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

. นยาม a ∗ b = (2a)(2b) บน A = {0, 2, 4, 6, 8, ...}

. นยาม a ∗ b = a+ b

a+ b+ 1บน A = [0, 1]

. จงตรวจสอบสมบตสลบท จดกลม เอกลกษณ และตวผกผน ของการดาเนนการทวภาค ∗ บนเซต G

ตอไปน. G = Z นยาม a ∗ b = a2b+ ab2

. G = R นยาม a ∗ b = a(−1)b + b(−1)a

. G = Q+ นยาม a ∗ b = a√b+ b

√a

. G = R+ นยาม a ∗ b = a2 + ab

a+ b+ ab

. G = Q นยาม a ∗ b = 8ab

. G = Z นยาม a ∗ b = 2a+ 2b

. G = R+ นยาม a ∗ b = 1

a+

1

b

. G = Z นยาม a ∗ b = 1− a− b

. G = Z นยาม a ∗ b = a+ b− π

. G = Q นยาม a ∗ b = 5ab

. G = R นยาม a ∗ b = ab+ 1

. G = R นยาม a ∗ b = a+ 2b

. G = Qc นยาม a ∗ b = a+ b√2

. G = R นยาม a ∗ b = a+ b+ ab

. G = R+ นยาม a ∗ b =√a+

√b

. G = R+ นยาม a ∗ b = a+ b√a+

√b

. . การจดการเรยนรเรองฟงกชน. จงหาตวผกผนของ −2

3, −2, 0, 1, 1

2และจานวนตรรกยะทกตวมตวผกผนหรอไม ของการดาเนน

การทนยามโดย a ∗ b = −ab สาหรบ a, b ∈ Q

. กาหนดให x} (x− y) = x2 + y2 เมอ x, y ∈ R จงหาคาของ 20} (5} 3)

. กาหนดให a⊙ b = 2a+ 3b เมอ a, b ∈ Q ถาม x, y, z ∈ Q ซง x⊙ (y⊙ z) = (x⊙ y)⊙ z และx⊙ z = 3 จงหาคาของ z ⊙ (y ⊙ x)− (z ⊙ y)⊙ x

. กาหนดให a ⊗ b = a(a + b) เมอ a, b ∈ Z+ ถา a ⊗ b = 55 แลวคามากสดของ b ⊗ a มคาเทาใด

. กาหนดให a⊕ b = a+ b+ 2 เมอ a, b ∈ Z จงหาตวผกผนของ 4 ภายใต ⊕

. กาหนดให a, b, c ∈ R ถาม a เปนอนเวอรสการบวกของ b จงหา c ททาให 4a+ 4b− 2c+ 12 = 0

. จงหาตวผกผนภายใตการคณของ √a+ 1−

√a เมอ a > 0

เอกสารอางองกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ฉววรรณ รตนประเสรฐ. ( ). วธการพสจนทางคณตศาสตร. นครปฐม: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร.ชวลต บรพาศรวฒน. ( ). หลกการคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ภาควชาคณตศาสตรและสถต

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย สถาบนราชภฏจนทรเกษม.ชะเอม สายทอง. ( ). ทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพโอเดยนสโตร.พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.พมพเพญ เวชชาชวะ. ( ). ระบบจานวน. กรงเทพฯ: ว.พรนท( )ไพโรจน เยยระยง. ( ). ตรรกศาสตรและทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.มานะ เอกจรยวงศ. ( ). ทฤษฎเซต. ลพบร: ศนยตาราและเอกสารทางวชาการ สถาบน

ราชภฏเทพสตร ลพบรสหมตรพรนตง แอนดพบลสชง จากด

อมพร มาคนอง. ( ). คณตศาสตรสาหรบครมธยม. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.

อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ( ). เซต ความสมพนธและฟงกชน กรงเทพฯ: โรงพมพพทกษการพมพ

Michael Haese, Sandra Haese, Mark umphries, Edward Kemp and Pamela Vollma. ( )Mathematics for the international student E MYP (Extended).Marleston, Australia : Haese& Harris Publications

Pual Glendinning. ( ). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions Ltd

แผนบรหารการสอนประจาบททหวขอเนอหาประจาบท

. การเทยบเทาของเซต

. เซตจากด

. เซตอนนตน

. เซตนบได

. เซตนบไมไดวตถประสงคเชงพฤตกรรม

. ตรวจสอบและพสจนการเทยบเทาระหวางเซตได

. สามารถแยกชนดของเซตและพสจนขอความดงกลาวได

. พสจนสมบตเกยวกบชนดของเซตได

. เขาใจหลกการเกยวกบเซตนบไดและนบไมไดวธและกจกรรมการเรยนการสอน

. วธสอน. วธสอนแบบบรรยาย ประกอบสออเลกทรอนกส. ใชสอทางอนเตอรเนต และใหแตละคนแสดงความคดเหน. วธสอนแบบอภปราย โดยใหหวขอเปนกลมและมานาเสนอหนาชน

. กจกรรมการเรยนการสอน. บรรยายสรปโดยใชสอการสอนประกอบ. ใหผ เรยนศกษาเนอหาจากชดการสอน หนงสอ ตารา เอกสารเพมเตม และสอออนไลน. อภปรายรายกลมตามหวขอทไดรบมอบหมาย. ใหผ เรยนทาแบบฝกหด ทดสอบความเขาใจในเนอหา. มอบหมายใหทา assignment เพอสงทายคาบ

สอการเรยนการสอน

. ชดการสอน เรอง "เซตจากดและเซตอนนต"

. สออเลกทรอนกส เรอง "เซตจากดและเซตอนนต"

. หนงสอ ตารา เอกสารทเกยวของ

การวดผลและประเมนผล. สงเกตการตอบคาถามและตงคาถามของผ เรยนในระหวางการบรรยายและซกถาม. วดผลจากการทาแบบฝกหดระหวางเรยนตามเนอหาทไดรบมอบหมาย. ตรวจ assignment บนทกคะแนนลงในใบบนทกคะแนน. ตรวจการทาการบาน บนทกลงในบนทกผลงาน

บททเซตจากดและเซตอนนต

เมอกลาวถงเซตจากดและเซตอนนต หลายคนคงเคยรจกเปนเบองตน ถาไดเรยนเรองเซตในระดบมธยม เชน {1, 2, 3} เปนเซตจากดเพราะมสมาชก ตว และ {1, 2, 3, ...} เปนเซตอนนตเพราะมสมาชกมากมายไมสามารถบอกไดวามจานวนเทาใด แตการแยกแยะดวยคากลาวขางตนอาจนาไปใชไดยาก ในหวขอนไดนาเสนอบทนยามของเซตจากดและเซตอนนต และกลาวถงสมบตบางประการของเซตเหลานน

. การเทยบเทาของเซตบทนยาม . . ให A และ B เปนเซตทไมใชเซตวาง จะกลาววา A เทยบเทา (equivalent) กบ B เขยนแทนดวย A ∼ B ถามฟงกชน f : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถง หรอ

A ∼ B กตอเมอ ∃ f : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถงตวอยางเชน {1, 2, 3} ∼ {a, b, c} โดยเลอกฟงกชน f ดงแผนภาพ

1

2

3

f

a

b

c

ทฤษฎบท . . ให A,B และ C เปนเซตทไมใชเซตวาง แลว. A ∼ A

. ถา A ∼ B แลว B ∼ A

. ถา A ∼ B และ B ∼ C แลว A ∼ C

บทพสจน. ให A,B และ C เปนเซตทไมใชเซตวาง

บทท . เซตจากดและเซตอนนต

. เนองจากฟงกชนเอกลกษณ iA : A → A ซงเหนไดชดวา iA เปนฟงกชน - แบบทวถง ดงนนA ∼ A

. สมมต A ∼ B จะไดวามฟงกชน f : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถง โดยทฤษฎบท . . จะไดวา f−1 : B → A เปนฟงกชน - แบบทวถง ดงนน B ∼ A

. สมมต A ∼ B และ B ∼ C จะไดวาม f : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถง และ g : B → C เปนฟงกชน - แบบทวถง โดยทฤษฎบท . . จะไดวา g ◦ f : A → C เปนฟงกชน - แบบทวถงดงนน A ∼ C

จากขอ จะสรปไดวาถา A = B แลว A ∼ B

ตวอยาง . . กาหนดให A = {2, 4, 6, 8, ...} จงแสดงวา A ∼ Nพจารณาแผนภาพ

A

1

2

3

...

fN

2

4

6

...

รปท แผนภาพแสดงการจบคของจานวนนบกบจานวนคให f : N → A กาหนดโดย f(x) = 2x

ให m,n ∈ N สมมต f(m) = f(n) นนคอ 2m = 2n ดงนน m = n ทาใหไดวา f เปนฟงกชน - สาหรบy ∈ A แลวจะได y = 2k สาหรบบางจานวนเตมบวก k ทาใหไดวา f(k) = 2k = y ดงนน f เปนฟงกชนทวถง สรปไดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง นนคอ A ∼ N

ตวอยาง . . จงแสดงวา [1, 4] ∼ [1, 5]

พจารณากราฟ

0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

f

. . เซตจากด

ให f : [1, 4] → [1, 5] กาหนดโดย f(x) = 43x− 1

3

ให x1, x2 ∈ [1, 4] สมมต f(x1) = f(x2) จะไดวา 43x1 − 1

3= 4

3x2 − 1

3ดงนน x1 = x2 นนคอ f เปนฟงกชน

- สาหรบ y ∈ [1, 5] จะไดวา1 ≤ y ≤ 5

3 ≤ 3y ≤ 15

4 ≤ 3y + 1 ≤ 16

1 ≤ 3y + 1

4≤ 4

เลอก x = 3y+14

∈ [1, 4] และ

f(x) = f

(3y + 1

4

)=

4

3

(3y + 1

4

)− 1

3= y

ทาใหไดวา f เปนฟงกชนทวถง สรปไดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง นนคอ [1, 4] ∼ [1, 5]

ตวอยาง . . สาหรบเซต A ทไมใชเซตวาง จะไดวา A× {a} ∼ A

บทพสจน. ให f : A× {a} → A กาหนดโดย f(x, a) = x เมอ x ∈ A

ถา (x1, a) = (x2, a) แลวจะไดวา x1 = x2 ดงนน f(x1, a) = x1 = x2 = f(x2, a) นนคอ f เปนไปอยางแจมชด ให f(x1, a) = f(x2, a) ทาใหไดวา x1 = x2 ดงนน f เปนฟงกชน - และให y ∈ A แลวจะไดวา(y, a) ∈ A× {a} และ f(y, a) = y ดงนน f เปนฟงกชนทวถง สรปไดวา A× {a} ∼ A

ตวอยาง . . จงแสดงวา (0, 1) ∼ R

พจารณา f : (−π2, π2) → R กาหนดโดย f(x) = tan x จะไดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง และให

g : (0, 1) → (−π2, π2) กาหนดโดย g(x) = πx− π

2พสจนไดโดยงาย (ทาเปนแบบฝกหด) วา g เปนฟงกชน

- แบบทวถง ดงนน f ◦ g : (0, 1) → R กาหนดโดย f ◦ g(x) = tan (πx− π2) เปนฟงกชน - แบบทวถง

. เซตจากดบทนยาม . . จะกลาววา A เปนเซตจากด (finite set) กตอเมอ A เปนเซตวาง หรอ A ∼ {1, 2, ..., k}สาหรบบางจานวนนบ k

การใหคาจากดความของเซตจากดทางคณตศาสตรสอดคลองกบการนบจานวนสมาชกของเซตแบบหนง ในกรณทเปนเซตวางหมายถงไมมสมาชกในเซตนนหรอมสมาชก ตว อกกรณหนงคอการนบจานวนสมาชกได k ตว ทาใหนยามจานวนสมาชกของเซตจากดไดดงนบทนยาม . . ให A เปนเซตจากด และ k เปนจานวนนบ

A = ∅ จะกลาววา A มสมาชก 0 ตว เขยนแทนดวย n(A) = 0

บทท . เซตจากดและเซตอนนตA ∼ {1, 2, 3, ..., k} จะกลาววา A มสมาชก k ตว เขยนแทนดวย n(A) = k

สาหรบ k ∈ N ถาA เปนเซตจากดทไมใชเซตวาง และ n(A) = k อาจจะเขยนแทนเซตA ดวย {a1, a2, ..., ak}ในกรณท A = {1, 2, 3, ..., k} เหนไดชดวา {1, 2, ..., k} ∼ {1, 2, ..., k} (โดยเลอกฟงกชนเอกลกษณบน A)ดงนน A เปนเซตจากดทสมาชก k ตว จะเรยกเซตนวา สวนตด (section) ของจานวนนบ เขยนสญลกษณแทนดวย Nk หรอ

Nk = {1, 2, 3, ..., k}

ทาใหไดวา A ∼ Nk เมอ A เปนเซตทไมใชเซตวางและ n(A) = k

ตวอยาง . . กาหนดให A = {2, 4, 6, 8, 10}พจารณาแผนภาพ

N5

1

2

3

4

5

fA

2

4

6

8

10

จะเหนไดวา f : N5 → A เปนฟงกชน - แบบทวถง ดงนน N5 ∼ A ทาใหไดวา n(A) = 5

ทฤษฎบท . . ให k ∈ N และ A เปนเซตใด ๆ โดยท a ∈ A แลวจะไดวาA มสมาชก k + 1 ตว กตอเมอ A− {a} มสมาชก k ตว

บทพสจน. สมมตวา A มสมาชก k + 1 ตว จะไดวา A ∼ Nk+1 นนคอม f : A → Nk+1 เปนฟงกชน -แบบทวถง

กรณท f(a) = k + 1 ให g : A− {a} → Nk กาหนดโดยg(x) = f(x) เมอ x = a

เหนไดวา g เปนฟงกชน - แบบทวถงกรณท f(a) = k + 1 ให a0 ∈ A และ f(a0) = k + 1 แสดงดงแผนภาพการจบค

• • · · · •a

· · · • •a0

•1

•2

· · · •f(a)

· · · •k

•k + 1

. . เซตจากด

ให h : A− {a} → Nk กาหนดโดย

h(x) =

f(x) เมอ x ∈ A− {a, a0}

f(a) เมอ x = a0

เนองจาก f [A− {a0}] = Nk จะไดวา h(x) ∈ Nk ทก x ∈ A− {a} นนคอ Ran(g) ⊆ Nk

ถา x1 = x2 = b จะไดวา h(x1) = f(a) = h(x2)

ถา x1 = x2 และ x1, x2 ∈ A − {a, a0} จะไดวา h(x1) = f(x1) = f(x2) = h(x2) เพราะ f เปนฟงกชน ทาใหไดวา h เปนไปอยางแจงชด ตอไปจะแสดงวา h เปนฟงกชน -

กรณท ให x1, x2 ∈ A− {a, a0} จะไดวา h(x1) = f(x1) และ h(x2) = f(x2) เนองจาก f เปนฟงกชน- ถา x1 = x2 แลว f(x1) = f(x2) สรปไดวา h(x1) = h(x2)

กรณท ให x1 หรอ x2 อยใน A− {a, a0} โดยไมเสยนยทวไปให x1 ∈ A− {a, a0} และ x2 = a0 แลวh(x1) = f(x1) = f(a) = h(x2)

และจะแสดงวา g เปนฟงกชนทวถง ให y ∈ Nk ถา y = f(a) จะได h(a0) = f(a) = y กรณy = f(a) จะไดวาม x ∈ A− {a} ซง f(x) = y เนองจาก x = a0 เพราะวา f(a0) = k + 1 = y และf เปนฟงกชน - ดงนน h(x) = f(x) = y ดงนน h เปนฟงกชนทวถง

ในนยกลบกน สมมตวา A− {a} มสมาชก k ตว ให t เปนฟงกชน - จาก A− {a} ไปทวถง Nk แสดงไดโดยงายวา t : A → Nk+1 กาหนดโดย

t(x) =

t(x) เมอ x ∈ A− {a}

k + 1 เมอ x = a

เปนฟงกชน - แบบทวถง ดงนน A มสมาชก k + 1 ตวทฤษฎบท . . ถา A ∼ Nn สาหรบบางจานวนนบ n แลวจะไมมฟงกชน - จากสบเซตแท B ของ A

ใดๆไปทวถง Nn ยงไดอกวา B เปนเซตจากด และจานวนสมาชกของ B นอยกวา n ตวบทพสจน. พสจนโดยอปนยเชงคณตศาสตรบนจานวนนบ n สมมตวาทฤษฎบทเปนจรงสาหรบ k ตวเมอ k ∈ N ให A ∼ Nk+1 และ B เปนสบเซตแททไมใชเซตวางของ A (กรณ B เปนเซตวางเหนไดชด) ใหb ∈ B โดยทฤษฎบท . . จะไดวา A−{b} มสมาชก k ตว เนองจาก B−{b} เปนสบเซตแทของ A−{b}

โดยสมมตฐานของการอปนยจะไดวา ไมมฟงกชน - จาก B − {b} ไปทวถง Nk ดงนนโดยทฤษฎบท. . จะไดวาไมมฟงกชน - จาก B ไปทวถง Nk+1 นอกจากนโดยสมมตฐานของการอปนยจะไดอกวา

B−{b} มสมาชกนอยกวา k ตว สมมตวา B−{b} มสมาชกm ตว จะไดวา B มสมาชกm+1 ตว ดงนนB มสมาชกนอยกวา k + 1 ตวขอสงเกต โดยทฤษฎบทนสรปไดวาสบเซตของเซตจากดยอมเปนเซตจากดเสมอ

บทท . เซตจากดและเซตอนนต

บทแทรก . . ถา A เปนเซตจากดทไมใชเซตวาง จะไดวาไมมฟงกชน - จาก A ไปทวถงสบเซตแทใดๆของ A

บทพสจน. ให A เปนเซตจากดทไมใชเซตวาง จะไดวา A ∼ Nn เมอ n ∈ N นนคอม f : A → Nn เปนฟงกชน - แบบทวถง สมมตวามฟงกชน g : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถง เมอ B เปนสบเซตแทของ A จะไดวา f ◦ g−1 : B → Nn เปนฟงกชน - แบบทวถง ซงขดแยงกบทฤษฎบท . . ดงนนไมมฟงกชน - จาก A ไปทวถงสบเซตแทใดๆของ A

บทแทรก . . จานวนสมาชกของเซตจากด A มเพยงจานวนเดยวเทานน

บทพสจน. กรณท A = ∅ เหนไดชด ให A เปนเซตจากดทไมใชเซตวาง โดยท n(A) = n และ n(A) = m

นนคอ A ∼ Nn และ A ∼ Nm จะไดวาม f และ g เปนฟงกชน - จาก A ไปทวถง Nn และ Nm ตามลาดบสมมต n = m โดยไมเสยนบทวไปให m < n ดงนน Nm เปนสบเซตแทของ Nn และ f ◦ g−1 เปนฟงกชน- จาก Nn ไปทวถง Nm เกดขอขดแยงกบบทแทรก . . ดงนน m = n

ทฤษฎบท . . ให A เปนเซตทไมใชเซตวาง และ n ∈ N จะไดวาขอความตอไปนสมมลกน

. มฟงกชนจาก {1, 2, ..., n} ไปทวถง A

. มฟงกชน - จาก A ไป {1, 2, ..., n}

. A เปนเซตจากด และมสมาชกอยางมาก n ตว

บทพสจน. ทาเปนแบบฝกหด

บทแทรก . . ให A และ B เปนเซตจากด จะไดวา A ∩B และ A−B เปนเซตจากด

บทพสจน. เนองจาก A ∩ B และ A − B เปนสบเซตของ A โดยทฤษฎบท . . จะไดวา A ∩ B และA−B เปนเซตจากด

ทฤษฎบท . . ให A และ B เปนเซตจากด จะไดวา A ∪B เปนเซตจากด

โดยเฉพาะอยางยงถา A ∩B = ∅ แลว

n(A ∪B) = n(A) + n(B)

บทพสจน. ให A และ B เปนเซตจากด จะไดวา A ∼ Nn เนองจาก B−A เปนเซตจากด ดงนน B−A ∼Nm จะไดวาม f : A → Nn และ g : B − A → Nm

. . เซตจากด

• • • · · ·

A B

•

f g

h

• • · · · •

•1

•2

•3

· · · •n

•1

•2

· · · •m

n+ 1 n+ 2 · · · n+m

ให h : A ∪B → Nn+m กาหนดโดย

h(x) =

f(x) เมอ x ∈ A

g(x) + n เมอ x ∈ B − A

เนองจาก A ∪ B = A ∪ (B − A) และ A ∩ (B − A) = ∅ ทาให h เปนไปอยางแจมชด ตอไปจะแสดงวาh เปนฟงกชน - ให x1, x2 ∈ A ∪B สมมต x1 = x2

กรณ x1, x2 ∈ A เนองจาก f เปนฟงกชน - ดงนน h(x1) = f(x1) = f(x2) = h(x2)

กรณ x1, x2 ∈ B − A เนองจาก g เปนฟงกชน - ดงนน h(x1) = g(x1) + n = g(x1) + n = h(x2)

กรณ x1 หรอ x2 อยใน A โดยไมเสยนยทวไปให x1 ∈ A และ x2 ∈ B − A จะไดวาh(x1) = f(x1) ≤ n < 1 + n ≤ g(x2) + n = h(x2)

ให y ∈ Nn+m กรณ y ≤ n จะไดวาม x ∈ A ซง h(x) = f(x) = y เพราะวา f เปนฟงกชนทวถง ในกรณทy > n ดงนน n < y < n+m นนคอ 0 < y − n < m เนองจาก g เปนฟงกชนทวถง Nm จะม x ∈ B − A

ซง g(x) = y − n ดงนนh(x) = g(x) + n = y

ดงนน h เปนฟงกชน - แบบทวถง ทาใหสรปไดวา n(A ∪B) = n+ k หรอn(A ∪B) = n(A) + n(B − A)

ในกรณท A ∩B = ∅ จะไดวา B − A = B ทาใหสรปไดวาn(A ∪B) = n(A) + n(B)

บทแทรก . . ให A และ B เปนเซตจากด จะไดวา n(A) = n(A−B) + n(A ∩B)

บทพสจน. เนองจาก A = (A−B)∪ (A∩B) และ (A−B)∩ (A∩B) = ∅ โดยทฤษฎบท . . แลวn(A) = n(A−B) + n(A ∩B)

บทท . เซตจากดและเซตอนนตบทแทรก . . ให A และ B เปนเซตจากด จะไดวา n(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)

บทพสจน. เนองจาก A ∪B = (A−B) ∪B และ (A−B) ∩B = ∅ โดยทฤษฎบท . . จะไดวาn(A ∪B) = n(A−B) + n(B)

โดยบทแทรก . . จะไดวา n(A−B) = n(A)− n(A ∩B) สรปไดวาn(A ∪B) = n(A) + n(B)− n(A ∩B)

บทแทรก . . ให A,B และ C เปนเซตจากด จะไดวาn(A ∪B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C)− n(A ∩B)− n(A ∩ C)− n(B ∩ C) + n(A ∩B ∩ C)

บทพสจน. ทาเปนแบบฝกหดทฤษฎบท . . ให A และ B เปนเซตจากด จะไดวา A×B เปนเซตจากดบทพสจน. ให A และ B เปนเซตจากด ให A = {a1, a2, ..., an} และ B = {b1, b2, ..., bm} พจารณากราฟตอไปน

•

•

•

...

•

•

•

•

...

•

•

•

•

...

•

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

•

•

•

...

•

a1 a2 a3 · · · an

b1

b2

b3

...

bm

กาหนดให f : A×B → Nnm โดยf((ai, bj)) = (i− 1)m+ j ทก (ai, bj) ∈ A×B

แสดงไดโดยงายวา f เปนไปไดอยางแจมชด ตอไปจะแสดงวา f เปนฟงกชน - ให (ai, bj), (ak, bt) ∈A×B สมมตวา f((ai, bj)) = f((ak, bt)) นนคอ (i− 1)m+ j = (k− 1)m+ t สมมตวา i = k โดยไมเสยนยทวไป i < k นนคอ i ≤ k − 1 ทาใหสรปไดวา

(i− 1)m+ j ≤ (i− 1)m+m = im ≤ (k − 1)m < (k − 1)m+ t

ทาใหไดวา f((ai, bj)) = f((ak, bt)) ซงขดแยงกบสมมตฐาน ทาใหไดวา i = k แลว(i− 1)m+ j = (k − 1)m+ t = (i− 1)m+ t

จะไดวา j = t นนคอ (ai, bj) = (ak, bt) ดงนน f เปนฟงกชน - โดยทฤษฎบท . . จะไดวา A×B เปนเซตจากด

. . เซตอนนต

. เซตอนนตบทนยาม . . เซตอนนต (infinite set) คอเซตทไมใชเซตจากดอาศยกฎแยงสลบทจากบทแทรก . . จะไดวา

ถามฟงกชน - จาก A ไปทวถง สบเซตแทบางเซตของ A แลว A เปนเซตอนนตหรอกลาวอกนยหนงคอ ถามสบเซตแท B ของ A ซง B ∼ A แลว A เปนเซตอนนตทฤษฎบท . . N เปนเซตอนนตบทพสจน. เนองจาก B = {2, 4, 6, ...} เปนสบเซตแทของ N โดยตวอยาง . . จะสรปไดวา B ∼ N

ดงนน N เปนเซตอนนตโดยบทแทรก . . ทาใหไดขอสรปดงทฤษฎบทตอไปนทฤษฎบท . . เซตทมสบเซตเปนเซตอนนตยอยเปนเซตอนนตเนองจาก N เปนเซตอนนต และ N เปนสบเซตของ Z,Q และ R ดงนน Z,Q และ R เปนเซตอนนตตวอยาง . . พสจน (0, 1) เปนเซตอนนต โดยแสดงวา (0, 1

2) ∼ (0, 1)

0 1

1

f

ให f : (0, 1) → (0, 12) กาหนดโดย f(x) = 1

2x

ให x1, x2 ∈ (0, 1) สมมตวา x1 = x2 แลว f(x1) = 12x1 = 1

2x2 = f(x2) ดงนน f เปนฟงกชน - ให

y ∈ (0, 12) แลว 0 < y < 1

2นนคอ 0 < 2y < 1 เลอก x = 2y ∈ (0, 1) จะไดวา

f(x) = f(2y) =1

2(2y) = y

ดงนน f เปนฟงกชนทวถง สรปไดวา (0, 12) ∼ (0, 1) เนองจาก (0, 1

2) เปนสบเซตแทของ (0, 1) ดงนน (0, 1)

เปนเซตอนนตทฤษฎบท . . ให A เปนเซต จะไดวาขอความตอไปนสมมลกน

. มฟงกชนหนงตอหนง f : N → A

. มฟงกชน - จาก A ไปทวถง สบเซตแทบางเซตของ A

บทท . เซตจากดและเซตอนนต. A เปนเซตอนนต

บทพสจน. (2) ↔ (3) เปนจรงโดยทฤษฎบททผานมาพสจนเพยง (1) ↔ (2) ทาเปนแบบฝกหดตวอยาง . . จงแสดงวา (0, 1

2) เปนเซตอนนต

ให f : N → (0, 12) กาหนดโดย f(x) =

1

x+ 2

สาหรบทกจานวนนบ x จะไดวา x + 2 ≥ 3 จะไดวา 0 < 1x+2

< 13< 1

2ดงนน Ran(f) ⊆ (0, 1

2) นนคอ f

เปนไปอยางแจมชด ให x1, x2 ∈ N สมมตวา f(x1) = f(x2) จะไดวา 1x1+2

= 1x2+2

ดงนน x1 = x2 ฉะนนf เปนฟงกชน - โดยทฤษฎบท . . สรปไดวา (0, 1

2) เปนเซตอนนต

ทฤษฎบท . . ให A เปนเซตอนนต ถา A ∼ B แลว B เปนเซตอนนตบทพสจน. ให A เปนเซตอนนต โดยทฤษฎบท . . จะไดวาม f : N → A เปนฟงกชน - สมมตวาA ∼ B จะไดวาม g : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถง โดยทฤษฎบท . . ทาใหไดวา g ◦f : N → B

เปนฟงกชน - และโดยทฤษฎบท . . สรปไดวา B เปนเซตอนนต

. เซตนบไดในหวขอนจะกลาวในการแยกแยะชนดของเซตแตละชนดออกจากกน โดยดความสามารถในการนบจานวนสมาชกของเซตนน ๆบทนยาม . . จะกลาววาเซตA เปนเซตอนนตแบบนบได (countably infinite set หรอ denumerableset) ถา A ∼ N

ขอสงเกต เนองจาก N ∼ N ดงนน N เปนเซตอนนตแบบนบไดทฤษฎบท . . Z เปนเซตอนนตแบบนบไดบทพสจน. พจารณาแผนภาพ

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

ให f : N → Z กาหนดโดย

f(x) =

x2

เมอ x เปนจานวนค−x+1

2เมอ x เปนจานวนค

โดยตวอยาง . . จะไดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง ดงนน Z ∼ N สรปไดวา Z เปนเซตอนนตแบบนบได

. . เซตนบได

ทฤษฎบท . . ให A เปนเซตอนนตแบบนบได และ B ∼ A จะไดวา B เปนเซตอนนตแบบนบไดบทพสจน. ให A เปนเซตอนนตแบบนบได จะไดวา A ∼ N สมมต A ∼ B โดยทฤษฎบท . . จะไดวาB ∼ N สรปไดวา B เปนเซตอนนตแบบนบไดตวอยาง . . ให A เปนเซตอนนตแบบนบได จะไดวา A× {a} เปนเซตอนนตแบบนบไดจะไดวา A ∼ N นนคอม f : A → N เปนฟงกชน - แบบทวถง ให

g : A× {a} → N กาหนดโดย g((x, a)) = f(x)

เหนไดโดยงายวา g เปนไปไดอยางแจมชด ให (x1, a), (x2, a) ∈ A×{a} สมมตวา g((x1, a)) = g((x2, a))

จะไดวา f(x1) = f(x2) เนองจาก f เปนฟงกชน - ทาใหไดวา x1 = x2 ดงนน g เปนฟงกชน - ใหy ∈ N เนองจาก f เปนฟงกชนทวถง จะไดวาม z ∈ A ซง f(z) = y และไดวา (z, a) ∈ A× {a} แลว

g((z, a)) = f(z) = y

ดงนน g เปนฟงกชนทวถง ดงนน A× {a} ∼ N สรปไดวา A× {a} เปนเซตอนนตแบบนบไดบทนยาม . . จะกลาววาเซต A เปนเซตนบได (countable set) ถา A เปนเซตจากด หรอเปนเซตอนนตแบบนบไดตวอยาง . . กาหนดใหE = {2n : n ∈ Z} เปนเซตของจานวนค ให f : Z → E กาหนดโดย f(x) = 2x

เหนไดชดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง ทาใหไดวา Z ∼ E เนองจาก Z เปนเซตนบได ดงนน E เปนเซตนบได ในทานองเดยวกนเซตของจานวนค O = {2n + 1 : n ∈ Z} เปนเซตนบได โดยให g : Z → O

กาหนดโดย g(x) = 2x+ 1

ทฤษฎบทตอไปนเปนวธการตรวจสอบเซตนบได เพอใชในเซตทตรวจสอบโดยนยามเปนไปไดโดยยาก

ทฤษฎบท . . ให A เปนเซตไมใชเซตวาง จะไดวาขอความตอไปนสมมลกน. มฟงกชนทวถง f : N → A

. มฟงกชนหนงตอหนง g : A → N

. A เปนเซตนบไดบทแทรก . . สบเซตของเซตนบไดยอมเปนเซตนบไดบทพสจน. ใหA เปนเซตนบได โดยทฤษฎบท . . มฟงกชนทวถง g : A → N ใหB ⊆ A กรณทB = ∅

จะไดบทแทรกดงกลาว สมมต B = ∅ ให f : B → N กาหนดโดย f(x) = g(x) ดงนน f เปนฟงกชน -ดงนน B เปนเซตนบไดขอสงเกต ถา A และ B เปนเซตนบได แลว A ∩B และ A−B เปนเซตนบได เพราะวา A ∩B ⊆ A และA−B ⊆ A

บทท . เซตจากดและเซตอนนต

บทแทรก . . ถา A เปนเซตซงมฟงกชนจากเซตนบไดไปทวถง A แลว A เปนเซตนบไดบทพสจน. สมมตวา f เปนฟงกชนจากเซตนบได B ไปทวถง A เนองจาก B เปนเซตนบไดทไมใชเซตวางโดยทฤษฎบท . . จะไดวาม f : N → B เปนฟงกชนทวถง ดงนน f ◦ g เปนฟงกชนจาก N ไปทวถง A

ดงนน A เปนเซตนบไดตอไปจะพจารณาการนบสมาชกของ N× N ดงกราฟตอไปน

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

รปท แสดงการนบสมาชกของเซต N× N

จากกราฟสามารถสรางฟงกชน f : N × N → N โดย f((x, y)) = 2x−1(2y − 1) ถาพสจนไดวา f เปนฟงกชน - แบบทวถง จะสรปไดวา N × N เปนเซตนบได แตการพสจนดงกลาวมความยงยากและตองตรวจสอบทง อยาง ดงนนจะใชทฤษฎบท . . ในการพสจนดงทฤษฎบทตอไปนทฤษฎบท . . N× N เปนเซตนบไดบทพสจน. ให f : N× N → N กาหนดโดย

f((x, y)) = 2x · 3y

จะแสดงวา f เปนฟงกชน - ให x, y, z, w ∈ N ซง2x · 3y = 2z · 3w

ถา x < z จะไดวา 3y = 2z−x ·3w ซงเปนไปไมไดเพราะ เปนจานวนค ในทานองเดยวกนถา x > z จะเกดขอขดแยง ดงนน x = z ทาใหไดวา 3y = 3w สมม y = w โดยไมเสยนยทวไปให y < w จะไดวา 1 = 3w−y

เปนไปไมได ดงนน y = w ทาใหไดวา f f เปนฟงกชน - โดยทฤษฎยท . . สรปไดวา N× N เปนเซตนบได

จากทฤษฎบททาใหไดขอสรปวา N × N ∼ N ทาใหเพยงพอในการพสจนเซตอนนตแบบนบไดโดยแสดงวาเซตนนสมมลกบสบเซตของ N× N

ทฤษฎบท . . ให A และ B เปนเซตนบได แลว A ∪B เปนเซตนบได

. . เซตนบไมได

บทพสจน. เพยงพอทจะพสจนวาเฉพาะกรณอนนต ให A และ B เปนเซตอนนต สมมตวา A ∩ B = ∅จะไดวา

A = {x11, x12, x13, ...} และ B = {x21, x22, x23, ...}

ให f : A∪B → {1, 2} ×N กาหนดโดย f(xij) = (i, j) เมอ i ∈ {1, 2} และ j ∈ N พสจนไดโดยงายวา f

เปนฟงกชน - แบบทวถง ดงนน A∪B ∼ {1, 2} ×N เนองจาก {1, 2} ×N ⊆ N×N ดงนน A∪B เปนเซตนบไดทฤษฎบท . . ให A และ B เปนเซตนบไดแลว A×B เปนเซตนบไดบทพสจน. กรณท A = ∅ หรอ B = ∅ จะไดวา A× B = ∅ ทาใหไดวา A× B เปนเซตนบได สมมตวาA = ∅ และ B = ∅ เปนเซตนบได โดยทฤษฎบท . . จะไดวามฟงกชน - f : A → N และ g : B → N

ให h : A× B :→ N× N กาหนดโดย h((x, y)) = (f(x), g(y)) จะไดวา h เปนฟงกชน - ดงนน A× B

เปนเซตนบไดจากทฤษฎบทนจะไดวา Z× Z เปนเซตอนนตแบบนบได เนองจาก Z เปนเซตอนนตแบบนบได

ทฤษฎบท . . Z× Z เปนเซตอนนตแบบนบไดทฤษฎบท . . Q เปนเซตอนนตแบบนบไดบทพสจน. ให f : N× N → Q+ กาหนดโดย

f((x, y)) =x

y

เหนไดโดยงายวา f เปนฟงกชนทวถง โดยบทแทรก . . จะไดวา Q+ เปนเซตนบได เนองจาก N ⊆ Q+

และเปนเซตอนนต ดงนน Q+ เปนเซตอนนต และไดอกวา Q+ ∼ Q− โดยใชฟงกชน g(x) = −x เมอg : Q+ → Q− ดงนน Q = Q+ ∪ {0} ∪Q− เปนเซตอนนตแบบนบได

จากทฤษฎบทนทาใหสรปไดวา Q×Q เปนเซตอนนตแบบนบได

. เซตนบไมไดบทนยาม . . เซตนบไมได (uncountable set) คอเซตทไมใชเซตนบได

การพสจนเซตนบไมไดมความยงยากและซบซอนเมอใชบทนยามดงกลาว จาเปนตองอาศยผลทไดจากทฤษฎบทตางๆทไดมาในหวขอกอนน ซงสรปไดดงน

. เซตนบไมไดเปนเซตอนนต (โดยนยามของเซตนบได)

. ถา A ⊆ B และ A เปนเซตนบไมได แลว B เปนเซตนบไมได (โดยบทแทรก . . )

. ถา A ∼ B จะไดวา A เปนเซตนบไมได กตอเมอ B เปนเซตนบไมได (โดยทฤษฎบท . . )

บทท . เซตจากดและเซตอนนต

. ให A เปนเซตทไมใชเซตวาง จะไดวา A เปนเซตนบไมได กตอเมอ ไมมฟงกชนจาก N ไปทวถง A

(โดยทฤษฎบท . . )ทฤษฎบท . . เซตของสบเซตทงหมดของ N หรอ P(N) เปนเซตนบไมไดบทพสจน. ให f : N → P(N) และให A = {k ∈ N : k /∈ f(k)} ดงนน A ∈ P(N) จะแสดงวา f ไมเปนฟงกชนทวถง โดยแสดงวา f(n) = A ทกๆ n ∈ N ให n ∈ N

กรณท n ∈ f(n) โดยนยามของ A จะไดวา n /∈ A นนคอ n ∈ f(n)− A จะไดวา f(n) = A

กรณท n /∈ f(n) โดยนยามของ A จะไดวา n ∈ A นนคอ n ∈ A− f(n) จะไดวา f(n) = A

ทาใหสรปไดวา P(N) เปนเซตนบไมได

ทฤษฎบท . . (0, 1) เปนเซตนบไมไดบทพสจน. ให x ∈ (0, 1) สามารถเขยนไดในรป

x = 0.x1x2x3...

โดยแตละ i ∈ N xi เปนจานวนเตมซง 0 ≤ xi ≤ 9 ไดเพยงวธเดยวเทานน (พฒน อดมกะวานช. .หนา ) ให f : N → (0, 1) จะแสดงวา f ไมเปนฟงกชนทวถง สาหรบ kN เขยนในรปทศนยมไดวธเดยวดงนน

f(k) = 0.ak1ak2ak3...

เลอก x = 0.x1x2x3... โดยทxi =

0 เมอ aii = 1

1 เมอ aii = 1

จะแสดงวาไมมจานวนบ n ใดๆ ซง f(n) = x สมมตวามจานวนนบ n f(n) = x จะไดวา0.an1an2an3... = f(n) = x = 0.x1x2x3...

ดงนน xn = ann ซงเกดขอขดแยงกบการเลอก x ดงนน f ไมเปนฟงกชนทวถง สรปไดวา (0, 1) เปนเซตนบไมไดทฤษฎบท . . R เปนเซตนบไมไดบทพสจน. เนองจาก (0, 1) ⊆ R และเปนเซตนบไมได ดงนน R เปนเซตนบไมไดทฤษฎบท . . Qc เปนเซตนบไมไดบทพสจน. สมมต Qc เปนเซตนบได เนองจาก Q เปนเซตนบได และ R = Q ∪Qc ทาใหไดวา R เปนเซตนบได ซงขดแยงกบทฤษฎบท . . ดงนน Qc เปนเซตนบไมได

. . เซตนบไมได

สรปในบทนไดกลาวถงเซตจากดและเซตอนนต เรมตนจากการเทยบเทาของเซต

A ∼ B กตอเมอ ∃ f : A → B เปนฟงกชน - แบบทวถงเซตใดกตามทเทยบเทากบ Nk บางจานวนนบ k หรอไมกเปนเซตวาง เรยกเซตนวาเซตจากด และเซตทไมใชเซตจากดเรยกวาเซตอนนต และเซตทเทยบเทากบ N จะเรยกวาเซตอนนตแบบนบได เซตนบไดจะหมายถงเซตอนนตแบบนบไดและเซตจากด และเซตทไมใชเซตนบไดเรยกวา เซตนบไมได

คาถามทายบท. จงพสจนวา " สบเซตของเซตจากดยอมเปนเซตจากด ". จงพสจนวา " สบเซตแทของเซตจากดยอมมสมาชกนอยกวาจานวนของสมาชกของเซตจากดนน ". ให {Aα}α∈Λ เมอ Aα เปนเซตจากดทกๆ α ∈ Λ จงพสจนวา

. ∪α∈Λ

Aα เปนเซตจากด . ∪α∈Λ

Aα เปนเซตจากด . ∏α∈Λ

Aα เปนเซตจากด

. จงแสดงวา A ∪B เปนเซตจากด กตอเมอ A และ B เปนเซตจากด

. จงแสดงวา A ∪B เปนเซตอนนต กตอเมอ A หรอ B เปนเซตอนนต

. ให A และ B เปนเซต จงพสจนหรอยกตวอยางคานขอความตอไปน. A ∩B เปนเซตอนนต กตอเมอ A และ B เปนเซตอนนต. A ∩B เปนเซตจากด กตอเมอ A หรอ B เปนเซตจากด. A−B เปนเซตจากด กตอเมอ A เปนเซตจากด. A−B เปนเซตอนนต กตอเมอ A เปนเซตอนนต

. ให A และ B เปนเซต และ F = {f | f : A → B} จงแสดงวา ถา A และ B เปนเซตจากด แลว Fเปนเซตจากด

. จงพสจนขอความตอไปน. เซตของจานวนคเปนเซตนบได. สบเซตของเซตนบไดยอมเปนเซตนบได. เซตใดกตามมสบเซตทเปนเซตนบไมไดยอมเปนเซตนบไมได. ให A และ B เปนเซต ถา A ∼ B และ A เปนเซตนบได แลว B เปนเซตนบได

เอกสารอางองกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ชะเอม สายทอง. ( ). ทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพโอเดยนสโตร.พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ไพโรจน เยยระยง. ( ). ตรรกศาสตรและทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.มานะ เอกจรยวงศ. ( ). ทฤษฎเซต. ลพบร: ศนยตาราและเอกสารทางวชาการ สถาบน

ราชภฏเทพสตร ลพบร.อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ( ). เซต ความสมพนธ

และฟงกชน กรงเทพฯ: โรงพมพพทกษการพมพ.Arthur Benjamin. ( ). Magic of math. New York: Hachette book group, Inc.Brian Clegg. ( ). A brief history of infinity. UK: CPI group (UK) Ltd.F. William Lawvere and Robert Rosebrugh. ( ). Sets for Mathematics. UK: Cambridge

university press.Pual Glendinning. ( ). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions Ltd.

แผนบรหารการสอนประจาบททหวขอเนอหาประจาบท

. สจพจนสนาม

. กฎไตรวภาค

. คาสมบรณ

. สจพจนความบรบรณ

. การจดการเรยนรเรองจานวนจรงวตถประสงคเชงพฤตกรรม

. เขาใจสจพจนสนามและนาไปใชพสจนได

. เขาใจกฎไตรวภาคและสามารถนาไปพสจนได

. เขาใจความหมายของคาสมบรณและนาไปแกโจทยปญหาเบองตนได

. เขาใจสจพจนความบรบรณและพสจนสมบตทเกยวของได

. รจกการจดการเรยนรเรองจานวนจรงวธและกจกรรมการเรยนการสอน

. วธสอน. วธสอนแบบบรรยาย ประกอบสออเลกทรอนกส. ใชสอทางอนเตอรเนต และใหแตละคนแสดงความคดเหน. วธสอนแบบอภปราย โดยใหหวขอเปนกลมและมานาเสนอหนาชน

. กจกรรมการเรยนการสอน. บรรยายสรปโดยใชสอการสอนประกอบ. ใหผ เรยนศกษาเนอหาจากชดการสอน หนงสอ ตารา เอกสารเพมเตม และสอออนไลน. อภปรายรายกลมตามหวขอทไดรบมอบหมาย. ใหผ เรยนทาแบบฝกหด ทดสอบความเขาใจในเนอหา. มอบหมายใหทา assignment เพอสงทายคาบ

สอการเรยนการสอน

. ชดการสอน เรอง "ระบบจานวนจรง"

. สออเลกทรอนกส เรอง "ระบบจานวนจรง"

. หนงสอ ตารา เอกสารทเกยวของ

การวดผลและประเมนผล. สงเกตการตอบคาถามและตงคาถามของผ เรยนในระหวางการบรรยายและซกถาม. วดผลจากการทาแบบฝกหดระหวางเรยนตามเนอหาทไดรบมอบหมาย. ตรวจ assignment บนทกคะแนนลงในใบบนทกคะแนน. ตรวจการทาการบาน บนทกลงในบนทกผลงาน

บททระบบจานวนจรง

การสรางระบบจานวนจรงนนทาไดหลายวธ วธหนงคอเรมตนจากสจพจนเปอาโน (Peano postulates)ซงเกยวกบสมบตจานวนนบ หลงจากนนกสรางจานวนเตม จานวนตรรกยะ และจานวนจรงในทสด ในบทนจะไมกลาวถงการสรางระบบจานวนจรง แตจะกลาวถงสจพจนสนามอนเปนขอตกลงเบองตนเพอใหไดมาซงสมบตตาง ๆ ของจานวนจรง และศกษาความบรบรณของจานวนจรง

. สจพจนสนามสจพจน (สจพจนสนาม (Field axioms)) สมมตวามเซต R ซงเรยกวา เซตของจานวนจรง (the setof real numbers) และมการดาเนนการทวภาค + และ · ซงเรยกวา การบวก (addition) และ การคณ(multiplication) ตามลาดบ โดยมสมบตดงน(R ) สมบตปด (closer laws)

สาหรบการบวก : ทก ๆ x, y ∈ R จะไดวา x+ y ∈ Rสาหรบการคณ : ทก ๆ x, y ∈ R จะไดวา x · y ∈ R

(R ) สมบตสลบท (commutative laws)สาหรบการบวก : ทก ๆ x, y ∈ R จะไดวา x+ y = y + x

สาหรบการคณ : ทก ๆ x, y ∈ R จะไดวา x · y = y · x

(R ) สมบตการเปลยนหม (associative laws)สาหรบการบวก : ทก ๆ x, y, z ∈ R จะไดวา (x+ y) + z = x+ (y + z)

สาหรบการคณ : ทก ๆ x, y, z ∈ R จะไดวา (x · y) · z = x · (y · z)

(R ) สมบตการมเอกลกษณ (existence of identities)สาหรบการบวก : ม 0 ∈ R ซง x+ 0 = x = 0 + x ทก ๆ x ∈ R

เรยก 0 วาเอกลกษณการบวก (additive identity)สาหรบการคณ : ม 1 ∈ R ซง x · 1 = x = 1 · x ทก ๆ x ∈ R

เรยก 1 วาเอกลกษณการคณ (multiplicative identity)

บทท . ระบบจานวนจรง(R ) สมบตการมตวผกผน (existence of inverses)

สาหรบการบวก : สาหรบ x ∈ R จะม −x ∈ R ซง x+ (−x) = 0 = (−x) + x

เรยก −x วาตวผกผนการบวกของ xสาหรบการคณ : สาหรบ x ∈ R ซง x = 0 จะม x−1 ∈ R ซง x · x−1 = 1 = x−1 · x

เรยก x−1 วาตวผกผนการคณของ x(R ) สมบตการแจกแจง (distributive law)

สาหรบ x, y, z ∈ R จะไดวาx · (y + z) = x · y + x · z และ (y + z) · x = y · x+ z · x

เพอความสะดวก xy แทน x · y จากสจพจนสนาม (R ) จะไดวา. −0 = 0 เพราะวา 0 + 0 = 0

. 1−1 = 1 เพราะวา 1 · 1 = 1

ทฤษฎบท . . ขอความตอไปนเปนจรง. สาหรบเซตจานวนจรงม 0 เพยงตวเดยวเทานนทเปนเอกลกษณการบวก. สาหรบเซตจานวนจรงม 1 เพยงตวเดยวเทานนทเปนเอกลกษณการคณ

บทพสจน. . สมมตวาม a ∈ R เปนเอกลกษณการบวก นนคอ x+ a = x สาหรบทก ๆ x ∈ R จะไดวา 0 + a = 0 โดย (R ) ทาใหไดวา

0 = 0 + a = a

ดงนน a = 0

. สมมตวาม a ∈ R เปนเอกลกษณการคณ นนคอ xa = x สาหรบทก ๆ x ∈ R จะไดวา 1a = 1 โดย(R ) ทาใหไดวา

1 = 1a = a

ดงนน a = 1

ทฤษฎบท . . ให x ∈ R จะไดวา x0 = 0 = x0

บทพสจน. ให x ∈ R จะไดวาa0 = a(0 + 0) โดย (R )

= a0 + a0 โดย (R )เนองจากเอกลกษณการบวกมเพยงตวเดยวคอ 0 ดงนน a0 = 0 ในทานองเดยวกน

0a = (0 + 0)a = 0a+ 0a

ดงนน 0a = 0

. . สจพจนสนาม

ทฤษฎบท . . ให x, y และ z เปนจานวนจรง ถา x = y แลว x+ z = y + z

บทพสจน. เหนไดชดจากสมมบตการเทากนทฤษฎบท . . (สมบตการตดออกสาหรบการบวก) ให x, y, z ∈ R ถา x+ y = x+ z แลว y = z

บทพสจน. ให x, y, z ∈ R สมมต x+ y = x+ z จะไดวาy = 0 + y โดย (R )

= ((−x) + x) + y โดย (R )= (−x) + (x+ y) โดย (R )= (−x) + (x+ z) โดยสมมตฐาน= ((−x) + x) + z โดย (R )= 0 + z โดย (R )= z โดย (R )

ดงนน y = z

ทฤษฎบท . . ขอความตอไปนเปนจรง. สาหรบจานวนจรง x ใด ๆ จะมตวผกผนการบวกเพยงตวเดยวเทานน. สาหรบจานวนจรง x ใด ๆ ทไมใชศนย จะมตวผกผนการคณเพยงตวเดยวเทานน

บทพสจน. ให x ∈ R

. สมมตวา a ∈ R เปนตวผกผนของ x ดงนน x+ a = 0 = a+ x ทาใหไดวาa = a+ 0 โดย (R )

= a+ (x+ (−x)) โดย (R )= (a+ x) + (−x) โดย (R )= 0 + (−x) โดยสมมตฐาน= (−x) โดย (R )

ดงนน a = −x

. ให x = 0 สมมตวา a ∈ R เปนตวผกผนของ x ดงนน xa = 1 = ax ทาใหไดวาa = a1 โดย (R )

= a(xx−1) โดย (R )= (ax)x−1 โดย (R )= 1x−1 โดยสมมตฐาน= x−1 โดย (R )

ดงนน a = x−1

บทท . ระบบจานวนจรง

ทฤษฎบท . . ให x, y และ z เปนจานวนจรง ถา x = y แลว xz = yz

บทพสจน. เหนไดชดจากสมมบตการเทากนทฤษฎบท . . (สมบตการตดออกสาหรบการคณ) ให x, y และ z เปนจานวนจรง ถา x = 0 และ xy =

xz แลว y = z

บทพสจน. ให x, y, z ∈ R และ x = 0 สมมต xy = xz จะไดวา

y = 1y โดย (R )= (x−1x)y โดย (R )= x−1(xy) โดย (R )= x−1(xz) โดยสมมตฐาน= (x−1x)z โดย (R )= 1z โดย (R )= z โดย (R )

ดงนน y = z

บทนยาม . . สาหรบจานวนจรง x และ y กาหนดให x− y = x+ (−y) และ xy= xy−1 เมอ y = 0

เพอความสะดวกเราจะใช −xy แทน −(xy) ดงนน −1x = −(1x) = −x

ทฤษฎบท . . ให x เปนจานวนจรง จะไดวา. −(−x) = x

. ถา x = 0 แลว (x−1)−1 = x

บทพสจน. ให x ∈ R

. เนองจาก −(−x) เปนตวผกผนการบวกของ −x จะไดวา (−x) + [−(−x)] = 0 จาก (R ) ทาใหไดวา (−x) + x = 0 เนองจากตวผกผนการบวกมเพยงตวเดยว ดงนน x = −(−x)

. สมมตวา x = 0 เนองจาก (x−1)−1 เปนตวผกผนการคณของ x−1 จะไดวา x−1(x−1)−1 = 1 จาก(R ) ทาใหไดวา x−1x = 1 เนองจากตวผกผนการบวกมเพยงตวเดยว ดงนน (x−1)−1 = x

ทฤษฎบท . . ให x และ y เปนจานวนจรง จะไดวา (−x)y = x(−y) = −xy

. . สจพจนสนาม

บทพสจน. ให x, y ∈ R แลว0 = 0y โดยทฤษฎบท . .

= (x+ (−x))y โดย (R )= xy + (−x)y โดย (R )

0 = x0 โดยทฤษฎบท . .= x(y + (−y)) โดย (R )= xy + x(−y) โดย (R )

ดงนน xy + (−x)y = xy + x(−y) โดยสมบตการตดออกสาหรบการบวก จะไดวา x(−y) = (−x)y

เนองจาก xy + x(−y) = 0 ดงนน (−x)y เปนตวผกผนการบวกของ xy และตวผกผนการบวกมเพยงตวเดยวทาใหไดวา (−x)y = −xy

บทแทรก . . ไมวา x จะเปนจานวนจรงใดกตาม (−1)x = −x

บทพสจน. ให x ∈ R โดยทฤษฎบท . . จะได (−1)x = −1x = −x

บทแทรก . . (−1)(−1) = 1

บทพสจน. โดยทฤษฎบท . . จะได (−1)(−1) = 1(−(−1)) = 1(1) = 1

ทฤษฎบท . . ให x และ y เปนจานวนจรง จะไดวา (−x)(−y) = xy

บทพสจน. ให x, y ∈ R แลว(−x)(−y) + (−xy) = (−x)(−y) + (−x)y โดยทฤษฎบท . .

= (−x)[(−y) + y] โดย (R )= (−x)0 โดย (R )= 0 โดยทฤษฎบท . .

ดงนน (−x)(−y) เปนตวผกผนของ −xy ดงนน (−x)(−y) = −(−xy) = xy

ทฤษฎบท . . ให x และ y เปนจานวนจรง ถา xy = 0 แลว x = 0 หรอ y = 0

บทพสจน. ให x, y ∈ R สมมต xy = 0 และ x = 0 โดย (R ) จะไดวาม x−1 ∈ R ซง x−1x = 1 ดงนนx−1(xy) = x−10 โดยสมมตฐาน(x−1x)y = 0 โดย (R ) และทฤษฎบท . .

1y = 0 โดย (R )y = 0 โดย (R )

จากทฤษฎบทดงกลาวทาใหนาไปใชในการแกปญหาตาง ๆ ในระบบจานวนจรงไดดงตวอยางตอไปน

บทท . ระบบจานวนจรง

ตวอยาง . . จงหาคา x ทเปนจานวนจรงทสอดคลอง x2 − 2x− 3 = 0

เนองจาก 0 = x2 − 2x− 3 = (x− 3)(x+1) โดยทฤษฎบท . . จะไดวา x− 3 = 0 หรอ x+1 = 0

ทาใหไดวา x = 3 หรอ x = −1

ตวอยาง . . กาหนดให a, b ∈ R+ ทสอดคลอง a2 + ab− 2b2 = 0 จงแสดงวา a = b

พจารณา 0 = a2 + ab− 2b2 = (a− b)(a+ 2b) เนองจาก a, b ∈ R+ ดงนน a+ 2b ∈ R+ โดย (R ) จงสรปไดวา a− b = 0 โดยทฤษฎบท . . นนคอ a = b

. กฎไตรวภาคสจพจน สมมตวามเซตR+ เปนสบเซตของR ซงเรยกวา เซตของจานวนจรงบวก (the set of positivereal numbers) โดยมสมบตดงน(R ) สมบตปด (closer law)

สาหรบการบวก : ทก ๆ x, y ∈ R+ จะไดวา x+ y ∈ R+

สาหรบการคณ : ทก ๆ x, y ∈ R+ จะไดวา x · y ∈ R+

(R ) ไมวา x จะเปนจานวนจรงใดกตาม ขอความตอไปนจะเปนจรงเพยงขอเดยวเทานน( ) x ∈ R+ ( ) x = 0 ( ) −x ∈ R+

บทนยาม . . ให x, y ∈ R จะกลาววา x นอยกวา (less than) y เขยนแทนดวย x < y นยามโดยx < y กตอเมอ y − x ∈ R+

หรอกลาวไดอกอยางวา y มากกวา (greater than) x เขยนแทนดวย y > x และนยาม. x ≤ y หมายถง x < y หรอ x = y อานวา x นอยกวาหรอเทากบ y

. x ≤ y หมายถง x < y หรอ x = y อานวา x มากกวาหรอเทากบ y

ทฤษฎบท . . ให x เปนจานวนจรงใด ๆ แลวขอความตอไปนสมมลกน. x ∈ R+ . x = x− 0 ∈ R+ . x > 0

บทพสจน. ให x ∈ R (1) → (2) สมมต x ∈ R+ จะไดวาx− 0 = x+ (−0) = x+ 0 = x ∈ R+

(2) → (3) สมมต x = x− 0 ∈ R+ เนอจาก x− 0 ∈ R+ จะไดวา x > 0

(3) → (1) สมมต x > 0 จะไดวา x− 0 ∈ R+ เนองจาก x− 0 = x ดงนน x ∈ R+

จากทฤษฎบทขางตน เขยนไดวา R+ = {x ∈ R |x > 0} และไดสมบตดงบทแทรกตอไปน

. . กฎไตรวภาค

บทแทรก . . ให x เปนจานวนจรงใด ๆ แลวขอความตอไปนสมมลกน. −x ∈ R+ . −x = 0− x ∈ R+ . x < 0

จากบทแทรกนทาใหนยามจานวนจรงลบไดดงนยามตอไปนบทนยาม . . นยามให R− = {x ∈ R |x < 0} เรยกวา เซตของจานวนจรงลบ (the set of negativereal numbers)จากการนยามขางตนจะไดวา สาหรบทกจานวนจรง x ใดกตาม

x ∈ R− กตอเมอ −x ∈ R+

จากทฤษฎบทและบทนยามทผานมาทาใหไดสมบตทสาคญทางคณตศาสตรคอกฎไตรวภาค (trichotomylaw) กลาวคอ สาหรบจานวนจรง x และ y ขอความตอไปนจะเปนจรงเพยงขอเดยวเทานน( ) x < y ( ) x = y ( ) x > y

ทฤษฎบท . . (สมบตถายทอด (trasitive law)) ให x, y และ z เปนจานวนจรง จะไดวาถา x < y และ y < z แลว x < z

บทพสจน. ให x, y และ z เปนจานวนจรง สมมตวา x < y และ y < z จะไดวา y − x ∈ R+ และz − y ∈ R+ โดย (R ) จะไดวา

z − x = (z − y) + (y − x) ∈ R+

ดงนน x < z

ทฤษฎบท . . (สมบตการบวกเขาและตดออก) ให x, y และ z เปนจานวนจรง จะไดวา. ถา x < y แลว x+ z < y + z

. ถา x+ z < y + z แลว x < y

บทพสจน. ให x, y และ z เปนจานวนจรง. สมมต x < y จะไดวา y − x ∈ R+ แลว

(y + z)− (x+ z) = y − x ∈ R+

ดงนน x+ z < y + z

. สมมตวา x+ z < y + z แลว (x+ z)− (y + z) ∈ R+ เนองจากx− z = (x+ z)− (y + z) ∈ R+

ดงนน x < y

บทท . ระบบจานวนจรง

ทฤษฎบท . . ให x, y, z และ w เปนจานวนจรง จะไดวาถา x < y และ z < w แลว x+ z < y + w

บทพสจน. ให x, y, z และ w เปนจานวนจรง สมมตวา x < y และ z < w จะไดวา y − x ∈ R+ และw − z ∈ R+ โดย (R ) และ (R ) จะไดวา

(y + w)− (x+ z) = (y − x) + (w − z) ∈ R+

ดงนน x+ z < y + w

ทฤษฎบท . . ให x, y และ z เปนจานวนจรง จะไดวา. ถา x < y และ z > 0 แลว xz < yz

. ถา x < y และ z < 0 แลว xz > yz

บทพสจน. ให x, y และ z เปนจานวนจรง. สมมตวา x < y และ z > 0 จะไดวา y − x ∈ R+ และ z ∈ R+ ดงนน

yz − xz = (y − x)z ∈ R+

ทาใหไดวา xz < yz

. ทาเปนแบบฝกหด

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนจรง x ใด ๆ x2 ≥ 0 เมอนยาม x2 = x · x

บทพสจน. ให x เปนจานวนจรง จากกฎไตรวภาคจะได กรณดงน. กรณท x < 0 จะไดวา−x ∈ R+ โดย (R ) จะไดวา x2 = x ·x = (−x)(−x) ∈ R+ ดงนน x2 > 0

. กรณท x = 0 จะไดวา x2 = 0 · 0 = 0

. กรณท x > 0 นนคอ x ∈ R+ ทาใหไดวา x2 = x · x ∈ R+ ดงนน x2 > 0

สรปไดวา x2 ≥ 0

บทแทรก . . สาหรบจานวนจรง x ทไมใชศนยจะไดวา x2 > 0 หรอ x2 ∈ R+

บทพสจน. เหนไดชดจากบทพสจนของทฤษฎบท . .บทแทรก . . ให x, y ∈ R ถา x2 + y2 = 0 แลว x = 0 และ y = 0

. . คาสมบรณ

บทพสจน. ทาเปนแบบฝกหดตวอยาง . . จงหาจานวนจรง x และ y ทงหมดทสอดคลอง x2 + y2 + 2x− 4y + 5 = 0

พจารณาสมการขางตนจะไดวา0 = x2 + y2 + 2x− 4y + 5 = (x2 + 2x+ 1) + (y2 − 4y + 4)

= (x+ 1)2 + (y − 2)2

โดยบทแทรก . . จะไดวา x+ 1 = 0 และ y − 2 = 0 ทาใหไดวา x = −1 และ y = 2

ตวอยาง . . สาหรบจานวนจรง a และ b ใด ๆ จะไดวา a2 + b2 ≥ 2ab

จากทฤษฎบท . . จะไดวา(a− b)2 ≥ 0

a2 − 2ab+ b2 ≥ 0

a2 + b2 ≥ 2ab

ทฤษฎบท . . ให a และ b เปนจานวนจรงทไมใชจานวนลบ จะไดวาa2 ≤ b2 กตอเมอ a ≤ b

บทพสจน. ให a และ b เปนจานวนจรงทไมใชจานวนลบ ในกรณท a = 0 หรอ b = 0 เหนไดชดวา02 ≤ 02 กตอเมอ 0 ≤ 0

ให a > 0 และ b > 0 สมมตวา a2 > b2 จะไดวา (b2 − a2) ∈ R+ เนองจากb2 − a2 = (b− a)(b+ a)

และ (b + a) ∈ R+ ทาใหไดวา (b − a) ∈ R+ สรปไดวา a < b ในนยกลบกน สมมตวา a < b จะไดวา(b− a) ∈ R+ เนองจาก (b+ a) ∈ R+ ดงนน

b2 − a2 = (b− a)(b+ a) ∈ R+

สรปไดวา a2 > b2

. คาสมบรณบทนยาม . . ให x เปนจานวนจรงใด คาสมบรณ (absolute value) ของ x เขยนแทนดวย |x| คอจานวนจรงทกาหนดโดย

|x| =

x เมอ x > 0

0 เมอ x = 0

−x เมอ x < 0

บทท . ระบบจานวนจรงขอสงเกต สาหรบจานวนจรง x ใด ๆ จะไดวา

. |x| ≥ 0

. |x| = 0 กตอเมอ x = 0

. |x| = | − x|

. |x2| = x2

ทฤษฎบท . . ให x และ y เปนจานวนจรงใด ๆ จะไดวา. |xy| = |x||y|

. |x2| = |x|2 = x2

.∣∣∣∣xy∣∣∣∣ = |x|

|y|เมอ y = 0

. √x2 = |x|

. x ≤ |x|

บทพสจน. ให x และ y เปนจานวนจรงใด ๆ. กรณท x = 0 หรอ y = 0 จะไดวา xy = 0 ทาใหไดวา |xy| = 0 = |x||y| ให x = 0 และ y = 0

ถา x > 0 และ y > 0 จะไดวา xy > 0 สรปไดวา |xy| = xy = |x||y|ถา x < 0 และ y < 0 จะไดวา xy > 0 สรปไดวา |xy| = xy = (−x)(−y) = |x||y|ถา x และ y ตวใดตวหนงเปนจานวนจรงลบ โดยไมเสยนยทวไปให x < 0 และ y > 0 จะไดวาxy < 0 สรปไดวา |xy| = −xy = (−x)y = |x||y|

. โดยขอ จะไดวา |x2| = |x · x| = |x||x| = |x|2 และโดยขอสงเกตขอ สรปไดวา x2 = |x2| = |x|2

. ให y = 0 แสดงไดโดยงายวา∣∣∣∣1y∣∣∣∣ = 1

|y|โดยขอ จะไดวา∣∣∣∣xy

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣x · 1y

∣∣∣∣ = |x| ·∣∣∣∣1y∣∣∣∣ = |x| · 1

|y|=

|x||y|

. กรณท x = 0 เหนไดโดยงาย กรณท x > 0 จะไดวา √x2 = x กรณท x < 0 จะไดวา −x > 0 ดงนน√

x2 =√(−x)2 = −x สรปไดวา √

x2 = |x|

. ถา x ≤ 0 จะไดวา x ≤ 0 ≤ |x| กรณท x > 0 จะไดวา x = |x| สรปไดวา x ≤ |x|

ตวอยาง . . กาหนดให 2 < x < 3 จงหาคาของ√x2 − 4x+ 4 +

√x2 − 6x+ 9

. . คาสมบรณ

พจารณา√x2 − 4x+ 4 =

√(x− 2)2 = |x− 2|

√x2 − 6x+ 9 =

√(x− 3)2 = |x− 3|

เนองจาก 2 < x < 3 ทาใหไดวา x− 2 > 0 และ x− 3 < 0 ดงนน√x2 − 4x+ 4 +

√x2 − 6x+ 9 = |x− 2|+ |x− 3|

= (x− 2) + (−(x− 3))

= 1

ทฤษฎบท . . (อสมการสามเหลยม (Triangle inequality)) ให x และ y เปนจานวนจรงใด ๆ แลว|x+ y| ≤ |x|+ |y|

บทพสจน. ให x, y และ z เปนจานวนจรง โดยทฤษฎบท . . ขอ จะไดวา|x+ y|2 = (x+ y)2

= x2 + 2xy + y2

= |x|2 + 2xy + |y|2

โดยทฤษฎบท . . ขอ และ จะไดวา xy ≤ |xy| = |x||y| ดงนน|x+ y|2 ≤ |x|2 + 2|x||y|+ |y|2 = (|x|+ |y|)2

เนองจาก |x+ y| ≥ 0 และ |x|+ |y| ≥ 0 โดยทฤษฎบท . . สรปไดวา|x+ y| ≤ |x|+ |y|

บทแทรก . . ให x และ y เปนจานวนจรงใด ๆ จะไดวา. |x− y| ≤ |x|+ |y|

. |x| − |y| ≤ |x+ y|

. |x| − |y| ≤ |x− y|

บทพสจน. ให x และ y เปนจานวนจรงใด ๆ โดยทฤษฎบท . . จะไดวา. โดยอสมการสามเหลยม จะไดวา

|x− y| = |x+ (−y)| ≤ |x|+ | − y| = |x|+ |y|

บทท . ระบบจานวนจรง

. โดยอสมการสามเหลยม และขอ จะไดวา|x| = |x+ (y − y)| = |(x+ y)− y| ≤ |x+ y|+ |y|

∴ |x| − |y| ≤ |x+ y|

. โดยขอ จะไดวา|x| − | − y| ≤ |x+ (−y)|

∴ |x| − |y| ≤ |x− y|

ทฤษฎบท . . ให x เปนจานวนจรง และ a เปนจานวนจรงบวก จะไดวา

. |x| < a กตอเมอ −a < x < a

. |x| > a กตอเมอ x < −a หรอ x > a

บทพสจน. ทาเปนแบบฝกหดบทแทรก . . ให x เปนจานวนจรง และ a เปนจานวนจรงบวก จะไดวา

. |x| ≤ a กตอเมอ −a ≤ x ≤ a

. |x| ≥ a กตอเมอ x ≤ −a หรอ x ≥ a

ตวอยาง . . จงหาจานวนจรง x ทสอดคลองเงอนไข. |x− 1| ≤ 1 จะไดวา

|x− 1| ≤ 1 ↔ −1 ≤ x− 1 ≤ 1

↔ −1 + 1 ≤ x− 1 + 1 ≤ 1 + 1

↔ 0 ≤ x ≤ 2

↔ x ∈ [0, 2]

. |x− 3| > 2 จะไดวา|x− 3| > 2 ↔ x− 3 < −2 หรอ x− 3 > 2

↔ x− 3 + 3 < −2 + 3 หรอ x− 3 + 3 > 2 + 3

↔ x < 1 หรอ x > 5

↔ x ∈ (−∞, 1) ∪ (5,∞)

. . สจพจนความบรบรณ

. สจพจนความบรบรณจานวนจรงกบความสมพนธนอยกวาหรอเทากบ หรอโพเซต (R,≤) ซงไดกลาวในหวขอ . ในหวขอ

นศกษาสมบตตาง ๆ ทเกยวของบทนยาม . . ให B ⊆ R โดยท B = ∅ และให a และ b เปนจานวนจรง แลว

a เปนขอบเขตบน (upper bound) ของ B กตอเมอ x ≤ a ทก x ∈ B

b เปนขอบเขตลาง (lower bound) ของ B กตอเมอ b ≤ x ทก x ∈ B

ถา B มขอบเขตบนเรยกวาเซตมขอบเขตบน (bounded above) ถา B มขอบเขตลางจะเรยกวาเซตมขอบเขตลาง (bounded below) ถา B มทงขอบเขตบนและขอบเขตลางจะเรยกวาเซต มขอบเขต(bounded) ถาเปนอยางอนเรยกวาเซต ไมมขอบเขต (unbounded) กาหนดให BU และ BL แทนเซตของขอบเขตบน และขอบเขตลางของ B ตามลาดบจะไดวา

BU = {a ∈ R |x ≤ a ทก ๆ x ∈ B}BL = {b ∈ R | b ≤ x ทก ๆ x ∈ B}

จากนยามจะไดวา R ไมมขอบเขตบนและขอบเขตลาง นนคอ R ไมมขอบเขตตวอยาง . . จงหา BU และ BL ของเซต B ตอไปน

. B = (−1, 1)

−3 −2 −1 0 1 2 3

BUBL

ดงนน BL = (−∞, 1] และ BU = [1,∞)

. B = [−1, 2)

−3 −2 −1 0 1 2 3

BUBL

ดงนน BL = (−∞, 1] และ BU = [2,∞)

บทท . ระบบจานวนจรง. B = {0, 1, 2}

−3 −2 −1 0 1 2 3

BUBL

ดงนน BL = (−∞, 0] และ BU = [2,∞)

. B = {0}

−3 −2 −1 0 1 2 3

BU

BL

ดงนน BL = (−∞, 0] และ BU = [0,∞)

ตวอยาง . . เมอกาหนด A = (1,∞) จะไดวา A มขอบเขตลางแตไมมขอบเขตบน

−3 −2 −1 0 1 2 3

AL

เหนไดชดวา AL = (−∞, 1] และ AU = ∅

บทนยาม . . ให B ⊆ R โดยท B = ∅ ให m และ n เปนจานวนจรงจะเรยกวา m วาขอบเขตบนนอยสด (least upper bound หรอ supremum) ของ B เขยนแทนดวยsupB กตอเมอ( ) m ∈ BU

( ) m ≤ a ทก ๆ a ∈ BU

ถา supB เปนสมาชกใน B จะเรยกวา คาสงสด (maximum) ของ Bจะเรยกวา n วา ขอบเขตลางมากสด (greatest lower bound หรอ infimum) ของ B เขยนแทนดวยinfB กตอเมอ( ) n ∈ BL

. . สจพจนความบรบรณ

( ) b ≤ n ทก ๆ b ∈ BL

ถา infB เปนสมาชกใน B จะเรยกวา คาตาสด (minimum) ของ Bตวอยาง . . จากตวอยาง . . จะไดวา

. sup(−1, 1) = 1 และ inf(−1, 1) = −1

. sup[−1, 2) = 2 และ inf[−1, 2) = −1 และ −1 เปนคาตาสดของ [−1, 2)

. sup{0, 1, 2} = 2 และ inf{0, 1, 2} = 0 และ 0 เปนคาตาสดและ 2 เปนคาสงสดของ {0, 1, 2}

. sup{0} = 0 และ inf{0} = 0 และ 0 เปนคาตาสดและคาสงสดของ {0}ตวอยาง . . ให A = (−2, 1] จงแสดงวา infA = −2 และ supA = 1

. สาหรบทก ๆ x ใน A จะไดวา −2 < x ≤ 1 ดงนน x ≤ 1 ทก ๆ x ∈ A ทาใหไดวา 1 ∈ AU ตอไปจะแสดงวา 1 เปนขอบเขตบนนอยสด ให a ∈ AU จะไดวา x ≤ u ทก ๆ x ∈ A เนองจาก 1 ∈ A ทาใหไดวา 1 ≤ a ดงนน supA = 1

. สาหรบทก ๆ x ใน A จะไดวา −2 < x ≤ 1 ดงนน −2 ≤ x ทก ๆ x ∈ A ทาใหไดวา −2 ∈ AL ตอไปจะแสดงวา −2 เปนขอบเขตลางมากสด ให b ∈ AL จะไดวา b ≤ x ทก ๆ x ∈ A จะแสดงวา b ≤ −2

ทก ๆ b ∈ AL โดยวธขดแยง สมมตวาม b0 ∈ AL ซง b0 > −2 สาหรบ x ∈ A จะไดวา−2 < b0 < −2 < x ≤ 1

เกดขอขดแยง ดงนน b ≤ −2 ทก ๆ b ∈ AL สรปไดวา infA = −2

ทฤษฎบท . . ให A ⊆ R โดยท A = ∅ แลว s = supA กตอเมอ( ) ∀ε > 0∀x ∈ A, x < s+ ε

( ) ∀ε > 0∃x0 ∈ A, x0 > s− ε

ขอ ( ) ในทฤษฎบทนหมายถงการแสดงวา s เปนขอบเขตบนของ A ซงแสดงไดดงแผนภาพน

A

s s+ εx

( )

ขอ ( ) ในทฤษฎบทนหมายถงการแสดงวา s เปนขอบเขตบนนอยสด A ซงแสดงไดดงแผนภาพน

A

ss− ε x0

( )

บทท . ระบบจานวนจรง

บทพสจน. สมมตวา s = supA ให ε > 0 จะไดวา s เปนขอบเขตบนของ A และ s < s+ ε ดงนนx ≤ s < s+ ε ทก ๆ x ∈ A

ทาใหไดขอ ( ) ตอไปจะพสจนขอ ( ) โดยแบงกรณของ s− ε

กรณท s− ε ∈ A เลอก x0 =(s− ε) + s

2=

2s− ε

2ทาใหไดวา

s− ε <2s− ε

2< s นนคอ s− ε < x0

กรณท s− ε /∈ A ถา s− ε > x ทก ๆ x ∈ A จะไดวา s− ε เปนขอบเขตบนของ A และ s− ε < s จะทาใหขดแยงกบ s ซงเปนขอบเขตบนนอยสด ดงนน s− ε < x ทก ๆ x ∈ A เหนไดชดวาเลอก x0 เปนอะไรกไดใน A จะทาใหไดวา s− ε < x0

ในทางกลบกน สมมตขอ ( ) และ ( ) จะแสดงวา s ∈ AU โดยวธขดแยง สมมตวา s /∈ AU จะไดวาม y ∈ A ซง s < y ดงนน y − s > 0 โดยสมมตฐานขอ ( ) จะไดวา y > s + (y − s) หรอ y > y เปนไปไมได ดงนน s ∈ AU สดทายจะแสดงวา s เปนขอบเขตบนนอยสด ให a ∈ AU จะไดวา x ≤ a ทก ๆx ∈ A ตองการแสดวา s ≤ a สมมตวา s > a นนคอ s − a > 0 โดยสมมตฐาน ( ) จะไดวาม x0 ∈ A ซงx0 > s − (s − a) ทาใหไดวา x0 > a เกดขอขดแยงทวา a เปนขอบเขตบนของ A ดงนน s ≤ a สรปไดวาs = supAทฤษฎบท . . ให A ⊆ R โดยท A = ∅ แลว ℓ = infA กตอเมอ( ) ∀ε > 0 ∀x ∈ A, x > ℓ− ε

( ) ∀ε > 0 ∃x0 ∈ A, x0 < ℓ+ ε

ขอ ( ) ในทฤษฎบทนหมายถงการแสดงวา ℓ เปนขอบเขตลางของ A ซงแสดงไดดงแผนภาพน

A

ℓℓ− ε x

( )

ขอ ( ) ในทฤษฎบทนหมายถงการแสดงวา ℓ เปนขอบเขตลางมากสด A ซงแสดงไดดงแผนภาพน

A

ℓ ℓ+ εx0

( )

บทพสจน. ทาเปนแบบฝกหดจะเหนวาทฤษฎบท . . และ . . สมมลกบบทนยาม . . เปนอกวธหนงในการตรวจสอบคา

ขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสดของเซตทสนใจ ซงในหนงสอบางเลมอาจจะนยามขอบเขตบนนอยสดและขอบเขตลางมากสดตามทฤษฎบททงสองดงกลาว

. . สจพจนความบรบรณ

ตวอยาง . . ให A = (−2, 1] จงแสดงวา infA = −2 และ supA = 1 โดยใชทฤษฎบท . . และ . .

. ให ε > 0 และ x ∈ A จะไดวา −2 < x ≤ 1 < 1 + ε ดงนนขอ ( ) เปนจรง เลอก x0 = 1 ∈ A จะไดวา 1 > 1− ε ดงนน ( ) เปนจรง สรปไดวา supA = 1

. ให ε > 0 และ x ∈ A จะไดวา −2− ε < −2 < x ≤ 1 ดงนนขอ ( ) เปนจรง เนองจาก −2 < −2+ ε

พจารณา กรณคอกรณท −2 < −2 + ε ≤ 1 เลอก x0 =

−2 + (−2 + ε)

2=

−4 + ε

2ทาใหไดวา

x0 ∈ A และ −2 < x0 < −2 + ε

กรณท −2 + ε > 1 เลอก x0 ∈ A ทาใหไดวา x0 ≤ 1 ดงนน x0 ≤ 1 < −2 + ε

สรปไดวา infA = −2

ทฤษฎบท . . สจพจนความบรบรณ (Completenesss axiom)ให A ⊆ R ทไมใชเซตวาง จะไดวา

. ถา A มขอบเขตลาง แลว A จะมขอบเขตลางมากสด

. ถา A มขอบเขตบน แลว A จะมขอบเขตบนนอยสดบทพสจน. ให A ⊆ R ทไมใชเซตวาง

. สมมตวา A มขอบเขตลาง นนคอ AL = ∅ จะไดวา

∀x ∈ A∀a ∈ AL, a ≤ x

จะแสดงวาม ℓ ∈ R ซง a ≤ ℓ ≤ x ทก ๆ x ∈ A และ ทก ๆ a ∈ AL แลวจะทาใหไดวา ℓ = infAสมมตวา ไมม ℓ ∈ R ทสอดคลองเงอนไข ∀x ∈ A∀a ∈ AL, a ≤ ℓ ≤ x ดงนน

ทกๆ ℓ ∈ R จะม x0 ∈ A และ a0 ∈ AL ซง ℓ < a0 หรอ ℓ > x0

กรณท ℓ > x0 แสดงวา ℓ ไมใชขอบเขตลางของ A ทกๆ ℓ ∈ R ขดแยงกบสมมตฐานกรณท ℓ < a0 เนองจาก x0 ∈ R เมอ ℓ = x0 ∈ A ทาใหไดวา x0 ≤ a0 เกดขอขดแยงกบ a0 ทเปนขอบเขตลางของ A ดงนน ม ℓ ∈ R ซง ∀x ∈ A∀a ∈ AL, a ≤ ℓ ≤ x เหนไดชดวา ℓ = infA

. พสจนในทานองเดยวกบขอ (ทาเปนแบบฝกหด)

ทฤษฎบท . . ให A ⊆ R ทไมใชเซตวาง และ s = sup(A) จะไดวาทกๆ x ∈ R ถา x < s แลวจะม a ∈ A ซง x < a ≤ s

บทท . ระบบจานวนจรง

บทพสจน. ให A ⊆ R ทไมใชเซตวาง และ s = sup(A) ให x ∈ R สมมตวา x < s

กรณ x ∈ A จะไดวา x ≤ s เลอก a =x+ s

2นนคอ x <

x+ s

2< s ทาใหไดวา x < a ≤ s

กรณ x /∈ A เนองจาก x < s และ s เปนขอบเขตบนของ A ดงนน x < a ทก ๆ a ∈ A

สรปไดวา x < a ≤ s

ทฤษฎบท . . ให A ⊆ Z ทไมใชเซตวาง ถา A มขอบเขตบน แลว A จะมคาสงสดบทพสจน. ให A ⊆ Z ทไมใชเซตวาง สมมตวา A มขอบเขตบน โดยสจพจนความบรบรณจะไดวา A มขอบเขตบนนอยสด ให m = supA จะแสดงวา m ∈ Z แลวจะไดวา m เปนคาสงสดของ A สมมต m /∈ Z

จะไดวา m /∈ A และ n < m ทก ๆ n ∈ A เนองจาก A = ∅ และ m− 1 < m

ทฤษฎบท . . หลกการของอารคมดส (Archimedean principle)ไมวา x จะเปนจานวนจรงใดกตาม จะมจานวนเตมบวก n ซงทาให x < n

บทพสจน. ให x ∈ R ในกรณท x < 1 เลอก n = 2 จะไดวา x < 1 < 2 = n เหลอพสจนในกรณท x ≥ 1

ให x ≥ 1 และS = {b ∈ N | b ≤ x}

เนองจาก 1 ∈ S ดงนน S = ∅ และมขอบเขตบน โดยสจพจนความบรบรณ จะไดวามขอบเขตบนนอยสดใหm = supS โดยทฤษฎบท . . จะไดวาม a ∈ S ซงm− 1 < a (เลอก ε = 1) ให n = a+1 เนองจากa ∈ N ดงนน n ∈ N และ m < n ทาใหไดวา n /∈ S สรปไดวา n > x

บทแทรก . . สาหรบจานวนจรง x และ y ถา x = 0 แลวจะไดวามจานวนเตมบวก n ซง y < nx

บทพสจน. ให x, y ∈ R โดยท x = 0 จะไดวา y

xเปนจานวนจรง โดยหลกการของอารคมดส จะไดวาม

จานวนเตมบวก n ซง y

x< n นนคอ y < nx

บทแทรก . . ไมวา x จะเปนจานวนจรงบวกใดกตาม จะมจานวนเตมบวก n ซงทาให 1

n< x

บทพสจน. ให x เปนจานวนจรงบวก จะไดวา 1

xเปนจานวนจรง โดยหลกการของอารคมดส จะไดวาม

จานวนเตมบวก n ซง 1

x< n นนคอ 1

n< x

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนจรง x ใด ๆ ถา 0 ≤ x < 1n

ทก n ∈ N แลว x = 0

บทพสจน. ให x ∈ R สมมต 0 ≤ x <1

nทก n ∈ N สมมต x > 0 โดยบทแทรก . . จะไดวาม

จานวนเตมบวก n0 ซง 1

n0

< x เกดขอขดแยงกบสมมตฐาน ดงนน x = 0

. . สจพจนความบรบรณ

ตวอยาง . . ให A =

{1

n|n ∈ N

}จงแสดงวา infA = 0

บทพสจน. เหนไดชดวา 0 <1

nทก ๆ n ∈ N ดงนน 0 เปนขอบเขตลางของ A สมมต 0 ไมใชขอบเขตลาง

มากสดของ A ดงนนมขอบเขตบน x ซง 0 < x <1

nทก ๆ n ∈ N โดยทฤษฎบท . . จะไดวา x = 0

เกดขอขดแยง ดงนน infA = 0

จะเหนไดวา (R,≤) เปนโพเซตซงไดกลาวในหวขอ . เมอพจารณาเฉพาะจานวนเตมบวกโพเซตกบความสมพนธนอยกวาหรอเทากบ (N,≤) เปนเซตแบบเรยงอบดบไวดแลว (well-ordering set) ซงมความสมเหตสมผลและถอเปนสจพจนอกหนงขอ เรยกวา หลกการจดอนดบด (well ordering principle)

ให S เปนสบเซตของ N ทไมใชเซตวาง จะไดวา S มสมาชกตวเลกสดกลาวอกนยหนงกคอ

ถา S ⊆ N และ S = ∅ แลวม a ∈ S ซง a ≤ s ทก ๆ s ∈ S

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนจรง x และ y ถา x < y จะไดวามจานวนตรรกยะ a ซง x < a < y

บทพสจน. ให x และ y เปนจานวนจรงกรณท x ≥ 0 จะไดวา y > 0 และ y − x > 0 โดยบทแทรก . . ม n ∈ N ซง 0 <

1

n< y − x ให

S ={m ∈ N | m

n≥ y}

โดยบทแทรก . . จะไดวา S = ∅ เนองจาก S ⊆ N โดยหลกการจดอนดบดจะไดวา S มสมาชกตวเลกสดเรยกวา m0 เลอก a =

m0 − 1

nเนองจาก m0 − 1 < m0 และ m0 เปนสมาชกตวเลกสดใน S ดงนน

a =m0 − 1

n< y เนองจาก y ≤ m0

nจะได

y − 1

n<

m0

n− 1

n=

m0 − 1

n= a

เนองจาก x < y − 1

nดงนน x < a สรปไดวา x < a < y

กรณท x < 0 ถา y > 0 เลอก a = 0 จะไดวา x < 0 < y ถา x < y ≤ 0 ทาใหไดวา 0 ≤ −y < −x

โดยกรณท จะไดวามจานวนตรรกยะ b ซง −y < b < −x ดงนน x < a < y โดยให a = −b ซงเปนจานวนตรรกยะทฤษฎบท . . สาหรบจานวนจรง x และ y ถา x < y จะไดวามจานวนอตรรกยะ a ซง x < a < y

บทพสจน. ให x และ y เปนจานวนจรงกรณท 0 ≤ x < y แลวจะไดวา x√

2และ y√

2เปนจานวนจรง โดยทฤษฎบท . . จะไดวาม

จานวนตรรกยะ b ซง x√2< b <

y√2ดงนน b = 0 ทาใหไดวา b

√2 เปนจานวนอตรรกยะ และ

x < b√2 < y

บทท . ระบบจานวนจรง

เลอก a = b√2 ดงนน x < a < y

กรณท x < 0 < y โดยกรณท จะไดวามจานวนอตรรกยะ a ซง 0 < a < y ดงนน x < a < y

กรณท x < y ≤ 0 แลว 0 < −y < −x โดยกรณท จะไดวามจานวนอตรรกยะ b ซง −y < b < −x ดงนน x < a < y เมอ a = −b เปนจานวนอตรรกยะ

. การจดการเรยนรเรองจานวนจรงระบบจานวนจรงมการเรยนในหลายระดบในชนมธยมจะแตกตางกนไป เนอหามความหลากหลาย

แตในบทเรยนนจะเนนไปทสมบตจานวนจรง กฎไตรวภาค คาสมบรณ และความบรบรณของจานวนจรงซงเปนพนฐานในการเรยนคณตศาสตรในระดบสง และมสวนสอดคลองในหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ในการเรยนระดบชนมธยมศกษาปท และมธยมศกษาปท สายทเนนวทยาศาสตร ดงนสาระท จานวนและพชคณตมาตรฐาน ค . เขาใจความหลากหลายของการแสดงจานวน ระบบจานวน การดาเนนการของจานวนผลทเกดขนจากการดาเนนการ สมบตของการดาเนนการ และนาไปใช

ชน ตวชวด สาระการเรยนรแกนกลางม. . เขาใจจานวนจรงและความสมพนธ จานวนจรง

ของจานวนจรง และใชสมบตของจานวนจรง - จานวนอตรรกยะในการแกปญหาคณตศาสตร - จานวนจรงและปญหาในชวตจรง

ม. . เขาใจจานวนจรง และใชสมบตของจานวนจรง จานวนจรงและพหนามเนน ในการแกปญหา - จานวนจรงและสมบตจานวนจรง

วทยาศาสตร - คาสมบรณของจานวนจรงและสมบตของคาสมบรณของจานวนจรง

ตารางท ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางของเรองจานวนจรงตวอยางการจดกจกรรมการเรยนรแบบ Eผ เขยนขอยกตวอยางการสอนสาระการเรยนร "การหาคาตอบของสมการคาสมบรณโดยใชเสนจานวน"

เปนการเรยนรการใชนยามของคาสมบรณโดยวดระยะทางบนเสนจานวน เพอใหเกดมโนทศนแลวขยายไปยงปญหาทซบซอนได ทาได ขนตอนดงน

. ขนสรางความสนใจนาเขาสบทเรยนโดยทบทวนนยามของคาสมบรณโดยใชเสนจานวนเปนตวอธบายกลาวคอ คาสมบรณของจานวนจรง x เขยนแทนดวย |x| คอระยะทางจาก x ไปยง 0

. . การจดการเรยนรเรองจานวนจรง

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

|3| = 3| − 4| = 4

และนาไปส |x| = a เมอ a ≥ 0 โดยพจารณาวา เปนจดศนยกลาง และมรศมเทากบ a ดงรป

a−a 0

a

ดงนนจะไดวา x = a หรอ x = −a ในกรณท |x− c| = a

c+ ac− a c

a

จะสรปไดวา x = a+ c หรอ x = c− a

. ขนสารวจคนหาแบงนกเรยนเปนกลมๆละ คน โดยแจกบตรคาถามทงหมด ใบประกอบไปดวยคาถาม ขอ ใหนกเรยนแตละกลมทาโดยใชเสนจานวนในเวลา นาท ตวอยางบตรคาถาม

. |x| = 2

. |x| = 0

. |x| = −1

. |x− 1| = 1

. |x+ 1| = 0

. |x− 2| = 4

. |1− x| = 3

. |2x− 1| = 1

. |1− 3x| = 4

. |x2 + 1| = 5

. ขนอธบายและลงขอสรปใหแตละกลมขอสรปคาตอบ และออกมาอภปรายคาตอบทได แลวนกเรยนในชนสรปความคดรวบยอดซงมครคอยชแนะ สรปไดดงน

. กรณ |x| = 0 มคาตอบเดยวคอ x = 0

. กรณ |x| = a เมอ a < 0 ไมมคาตอบ

บทท . ระบบจานวนจรง. กรณ |f(x)− c| = a มคาตอบเปน f(x) = c+ a หรอ f(x) = c− a

. กรณ |ax− c| = b เมอ a = 0 ตองจดรปเปน |x− c

a| = b

aแลวหาคาตอบไดตามปกต

. ขนขยายความรครแสดงโจทยของอสมการคาสมบรณเพอขยายแนวคด ดงตวอยาง

(ก) |x| < a แลว −a < x < a

a−a 0

−a < x < a

(ข) |x| > a แลว x < −a หรอ x > a

a−a 0

x > ax < −a

. ขนประเมนใหนกเรยนทาใบงานรายบคคล

สรปเรมตนเซตของจานวนจรงทมการดาเนนการบวกและคณซงสอดคลอง สมบตปด สมบตสลบท สมบต

การเปลยนกลม สมการการมเอกลกษณ สมบตการมตวผกผน และสมบตการกระจาย เรยกวาสจพจนสนาม สาหรบจานวนจรงจะมสมบตสอดคลองกฎไตรวภาคกลาวคอ สาหรบจานวนจรง x และ y ขอความตอไปนจะเปนจรงเพยงขอเดยวเทานน( ) x < y ( ) x = y ( ) x > y

คาสมบรณของจานวนจรงคอระยะทางบนเสนจานวนจากศนยไปยงจานวนนน สมบตทสาคญประการหนงคออสมการสามเหลยมกลาวคอ |x+ y| ≤ |x|+ |y| ซงเปนสมบตทสาคญในการเรยนคณตศาสตรขนสง และศกษาความบรบรณของจานวนจรงกลาวถงขอบเขตลางและขอบเขตบนของสบเซตของจานวนจรงทาใหไดขอเทจจรงทวาสบเซตของจานวนจรงทไมใชเซตวางถามขอบเขตบน จะไดวามขอบเขตบนนอยสดถามขอบเขตลางจะมขอบเขตลางมากสด แลวนาไปพสจนหลกการของอารคมดสทมใจความวา

ไมวา x จะเปนจานวนจรงใดกตาม จะมจานวนเตมบวก n ซงทาให x < n

แลวสงผลใหไดสมบต ทสาคญของจานวนจรงคอระหวางสองจานวนจรงใด ๆ จะมจานวนตรรยะและจานวนอตรรกยะแทรกอยเสมอ

คาถามทายบท. ให x, y และ z เปนจานวนจรง จงพสจนขอความตอไปน

. −(x+ y) = (−x) + (−y) = −x− y

. ถา x+ y = x แลว x = 0

. ถา xy = y และ x = 0 แลว y = 1

. ถา x = x−1 และ x = 0 แลว x = 1 หรอ x = −1

. x(y − z) = xy − xz

. ถา y = 0 แลว −xy

= x−y

= −xy

. ให x, y และ z เปนจานวนจรง จงพสจนขอความตอไปน. ถา x < y และ z < 0 แลว xz > yz

. ถา x < 0 และ y < 0 แลว xy > 0

. ถา x > 0 แลว x−1 > 0

. ถา 0 < x < y แลว 1y< 1

x

. ถา 0 < x < y แลว x2 < y2

. ถา x ≤ y และ x ≥ y แลว x = y

. จงหาเซตคาตอบของสมการ. |x+ 1| = 4

. |3x+ 13| = 3

. |x2 − 20| = 5

. |x2 − 4| = 0

. |3x− 1| = |2x+ 1|

. |x− 6| = |3− 2x|

. |1− x| = 1− x

. |2x+ 1| = x

. |2x+ 3| = x− 5

. |x+ 1|+ 2 = |3x+ 1|

. |x+ 2| = 1 + |x− 3|

. ||2x− 1| − 1| = 2

. ||x| − |2x+ 1|| = −x

. |x+2x+3

| = 2

. |5x−1|5x−1

+ 4x = 0

. จงหาเซตคาตอบของอสมการ. |x+ 1| < 4

. |2x+ 1| > 3

. | 1x− 2| < 3

. |12x+ 5| ≤ 7

. |x2 + x| < |x+ 4|

. |x+ 2| ≤ 3− |x+ 1|

. |x2 − 5x| ≥ 5x

. |4x+ 3| ≤ |5x+ 3|

. (|x| − 1)(|x| − 3) < 0

. จงหาเซตของขอบเขตบน คาขอบเขตบนนอยสด เซตของขอบเขตลาง และคาขอบเขตลางมากสด(ถาม) และพสจนคาตอบเหลานน. A = [1, 3]

. A = (−1, 5)

. A = (2,∞)

. A = (−∞,−3)

. A = {1} ∪ (2, 5)

. A = {0,±2,±4,±6, ...}

. A = Q

. A = Q− Z

. A = { 1n|n ∈ N}

. . การจดการเรยนรเรองจานวนจรง. จงหาขอบเขตบนนอยสด และขอบเขตลางมากสดของ A = { 1

n|n ∈ N} พรอมพสจน

. ให A ⊆ R และนยาม −A = {−x |x ∈ A} จงพสจนขอความตอไปน. ถา a เปนขอบเขตบนของ A แลว −a เปนขอบเขตลางของ −A

. ถา s = sup(A) แลว −s = inf(−A)

. ถา a เปนขอบเขตลางของ A แลว −a เปนขอบเขตบนของ −A

. ถา ℓ = inf(A) แลว −ℓ = sup(−A)

. ให A และB เปนสบเซตของจานวนจรงซงA = ∅ และ A ⊆ B โดยทB เปนเซตมขอบเขต จงพสจนinf(B) ≤ inf(A) ≤ sup(A) ≤ sup(B)

. กาหนดให Aα = {x ∈ R |x < α} เมอ α ∈ R จงแสดงวา sup(Aα) = α

. จงพสจนวา ∀ε > 0, |a− b| < ε → ∀n ∈ N, |a− b| < 1n

. จงพสจนวา สาหรบจานวนจรง a ถา ∀ε > 0, |a| < ε แลว a = 0

. สาหรบจานวนจรง x และ y ถา |x− y| < ε ทก ε > 0 แลว x = y

เอกสารอางองกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ชวลต บรพาศรวฒน. ( ). หลกการคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ภาควชาคณตศาสตรและสถต

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย สถาบนราชภฏจนทรเกษม.พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลยพมพเพญ เวชชาชวะ. ( ). ระบบจานวน. กรงเทพฯ: ว.พรนท( ).อมพร มาคนอง. ( ). คณตศาสตรสาหรบครมธยม. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ( ). ตรรกศาสตรและ

ระบบจานวนจรง. กรงเทพฯ: โรงพมพพทกษการพมพ.Pual Glendinning. ( ). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions Ltd.

แผนบรหารการสอนประจาบททหวขอเนอหาประจาบท

. การดาเนนการบนจานวนเชงซอน

. มอดลสและสงยค

. กราฟของจานวนเชงซอน

. จานวนเชงซอนในรปเชงขว

. การจดการเรยนรเรองจานวนเชงซอนวตถประสงคเชงพฤตกรรม

. เขาใจการดาเนนการบนจานวนเชงซอนและนาสมบตไปใชได

. รจกมอดลสและสงยคและสามารถพสจนสมบตทเกยวของได

. สามารถเขยนกราฟของจานวนเชงซอนได

. สามารถเขยนจานวนเชงซอนในรปเชงขวได

. นาสมบตเกยวกบเชงขวไปใชแกปญหาได

. รจกการจดการเรยนรเรองจานวนเชงซอนวธและกจกรรมการเรยนการสอน

. วธสอน. วธสอนแบบบรรยาย ประกอบสออเลกทรอนกส. ใชสอทางอนเตอรเนต และใหแตละคนแสดงความคดเหน. วธสอนแบบอภปราย โดยใหหวขอเปนกลมและมานาเสนอหนาชน

. กจกรรมการเรยนการสอน. บรรยายสรปโดยใชสอการสอนประกอบ. ใหผ เรยนศกษาเนอหาจากชดการสอน หนงสอ ตารา เอกสารเพมเตม และสอออนไลน. อภปรายรายกลมตามหวขอทไดรบมอบหมาย. ใหผ เรยนทาแบบฝกหด ทดสอบความเขาใจในเนอหา. มอบหมายใหทา assignment เพอสงทายคาบ

สอการเรยนการสอน. ชดการสอน เรอง "จานวนเชงซอน". สออเลกทรอนกส เรอง "จานวนเชงซอน". หนงสอ ตารา เอกสารทเกยวของ

การวดผลและประเมนผล. สงเกตการตอบคาถามและตงคาถามของผ เรยนในระหวางการบรรยายและซกถาม. วดผลจากการทาแบบฝกหดระหวางเรยนตามเนอหาทไดรบมอบหมาย. ตรวจ assignment บนทกคะแนนลงในใบบนทกคะแนน. ตรวจการทาการบาน บนทกลงในในบนทกผลงาน

บททจานวนเชงซอนเบองตน

ในบทนจะกลาวถงจานวนเชงซอนและสมบตเบองตน จานวนเชงซอนไดเกดขนมานานเทาไรกยงไมมหลกฐานแนชด แตนกคณตศาสตรคาดการณไดโดยเรมตนจากการขบคดปญหาของสมการ ซงไมมจานวนจรงใดในตอนนนททาใหสมการเปนจรง

• ค.ศ. Heron แหงอเลกซานเดย ไดศกษาการวดปรมาตรสวนทเปนไปไมไดของพระมดคอจานวน√81− 114 ซงสรางความสบสนใหเขา แตกยงไมสามารถหาคาอธบายได

• ค.ศ. นกคณตศาสตรกมการศกษาการหารากของพหนามกาลงสอง กาลงสาม และกาลงส ซงไดรากทอยในรปกรณฑทสองของจานวนทเปนลบ ซงโดยปกตแลวมนอธบายไมไดในทางธรรมชาต

• ค.ศ. Girolamo Cardano ไดเขยนหนงสอชอ Ars Magna ในนนมการหาคาตอบของสมการx(10− x) = 40 ซงมคาตอบเปน 5 +

√−15 และ 5−

√−15 ถงแมจะมคาตอบสาหรบสมการน แต

กยงอธบายไมแจมชดในทางคณตศาสตร ยงคงเปนปญหาทชวนใหตองหาคาตอบ

• ค.ศ. Rene Descartes ไดนาเสนอการเขยนคาตอบของสมการทหาไมไดในรป a + bi นนกคอตดในรปจานวนจนตภาพ (imaginary number) นวตนเองกเหนดวยกบ Descartes และ AlbertGirad กเรยกผลเฉลยลกษณะแบบนวา "ผลเฉลยทเปนไปไมได (solutions imposible)" ถงแมวาผคนยงไมยอมรบแนวคดนเทาทควร แตนกคณตศาสตรกยงเชอวา i นาจะมอยจรง

• ค.ศ. Euler ไดกาหนดสญลกษณ i แทน √−1 เพอใหไดเขาใจเกยวกบจานวนแบบนงายขน

และสาหรบ θ ∈ R ไดกาหนดeiθ = cos θ + isin θ

เรยกวาสตรของออยเลอร (Euler's formula) ตอมามบทบาทสาคญมากในคณตศาสตรสมยใหม

• ค.ศ. Carl Friedrich Gauss ไดศกษาและอธบาย a + bi ท Descartes ไดใหสญลกษณไวเขาไดศกษาอยางเอาจรงเอาจง และเรยกจานวนนวา จานวนเชงซอน (complex number) ซงเปนทยอมรบอยางกวางขวางในวงการคณตศาสตร

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน• ค.ศ. William Rowan Hamilton ไดเขยน a + bi ในรปคอนดบของจานวนจรง (a, b) หลงจากนกมนกคณตศาสตรมากมายศกษาจานวนเชงซอน เชน Karl Weierstrass, Hermann Schwarz,Richard Dedekind, Otto Holder และ Henri Poincare เปนตน จนเปนแขนงหนงในคณตศาสตรเรยกวา การวเคราะหจานวนเชงซอน (complex analysis)

. การดาเนนการบนจานวนเชงซอนบทนยาม . . จะเรยก ai วาจานวนจนตภาพ (imaginay number) เมอ a ∈ R และ i =

√−1 กรณท

a = 1 จะเรยกวาจานวนจนตภาพหนงหนวย (unit imaginay number)ขอสงเกต i2 = −1

ตวอยาง . . จานวนตอไป √−4, √−9, −√

−1, √−2 เขยนไดเปน√−4 = 2i

√−9 = 3i −

√−1 = −i

√−2 =

√2i

ตอไปจะพจารณา in เมอ n ∈ Z โดยi0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = i2 · i = (−1)i = −i

i4 = i2 · i2 = (−1)(−1) = 1

i5 = i4 · i = (1)i = i

...

i−1 =1

i=

i

i2= −i

i−2 =1

i2=

1

−1= −1

i−3 =1

i3=

1

−i=

i

−i2= i

i−4 =1

i4=

1

1= 1

...

สาหรบจานวนเตม n ใด ๆ จะไดวา

in =

1 เมอ n ≡ 0 ( mod 4)

i เมอ n ≡ 1 ( mod 4)

−1 เมอ n ≡ 2 ( mod 4)

−i เมอ n ≡ 3 ( mod 4)

กาหนดให n ≡ a ( mod 4) หมายถง 4 | (a− n) เมอ a ∈ {0, 1, 2, 3} หรอกลาวไดโดยงายวาเมอ 4 หาร nเหลอเศษ , , และ จะไดวา in เทากบ 1, i, −1 และ −i ตามลาดบนนเองตวอยาง . . จงหาผลบวก i+ i2 + i3 + · · ·+ i2017

. . การดาเนนการบนจานวนเชงซอน

จะเหนไดวาi+ i2 + i3 + i4 = i+ (−1) + (−i) + 1 = 0

i5 + i6 + i7 + i8 = i+ (−1) + (−i) + 1 = 0

i9 + i10 + i11 + i12 = i+ (−1) + (−i) + 1 = 0

...i2013 + i2014 + i2015 + i2016 = i+ (−1) + (−i) + 1 = 0

i2017 = i เพราะวา 2017 ≡ 1 ( mod 4) สรปไดวาi+ i2 + i3 + · · ·+ i2017 = i

บทนยาม . . ให a และ b เปนจานวนจรง และ i =√−1 จะเรยกจานวน z ทเขยนในรป

z = a+ bi

วาจานวนเชงซอน (complex number) เรยก a วาสวนจรง (real part) ของ z เขยนแทนดวย Re(z) และเรยก b วาสวนจนตภาพ (imaginary part) ของ z เขยนแทนดวย Im(z) ให C แทนเซตของจานวนเชงซอนจะไดวา

C = {a+ bi | a, b ∈ R, i =√−1}

ขอสงเกต สาหรบจานวนจรง a ใด ๆ จะไดวา a = a + 0i ∈ C ดงนน R ⊆ C ยงไปกวานน R เปนสบเซตแทของ Cบทนยาม . . ให a, b, c และ d เปนจานวนจรง แลว

a+ bi = c+ di กตอเมอ a = c และ b = d

จากนยามขางตน a+ bi = 0 กตอเมอ a = 0 หรอ b = 0

ตวอยาง . . จงหาจานวนจรง x และ y ทสอดคลอง x+ 2yi+ y − xi = 3− 5i+ yi

เนองจากx+ 2yi+ y − xi = 3− 5i+ yi

(x+ y) + (2y − x)i = 3 + (y − 5)i

ดงนน x+ y = 3 และ 2y − x = y − 5 สรปไดวา x = 4 และ y = −1

บทนยาม . . ให a, b, c และ d เปนจานวนจรง กาหนดให z1 = a+ bi และ z2 = c+ di แลวการบวก (addition) z1 + z2 = (a+ c) + (b+ d)i

การลบ (subtraction) z1 − z2 = (a− c) + (b− d)i

บทท . จานวนเชงซอนเบองตนการคณ (multiplication) z1 · z2 = (ac− bd) + (bc+ ad)i

การหาร (division) z1z2

=ac+ bd

c2 + d2+

bc− ad

c2 + d2i เมอ z2 = 0 หรอ c = 0 หรอ d = 0

ขอสงเกต สาหรบการคณz1 · z2 = (a+ bi)(c+ di)

= ac+ adi+ cbi+ bdi2

= ac+ adi+ cbi+ bd(−1)

= ac+ adi+ cb− bd

= (ac− bd) + (bc+ ad)i

ดงนนการคณในจานวนเชงซอนสามารถทาไดในทานองเดยวกนกบการคณในจานวนจรงโดยพจารณาคาของ i2 = −1 สาหรบการหารพจารณา

z1z2

=a+ bi

c+ di

=a+ bi

c+ di· c− di

c− di

=ac− adi+ bci− bdi2

c2 − d2i2

=(ac+ bd) + (bc− ad)i

c2 + d2

=ac+ bd

c2 + d2+

bc− ad

c2 + d2i

ดงนนการหารในจานวนเชงซอนสามารถทาไดในทานองเดยวกนกบการหารในจานวนจรงตวอยาง . . จงเขยนจานวนตอไปนในรป a+ bi

. (2 + 3i) + (5− 2i) = 7 + i

. (−1 + 5i)− (7− 2i) = −8 + 7i

. (5− i)(3 + 4i) = 15 + 20i− 3i− 4i2 = 19 + 17i

. (1− 2i)2 = 1− 4i+ 4i2 = −3− 4i

. 3 + i

1− i=

3 + i

1− i· 1 + i

1 + i=

3 + 3i+ i+ i2

12 − i2=

2 + 4i

2= 1 + 2i

ตวอยาง . . จงเขยนจานวนตอไปนในรป a+ bi

. (1 + i)20 = [(1 + i)2]10 = [1 + 2i+ i2]10 = (2i)10 = 210i10 = −1024

. . การดาเนนการบนจานวนเชงซอน

. 1 + i

1− i+

1− i

1 + i=

(1 + i)2 + (1− i)2

(1− i)(1 + i)=

1 + 2i+ i2 + 1− 2i+ i2

1− i2=

0

2= 0

ตวอยาง . . ให a, b, c และ d เปนจานวนจรง โดยท a = 0 หรอ b = 0 จงแสดงวาa+ bi

b− ai= i

บทพสจน. ให a, b, c และ d เปนจานวนจรง โดยท a = 0 หรอ b = 0 จะไดวาa+ bi

b− ai=

a+ bi

b− ai· b+ ai

b+ ai=

(a+ bi)(b+ ai)

(b− ai)(b+ ai)

=ab+ a2i+ b2i+ abi2

b2 − (ai)2=

ab+ a2i+ b2i− ab

b2 − a2i2

=a2i+ b2i

b2 + a2=

i(a2 + b2)

b2 + a2= i

ตวอยาง . . จงหาคาของจานวนตอไปน1 + 2i

2− i+

2 + 3i

3− 2i+

3 + 4i

4− 3i+ · · ·+ 2559 + 2560i

2560− 2559i

โดยตวอยาง . . จะไดวาทกพจนเทากบ i ซงมทงหมด 2559 พจน ดงนน1 + 2i

2− i+

2 + 3i

3− 2i+

3 + 4i

4− 3i+ · · ·+ 2559 + 2560i

2560− 2559i= 2559i

ทฤษฎบท . . สาหรบการดาเนนการทวภาค + และ · ในจานวนเชงซอนมสมบตคลายสจพจนสนามในระบบจานวนจรง ดงน(C ) สมบตปด (closer laws)

สาหรบการบวก : ทก ๆ z, w ∈ C จะไดวา z + w ∈ Cสาหรบการคณ : ทก ๆ z, w ∈ C จะไดวา z · w ∈ C

(C ) สมบตสลบท (commutative laws)สาหรบการบวก : ทก ๆ z, w ∈ C จะไดวา z + w = w + z

สาหรบการคณ : ทกๆ z, w ∈ C จะไดวา z · w = z · w

(C ) สมบตการเปลยนหม (associative laws)สาหรบการบวก : ทก ๆ z, w, u ∈ C จะไดวา (z + w) + u = z + (w + u)

สาหรบการคณ : ทก ๆ z, w, u ∈ C จะไดวา (z · w) · u = z · (w · u)

(C ) สมบตการมเอกลกษณ (existence of identities)สาหรบการบวก : ม 0 = 0 + 0i ∈ C ซง z + 0 = z = 0 + z ทก ๆ z ∈ C

เรยก 0 วาเอกลกษณการบวก (additive identity)สาหรบการคณ : ม 1 = 1 + 0i ∈ C ซง z · 1 = z = 1 · z ทก ๆ z ∈ C

เรยก 1 วาเอกลกษณการคณ (multiplicative identity)

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน(C ) สมบตการมตวผกผน (existence of inverses)

สาหรบการบวก : สาหรบ z ∈ C จะม −z ∈ R ซง z + (−z) = 0 = (−z) + z

เรยก −z วาตวผกผนการบวกของ zสาหรบการคณ : สาหรบ z ∈ C ซง z = 0 จะม z−1 ∈ C ซง z · z−1 = 1 = z−1 · z

เรยก z−1 วาตวผกผนการคณของ z(C ) สมบตการแจกแจง (distributive law)

สาหรบ z, w, u ∈ C จะไดวา

z · (w + u) = z · w + z · u และ (w + u) · z = w · z + u · z

เพอความสะดวก zw แทน z · w

. มอดลสและสงยคบทนยาม . . ให a และ b เปนจานวนจรง จานวนเชงซอน a+bi เขยนแทนดวยคอนดบจานวนจรง (a, b)เรยกระนาบทเกดจากจดดงกลาววา ระนาบเชงซอน (complex plane) แกน X เรยกวาแกนจรง (realaxis) และแกน Y เรยกวาแกนจนตภาพ (imaginary axis)

แกนจรง

แกนจนตภาพ

a

b (a, b) = a+ bi

รปท แสดงจด (a, b) บนระนาบเชงซอน

บทนยาม . . ใหจานวนเชงซอน z = a+ bi เมอ a และ b เปนจานวนจรง แลว มอดลส (modulus) ของz เขยนแทนดวย |z| นยามโดย

|z| =√a2 + b2

สงยค (conjugate) ของ z เขยนแทนดวย z นยามโดยz = a− bi

ขอสงเกต. |z| ≥ 0 และ |z| = 0 กตอเมอ z = 0

. |z| = |z| และ |z| = | − z|

. . มอดลสและสงยค

. z + z = 2Re(z) และ z − z = 2iIm(z)

แกนจรง

แกนจนตภาพ

a

b

−b

|z|z = (a, b) = a+ bi

z = (a,−b) = a− bi

รปท แสดงสงยคและมอดลสบนระนาบเชงซอน

ตวอยาง . . จงหามอดลสและสงยคของจานวนเชงซอนตอไปน

. z = 3 + 4i จะไดวา z = 3− 4i และ |z| =√32 + 42 = 5

. w = 1− 2i จะไดวา w = 1 + 2i และ |w| =√12 + (−2)2 =

√5

สาหรบกรณ z = z ให z = a+ bi จะไดวา a+ bi = a− bi นนคอ b = −b สรปไดวา b = 0 จะไดวา z เปนจานวนจรงแท และกรณ |z| = z จะไดวา

√a2 + b2 = a+ bi

ดงนน b = 0 และ a =√a2 + b2 =

√a2 = |a| ≥ 0 สรปไดวา z เปนจานวนจรงแททไมใชจานวนลบ

ทฤษฎบท . . ให z และ w เปนจานวนเชงซอน แลว

. |z · w| = |z| · |w|

.∣∣∣∣1z∣∣∣∣ = 1

|z|เมอ z = 0

.∣∣∣wz

∣∣∣ = |w||z|

เมอ z = 0

บทพสจน. ให z = a+ bi และ w = c+ di เมอ a, b, c และ d เปนจานวนจรง

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน. |z · w| = |z| · |w|

|z · w| = |(a+ bi)(c+ di)| = |(ac− bd) + (ad+ bc)i|=√(ac− bd)2 + (ad+ bc)2

=√a2c2 − 2abcd+ b2d2 + a2d2 + 2abcd+ b2c2

=√a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2

=√a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2)

=√(a2 + b2)(c2 + d2)

=√(a2 + b2)

√(c2 + d2)

= |z| · |w|

. ให z = 0 จะไดวา ∣∣∣∣1z∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 1

a+ bi

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a− bi

(a+ bi)(a− bi)

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ a− bi

a2 + b2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ a

a2 + b2− b

a2 + b2i

∣∣∣∣=

√(a

a2 + b2

)2

+

(− b

a2 + b2

)2

=

√a2 + b2

(a2 + b2)2=

√1

a2 + b2

=1√

a2 + b2=

1

|z|

. ให z = 0 โดยขอ และขอ จะไดวา∣∣∣wz

∣∣∣ = ∣∣∣∣w · 1z

∣∣∣∣ = |w| ·∣∣∣∣1z∣∣∣∣ = |w| · 1

|z|=

|w||z|

ตวอยาง . . จงหามอดลสของ z ทสอดคลองเงอนไข (5− 12i)z(4− 3i) = −13(7 + 24i)

จะไดวา|(5− 12i)z(4− 3i)| = | − 13(7 + 24i)|

|5− 12i| · |z| · |4− 3i| = | − 13| · |7− 24i|√52 + (−12)2 · |z| ·

√42 + (−3)2 = 13

√72 + 242

13|z|(5) = 13(25)

|z| = 5

ดงนน มอดลสของ z เทากบ

. . มอดลสและสงยค

ทฤษฎบท . . ให z เปนจานวนเชงซอน สาหรบจานวนนบ n ใด ๆ จะไดวา |zn| = |z|n

บทพสจน. พสจนโดยหลกอปนยเชงคณตศาสตร เมอ n = 1 เหนไดชดวา |z1| = |z| = |z|1 ดงนนขนฐานเปนจรง สมมตวา |zk| = |z|k สาหรบ k ∈ N โดยทฤษฎบท . . ขอ จะไดวา

|zk+1| = |zk · z| = |zk| · |z|

โดยสมมตฐานจะไดวา |zk+1| = |z|k · |z| = |z|k+1 ดงนนขนอปนยเปนจรงตวอยาง . . โดยทฤษฎบท . . จะไดวา |(3 + 4i)100| = |3 + 4i|100 = 5100

ทฤษฎบท . . ให z และ w เปนจานวนเชงซอน แลว. z + w = z + w

. z − w = z − w

. z · w = z · w

.( zw

)=

z

wเมอ w = 0

. (z) = z

. (zn) = (z)n เมอ n ∈ N

บทพสจน. ให z = a+ bi และ w = c+ di เมอ a, b, c และ d เปนจานวนจรง. z + w = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i = (a+c)−(b+d)i = (a−bi)+(c−di) = z+w

. z − w = (a+ bi)− (c+ di) = (a− c) + (b− d)i = (a−c)−(b−d)i = (a−bi)−(c−di) = z−w

.z · w = (a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i

= (ac− bd)− (ad+ bc)i

= (a− bi)(c− di) = z · w

. ให w = 0 แลว ( zw

)=

(a+ bi

c+ di

)=

(ac+ bd

c2 + d2+

bc− ad

c2 + d2i

)=

ac+ bd

c2 + d2− bc− ad

c2 + d2i =

(ac+ bd)− (bc− ad)i

c2 + d2

=(a− bi)(c+ di)

(c+ di)(c− di)=

a− bi

c− di=

z

w

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน. (z) = (a− bi) = a+ bi = z

. ทาเปนแบบฝกหด (พสจนโดยอปนยเชงคณตศาสตร)

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนเชงซอน z ใด ๆ จะไดวา z · z = |z|2

บทพสจน. ให z = a+ bi เมอ a และ b เปนจานวนจรง จะไดวาz · z = (a+ bi)(a− bi) = a2 − b2i2 = a2 + b2 = |z|2

ตวอยาง . . ให z = 1 + i จงหาคาของ z2016 + (z)2016

พจารณา z2016 จะไดวาz2016 = (1 + i)2016 = [(1 + i)2]1008 = [1 + 2i+ i2]1008 = (2i)1008

= 21008i1008 = 21008

เนองจาก (z)2016 = (z2016) = (21008) = 21008 ดงนนz2016 + (z)2016 = 21008 + 21008 = 2 · 21008 = 21009

ตวอยาง . . ให z และ w เปนจานวนเชงซอนถา Im(z − w) = 0 และ Re(z2 − 2w2) = 0 จงแสดงวา z · z = 1

2(w + w)2

บทพสจน. ให z = a+ bi และ w = c+ di เมอ a, b, c, d ∈ Rสมมตวา Im(z − w) = 0 และ Re(z2 − 2w2) = 0 จะไดวา

0 = Im(z − w) = Im(a+ bi− c− di) = b− d

ทาใหไดวา b = d พจารณาz2 − 2w2 = (a+ bi)2 − 2(c+ di)2 = (a+ bi)2 − 2(c+ bi)2

= a2 + 2abi+ b2i2 − 2(c2 + 2cbi+ b2i2)

= a2 + 2abi− b2 − 2c2 − 4cbi+ 2b2

= a2 + b2 − 2c2 + 2abi− 4cbi

เนองจาก Re(z2 − 2w2) = 0 จะไดวา a2 + b2 − 2c2 = 0 นนคอ a2 + b2 = 2c2 ดงนนz · z = |z|2 = a2 + b2 = 2c2 =

1

2[2Re(w)]2 = 1

2(w + w)2

. . มอดลสและสงยค

ทฤษฎบท . . ให z และ w เปนจานวนเชงซอน จะไดวา. |z + w|2 = |z|2 + 2Re(zw) + |w|2

. |z − w|2 = |z|2 − 2Re(zw) + |w|2

บทพสจน. ให z และ w เปนจานวนเชงซอน โดยทฤษฎบท . . จะไดวา. โดยทฤษฎบท . . และทฤษฎบท . . จะไดวา

|z + w|2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w)

= zz + zw + wz + ww

= |z|2 + zw + zw + |w|2

= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2

. ทาเปนแบบฝกหด

บทแทรก . . ให z และ w เปนจานวนเชงซอน จะไดวา. |z + w|2 + |z − w|2 = 2|z|2 + 2|w|2

. |z − w|2 − |z − w|2 = 4Re(zw)บทพสจน. เหนไดชดจากทฤษฎบท . .ตวอยาง . . ให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอน โดยท |z1+z2| = 5 และ |z1−z2| = 3 จงหา |z1|2+|z2|2

โดยบทแทรก . . จะไดวา2|z1|2 + 2|z2|2 = |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2

2|z1|2 + 2|z2|2 = 52 + 32 = 34

∴ |z1|2 + |z2|2 = 17

บทตง . . ให z เปนจานวนเชงซอน แลวจะไดวา. Re(z) ≤ |z| . Im(z) ≤ |z|

บทพสจน. ให z = a+ bi เมอ a, b ∈ R จะไดวาRe(z) = a ≤ |a| =

√a2 ≤

√a2 + b2 = |z|

Im(z) = b ≤ |b| =√b2 ≤

√a2 + b2 = |z|

บทท . จานวนเชงซอนเบองตนทฤษฎบท . . อสมการสามเหลยม (triangle inequality)ให z และ w เปนจานวนเชงซอน แลว |z + w| ≤ |z|+ |w|

บทพสจน. ให z และ w เปนจานวนเชงซอน โดยทฤษฎบท . . และบทตง . . จะไดวา|z + w|2 = |z|2 + 2Re(zw) + |w|2

≤ |z|2 + 2|zw|+ |w|2

= |z|2 + 2|z| · |w|+ |w|2

= |z|2 + 2|z| · |w|+ |w|2

= (|z|+ |w|)2

สรปไดวา |z + w| ≤ |z|+ |w|

. กราฟของจานวนเชงซอนในหวขอนจะพจารณาจานวนเชงซอน z = x + yi ในรปของคอนดบ (x, y) เปนจดบนระนาบเชงซอน

ทาใหมองสมการตาง ๆ ของจานวนเชงซอนสมพนธเปนกราฟได โดยทx = 1

2(z + z) และ y = 1

2i(z − z) และ x2 + y2 = z · z = |z|2

เมอกลาวถง z ในหวขอนใหหมายถงจานวนเชงซอน z = x+ yi เมอ x, y ∈ R

ตวอยาง . . จานวนเชงซอน z ทสอดคลองสมการ |z| = 3 จะไดกราฟเปนวงกลมเนองจาก |z|2 = x2 + y2 ดงนน x2 + y2 = 32

แกนจรง

แกนจนตภาพ

−4 −2 0 2 4

−4

−2

2

4

ตวอยาง . . จานวนเชงซอน z ทสอดคลองสมการ |z− 3|+ |z +3| = 10 พจารณาจากสมการจะไดวาผลบวกของระยะทาง z ไปยง (−3, 0) และ (0, 3) มคาเทากบ 10 ซงตรงกบนยามวงรในระนาบ XY

. . กราฟของจานวนเชงซอน

จะพสจนประโยคทกลาวมาดงน

|z − 3|+ |z + 3| = 10

|x+ yi− 3|+ |x+ yi+ 3| = 10√(x− 3)2 + y2 +

√(x+ 3)2 + y2 = 10

(√(x− 3)2 + y2)2 = (10−

√(x+ 3)2 + y2)2

(x− 3)2 + y2 = 100− 20√(x+ 3)2 + y2 + (x+ 3)2 + y2

x2 − 6x+ 9 = 100− 20√(x+ 3)2 + y2 + x2 + 6x+ 9

5√

(x+ 3)2 + y2 = 25 + 3x

25[(x+ 3)2 + y2] = 625 + 150x+ 9x2

25[x2 + 6x+ 9 + y2] = 625 + 150x+ 9x2

16x2 + 25y2 = 400

x2

25+

y2

16= 1

แกนจรง

แกนจนตภาพ

−4 −2 0 2 4

−4

−2

2

4

ตวอยาง . . จานวนเชงซอน z ทสอดคลองสมการ ||z − 2| − |z + 2|| = 2 พจารณาจากสมการจะไดวาผลตางของระยะทาง z ไปยง (−2, 0) และ (0, 2) มคาเทากบ 2 ซงตรงกบนยามไฮเพอรโบลาในระนาบXY พสจนไดในทานองเดยวกนกบตวอยางกอนหนาน (ทาเปนแบบฝกหด)

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน

แกนจรง

แกนจนตภาพ

−4 −2 0 2 4

−4

−2

2

4

ตอไปเปนตวอยางการเขยนสมการตวแปร x, y ในรป z = x+ yi เชนสมการ x2 + y2 = 1 เขยนไดเปน|z| = 1 และ x2 + (y − 1)2 = 9 เขยนไดเปน |z − i| = 3 เปนตนตวอยาง . . จงเขยนสมการ x2 − y2 = 1 ในรปสมการจานวนเชงซอน z จะไดวา(

1

2(z + z)

)2

−(

1

2i(z − z)

)2

= 1

1

4(z + z)2 +

1

4(z − z)2 = 1

(z + z)2 + (z − z)2 = 4

2z2 + 2z2 = 4

z2 + z2 = 2

ดงนน x2 − y2 = 1 เขยนไดเปน z2 + z2 = 2

. จานวนเชงซอนในรปเชงขวบทนยาม . . ใหจานวนเชงซอน z = x+ yi และมอดลสคอ r = |z| =

√x2 + y2

แกนจรง

แกนจนตภาพ

x

y

r

(x, y) = x+ yi

θ

รปท แสดงความสมพนธจานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขว

. . จานวนเชงซอนในรปเชงขว

อารกวเมนต (argument) ของ z คอจานวนจรง θ เขยนแทนดวย arg(z) ซงx = rcos θ และ y = rsin θ

สงเกตไดวา arg(z) มไดหลายคา ถาสนใจเฉพาะ−π < θ ≤ π จะเรยก θ วาอารกวเมนตหลก (principleargument) เขยนแทนดวย Arg(z)

ดงนนจะสามารถเขยนจานวนเชงซอน z ไดเปนz = r(cos θ + isin θ) หรอ z = reiθ

เมอ eiθ = cos θ + isin θ เรยกวาสตรของออยเลอร (Euluer's formula)ดงนน |eiθ| = 1 และ z = r(cos θ + isin θ) เปนจานวนเชงซอนใน ระบบพกดเชงขว (the polarcoordinate system) โดยระบจดดวยคอนดบ (r, θ)

ตวอยาง . . เขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรปแบบเชงขวโดย r = |z| และ θ = Arg(z). z = 1 จะไดวา z = 1(1 + 0i) = cos 0 + isin 0 หรอ z = ei0

. z = −2i จะไดวา z = 2(0− i) = 2(cos (−π2) + isin (−π

2)) หรอ z = 2e−iπ

2

. z = 1 + i จะไดวา z =√2(

1√2+ 1√

2i)=

√2(cos π

4+ isin π

4) หรอ z =

√2ei

π4

. z =√3− i จะไดวา z = 2

(√32− 1

2i)= 2(cos (−π

6) + isin (−π

6)) หรอ z = 2e−iπ

6

สาหรบขอ และ จะสงเกตไดวา z = ei3π2 และ z = ei

11π6 ตามลาดบ เปนรปแบบเชงขวอกแบบหนงทม

อารกวเมนตเปนบวกแต ไมเปนอารกวเมนตหลกตามทโจทยกาหนดตวอยาง . . จากตวอยาง . . จะไดวา

. (1, 0) ในระบบพกดฉาก (ระนาบเชงซอน) ตรงกบ (1, 0) ในระบบพกดเชงขว

. (0,−2) ในระบบพกดฉาก (ระนาบเชงซอน) ตรงกบ (2,−π2) ในระบบพกดเชงขว

. (1, 1) ในระบบพกดฉาก (ระนาบเชงซอน) ตรงกบ (√2, π

4) ในระบบพกดเชงขว

. (√3,−1) ในระบบพกดฉาก (ระนาบเชงซอน) ตรงกบ (2,−π6) ในระบบพกดเชงขว

ตวอยาง . . จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรป x+ yi

. 4(cos π6+ isin π

6) = 4(

√32+ 1

2i) = 2

√3 + 2i

. 6(cos 3π4+ isin 3π

4) = 6(−

√22+

√22i) = −3

√2 + 3

√2i

. 4ei 5π2 = 4(0 + i) = 4i

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน. 2eiπ3 = 2(1

2+

√32i) = 1 +

√3i

ทฤษฎบท . . ให z1 = r1(cos θ1 + isin θ1) และ z2 = r2(cos θ2 + isin θ2) เปนจานวนเชงซอน แลว. z1 · z2 = r1r2[cos (θ1 + θ2) + isin (θ1 + θ2)]

. 1

z2=

1

r2[cos (−θ2) + isin (−θ2)] เมอ z2 = 0

. z1z2

=r1r2[cos (θ1 − θ2) + isin (θ1 − θ2)] เมอ z2 = 0

แกนจรง

แกนจนตภาพ

z1

θ1

z2

θ2

z1 · z2

θ1 + θ2

รปท แสดงผลคณของจานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขวบทพสจน. ให z1 = r1(cos θ1 + isin θ1) และ z2 = r2(cos θ2 + isin θ2) แลว

.z1 · z2 = r1(cos θ1 + isin θ1)r2(cos θ2 + isin θ2)

= r1r2[cos θ1cos θ2 + icos θ1sin θ2 + isin θ1cos θ2 + i2sin θ1sin θ2]

= r1r2[(cos θ1cos θ2 − sin θ1sin θ2) + i(cos θ1sin θ2 + sin θ1cos θ2)]= r1r2[cos (θ1 + θ2) + isin (θ1 + θ2)]

. ให z2 = 0 จะไดวา1

z2=

1

r2(cos θ2 + isin θ2)

=1

r2· cos θ2 − isin θ2(cos θ2 + isin θ2)(cos θ2 − isin θ2)

=1

r2· cos (−θ2) + isin (−θ2)

cos 2θ2 − i2sin 2θ2

=1

r2[cos (−θ2) + isin (−θ2)]

. . จานวนเชงซอนในรปเชงขว. ให z2 = 0 โดยขอ และขอ จะไดวา

z1z2

= z1 ·1

z2= r1(cos θ1 + isin θ1) ·

1

r2[cos (−θ2) + isin (−θ2)]

=r1r2[cos (θ1 − θ2) + isin (θ1 − θ2)]

ตวอยาง . . จงเขยน (1 + i)(1−√3i)√

3 + iในรป x+ yi

วธทา(1 + i)(1−

√3i)√

3 + i=

√2(

1√2+ 1√

2i)2(

12−

√32i)

2(√

32+ 1

2i)

=

√2(cos π

4+ isin π

4

) (cos (−π3) + isin (−π

3))

cos π6+ isin π

6

=√2[cos

(π4− π

3− π

6

)+ isin

(π4− π

3− π

6

)]=

√2[cos

(−π

4

)+ isin

(−π

4

)]=

√2

(1√2− i

1√2

)= 1− i

จากการสงเกตทฤษฎบท . . ขอ เมอพจารณาz21 = z1 · z1 = r1(cos θ1 + isin θ1)r1(cos θ1 + isin θ1) = r21(cos 2θ1 + isin 2θ1)

ทาใหขยายแนวคดไปส zn1 เมอ n ∈ N ซงเสนอครงแรกโดยนกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอวา เดอรมวฟวร(Abraham de Moivre: - ) รจกกนในชอทฤษฎบทเดอรมวฟวร (De Moivre's theorem)ทฤษฎบท . . ทฤษฎบทเดอรมวฟวรให z = r(cos θ + isin θ) เปนจานวนเชงซอน สาหรบจานวนนบ n ใด ๆ จะไดวา

zn = rn(cos (nθ) + isin (nθ))

บทพสจน. พสจนโดยอปนยเชงคณตศาสตร กรณ n = 1 เหนไดชด ดงนนขนฐานเปนจรง สมมตวาzk = rk(cos (kθ) + isin (kθ))

สาหรบ k ∈ N โดยสมมตฐานและทฤษฎบท . . ขอ จะไดวาzk+1 = zk · z

= rk(cos (kθ) + isin (kθ)) · r(cos θ + isin θ)

= rk+1(cos (kθ + θ) + isin (kθ + θ))

= rk+1(cos ((k + 1)θ) + isin ((k + 1)θ))

ดงนนขนอปนยเปนจรง

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน

ตวอยาง . . จงหาคาของ(1

2+

√3

2i

)2017

วธทา (1

2+

√3

2i

)2017

=(cos π

3+ isin π

3

)2017= cos 2017π

3+ isin 2017π

3

= cos(672π +

π

3

)+ isin

(672π +

π

3

)=

1

2+

√3

2i

ตวอยาง . . จงหาคาของ (√3− i)102(−1 + i)2018

(1 +√3i)1111

วธทา

(√3− i)102(−1 + i)2018

(1 +√3i)1111

=

(2(

√32− i1

2))102 (√

2(− 1√2+ 1√

2i))2018

(2(1

2+

√32i))1111

=2102

(cos (−π6) + isin (−π

6))102√

22018 (cos 3π

4+ isin 3π

4

)201821111

(cos π3+ isin π

3

)1111=

2102(cos (−102π

6) + isin (−102π

6))21009

(cos 6054π4

+ isin 6054π4

)21111

(cos 1111π3

+ isin 1111π3

)=

21111 (cos (−17π) + isin (−17π))(cos 3027π

2+ isin 3027π

2

)21111

(cos 1111π3

+ isin 1111π3

)= cos

(−17π +

3027π

2− 1111π

3

)+ isin

(−17π +

3027π

2− 1111π

3

)= cos

(1126π − π

6

)+ isin

(1126π − π

6

)=

√3

2− 1

2i

พจารณารากในจานวนจรง เชน รากท ของ คอ และ −1 เพราะวา 12 = 1 และ (−1)2 = 1 แตรากท ของ คอ เพยงรากเดยวเทานนในจานวนจรง เพราะ 13 = 1 แตสาหรบจานวนเชงซอนแลวจะหารากไดอกสองดงน

z = cos 2π3+ isin 2π

3และ w = cos 4π

3+ isin 4π

3

ซง z3 = w3 = 1 นาเสนอโดยเดอรมวฟวรรจกกนในชอ กฎเดอรมวฟวร (De Moivre's Law)บทนยาม . . ให z เปนจานวนเชงซอนและ n ∈ N

จะเรยก w วา ราก (root) ท n ของ z กตอเมอ wn = z

. . จานวนเชงซอนในรปเชงขว

บทตง . . ให z = r(cos θ + isin θ) เปนจานวนเชงซอน สาหรบ n ∈ N แลวจะไดวา

z1n = r

1n

(cos θ

n+ isin θ

n

)บทพสจน. ให w = r

1n

(cos θn+ isin θ

n

) โดยทฤษฎบทเดอรมวฟวรจะไดwn =

[r

1n

(cos θ

n+ isin θ

n

)]n= r(cos θ + isin θ) = z

ดงนน z1n = w

ทฤษฎบท . . กฎของเดอรมวฟวรให z = r(cos θ + isin θ) เปนจานวนเชงซอน แลวรากท n ของ z คอ

zk = r1n

[cos

(θ + 2kπ

n

)+ isin

(θ + 2kπ

n

)]เมอ k = 0, 1, 2, ..., n− 1

แกนจรง

แกนจนตภาพ

z0

2πn

z1

2πn

z2

รปท แสดงรากท n ของจานวนเชงซอนบนระบบพกดเชงขว

บทพสจน. เราจะพสจนอยางคราว ๆ สาหรบ z = r(cos θ+ isin θ) เนองจาก cos (θ) = cos (θ+2kπ)

และ sin (θ) = sin (θ + 2kπ) ทก ๆ จานวนเตม k โดยบทตง . . จะไดวาz = r(cos (θ + 2kπ) + isin (θ + 2kπ))

zk = z1n = r

1n

[cos

(θ + 2kπ

n

)+ isin

(θ + 2kπ

n

)]

เลอกจานวนเตม k ททาใหรากแตกตางกนได n จานวนคอ k = 0, 1, 2, 3, ..., n− 1

ตวอยาง . . จงหารากท ของ −12+

√32i

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน

วธทา ให z = −12+

√32

= cos 2π3+ isin 2π

3ดงนน

z0 = cos2π3+ 0

2+ isin

2π3+ 0

2= cos π

3+ isin π

3=

1

2+

√3

2i

z1 = cos2π3+ 2π

2+ isin

2π3+ 2π

2= cos 4π

3+ isin 4π

3= −1

2−

√3

2i

แกนจรง

แกนจนตภาพ

z0

180◦

180◦

z1

ขอสงเกต ในกรณรากทสองของจานวนเชงซอนจะเปนจานวนทตางกน องศา นนคอ ถา z0 เปนรากทสองของ z รากทสองอกรากคอ z1 = −z0

ตวอยาง . . จงหารากท ของ

วธทา ให z = 1 = cos 0 + isin 0 ดงนน

z0 = cos 0 + 0

3+ isin 0 + 0

3= cos 0 + isin 0 = 1

z1 = cos 0 + 2π

3+ isin 0 + 2π

3= cos 2π

3+ isin 2π

3= −1

2+

√3

2i

z2 = cos 0 + 4π

3+ isin 0 + 4π

3= cos 4π

3+ isin 4π

3= −1

2−

√3

2i

. . จานวนเชงซอนในรปเชงขว

แกนจรง

แกนจนตภาพ

z0120◦

120◦

120◦

z1

z2

ตวอยาง . . จงหารากท ของ −1

วธทา ให z = −1 = cos π + isin π ดงนนz0 = cos π + 0

6+ isin π + 0

6= cos π

6+ isin π

6=

√3

2+

1

2i

z1 = cos π + 2π

6+ isin π + 2π

6= cos π

2+ isin π

2= i

z2 = cos π + 4π

6+ isin π + 4π

6= cos 5π

6+ isin 5π

6= −

√3

2+

1

2i

z3 = cos π + 6π

6+ isin π + 6π

6= cos 7π

6+ isin 7π

6= −

√3

2− 1

2i

z4 = cos π + 8π

6+ isin π + 8π

6= cos 3π

2+ isin 3π

2= −i

z5 = cos π + 10π

6+ isin π + 10π

6= cos 11π

6+ isin 11π

6=

√3

2− 1

2i

แกนจรง

แกนจนตภาพ

z060◦60◦

60◦

60◦ 60◦60◦

z1

z2

z3

z4

z5

ตวอยาง . . จงหารากท ของ −7 + 24i

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน

วธทา ให z = −7 + 24i จะไดวา r = |z| =√

(−7)2 + 242 = 25 และ θ = Arg(z) ซงอยในคอรดรนตทและ tan θ = −24

7ทาใหไดวา cos θ = − 7

25ดงนน

z = 25(cos θ + isin θ)

จะไดวาz0 = 25

12

(cos θ + 0

2+ isin θ + 0

2

)= 5

(cos θ

2+ isin θ

2

)เนองจาก π

2< θ < π ดงนน π

4< θ

2< π

2ทาใหไดวา

z0 = 5

(√1 + cos θ

2+ i

√1− cos θ

2

)

= 5

√1− 725

2+ i

√1 + 7

25

2

= 3 + 4i

รากทสองอกรากกคอ z1 = −z0 = −3− 4i

. การจดการเรยนรเรองจานวนเชงซอนความรเกยวกบจานวนเชงซอนในหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช มดงน

สาระท จานวนและพชคณตมาตรฐาน ค . เขาใจความหลากหลายของการแสดงจานวน ระบบจานวน การดาเนนการของจานวนผลทเกดขนจากการดาเนนการ สมบตของการดาเนนการ และนาไปใช

ชน ตวชวด สาระการเรยนรแกนกลางม. . เขาใจจานวนเชงซอนและใชสมบต จานวนเชงซอนเนน ของจานวนเชงซอนในการแกปญหา - จานวนเชงซอน และสมบตของ

วทยาศาสตร . หารากท n ของจานวนเชงซอน เมอ n จานวนเชงซอนเปนจานวนนบทมากกวา - จานวนเชงซอนในรปเชงขว

- รากท n ของจานวนเชงซอน เมอ nเปนจานวนนบทมากกวา

ตารางท ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลางของเรองจานวนเชงซอน

. . การจดการเรยนรเรองจานวนเชงซอน

โดยเนอหาจะเนนไปทความรเบองตนและสญลกษณพนฐาน ในการเรยนระดบชนมธยมศกษาปท ทเนนวทยาศาสตร

ตวอยางการจดกจกรรมการเรยนรแบบ Eผ เขยนขอยกตวอยางการสอนสาระการเรยนร "การหารากของจานวนเชงซอนโดยใชวงกลมหนงหนวย"

โดยนาหลกการในทฤษฎบทของเดอรมวรมาเขยนรากทงหมดบนวงกลมหนงหนวย เพอใหเขาใจและเหนถงความสมพนธในแตละราก ซงทาได ขนตอนดงน

. ขนสรางความสนใจนาเขาสบทเรยนโดยทบทวนนยามของรากท n ของจานวนเชงซอน ทกลาวไววา w เปนรากท n ของจานวนเชงซอน z กตอเมอ wn = z และตงคาถามสาหรบจานวนงาย ๆ เชน รากท ของ คอ 1 และ−1 และเขยนตวอยางรากท และ ของ โดยระบตาแหนงลงบนวงกลมหนงหนวย ใหนกเรยนสงเกตความสมพนธของมม

แกนจรง

แกนจนตภาพ

z0180◦

180◦

z1

แกนจรง

แกนจนตภาพ

z0120◦

120◦

120◦

z1

z2

แกนจรง

แกนจนตภาพ

z090◦90◦

90◦ 90◦

z2

z3

z4

. ขนสารวจคนหาแบงนกเรยนเปนกลม ๆ ละ คน กจกรรมท แจกบตรบตรคาถามกลมทละใบเรมจากรากทและ ตามลาดบ โดยบตรคาถามระบรากท n และใหรากจานวนเชงซอนมา จานวนและเขยน

กราฟไวใน ใหนกเรยนเขยนรากทเหลอบนวงกลมหนงหนวย ใชเวลา นาท ตวอยางบตรคาถาม

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน

รากท

แกนจรง

แกนจนตภาพ

60◦

z0

รากท

แกนจรง

แกนจนตภาพ

40◦

z0

กจกรรมท ใชเวลา นาท แจกบตรคาถามการหารากโดยใชกฎของเดอรมวร คาถามเชน. จงหารากท ของ i. จงหารากท ของ −8i

. จงหารากท ของ −64

พรอมทงวาดรากของจานวนเชงซอนเหลานนลงบนกราฟวงกลมหนงหนวย โดยมผ สอนคอยใหคาแนะนา

. ขนอธบายและลงขอสรปใหแตละกลมสรปคาตอบ และออกมาอภปรายคาตอบทได แลวนกเรยนในชนสรปความคดรวบยอดสรปขนตอนการหารากท n ของ z ไดดงน

. เขยน z ในรปเชงขว นนคอ z = r(cos θ + isin θ)

. หารากท n ตวแรกจาก z0 = r1n (cos θ

nθ + isin θ

n)

. หารากทเหลอโดยวดระยะหางของมมเปน 2πnจนครบวงกลม

. . การจดการเรยนรเรองจานวนเชงซอน

. เปลยนคาเหลานนในรป x+ yi

. ขนขยายความรครแสดงโจทยในกรณทรปแบบเชงขวในมมทวไปเชน z = 3 + 4i หรอ z = 4(cos π

12+ isin π

12)

เปนตน โดยการขยายแนวคดดงกลาวเพอหารากคาตอบทกาหนด. ขนประเมนใหนกเรยนทาใบงานรายบคคล

สรปกลาวถงทมาของจานวนเชงซอนโดยนยามจานวนจนตภาพหนงหนวยคอ i =

√−1 จานวนเชงซอนจะ

เขยนในรป a+ bi โดยท a และ b เปนจานวนจรง สาหรบการดาเนนการบนจานวนเชงซอนนยามคลายคลงกบสมบตจานวนจรง ทาใหไดสมบตตาง ๆ เชนเดยวกบสจพจนสนามของจานวนจรง ตอมากลาวถงมอดลสและสงยคของจานวนเชงซอนดงน

|a+ bi| =√a2 + b2 และ a+ bi = a− bi

จานวนเชงซอนสามารถเขยนในระบบพกดฉากโดยเรยกแกน X วาแกนจรง และแกน Y วาแกนจนตภาพโดยเปลยนจาก x + yi เปนคอนดบ (x, y) ถดไปกลาวถงการเปลยนระบบพกดฉากเปนระบบพกดเชงขวทาใหไดสมบตทสาคญเชน

. (cos θ1 + isin θ1)(cos θ2 + isin θ2) = cos (θ + θ2) + isin (θ1 + θ2)

. (cos θ + isin θ)n = cos nθ + isin nθ

เพอใชในการคานวณคาทซบซอนใหงายขน และสดทายนาไปใชในการหาคารากท n ของจานวนเชงซอนz ตามกฎของเดอรมวร

zk = r1n

[cos

(θ + 2kπ

n

)+ isin

(θ + 2kπ

n

)]เมอ k = 0, 1, 2, ..., n− 1

สดทายเปนการนาเสนอตวอยางการจดกจกรรมการเรยนรเรองการหารากของจานวนเชงซอน โดยใชวงกลมหนงหนวย

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน

คาถามทายบท. จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรป a+ bi

. (4− 3i) + (6 + i)

. (4 + 7i)− i(1− i)

. 3 + i

4− 3i

. 1 + 2i

1− 2i+

2− i

2 + i

. จงหาจานวนจรง x และ y ทสอดคลองสมการตอไปน. (x+ 3i) + 5 + yi+ xi = 6 + 2i

. (y + xi)− (x− 2i) = 8 + i

. (x− 2yi)(1 + i)2 = 3− 6i

. (x+ yi)(1 + i) = 2− 3i

. จงหาจานวนจรง a และ b ทสอดคลองสมการ (1 + ai)3 = −107 + bi

. กาหนดให z0 = 0 และ zn+1 = z2n + i เมอ n = 1, 2, 3, ... จงหา n({zn |n ∈ N})

. ให a, b, c และ d เปนจานวนจรง กาหนดให z = a+ bi และ w = c+ di นยาม z ∗w = ac+ bdi

จงตรวจสอบวา. C มสมบตปดภายใต ∗

. C มสมบตสบบทภายใต ∗

. C มสมบตเปลยนกลมภายใต ∗

. C มสมบตการมเอกลกษณภายใต ∗

. C− {0} มสมบตการมตวผกผนภายใต ∗

. จงหาตวผกผนของ 2 + i ภายใต ∗

. จงหามอดลสและสงยคของจานวนเชงซอนตอไปน. 7− 24i

. (1− 2i)− i(2− 3i)

. (3 + 4i)2

. (2− i)− (1− 5i)

. 11−i1−2i

. i−5i3−7

. จงหาคาตอบของสมการตอไปน. |z|+ z = 2 + i . z2 − z + iz = 0

. กาหนดให a, b, c เปนจานวนเชงซอนซงทาให z เปนรากของสมการ z3+az2+ bz+c = 0 มขนาด|z| = 1 จงแสดงวาราก w ของสมการ w3 + |a|w2 + |b|w + |c| = 0 มขนาด |w| = 1

. ให z และ w เปนจานวนเชงซอน จงแสดงวา. |z + w|2 + |z + w|2 = 2|z|2 + 2|w|2

. |z + w|2 − |z + w|2 = 4Re(zw)

. . การจดการเรยนรเรองจานวนเชงซอน. ให z, w และ u เปนจานวนเชงซอน จงแสดงวา

. |z − w| ≤ |z − u|+ |u− w|

. |z − w| ≥ ||z| − |w||

. จงเขยนกราฟแสดงเซตตอไปน. {z ∈ C | |z| = 1}

. {z ∈ C | |z| ≤ 2}

. {z ∈ C | |z| > 4}

. {z ∈ C | ||z − 1 + i| − |z + 3 + i|| = 8}

. จงเขยนสมการตอไปนในรปสมการจานวนเชงซอน z เมอ z = x+ yi

. x2 + y2 = 9

. x2 − y2 = 16

. 16x2 + 9y2 = 144

. xy = x+ y

. กาหนดให z1, z2, z3 เปนจานวนเชงซอนซง |z1| = |z2| = |z3| = 1 และ z1 + z2 + z3 = 0 จงแสดงวาสามเหลยมทเกดจากจดยอด z1, z2, z3 ในระนาบเชงซอนเปนสามเหลยมดานเทา

. กาหนดให z1, z2 เปนจานวนเชงซอนทไมใชศนย และ z1z2

ไมเปนจานวนจรง และ

z1 log |z1|+ z2 log |z2| = (z1 + z2) log |z1 + z2|

จงหาคาของ z1z2

. จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรปแบบเชงขวโดย r = |z| และ θ = Arg(z). z = 2

. z = −3

. z = −1 + i

. z = 5i

. z = 2i

. z = −4− 4i

. z = −√3 + i

. z = 1−√3i

. จงเขยนจานวนเชงซอนตอไปนในรป x+ yi

. z = 8(cos π3+ isin π

3)

. z = 10(cos 11π4

+ isin 11π4)

. z = 3(cos (−π6) + isin (−π

6))

. z = 5(cos 13π3

+ isin 13π3)

. z = 6e−i 5π6

. z = πei2π3

. จงหาคาของจานวนเชงซอนตอไปน. (

1+i1−i

)10.(

12+

√32

)252 .(

12−

√32i)10 (√

32+ 1

2i)−10

.(−1

2+

√32i)8

−(

12+

√32i)8

บทท . จานวนเชงซอนเบองตน. จงหา

. รากท ของ −4

. รากท ของ 12−

√32

. รากท ของ −1

. รากท ของ 27. รากท ของ −64

. รากท ของ 64i

. กาหนดให z = cos 5π14

+ isin 9π14

จงหาคาของ (1−z1+z

)7. กาหนดให z1, z2 เปนจานวนเชงซอนทแตกตางกนและ z21 + z1z2 + z22 = 0 จงหา

. อารกวเมนตของ z1z2

. ถา A = (1+ z1z2)+(1+ z1

z2)2+ ...+(1+ z1

z2)2559 และB = (1+ z2

z1)+(1+ z2

z1)2+ ...+(1+ z2

z1)2559

จงหาคาของ A+B

. ถา z เปนจานวนเชงซอนทเปนคาตอบของสมการ (z − 1)5 = 32(z + 1)5 แลว |z + 53| มคาเทาใด

เอกสารอางองฉววรรณ รตนประเสรฐ. ( ). วธการพสจนทางคณตศาสตร. นครปฐม: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร.ณฐพนธ กตสน. ( ). การวเคราะหจานวนเชงซอนเบองตน. กรงเทพฯ: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย.พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.อมพร มาคนอง. ( ). คณตศาสตรสาหรบครมธยม. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.Michael Haese, Sandra Haese, Mark umphries, Edward Kemp and Pamela Vollma. ( )

Mathematics for the international student E MYP (Extended).Marleston, Australia : Haese& Harris Publications

Pual Glendinning. ( ). Maths in minutes. Quercus Editions Ltd, London, England.

บรรณานกรมกรรณกา กวกเพฑรย. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.กรมวชาการ กระทรวงศกษาธการ. ( ). อปนยเชงคณตศาสตร. กรงเทพฯ: กรมวชาการ.คณะผเขยนวชาคณตศาสตร. ( ). ทฤษฎจานวน. กรงเทพฯ: มลนธ สอวน.ฉฐไชย ลนาวงศ. ( ). ตรรกะแหงการพสจน. กรงเทพฯ: บรษทสานกพมพทอปจากด.ฉววรรณ รตนประเสรฐ. ( ). วธการพสจนทางคณตศาสตร. นครปฐม: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร.ชวลต บรพาศรวฒน. ( ). หลกการคณตศาสตร. กรงเทพฯ: ภาควชาคณตศาสตรและสถต

คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย สถาบนราชภฏจนทรเกษม.ชะเอม สายทอง. ( ). ทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพโอเดยนสโตร.ณฐพนธ กตสน. ( ). การวเคราะหจานวนเชงซอนเบองตน. กรงเทพฯ: ภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย.ทศนา แขมมณ. ( ). ศาสตรการสอน. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.ธนปตย ปทมโกมล, ปรชา เนาวเยนผล และ อษาวด จนทรสนธ. ( ). ผลการจดกจกรรม

การเรยนรคณตศาสตรเรอง อตราสวนตรโกณมต โดยการใชวธสอนแบบ Eทมตอผลสมฤทธทางการเรยนคณตศาสตรและความสามารถในการเชอมโยงความรทางคณตศาสตรของนกเรยนชนมธยมศกษา ปท โรงเรยนมารยวทยาจงหวดนครราชสมา. วารสารศกษาศาสตร มหาวทยาลยนเรศวร ปท ฉบบทกรกฎาคม – กนยายน พ.ศ. . มหาวทยาลยนเรศวร.

พอล ฮอฟแมน. ( ). ผชายทหลงรกตวเลข. แปลและเรยบเรยงโดย นรา สภคโรจน. กรงเทพฯ:สานกพมพมตชน.

พกตรผกา ศรสวาง, ประสทธ ทองแจม และ สรพล เนาวรตน. ( ). ผลการใชกระบวนการจดการเรยนรแบบ E วชาคณตศาสตร เรองเซต สาหรบนกเรยนชนมธยมศกษาปท . วารสารศกษาศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม ปท ฉบบพเศษ เมษายนพ.ศ.

.พฒน อดมกะวานช. ( ). หลกคณตศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.พมพเพญ เวชชาชวะ. ( ). ระบบจานวน. กรงเทพฯ: ว.พรนท( ).ไพโรจน เยยระยง. ( ). ตรรกศาสตรและทฤษฎเซต. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.

ภทรา เตชาภวาทย. ( ). คณตตรรกศาสตร. กรงเทพฯ: สานกพมพมหาวทยาลยเกษตรศาสตร.มานะ เอกจรยวงศ. ( ). ทฤษฎเซต. ลพบร: ศนยตาราและเอกสารทางวชาการ สถาบนราชภฏ

เทพสตร ลพบร.สานกงานราชบณฑตตยสภา. ( ). พจนานกรมศพทคณตศาสตร ฉบบราชบณฑตยสภา.

กรงเทพฯ: สหมตรพรนตง แอนดพบลสชง จากด.อมพร มาคนอง. ( ). คณตศาสตรสาหรบครมธยม. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณ

มหาวทยาลย.อมพร มาคนอง. ( ). ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร: การพฒนาเพอพฒนาการ.

กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ( ). ตรรกศาสตรและ

ระบบจานวนจรง. กรงเทพฯ: โรงพมพพทกษการพมพ.อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ( ). เซต ความสมพนธ

และฟงกชน กรงเทพฯ: โรงพมพพทกษการพมพ.อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย. ( ). ทฤษฎจานวนเบองตน.

กรงเทพฯ: โรงพมพพทกษการพมพ.อจฉรา หาญชวงศ. ( ). ทฤษฎจานวน. กรงเทพฯ: สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.Arthur Benjamin. ( ). Magic of math. New York: Hachette book group, Inc.Brian Clegg. ( ). A brief history of infinity. UK: CPI group (UK) Ltd.David Eugene Smith. ( ). History of mathematics. New York: Dover Publications,

Inc.David S. Dummit and Richard M. Foote. ( ). Abstract Algebra. Hoboken, NJ:

John Wiley & Sons, Inc.F. William Lawvere and Robert Rosebrugh. ( ). Sets for Mathematics. UK: Cambridge

university press.Michael Haese, Sandra Haese, Mark umphries, Edward Kemp and Pamela Vollma. ( )

Mathematics for the international student E MYP (Extended).Marleston, Australia : Haese& Harris Publications.

Pual Glendinning. ( ). Maths in minutes. London, England: Quercus Editions Ltd.Tom Jackson. ( ). Mathematics an illustrated history of numbers. New York:

Shelter Harbor Press and Worth Press Ltd.