PERSATUAN AKTUARIS
INDONESIA
UJIAN PROFESI AKTUARIS
2012
MATA UJIAN : A20 – Probabilitas dan Statistik
TANGGAL : 25 September 2012
JAM : 09.00 – 12.00
LAMA UJIAN : 180 Menit
SIFAT UJIAN : Tutup Buku
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 2 dari 18
PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA
Komisi Penguji
TATA TERTIB UJIAN
1. Setiap Kandidat harus berada di ruang ujian selambat-lambatnya 15 (lima belas) menit sebelum
ujian dimulai.
2. Kandidat yang datang 1 (satu) jam setelah berlangsungnya ujian dilarang memasuki ruang ujian
dan mengikuti ujian.
3. Kandidat dilarang meninggalkan ruang ujian selama 1 (satu) jam pertama berlangsungnya ujian.
4. Setiap kandidat harus menempati bangku yang telah ditentukan oleh Komisi Penguji.
5. Buku-buku, diktat, dan segala jenis catatan harus diletakkan di tempat yang sudah ditentukan
oleh Pengawas, kecuali alat tulis yang diperlukan untuk mengerjakan ujian dan kalkulator.
6. Setiap kandidat hanya berhak memperoleh satu set bahan ujian. Kerusakan lembar jawaban oleh
kandidat, tidak akan diganti. Dalam memberikan jawaban, lembar jawaban harus dijaga agar
tidak kotor karena coretan.
7. Kandidat dilarang berbicara dengan/atau melihat pekerjaan kandidat lain atau berkomunikasi
langsung ataupun tidak langsung dengan kandidat lainnya selama ujian berlangsung.
8. Kandidat dilarang menanyakan makna pertanyaan kepada Pengawas ujian.
9. Kandidat yang terpaksa harus meninggalkan ruang ujian untuk keperluan mendesak (misalnya ke
toilet) harus meminta izin kepada Pengawas ujian dan setiap kali izin keluar diberikan hanya
untuk 1 (satu) orang.
10. Alat komunikasi (telepon seluler, pager, dan lain-lain) harus dimatikan selama ujian berlangsung.
11. Pengawas akan mencatat semua jenis pelanggaran atas tata tertib ujian yang akan menjadi
pertimbangan diskualifikasi.
12. Kandidat yang telah selesai mengerjakan soal ujian, harus menyerahkan lembar jawaban
langsung kepada Pengawas ujian dan tidak meninggalkan lembar jawaban tersebut di meja ujian.
13. Kandidat yang telah menyerahkan lembar jawaban harus meninggalkan ruang ujian.
14. Kandidat dapat mengajukan keberatan terhadap soal ujian yang dinilai tidak benar dengan
penjelasan yang memadai kepada komisi penguji selambat-lambatnya 10 (sepuluh) hari setelah
akhir periode ujian.
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 3 dari 18
PERSATUAN AKTUARIS INDONESIA
Komisi Penguji
PETUNJUK MENGERJAKAN SOAL
Ujian Pilihan Ganda
1. Setiap soal akan mempunyai 4 (empat) pilihan jawaban di mana hanya 1 (satu)
jawaban yang benar.
2. Setiap soal mempunyai bobot nilai yang sama dengan tidak ada pengurangan nilai
untuk jawaban yang salah.
3. Berilah tanda silang pada jawaban yang Saudara anggap benar di lembar jawaban.
Jika Saudara telah menentukan jawaban dan kemudian ingin merubahnya dengan
yang lain, maka coretlah jawaban yang salah dan silang jawaban yang benar.
4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang sediakan dan tanda
tangani lembar jawaban tersebut tanpa menuliskan nama Saudara.
Ujian Soal Esay
1. Setiap soal dapat mempunyai lebih dari 1 (satu) pertanyaan, Setiap soal mempunyai
bobot yang sama kecuali terdapat keterangan pada soal.
2. Tuliskan jawaban Saudara pada Buku Jawaban Soal dengan jelas, rapi dan terstruktur
sehingga akan mempermudah pemeriksaan hasil ujian.
3. Saudara bisa mulai dengan soal yang anda anggap mudah dan tuliskan nomor
jawaban soal dengan soal dengan jelas.
4. Jangan lupa menuliskan nomor ujian Saudara pada tempat yang disediakan dan
tanda tangani Buku Ujian tanpa menuliskan nama Saudara.
KETENTUAN DAN PROSEDUR KEBERATAN SOAL UJIAN PAI
1. Peserta dapat memberikan sanggahan soal, jawaban atau keluhan kepada Komisi Ujian
dan Kurikulum selambat-lambatnya 10 hari setelah akhir periode ujian.
2. Semua pengajuan keberatan soal dialamatkan ke [email protected].
3. Pengajuan keberatan soal setelah tanggal tersebut (Poin No 1) tidak akan diterima dan
ditanggapi.
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 4 dari 18
1. Suatu kelompok terdiri dari 6 orang. Hitunglah probabilitas bahwa sedikitnya 2 orang
yang lahir di bulan yang sama.
(A) 0,78
(B) 0,68
(C) 0,32
(D) 0,22
2. Seorang pelatih mengatur 15 pemain yang terdiri dari 5 pemain depan, 4 pemain
tengah, dan 6 pemain belakang. Berapakah banyak cara yang dilakukan untuk
memilih 5 pemain dimana 2 pemain di posisi depan, 1 pemain di posisi tengah, dan 2
pemain di posisi belakang?
(A) 400
(B) 500
(C) 600
(D) 700
3. 56 simbol disusun dalam matrik 7x8 sebagai berikut:
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8
A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16
A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24
A25 A26 A27 A28 A29 A30 A31 A32
A33 A34 A35 A36 A37 A38 A39 A40
A41 A42 A43 A44 A45 A46 A47 A48
A49 A50 A51 A52 A53 A54 A55 A56
Hitunglah jumlah cara untuk membentuk himpunan 3 simbol yang berbeda
sedemikian rupa sehingga tidak ada dua simbol yang dipilih berada dalam baris dan
kolom yang sama.
(A) 2400
(B) 4200
(C) 11670
(D) 11760
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 5 dari 18
4. Studi terhadap kecelakaan mobil menghasilkan data sebagai berikut:
Tahun Produksi Proporsi dari
semua kendaraan
Probabilitas terjadinya
kecelakaan
2007
2008
2009
Tahun lain
0,16
0,18
0,20
0,46
0,05
0,02
0,03
0,04
Jika diamati kecelakaan yang terjadi pada mobil yang diproduksi di tahun 2007, 2008,
dan 2009, tentukan probabilitas bahwa tahun produksi dari mobil tersebut adalah
tahun 2007.
(A) 0,22
(B) 0,30
(C) 0,33
(D) 0,45
5. Pada survey tahun lalu mengenai mata pelajaran yang disukai oleh siswa-siswi di
suatu kelas, diperoleh informasi sebagai berikut:
i) 30% menyukai matematika dasar
ii) 30% menyukai statistika dasar
iii) 20% menyukai matematika aktuaria
iv) 20% menyukai matematika dasar dan statistika dasar
v) 15% menyukai statistika dasar dan matematika aktuaria
vi) 12% menyukai matematika dasar dan matematika aktuaria
vii) 10% menyukai ketiga mata pelajaran
Hitunglah persentase dari siswa-siswi yang tidak menyukai ketiga mata pelajaran
tersebut tahun lalu.
(A) 63
(B) 57
(C) 43
(D) 37
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 6 dari 18
6. Misalkan sebuah dadu mempunyai sisi n yang seimbang diberi angka i = 1, 2,…, n.
Dadu tersebut dilemparkan n kali secara bebas. Tentukan probabilitas sedikitnya satu
kejadian muncul sisi dadu i terjadi pada lemparan ke-i.
(A) n
n
11
(B) n
n
/11
1
(C) n
n
111
(D) n
n
/11
11
7. Misalkan M adalah variabel acak dengan mean 3,2M dan distribusi probabilitas
kumulatif adalah
M 0 1 2 3 4
F(M=m) 0 0,2 n 0,8 1,0
Tentukanlah nilai n.
(A) 0,60
(B) 0,65
(C) 0,70
(D) 0,75
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 7 dari 18
8. Misalkan X adalah variabel acak diskrit dengan distribusi probabilitas sebagai berikut:
x 0 1 2 3 4
P(X=x) 1/16 1/4 3/8 1/4 1/16
Tentukanlah fungsi pembangkit probabilitas untuk X.
(A) 2
2
2
1
2
1
s
(B) 4
2
1
2
1
s
(C) 2
2
4
1
4
1
s
(D) 4
4
1
4
1
s
9. Misalkan X adalah variabel acak diskrit yang mempunyai fungsi pembangkit
probabilitas
852 23,037,012,018,010,0)( ttttthX
Tentukanlah standar deviasi dan kuartil ketiga dari X.
(A) 7,82 dan 6
(B) 2,78 dan 6
(C) 7,82 dan 5
(D) 2,78 dan 5
10. Misalkan X adalah variabel acak yang mempunyai distribusi binomial dengan n = 50
dan p = 0,96.
Hitunglah E[(3X+4)(7-2X)].
(A) -13.183,52
(B) -13.138,52
(C) 13.183,52
(D) 13.138,52
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 8 dari 18
11. Seorang juru ketik secara rata-rata melakukan satu kesalahan ketik setiap 20
halaman. Hasil ketikan yang harus diselesaikan adalah 300 halaman. Hitunglah
probabilitas kesalahan ketik lebih kecil dari 5 untuk 300 halaman tersebut.
(A) 0,00014
(B) 0,00086
(C) 0,00279
(D) 0,99721
12. Diketahui distribusi hipergeometrik sebagai berikut:
n
N
xn
MN
x
M
MNnxh ),,;( MNxnMx
nx
,
,...,2,1,0
Hitunglah variansi jika diketahui N
nM ,
)1(
)1()1()]1([
NN
nnMMXXE
n=3, N=15, dan M=10.
(A) 2
(B) 15/8
(C) 39/64
(D) 4/7
13. Misalkan X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas densitas:
lainnyayang
xx
xf
,0
42,10)(
Hitunglah nilai ekspektasi dari X.
(A) 3/5
(B) 1
(C) 28/15
(D) 12/5
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 9 dari 18
14. Misalkan X adalah total klaim pada polis asuransi kesehatan yang mempunyai fungsi
distribusi kumulatif:
31
303
29
1
00
)(3
2
x
xx
x
x
xF
Hitunglah modus dari distribusi tersebut.
(A) 2
(B) 3/2
(C) 1
(D) 2/3
15. Misalkan X adalah total klaim pada polis asuransi dengan fungsi probabilitas densitas:
10000;1000
1)( xxf
Hitunglah nilai harapan dari porsi klaim yang tidak dibayar jika ada pemotongan 100
dari total klaim yang dibayar.
(A) 405
(B) 100
(C) 95
(D) 90
16. Polis asuransi memberikan manfaat maksimum sebesar 250. Manfaat tersebut
mempunyai fungsi probabilitas densitas sebagai berikut:
lainnyayang
xcexf
x
,0
0,)(
005,0
dimana c adalah konstan.
Hitunglah nilai tengah dari manfaat polis asuransi tersebut.
(A) 250
(B) 182
(C) 173
(D) 139
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 10 dari 18
17. Misalkan waktu kedatangan kereta berdisitribusi uniform pada interval dari 12.00
sampai 12.30. Seseorang menunggu kereta dari jam 12.05. Hitunglah probabilitas
orang tersebut menunggu sedikitnya 15 menit untuk kedatangan kereta.
(A) 0,25
(B) 0,40
(C) 0,50
(D) 0,75
18. Kerugian tahunan dari sebuah pabrik mengikuti fungsi probabilitas densitas sebagai
berikut:
xx
xf 6,0;)6,0)(5,2(
)(5,3
5,2
Untuk menutupi kerugiannya, manajemen pabrik tersebut membeli polis asuransi
yang mengganti kerugian perusahaan tersebut dengan risiko sendiri (deductible)
sebesar 2. Hitunglah nilai ekspektasi dari kerugian tahunan yang tidak dibayar oleh
asuransi.
(A) 0,880
(B) 0,934
(C) 0,952
(D) 0,993
19. Seorang agen asuransi diberikan kriteria kontes oleh sebuah perusahaan asuransi.
Jika agen tersebut berhasil menjual produk asuransi sedikitnya kepada 56 nasabah
sebelum tanggal 31 Desember maka agen tersebut akan memperoleh bonus
penjualan. Agen tersebut akan memasarkan produk asuransi kepada 500 calon
nasabah sebelum tanggal 31 Desember. Probabilitas agen tersebut berhasil menjual
prouk asuransi kepada tiap nasabah adalah 0.1.
Hitunglah probabilitas bahwa agen tersebut akan berhasil memperoleh bonus
penjualan.
(A) Sedikitnya 0,18 dan lebih kecil dari 0,22
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 11 dari 18
(B) Sedikitnya 0,22 dan lebih kecil dari 0,26
(C) Sedikitnya 0,26 dan lebih kecil dari 0,30
(D) Sedikitnya 0,30
20. Sebuah dealer mobil menjual 0, 1, atau 2 mobil mewah pada hari tertentu. Ketika
menjual mobil, dealer juga mencoba meyakinkan pembeli untuk membeli asuransi
mobil. Misalkan X menunjukkan jumlah mobil mewah yang terjual pada hari tertentu,
dan Y menunjukkan jumlah polis asuransi yang terjual.
6
1)2,2(
3
1)1,2(
12
1)0,2(
6
1)1,1(
12
1)0,1(
6
1)0,0(
YXPYXP
YXPYXP
YXPYXP
Hitunglah nilai variansi dari X.
(A) 0,58
(B) 0,83
(C) 1,42
(D) 2,58
21. Misalkan X dan Y mempunyai distribusi normal bivariat dengan mean , variansi
02 , dan koefisien korelasi , dimana 11 . Manakah pernyataan berikut
yang benar?
I) X dan Y adalah bebas jika dan hanya jika 0 .
II) 22)( YXVar jika dan hanya jika 0 .
III) Y – X mempunyai distribusi normal jika dan hanya jika 0 .
(A) I, II, dan III
(B) II dan III
(C) I dan III
(D) I dan II
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 12 dari 18
22. Misalkan variabel acak X dan Y terdistribusi bersama pada persegi panjang R =
[0,4]x[0,5] dengan fungsi probabilitas densitas bersama:
20),(
xyxf pada R, dan 0 yang lainnya.
Hitunglah )42Pr( YX .
(A) 7/15
(B) 14/15
(C) 26/15
(D) 37/15
23. Misalkan X dan Y adalah variabel acak kontinu dengan fungsi probabilitas densitas
bersama:
lainnyayang
xyxyyxf
,0
,15),(
2
Misalkan )(yg adalah fungsi probabilitas densitas marjinal dari Y. Tentukanlah )(yg .
(A)
lainnyayang
xyxyyg
,0
,15)(
2
(B)
lainnyayang
yy
yg
,0
10,2
15)(
2
(C)
lainnyayang
xyxyyyg
,0
,)1(15)(
22/12/3
(D)
lainnyayang
yyyyg
,0
10,)1(15)(
2/12/3
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 13 dari 18
24. Misalkan T menunjukkan waktu dalam menit untuk customer service merespon 10
bunyi telepon yang berdering. T berdistribusi uniform pada interval dengan titik akhir
8 menit dan 12 menit. Misalkan R menunjukkan nilai rata-rata dari respon customer
service tiap menit.
Tentukanlah fungsi probabilitas densitas dari variabel acak R pada interval
8
10
12
10r .
(A) 22
5
r
(B) 2
10
r
(C) 2
)ln(53
rr
(D) r2
53
25. Keuntungan bulanan perusahaan I dapat dimodelkan dengan variabel acak kontinu
dengan fungsi probabilitas densitas f. Perusahaan II mempunyai keuntungan bulanan
dua kali dari keuntungan bulanan perusahaan I.
Tentukanlah fungsi probabilitas densitas dari keuntungan bulanan perusahaan II.
(A) )2
(x
f
(B) )2
(2
1 xf
(C) )2
(2x
f
(D) )(2 xf
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 14 dari 18
26. Fungsi probabilitas densitas statistik urutan ke-k yang berukuran n adalah:
)()](1[)]([)!()!1(
! 1 yfyFyFknk
n knk
Sampel dipilih dari distribusi uniform pada interval [0,10].
Tentukanlah nilai ekspektasi dari statistik urutan keempat dari sampel berukuran 5.
(A) Lebih kecil dari 6,0
(B) Sedikitnya 6,0 dan lebih kecil dari 6,5
(C) Sedikitnya 6,5 dan lebih kecil dari 7,0
(D) Sedikitnya 7,0 dan lebih kecil dari 7,5
27. Misalkan X1 ,..., X10 adalah nilai dari sampel acak yang berdistribusi normal dengan
mean yang tidak diketahui dan variansi 02 yang tidak diketahui. Misalkan X
adalah mean sampel dan .)(9
1 9
1
22
i
i XXS
Tentukanlah interval kepercayaan 95% untuk .
(A)
1096,1,
1096,1
SX
SX
(B)
1023,2,
1023,2
SX
SX
(C)
1026,2,
1026,2
SX
SX
(D)
926,2,
926,2
SX
SX
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 15 dari 18
28. Misalkan X1 ,..., Xn adalah sampel acak yang berdistribusi normal dengan mean
dan standar deviasi 1. Kemudian terdapat pengamatan tambahan yang saling bebas
Xn+1 yang diperoleh dari populasi yang sama. Tentukanlah distribusi dari
,)()(1
22
1
n
i
in XXX dimana .1
1
n
i
iXn
X
(A) Chi-square dengan derajat bebas n
(B) Chi-square dengan derajat bebas n + 1
(C) Distribusi F dengan derajat bebas n – 1 dan 1
(D) Distribusi F dengan derajat bebas 1 dan n – 1
29. Diberikan informasi sampel acak sebagai berikut:
- nXXY ...1 dimana ukuran sampel n sama dengan 25 dan variabel acak
saling bebas dan berdistribusi identik.
- iX berdistribusi Poisson dengan parameter
- 1,0:0 H
- 1,0:1 H
- Daerah kritis untuk menolak 0H adalah 3Y
Hitunglah tingkat signifikansi dari uji tersebut.
(A) Sedikitnya 0,50 dan lebih kecil dari 0,60
(B) Sedikitnya 0,60 dan lebih kecil dari 0,70
(C) Sedikitnya 0,70 dan lebih kecil dari 0,80
(D) Sedikitnya 0,80
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 16 dari 18
30. Diberikan sampel acak dari distribusi normal:
- Mean sampel adalah 42.000.
- Standar deviasi sampel adalah 8.000.
- Sampel dengan 25 pengamatan.
Dengan menggunakan uji dua arah, 000.45:000.45: 10 HvsH . Tentukanlah
nilai yang akan menolak hipotesis null.
(A) Tolak pada 01,0
(B) Tidak menolak pada 01,0 , akan tetapi tolak pada 02,0
(C) Tidak menolak pada 02,0 , akan tetapi tolak pada 05,0
(D) Tidak menolak pada 05,0 , akan tetapi tolak pada 10,0
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 17 dari 18
A20 – Probabilitas dan Statistik
September - 2012 Halaman 18 dari 18