2
12 2
1)
2) cos sin
3) sec tan
4)ln
5) ln ln
1 16) tan
u u
uu
e du e C
u du u C
u du u C
aa du C
a
u du u u u C
udu C
a au a
TEKNIK TEKNIK –TEKNIK –TEKNIK PENGPENGINTEGRAINTEGRALANLAN
2 3
2 2 2
1) sin 2
2) 6
1 13)
4 9
x dx
x x dx
dx ingat bentuk dux a u
Misal g adalah fungsi yang dapat diturunkan dan F adalah anti turunan untuk f maka
( ( )) '( ) ( ( ))f g x g x dx F g x C Contoh :
132
0
1
0
1) 1 2
2) cos 3 3
x x dx
x dx
Misal g adalah fungsi yang dapat diturunkan dan F adalah anti turunan untuk f maka
dengan u = g(x)
( )
( )
( ( )) '( ) ( )g bb
a g a
f g x g x dx f u du
Contoh :
3 42) ( 9)x x dx
21) sin( 4)x x dx
32
3
3) 8 7 2t t dt
2
2
0
4) cos sinx x dx
Latihan:Gunakan teknik pengintegralan substitusi untuk menyelesaikan integral berikut:
2
2
2
2
2
2
21)
2 1tan
2)cos
3) sec
sec ln4)
21
5)9 18 10
x x
xdx
xz
dzz
e e dx
xdx
xx
dxx x
6cos
0
2
20
4
20
2
2
6) 2 sin
sin7)
16 cos
cos8)
1 sin
1 cos 29)
sin 2
10)4 9
x xdx
xdx
x
tdt
t
xdx
xdx
x x
Tugas Mandir.Dikumpulkan Selasa, 26 Maret 2013
Untuk n dan m ganjilUntuk n dan m ganjil Uraikan
Gunakan hubungan Substitusi u = cos x atau u = sin x
Bmndxxdxx mn ,,cosdansin
dxxxdxx
dxxxdxx
mm
nn
coscoscos
sinsinsin
1
1
1cossin 22 xx
Bentuk I: Bentuk I:
ContohContoh:: Selesaikan integral
a. b.
Untuk n dan m genapUntuk n dan m genap Gunakan aturan
Contoh : Contoh : Selesaikan
a. b.
dxx3sin dxx2cos3
2
2cos1cosatau
2
2cos1sin 22 x
xx
x
dxx2cos dxx4sin
m ganjilm ganjil
uraikan Gunakan hubungan Substitusi u = sin x
n ganjiln ganjil Uraikan Gunakan hubungan
Substitusi u = cos x
Bmndxxx mn ,,cossin
dxxxxdxxx mnmn coscossincossin )1(
xx 22 sin1cos
dxxxxdxxx mnmn cossinsincossin )1(
xx 22 cos1sin
Bentuk II: Bentuk II:
ContohContoh::
Selesaikan integral
dxxx 23 cossin.1
dxxx 32 cossin.2
n dan m genapn dan m genapGunakan aturan
ContohContoh:: Selesaikan integral
2
2cos1cosatau
2
2cos1sin 22 x
xx
x
dxxx 22 cossin
(bentuk ini digunakan dlm teori arus listrik bolak balik, teori perpindahan panas)
Contoh:Contoh: Selesaikan integral
dxxnmxnmdxnxmx
dxxnmxnmdxnxmx
dxxnmxnmdxnxmx
)(cos)(coscoscos
)(cos)(cossinsin
)(sin)(sincossin
21
21
21
dxxx 3cos2sin
Bentuk III: Bentuk III: Bentuk-bentuk integral:
Bentuk IV: dan Bentuk IV: dan dxxmtan dxxncot
Gunakan aturan
atau
Contoh: Contoh: Selesaikan :
1sectan 22 xx 1csccot 22 xx
dxx 4cot
n genapn genap - Uraikan - Gunakan hubungan - Substitusi u = tan x
m ganjilm ganjil - Uraikan - Gunakan hubungan - Substitusi u = sec x
dxxx
dxxx
nm
nm
csccot
sectan
1tansec 22 xx xdxxxxdxx nmnm 22 secsectansectan
dxxxxxdxxx nmnm sectansectansectan 11
1sectan 22 xx
Bentuk V: Bentuk V:
Latihan…Selesaikan integral berikut:
1.
2.
3.
4.
dxx 5cos
dxxx 24 cossin
dxxx 42 sectan
dxxx 3cos5cos
dxxxx
xx
dxx
x
dxxx
2
42.7
3
35.6
2
2.5
23
2
2
2
Integral Parsial (Integral Parsial (Integration by Integration by partsparts) ) Rumus
(Rumus ini diturunkan dari aturan turunan hasil kali
dua fungsi)
Contoh: Contoh:
Selesaikan integralSelesaikan integral
a. b.
duvuvdvu
dxex x2 dxxx cos
Urutan Prioritas yang dimisalkan
sebagai u:
o Fungsi logaritma /ln (misal : lnx)
o Fungsi pangkat (misal : x2, x3, ..dst)
o Fungsi eksponen (misal : ex)
o Fungsi trigonometri (misal : sin x,
cos x,
... dst)
dxxx )4ln()2 3
dxxx )2cos()1 3
dxex x34)3 xdxe x 4cos)4 3
Latihan:Gunakan teknik pengintegralan parsial untuk menyelesaikan integral berikut:
011
1
011
1
...
...)(
bxbxbxb
axaxaxaxf
mm
mm
nn
nn
Fungsi rasional adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua buah polynomial
Jika suatu fungsi rasional tidak dapat diintegralkan secara langsung, jabarkan fungsi rasional tesebut menjadi pecahan parsial.
Langkah-langkah :1. Nyatakan penyebut sebagai hasil kali fungsi linier dan fungsi kuadrat yang sudah tidak dapat disederhanakan lagi2. Tentukan bentuk pecahan yang sesuai3. Tentukan konstanta yang ada dalam pembilang pecahan parsial dengan aturan menyamakan koefisien polynomial pembilang dari variabel yang pangkatnya sama.4. Integralkan pecahan parsial dengan menggunakan rumus yang sesuai dari bentuk baku
Contoh: Contoh: Hitung Integral tak tentu berikut Hitung Integral tak tentu berikut
dxxx
xx
dxx
x
dxxx
x
114
136.3
3.2
6
13.1
2
2
2
2