Teknik Pengintegralan 2

MODUL PERKULIAHAN

MATEMATIKA 1

TEKNIK PENGINTEGRALAN 2

Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

Teknik Teknik Elektro

11MK 14002 Imelda Simanjuntak ,S.T.,M.T.

Abstract KompetensiModul ini membahas teknik-teknik pengintegralan, yaitu pengintegralan parsial, pengintegralan fungsi rasional, dan pengintegralan transenden.

Setelah membaca modul ini diharapkan :1. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal

pengintegralan parsial.

2. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal

pengintegralan fungsi rasional.

3. Mahasiswa dapat menyelesaikan soal

pengintegralan fungsi transenden.

TEKNIK PENGINTEGRALAN 211. 1 Teknik Pengintegralan 2

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan anti-turunan

bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian

integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami maka dalam bab ini

dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik

integral tersebut adalah:

1) Integral Parsial

2) Integral Fungsi Rasional

3) Integral Fungsi Transenden (eksponen dan logaritma)

11.2 Integral Parsial

Integral parsial biasanya digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integran yang

merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).

Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh

dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

∫ d (uv )=∫udv+∫vdu

⇔∫udv=∫ d (uv )−∫ vdu

⇔∫udv=uv−∫vdu

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral

parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv

tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan ∫udv tersebut.

2014 2

Nama Mata Kuliah dari ModulPusat Bahan Ajar dan eLearning

Imelda Uli Vistalina Simanjuntak http://www.mercubuana.ac.id

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Tentukan integral persial berikut ini

1. ∫ x cos xdx

Jawab

Bentuk ∫ x cos xdx diubah menjadi ∫ udv,

Misal u = x , dv = 1 dx

dv = cos x dx , v = ∫cos xdx = sin x

Akibatnya ∫ x cos xdx = ∫ x d(sin x).

Dengan rumus integral parsial

∫udv=uv−∫vdu , diperoleh

∫ x d(sin x) = x sin x - ∫sin x d(x)

= x sin x - ∫sin x dx

= x sin x + cos x + C

Akhirnya diperoleh ∫ x cos xdx = x sin x + cos x + C

2. ∫ x √1+x dx

Pilih u = x , du = dx

2014 3



dv = √1+x , v = ∫ √1+x dx =

23

3√1+x

Sehingga ∫ x √1+x dx = ∫ xd ( 2

33√1+x )

Berdasarkan rumus integral parsial

∫udv=uv−∫vdu , diperoleh

∫ x √1+x dx = ∫ xd ( 2

33√1+x )

=

2x3

3√1+1 - ∫ 2

33√1+x d ( x )

=

2x3

3√1+1 - ∫ 2

33√1+x dx

=

2x3

3√1+1-

23( 2

55√1+x )+C

=

2x3

3√1+1-

415

( 5√1+x )+C

3. ∫sin x ex

dx

Pilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx

dv = exdx , v = ∫ exdx = e

x, sehingga:

∫sin x ex

dx = ∫ sin x d(ex)

= exsin x−∫ exd (sin x )

2014 4



= exsin x−∫ ex cos xdx

Diperoleh bentuk ∫ ex cos xdx yang juga diselesaikan dengan metode parsial

Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx

dv = exdx , v = ∫ exdx = e

x, sehingga:

∫cos x ex

dx = ∫ cos x d(ex)

= ex cos x−∫ exd (cos x )

= ex cos x−∫ ex (−sin x )dx

= ex cos x+∫ ex sin x )dx ,

Akhirnya diperoleh

∫sin x ex

dx = exsin x−∫ ex cos xdx

= exsin x− e

x cos x−∫ ex sin x )dx ,

∫sin x ex

dx =

12 e xsin x−

12 e x cos x+C

11.3 Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) =

f ( x )g ( x ) , dimana

f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x) ¿ 0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

2014 5



f(x) = ao + a1 x + a2 x2

+ a3 x3

+ … + an xn

, n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi rasional adalah fungsi

berbentuk

f ( x )g ( x ) yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Contoh

1. f(x) =

1−xx2−3 x+2 (Fungsi Rasional Sejati)

2. f(x) =

x2−4x2−4 x+4 (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

3. f(x) =

x5+2x3−x+1x3+5 x (Fungsi Rasional Tidak Sejati)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari

derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat

pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut.

Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut

dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional

sejati. Sehingga:

f(x) =

x5+2x3−x+1x3+5 x

= x2−3 +

(14 x+1)x3+5 x

F(x) =

f ( x )g ( x ) , g(x) ¿ 0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) =

f ( x )g ( x ) sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:

2014 6



- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)n

= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)

- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax2

+bx + c)

- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax2+bx+c )(px

2 + qx + c)

- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax2+bx+c )n dan seterusnya.

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat

ditentukan antiturunannya,

Misal :

f ( x )g ( x )

=

A 1

(ax1+b1 )+

A2

( ax2+b2 )+. . .

(Penyebut kombinasi liner berbeda)

f ( x )g ( x )

=A1

(ax+b )+

A2

( ax+b)2+

A3

(ax+b )3+. ..

(kombinasi lenear berulang)

f ( x )g ( x )

=A1 x+B1

a1 x2+b1x+c1

+A2x+B2

a2 x2+b2 x+c 2

+.. . (kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir

pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1 , A2 , …An dan B1 , B2 , …Bn .

Contoh

1. Tentukan ∫ 2

x2−1dx

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

∫ 2

x2−1 dx = ∫ 2

( x−1 )( x+1 )dx

= ∫ A

( x−1 )+ B( x+1)

dx

= ∫ A( x+1)+B( x−1 )

( x−1 )( x+1 )dx

2014 7



= ∫ ( A+B )x+(A−B)

(x−1)( x+1)dx

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

∫ 2

x2−1 dx = ∫ 1x−1

+ −1( x+1 )

dx

= ∫ 1x−1

dx - ∫ 1x+1

dx

= ln |x−1|−ln|x+1|+C

= ln |x−1x+1

|+C

2. ∫ x+1x−1

dx , integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

∫ x+1x−1

dx=∫ 1+ 2x−1

dx

= ∫ dx+∫ 2

x−1dx

= x + ln (x-1)2

+ C

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan beririkut:

1. ∫ x+1

( x3+ x2−6 x )dx

Jawab

∫ x+1

( x3+ x2−6 x )dx

= ∫ x+1x ( x−2)( x+3 )

dx

= ∫ Ax

+ B( x−2)

+ C( x+3)

dx

2014 8



= ∫ A( x−2 )( x+3 )+B( x )( x+3)+C ( x )( x−2 )

x3+ x2−6 xdx

= ∫ ( A+B+C ) x2+(A+3B−2C )x−6 A

x3+x2−6 xdx

Diperoleh A + B + C = 0

A + 3B – 2C = 1

-6A = 1

Atau A = -

16 , B =

310 , C =

− 215

Sehingga ∫ x+1

( x3+ x2−6 x )dx

= −1

6∫dxx

+ 310 ∫ dx

( x−2)− 2

15∫dx

( x+3)

= −1

6ln|x|+ 3

10ln|x−2|− 2

15ln|x+3|+C

2. ∫ dx

x2−9

3. ∫ dx

x2+7 x+6

4. ∫ x2+3 x−4x2−2x−8

dx

5. ∫ xdx

x2−3 x−4

6. ∫ x2−3 x−1x3+x2−2x

dx

Contoh (Penyebut integran dalam faktor linear berulang)

1. ∫ x+1

x2−4 x+4dx

, karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:

2014 9



∫ x+1

x2−4 x+4dx

= ∫ x+1

( x−2 )( x−2)dx

= ∫ x+1

( x−2 )2dx

= ∫ A

( x−2 )+ B

( x−2)2dx

= ∫ A( x−2 )+B

(x−2)2dx

= ∫ Ax+(B−2 A )

( x−2)2dx

Sehingga diperoleh

A = 1 , B – 2A = 1 atau A = 1 dan B+ 3, sehingga

∫ x+1

x2−4 x+4dx

= ∫ A

( x−2 )+ B

( x−2)2 dx

= ∫ dx

( x−2 )+∫ 3

( x−1 )2dx

= ln |x−2|− 3

( x−2 )+C

2. ∫ x2−1x2+4 x+4

dx

Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional

sejati. Sehingga:

∫ x2−1x2+4 x+4

dx = ∫1+

(−5 x−4 )x2+4 x+4

dx

= ∫ dx−∫ 5 x+4

x2+4 x+4dx

2014 10



Selanjuntnya ∫ 5 x+4

x2+4 x+4dx=∫ 5 x+4

( x+2)2dx

= ∫ A

( x+2 )+ B

( x+2)2dx

= ∫ A( x+2)+B

(x+2 )2dx

= ∫ Ax+(2 A+B )

( x+2 )2dx

Diperoleh A = 5, 2A + B = 4 atau A = 5, B = -6, sehingga:

∫ 5x+4

( x+2 )2dx=∫ 5

(x+2 )−∫ 6

(x+2 )2dx

= 5 ln |x+2|+ 6

( x+2)+C

3. ∫ (3x+5 )dxx3−x2−x+1

dx

Integran fungsi rasional sejati, sehingga:

∫ (3x+5 )dxx3−x2−x+1

dx= ∫

(3 x+5)dx( x+1)( x−1 )2

= ∫ A

( x+1)+ B( x−1)

+ C

( x−1)2dx

= ∫ A( x−1 )2+B( x−1)( x+1 )+C ( x+1)

( x+1 )( x−1)2dx

= ∫ ( A+B )x2+(C−2 A ) x+( A−B+C )

( x+1 )(x−2)2dx

Diperoleh

A+ B = 0, C-2A = 3, A-B+C = 5 atau A = ½, B = -1/2, C = 4, sehingga

2014 11



∫ (3x+5 )dxx3−x2−x+1

dx = ∫ A

( x+1)+ B( x−1)

+ C

( x−1)2dx

=

12

∫ dx( x+1)

−12∫

dx( x−2 )

+4∫ dx

( x−2)2

= ½ ln |x+1|−1

2ln|x−2|− 4

(x−2)+C

4. ∫ x6+4 x3+4

x3−4 x2dx ( integran bukan fungsi rasional sejati)

Jawab :

∫ x6+4 x3+4

x3−4 x2dx =

∫ x3+4 x2+16 x+68+272x2+4x3−4 x2

dx

= ∫( x3+4 x2+16 x+68)dx + ∫272 x2+4x3−4 x2

dx

=

14x4+ 4

3x3+8 x2+68 x

+ ∫272 x2+4x3−4 x2

dx

Selanjutnya dicari ∫272 x2+4x3−4 x2

dx =

∫272 x2+4( x+0 )2( x−4 )

dx

= ∫ A

x2+ Bx

+ C( x−4 )

dx

= ∫ A( x−4 )+B (x )( x−4 )+C ( x2)

x3−4 x2dx

= ∫ Ax−4 A+Bx2−4Bx+Cx2

x3−4 x2dx

Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B = −1

4 , C =

10894

Hasil akhir pengintegralan

2014 12



14x4+ 4

3x3+8 x2+68 x

-

1x−1

4ln|x|+1089

4ln|x−4|+C

Soal-soal

Tentukan hasil dari:

1. ∫ x+1

( x−3 )2dx

3. ∫ x8

( x−2 )2(1− x )5dx

4. ∫ x2+19 x+10

2x4+5 x3dx

5. ∫ 1−2 x

( x+2 )(x+4 )2dx

Selain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat

juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam

bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.

Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial

f ( x )g ( x )

= Aax+b

+ Bx+Cpx2+qx+r , berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.

Contoh

1. ∫ 6 x2−3 x+1

( 4 x+1)( x2+1 )dx

Karena integran fungsi rasional sejati maka

∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1 )

dx =

∫ A( 4 x+1)

+ Bx+C(x2+1)

dx

2014 13



= ∫ A( x2+1 )+(Bx+C )( 4 x+1)

(4 x+1)( x2+1 )dx

= ∫ ( A+4 B )x2+(B+4C ) x+(A+C )

(4 x+1 )( x2+1)dx

Diperoleh

A+4B = 6, (B+4C) = -3, (A+C) = 1 atau A = 2, B = 1, dan C = -1 sehingga:

∫ 6 x2−3 x+1( 4 x+1)( x2+1 )

dx =

∫ 2( 4 x+1)

+ x−1

(x2+1)dx

= ∫ 2

( 4 x+1)dx+∫ x

x2+1dx−∫ 1

x 2 +1dx

=

24

ln|4 x+1|+12

ln|x2+1|−arctgx+C

2. ∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2

dx

Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga

∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2

dx = ∫ x3+x2+x+2

( x2+1 )( x2+2)dx

= ∫ Ax+Bx2+1

+Cx+Dx2+2

dx

= ∫ ( Ax+B )( x2+2)+(Cx+D )( x2+1)

( x2+1 )( x2+2)dx

= ∫ ( A+C )x3+(B+D) x2+(2 A+C ) x+(2B+D )

( x2+1 )(x2+2)dx

Diperoleh

A+C = 1, B+D = 1, 2A+C= 1, 2B+D = 2 atau A=0, B=1, C=1, D=0 sehingga:

2014 14



∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2

dx= ∫ 1

x2+1+ x

x2+2dx

= ∫ 1

x2+1dx+∫ x

x2+2dx

= arctg x +

12

ln|x2+1|+C

3. ∫ x3−8 x2−1

( x+3 )( x−2)( x2+1 )dx

Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x2+1 ),

sehingg:

∫ x3−8 x2−1( x+3 )( x−2)( x2+1 )

dx= ∫ A

( x+3 )+ B( x−2 )

+ Cx+D( x2+1 )

dx

= ∫ A( x−2 )( x2+1)+B( x+3)( x2+1 )+(Cx+D )( x+3 )( x−2)

( x+3)( x−2)( x2+1)dx

= ∫ ( A+B+C ) x3+(−2 A+3 B+C+D) x2+( A+B+D−6C )x+(−2 A+3 B−6D )

( x+3)( x−2 )( x2+1)dx

Maka diperoleh

A + B + C = 1, -2A+3B+C+D = -8, A+B+D-6C = 0, -2A+3B-6D = -1 atau

A = 2, B = -1, C = 0, D = -1

∫ A( x+3 )

+ B( x−2 )

+ Cx+D( x2+1 )

dx =

∫ 2( x+3 )

+ −1( x−2 )

+ −1

( x2+1 )dx

= 2 ln(x+3) – ln(x-2) – arctan x + C

= ln(x+3)2

- ln(x-2) – arctan x + C

= ln|( x+3 )2

( x−2)|−

arctan x + C

2014 15



Jadi ∫ x3−8 x2−1

( x+3 )( x−2)( x2+1 )dx

= ln|( x+3 )2

( x−2)|−

arctan x + C

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

1.∫ 2 x2+x−8

x3+4 xdx

Jawab

∫ 2 x2+x−8x3+4 x

dx = ∫ 2 x2+x−8x ( x2+4 )

dx

= ∫( A

x+Bx+Cx2+4

)dx

= ∫ A( x2+4 )+(Bx+C ) x

x3+4 xdx

= ∫ ( A+B )x2+Cx+4 A

x3+4 x

Didapat A+B = 2, C = 1, 4A = -8 atau A = -2, B = 4, dan C = 1

∫( Ax

+Bx+Cx2+4

)dx= ∫−2xdx+∫ 4 x+1

x2+4dx

= ∫−2xdx+∫ 4 x

x2+4dx+∫ 1

x2+4dx

= ln |x−2|+2 ln|x2+4|+ ½ arc tan

( x2 )+C

2.∫ x3−4 x

( x2+1 )dx

Jawab:

∫ x3−4 x( x2+1 )

dx = ∫( x− 5x

x2+1)dx

2014 16



= ∫ xdx−∫ 5 x

x2+1dx

= ½ x2 - 5∫ x

x2+1dx

=

12 x2 – 5.

12

∫ 2 x

x2+1dx

= ½ x2 -

52

ln|x2+1|+C

= ½ x2 – ln (x2+1)5/2 + C

= ½ x2 – ln √( x2+1 )5+ C

3.∫ 2 x3+5 x2+16 x

x5+8 x3+16dx

4.∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2

dx (fungsi rasional sejati)

Jawab

∫ x3+x2+x+2x4+3 x2+2

dx = ∫ x3+x2+x+2

( x2+1 )( x2+2)dx

= ∫ px+qx2+1

+ rx+sx2+2 dx

= ∫ ( px+q )( x2+2)+(rx+s )( x2+1)

x4+3 x2+2dx

= ∫ ( p+r )x3+(q+s ) x2+(2 p+r )x+(2q+s )

x4+3 x2+2dx

Didapat

p + r = 1, q + s = 1, 2p + r = 1, dan 2q + s = 2 atau p = 0, q = 1, r = 1, s = 0

sehingga ∫ px+qx2+1

+ rx+sx2+2 dx =

∫ 1

x2+1dx+∫ xdx

x2+2

2014 17



= arc tan x + ½ ln (x2+2 ) + C

= arc tan x + ln √ x2+2 + C

5.∫ x3+x−1

( x2+1 )2dx

Jawab

∫ x3+x−1( x2+1 )2

dx = ∫ px+qx2+1

+ rx+s( x2+1)2

dx

= ∫ ( px+q )( x2+1)+(rx+s )

( x2+1 )2dx

= ∫ px3+qx2+( p+r )x+(q+s )

(x2+1)2dx

Diperoleh

p = 1, q = 0, p+r = 1, dan q+s = -1 atau p = 1, q = 0, r = 0, dan s = -1

sehingga

∫ x3+x−1( x2+1 )2

dx = ∫ x

x2+1dx−∫ 1

( x2+1)2dx

= ln √ x2+1−√( x2+1 )2−1

2( x2+1 )+C

11.4 Integral Fungsi Transenden

11.4.1 Integral Fungsi Eksponen

2014 18



Contoh:

11.4.2 Integral logaritma

2014 19



Contoh:

Daftar Pustaka

1. Dale Varberg & Edwin J. Purcell (1999) ”Calculus with Analytic Geometry” Sixth

Edition. Prentice-Hall, International, Inc. New Jersey.

2. James Stewart (2000) “ Kalkulus”. Edisi Keempat. Erlangga. Jakarta.

3. Lois Leithold (1987). “Kalkulus & Ilmu Ukur Analitik”. Edisi Pertam. PT.Bina Aksara.

Jakarta.

2014 20



Teknik Pengintegralan 2

Documents