新知探究新知探究 题型探究题型探究 感悟提升感悟提升
【课标要求】1 .理解对数的概念,掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化.【核心扫描】1 .指数式与对数式的互化. ( 重点 )
2 .对数的底数与真数的范围. ( 易错点 )
3 .对数性质及对数恒等式. ( 难点 )
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新知导学1.对数的概念一般地,如果 ax= N(a>0,且 a≠1),那么数 x叫做
以 a为底 N的 ,记作 x= .a叫做对数的底
数, N叫做 .
温馨提示:对数符号 logaN只有在 a>0, a≠1且 N>0
时才有意义.
对数 logaN
真数
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2 .特殊对数常用对数:以 10为底数的对数,记作 .
自然对数:以 e为底数的对数,记作 ,其中 e= 2.7
18 28…
3.对数与指数之间的关系当 a>0, a≠1时, .
lg N
ln N
ax= N⇔x= logaN
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4 .对数的基本性质
性质 1 没有对数
性质 2 1的对数是 ,即 loga1= (a>0且 a≠1)
性质 3 底数的对数是 ,即 logaa= (a>0且 a≠1)
负数和 0
0 0
1 1
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互动探究探究点 1 幂运算和对数运算有什么关系?提示 在关系式 ax= N中,已知 a和 x求 N的运算称为求幂运算,而如果已知 a和 N,求 x,就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算.
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探究点 2 是不是任何指数式都可以化为对数式?
提示 不是.指数式与对数式互化公式 ax= N⇔x= logaN
的成立条件是 a>0, a≠1且 N>0,不满足条件不能互化.如
(- 3)2= 9就不能写成 log(- 3)9= 2.
探究点 3 alogaN= N(a>0, a≠1, N>0)成立吗?为什么?
提示 成立.设 ab= N,则 b= logaN,∴ ab= alogaN=
N.
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类型一 指数式与对数式的互化
【例 1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)2-7=1
128;(2)3a=27;(3)10-1=0.1;
(4) 32=-5;(5)lg 0.001=-3.
[思路探索] 利用 ax=N⇔ x=logaN(a>0,a≠ 1,N>0)互化.
解 (1)log21
128=-7.(2)log327=a.
(3)lg 0.1=-1.(4)
1
2-5=32.(5)10-3=0.001.
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[ 规律方法 ] 1.解答此类问题的关键是要搞清 a, x, N
在指数式和对数式中的位置.2.若是指数式化为对数式,关键是看清指数是几,再写成对数式;若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成指数式.
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【活学活用 1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1) x=6;(2)ln e=1;(3)43=64.
解 (1)( 3)6=x.(2)e1=e.(3)log464=3.
类型二 对数基本性质的应用
【例 2】 求下列各式中 x的值:
(1)log2(log4x)=0;
(2)log3(lg x)=1;
(3)log( 2-1)1
2+1=x.
*
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[思路探索] 合理运用题中提供的信息,结合对数的性质及对
数、指数的关系求解.
解 (1)∵ log2(log4x)=0,∴ log4x=20=1,
∴ x=41=4.
(2)∵ log3(lg x)=1,∴ lg x=31=3,∴ x=103=1 000.
(3)∵ log( 2-1)1
2+1=x,
∴ ( 2-1)x=1
2+1= 2-1,∴ x=1.
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[ 规律方法 ] 1.对数运算时的常用性质: logaa= 1, loga
1= 0.
2.使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用;对于多重对数符号的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质.
【活学活用 2 】 将例 2 “中 (1)” “换成 log8(lg(log2x))= 0”,
“把 (2)” “换成 lg(ln x)= 1”,分别求 x的值.
解 (1)log8(lg(log2x)) = 0 ,∴ lg(log2x)= 1,
∴log2x= 10,∴ x= 210.
(2)lg(ln x)= 1,∴ ln x= 10,∴ x= e10.
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[ 规律方法 ] 1.对数恒等式 aloga
N= N要注意格式: (1)它
们是同底的; (2)指数中含有对数形式; (3)其值为对数的真数.2.对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用.
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易错辨析 忽视对数中底数的取值范围致错【示例】 已知 log2(logx4)= 1,求 x的值.
[ 错解 ] 由 log2(logx4)= 1,得 logx4= 2.
∴x2= 4,从而 x= ±2.
[ 错因分析 ] 在对数 logaN中,底数 a>0且 a≠1.本题的求解中忽略对数中底数的限制条件,导致增解.[ 正解 ] 由 log2(logx4) = 1 ,得 logx4 = 2 ,∴x2= 4.又 x>0,且 x≠1,∴ x= 2.
[ 防范措施 ] 1.对数的表达式 x= logaN中底数 a须满足 a
>0且 a≠1,只有满足这一条件式子才能够成立,在解题时要时时记住这一点.2.理解对数的定义,灵活进行指数与对数的相互转化.
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课堂达标1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以 10为底的对数叫做常用对数;④以 e为底的对数叫做自然对数.其中正确命题的个数为 ( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析 对于②, (- 2)3=- 8不能化为对数式,∴②不正确,其余正确.答案 C
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2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 ( ).
A.e0=1与 ln 1=0
B. =12与 log8
12=-
13
C.log39=2与 912=3
D.log77=1与 71=7
解析 由指对互化的关系:ax=N⇔ x=logaN可知 A,B,
D都正确;C中 log39=2⇔ 9=32.
答案 C