3.8 复复复复复复复 [ 复复 4] 复复复复 y = f(u) 复 u 复复 复复 , u = g(x) 复 x 复复, 复复复复复 y = f[g(x)] 复 x 复复复 复 , y x ' = y u '·u x ' 。 复复复复复复复复复复复复复复复复复复复复复复 复复复复复复复复复复复复复复复。 复复 复 : Δy 、 Δu 、 Δx 复复复 y 、 u 、 x 复复复 复复 u = g(x) 复 x 复复复 复复 , u = g(x) 复 x 复复复 复 Δx→0 复 Δu→0 。 复 复 复复 复 y x ’ = y u ’·u x ’ x u u y x y u y u y u x 0 0 lim lim x u u y x u u y x y x u x x x 0 0 0 0 0 lim lim lim lim lim
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3.8 复合函数的导数 [ 法则 4] 如果函数 y = f(u) 对 u 可导,函数 u = g(x) 对 x 可导,
3.8 复合函数的导数 [ 法则 4] 如果函数 y = f(u) 对 u 可导,函数 u = g(x) 对 x 可导, 则复合函数 y = f[g(x)] 对 x 也可导,且 y x ' = y u ' · u x ' 。 即复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的 导数乘以中间变量对自变量的导数。 证明:设 Δy 、 Δu 、 Δx 分别为 y 、 u 、 x 的增量 因为 u = g(x) 在 x 处可导,所以 u = g(x) 在 x 处连续 当 Δx→0 时 Δu→0 。 由 和 可得 - PowerPoint PPT Presentation
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3.8 复合函数的导数[ 法则 4] 如果函数 y = f(u) 对 u 可导,函数 u = g(x) 对 x 可导,则复合函数 y = f[g(x)] 对 x 也可导,且 yx' = yu'·ux' 。 即复合函数对自变量的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。证明:设 Δy 、 Δu 、 Δx 分别为 y 、 u 、 x 的增量 因为 u = g(x) 在 x 处可导,所以 u = g(x) 在 x 处连续当 Δx→0 时 Δu→0 。 由 和 可得
即 yx’ = yu’·ux’
x
u
u
y
x
y
u
y
u
yux
00limlim
x
u
u
y
x
u
u
y
x
yxuxxx
00000limlimlimlimlim
例 3.17 求下列函数的导数 ⑴ ⑵
⑶ 解:⑴ 设 y = , u = 2x + 1 ,
yx’ = yu’·ux’ =
⑵ yx' = -4(1 - 3x)-5(1 - 3x)' = 12(1 - 3x)-5
⑶ yx' =
12 xy 4)31(
1
xy
)3
2(cos2 xy
u
12
112
2
1
xuu
2)]3
2sin()[3
2cos(2
xx
)3
24sin(2)
32cos()
32sin(4
xxx
例 3.20 求下列函数的导数 ⑴ y = ln cosx + cos(lnx) ⑵ y = (2x2 - 3)
解:⑴
⑵
21 x
xxx
xy
1)]sin(ln[)sin(
cos
1'
x
xtgx
)sin(ln
xxxxxy 2)1(2
1)32()1(4' 2
1222
12
2
3
2
22
1
6
1
)32(14
x
xx
x
xxxx
3.9 反函数的导数[ 法则 5] 已知严格单调函数 y = f(x) 是严格单调函数 x = g(y)的反函数,且 x = g(y) 在点 y 处的导数不为零,那么
y = f(x) 在 x 处可导,且1. 反三角函数的导数 ⑴ (arcsinx)' = (-1 < x < 1)
⑵ (arccosx)' = (-1 < x < 1)
⑶ (arctgx)' = (-∞ < x < +∞)
⑷ (arcctgx)' = (-∞ < x < +∞)
)('
1)('
1'
'
ygxf
xy
yx 或
21
1
x
21
1
x
21
1
x
21
1
x
例 3.20 求下列函数的导数 ⑴ y = x arcsinx ⑵ y = arccos (a > 0) ⑶ y = arctg2x解: ⑴
⑵
⑶
22 1arcsin
1
1arcsin'
x
xx
xxxy
222
11
)(1
1'
xaa
ax
y
22 41
22
)2(1
1'
xxy
a
x
2. 指数函数的导数 ⑴ (ex)' = ex
证明: ∵ 指数函数 y = ex 与对数函数 x = lny 互为反函数, 而 xy' = (lny)' =
3.13 微分的概念及其几何意义1. 微分是函数增量的近似值 ∵ ∴ Δy≈f'(x)Δx 我们把等式右边的部分称为函数 y 的微分,记作 dy 即 Δy≈dy2. 微分的定义 设函数 y = f(x) 在 x 处可导,则称 f'(x)Δx 为函数 y在点 x 处的微分,记作 dy ,即 dy = f'(x)Δx 考察函数 y = x ,则 dx = dy = (x)'Δx = Δx 故微分又可表示为 dy = f'(x)dx