8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
1/199
Solucio narlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lliSolucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, IIISolucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía porE.WEBER.Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.Geometría Vectorial en R2Geometría Vectorial en R3
WWW.SOLUCIONARIOS.NET
WWW.SOLUCIONARIOS.N ET
Eduardo iiplno#i Rumo«Urna hm i
w «
Mam
«•«««
http://www.solucionarios.net/http://www.solucionarios.tjet/http://www.solucionarios.tjet/http://www.solucionarios.net/
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
2/199
SOLUCIONARIOSUNIVERSITARIOS
WWW.SOLUCIONARIOS.NET
ANALISIS MATEMATICO II
S O L U C I O N A R I O D E M I D O V I C H
T O M O I I
CO
W nn - \
♦ I N T E G R A L I N D E F I N I D A
♦ I N T E G R A L D E F I N I D A
♦ I N T E G R A L I M P R O P I A
♦ A P L I C A C I O N E S
E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S
http://www.solucionarios.net/http://www.solucionarios.net/
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
3/199
WWW.SOLUCIONARIOS.NET
INDICE
C A P Í T U L O I V
INTEGRAL INDEFINIDA
Pag.
1.1. Reglas Principales para la Integración. 1
1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferenc ial. 81.3. Métodos de Sustitución. 45
1.4. Integración por Partes. 57
1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79
1.6. Integración de Funciones Racionales. 88
1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales . 116
1.8. Integrales de las Diferenc iales Binómicas. 129
1.9. Integrales de Funciones Trigonom étricas. 134
1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157
1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el
Cálculo de Integrales de la forma J R(x , Vax1 +bx + c) dx . 161’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167
1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176
1.14. Integración de distintas Funciones. 180
http://www.solucionarios.net/http://www.solucionarios.net/
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
4/199
C A P Í T U L O V
LA INTEGRAL DEFINIDA
2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 2182.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 2232.3. Integrales Impropias.
2342.4. Cambio de Variable en la Integral Definida. 2482.5. Integración por Partes.
2612.6. Teorema del V alor Medio.
268
C A P Í T U L O V I
. 3 1 , .
[ A PLI C A C I O N ES D E LA I N TEG R A L D EFI N ID A
3.1. Areas de las Figuras Planas.276
3.2. Longitud de Arco de una Curva.310
3.3. Volumen de Revolución.325
3.4. Area de una Superficie de Revolución. 3473.5. Momentos, Centros de Gravedad, T eorema de Guldin. 3573.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas
de Física.377
Integra l Indefinida1
C A P Í T U L O I V
4 . I N T E G R A L I N D E F I N I D A .
4.1 . REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEGRAC ION.
0 F '(je) = / ( x) entonces j" f (x )dx = F(x ) + c , c constante.
( 2 ) J kf(x) dx = k j / ( x) dx , * es una constante.
@ J( /( jc)±g(x) k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )
TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.
Sea u una función de x.
© J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
5/199
2 Eduardo Espinoza Ram os
1031
J u 2 +a
du
y[a2 - u 2
audu = -
■= are. sen f u ' + c = -ar e. eos
- + c , a > 0
+ c, ;a > 0
10) \ eudu= eu+ cJ
12) Ieosu du = senu +c
J = ln(w+ y¡u2+a) +c , a ? í 0
J
J ln(fl)
^s zn(u)du = - c o s ( m ) + c ( l 2 ) j "
j t g u d u = — ln|cosw| + c = lnjsecMj + C! ^4) tgu.du = ln |sen m| +c
Jsec u.du = tgu + c Jcsc2u.du = -c tg u +c
Jcscu.du = lnjsec¿¿ +tgu\ +c ( l^ jc sc u.d u = Ln\c sc u-c lg u \ + c
Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c @ Jcosh(M)¿K =senh(«)
j c s c 2h( u) .du = ct gh(u )+ c @ Jsec2h(u)du = tgh(n)
Hallar las siguientes integrales, em pleando las siguientes reglas de integración:
J
) + c
) + c
I5a 2x2dx
Desarrollo
Integral Indefinida 3
1032
1033
1034
1035
1036
(i6x2 + 8jc + 3 )dx.
Desarrollo
(6x2 + 8* + 3 )dx = 6J x2dx + 8J xdx + 3J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x
x( x + a)( x + b)dx
Desarrollo
+ c
í<
C i ? x a + b 3 ab 2 í x( x + a) (x + b)d x= \ ( x 3 +( a+b )x 2+abx )dx = — + - — x + y * +c
(a + bx^)2dx.
Desarrollo
=I
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
6/199
4 Eduardo E spinoza Ramos
1037
1038
1039
1040
I\ - n
(nx) n dx.
Desarrollo
P P j p l l í iI (nx) n dx = \ u n — = —I m" du = (nx)n+ c
í (a2,3- x 2/3)3dx.
J ( a 2/3 —x2/3 )3dx = j (a2 —
Desarrollo
3a4/3x2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx
2 9 4 /3 5/3 9 2/3 7/3 X 3= a x — a x +—a x ----- + c5 7
J (yfx + 1) ( x - \ [ x + \)dx.
Desarrollo
J"(%/3c-H1)(x -\ fx + \)dx = jí * 3'2 +i)dx = ̂ x 5/2 +X + C= —̂ - J x + x + i
J( x 2 + \ ) ( x 2 - 2 ) j ---------------- dx
3^7
Desarrollo
J U +l)̂ _ 2)dx = ~ l ^ 2 d x = J ( * 10 /3-X 4'3- 2 x-2,3)dx
Integ ral Inde finida
= — X4y¡X ----- x 2\f x~ 6y jx + c13 7
1041 i
T x Desarrollo
.m „n \2 2« r íü d 2m+2n~1 £2=*(x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m- xn)2 ,f jc2"1- 2jtm+n + *2n f J— ----7i -- dxi
2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x
4m +1 2m + 2n +1 4« +1
1042 4x f_ dx
yjaxDesarrollo
+ c
\f -
f(Va-Vjc)4 d _ f fl2-4ayfax + 6ax-4x \[ax + x2 ^
J \[ax J 4a x
= J [a2(axy in - 4 a + 6-Jax -4 x + x2 (ax )“1/2 ] dx
2x 3= 2a Jax - Aax + Ax^f ax - 2x 2 +— = + c
5 yfax
1043J í ! +7
Desarrollo
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
7/199
6 Eduardo E spinoza Ramos
1044
1045
1046
1047
Í dx jr2—10Desarrollo
¡ T T o ' Í T - -
í
dx 1
(Vio)2 2V10 ln x + Vio
C-VÍO + c
\¡4 + x2
Desarrollo
Por la fórmula 7 se tiene: | = In I x + \l x2 +4 I+ c J (x +4 )
I V8-JC2
t e - /
Desarrollo
X •---------------= o re. sen (— =■) + c , resulta de la fórmula 8.
7(272)2-* 2 2V2
J
í
■s /2 + x 2 - J 2 - X 2
•Ja-x*dx
Desarrollo
yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 JC /J 2 + X 2 y / 2 - x 2dx = f ( ^ 2 V 2 - * 2
» V^4-X4 V 4 - r4dx
= f ~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x + y¡2 + x 2 J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2
+ c
por fórmulas 7 y 8.
Integral Indef inida 1
1048 a) 1tg2J
Desarrollo
r r
J , 8! A»fe = J< Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .
b) I tgh2
Desarrollo
Jtgh2 xdx = J ( l - s e c ! Ax)iír = x-tgh+c.
1049 a) 1c tg" xdx.*
Desarrollo t V v *
[ c t g 2 x d x - J(csc2 x - \ ) d x C t g X - j : + C.
b) 1c tgh xdx.w
Desarrollo
J , , g
1050 ¡3xexdx
Desarrollo
Í3xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ -J J ln(3e)
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
8/199
8 Eduardo Espinoza Ramos
4.2. INTEGRACION MEDIANTE LA INTRODUCCIÓN BAJO EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL.
Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:
J* f(y /(x )). y/' (x)dx = J f( u)d u , donde u = y/(x)
a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la
diferencial.
, , adx 1051 ------
1054
J - J a- xDesarrollo
sea u = a - x —>du = -d x —>dx = -du
f adx f dx f du , , cI ------ = a I -------= -a I — = — aLn + aLn - aLn \------
J a - x J a - x J u a - .
f 2x + 3
J 2x+l 1052 Idx
Desarrollo------------
[ l—^ d x f (- —+— (—í— ))dx —— x + —Ln |2x + 3|J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 2 4
f xdx
J a +bxDesarrollo
f xdx f 1 a , 1 , x a , . , .I --------= I [------- (-------- )]dx — ------ —L n \a + bx \+ c
J a + bx J b b a + bx b b
+c
11055 I — + b dx ax+ ¡5
Integral Indefinida 9
1056
1057
1058
1059
Desarrollo
J ax + l3 J a a a + ¡i a a
\ ^ d xJ x - l
Desarrollo
2
f X + 1dx = f( x + l + —1 — )dx = — + x + 21n |x -l |+ cJ x - l J x - l X
f x2 + 5x + 7 ,I --------------dx
J x + 3Desarrollo
f x +^ X + '! dx= j*(x + 2 h —-— )dx = — + 2x +In| x + 31J x+3 J x+3 2
J x - lDesarrollo
[ x U x 2 + 1 d x = f (x3+x2+2x + 2 + - Í -J x - l J x + l
+c
)dx
í
r 4 r 3= — + — + x 2 + 2x + 3 1 n | x - l |+ c
4 3
(a + -~-)2dxX - f l
Desarrollo
r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^I (a +------Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | -+ J x - a J x - a (x - f l )“ x ~ a
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
9/199
10 Eduardo Esp inoza Ramos
1060
1061
1062
J X dx(jt + 1)2Desarrollo
sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l
\ ~ T du= f ( ~— = ln | w| +—+ c = ln|* + l|+ ——+ c i (JC+ 1)2 J u2 J U u2 u x + l
f bdy
J VwDesarrollo
Sea u = 1 - y => dy = - du
J =b ~ ŷ ll2(iy=~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = -2 b y] l- y + c
JVa-bxdx.Desarrollo
Sea u - a - bx => dx = ~— b
f s¡ a-b xdx = fwl/2(-^-) = - - \ um du = -— u>fü+c = - — (a-bx)Ja-bx
J J b b j 3b 3b
+c
1063 dx
Desarrollo
Integral Indefinida 11
1064
1065
1066
1067
f - ¡ J L = d x = í ( x2 + i r 1/2^ = \u~U2 — = yfu+C = J x 2+l+cJ V 7 7 T J J 2
f y /x + lnx
J X
-dx
Desarrollo
Cyfx+lnx, f . 1 ln * \ , 0 r , ln x- ----------dx= l(-pr + ----- )dx = 2 ^ x + —— + c
J X J yjx X 2
Í — J 3x2 + 5
Desarrollo
í — t — = í r f X — =—J —¡= ar ctg C^ -) + c =-^= arctg (x í^) + c
J 3x + 5 J (J3x)2+(J5 )2 S S \¡5 %/I5 V5
f dx
J 7*2+8Desarrollo
dx j* ______ dx ______ - ^ * in i V7jf —2>/2
1 x 2 -8 J (V7x)2-(2>/2)2 y¡l 4V2 J l x + 2 ^ 2
dx _ ,---------------------- ; 0 < b < a(a + b) - (a -b) x
+c
Desarrollo
dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________
J (a + b)- (a~ b)x 2 J (Ja + b)2 - ( J a -b x )2 J (Ja + bj2 -( - J a - b x )2
1 . yja+ b + sj a—bx .~ln ,----- ---- f = = - \+c
2yja-b.\¡a + b \ la + b - y/a- bx
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
10/199
12 Eduardo Espinoza Ramos
1068
1069
1070
1071
1 . . yfa + b + y ja - b x .In |------ ----- — | +c
2yja2 - b 2 Ja + b --> J a - b x
r
x 2dx
x 2 +2Desarrollo
I x3dx ~2 F a - x
Desarrollo
f x3dx f
J
Jt2 - 5 x + 6
2 2 2/ x v f x a t o .
(* + ~ -----= - (— + — In | jc - a |) + c x~ - a 2 2
i x2 +4 dx Desarrollo
C x 2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d x J x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4
f dx
J yJl + Zx2
= In | *2 + 4 1+arc.tg(—) + c
2 2
Desarrollo
2yfldx r dx f - 1 f j yl l + Sx 2 j yj l + (2y¡2x)2 2\¡2 J y¡7 + (2^/2x)2
Integra l Indefin ida 13
1072
1073
1074
= 1 Ln 12- 2x + 7 +8jc2 | +c , por la fórmula 72v 2
Í
dx
yj l - 5 x 2Desarrollo
r dx _ j* ______ dx _ 1 |* '¡5dx-------=-^=arcsen(^í) + c
J 3* -2Desarrollo
yft dx
1 , , . 5 . .y ¡3 x- y¡2 ,= - ln 3jc2 - 2 ----- r - r 'n H r ----- /x l+c
3 2>/3.V2 \¡3x + yj2o H o n r , a » q
1 , I , 2 T I ^ i„ | ' f i x= —In - 2 l - 2^ l n l ^ + V 2 +c
Í
3 - 2x , dx
5x +7 Desarrollo
f = 2 f f Ü Ü L = - i l n 15 ^ + 71+cJ 5jc2+7 SJ 5Jí! +7 5V7 7̂ 5.X _
5 5
3 ar ctg (^ x) - ^ In 15x2 + 7 | +c>/35
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
11/199
14 Eduardo Espinoza Ramos
1075
1076
1077
1078
J3.x:+ 1
dx\ lsx2 +1
Desarrollo
( - * 2 L d x . 3 [ ' t b + ( * = 1 f i f Vm. Jy j5x2 +l J s]5x2+l J yj5x2 +l 10 J y¡5x2 +1 S J ^(y¡5x)2+1
- j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \ yÍ5x+y¡5x2 + 1 1+c 5 \ 5
I x + 3
-dx s ¡ J ^ 4
Desarrollo
i r ? ' dx + 3 í ------- = V-*2- 4 + 31n | x + yjx2 - 4 |+c , por la fórmula j \ x - 4 J yj x 2- 4
í x 2 - 5Desarrollo
f ^ - = i f — —ln |x 2 —5 |+ cJ a:2- 5 2 J x —5 2'
J 2jc2 +3Desarrollo
J a x + b1079
Desarrollo
Integral Indef inida
1080
1081
1082
1083
) a 2x2 +b2 ) a" x +b" J a2x2 +b2
1 , 9 o » ? i 1= — ln | a ' j r + ¿ r |+ —arc .tg(—) + c
2a a b
f jcdx
J 4 7 ^ 7 Desarrollo
(* xdx _ 1 f 2 xdx _ J_
J Va4-*4_2j^4_;c4"22
= -^arc. sen(— ) + cúT
J i « 6
Desarrollo„2 ,
f iL * L = f A
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
12/199
16 Eduardo Espinoza Ramos
donde u = arcsen x => du =2
í
\¡\ —X
- 2 - 2 u 2du = —u 2 +c = — (arcsen x)2 +c
3 3
f arctg(~)1084 -------- é~dx
4 + x2Desarrollo
f arctg(^) j f 2arctg(^) j f x 2d x arctg2(” t C
1085l + 4x2
Desarrollo
f Jr -7 a r ct g 2 Jr d,j = 1 f j £ * i f ( arclg 2 f ) 3 - i *
J 1+ 4x 2 8 J 1+ 4* 2 Jl + 4x2
3
= -l n | l + 4jt2 I--(arc tg2 x)2 +c8 3
1086
h
dx
yj(l + x2) ln(x + Vi + x2)
Desarrollo
f ■ ^ , ____ - ¡ IM x + J u x 1 )] ----- - J y/(l + x 2) ln (x + J l + x2 ) J v l + x
Integral Indef inida 17
1087
1088
1089
1090
donde u = ln(x + vi-+ x 2) => dudx
\ll + x 2
+ x2)+ c2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl
J ae~mxdx
Desarrollo
duSea u = -mx => dx = -----
m
\a e- mxdx = a f e “ ( - — ) = - - \ e udu = - - e u J J m m J m
\
+ c = - - e ~mx+c m
42~3xdx
Desarrollo
duJ 4 2 3̂
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
13/199
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
14/199
20 Eduardo Espinoza Ramos
1098
1099
1100
bexdx
Desarrollo
, . r . X . dU Sea u = a -b e => du = -be dx => e dx — -----b
[ (a- be x)^exd x- [u^ [u^du = —— u^ +c = -^- -J( a- be x)3+c J J b b J 3b 3b
I X 1 X
(ea +1 y>eadx
Desarrollo
¿ - dxSea u = e a + 1 => du = ea— => ad u = ea dxa
f - - — f - f - 3a - 3a — I (ea +l)3eadx = I u3adu = a \ u3du =- ^-u i +c = — (ea -1 )
J
* * 3 +c
dx
2X+3Desarrollo
f — —f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X+ 3 1)J 2* +3 3 J 2* +3 3 ln2
+ c
110. l - a ™ J \ + a
Desarrollo
Integral Inde finida 21
02
1103
1104
f axdx 1 f du 1 1 ,------ — = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c
J l + a m a j \ + u lna lna
f-J 1-e~fa¿jc
I+ e~2hxDesarrollo
Sea u = e hx => du=-be~hxdx => e~bxdx = - —
f du = e‘dt
f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ .I — = I ----- í- = -ln ----- +c = —l n -------1+c
J l —e J l - u 2 2 1-M 2' l - e ' '
J sen(a + bx)dx
Desarrollo
Sea u = a + bx => du = b dx => d x - — b
f r du 1 f J sen(a + bx)dx = J sen(w)— = —I sen(u)du
= - — cos(«) + c = -icos(« + kO + c6 fe
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
15/199
22 Eduardo Esp inoza Ramos
1105
1106
1107
1108
JJt
COS(~ 7=)dxv5
Desarrollo
Sea u - -—= =>\¡5
J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen(«) + c = . 5 sen( * ) + c
J (cos(oa) + sen(ax))2dx
Desarrollo
J"(cos(a.v) + sen(ax) )2dx - J*(cos(a.v) + sen( —¡= = 2du
2 \Jx y X
j* co s(V x) .-^ - = J*cos(u).2du = 2 J eos(u)du = 2sen(w) + c = 2sen (\fx)
í
+ c
sen(log x) .— x
Desarrollo
Sea u = log x => d u - ——— => — = ln(10)í/wln(10)x a-
Integ ral Inde finida 23
1109
1110
1111
1112
J senflog x )—— = J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* sen(u)du
i sen2 xd x= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c
Desarrollo
., , ? 1 -cos2jcUsar la identidad: sen x = -----------
Jsen2.xí¿t = j i
j e o s 2 xd x
- cos(2jc) , x sen(2x)------------d x - ---------------+ c
2 2 4
Desarrollo
2 1+ cos(2jc)Usar la identidad eos x = --------------
2
J*cos2jc dx = —
a
[ see2 (ax + b)dx = f se c 2u — = - | see2udu = - tg n + c = - tg(ox + fc) + cJ J a a J a a
j c t g 2(ax)dx
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
16/199
24 Eduard o Espinoza Ramos
Desarrollo
Usar la identidad: 1+ c tg 2 x = ese 2 x
je tg2(ax).dx = J (csc2(ax) -1 )dx = _ * + c
1113f dx
sen(-)
Desarrollo
_ x _ , x „ , x ,Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— )
a 2a 2a
i — - \' sen(-) J
dx
2sen(— ).cos(—2a 2 a
> 2 ¡
s e c ( ^ )2a
sen(— )2a
dx
- l i
2, X see (— )2a
sen(— ).sec(—2a 2 a
-dx = - f
) 2 j
j f sec2( ^ )1 ‘ 2a dx
Sea u = tg(— )2a
du = see (— ).—2a 2a
? JCDe donde se tiene: see (— ) dx = 2a dx
2a
Integral Indefinida25
1114
1115
1116
dx K
3cos(5 x-—)4
Desarrollo
dx 1 i 5x JT. i" ------ = — l n |t g [— + - ] | + co /« * * 1 5 2 83cos(5x---- )
4
dx
sen(ax + b)Desarrollo
ax + b ax + bSe conoce sen(ax + b) = 2 sen( — ).cos( ^ )
f ■ - f J sen(ox + b) J
dx ,a x + b s ax + b
2 sen(—-— ).cos(—- )
, r s e c = ( í ^ >, . sec( —- — ) , [>sec - > , , a x+b . .=1f - - - 2 — dx = - i - - - - h r dx = - l n l t g ( — ) ! + c2 J s n ,(£ £ ± * ) . g ( H ± í , “ 2
J
xd x
~)Desarrollo
cos2(x2)
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
17/199
26 Eduardo Espinoza Ramos
1117
1118
1119
1120
J *sen(l-jr)í£cDesarrollo
Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —
f »J*. í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2 )x dx = J sen
1 f j 1 1 2J $enud u = —cosu+c = —cos(l-X ) + c
I sen(;tr - \ ) 2dx
sen(xv2)
Desarrollo
J (¡enxv^ ~ 1)2 ̂dX = J (CSC^ ~ 1)2 ̂dX = J (CS° 2(̂Xŝ ) " 2 csc(;cV2 ) + IWjc
= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | ln | ,g(^ ) |+ c
/ tgxdxDesarrollo
eos * +cf * * * = f — dx = -lnJ J eos Jf
tg xd x
Desarrollo
\ c i g x d x = = ln | sen jc| +c J J senjr
Integral Indefinida 27
1121
1122
1123
1124
1‘W r̂ )dxbDesarrollo
Sea u = — =* dx = (a-b )du a - b
J c tg (—̂ -j-)dx = J e tg a.(a - b)du =(a- ¿?)J cigudu X
= ( a - b ) In Isenu | +c = (a - b )ln | sen(------) | +ca - b
Idx ,x .
W j)
Desarrollo
r , r f cos( | )I — — = I ctg(— )dx = I -------- dx = 51n | sen(— ) | +c
J t g í í ) J 5 J s en A 5tgCj)
J tg(\fx). dX VI
Desarrollo
i — i dx dx ~ ,Sea z = \ x => dz- — => —¡ = - 2 d z
2yjx yjx
J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2 j tg zd z = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c
JxCtg(A'2v" +1 )dx
Desarrollo
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
18/199
28 Eduardo Espinoza Ramos
1125
1126
1127
1128
Sea u = x 2 +1 => x dx ——— 2
J xc tg(x 2 + 1 )dx = J r tg(x2 + l)x dx = j c l g u . du~2
= i ln | senu | +c = ^ ln | sen(jr2+1) | +c
í
dx
sen x. eos x Desarrollo
f dx f secx , f see x , , , ,I ------------- = I ------- dx = I --------dx = ln tg x \ +c
J sen xcos .r J senx J tg jc
ícos (—).sen(—) J a a
-)dx
Desarrollo
fco s(—).sen(— )dx = —sen2(— J a a 2 a
I sen3(6x).cos(6x)í¿vDesarrollo
Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx
J*sen3(6x).cos(6A)¿x - J u
J
i du u4 sen4(6jc) — = — + c - --------- — - + C 6 24 24
cos(ax) ,dx
sen5(ax )
Desarrollo
Integral Inde finida 29
1129
1130
1131
p o s t a d L a * « , ) ) - * . * * « ) * . = — J-+ C = --------!¡J sen (ax) J J a u a a sen
, +c (ax)
dudonde u = sen (ax) => cos(ax)dx - —
a
Isen(3x)djc
3 + cos(3jc)Desarrollo
dz Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3 x)d x = ——
f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I l n l z l+ c = - i l n | 3 + COS(3x) |+ cJ 3 + cos(3jc) 3J z 3 3
Isen*, eos jc .
rdx Veos2Jt-sen2 x
Desarrollo
Se conoce que: sen x.cos x = — ^— y eos x — sen x — cos(2.r)
f sen xcos x = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx
J Veos2Jt.sen2x ~ >/cos(2x) 2 J
yJcos(2x)
2 ~
V 1+ 3 eos2 x sen(2*)dx
Desarrollo
Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
19/199
30 Eduardo Espinoza Ramos
1132
1133
1134
1135
du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx
J*(l + 3cos2 x )2 ,sen( 2x) dx = — i j u 2du = ~ u 2 +c = -^ yj ( l + 3cos2 jc)3 +<
,sec2(—)dx3
Desarrollo
Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)d x
Jtg3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u 4 3 a . X .
+ c = - tg ( - ) + c 4 3
dx
xDesarrollo
eos2 X
f ^ ^ = f(tgx)2.sec2 xdx = — tg2(x) + cJ eos" x J 3
í
2
sen (x)
Desarrollo
c c t s3 ( x) r - ~ ^ ~ I r---- |ctg3(x).csc ( x)dx = — ctg3(x) + c
J sen (x) J 5
J1+ sen(3x) , dxcos2(3.y)Desarrollo
Integral Indefinida
1136
1137
1138
1139
f l + sen(3.t)¿jr_ f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx = J cos2(3x) J
tg(3x) | sec(3x) | c
í
(cos(üx) + sen(ax))2
sen(ax)Desarrollo
r (cos ( ojc) + sen(ax)) _ f l + 2sen(ax).cos(flx) ̂J sen(cijc) J sen(ox)
J (csc(ax) + 2 cos(ax))dx = —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c
f csc3(3x) _ ^
J b - a c tg(3x) Desarrollo
dU 2 V 1Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x ~^¡~csc
f _£ ! £ ! 2 í L . ^ = _L f = . _Lln |u | +c = J-ln |b-- aC tg(3x) | J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a
J (2senh(5x) - 3cosh(5x))t/x
+c
Desarrollo
f 2 3(2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c
1senh2 xdxDesarrollo
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
20/199
32 Eduardo Espinoza Ram os
1140
1141
1142
1143
Jsenh2 xdx = J (—i
í
cosh(2*)N, x senh(2x)H------------- )dx — -----1--------------1-c
2 2 4
senh(jc)
Desarrollo
d'X = ln | tghí^) | +
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
21/199
34 Eduardo Espino za Ramos
1149
1150
j xe x dx = j e x xd x = —i j e u 1 « 1du = — e +c = — e +c 2 2
J3 -> /2 + 3.í 2dx
2 + 3*2Desarrollo
dx
72 + 3*‘ J 2 + 3* J 2 + 3* J
Usando las formulas 4 y 7, se tiene:
f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx f Jx
J 2 + 3* J 2 + 3* J V2 +3*2
= arc tg(* ^-) - ln | \¡3x + y¡2 + 3x 2 \ +c
f ¡ L ± d x J * + 1
Desarrollo
(* -* + 1--- — )dx = -(-* —21n * + 1 +c* + 1 3 2
Desarrollo
Integral Inde finida 35
1152
1153
1154
1155
f 1 - sen*
J * + cos*dx
Desarrollo
Seaz = x + cosx =» dz = (1 - sen x)dx
fj—sen. x_ ¿x = í — = ln | z | +c = ln | * + eos * | +cJ * + cos* J z
f tg(3*)-ctg(3*)^J sen(3*)
Desarrollo
f jg(3*)—ctg(3*) _ f (Sec(3̂ _ c tg(3x)csc(3*))d*J sen(3*) J
= - [ln | sec(3*) + tg(3*) | +---- ——] + c3 sen(3*)
Jdx
*ln2*Desarrollo
f d\ - = f(lnx) = f«J *ln ' * J x J
- 2 . 1 1du = — + c ----------1-cu ln(*)
dxdonde u = ln x => d u - —
*
J see2 xd x y¡ig2 x - 2Desarrollo
Sea u = tg x => d u = se e2 x d x
f see2 xd x f du , , r I — - I —In Iu + \luJ s]tg2 x - 2 J yju2 - 2
2- 2 | +c = ln | lgx + \ j tg2x -2 l+ c
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
22/199
36 Eduardo Espinoza Ramo s
1156
1157
1158
1159
J(2h----- — )- *2x +1 2x +1Desarrollo
f x dx C dx f xd x
J *"+ 2x2 +1 2x 2 + 1 ~ J 2x 2 + 1+ J (2x2+1)2
= \Í2 arctg(W2)-------- —— + c4(2x“ +1)
íasenx eos x dx Desarrollo
Sea u - a sen x => du - a scnx cos x. In a dx => = asenx eos xd x
In a
f sen* f du 1 asenx la cos xdx = I ----- = ------u + c - -------
J J \n a lna lna
J* x2dx
J W T \
+ c
Desarrollo
„ 3 , dU ■ySea u = x +1 => — = x~dx
3
f X d x f 3 -r 2 . f du 1I — ...-..... - I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = — uJ J 3 2
x4Desarrollo
Integral Inde finida 37
1160
1161
1162
1163
f xd x 1 f 2 xd x 1 2\I , ____ = —I — = = = = = = —aresen(x ) + cJ V Í I 7 2 2
í Xg2(ax)dx
Desarrollo
tg¿(ax)dx= I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ ax ' >- x + cJ"tg2(ax)dx = J*(
J sen2('(^r)dx2
Desarrollo
« , , i 1-cos(2jc)Por la identidad se n' x ---------------- se tiene:
J sen2(-^)ífa = J -
J
—eos x . x sen* --------- dx = --------------- hc
2 2
see2 xd x
\ ¡ 4 - t g 2 x
f see*
Desarrollo
2 xd x = aresen(-----) + c
f dx
^ eos(—)
Desarrollo
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
23/199
38 Eduardo Espinoza Ramos
1164
1165
1166
1167
1 y¡\ + In x---------- dx
Desarrollo
Sea u = 1 + ln x => du = l~
x
J Vi + ln x — - J*“
J y fx - l
l 3 - 3 -3d u - —u3’+c= — (1 + lnx)3 +c
4 4
x -1 ) . - J x - l
Desarrollo
dx „ , dxSea z - y j x - l => dz= Jí — => 2dz = -
2yjx~ l y jx - l
J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tg zd z = -2 1n(cos z) + c = —2 ln | eos Vx- 1 | +c
i xd x
)Desarrollo
sen(x2)
f xdx 1, , , r %l 1 ,,I------- j - = -In Itg(— ) |+c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + cJ s e n ( x ) 2 2 2
J
sen(x ) 2
e ^ ' + x l n ü + x V l
1+ x2 dxDesarrollo
Ce ^ + x W + x ^ + l ^ = f
J 1+x2 X ~ J
. , . e aMgv x ln(l + x 2) 1 wdx = | (- ----- - + --------- - + -------- )dx
1+ X 1+ x~ 1+ X
arctot ln (1+ X ~ )= e ° + ------------- + arctg * + c
Integral Inde finida 39
1168
1169
1170
1171
1sen x-e os x ,--------------- dxsen x + eos x
Desarrollo
Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx
f sen x - eos x , f du , , . ,--------------- dx = I ------= - lnw+c = - ln | s enx + cosx |+c
J senx + cosx J u
í
(1 - sen (-~))2
---------
se„
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
24/199
40 Eduardo Espinoza Ramos
1172 j"esen* se n lx dx
Desarrollo
Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx
5
Vi"-3^
f 5 -3* f d* f xdx 5 V3* I ------- 7I ~~r ' ti* = 5 I ..... -3 I = -=arcsen(——) + V4 -3*
J V4 - 3* 2 J V 4 - 3 7 V3 2
f ¿*
J e*+1
1173 f - .5 3A dx J J 4 - 3 r 2
1174
1175
Desarrollo
+ c
Desarrollo
f dx f ,I — ----= I ------- -í/* = - ln 1+ e ■* +c = -{\n(} + ex) - l n e x] + c
J e +1 J l + e
= -[ln |l + eJC|-* ] + c = * -l n |l + e* |+c
h (a + b) + (a -b )x ~
Desarrollo
f _____ * ____ _ = _ L f _J (a + b) + (a-b)x~ a - b j a-
dx 1 1 t = arctg (~ t ) + c
(a + b) + ( a - b ) x 1 a - b j a + b |a - b ¡a + b " ¡a+b
1 a ~ b . -arctg(* /------ ) + c
■Ja2 - b 2 Vfl + ¿
Integra l Indefinida
1176 í , e — -dx
1177
£
s¡e2x - 2Desarrollo
f e 'd x - f - 7=¿ £ = = m |^ + V ¡ 2̂ 2 | + cJ 4e l x - 2 J J ( eA) 2 - 2
¡
dx
sen(fl.v). cosía*)
Desarrollo
f dx = f sec( 2̂
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
25/199
42 Eduardo Espinoza Ramos
1180
1181
1182
1183
f . f _ * l | „ | i ± ü J x ( 4 - l n ' x ) J 4 -u ~ 4 2 - u
1, , 2 + ln x ,+ c - — l n --------- +c
4 2 - lnx
. arccos(—)
Desarrollo
dx
Sea u = arccos (—) => du = — — d u = -2 / l_ ( |) 2 V ^ X 2
-arccos(-) f «2 1 -I — -j— 2 dx = - \ udu = - — + c - — (arccos(—))2 +c
J V 4 -r 2 J 2 2 2
í
V4
e~lg 1see2xdx
Desarrollo
Sea u = - tg x =» du= — sec2xdx
J* e~tg' .sec2 xdx = - J * eV « = —e" + c = -e _tgA + c
f senx.
J V2 - sen4 x
eos .v , dx
Desarrollo
,------ ------dx = — arcsen( — =—) + cV 2-sen4* 2V2
dx
sen2.v.cos2*Desarrollo
Integral Indefinida 43
1184
1185
1186
sen 2*sen x.cos * = --------
f -------—-------= 4 f — ^ -= 4 f csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + cJ sen2x.cos2x J sen“(2x) J
íaresen x + x ,
dx
Desarrollo•x2
¡ ^ x + x d x = ^ l f _ ^ + c
f secx.tgx ,J i 2.......J vsec x + 1
Desarrollo
f secx.tgx , f secx.tgx ./2 „.,1,„I —
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
26/199
44 Eduardo Esp inoza Ramos
1188
1189
1190
f ¡n(x + -Jx2 +1)
Sea a = ln( x + yfx2
Desarrollo
na;- l
+1) => du = dx x 2
f ln(.v + n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^ ,i ------d x - I (\n(x + \¡x + 1))2 —p------ = I u du —
j v i + x 2 j 7 ,^ 7 J
—■\](ln(x + y¡x2 + l))^ + c3
íjc2cosh(;t3 + 3) d u 2 ,Sea u — x +3 => — = x dx
f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 +3)I x cosh(x +3 ) d x - I cosh(«)~— = ------ — + c = ------ --------
J J 3 3 3
^tgh(A)
+ C
í, dx
cosh“(jc)Desarrollo
Sea u = tgh x => du = see l r (x )dx
j* -jtglUjr) /• » ~u i t g h x
I - 1— , -dx = I 3'gb *.see hx 2dx = 13“du = --------- + c --------+ c J cosh“(.v) J J ln3 ln3
{ N I
I r * -i
Integral Indef inida 45
4.3. MET ODO DE SUSTITUCION.-
PRIM ERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA
INTEGRACION INDEFINIDA.
Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función
continua diferenciable,
f ( x )d x = J f( \f /( t)) xi f\ t)dt . . . ( 1)La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1)
tome una forma más adecuada para la integración.
SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOM ETRICA
1 Si la integral contiene el radical \[a2 -
xdx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—)a
x se toma: sen 0 = ; x = a sen 0a
2 Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: se c0 = —, x= a see 0
dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-)a
\/x2 - a2
a
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
27/199
46 Eduardo Espinoza Ram os
1191
3 Si la integral contiene el radical 4 a2+ x2 se toma: tgd = —
x = a tg 0 ; dx = a see26 d6 ; 9 ~ arctg(—)a
Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.
a)i* dx 1
J x J T ^ . ' x ~~>
Desarrollo
1 A d t A - 1 x —- => dx = —— ademas t = — t r x
dt
-dt 1
xy jx2 - 2 J2r2 J V l - 2r 2 V2(V2í)-arccos(v 2 ?) + c
b)
1 V2 /--7=arccos(— ) + c, x> \J2
V2 x
f dx
J ex +1 x = - ln tDesarrollo
Integra l Indefinida 47
dt
L+ / l+c = -ln \ \ + e~x I+cJ e ' + l J e " ln ,+1 J l + í
c) I x(5x2 - 3)7dx , 5x2 - 3 = t i ‘
Desarrollo
? , dt 5x -3 = t => jcí/x = —
10
\ x (5x2-3)1dx= f /7- = 4J J 10 80
(5x -3)+ c = ---------- — + c
80
f xd x i---- rd) I , t = J x + \
J Vx + 1 Desarrollo
t = yjx +1 => dt = ----7 = = i t = y ¡ X + 1 => X = f 2 - 12y¡X + \
f eos xd x
e) / ’ 1= sen xJ VI + sen aDesarrollo
t = sen x => dt = eos x dx
f eos xd x f dt _
J Vi + sen2 x J \¡\+t~= In I?+ Vl + r I+c = ln | sen x + + sen2x | +c
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
28/199
48 Eduardo Espinoza Ramos
1192
1193
Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones masadecuadas.
I x( 2x + 5 )w dx
Desarrollo
t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^ 2 2
f x( 2x + 5)}0dx = f — = - f ( /n -5 tw)dt = - [ - ----- — í“ ] + c J J 2 2 4 j 4 12 11
; i í a * ± s F _ ± (2x+ n4 12 11
I1 + X dx
l + yfx
Desarrollo
Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt
J 1+ yJX ' J 1+ t J í + 1
T 2 /3 t 22J ( r - t + 2 - — )d f = 2 [ - — + 2 / -21n | f + l |] +
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
29/199
50 Eduardo Espinoza Ramos
Sea t = arcsen x => d t -dx
v r
1198
1199
f (arcsen r f f 2 /
J J T 7 - 1 ■
í
Vl - x
e2xdx
(arcsen*)3+ c = ---------------í-c
Vex +]Desarrollo
Sea t 2 = e x + 1 => ex =t2 -1 => exdx = 2rdt
r e2xdx Cf_-
J V77I J r
I
1 ltd t = 2(t - - t ) + c =^-í(r2 -3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x
sen xd x
Desarrollo
Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; com o t 2 = eos *
=> í4 = eos2 * - 1-sen* *; sen~* = l - í 4
j W « f a = f l z í l . (_2 „ d, = - 2 f (1- ,< v , = - 2 ( , - 4 ) + 4J v cosx J t J
= y Veos *(cos2* - 5) + c
-2 ) + c
5) + c
1200 f y -J *Vi+*~
Desarrollo
Integral ind efinida 51
dt t.-z-
f - 7 ^ = = í -? == == = - f “ 7 = == = “ In I r + V í ^+ T | + c
j *vt t7 j r r
. i Vi+*2 1, , , i +V i+ *2 , . , * .= — ln | —h----------1-t-c = — ln ¡--------------¡+c = l n |------ = = ¡ + c
* * * 1+V 1 + * 2
Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.
1201I" x2dx
J VHvDesarrollo
cos0 = V i-* 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d0
fW O . c o s I ) ^ ¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’)
J V i-* 2 j cose J J 2 de
0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi:------------------- hC= ------------ *-------
2 2 2 2
1202 í x ' dx
&
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
30/199
52 Eduardo Espinoza Ram os
Desarrollo
\Í2 eo s8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡ 2s en 9 => dx = \Í2cos9 d9
í
x dx
y¡2-
2>/2J sen30 d6 = 2V2J (1 -
= 2\¡2(-
scn}OdO = 2V2 I ( l - c o s ¿9 ) s e n 9 d 9 = 2a/2(-cos0 + ~"-) + c
7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 )+ c
V2 2 ' 3V2
1203 IDesarrollo
x2 - a2
a.tg # = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0
7 2 - X 2
f 2V2 sen30.V2 eos 6d0 J V2cos0
Int egral Inde fin ida 53
f \j x2 - a2 _ j>aíg 0.íisec 0.tg0 í/0 _ f ^ 2
J x J asec0 J6 d 6
= « | (see2 0 - 1 )d 9 = a tg 9 - u9 + c - \ jx 2 - a 2 - a.are see( —) + c
J a
1204f dx
J x T T T Í
= 7 ^2 - «2 -a.arecos(—) + cx
Desarrollo
ctg0 = - ¡= L = ; cos0= — 9 = árceos— 7 7 7 1 x a
x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0
1205
f — — = fc os 0r tg 9. sc c0 .t g0dO - f d 9 - 0 + l -a icc os (—) + tJ x T ^ T J ~ ~ J
7 x2+1 , — dx
Desarrollo
tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7x2 +1
1
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
31/199
54 Eduardo Espinoza Ramos
f í £ i . sec= í )< » = r J X J tg0 J
J (see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd
sec0(l + tg~0)úí0
t20
] _ eos f)= ln ¡csc 0- ctg 0 | + sec0+ c = ln| — ------ -|+sec0 + c
sen0
- _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2+ 1 - ln | 1 + C OS0
1206 f ----- p- ----- x2y ¡ 4 - x 2
Desarrollo
x = 2se n0 => dx = 2c os 0d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0
l + Vx^ + l+c
f — = f — 1 J x2y¡ 4- x2 J 4 sen2
2c°s0 1 f 2 ctg0 J 4 -X 2 -------------do = - ese 6 dO =
----- — +c = ------------0-2cos0 4 J 4 4x +c
1207 x 1dx
Desarrollo
x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2
Integ ral Inde finida 55
1208
1209
J \ ¡ l - x2dx = J
0 sen 0. eos 0 aresen x x \ ¡ l - x2
2 + *
Calcu lar la integra! I
- + c = - + c
J V I V T I
Desarrollo
Sea x = se n2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt,
2 2
valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .
como x - sen / => sen t ■ Jx t = aresen VI
f — * L _ = f - 2 sen ' -i — - 1 = 2 f - 2 t + c - 2 aresen VIJ VIVICI J sen rVi -se n2 / J sen/.cosí
+ c
j V ? + x 2dx
Desarrollo
Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:
Va2 + a'2 = V«2 + «2 sen2 ht = aco sh f ; dx = a cosh t. dt
2 f 1+ cosh 2í , a2 , senh2f J Va2 +x2dx = a2 J cosh2f dt = «2J -rfí = — (/+- 2 2
) + r
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
32/199
56 Eduardo Espinoza Ramos
2 0
= — (t + senhí.coshO + í' = — ln(x + yja2+ x2) +—4a 2 + a2 + c2 2 2
t , , x v « “ + X“ donde, senh t - —, cosh t = ------------
a a
e' = cosh t + senh t x + yfa2 + x2
í ;
2 x~dx
Hallar I r -------- ; haciendo x = a cosh t J T ^ a 2
Desarrollo
x = a cosh t => dx = a senh t. dt
f x 'dx f a2 cosh2í.senhí dt 7 f ,= I ------------------------= a I cosh t dt
J y j x 2 - a 2 J senhí J
= ° f
+ cosh2í , a2 . senh2í, a2dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c
2 2 2 2
como x = a cosh t => cosh t = —, ademása
^ L , x x"> +x"senhf = „ l + (~y
V V
V 2 I í 2a + x“ , . x + vx~ +ae = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ----------------
a
f x~dx _ a
i J x 2 - a 2a 2 , x + 4 x 2 +a2 . xy ja2 + x2
[ln i---------------- 1+--------r----- ] + c I o 7 o L 1 1 „2i x - a
i2
a
= — ln | .v + \[x~ + a 2 | +—yja2 + x~ +k
Integral Indefinida 57
4.4. INTEGRAC ION POR PARTES.-
Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v = v = x
\nxdx = Alnx- | x — - = jc.ln* — Jt+ cJ * ln xd x - A‘ln x — J x — - .
1212 I arctg xdx Desarrollo
Haciendou - arctg x => du =
dv = dx => v = a-
dx
(1 + JC2)
Jr x ¿x i . ,, ?,
arctg a*dx = x. arctg x - I ----- = X arctg x - —ln 11+ x~ | +c14" X~
J1213 aresen a dx Desarrollo
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
33/199
58 Eduardo Espinoza Ram os
1214
1216
1217
Haciendou = arcsen x =$ du =
dx
dv = dx => v - x
arcsen xdx - x. arcsen x -
í
xdx r. 2= x arcsen x + v i - x +c
xsen xd x
Desarrollo
Haciendo
u - x => d u - d x
dv = eos 3xdx v =sen3x
í
I;
xcos 3x dx = -xsen3x fsen3 x , xsen3x cos3x
í -dx - + c
-dx
Desarrollo
Haciendo
u = x => du = dx
I I dx — =>i
ex
- - Idx x 1
J “ 7 ~ ex ex+C~
x + 1- + c
í x.2 ' dx
Haciendo
Desarrollo
u = x => du= dx
dv = 2 x dx => v = —-ln 2
Integral Inde finida 59
1218
1219
L 2- ^ = - x .2I - f - 2I ^ = - x . ^ . -J ln2 J in 2 ln2
P
2~* xln 2 + l+ c = ---------r— + c
In-2 2jr ln2 2
Desarrollo
Haciendo
u = x_ => du= dx
j 3r . edv - e ' dx => v = — 3x
1r2 0 X „3jx W x = — eJJC- - [3 3 3 - P - d x \ = - e 3x~ e3* + -------+ c3 3 9 27
2x 2e3x
e3x 2- — (9x‘ - 6x + 2) + c
27
2x + 5)e Xdx
Desarrollo
Haciendo ju = x - 2 x + 5 du = 2(x-X)dx
\dv = e~xdx => v = -e~ x
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
34/199
60 Eduardo Esp inoza Ramos
1220
Haciendo« = * -1 => du = dx
dv = e~xdx => v = -e~
J
(x¿-2 x + 5)e Xdx = -e X(x2 - 2 x + 5) + 2(x -l)(-e x ) - 2 e x +c
X
x3e 3dx
Haciendo
= -e~x(x2 +5 ) + c
Desarrollo
u = x3 => du - 3x2dx X X
dv = e 3dx => v = —3e 3
e 3dx = -3 x3e 3 - J*(3x2)(-3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx
Haciendou = x" => du = 2xdx
X X
d v - e 3 d x => v = -3 e 3
J' J ’
Haciendou = x => d u - d x
X
dv = e 3dx => v = -3e 3
m _ X X X
\x 3e 3dx = -3x2e 3(x + 3) + 54(-3x
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
35/199
i
i 62 Eduardo Espinoza Ramos
i (x2+5X+6)co&2xdx = ̂ 5 ± l sen2xA {. ^ l l cos2x +^ l ) +c2 2 2 2 2x2+lOx + l \ „ 2x + 5
= — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c
4 41223 j x 2 ln xd x
Desarrollo
Haciendo
u = ln x => du ——
dv = x 2dx => v = —
1224
f 1.. > / ** i f ** dx x3 , jr3i lu u/< In r - I -------* — ln jc------
’ J 3 x 3 9
J ln1x dx
+ c
Desarrollo
HaciendoM= ln*x => du = 2lnx.
d v - d x => v = x dx
j l n 2 x. dx = xl a2 x - j x . 2 l n x .— = x \n2 x - 2 J* ln xd x
Haciendom= ln x => d u = —
x
d v - d x => v —x
ln2 x. dx = xln2x-2xlnx+2x+c
Integral Inde finida 63
1225
1226
1227
flnj
J x 3dx
Desarrollo
Haciendo u = lnx => du
_¿x
X
1 - l l
^ 1 8 -
=> v =1
2x2
lnx dx _
2x2 . ! 2x2 X - + c
4 x
dx
Haciendo
u = ln x => du= —x
dv = => v = 2 VI\l x
Desarrollo
dx
dx = 2 V i ln x - 1 2 V i ^ = 2 V I ln x - 2J V i y = l n ^+ ‘
íxarctgx du ------- -
1+ x2
d v - x d x => v — 2
Jxarctgx
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
36/199
64 Eduardo Espinoza Ramos
x2 1 * * + 1 , x- — arctg*H— atc tg* — + c = --------arctg * - —+ c
2 2 2 2 2
11228 * arcsen* dx
Haciendo
u - arcsen x => du =
dv = xd x => v = —
Desarrollo
dx
s í i ^ x 2
dxf ¿ X 1 l C X 2 cI x arcsen xdx = — a rc se n* — —¡=J 2 2 J ^ Z x 2
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0
V i-sen 29= f« n ’ # « ,»= í í ^ í " , »-2 ““sen2O.cosOdd = j sen" t) dt) = j ---- —
9 sen20 9 sen9 eos9 arcsen* * v l - * 22 4 2
2
Luego: * arcsen xd x = — arcsen * - —(J 2 2 2
1 arcsen* *V l- * 2) + c
arcsen* * r , T + - V 1 - * +c
1229 J ln(* + Vi + *2 W*Desarrollo
Haciendou = ln(*+ Vl + *2 => =
dv = dx => v = *
dx
V1+*2
Integral Inde finida 65
1230
1231
1232
f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx] n( x+ 'h +x 2) - 'J \ + x~ +c V i+ *2
í
xdx
en2* Desarrollo
*cos ec2xdx
Haciendoíw = * =i> du = dx
líiv = cosec2xdx =£ v = -c tg *
J- A = - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c j sen * J
f xc osx dx
J sen2*Desarrollo
f * c o s * ^ _ f x co sec xc Xgxdx J sen"* J
Haciendou = x => du = dxdv = cosec x.ctg xdx => v = - cos ecx
f.vcosx , f ,I —dx = - e osecx- I - e osecxdx
J sen * J X x
= -xc os ecx + ln Ieosecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡tg— | +csen* 2
í ex sen xd xDesarrollo
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
37/199
66
1233
Eduardo Espi noza Ram os
Haciendou = sen x => du = eos x dx
I
dv = e dx => v = e
exsen x d x - e x s e n x - j e * cosxdx
u = eos x => du = - sen xd xHaciendo
I
d v - e * d x => v = e*
e* sen xd x = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)dx)J‘
J‘= e* sen x - e* cos x - I ex sen xd x = — (se n x - eos x) + c2
13* eos xd x Desarrollo
Haciendo
u — eo s x => du = - s e n x d x
3*
13X eos xd x =
dv = 3xdx => v
3* eos x
ln3 I-
ln3
3X , 3X eos —— sen xdx = --------ln 3 ln 3
í + — f l n 3 j
3X sen xd x
Haciendow=senx => du = eos xd x
3X dv = 3xdx v = -
ln3
, 3* cosx 3* sen x 3 cos x d x - --------- -H---------—
ln3 ln3 - ¡ y3X eos xd x
, 3* (sen x + ln3c osx)3 cosxdx = ----------- ----------------- \-c
ln 3 +1
In teg ral Indef in ida 67
1234
1235
í eax sen (bx)dx
Desarrollo
m= sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dx
Haciendodv = emdx =* v = ----
a
f eax sen(bx)dx = sen bx - \ b e — co sb xd x = e- ^ ^ - b f •* a J a a a J
Haciendo
u = eos bx => du = - b sen bxdx
e“*dv = eaxdx => v = -
a
Jeax sen bx dx =e™senbx b .e ^ cosbx b
--- (■a a a
+ — fe sen bxdx)
e“*sen bx b m b2 f „----- —e eos bx — - l e sen bxdx
a~ J
7>J(1 + —r) I e“*sen bxdx =
a a
aeax sen bx - beax eos bx
l ax , , ax . as enbx-bcos bx ,J e sen bx dx = e°* (--------- — — ------ ) + c
a2 +b2
J sen(ln x) dxDesarrollo
eos bxdx
Sea z = ln x => x - e z => dx = ezdz
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
38/199
68 Eduardo Esp inoza Ramos
f f ez sen ^— e" eos 7J sen(ln x)d x = I ez sen zd z = -------- — ----------+c , por el ejercicio 1234.
í
e njrsen(ln x)-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x)sen(ln x)d x = ---------- -------------------- ----- - + c = ----------------------- ------- + c
2 2
Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos:
J a - ' ,1236 I x e~x dx
'
Haciendo •
Desarrollo
h = x 2 => du = 2xdx
e- *dv = xe~* dx => v = ■
j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ -- X 1 e x e x ■>
e ----------i-c = -------- (x~ + 1) + c2 2
1237 I e ^ d x
Desarrollo
Sea z2 = x => dx = 2zdz
J"e ^ d x = 2 f ze zdz
Haciendou = z => du —dz
dv = ezdz => v = ez
^ e ^ d x = 2J zezdz = 2(z ez - e z) + c = 2(yfxe' x̂ - e ^ ) + c = 2e'^x(\[x - l ) + t
Integral Inde finida 69
1238
1239
J (x -2x+3) lnxdxDesarrollo
Haciendo
u = ln x => d u = —
x
dv = ( x 2 - 2x + 3)dx => v = —— x2 + 3x i .3
J*(jc2 - 2 x + 3) ln xd x = ( ^ - - x 2 + 3x )I n —J * — jc+ 3 )dx
fxln( |—:-)dx
J 1+ x
r 3 3 2
= (------ x2 + 3x)lnx------- ¡-------3x + c3 9 2
Desarrollo
J x ln(|— - )dx = J"jcln(l — x)d x - J x ln(l + x)d x
integrando Jxln(l-x)dx
(1)
Haciendo
u = ln(l - x ) => du = -
dv - xdx => v = — 2
dx
\ - x
Ixln(l - x)d x = — ln(l - x) + ̂2 J 1 -2 x2
dx = — ln (l -x )+ [ x 2
1 f (_ x _ l + J -2 J 1- ;
)dx]
(2)
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
39/199
70 Eduardo Espinoza Ramos
iintegrando I xln( l + x)í/x
Haciendo
u = ln(l + x) du =
dv = xd x => v = —2
dx
í+ x
I x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f .
2 J 1
x2 x2 — dx = — ln(l + x)-+ x 2
- f ( x - l + — 2 J 1+ ;
■)dx
X X X 1= — ln(l + x ) - — + ------- ln(l + x)
2 4 2 2... (3)
reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene:
fxln(-—-)
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
40/199
72 Eduardo Espinoza Ramos
1243
i ■
1244
I x(arctg x) 2dxDesarrollo
Sea z = arctg x =* x = tg z => dx = sec2 z dz
JA(arctg x) 2dx = J z 2 tg z. sec2 z dz
u - z 2 => du = 2zdz Haciendo
7 t g 2 Z dv = tgz.sec zd z => v = ——
2
7 2 - 2= — tg2 z + ~ - I zsecz zd z
j*x (arctgx)2í¿x = ^ - tg 2 z - J z t g 2 zd z =~~tg2 z - j"(zsec2 z~ z )d z
- I '
integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes
Jx(arctg x )2dx = -y (tg2 z +1) - z tg z - In | cos z | +c
Í(arcsen x) 2dx
z2= — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c
= i arct§AL ( Ar2+ l)-jcarctgA + 2ln(l + x 2) + c
Desarrollo
Integral Indefin ida 73
1245
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
J (arcsen x) 2dx = J z2 cos z dz
Haciendo u = z2 =* du = 2z v = senz
J (arcsen x) 2 dx = z 2 sen z - 2J z sen z dz
I'm= z => du= dz
\dv = sen z */z => v = -c os z
J (arcsen x) 2 dx = z2 sen z - 2(- z cos z - J - cos zd z)
Haciendo
z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x) 2 + 2V1- x2 arcsen x - 2 x + c
f arcsen x IX
DesarrolloJ
„ -dx x2
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
farcsenx^_ f / - Cosz dz= f zctgz.coseczcfz J x J sen z J
Haciendo U - z => du = dzdv = c tgz.coseczdz => v = -coseczf arcsen x . f , z , f dz»-------- dx = -zcosecz — I-coseczdz = ------- + >----I ---------- dx = -zcos ecz - I -co s ecz az = ---------+ i -------
J x2 J sen z J sen z
+ ln | tg ( - ) |+ csenz 2
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
41/199
74 Eduardo E spinoza Ramos
1246
1247
farcsen x , z , ,.,arcsen*,,*L ,I ---------- dx = ---------+ ln|cosé,cz -ctg z | = -------------+ ln¡------- | +c
J * sene * 1+ V 1-*
f arcsen
J jr r x dx Desarrollo
Sea[ z = arcsen V* => V* = sen z
* = sen2z => í/* = 2senz coszd z
f arcsen V* , f z-2senz.cosz ,„f,I — -------dx - I — -dz = 2 I zsenzaz
J v i - * J V i-sen 2 z J
Haciendou = z => d u = d z
dv = senzdz => v = -c os z
f arĈen -* dx = 2(-z eos z - f -eo s z dz) = -2z eos z + 2 sen z + cJ Vl~ * J
= -2arcsen V*Vl~* +2\ fx +c
J x tg 2*rf*Desarrollo
(*sec22 x - x ) d x
Haciendo
u = x => du =dx
dv = sec2 2xdx => v = ^
Integra l Indefin ida 75
1248
1249
Isen2 x ,--------dx
Desarrollo
i 2 x , f l - cos2*f sen" x f 1- cos 2x 1 f 1 f ,
I -------- dx = I ------------dx =— \e dx----
l e eos 2 xdx J ex J 2ex 2 J 2 j
4 1 -e
~2e JCcos2 xd x ... (1)
1integrando le *cos2 x d x , por partes se tiene:
Haciendou = eos 2x => du = -2 sen 2x dx
dv = e~xdx v — —e x
j e ~ x co s2 xd x = e ' ' c o& 2x +2 je ~x se al xd x
integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)
f sen2 x , e~x / c o s 2 * - 2 s e n 2 * - lreemplazando (2) en ( 1) se tiene: | ------—dx = —r- (----------------------------;--) +
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
42/199
76 Eduardo Esp inoza Ramos
Sea z = ln x => x — e l => dx — e 'dz
J cos(2 ln x)dx = J ez eos 2z dz
« = ez => du = ezdzHaciendo
dv = cos2 xdx => v = - sen2z
J cos(2 ln jc)í/jc = y sen 2z - — J e~ sen 2 zd z
Haciendou - e z =$ du = ezdz.
d v - s t n l z d z =* v = -cos2z
Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - - f ( -— cos2z + - (Vcos22 du = dxdv =
xd x
(1 + Jr2)2=> v = —
1
2(x +1)
1251
— f - + ( J ( l + x2)2 2(x +1) J
í
dx
2(x +1) J 2(x +1) 2(x +1) 2
x 1-̂----+ —arctgx + c
dx
(x2+a2)2
Desarrollo
Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 d d
f dx _ f a sec~ 9 d 9 f a s
J (x 2+ a2)2 J (a2tg: 0 + a2)2 J asee2Odd
4 sec4 9
= 4r [cos2Od d = -2 - f(l + cos26)dd = -— ■+a3 J 2a3J 2a3
9 sen 9 cos 9---- ----- + c2a3,
arctg(-) arctg(-)/7 CL\ 1 /i X
--------- r — + -------r -------------- + C = ----- -----------------------h — -------- ^ ) + C2a ' 2(«‘ + x ) a 2a2 a a + x
1252 J J a 2 - x 2dx
Desarrollo
Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0
X X se n9 = — => 9 = arcsen(—)
a a
J*'Ja2~—x2dx = j y f a 2 -a 7 sen29.acos9d9 - a2jco s29 d9
¡
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
43/199
¡
7g Eduardo Espinoza Ramo s
2 f l + cos20 a" a" a= a2 I ------------¿Q = — 0H-----sen0cos0+íJ 2 2 2
« * 1 2 2 ,= — arcsen(—) + —v a -•* +c2 a 2
1253 |V a + ;c2 dx = VÂ see2 9 d9
tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^= )Va Va
J yj A + x2dx = J s¡A + A ig 29 .y fÁ sec2dO = J A see39 dO
se integra por partes:
J A see30 d9 = AJ (1 + tg29 ) see 9 d9 = A J (sec0 + tg2 9 see 9)d9
= Aln |sec0 + tg0 |+A tg0se c0 -A jsec30¿0
= y[ln |see 0 + tg0 | + tg0sec0] + c
J V Â 7 7 d x -= | [ l n I I + ^ V Á ^ 7 ] + c
— 1n I a: + y f +x2 \ + — VÁ+~? + k 2 2
Integral Indefinida 79
12541
x 2dx
y ¡9 - x2
Desarrollo
x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9X x
sen 0 = — => 0 = arcsen(—)3 3
f x2dx (*9sen 20 f ,I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = 9 I sen' 0 ¿0
J V9-.Ï2 J 3eos0 J
= 1 1 -90 9
2 eos 9)d9 = — - — sen0eos0 + c2 2
9 -v 9 x y¡9-x2 9i jc r 7= —aresen(—) — ( - ) -----+ c - - a r c s e n ( - ) — yJ9- x~ +c2 3 2 3 3 2 3 2
4.5. INTEGRAL ES ELEM ENTAL ES QUE CONTIENEN UN TRINOMIO CUADRADO.-
0 IN TE G RA LE S D EL T IPO.
171X + Yl .dx , el procedimiento es el siguiente: El trinomio der ,
J ax +bx + c
segundo grado a x 2 + b x + c , se reduce a la forma
2 "yax +bx + c = a( x+ k) + L , donde k, L; son constantes y esto se
consigue completando cuadrados.
© INTEGRALES DEL TIPO.-
ímx + n
d x , los caiculos son analogos del 1) y después son\fax 2+bx + c
integrales inmediatos.
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
44/199
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
45/199
82 Eduardo Espinoza Ramo s
f x2dx f 6x-10 w f f 6x-10 JI í— ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx+ - T- ~--------- dx
J x -6 x + 10 J x -6 x + 10 J J x~ - 6x + 10
f 2 x - 6 f dx= x + 3 — ----------- dx + 8 --------
J x -6 x + 10 J (x-3) +1
1262 J
( x - 3 ) ¿
= x + 31n | x 2 -6 x + 10|+8arctg(x-3) + c
dx
y¡2 + 3 x - 2 x 2Desarrollo
1263
f dx (* dx 1 f dx
\ ¡2 + 3 x - 2 x 2 J j 2(l + 3 x _ x 2} 4 2 J J 1 + 3 x _ x2
72 í
í
x 1 , 4 x - 3 ,r I i ~ -------= —¡= arcsen(--------- ) + c
y j x - x 2
Desarrollo
dx
1264¡ f s
dx
= arcsen(2x -1 ) + c
+ px + q
Desarrollo
' ~ =f~j-------- ~ X = \n \x + £ + 4x 2 + px + q l+ c J \ X + DX + a J l r> ^ n
Integra l Indefinida 83
f 3 x - 6
J \ [x2-4 x + ‘ .1265 I ------ dx
h5Desarrollo
~ 2 w — dxJ ’ í i S — s L f J y¡x - 4 x + 5 * \l x - 4x + 5
/------------- x —2Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx
Vx2 -4 x + 5
f — -j2~^L=J t=dx = 3 f - — L= =̂==rdx = 3 Id u = 3u + c = 3-v/*2 -4 x + 5 + < J \¡x 2 - 4 x + 5 * v x 2 - 4 x + 5 J
1266 J 2X 6...-dx2 x - 8
Vi - x —x”Desarrollo
f = f e * + 1 ) - y = f - 7J £ Ü _*=9f J y j l - x - x 2 J >jl—x -x ? * j \ - x - x 2 J
« f ) 2 - U + 2- ) , )5
= -2-v / l-x-x 2 -9 arcsen(—Í - ) + c yf5
í1267 I - = = = J = = = = d xV5x2 -2 x+ lDesarrollo
f , - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx» v5x2 -2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1
^ .....* + l f .^Jv 5x2 -2 x + l V5x2 - 2 x + 1
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
46/199
84 Eduardo Espinoza Ramos
= -- >/5jc2 —2x +l h — í= f - . =
4 ^ 7 ^ + J _ to U _ i t ^ T | 7 J | +c
- ) 2 + ( - ) 25 5
1268J
dx
x \ J l - x 2
Desarrollo
Sea x = - => dx = —~ t t2
J-dt
= - ln | i + ——— | +c = ln |----- vX | +c. * * Í+ V i^ ^
- 1 1+c
1269 1d;c
x\ ¡x 2 + JC+1
i
Sea x = - => dx = ~ — t t2
Desarrollo
Jdt_
dx = f 12 = _ f dt _ _ r dt
4 2
/ 2 í- ^ , 2 - jr= - arcsen(—=-) + c - ~ arcsen( ) + cv5 V5x
Integral Inde finida 85
1270
1271
1272
f ___ dx
J (x — ( x - l ) y ¡ x2 - 2
Desarrollo
1 1 i j dt
Sea t - -----
=> - = x - l => dx = — - x - l t t2
_d t
í ____ * ____ , r y , . = jJ í r _ n J J I 2 J i [ i .„2 „ J
= -arcsen( — ) + c
1
( jc-I )Vjc2-2 J l ^ l + 1)2_2 J Vl + 2 í- í2 J 2 ( x - D
dx
(x + l) 4 x2 + 2x
Desarrollo
i
1 di 'Sea x +1 = - => dx - — — í í2
dt 1
- arcsen t + c = ~ arcsen(------ ) + c x + l
r _ _ _ ¿ __________ r * — .
' - J (~ - l )2 + 2 ( - - l ) ^í V t t
y x 2 +2 x + 5d xDesarrollo
* J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í) 2 + 4d x
yj(x + l)2 + 4 + - ln | jc + I + Ví-í + I)2 + 4 l+cX + l
2 v 2
= £ ± I V x 2 +2 x + 5 + 21n|x + l + >/x2+2x + 5|+ c2
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
47/199
86 Eduardo Espinoza Ram os
1273
1274
1275
1276
S ' / * - * 2dx
Desarrollo
1
j \ f x x~dx - j ( x - —)2dx = — —í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c
2 x - l I 2 1- — -— \ x - x + -arcsen(2A-l) + c
4 8
-ji1 dx
Desarrollo
l
{ ' f a - x - x d x = í j — -(* + —)- dx =— - 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(-̂ -í-í-) +c J J V4 z 2 2 4 3
_ 2x + l £ 7 92 * + l------- — \ 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c
4 8 3
; xd x
J x4 - 4x24x 2 +3Desarrollo
f _ xd x _ f xdx 1 1 x 2 - 2 - 1 . _
J - 4^+3- J Í7TÍ7TT=i -2lnITTiTI1+" i ln17T71+cI
(a2 - 2 ) 2- 1 2 2 ' x 2- 2 + 1' !~ 4 ' x2 —1
eos xdx
í + 12 •Desarrollo
sen2x- 6s en jc + 12
Integral Indefinida 87
1277
1278
1279
T exdx
J y¡Vve*~+e2xDesarrollo
- + yjl + ex + e2* I+c
ísenjedx
Veos2x + 4cos.x + lDesarrollo
f sen a ¿y _ f sen .ydx
J Veos2 x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3
= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c
f lnjcrtx
J * V l - 4 1 n x - l n 2 xDesarrollo
ln xd xf ln xd x f ____ J|
J x \ ¡ l - 4 \ n x - l n 2 x J Xy¡ 5- (ln x + 2)2
dx , tSea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2
x
f lnAdt j" ln xd x _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du
J vVl-4ln;c-ln2a J xy ¡5 -( \n x+ 2) 2 J yj 5 -u2 J y¡5-u^ J y ¡5 -u 2
,lnA + 2x- -y¡5 - ii' - 2 arcsen( -̂ =r)+ c = -V 1- 4 ln a - ln" a - 2 arcscn( j - ) +c
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
48/199
88 Eduardo Espinoza Ramos
4.6. INTEGRAC ION DE FUNCIONES RACIONALE S.
® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-
Consideremos dos funciones polinómicas:
P( x) =bnx" +bn_]x n~i +... +blx+ b0 y Q(x)=amxm+amAxm~{ +...+alx+a0
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x )
decir Q(x)
Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función
racional se denomina función racional propia, en caso contrario se
denomina impropia.
Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el
denominador se puede representar la función dada como la suma de un polinomio y de una función racional.
P(x ) R(x )Es decir: ------ = C(x) + ---- ^ , donde el grado de R(x) es menor que el
Q(x )
grado de Q(x).Q(x)
Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias:
P(x )
í Q(x)d x , para esto consideremos los siguientes casos:
PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales ydistintos.
Es decir: Q(x) = ( x -a y) ( x- a2) . . . ( x-an) , para este caso escribiremos:
donde Al ,A 2, .. ., An , son constantes] P(x )
Q( x) x -a ¡ x - a 2 x - a n
que se van a determinar.
Integral Indefin ida 89
SEG UND O CAS O: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
algunos se repiten, suponiendo que ( jc -a ,) es el factor que se repite P
veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.
A A, AP — — + -----3 _ + ... + ------c — x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p
donde A,, A2 , A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.
TE RC ER CAS O: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos
irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor
cuadrático x2 +bx + c la función racional es de la forma:
Ax + B
x2 +bx + c
CU AR TO CAS O: Cuando los factores de Q(x) son lineales y
cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Si x 2 +b x +c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las
fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:
A|X+P| A2 x + B2 ^ j
ax2 + bx + c (ax2 +bx + c )2 (ax2 + bx + c)m
(2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.-
Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:
\ P^ d x = X M + ... (a)• Q(x) Qx(x) J Q2( x )
donde Qt(x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su
derivada Q'(x).
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
49/199
90 Eduardo Esp inoza Ramos
1280
1281
& (*) = -“ : * 0 i W . X(x) e Y (x)Qi(x)
son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son
menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x) , respectivamente, los
coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la
identidad (a).
Hallar las integrales:
dx
J (x + a)(x + b)Desarrollo
^ , efectuando y agrupando:
C x + a) (x + b) x + a x + b
A + B = 0 } i i1 A = -------- , B = -
Ab+ Ba = l! a —b a —b
f, * - M — i-*-- -L. f J Ü - + - L . fjJ ( x + a)( x + b) J x + a x + ba - b J x + a a - b j a
dx
T b
1 > i i l . i , i \ \ x + b ,- ln | jc + « | h------- \n\x + b\+c = -------ln | -------¡ + c , a ^ ba - b a - b a - b x +a
I x 2 - 5 jc + 9
x 2 - 5 jc + 6dx
Desarrollo
Integral Indefinida 91
1282
1283
1dx
(jc —1)(jc+ 2)(jc+ 3)
1
Desarrollo
A h— — + — — , efectuando y agrupando:( jc- 1 ) ( jc + 2)(.x + 3) jc
— 1 x + 2
x +3
1= (A + B + C) x2 + (5 A + 2B + C)x + (6 A - 3B - 2C)
A + B + C —0
5 A + 2 B + C = 0
6 A - 3 B - 2 C = 0
A = — ; B = - ~ ; C = - 12 3 4
Jdx
(jc-l)(;t+ 2)(x + 3) B C u+ ------- 1------- )dx
x+ 2 x+3
_L f dx 1 f dx +J_ f 12J jc -l 3 J x + 2 4 J
dx
„t + 3
1 ln !jc — 11---In ! x + 2 |+ —ln | x + 3| +ci i 3 i 4
12
= - | - [ l n | x - l ¡ - 4 1 n | x + 2 | + 3 1 n | x + 3 |] + c l n|- 12 12 (x+ 3)
1 , . (jc-IX jc+3)3|+c
r 2x 2
J ( x - i )
+ 4 U - 9 1
1)( jc+ 3) (jc- 4 )
2jc + 41jc —91
-dx
Desarrollo
A B C h------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene:
( x - 1 ) ( jí + 3) (x-4) x - l x + 3 x - 4
2x2 +41jc-91 = (A + B + C)x2 +(- A -5 B + 2C )x- l2( A- 4B + 3C)
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
50/199
92 Eduardo Espinoza Ramos
1284
A + B + C = 2
de donde se obtiene: - A - 5 B + 2 C - 4 1
-(12A -4B + 2C) = -91
resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5
2x 2 + 41x-91
(x -l) (x + 3)(x + 4)-dx
■ M r -J JC—1 X + + 3 , n | í i t^ - 4)5 |+cx + 3 x - 4 (x + 3)5x +2
x3+ 5x2+ 4xdx
Desarrollo
5x3+2 . 25.x2-2 0* + 2 , 25x2-2 0* + 2 — ------- -------- = 5 + — -------- ----------=5 + ------------------------ x - 5 x +4 x x - 5x“+ 4x x(x 4)(.\ I)
25x2- 20x + 2 A B C
x(x- l) (x-4) x x-1 c - 4de donde
25 .v" — 20 x + 2 —{A + B + C)x~ +(5 A — 4 B ~ ( )x ■+4 A
A + B + C = 25
- 5 A - 3 B - C = - 20
4A = 2
1 „7 ^ 161, resolviendo el sistema: A .11 . C = —
2 3 6
Integ ral Indefinida 93
1285
1286
ídx
x(x + l)
1
Desarrollo
= —h — — + — —— , efectuando la operaciónx ( x + l
)2A' X + l (x + l)‘
l = A ( x + l ) 2 +B x ( x + l) + Cx => 1=( A + B) x2 +(2A + B + C)x + A , de donde:
resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1
A+B = 0
2A + B + C = 0
A = 1
dx
JJ x(x + l)2 J * X+l (x + l) ,A B C(_ + -------+ . ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^
J X x 1 (x + l)" )dx
= lnx- ln Ix + l I+ —— + c = ln | ----- ¡+ -------+ c1 1 x + l x + l x + l
f — J 4x3- Adx
Desarrollo
* _ i x3 — 1 1 4
-= - + - ^x - 4
4x3 x 4 4x' x x(x + 2)( x_ ^)
A B C
1 . ~ x + 1 + 1x + — x —2 2
B C\ Ade donde x -4 = (A+B + C)x2+ (- — + —)x——
2 2 A
A + B + C = 0
_ B C =12 + 2
resolviendo el sistema: A =16, B =-9 , C =-7
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
51/199
94 Eduardo Espinoza Ramos
1287
\ - ^ T ^ d x = IVJ 4 x - x J 4
A B C w . t iH-----1------ —-i------7~)dx —— i— | 1 .
4 x , 1 „ 14 16J , l v 1,í-
x - 4í/x
x + — x —2 2
x (x + - ) ( x - - )2 2
x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti , —h— I (—+-— -------- r)dx = —h— [16lnx-9ln(x+ —)-7 ln (x -~ )]
4 16 J x 1 1 4 16 2 2xH— x—2 2
x 1 .= — + — ln4 16
„16
(x + i ) 9 ( x - i ) 72 2
| +c = —+ — ln |4 16 (2x + l) (2 x -l )
y \ + c
f x4- 6x3J x3- 6x2
+ 12x ‘ + 6+ 12x -8
dx
Desarrollo
x4
-6
x3
+ 12
x2
+6x3- 6x2+ 12x -8 :x + - 8
x +6x - 6x‘ + 12x - 8 = x + -8
x +6(x~ 2)3
íx4- 6x3+ 12x2+6x3- 6x2+ 12x -8 í ‘dx = I (x +
8x + 6( x - 2)3
)dx
__x1 +
2
B
( x - 2)2 ( x - 2)3 )dx
8x + 6 A + — ! L _ + _ C _ =>s x + 6 = A x 2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C ( x - 2)3 x - 2 ( x - 2)2 ( x - 2)3
A = 0
.B-4A = 82A -2 B + C = 6
, resolv iendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22
x4- 6x3+ 12x2+ 6 , x2 f \ 8 22 w — ------ --------------dx = — + (-------- - + ------ — )dx
Integ ral Indef inida 95
1288
1289
___ 8 112 x - 2 ( x - 2)2 C
f (5x2+ 6x + 9 )dx
J (x- 3)2(x + 1)2 Desarrollo
5x2+6x + 9 _ A B C D(x- 3) 2(x + 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2+ x + 1+ (x + 1)2
5x 2 + 6x + 9 = (A + C)x 3+ (-A + B- 5C + D)x2 +
+(-5 A + 2B + 3 C - 6 D) x + ( -3 A + B + 9C + 9D)
A + C = 0
- A + 5 - 5 C + D = 5
-5 A + 2Z? + 3C - 6D = 6-3 A+ B + 9C + 9D = 9
9 lresolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, B = —, D = —
2 2
f 5x2+ 6x + 9 J 9 C dx 1 f dx 9 1 1 , 1 ,------------ ------------r- d x = - ------------T + - I ----------------------------------------------------------— = -( ---------- ) -( ---
j ( x -3 )2(x + 1)2 2 J (x -3 ) 2 J (x + 1) 2 x - 3 2 x + 1
f + 7J (x2- 3 x - 1 0 )2 X
Desarrollo
f x2- 8x + 7 J f x2- 8 x + 7 ,I —i-------------̂ rdx— I ---------- --------- dx
J ( x -3x -1 0 ) J (x -5 )2(x+2 )2
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
52/199
96 Eduardo Espinoza Ram os
1290
1291
, A B t C | D
x - 5 + (x - 5 ) 2+ x+ 2 (x + 2)2
x 2- 8 jc + 7 = A( x + 5){x + 2) 2 + B(x + 2)2+ C(.x + 2)(x - 5)2 + D( x - 5)2
i ! « = _ A C = - — __ 343 ’ 49 ’ 343 ’ 49
f x 2 - S x + 1 , 3 0 , , c , , 8 1 30 , ,J *= 5 4 3 ln1' - 5 1 - - 3 « ln1A+21"
= _ » ________ - — + ü L i„ |— j *49(jc —5) 49 U + 2) ~ ~
J (aT
30 8 30 n - 27agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - - — , C - - ——, U - -
49(jc-5 ) 49U + 2) 343 a:+ 2
2 jc —3
—rd x 2)Desarrollo
— dx (x~ — 3a:+ 2)
Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x- 3) dx
J (ac —3ac+ 2) J w3 2/ r
Como
1
1 (x2 - 3 jc+ 2)3~' J « 3 2m2 + C 2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2
IX3+ AT+1a:(a:2+ 1)
dx
Desarrollo
fAT3 +JC+l (" 1 w f d.V-----r------dx = I (H—=--- )dx = x + ------- -----
J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1)
___ ! ___ = A + Bx + C = (A + B)x -+C x+A ^ l = x 2 (A+C) + Cx +A
JC(.V2+1) * X2 + l Af( A-2+1)
Integral Indefin ida 97
1292
A + B = 0]
de donde: C = 0
A = 1
resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0
fAT3 +JC+l f 1 x| ---- r-----dx = x+ | ( ------ — J x( x2+1) J X X2H
)dx = x+ ln x — ln(jc +l) + c +1 2
= x + ln |Va:2+1
\+c
f x 4dx
J x 4- 1Desarrollo
\ s d x = L ' ) dx =x +J * 4 - l J JC4 —1 J a4 -1
1 A B Cx+D- + ----- + -
(ac-1)(a. + 1)(at + 1) * - 1 JC- 1 x2 +1
1= (A + B +C)x3+ (A —B + D)x 2+ (A + B +C)x + A — B —D
A + B + C =0
A - B + D = 0
A + B - C = 0 A - B - D = 1
, resolviendo el sistema: A= —, B = — , C = 0, D
4 4
f ac4 f A B Cx + D 1 f dx 1 f dx 1 f dx —— dx = x+ | ( -----+ ------+ — ------ )dx = x + - -----------------------I - —
J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + \ 2 J x - + l
1 , . JT- 1 . 1= x + - ln | ---- -1- -arctg x + c
4 AC+ 1 2
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
53/199
98 Eduardo Espinoza Ram os
f _______ * _______ J (x2 —4x + 3)(x2+ 4x + 5)
Desarrollo
1 _ A + B + Cx+D
(jc2 - 4 x + 3)(x2+ 4x + 5) x - 3 x - \ x2+4x + 5
efectuando operaciones y simplificando se tiene:
A(x 3 + 4x + 5x) - A(x2+ 4x + 5) + fí(x3+ 4 + 5x) - 3fi(x2 + 4x + 5) +
+ C(x3- 4x 2 + 3x) + D (x2 - 4x + 3) = 1
(A + B + C)x3 +(3A+B + 4C + D)x2 +(A -7B + 3C -4 D )x -5 A- l5 B + 3D = l
A + B + C = 0
3A + B -4 C + D = 0 A - 7 B + 3C - 4 D = 0
-5A -15 B + 3D = 1
1 1 2 3resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D = —
52 20 65 36
f dx f , A B Cx+D — -----------------------------= (------+ ------ + — ----------- )dx
J (x -4x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5
= _ L f _ * L + f 6 5 I j L d x5 2 j x - 3 20 j x - 1 J x 2+4x + 51 1 1 f 2x + 4 7 f dx
= — l n ( x -3 ) ----- ln(x-l)H -----I — ------------dx + ~— I —------------52 20 65 J x + 4x + 5 1 3 0 jx 2+4 x + 5
= — ln(x -3) —— ln(x — 1) + — ln(x2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2)52 20 65 130
Int egral Ind efi nid a 99
1294
1295
f dx
J77T
i i
Desarrollo
A Bx + C
x 3 + l ( x + l ) ( x2 - x + l ) * + l X2 - X + l
1—(A + B)x~ + (“A + B + C)x + A + C
A + B = 0
-A + ¿f + C = 0
A + C = 1
1 „ 1 „ 2, resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = —
3 3 3
x 2
\ ^ - = f ( - ^ - + B2X +C )d x = ] - [ — + f 3 3 dxJ X +1 J x + 1 x ~-x + l 3 j x +1 J x - x +1
= —ln(x + l )~ —ln(x2- x + 1) + —̂ arctg(-:~ -) + c3 6 V3 V3
1 , , (x + 1)2 1= —ln .- - , ,6 x“ - x +1 v3
2x - l
f dx
J x 4+1Desarrollo
Ax + B Cx+ D- + -
x4+l (x2+\J lx + l)(x2 - V2x + 1) X 2 +y[lx + \ x2 -y¡ lx + 1l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y ¡2A)x 2 +(A + C + y¡ 2A- yÍ2 B)x +B+ D
A + C = 0
B + D + \¡2C - \Í2A = 0
A + C + y¡ 2D -y ¡2 B = 0
B + D = 1
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
54/199
100 Eduardo Espinoza Ram os
1296
resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = — , C - — 2V2 ’ 2 ’ 272
1 1 1 1X + — -----T = X + -
f dx i* Ax + B Cx +D C 2V2 2 2\¡2 2,
Jx4+l“J x2+V2x+l +x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l1 f X + SÍ 2 _ 1 f X - y ¡ 2 .
' í T í j I?— T *+ yfl x + 1 2\/2 J .Y“ — yfl x + 1
2 ■ + y fl ,X + 1 * V2 X y fí .I n I — -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c
J
4V2 X2 - y í l x + \ 4 1 - x 2
dx
! +1
Desarrollox4+ x2+1
x4+x2+l =x4+2x2+l-x2=(x2+1)2-x2
x4+x2+1=(x2+x+ l)(x2—x +1)
A x+B Cx +D - + -
X4 + X2 +1 X ~ + X + 1 X —X + 1
1— (A x + fí)(x —x + 1) + (Cx + D)(x ~ + x +1)
1= (í4 + C) x3+ (B -A + C + D)x 2 + (A -B + C + D)x +B + D
A + C = 0
B - A + C + D = 0
A - B + C + D = 0
B + D = l
integral Indefinida 101
1297
1298
resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = —, C = ——, D =2 2 2 2
f dx f . A x+ B Cx+ D N, 1 f x +1 ,1f x —1 —------5 — = (— ---------------------------------------------------- + -3--------- )dx = - ,d x -
J x + x +1 J x ' + x + l x -x +1 2J x‘+ x+1 2J x' - x +1
I
1 , . x +x + l . 1 x - l= - ln | — ---------1+ — j= arctgí — -=-) + c
x x —x+ 1 2V3 x%/3
dx
7
Desarrollo
(l + .v2)2
Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO
í — ^ r T = f - e c 2 y - ~ = f - ^ _ = f c o s 2 0 d OJ (l + x“ )~ J( l + tg‘ 0)" J s e c “ 0 Jfl + cos209 sen0eos9 arctgx x
= ------------d G = - + ---------------+ c = -— — + --------r -J 2 2 2 2 2(1+x )
r 3 x +5I —r ----------r—^dx
J (x“+ 2x + 2)
Desarrollo
(x 2+ 2x + 2)2 = (x + 1)2+ 12 => z = x + l => dz = dx
f — — 2 = 3 í — T ~ ~ — ~ t̂ x+ f J (x2 + 2x + 2) J (x2 + 2x + 2)‘ J (x2 + 2x + 2)~
= _______ 2 _____ + 2 f _____ * _____ 2 ( x 2 + 2 x + 2 ) J ( x 2 + 2 x + 2 ) 2
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
55/199
102 Eduardo Esp inoza Ramos
1299
3 + f dx _ _______ 3 _____ +2 f dx2( x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2x +2) J(z2+1)2
= ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a + 2) J2
( x ' + 2
x +2
) J (z +1) (z +
1)
■ J ; :+2arctgz—21—--- - ... (1)2(x2 + 2x + 2) ” ~J ( z 2+ 1)2
1, „ , z 2dz Z arctg;integrandopor partes; —----- =--- ---- h--—
' (z2 +l) 2 2(z +1) 2
Luego reemplazando en (1) se tiene:
J
í
3 a + 5 3 „ 2x+2 — ----------- dx =------ ----- — + 2 arctg( a + 1) + — --------------arctgU + 1 )+ c(x~ +2x +2) 2(x +2x+2) 2 ( a 2 + 2 a + 2 )
2x + \= ---- ,------------+ arctg(.v + 1) + c
2(x~ + 2x + 2)
dx
Ha + 1 ) 2
Desarrollo
A Bx + C Dx + B- + -
( a + 1 ) 2 ( a 2 + x + i ) 2
( a + 1) (a 2 + A + l)2 A + l X 2 + A ' + 1 (x2+ x + l)2
efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene:
1 = A(x 2 + a + 1) + ( B x + C ) ( a + 1 ) ( a 2 +x + l) + (x + l)(Dx +E)
Integra l Indefinida 103
A + B = 0
2 A + 2 B + C = 0
agrupando y por entidad de polinomios tenemos: 3A + 2B + 2C' + D = 0
2A + B + 2C + D + E = 0
A + C + E = 1
resolv iendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0
f - _____ J ( A + 1 ) ( x 2 +A + l ) 2 J A + l
Bx + C Dx + E - + — ---------+ — ---------- -]dx
( A + 1 ) ( a ” + A + 1 ) “ J A + l A + A + 1 ( A ^ + A + 1)
ít 1 * * W(---- ---------------------------------_)£/x
A + l X~+X+ l (x~ + X+ 1)
, . i r 2a+ i i w i r ; ln | x + 1 I (— - ---------- ) d x - ~
2 J X + A + 1 X + A + 1 2 J
, 2 a + 1 1( --------- ------ ---------- - )dx
( A + X + 1 ) ( a + A + 1 ) “
i i . i l . i 2 i i 5 2 a + 1 a + 2: In a + i j— ln x + A + l + — =rarctg(— ?=̂ -) + -------------------;--------+ c
2 3V3 v3 3(a + a +1)
lx3+1
1 3 0 0 ! -----------------d x
Desarrollo
( a 2 —4 a + 5 ) 2
a 3 + 1 Ax + B Cx +D
( a 2 - 4 a + 5 ) 2 a 2 - 4 a + 5 ( a 2 - 4 a + 5 ) 2
efectuando operaciones y eliminado denominadores:
a 3+ l = (Ax+i? )(x2 + x + 1) + Cx +Z>
a 3 + 1= A*3+ (- 4 A + B) x 2 +(5 A-4B + C)x + 5B + D
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
56/199
104 Eduardo Espinoza Ramos
por identidad se obtiene:
A = 1
- 4 A + f í = 0
5 A- 4B + C = 0
5B + D = l
A = 1
B = 4A => B = 4
C = 11
D = - 49
J (x~ -4x + 5)- J. Ax+i? Cx+D ,( - -----------+ —5------------ 7)dxx2-4 x + 5 (x —4x + 5)
, x + 4 l l x - 1 9 ,= H — ------ + - T — ------ r ) d *1«x2- 4x + 5 (x2- 4x + 5)2
1 f , 2x —4 12 J 11 f 2 x - 4 J r dx= - (-5-----------+ — -------------¿ v + 3 I — --------------2 J x -4 x + 5 x~ -4x + 5 2 J (x~ -4x + 5)" J( x "- 4 x + 5)
= —Inlx2-4 x+ 5|+ óa rctg (x- 2)- —(—-—— ------ )+ —arctg(x-2)H-----~ — -----2 1 5 2 ;c2 _ 4jc + 5 2 6V 2(x - 4x + 5)
1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x -17= —ln x -4 x + 5 h— arctgíx-2 )-1------ --------------he
2 ' 2 2(x -4 x + 5)
Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:
f dx
J (x + l)2(x2+ l)2Desarrollo
f dx _ Ax2+ Bx + C ^ f Dx 2 + Ex + F J (x +1)2(x2 +1)2 (x +l)(x2 +1) J (x +l)(x2 + 1)
derivando y agrupando se tiene:
Integ ral Inde finida 105
Dx5 +( E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3+
(x + l)2(x2+ l)2 (x + l)2(x2+ l)2
+(A + E + F - B + D- 3C )x‘-+(2A + E + F- 2C )x +B + F -C
(x + l)2(x2+ l)2
de donde se tiene:
1= Dx +( E + D - A ) x 4+ (E + D + F - 2B) x +(A + E + F —B + D —3C)x~ +
D = 0
E + D - A = 0
E + D + F - 2 B = 0
A + E + F + D - B - 2 C =0
2A + E + F - 2C = 0 B + F - C = 1
+(2A + E + F- 2C )x + B+ F -C
1 1 1 3resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - —, C = 0 , E = — , F = —
4 4 4 4
Como:dx__________________ A x 2 + Bx + C |* Dx 2 + E x+ F
i (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)(x2+l) J (x + l)(x2+ l /
- X 2 + X __________ r x —3
4(x + l)(x2+l) 4 J (x + l)(x~ + 1)dx
- X +x 1 f -2-I i ------dx +
4(x + l)(x2+1) 4 ' J x + l 1 7 h * - ¡
------^ -+ —In Ix + l| ~ —ln |x 2+ 1 | +—arctgx + c4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4 6
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
57/199
8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale
58/199
108 Eduardo Esp inoza Ramos
1304
1r59 3 3sen 26» sen326 .:_ [— -+—sen 40+— sen 29 h— ------------------ ] + c8 2 8 2 2 6
= —[— + —sen9 eos9 (2eos29 - 1) + 4sen9 eos 9 — — sen39 eos39] + c 8 2 2 3
1.5 3 x 2 4x 4x3= - [ - arctg x + ----- (— -------1) + — ------------------------- -- -] + c
8 2 2(x "+l ) x +1 x~ +1 3(x~ + l)
15 15x5+40x3+33x=— arctg * + ----------- - ----------+ c48 48(x +1)
íx - 2x + 2 ,
—r --------------d x(x -2 x + 2)
Desarrollo
r 4x3-10x2+ 8 x - 2f —2 2X +22 dx = f(l + -
J ( x - 2 x + 2 ) J )dx
(x~ -2 x + 2) J (x - 2x +2)
f 4x3 —1Ox2+8x - 2 ,=x+ ------------------- — dx . . . (1)
J (x - 2x + 2)
f4x - lOx + 8x + 2 , Ax+B f Cx+D------ r ------------ ~z— dx = — --------- + — --------- — dx
J (x - 2x + 2) x -2 x +2 J x - 2 x +2
derivando, simplificando y agrupando se tiene:
4x3-10x2+ 8x —2 -A x2 -2 Bx + 2A + 2B Cx + D(x2- 2x + 2)2 (x2- 2x + 2)3 x2- 2x + 2
Cx3+ ( D - 2C - A ) x2 + (2C -2 D -2 B )x + 2A + 2B + 2D(x2- 2x + 2)2
Integral In definida 109
1305
4x - lOx +8x--2 - Cx3+ ( D - 2 C - A ) x ¿ + (2C -2D -2B )x+ 2A + 2B + 2D
C —4
D - 2 C - A = -1 0
2C - 2D - 2B = 8
2A + 2B + 2D = -2
resolviendo el sistema se tiene: A= -l, B=3, C = 4, D = -3
14x3 —10x2+ 8 x - 2
(x2- 2 x + 3)2
x - 3dx = — -------------1-
I -
4 x - 3
x2~ 2x + 2 J x z - 2x + 2-dx
x - 3
x" - 2x + 2
reemplazando (2) en (1) se tiene:
‘4x 3- 10x" + 8x - 2
- + 21n |x 2- 2x + 2 |+arc tg(x- l) (2)
íx4- 2x2+ 2
(x2- 2x + 2)2dx = * + J ‘
: X —-
(x - 2x + 2)
x - 3 , 2
dx
+ 21n ¡ x - 2x + 2 | +a rc tg (x - l ) + cx