Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER. Solucionarlo de Leithold 2da. Parte. Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3 WWW.SOLUCIONARIOS.NET WWW.SOLUCIONARIOS.N ET Eduardo iiplno#i Rumo« Urna hmi w « Mam «•«««
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Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por E.WEBER.Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3
2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 2182.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 2232.3. Integrales Impropias. 2342.4. Cambio de Variable en la Integral Definida. 2482.5. Integración por Partes. 2612.6. Teorema del Valor Medio. 268
C A P Í T U L O V I
. 3 1 , .
[A P L IC A C IO N E S D E LA IN T EG R A L D E FIN ID A
3.1. Areas de las Figuras Planas. 2763.2. Longitud de Arco de una Curva. 3103.3. Volumen de Revolución. 3253.4. Area de una Superficie de Revolución. 3473.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 3573.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas
de Física.377
Integral Indefinida1
C A P Í T U L O I V
4 . I N T E G R A L I N D E F I N I D A .
4.1. REG LA S PR IN C IPA LE S PA R A LA IN T E G R A C IO N .
0 F '(je) = / ( x) entonces j" f (x)dx = F(x) + c , c constante.
( 2 ) J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.
@ J(/(jc)±g(x)<¿x = j f ( x ) d x ± ^ g ( x ) d x .
f(V a-V jc)4 d _ f fl2 -4ayfax + 6ax-4x\[ax + x 2 ^
J \[ax J 4ax
= J [a2( a x y in - 4 a + 6-Jax - 4 x + x 2 (ax)“1/2 ] dx
2x3= 2a Ja x - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = + c
5 yfax
1043J í ! +7
Desarrollo
6 Eduardo Espinoza Ramos
1044
1045
1046
1047
Í dxjr2 —10
Desarrollo
¡ T T o ' Í T - -
í
dx 1(Vio)2 2V10
ln x +VioC-VÍO
+ c
\¡4 + x 2Desarrollo
Por la fórmula 7 se tiene: | = In I x + \ lx2 +4 I + cJ (x +4)
I V8-JC2
t e - /
Desarrollo
X•--------------- = ore. sen (— =■) + c , resulta de la fórmula 8.
7(272)2 -* 2 2V2
J
í
■s/2 + x 2 - J 2 - X 2
•Ja-x*dx
Desarrollo
yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 J C /J2 + X2 y / 2 - x 2dx = f ( ^ 2 V 2 -* 2
» V^4-X4 V 4 - r4dx
= f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x + y¡2 + x 2J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2
+ c
por fórmulas 7 y 8.
Integral Indefinida 1
1048 a) 1 tg2J
Desarrollo
r rJ , 8! A»fe = J<Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .
b) I tgh2
Desarrollo
Jtgh2 xdx = J(l-sec! Ax)iír = x-tgh+ c.
1049 a) 1 c tg" xdx.*
Desarrollo t V v *
[c tg 2x d x - J (c sc2 x - \ ) d x C t g X - j : + C.
b) 1 c tgh xdx.w
Desarrollo
J , ,g
1050 ¡3xexdx
Desarrollo
Í3 xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ -J J ln(3e)
8 Eduardo Espinoza Ramos
4.2. IN T EG R A C IO N M ED IA N TE LA IN T R O D U C C IÓ N BA JO EL SIG N O DE LA DIFER EN C IA L.
Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:
J* f(y/(x)).y/'(x)dx = J f(u)du , donde u = y/(x)
a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la diferencial.
, , adx 1051 ------
1054
J -J a- xDesarrollo
sea u = a - x —> du = -d x —> dx = -du
f adx f dx f du , , cI ------ = a I ------- = -a I — = — aLn + aLn - aLn \------J a - x J a - x J u a - .
f 2x + 3J 2x+l
1052 Idx
Desarrollo------------
[ l —^ d x f ( - — + — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3| J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 2 4
f xdx J a +bx
Desarrollo
f xdx f 1 a , 1 , x a , . , .I --------= I [------- (-------- )]dx —------ —Ln\a + bx\+c
J a + bx J b b a + bx b b
+c
11055 I — + b dxax+ ¡5
Integral Indefinida 9
1056
1057
1058
1059
Desarrollo
J ax + l3 J a a a + ¡i a a
\ ^ d xJ x - l
Desarrollo
2f X + 1 dx = f(x + l + —1— )dx = — + x + 21n | x - l |+ cJ x - l J x - l X
f x2 + 5x + 7 ,I --------------dxJ x + 3
Desarrollo
f x +^X + '! dx= j*(x + 2 h— -—)dx = — + 2x + In | x + 3 1J x+ 3 J x+ 3 2
J x - lDesarrollo
[ x U x 2 + 1 dx= f(x 3 + x 2 +2x + 2 + - Í -J x - l J x + l
+c
)dx
í
r 4 r 3= — + — + x2 +2x + 3 1 n |x - l |+ c
4 3
(a + -~ -)2dxX - f l
Desarrollo
r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | -+ cJ x - a J x - a (x - f l)“ x ~ a
10 Eduardo Espinoza Ramos
1060
1061
1062
J X dx(jt + 1)2
Desarrollo
sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l
\ ~ T du= f ( ~— = ln | w | +—+ c = ln|* + l|+ —— + c i (JC + 1)2 J u2 J U u2 u x + l
f bdy
J VwDesarrollo
Sea u = 1 - y => dy = - du
J = b ~ y ll2(iy = ~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = -2 b y ] l-y + c
JVa -bxdx.
Desarrollo
Sea u - a - bx => dx = ~ —b
f s¡a-bxdx= fwl/2( -^ -) = - - \ u m du = - — u>fü+c = - — (a -b x )Ja -b x J J b b j 3b 3b
+c
1063 dx
Desarrollo
Integral Indefinida 11
1064
1065
1066
1067
f - ¡ J L = d x = í (x 2 + i r 1/2^ = \u~U2 — = yfu+C = J x 2 +l+cJ V 7 7 T J J 2
f y / x + lnxJ X
-dx
Desarrollo
C yfx+ lnx , f . 1 ln * \ , 0 r , ln x- ----------dx= l(-p r + ----- )dx = 2 ^ x + —— + cJ X J yjx X 2
Í —J 3x2 + 5Desarrollo
í —t — = í r f X— = —J —¡= a rc tg C ^-) + c =-^= arctg(x í^ ) + cJ 3x + 5 J (J3x)2 +(J5)2 S S \¡5 %/I5 V5
f dxJ 7*2 +8
Desarrollo
dx j*______ dx______- * in i V7jf —2>/21 x 2 - 8 J (V7x)2 -(2>/2)2 y¡l 4V2 J l x + 2 ^ 2
dx _ ,--------------------- - ; 0 < b < a(a + b ) - ( a - b ) x
+c
Desarrollo
dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________
J (a + b ) - (a ~ b )x2 J (Ja + b)2 - ( J a - b x ) 2 J (Ja + bj2 -(-J a - b x )2
1 . yja+b + sja—bx .~ ln ,----- ---- f = = - \+c
2yja-b.\¡a + b \la + b - y /a -b x
12 Eduardo Espinoza Ramos
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1070
1071
1 . . yfa + b + y j a - b x .In | ------ -----— | +c2yja2 - b 2 J a + b -->J a - b x
rx 2dx
x 2 + 2Desarrollo
Ix3dx
~2 F a - xDesarrollo
f x3dx fJ
Jt2 - 5 x + 6
2 2 2 / x v f x a t o .(* + ~ -----= - ( — + — In | jc - a |) + c
x~ - a 2 2
i x 2 + 4dx
Desarrollo
Cx2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d xJ x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4
x2 , 1 -x 1, , 1 - x . x2 - l . , 1 - * .= — ln---------x — ln(-- ) + c = ---------- l n |-------1 - x + c
2 1 + x 2 \ + x 1 + x
1240 I\n¿x
dx
Haciendo
Desarrollo
dxu = ln x => d u - 2lnx.
dvdx 1
Integral Indefinida 71
1241
1242
Haciendou = ln x => du= —
x. dx 1d v - — =* V —----
x¿ X
ñln2 x lnx f dx . ln2x 2 lnx 2
-dx = — — + 2(—x- x
f ln(ln x)
í
y-dx
Desarrollo
Haciendou = ln(ln x) => du =
i dx idv — — => v = ln xx
dx xln x
ln(in jc)dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.-
J
dxxlnx
= (ln(ln x) - 1) ln x + c
= ln x. ln(ln x) - ln x + c
x arctg(3x)í£c
Desarrollo
Haciendou = arctg(3x) => du =
j 2 , x dv = x dx => v = -—-
3 dx l + 9x2
J, x3
x arctg(3x)dx = — arctg(3x) -f x dx _ x'J l+9x
- f ( - — — - J 9 162 118x+ 9x2
-)dx
J x 1- — arctg(3x)-------1----- ln 11 + 9x2 | +c
3 18 162
72 Eduardo Espinoza Ramos
1243
i ■
1244
I x(arctg x)2dx
Desarrollo
Sea z = arctg x =* x = tgz => dx = sec2 z dz
JA(arctg x)2dx = J z 2 tg z.sec2 z dz
u - z 2 => du = 2zdzHaciendo
7 t g 2 Zdv = tgz.sec zdz => v = ——2
7 2 - 2= — tg2 z + ~ - I zsecz zdz
j*x(arctgx)2í¿x = ^ - tg 2 z - J z t g 2 zdz = ~ ~ tg 2 z - j"(zsec2 z~z )dz
- I '
integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes
Jx(arctg x)2 dx = - y (tg2 z +1) - z tg z - In | cos z | +c
Í(arcsen x)2dx
z2= — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c
= i arct§ AL ( Ar2 +l)-jcarctgA + 2 ln (l + x 2) + c
Desarrollo
Integral Indefinida 73
1245
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
J (arcsen x)2 dx = J z2 cos z dz
Haciendou = z2 =* du = 2z<iz dv = cos zdz => v = senz
J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 J z sen z dz
I'm = z => du=dz \dv = sen z */z => v = -cos z
J (arcsen x)2 dx = z2 sen z - 2 (-z cos z - J - cos zdz)
Haciendo
z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x)2 + 2V1 - x2 arcsen x -2 x + c
f arcsen x IX
DesarrolloJ „ -dx
x2
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
farcsen x^ _ f /- Co szd z= f zctgz.coseczcfz J x J sen z J
HaciendoU - z => du = dzdv = c tgz.coseczdz => v = -cosecz
f arcsen x . f , z , f dz»-------- dx = -zcosecz — I -coseczdz =------- + >----I ---------- dx = -zco s ecz - I -cos ecz az = ---------+ i -------J x2 J sen z J sen z
+ ln |tg ( - ) |+ csenz 2
74 Eduardo Espinoza Ramos
1246
1247
farcsenx , z , , . , arcsen* , , * L ,I ---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z -c t g z | = -------------+ ln ¡------ - |+cJ * sene * 1 + V 1-*
f arcsenJ jr r x dxDesarrollo
Sea[ z = arcsen V* => V* = sen z
* = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz
f arcsen V* , f z-2senz.cosz , „ f ,I — -------dx - I — -dz = 2 I zsenzazJ v i - * J V i-se n 2 z J
Haciendou = z => d u = d zdv = senzdz => v = -cosz
f arC en - * dx = 2(-z eos z - f -eos z dz) = -2 z eos z + 2 sen z + cJ Vl~ * J
= -2arcsen V*Vl~* +2\ fx + c
Jx tg 2*rf*
Desarrollo
(*sec2 2x - x ) d x
Haciendou = x => du = d x
dv = sec2 2xdx => v = ^
Integral Indefinida 75
1248
1249
Isen2 x , --------dx
Desarrollo
i 2 x , f l-c o s2 *f sen" x f 1 - cos 2x 1 f 1 f ,I -------- dx= I ------------ dx = — \e d x ---- l e eos 2 xdxJ ex J 2ex 2 J 2 j
4 1 -e~2
e JCcos2xdx ... (1)
1integrando le *cos2 x d x , por partes se tiene:
Haciendou = eos 2x => du = -2 sen 2x dx
dv = e~xdx v — —e x
j e ~ x cos2xdx = e ' ' co&2x+2je~x sealxdx
integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)
f sen2 x , e~x / c o s 2 * -2 se n 2 * - l reemplazando (2) en (1) se tiene: | ------— dx = —r- (---------------------------- ;--) + <■yr
Jeos2 (ln x)dx
Desarrollo
, J 2 1 + eos 2*Usar la identidad eos x = ------------
= £ ± IV x 2 +2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 +2x + 5 | +c2
86 Eduardo Espinoza Ramos
1273
1274
1275
1276
S ' / * - * 2dx
Desarrollo
1
j \ f x x~dx - j ( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c
2 x - l I 2 1- — -— \ x - x + -arcsen(2A-l) + c 4 8
-ji1 dx
Desarrollo
l
{ ' f a - x - x dx= í j — -(* + —)-dx =—- 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(- -í-í-) + c J J V 4 z 2 2 4 3
_ 2x + l £ 7 9 2 * + l-------— \ 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c4 8 3
; xdx J x4 - 4x24x2 +3
Desarrollo
f _ xdx _ f xdx 1 1 x 2 - 2 - 1 . _J - 4^+3 - J Í7TÍ7TT=i -2ln I TTiTI1+" i ln 17T71+c
I(a2 - 2 ) 2 - 1 2 2 ' x2 - 2 + 1' !~ 4 ' x 2 —1
eos xdxí + 12 •
Desarrollosen2 x -6 se n jc + 12
Integral Indefinida 87
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1278
1279
T exdx
J y¡Vve*~+e2xDesarrollo
- + yjl + ex +e2* I +c
ísenjedx
Veos2 x + 4cos.x + lDesarrollo
f sen a ¿y _ f sen .y dx
J Veos2 x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3
= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c
f lnjcrtx
J * V l-4 1 n x - ln 2 xDesarrollo
ln xdxf ln xdx f ____J|
J x \ ¡ l - 4 \ n x - l n 2 x J Xy¡5- (ln x + 2)2
dx , tSea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2
x
f lnAdt j" ln xdx _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du
J vVl-4ln;c-ln2 a J xy¡5-( \nx+2)2 J y j5-u2 J y¡5-u^ J y¡5-u2
,lnA + 2 x- -y¡5 - ii' - 2 arcsen( - =r) + c = -V 1 - 4 ln a - ln" a - 2 arcscn( j - ) + c
88 Eduardo Espinoza Ramos
4.6. IN T EG R A C IO N D E FU N C IO N ES R A C IO N A LES.
® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-
Consideremos dos funciones polinómicas:
P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amx m +amAxm~{ + ...+alx+ a0
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x)decirQ(x)
Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función racional se denomina función racional propia, en caso contrario se denomina impropia.
Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el denominador se puede representar la función dada como la suma de un polinomio y de una función racional.
P(x) R(x)Es decir: ------ = C(x) + ---- , donde el grado de R(x) es menor que el
Q(x) grado de Q(x).
Q(x)
Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias:
P(x)í Q(x)
d x , para esto consideremos los siguientes casos:
PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales ydistintos.
Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2) . . . (x -an) , para este caso escribiremos:
donde Al ,A 2,...,An , son constantes]P(x)Q(x) x - a ¡ x - a 2 x - a n
que se van a determinar.
Integral Indefinida 89
SEGUNDO CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
algunos se repiten, suponiendo que ( jc - a , ) es el factor que se repite P
veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.
A A, AP— — + -----3 _ + ... + ------c—x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p
donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.
TERCER CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticosirreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor
cuadrático x 2 +bx + c la función racional es de la forma:
Ax + B x2 +bx + c
CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Si x 2 +bx + c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las
fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:
A|X +P| A2x + B2 j
ax2 + bx + c (ax2 +bx + c)2 (ax2 + bx + c)m
( 2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.-
Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:
\ P^ d x = X M + ... (a )• Q(x) Qx(x) J Q2(x )
donde Qt (x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su
derivada Q'(x).
90 Eduardo Espinoza Ramos
1280
1281
& (*) = -“ :* 0 i W . X(x) e Y(x)Qi(x)
son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son
menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x ) , respectivamente, los
coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la identidad (a).
Hallar las integrales:
dxJ (x + a)(x + b)
Desarrollo
^ , efectuando y agrupando:Cx + a)(x + b) x + a x + b
A + B = 0 } i i1 A = -------- , B = -
Ab+ Ba = l! a —b a — b
f, * - M — i-* ---L . f J Ü - + - L . fjJ (x + a)(x + b) J x + a x + b a - b J x + a a - b j a
dxT b
1 > i i l . i , i \ \ x + b ,- ln | jc + « | h------- \n \x + b\+c = -------ln | -------¡+c, a ^ ba - b a - b a - b x+ a
Ix 2 - 5 jc + 9
x 2 - 5 jc + 6dx
Desarrollo
Integral Indefinida 91
1282
1283
1dx
(jc — 1)(jc + 2)(jc + 3)
1
Desarrollo
A h— — + — — , efectuando y agrupando:( jc- 1 ) ( jc + 2)(.x + 3) jc — 1 x + 2 x + 3
1 = (A + B + C )x2 + (5A + 2B + C)x + (6A - 3B - 2C)
A + B + C — 0 5 A + 2 B + C = 0 6 A - 3 B - 2 C = 0
A = — ; B = - ~ ; C = - 12 3 4
Jdx
(jc-l)(;t+2)(x + 3)B C u+ ------- 1------- )dx
x+ 2 x+3
_L f dx 1 f dx + J_ f 12 J jc -l 3 J x + 2 4 J
dx „t + 3
1 ln ! jc — 11 - - - I n ! x + 2 |+ — ln | x + 3| +ci i 3 i 412
= - | - [ ln |x - l ¡ - 4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c ln|- 12 12 (x+3)
1 , . (jc-IX jc+3)3 |+c
r 2x2J ( x - i )
+ 4 U - 9 11)(jc + 3 )(jc- 4 )
2jc + 41jc—91
-dx
Desarrollo
A B Ch------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene:
( x - 1 ) ( j í + 3 )(x -4 ) x - l x + 3 x - 4
2 x2 +41jc-91 = (A + B + C )x2 + ( - A - 5 B + 2 C ) x - l2 ( A - 4 B + 3C)
92 Eduardo Espinoza Ramos
1284
A + B + C = 2 de donde se obtiene: - A - 5 B + 2 C -4 1
fAT3+JC+l (" 1 w f d.V-----r------dx = I (H—=--- )dx = x + ------- -----J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1)
___ !___ = A + Bx + C = (A + B)x -+ C x+ A ^ l = x 2 (A+C) + Cx +AJC(.V2 +1) * X2 + l Af( A-2 +1)
Integral Indefinida 97
1292
A + B = 0] de donde: C = 0
A = 1resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0
fAT3 +JC+l f 1 x| ---- r-----dx = x+ | ( ------ —J x(x2 +1) J X X2 H
)dx = x+lnx — ln(jc +l) + c + 1 2
= x + ln |Va:2 +1
\+c
f x 4dxJ x 4- 1
Desarrollo
\ s d x = L ' ) dx =x +J * 4 - l J JC4 — 1 J a4 -1
1 A B Cx+D- + ----- + -(ac-1)(a. + 1)(at + 1) * - 1 JC- 1 x2 +1
1 = (A + B + C)x3 + (A — B + D)x2 + (A + B + C)x + A — B — D
A + B + C =0 A - B + D = 0 A + B - C = 0 A - B - D = 1
, resolviendo el sistema: A = — , B = — , C = 0, D4 4
f ac4 f A B Cx + D 1 f dx 1 f dx 1 f dx—— dx = x+ | ( ----- + ------+ —------)dx = x + - ---------- -------------I - —J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + \ 2 J x - + l
1 , . JT- 1 . 1= x + - ln | ---- -1- - a r c t g x + c4 AC + 1 2
98 Eduardo Espinoza Ramos
f_______ * _______J (x2 — 4x + 3)(x2 + 4x + 5)
Desarrollo
1 _ A + B + Cx+D(jc2 - 4 x + 3)(x2 + 4x + 5) x - 3 x - \ x2+4x + 5
1 = (í4 + C)x3 + ( B - A + C + D )x2 + ( A - B + C + D)x+B + D
A + C = 0 B - A + C + D = 0 A - B + C + D = 0 B + D = l
integral Indefinida 101
1297
1298
resolviendo el sistema se tiene: A = — , B = — , C = ——, D =2 2 2 2
f dx f . Ax+ B Cx+D N , 1 f x + 1 , 1 f x —1—------5— = (—---------------------------------------------------- + -3--------- )dx = - , d x - - —— ---- dx
J x + x +1 J x ' + x + l x -x + 1 2 J x‘ + x +1 2 J x' - x + 1
I
1 , . x + x + l . 1 x - l= - ln | —---------1 + — j= arctgí— -=-) + c
x x —x+1 2V3 x%/3
dx
7Desarrollo
(l + .v2)2
Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO
í — ^ r T = f - ec2y - ~ = f - ^ _ = fcos20dOJ (l + x“)~ J ( l + tg‘ 0)" J sec“0 J
f l + cos20 9 sen0 eos9 arctgx x= ------------ d G = - + --------------- + c = -— — + --------r -
J 2 2 2 2 2(1 + x )r 3 x +5I —r----------r— d x
J (x“ +2x + 2)Desarrollo
(x2 + 2x + 2)2 = (x + 1)2 + 12 => z = x + l => dz = dx
f — — 2 = 3 í —T ~ ~ — ~ t x+ f J (x 2 + 2x + 2) J (x 2 + 2x + 2)‘ J (x 2 + 2x + 2)~
= _______2_____ + 2 f _____ * _____2(x2 + 2 x + 2 ) J (x2 + 2 x + 2 ) 2
102 Eduardo Espinoza Ramos
1299
3 + f dx ________ 3_____ +2 f dx2(x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2 x + 2) J(z2+1)2
= ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a + 2) J2( x '+ 2x + 2) J (z + 1) (z + 1)
de donde se tiene: _____5 A + 2 B + 2 C + 2 D = 05A + 2 D -1
KchiiIvIpihIo pI ilvtriiim k" (tone A •* 0. II , C' O , /) ^
Integral Indefinida 115
f _________________ = f( M+J - + ^ x + D - )dxJ (x 2 + 2x + 2)(x2 + 2 x + 5) J x 2 +2x + 2 x 2 +2x + 5
1 f dx 1 f dx 1 1 ,* + l \ ,= - I --------------------- I ----------------- = - a r c tg ( x + l ) — arctg(---------) + c3 J x2 + 2x + 2 3 J x + 2x + 5 3 6 6 2
f x 2dx 1313 ---------
J ( * - l ) 10Desarrollo
Sea z = x --1 = > x = z + l= > dx = dz
_ 1________ 14 ( x - l)8 9 (x - l) '
1314
Desarrollo
f. dx .. = f __ * __ = í ( - í l ± i ------------ % -----)dxJx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l)
___ L— f f . p - d x + \ - 4 — dx5x's J x (x_ + 1) J x (x +1)
1 1 f x 2 +\ , _ f X2dx
“Í7 + Í7 + J x2(x2 +1) íiA J x2(x2+l)1 1 1
= ---- r + — ------- arctg x + c5x 3x *
i “J U - l )2dx _ f ( z + l)~
!ü J 10
f 1 2' J z8 + z9 .10 )dz
1I z 1 4z 9z9+C 7 ( x - l)7
+ c
I ihuiiilii ! spinoza Ramos
4.7. INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONESIRRACIONAL ES.-
( 7 ) INTEGRALES DEL TIPO.-
J cx + d cx + d
donde R es una función racional y p¡. q l p 1. q 2 ... son númerosenteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución.
ax + b „ex + d
donde n es el mínimo común múltiplo de los números q { , q 2
f Vx+T + 2 f z + 2 o f z -*-2 , „ f , A Bz + C ,I — t---- j = = d x = I — 2zdz = 2 I —— dz = 2 (------ + - T— )dzJ (x + 1)2 -V I Í T J z 4 - z J z3- 1 J z - 1 z + z +1
Z - 1 Z -1 Z2 + Z + l
z + 2 = A(z2 + z + l )+(z -V)(Bz + C) =>z + 2 = A(z2 +z + \ ) +B( z 2 - z ) + C ( z - l )
Integral Indefinida 119
1321
A +fí = 0 de donde: A - B + C = \
A - C - 2resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1
f — # i ^ = <a=2 f i f í ¿ i=2 f +- ^ - cJ (x + l)2-VITl J z — 1 J z -1 Z +z-
= 2 j*(—----- 2Z + 1- ~)dz = 21n(z-D- f -2c + 1- dz- f-J Z -1 z + z +1 J z + z +1 J z +Z + 1
-)dz : + l
dz
= 21n (z - l ) - ln ( z 2 + z + l ) - JV 1 sT 3l z + - y + - ,
2 4
■? 2 2z + l= 2 ln(z - 1) - ln(z‘ + z + 1) - arctgí—-j~~) + c
2/ + C = - 2(3/1 + —r = ) 2 +c — —2(]l(l + x 4 )2) + cV
4.9. IN T EG R A L ES D E FU N C IO N E S T R IG O N O M E T R IC A S.-
( I ) INTEGRALES DE LA FORMA.-
donde m y n son números enteros.Jsen” jtí/jt , y Jcos" xdxPRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par se usan las
identidades siguientes:
•> 1 - eos 2x o 1 + eos 2.vsen- x = ——----- , eos" x --------------
Integral Indefinida 135
SEGUNDO CASO.- Cuando n es un entero positivo impar dentro del integrando se saca el factor común sen x dx o eos x dx, respectivamente, luego se usa la identidad:
sen2 x + cos” x = l
0 PARA LOS INTEGRALES DE LA FORMA.-
f tg” xdx y c tg" xdxJ J
si n es par o impar se usan las identidades:
1 + tg2 x = se£2 x , 1 + c tg 2 x = csc2 x
@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-
»
sen"1 x.cos" x dx
PRIM ER CASO.- Si m o n es un entero positivo impar y el otro cualquier numero.
Se procede de la siguiente manera:
Si m es impar se saca factor sen x dx y se usa la identidad: sen2 x + eos2 x = 1
SEGUNDO CASO.- Si m y n son enteros positivos pares se usa la fórmula:
•> l - c o s 2x 2 i + cos2xsen“ x = ----------- , eos x = ------ ------__________ 2________________2
@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-
f ígm x.sec" x d x ,•rtg"' x.csc" xdx
J J
136 Eduardo Espinoza Ramos
1338
1339
PRIM ER CASO.- Cuando n es un entero positivo par y m es cualquier número, se saca el factor.
see2 xd x o ese2 xdx
y se usan las identidades: l + tg2 x = see2 x , 1 + c tg 2 x = csc2 x
SEGUNDO CASO.- Cuando m es un entero positivo impar, n es cualquier número, se saca como factor.
sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx
y se usa la identidad: 1 + tg2 x = sec2 x , 1 + e tg 2 x = csc2 x ’
Hallar las integrales
/ eos3 xdx
Desarrollo
J*cos xdx — J eos* x.cos xdx = f (1 — sen" x) eos xdx
= J cos xdx - J sen“ x.cos xdx = senx
I
sen3 x --------- I-C
sen5 xdx
Desarrollo
| sen xdx = | sen4 x.sen x dx = j (1 -e o s 2 x)2 sen xdxJ* sen5 xdx = J* sen4 x.sen xdx = J (
J( l - 2cos~ x + cos4 x)senxdx
Integral Indefinida 137
1340
1341
J* sen xdx - 2 J= I senxdx - 2 I cos2 x.senxdx + I eos4 x.senxdx
i
2 eos3 x eos5 x= - C O S X + ---------------------------------l-C
sen2 x.cos3 xdx
Desarrollo
J sen2 x.cos3 xdx = J sen2 x.cos2 x.cos xdx
J* sen2 x(l - sen2 x) cos x dx = J sen2 Xcos x dx - J sen4 x. eos x dx
2 dt 2 + tg xí_ —— = f_ l± £ Í__ , f * = i in |l í lJ 3 + 5 cosa J 5(1- í ) J 4 - / ' 4 2 - t
3 + -------- z—
+c = — In I- - - — l+c4 2- H i
1 + í2
xdonde t = tg —2
1374 í ----- — -----J sen a + eos a
Desarrollo
1375
132
1376
1377
1378
Eduardo Espinoza Ramos
J 1 + COS X
Desarrollo2 dt
f a - — !— wx=x- fJ 1 + eosx J 1 + eos X J 1 + eos X J 1 - t 2 J
1 + - —1 + r
= x - j d t = x -
f seJ 1-s
-t + c = x-tg — + c 2
senx- sen x
Desarrollo
* sen x(l + senx) fsen x + sen2x2 -dx= \- -sen x J eos2 x
f _ s e n jc _ ^ = Tsen J 1-senx J i
= J*(tgxseex+tg2 x)dx = seex+tgx — x + c
J8 - 4 sen x + 7 eos x
f----- -------- = íJ 8 -4 s e n x + 7eosx J
Desarrollo
2 dt 1 + t2
8í _ + 7 _ It- = 2 Í
dtt - 8 í + 15
1 + í2 1 + í2_o f dt , 11 — 4 — 1 , , , / - 5 , , , tg ? 5■ 2J ¡ T l i T T I = ln 17 ^ 7 1+c = ln 1 1+ í = ln 14 -
18 2 ~
+c
I dxcosx + 2senx + 3
Desarrollo
Integral Indefinida 153
2 dtdtf dx f 1 + r ... 2 f dt f ______dt_
J cosx + 2senx+ 3 J t2 4t j 2 í 2 +4í + 4 Jr + 2,
I
1------- j + -----7 + 31+ r 1+ r
———— = arctg(í +1) + c = arctg(tg-f +1) + c (í + 1) +1 2
+ 2í + 2
f3 sen x + 2cosx ,?79 I ------------------- dx
J 2senx + 3cosxDesarrollo
3 sen x + 2 eos x = a(2 sen x + 3 eos x) + B(2 sen x + 3 eos x)
3 sen x + 2 eos x = (2a - 3Bx)sen x + (3a + 2B)cos x
2a-3 .fi = 3] 12 _ 5> =£ a = ----- , fi = ------
3a + 2fi = 2j 13 13
j*3senx + 2cosx ^ 12 f 5 f(2 sen x + 3cosx)í/xJ 2senx + 3cosx 13 J 13 J 2senx + 3cosx
= — x —— ln ! 2senx + 3cosx I +c 13 13
380 f 1 + tg.-.dx J 1 -tg xDesarrollo
j dt Sea tg x = t => dx =i + r
f i t a ñ * . f -±.% f j ±J 1-tgx J 1-í 1+/2 J 1-/ J 1 + í2IÉ L =_in(í_i) + Iin(í2+l) + c 1 + í" 2= - ln | tg x -11 + — ln | tg2 x +1 ¡ +c = - In | see2 x | -In | tg x -11 +c
2 2
154 Eduardo Espinoza Ramos
1381 /dx
1 + 3cos2 xDesarrollo
1382
f dx f see' xdx f sec2 xdx 1 tgxJ 1 +3cos2 x J see2 x + 3 J tg2 x + 4 ~ 2 drag(~^T) +(
¡
1383
3sen2 x + 5cos2 xDesarrollo
Dividiendo el numerador y denominador por eos2 a .
f dx f sec2 xdx 1 V3tgxJ 3cos2 x + 5cos2 a J 3tg2 a + 5 ar° tg he
/dx
sen* x + 3sen x co sx -co s2 x
Desarrollo
Al igual que el ejercicio anterior dividir por eos2 a
f ___________dx____________ f sec2 xdxJ sen' x -3 s e n x c o s x -c o s 2 x J tg2 x + 3 tg A -l
r 2 * „ 3 VÍ3f sec ' x d x T sec2 xdx l lSx+~——> * v f ■ « * + ! - ” tg I+ ^ + ^ p l+c
dx f sec2 xdx f sec2 xdxI* dx f sec xdx fJ sen2 x — 5senx cosx J tg2 x - 5 tg x J ,sen2 j t - 5senxcosji- Jtg2A-5tgA J - ( - ) 2
_ 5 _ 51 tg t j i 1 . tg x —5 ,
= —In |------- i r I +c = —ín | ------ !+c5 5 5 5 tg xtg a — + - a
5 2 2
. sen a1385 | -------------- -d x
(1-cos a )J;Desarrollo
Sea u = 1 - eos x => du = sen x dx
f sen a dx _ f du ____ 1_ _______J (1-c o s a )3 ~J m3 ~ 2u2 * C~ 2(1 - c<
j + c eos a)
iri sen 2a ,
1386 | --------- «— dxl + sen x
f sen 2xdx _ f 2senx.J 1 + sen2 a J 1 + si
Desarrollo
COSA dxsen2 a
Sea u = l + sen2 a => du = 2 sen x. eos x dx
f sen2A<¿* f du , , . , ,, 2 i ,I — = I — = In I u j +c = ln 11 + sen a | +cJ l + sen a J u
1 s,) Eduardo Espinoza Ramos
1388
1389
J;1387 f — C° S2* dx J cos x + sen x
IDesarrollo
eos 2 xdx
cos4 x + sen4 x + 2x sen2 x cos2 x - 2 sen2 x cos2 x
cos 2x dx f cos 2xdx 1 , ,V2+sen2A |
sen2x
f __________ cos 2xdx__________ f cos 2xdx 1 ^2 +J (cos2x+sen2x)2 -2sen2xcos2x J 2-sen 2 2x 2^2 V2 -
f —J sen x -
+c
cos xdx- 6 sen x + 5
Desarrollo
I*_______cos xdx______ f cos xdx 1J sen2 x - 6senx + 9 - 4 J (se n x -3 )2 - 4 ~ 4 n 'sen jc - 3 + 2
1, i senx - 3 - 2 ,+c
_ 1 , sen-v- 5 , 1 , , 5- s e n x ,7 ln I--------- -1 +c = — In ----------- +c4 sen x -1 4 1 -sen x
l a - -dx
J (2 - sen x)(3 - sen x)
Desarrollo
Sea z = sen x de donde se tiene: ------------ í________ = A B(2 - sen x)(3 - sen x) 2 - z 3 - z
1 — - z) + B(2 - z) => 1 = -(A + B) + 3A + 2B, de donde se tiene:
A - B = 0 3A + 2B = 1 => A = 1, B = -1
2 dz 2 dzí ----------- —-----------= f( ------í-------------\ - f 1 + z2 f 1 + z2J (2-senx)(3-senx) j 2-se n x 3 -sen x J 2z J 2z
1 + z2 1 + z2
Integral Indefinida 157
2 , « f " 1 1 3t« f * 1 r arctg " (— =¡=—) — j= arctg(----- -=—) + c
3z2 - 2 z + 3 - £ ' S V2 2V l
r i = ¡J l + s1390 , ij^senx + c o s x ^
sen x — eos xDesarrollo
Efectuando la división de: 1 - sen x + eos x entre 1 + sen x - eos x
1 - sen x + eos X- = - l + -1 + sen x - eos x 1 + sen x -co sx
2 dz1 + z2f 1-senx+cosx f , 2 i 0 f------------------ dx= (-1 + -------------------)dx = - x + 2 I
J 1 + senx-cosx J 1+senx-cosx J1 + Z’ 1 + Z"
= —x +4 f ■----- j -~—------- 7 = -x + 4 í ----- —------------- = -x + 2 í - ^ 1J 1+z + 2z - l+ z " J 1+z"+ 2z - l + z" J z " +
= -x + 2 í ( - ---- — )dz = -x + 21n | —— |+c = - x + 21n |J z z +1 z+\
+ z
X
tg 2 ,---- ±— \+cx ,
lg2
4.10. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES HIPERBOLICAS.-
La integración de las funciones hiperbólicas es completamente análoga a la integración de las funciones trigonométricas. Se debe tener presente las fórmulas siguientes:
(T ) cosh2 x -s e n h 2 x = 1 cosh" x = —(cosh(2x) + l)
( 3) senh2 x = * (cosh(2x ) - l ) (T ) senhx.coshx = -^senh(2x)
158 Eduardo Espinoza Ramos
1391
1392
1393
1394
Hallar las integrales.
í senh3 xdx
Desarrollo
Jsen h 3 xdx ~ J sen h 2 x.senh xdx = J (co sh ' x -l)se n h xdx
= í (cosh2 x.senh x - senh x)dx = C0-- - cosh x + c
f dx 2 tg2 1 tg2J (2 + c^ -w o _____ , = “/? arctg ( -7r ) - — a r c t g ( ^ ) + c-cosx)(3 + cos.*) 73 y¡3 y¡2 \Í2
Jsec2 xdx
7 tg2 x + 4 tg x +1Desarrollo
f sec2 xrfx f sec2 xdx
J 7 tg2x + 4 + tg x + l J y](tgx + 2)2 - 3
Sea u = tg x + 2 => du = sec2 xdx
|* sec2 A j* sec2 xdx _ f dw
j g2 4tg JC-J-1 j yf(tgx + 2 f ^ 3 J Vm2 - 3
= ln |m+V«2 - 3 I +c = ln | tgx + 2 + -y/tg2 x + 4 tg x + l |+c
J æcosar
dx2 +sen2 ax
Desarrollo
f eos axdx _ j* eos axdx
* V«2 +sen2 ax J y¡a2 + (senax)2
Integral Indefinida 205
1475
1476
Sea u = sen ax => du = a eos ax dx
= — In I senax + Vfl2 +sen2 ax I +cf cos axdx 1 f acosaxdx 1 , [~----------= _ _ ^ _ _ _ = = . = — In I sen ax + \ aJ sja2 + sen2 ax a J \Ja2 +(sen ax)2 a
íxdx
eos2 3xDesarrollo
f xdx _ f J eos2 3x J xsec2 3xdx , integrando por partes y haciendo:
u = x du = dx
2 o j t ë 3*dv = sec 3xdx => v = ------
f xdx _ rJ cos23x Jj x sen1 xdx
xsec2 3xdx = - t g 3 x - —— dx + c = - t g 3x + - ln |c o s 3 x |+ c 3 J 3 3 9
Desarrollo
J x s e n 2 xdx = J x .1 C°^~X dx = Ì J (x -x c o s 2 x)dx
= - [ f x d x - \ xcos lxdx\ = — - — íx c o s2x££x ... (1)2 J J 4 2 J
integrando J x eos 2xdx por partes
u = x => du = dxhaciendo: „ , sen 2x
dv = cos lxdx => v = --------
206 Eduardo Espinoza Ramos
1477
1478
1479
1* . •* - cos2xjc eos 2x dx = — sen 2 x + -------- ... (2)
2 4
reemplazando (2) en (1)
J2 , x 2 xsen 2 je eos 2 je
JEsen xdx = -------------------------------he
í2 x*x e dx
Desarrollor *
Sea « = x3 du = 3x2dx => x 2dx = —3
f 2 i1 . f u du eu eI x e dx = e — = — + c = -J J 3 3
J
V+ c
xe2xdx
Sea
Desarrollo
u = je => d u - d x
e^xdv = e2xdx => v —-----
í xe2xdx = - e 2x- ~ í e2xdx = - e 2x- — J 2 2 j 2 4
J x2 ln yfí —
2x
•fe
x d x
Desarrollo
J x2 ln V i- j e <±e = i Jje2 ln(l - x)dx
»
Integral Indefinida 207
1480
1481
Seadx
u = ln(l - je ) => du =
2 , X'dv = x dx => v = — 3
JE — 1.3
f je2 ln \J \ - x d x = — (— ln ( l - x ) - — í ------dx)J 2 3 3 J jc —1
3 ______ i p i
= — ln V l-J t I (x2 + X + 1H-------3 6 J jc —1
í
)dx
= — I n V i- jE - -— —— ———ln | jc—11 +c3 18 12 6 6
xarctg x , dx
Desarrollo
dx
J ü x 2
u = arctg x => du =\ l 1 + x2
f x a r c t |x ^ f ^ ^ d x = arctgx - f - *J VÍT7 J 1 + * J V1 + x2
= \ll + x 2 arctg x - ln | x + V 1 + x2 | +c
ísen2(—).cos(—)dx 2 2
Desarrollo
208 Eduardo Espinoza Ramos
1482
1483
J sen2 ( ) cos(~)dx = i J (1 - eos x) cos(^f)dx
1 f , ,3x ,3x 1 3x 1 f 5x ,x .. ,= — (cos(— )—eosxcosí— ))dx = - s e n -------- I (cosí— ) + cos(—))ax2 J 2 2 3 2 4J 4 2
pi>f = lim f -ÉL— - ijm ]n(ln jc)I = lim fln(ln b) - ln(ln a)] = lim ln(——)
Jo jcln* xlnx b-**> \a b->°° b->°° lna
= ln(—) = ln °° = oo . Luego la integral es divergente a
f " dx
Ja Jtln2 *1560 i -----, a > 1
Desarrollo
r dx .. r dx i f . .. i i , ..I — -— = hm [ ---- —- = hm ----------- = - l im ( ------------) = - l i m -----Ja Jtln * h-^°°Ja x \n~ x h~*°° lnxla b->~ \nb lna f>->~lna.
• b 1l n - - j= lim ----- — = lim ~ -— = ------ . La integral es convergente.
lna.lnb ¿>->~ 1 lna — lna b
i a ln —blnfc
Integral Definida 241
1561
1562
1563
1564
I 2 c tg xdxJo
Desarrollon
I 2 r 2 |2 7ÜI c\ g xd x = \ \m I c tg x dx = lim !n(senx)| = lim(ln(sen—)-ln (sene))Jo £_>0 Je £—>0
= lim (lnl-lnO ) = 0 - ln 0 3 . Luego la integral es divergente£->0
fJo
e ^ d x
Desarrollo
í e kxdx = lim í e kxd x = lim -^—— I = —— lim(e bx- 1) = —Jo ¿j—>°°Jo b-*~ k lo k
La integral es divergente
’ arctg xIX
Desarrollo
r-Jo 1
2 dx+ X
(•“ arctg* = ,.m f ” arctg* = üm arctg_£| = ^Jo 1 + * 6~*°°Jo 1 + JC. b~*°° 2 lo b->°°
? " ,b arctg2b arctg2(0)b—>°° 2
I
arctg2(°o) arctg2(0) _ n 2
dx
)2Desarrollo
2 U 2 - l )2
f°° dx Cb dx f dx— ----- 7 = llm “ i ----- t integrando — —J 2 ( X 2 - 1 )2 J 2 ( X 2 - 1 )2 J ( X 2 - l ) 2
242 Eduardo Espinoza Ramos
1565
n/x2 - 1
Es decir: sec0 = x ; dx = se c 0 tg 0 d 0
f dx fsecfl. tgOdd fsec0.tg6>¿0 f „ , f ,
integrando por partes: = - - [ c s c 0.c tg0 + ¡n | csc0 - c t g 01|
í = - f e +ta|^ é ;
Luego: L= - - l i m (—— -+ -
2 (x2 - l ) 2 b->~J2 (x2 - l ) 2 2*— V - l V T I í l
10 JT+1
= lim [ ( - ^ — + ln - /L _ L ) - ( - + 1„_ L )j2*-*“ ¿>2- l V3 V5
V x e [0,1] => 0 < x < 1 => 0 < x 2 < 1 4 < 4 + x 2 <5 => 2 < V4 + x2 < Vs
=> í 2dx< í \¡4 + x 2 < f \¡5 d x . Luego 2 < 1 < \fs Jo Jo Jo
í ,dx
r
Desarrollo8 + x3
Si X G [-1,1] => -1 < X < 1
9 A-3 + 8 7- l < x 3 <l => 7 < x 2 +8 <9 => < -
f 1 dx f ‘ dx f 1 djLuego:
I* s f _ * . < £ [ * 2 < fi -i J - i x3 +8 7 |_ , 9 j
dx x j1 2 f 1 dx 2 „ , 2 , 2, , ;----- < —I => — < J —------- < — . Por lo tanto: — < / < —
91 i J - ! x j +8 7 1., 9 J_i xJ +8 7 9 7
2 re
Jt dx10 + 3eosx
Integral Definida 275
Desarrollo
Se oonoce que: -1 < cos x < 1 ; -3 < 3 eos x < 3
7 < 10 + 3 eos x < 13 ; — < ------ ------- < -13 10 + 3eosx 7
r 2K dx r n dx „ r KLuego tomando integrales se tiene: I — < ------------- S
J0 13 Jo 10 + 3cosx Jo
2n dx 2n 2n ^ ^ 2n— < I ------------- < — , por tanto: — < / < -—13 Jo 10 + 3cosx 7 13 7
K1620 j 4 xyjtgx dx
JoDesarrollo
Como la función crece monótamente 0 < ^/tgx < 1 para x e [0 ,^ :
0 < x^ tg x < x tomando integral
n_ Jt_ n_ 1 £0 < í 4x^tgxdx< í 4xdx ; 0 < | 4x^tgxdx< — | 4
Jo Jo Jo 2 lo
» - _______ _______ 2 _20 < I 4 Xyjtg xd x < — ; luego: 0 < I < —
Jo 32 32n
111621 i 4
. 1 X
Desarrollo
1 V2En forma análoga a los demas —<1< —
• 200nr eos x1622 Integrando por partes, demostrar que: 0 < j ------ dx<
Jiloo ít x 100;r ejercicio 1609, por tanto dejamos para el lector.
dxy
análoga al
276 Eduardo Espinoza Ramos
C A P I T U L O V I
6 . _____A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
6.1.__ AREAS DE LAS FIGURAS PLANAS.-
0 EL AREA EN COORDENADAS CARTESIANAS.-
Se determina por la fórmula S = í f ( x )d x , donde y = f(x)> 0, que esJa
el área del trapecio mixtilíneo, limitado por dicha curva, dos verticales en los puntos x = a y x = b y el segmento a < x < b.
En un caso más general, cuando el área S de la figura limitada por dos curvas continuas y = f ¡ (x) e y = f 2 (x) y por dos verticales x = a y
x = b, donde / , (x) < f 2 (x)
Aplicaciones de la Integral Definida 277
▲ y
Y = f2(x)
Y = f1(x)
Para a < x < b tenemos: 5 = [ f2( x ) - f t(x)\dx. Si las curvas se danJa
en forma paramétrica: x = <p(t), y = \|/(t), el área del trapecio mixtilíneo limitado por esta curva y dos verticales, x = a e y = b, respectivamente y por el segmento del eje X, se obtiene:
S = f i¡/(t)(p\t)dt, donde tx y t2J'i
se determinan de las ecuaciones: a = tp(ti ) y b = (p(t2) (tp > 0) en el segmento [tx, t 2]
( 2 ) AREA EN COORDENADAS POLARES.-
Si la curva continua, se da en coordenadas polares por una ecuación r = f(\|/), el área del sector AOB, limitado por el arco de la curva y los radios polares OA y OB, correspondientes a los valores </ / ,=a ,
y/2 = ¡i , se expresa por la integral:
B_ r -
278 Eduardo Espinoza Ramos
1623
1624
[ f(V)]2dy/
Calcular el área de la figura limitada por la parábola y = 4 x - x 2 y el eje de abcisas.
Desarrollo
y = 4 x - x 2 la intersección con el eje X es:
para y = 0 => 4 x - x 2 = 0 ; x = 0 ; x = 4
como y = 4 x - x 2 => y — 4 = — (x — 2)2, es una parábola
\ y = 4x - x2
= f yd y = f Jo Jo
( 4 x - x 2)dx = (2x2 = ( 3 2 - — ) - 0 = —3 lo 3 3
i c 32 2Luego: 5 = — u ~3
Calcular el área de la figura limitada por la curva y = ln x, el eje OX y la recta x = e.
Desarrollo
Hallaremos la intersección con el eje X de y = ln x.
Aplicaciones de la Integral Definida 279
Luego: para y = 0 ; l n x = 0 => x = l
S = J ydx = ^ \nxdx = ( x l n - jc)|
S = (e ln e - e) - (1 ln 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1); luego S = 1 u 2
1625 Hallar el área de la figura limitada por la curva y= x(x - l)(x - 2) y el eje OX.
Desarrollo
4 11 v 4 12
5 = (------x ' + x H + (------+ x3- x 2)4 lo 4 li
280 Eduardo Espinoza Ramos
S = ( I - l + l ) - (0 )+ ( J £ + 8 _ 4 ) - ( - I + i - i ) .•.5 = i + I = I = I ¡<24 4 4 4 4 2 2
1626 Hallar el área de la figura limitada por la curva y 3 = x , la recta y = 1, la
vertical x = 8.
Desarrollo
y 3 = -V => y = 2fx
(y - l) ¿ x = J (< /I-lW x = | j c 3 |X- x j 8
S = 2 ( 1 6 - 1 ) - ( 8 - l ) = — - i l ; lueeo: S u24 4 4 4
1627 Calcular el área de la figura comprendida entre una semionda de la sinusoide y = sen x y el eje OX.
Desarrollo
= c o s J = - (eos 71 - eos 0) = -(-1 - 1) = 2 lo
'= í ydx = rJo Jo
sen x dx
Por lo tanto: S = 2 u 2
Aplicaciones de la Integral Definida 281
1628
1629
Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tg x, el eje OX,
Si r = V|/(9) es la ecuación de la curva en coordenadas polares r y vj/, la longitud L del arco es:
L - I \Jr2 + r ,2 d yJ a ________________
donde a y P son los valores del ángulo polar en los puntos extremos del arco.
1665 Calcular la longitud del arco de la parábola semicubica y 2 = x 3, desde el origen de coordenadas hasta el punto, cuyas coordenadas son x = 4; y = 8.
Desarrollo
L = f V Í T y ¡ d x = = / 4 = ± ( i o S ó - i )Jo Jo V 4 27 4 / o 27
X1666 Hallar la longitud de la catenaria y = acosh(—) desde el vértice A(0,a) hasta
ael punto B(b,h).
Desarrollo
312Eduardo Espinoza Ramos
1667
£ ) = a(£ l ± f _ l ) de donde e ' + 1 = 0 , despejando
2y. 4y2 - 4y ± \ ¡ y 2 -<■
* , ,y+- = ln(— a a
dx a
dy ^ y 2 - ó 2
E Z . ) x = aln( y+
t dxs2 a^ W 2 2dy y - a
í f W dy ‘ 1 f ^ 5 d y = 1 dy v
= V^2 - a 2 “ O longitud L = \ h ~ - a 2
Calcular la longitud del arco de la parábola y = 2 ^ desde x = 0 hasta x = 1.
Desarrollo
y '2 =■
2 I I l ^ X d xfx
f ‘V IT Í
Jo V i '
dz = 2zd z ; * = z 2 - l y z = VT+T
calculando | ——j=—d x , se tiene z x +1Jo V*
Aplicaciones de la Integral Definida 313
f V* + l , f z l z d z f z 2dz
) ^ r d x - ) w r r 2) ^
z = see 0 => dz = see 0 tg 0 d0
C z dz f see d.secB.tgOdG f 3 Q ,a I ------- = ........ . -----= I see 0 du , integrando por partesJ Vz~ — 1 J Vsec20 - 1 J
J & - J 1
f - 5-^.... = l [ ln |z + Vz2 - l | + z V z 2 - l ]J V ¡ M 2
, . y]\ + x 2 1 . r j , n/i + jc2 - 1 í. 2= l n |— ---- -— I+VI + a: = ln -------------- + Vl + xx x x
L = í JÍJ M dx = llnX X i £
0 1 1L = (ln-yr + 3 ) - ( ln - r +2) = ln-7= + l + ln>/3
v 8 V3 v 2
= l n ^ + lnv/3 + l = l n ( ^ ) + l = l + - l n - V2 2 2
1670 Hallar la longitud del arco y = arcsen e”* desde x = 0 hasta x = l .
Desarrollo
316 Eduardo Espinoza Ramos
1671
1672
_ ,2 *** y = arcsen e => y = — f => y =-— 757I - * '
= f ' eX<bc - 1 -1 [ / ’ = ln(é’ + V ¡ M ) - l n ( l + 0) = ln(e + V ¡ M )' o
Calcular la longitud del arco de la curva x = ln sec y, comprendido entre ny = 0 a y = —3
Desarrollo
dx sec y tg yx = ln sec y => — = ------------= tg v
dy sec y
n_ ________ itL = J l + ( ~ ) 2dy= f 3 n/i + tg2 ydy = í sec y dy
Jo V dy Jo Jo
a= ln(sec y + tg y ) j 3 = ln(2 + \¡3) - ln 1 = ln(2 + >/3)
1 2 1Hallar la longitud del arco de la curva x = — y* - — ln y desde y = 1 hasta y = e
Desarrollo
_ 1 2 1 dx y _1_ dx _ y2 - 1J‘ _ 4 'V ~ 2 n y ^ d y _ 2: 2y d y ~ 2 y
Aplicaciones de la Integral Definida 317
1673
•e - 2 . 1 -2 1 r« e2 1 1 e2+lL = f 2_ t l ^ = (2L + I i n y ) r = -
Ji 2y 4 2 / 12y 4 2 / 1 4 2 4 4
Hallar la longitud del arco de la curva derecha de tractriz ^ r 2 2"
x = -^ a 2 - y2 + o ln | ——— ----— | desde y = a hasta y = b (0 < b < c.)y
Desarrollo
318 Eduardo Espinoza Ramos
1674
1675
Hallar la longitud de la parte cerrada de la curva 9ay 2 = x ( x - ' ia )2 .
Desarrollo
9ay2 = x ( x - 3 a )2 =» — = ( x -3 a ) 2 +2x(x~3a) dx
10 ¿y o/ o w a dy ( x -3 a ) ( x -a ) 18ay— = 3 (x -3 a ) (x -a ) ; — = ------------------dx dx 6 ay
Como 9ay2 = x (x~ 3a )2 y= -( x - 3 a)J~x
3\[a
Luego ¿ U Í f Z f W ? ( * ) 2 = <ÍZ2>! dx 2a\lx dx 4 ax
Como la curva es simétrica respecto al eje y, se tiene:
ÍL - 2 \ J 1 + (^ y d x = 2 r j l + d x
dx Jo V 4ax Jn V 4<3A“to
L = [ a \± ± ¿ d x = -^=(—x 2 +2ax2) l “ = 4y¡3aJo \' V^ 3 7 o
= 2JJo
3a ' u + 2)2dx
Hallar la longitud del arco de la curva y = ln(ctgh—) desde x = aa
hasta x = b, (0 < a < b)Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 319
1676
, x , v , x ea +e ay = ln(ctgh—) => e ^ = c tg h —= -----------a a í -~
ea —e “
e a + e a e X + 1
y = ln ----------- = ln --------£ _£ ex - 1
ea —e a
dy _ e x - 1 d (ex +l ex - l ( - 2ex)dx ex +1 dx ex —1 ex +1 (ex - 1)2
- f
dx e2x- \ dx (e2x -Y )2
(*) esta expresión sigue del asterisco.
-e-2x)dx
= [x + ln(l - e~2x) \ ¡ h = b - a + ln(l - e~b) - ln(l - e ~2b)/ a
1 - e~2b e2b - 1 e2a e2b e2a= b - a + ln------ - = b - a + l n - ----- .— = b - a + l n - ------ + ln^—
l - e - 2fl e2fl- l e2¿ e2a- l e2b
2h _ , 2b _ |= b - a + ln—----- + lne2a - \ n e 2b = a - b + ln———
e - 1 e - 1
Hallar la longitud del arco de la evolvente del circulo x = a(cos t + 1 sen t); y = a (sen t - 1 eos t) desde, t = 0 hasta t = T.
Desarrollo
320 Eduardo Espinoza Ramos
1677
dxx = a (eos t + 1 sen t) => — = at cos t
dt
d \y = a (sen t - 1 eos t) =» — = at sen/dt
L = \ J(~—)2+(— )2dt = f Va2/2 eos2 / + a2t2sen2t dtJ, V dt dt Jo
f T . at2 ,T a T 2= I at dt = ---- / = ------
Jo 2 / o 2
2 2
Hallar la longitud de la evolvente de la elipse x = — eos / ; y = — sen / ,a b
í „2 _ 2 . 2-.(c = a —b )Desarrollo
c 3 y = sen tb
dy 3c 2— = -----sen icos/d/ b
Jo V d t d t
Aplicaciones de la Integral Definida 321
1678
4 2 9 c 2 4 -> , . f 2 » 2 I COS2 / « T I 2/tsen t + ——sen tc o s ' td t = 41 3c sentcosí.¡^=~~— i-----—a/¿>2 Jo V a
1 - s e n 2t sen2t ,2— +^ ~ dt 2 b2 ,
\b~ +(a~-b")sen"t , 6c f 2. /Ti 2~ j= 41 3c sent co s t .----------—;—------------------------------------------------ dt = ----- j Isent eos t\¡b +c~sentdtJo \ a2b2 ah Jo
= _ L . Í £ ^ 2 Í ¿ / L J _ , » 2 ^ 2 ,5 _ J _ „ 3 aZ?c 3 / 0 aZ?c
2
: _ í _ (a2)f _ J _ fc3 = 4 a l _ 4 ^ = ^ - ¿ » c = (a3 -Z>3) a¿>c abe be ac abe ab
Hallar la longitud de la curva x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t).
Desarrollo
x = a (2 eos t - eos 2t) => x'= a(2sen2t - 2 eos/) => x' = 2a(sen2t — sent)
y = a (2 sen t - sen 2t) => y'= 2a (c o s r-c o s2/)
Z- = 2 f J (—)2 + (— )2d/ = 2 f J4 a 2 (senlt - sent)2 + 4 a 2(eos / - eos 2t)2 dt Jo V dz dt J 0
= 4a J sen2 2t-2sent.sen2t+eos2 / -2 c o s /c o s2 / + cos2 2/ dt Jo
= 4 a f ^ : Jo
4 s e n t cos / - 2 cos / + 2 cos tsen t dto
322 Eduardo Espinoza Ramos
= 4a í V2 - 2 eost(sen2t + eos2 t)dt = 4a f V 2 -2 c o s tdtJü Jo
r_ ñ>¡ _____ _ t K - t C” t= 4a\¡2\ j l - eos t dt = 4 s ¡2 a I y¡2sen—dt =%a\ sen—dt
Los volúmenes de los cuerpos engendrados por la revolución de un trapecio mixtilíneo, limitado por una curva y = f(x), el eje X y dos verticales x = a, x = b, alrededor de los ejes OX y OY, se expresan respectivamente por las fórmulas.
en el caso mas general, los volúmenes de los cuerpos engendrados por la rotación de una figura, limitada por las curvas.
>’i - / ] W e y2 = f 2W (siendo / , (x) < f 2 ( x ) ).
Y por las rectas x = a, x = b, alrededor de los ejes de coordenadas OX, OY; serán respectivamente:
r b *b(>2 - >f >dx y K = 2k I x(y'2 - >'¡ )dx
Ja Ja
Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX, de la superficie limitada por el eje OX y la parábola \y = a x - x 2 (a > 0).
Desarrollo
f a o r a , - rV = n \ y~dx = n \ {ax~ x Y d x = n J
Jo Jo Jo(iax — x ¿Y d x = n I (a2x2 - 2 a x i + x*)dx. 3 ^ v. 4 ,
^ 3 4 5a x ax x: Tí(-------------- -f----3 2 5 /a
= 7T(-0
a5 a5 a5 nas _ _
Aplicaciones de la Integral Definida 327
1686
1687
Hallar el volumen del elipsoide, engendrado por la rotación de la elipse2 2 x y
— + alrededor del eje OX.a~ b
Desarrollo2 2 2
~ Z + ~ T ~ 1 ; y 2 = V - ~ ) b 2a b a~
VCa Ca x2 x3h2 I a
= 2n I y 2dx = 2n I (1— -)b2dx = 2n(b2x -------- ) /J o ' Jo a2 3a~ * °
,2 ob x 2= 2n ( a b ------- ) - 0 = ----- b
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX laX
superficie limitada por la catenaria y = a cosh(—) , el eje OX, y las rectas x =±aa
DesarrolloX X
ea +e ay = acoshí—) = a.
a 2
2 2x_ _2xy2 = — (e a +e a + 2)
4
328 Eduardo Espinoza Ramos
1688
1689
» a r a ^ 2 2* _ 2 x
V = 2n I y^dx = 2 n \ — (e a + e 0 + 2 ) d x = ^ —(—e a ——e a +2 x) / Jo Jo 4 2 2 2 /
na a 2 a -2 * a a — ( - < r — e ¿ + 2a — + - + 0) 2 2 2 2 2
tffl2 fl 2 a -2 - ■ n a * , i -2 :----- ( _ e — e ~ + 2a) = ----- -(e —e +4)2 2 2 4
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX, la
curva y = sen2x , en el intervalo x = 0 hasta x = jt
Desarrollo
Y <
^ \( ^ rivV " .
0 A n X
r 2 r 2 2 rV = n I y"dx = n (sen x) dx = n I sen x dxJo Jo Jo
r ( iz c o s i x 2 d x = 1 r Jo 2 4 Jolo 2
,3x sercx senAx„ ¡ n 3= n ( --------------+ -------- ) / = n(— 0) =
8 4 32 / o 8
(1 —2cos2x + cos 2x)dx
3 n~
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la superficie limitada por la
parábola semicúbica y 2 = x 3, el eje OX y la recta x = 1, alrededor del eje OX.
Aplicaciones de la Integral Definida 329
1690
Desarrollo
</ f ' 2 . f ' 3 . n x A / ' n nV = n \ y dx = n I x~ dx = -— - / = ---- 0 = —J o ' Jo 4 / o 4 4
Hallar el volumen de! cuerpo engendrado al girar la misma superficie del
problema (1689), alrededor del eje OY.
Desarrollo
330 Eduardo Espinoza Ramos
1691
1692
Haiíar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar las superficies limitadas por las líneas y = e x , \ = 0 e y = 0 alrededor.
a) Del eje OXDesarrollo
b) Del eje OY
Hallar el volumen del cuerpo engendrado a! girar alrededor del eje OY la parte
de la parábola y 2 = 4ax que intercepta la recta x = a.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 331
1693
Y
1 2a
¡ C n...... i .......................... :
i / \0 a X/✓¡ ✓
i ^j - - "i -2a
= 2n f V - ( f ) 2» = 2 *(* = 2*2«’ - f 4 )Jo 4 n SICin / 0 80/2
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor de la recta x = a, la
parte de la parábola y 2 = 4a x , que se intercepta por la misma recta.
Desarrollo
El volumen de la región cortada al girar alrededor de x = a, es:
332 Eduardo Espinoza Ramos
1694
V = 2n f (a - x:)( y, - v-, )dxJa
Luego para nuestro caso se tiene:
V = 4tt f [a-x)(\Í4ax — 0)dx = 4n f (a —x)2-Jaxdx Jo Jo
, t o ( 3 ¿ _ í l „ 8T(1 0 ? ! z 6 f Í l = S £ V3 5 15 15
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar, alrededor de la recia y = -p,
la figura limitada por la parábola v2 = 2px y por la recta x =
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 333
1695
1696
V = 7T 2[(p + y¡2px)2 - ( p - y [ 2 p x ) 2]dx = n ' 4 p ^ 2 p x Jo Jo
dx
3 P
= j t j 2 J 2 p x 2 pdx = 2n [ ^ ( 2 px)2 ] j 2 = _°1 =47T /r
Hallar el volumen del cuerpo engendrado ai girar alrededor del eje OX, la
superficie comprendida entre las parábolas y = .v2 e y = \¡x
Desarrollo
= 7rl Jo 2 5 / 0 2 5 10
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girara alrededor del eje OX, el lazo
de la curva ( x - 4 a ) y 2 = a x ( x -3 a ) .
Desarrollo
(x — 4 a) y = ax(x-3a)2 a x (x -3 a ) y = -----. Luego:
f 3“ 2 j f 3ü= n I y dx = n IJo Jo
ax (x -3 a )x — 4 a
dx
x - 4 a
• 3a
10Jo
J 4 a*(ax + a~ H---------- )dxx - 4 a
334 Eduardo Espinoza Ramos
1697
1698
2 -x, ÜX 9 i i 1 /j= ^ ( - z - + a * + 4« ln(jc-4a))/ = * (— + 4o3 ln (-— ))
• o 2 4a
= n ( ~ — 4a3 In4) = ^ - (1 5 -1 6 1 n 2 )
2Hallar el volumen del cuerpo que se engendra al girar la cisoide y2 = — —
2a - xalrededor de su asíntota x = 2a.
Desarrollo
V - 2n \ (2 a - x)y d x ; para nuestro caso por simetría se tiene:Ja
r 2a IT. /»2a
V = 4 n \ ( 2 a - x ) x - = = d x = 4 n j ( 2 a - x ) . x j x d xJo \ '2 a - x Jo
calculando la integral, completando cuadrados se tiene: V = 2n V 3
Hallar el volumen del paraboloide de revolución, si el radio de su base es R y su altura es H.
Desarrollo
La ecuación de la parábola es x~ =ky de donde x = yjky cuando x = R,
R 2 eby = H, luego k = — como: V = n \ [f (x ) ]2dx
Ja
Aplicaciones de la Integral Definida 335
1699
Entonces para nuestro caso se tiene:
V = n \ (^fxy)2 dy = K [ ky dy = nk — I -=nk Jo Jo 2 • o
H t R ~ como k = —2 H
H 2 R 2 HRV = n — (— ) = n
2 H 2
Un segmento parabólico recto de base igual a 2a y de altura h gira alrededor de su base. Determinar el volumen del cuerpo de revolución que se engendra (“Limón” de Cavalieri).
Desarrollo
4 2Cuando y =h, x = 2a; Luego k = - ^ — como: x" = ky => x = yfky = g ( y ) ;
hpor el método de la corteza cilindrica al hacer rotar alrededor de la recta x = h,
• bse tiene: V = 2t t Í ( k -
Jay )g (y )dy , por lo tanto:
336 Eduardo Espinoza Ramos
f i— - 7 - 2 - i h 16 i 4a2V = 2tc I ( / i - y)y¡ky dy = 2 n k 2 (—hy2 — v2) / = — ^ a / r donde k = ——
Jo 3 5 / o 15 h
1700 Demostrar que el volumen de la parte del cuerpo de revolución, engendrado al
girar la hipérbola equilátera x~ - y 2 = a 2 alrededor del eje OX que
intercepta al plano x = 2a, es igual al volumen de una esfera de radio a.
ñ2a p2 a 2V = ;r i y 2dx = n I (x2 - a 2)dx = n (x i - a 2x ) /
Ja Ja 'a
r, 8fl3 3 V 3 2fl3 2fl3 4^03~3 T ~ " n = « — +~ r , = —
que es el volumen de una esfera de radio a.
1701 Hallar los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar la figura limitada por un arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX alrededor de:
a) Del eje OX.
c) Del eje de simetría de la figura.
Desarrollo
b) Del eje OY.
Aplicaciones de la Integral Definida 337
b) Al hacer girar el tubo cilindrico alrededor del eje Y se tiene:
V = 2 ir jxyd x ; de donde para x = 0, t = 0 ; x = 2rta, t = 2n
Luego: ^ = 1 Inxy dx = 2/r a(t-sent)a{ 1 -Jo Jo
í
eostY a dt
• 2 n
V = 2ira3 I (1 -e o s í)2(/ - sent)dt = 6n iai’o
c) El eje de simetría es x = Tra, y el volumen de este rectángulo rotado
alrededor de la figura es dV = 27i(7ta - x) y dx, de donde:n
V = f " dV = 2ain f ( n - t + sent)( 1Jo Jo
V = 2<x'n í ( n -J o
-eos t)~ dt
. 3 _ eos 21 ,t + sent)(----2 cos t H--------- )dt2 2
V = n a 3(9n2 -16) 2 1 + cos 21; sugerencia: cos" t = -----------
1702 Hallar el volumen dei cuerpo engendrado al girar la astroide x = a eos ’ t , _y = asen^t , alrededor del eje OX.
Desarrollo
338 Eduardo Espinoza Ramos
1703
X
3 3 x 3 3 yx — a eos t , eos t = —; y = asen t , sen t = —a a
Hallar el volumen del cuerpo que resulta de la rotación de cardioide
r = a (1 + eos y) alrededor del eje polar.
Desarrollo
27r ^Como V = — | r send d 6 . entonces
V
3 Jo2n r 3 3 27raJ (1 + cosi//)4 / “
= — I «’ (1 + cosi//) íe/¡y/ dy/ = —---------- -■■■■ /3 Jo 3 4 / o
Jo
\4
Aplicaciones de la Integral Definida 339
1704 Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la curva r = ac o s ‘ \|/
alrededor del eje polar.Desarrollo
Í tt
La variación de la integral desde y = 0 hasta y/ =K
luego V2?r f í 3 , . 47T f:= 2(— ) ( r }seny/ dy/ ) = —3 Jo 3 Jo
2 a 3 eos6 y/ senyr dy/
V = W cos7 y/ p = W = W3 7 / 0 21 21
1705 Hallar el volumen del obelisco, cuyas bases paralelas son rectángulos de lados
A, B y a, b y la altura es igual a h.
Desarrollo
A
340 Eduardo Espinoza Ramos
1706
a 9 9La ecuación de !a recta L: y —- = —— — (x - 0)
A a ~ 2 ~
2 hA - a a
y = --------- x -i—2h 2
A2
La ecuación de la recta L ':
b B - ba 2 h
B - b bz = ----------x + —
2 h 2
-( .v -0)
Área del rectángulo, MNOP es: A = (2y).(2z)
V
= f A d x = fJo Jc
* 41 ‘Jo
(2y)(2 z)dx
yzdx = 4 [( A - a ) ( B - b ) x ( A - a ) b x~ ( B - b ) a x ab
Ah+ -
2 Ah 2 A■ at> i I
4 / c
i/ h Ab Ba h , An Ab + aBV = — (AB H------- + — - + ab) = — (AB + --------------- i- ab)3 2 2 3 2
Hallar el volumen del cono elíptico recto, cuya base es una elipse de semi -
ejes a y b, y cuya altura es igual h.
Desarrollo
El i - esimo disco elíptico de la figura tiene por volumen dV = rcAB dx,
donde A y B son los semi - ejes.
Luego por semejanza de triángulos se tiene:
A x B X ax bx— = —, — = — de donde A = — , B = —a h b h h h
Aplicaciones de la Integral Definida 341
1707
f ha x b x , abn Ch 2 , abn .x3 ¡ h abnh3 V = 7 t \ — .— dx = — T- \ x-dx = —^-(— ) / =
J 0 h h h~ Jo h 3 / 0 3h¿
V =abnh
3
1 2
Sobre las cuerdas de la astroide x 3 + y3 = a 3 paralelas al eje OX, se han
construido unos cuadrados, cuyos lados son iguales a las longitudes de las
cuerdas y los planos en que se encuentren son perpendiculares al plano XOY.
Hallar el volumen del cupero que forman estos cuadrados.
Desarrollo
Para el volumen del i - esimo sólido se tiene dV = área base x altura
pero área base = (2a )2 y la altura es dy, luego:
342 Eduardo Espinoza Ramos
1708
V = 2 f Jop q 2 2 ma 4 2 2 4
V = 8 j (a3 — _y3)dy = 8 I (a2 — 3a3 y 3 + 3a3;y3 — y 2)dy Jo Jo
4 2
v 2 9 a3 | 9«3 I # " 128 3V =8 ( a y -----------------------— yJ + ----------y 3) / = ----------5 7 / o 105
Un círculo deformable se desplaza de tal forma que, uno de los puntos de su circunferencia descansa sobre el eje OY, el centro describe la elipse
2 2 x y .~¿2 +^ 2 =1, mientras que el plano del círculo es perpendicular al plano XOY,
hallar el volumen del cuerpo engendrado por dicho círculo.Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 343
1709
El volumen de i - esimo disco circular de la figura es dV = n y 2d x ; donde2 2
iL + Z _ = i «2 b2
Luego el volumen será cuatro veces el volumen de la región comprendida por
le arco de AB es:
f a r ra b ■> ->V = 4 I dV = 41 n y 2dx = 4 n \ — (a2 - x 2)dx
Jo Jo Jo a"
, b 2 , 2 I . I a 4b2n , 3 8/?V ;r 8Jtab2= 4 - ( a 2x - x 2) J = — — ( a ^ - a 2) ^ - — — = — — - a~ • o a" 3a“ 3
El plano de un triangulo móvil permanece perpendicular al diámetro fijo de un círculo de radio a. La base del triángulo es la cuerda de dicho círculo mientras que su vértice resbala por una recta paralela al diámetro fijo que se encuentra a una distancia h del plano del círculo. Hallar el volumen del cuerpo (llamado conoide) engendrado por el movimiento de este triángulo desde un extremo del
diámetro hasta el otro.Desarrollo
A = = y.h A(x) = j a 2 - x 2h2
344 Eduardo Espinoza Ramos
1710
V = J A(x)dx = J \la2 - x 2hdx = 2 h j \¡a2 - x 2dx
i - n — 7JL + ] / a = 2a 2h(—)
2 a a l o 4
a resen= 2a h[- V =
n a 'h
-> 2 _ 2Hallar el volumen de! cuerpo limitado por los cilindros x~ + z - a e
2 2 2 y +z = a ¿ .Desarrollo
2 2 2Las ecuaciones de los cilindros es: x + z ■ —a~2 2 2 y +Z = a
. . . (1)
... (2)
de ( 1) se tiene: x = y¡a2 - z 2 ; de (2) se tiene: y = Va2 - r
además el área de la sección es: xy, es decir el área = xy = a — z Luego.
a 3. 16a3V = s f (a2 —z2)dz = 8 (a2z - 4 —) ^ = 8(a3 ——) -
Jo
\plicaciones de la Integral Definida 345
1711
1712
2 2 y zHallar el volumen dei segmento parabólico elíp tico----- f- — < x , interceptado2 p 2q
por el plano x = a.Desarrollo
La sección del sólido determinado por un plano paralelo al plano >'z a una distancia x del origen, es una elipse cuya área es:
A = n zy como y = yj2px , z = y¡2qx
luego: A = n^2px.^¡2qx = 2nx*Jpq . Por lo tanto:
mo r— aV = I 2n x j p q dx = 2yf p q 1—■ / = n a 2J p q
Jo 2 / 0
Hallar el volumen del cuerpo limitado por el hiperboloide de una hoja2 2 2 X V z
— ----- - = 1 ; y losplanos z =0 y z = k.a b c~
Desarrollo
Para cada valor z en [0,h] se tiene una sección plana elíptica al plano XY2 2 ,2 2
anotada por la elipse — ■ + el área de la sección plano es = n.a" b c
346 Eduardo Espinoza Ramos
1713
x2 y 2 c1 + z2 (producto de semi - ejes), como — + = \—
a 1 2 2X = - \ l c ¿ + Z
y = — yfc2 +Z2C
r hluego: V = nxydz
Jo
V = n \ —>Jc2 + z2 — Ve2 + z2dz = - j - í (c2 + z2)dz Jo c C c Jo
abn i zJ i h abn , 2, h3 , n= — (c2z + — ) / = — (c A + — ) = a¿tor(l + —y) r 2 3 I o c¿ 3 3c
*> 2 7x “ y zHallar el volumen del elipsoide — + — + — = 1
a b2 c2
Desarrollo
"> 2 2 2 , x~ y c - zUna sección plana elíptica al plano xy anotada por la elipse — + — - ,
a b cse obtiene para cada valor de z en [-c,c] donde el área de dicha sección es:
a = n por el producto de sus semi - ejes de la elipse, donde se tiene:
x bc c
= -yJc2 - z 2 y y = - y jc 2 - z 2 luego:
V = J Adz = j —z2 ■'Je2 - z 2dz = —y - J* (c2 - z 2)dz
nab ^ - \ nabc/ - c C 3 Ó D2 ' 3
Aplicaciones de la Integral Definida 347
6.4. A R E A DE U N A SU PER FIC IE D E R E V O LU C IO N .-
E1 área de una superficie engendrada por la rotación alrededor del OX, del arco de una curva regular y = f(x) entre los puntos x = a y x = b, se expresa por la formula:
Sx = 2 j" y ^ - d x = 2;r j* yyjl + y ,2dx ... (1)
donde ds es la diferencial del arco de la curva.
Cuando la ecuación de la curva se da de otra forma, el área de la superficie S x ,se obtiene la formula (1), efectuando los correspondientes cambios de variables, es decir:
V dy
1714 En la figura se dan las dimensiones de un espejo parabólico AOB. Hallar la superficie de este espejo.
Desarrollo
sea y 2 = 4 px el punto a(a,4a), de donde 16a2 = 4ap entonces p = 4a
por lo tanto y 2 =16ax => y ' = 2.£i = 2n J* y yJl + y ’2 dx = 2n J 4 \[ax. 4 a
1 + — dx = 8na I yfx + 4a dxX Jo
348 Eduardo Espinoza Ramos
1715
1716
3
= 8ttV^ - X- + *a y ¡ aQ= ~ - ^ [ ( 5 a )2 - ( 4 a)2 ] = ^ j - a 2(5^5 - 8)
2
Hallar el área de la superficie del “huso” que resulta al girar una semi - onda de la sinusoide y = sen x, alrededor del eje OX.
Desarrollo
Un arco completo de la curva y = sen x se obtiene haciendo varias x desde x = 0 hasta x = n como:
A = 2n í ysj\ + y '2dx = 2n j senx\¡\ + eos2 x dx = 2/r í senx j 1 + cos2 x dx Jo Jo Jo
consideremos u = eos x => du = - sen x dx
cuando x = 0, u = 1; x = n, u = -l. luego:
A = 2n j* senx\Jl +cos2 x dx = ~K j >/l + w2 (-du) = 2 n j yj\ + u2du
-> 0 jT y“Hallar el área de la superficie engendrada al girar la elipse: — + — = 1
a~ b"alrededor:
1) Del eje OX 2) Del eje OY (a > b)Desarrollo
X + 2_ = i ^ >’ = — Va2 - x 2 , parametrizando la ecuación se tienea2 b2
x = a eos t, y = b sen t para x = 0, t = —: x = a, t = 0
además: A = 27T í y(t)yj[x'(t)]2 + [y '(/)]'di Ja
/•O *--------------------------- 0 i--------------------------A = 2 t t | bsent^a2sen2i + b2 eos2 1 dt = 2n I bcostyjb2 +{a2 - b 2 )sen-t dt
2
•o= 2nb f eost\¡b2 + V(«2 - b 2sent)2 dt
-> 2uabhaciendo el calculo de la integral se tiene: A = 2^¿" + ———are sen E
I 2 _fo2donde E = ------------en forma similar para la otra parte se obtiene:
x o 2 n b 2 , 1 + E ¿ A VA = 2na +----- ln ------- donde E =E 1 - E a
354 Eduardo Espinoza Ramos
1723 Hallar el área de !a superficie engendrada al girar uno de los arcos de la cicloide x = a (t - sent t); y = a (1 - eos t), alrededor:
a) Del eje OX b)
c) De la tangente a la cicloide en su punto superior.
Desarrollo
Y iL
A2as 1 X
( 1 V 1 *0 na 2 na X
= 2-t í y(t)yJ[xX, Jo
' ( . t ) f + [ y W d t
x = a ( t - sen t) =* x'(r) = a ( l-c o s r)
y = a ( l - c o s t ) => y'(t) = asent
A = 2 x ¡ a(l - eos t)>Ja2 ( Ì - eos t)2 + a2sen2tdt = 2Jta2 f ( l - c o s í^ V l-c o s ? dtJo Jo
2 t 1-COSÍ . . o 2 fsen" — = --------- 1 - eos t = 2sen —i "> 2
f 2* . t r 2* tA = 2na2 2 sen2 - M M s e n ( - ) d t = 8*«" rc«3
J 0 2 2 Jo 2
= 8* a 2 ( - 2 eos - + - e o s 3 - ) / = 8* o 2(2 + = 64^ —2 3 2 / 0 3 3
Aplicaciones de la Integral Definida 355
1724
2„2b) En forma similar cuando es alrededor del eje Y, de donde A = 16n~a
c) Un arco completo de la cicloide se obtiene haciendo variar t en el intervalo [0,2ti] y además el punto mas alto es en t = ti puesto que:
dy _ y '(0 _ asentdx x '(0 a ( l-c o s í)
dyLuego la pendiente en t = n es:
dxtangente es y = 2a.
, por lo tanto la ecuación de lat=n=0
Luego la distancia del punto p(x,y) déla cicloide a la recta tangente es
(2jta - y) de donde el área pedida es:
A = 2. t Í (2 a-y)yJ[x\t)]2 +[yXt)]2dt Jo
de donde al simplificar se tiene:
, o 2 f 2* 2 t t \6na2 3 / r * 7>2na2A = Una I eos ' —sen —di = — ------ - e o s —/ = --------Jo 2 2 3 2 / o 3
Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación alrededor del eje OX de la Cardioide x = a (2 eos t - eos 2t); y = a (2 sen t - sen 2t).
Desarrollo
x = a (2 eos t - eos 2t) => x - a ( -2sent + 2sen2t)
y = a (2 sen t - s e n 2t) => y'= a (2c o s í - 2cos2r)
A = 2 ¡ y(t)y¡[x'(t)]2 +[y\t)]2dtJo
356 Eduardo Espinoza Ramos
l*Æi = AKyfla2 I
Jolisent ~ sent eos t)\¡\ -eos.' dt = 8n\Í2a2
Jo(1-c o s t)2 sent dt
. 16 R -1/, sí / " 1/5A = — v 2wa“(l-c o s í)2 / = — na 5 / o 5
« 128 2
1725 Hallar el área de la superficie engendrada al girar la Lemiscata r 2 = a ° cos2\|/alrededor del eje polar.
Desarrollo
7T
> = 47M 4Jo
, , a"sen~2y ,eos l y s e n y ^ a " eos 2i/a + — — ----- d y
f 4 t y¡2A = 47r«J 4 aseny d y = -Ana2 c o sy J 4 = -4 ;ra2[ - ^ - - l ] = 2(l--V2);ra
1726 Hallar el área de la superficie engendrada por la rotación de la
cardioide r = 2a (1 + eos y ) alrededor del eje polar.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 357
Se tiene: A = 2n I rseny Ir2 + ( - ^ ) 2d y- 2, 1 ' ,Jo
A = 2;r | 2a(l + eos y )senyy¡4a2 ( 1 + eos i//)2 + 4a2sen 2y d y Jo
A = 8;rfl2 [ (l + cosy)senyyJl + 2cosy + COS2 y + sen2y d y Jo
= 8 rt2 l seny( 1 + eos y )\Í2 + cosy d yJo
5K ~
= Sna2 \Í2 j (1+ + COSI//)2 seny d y = -%Jta2 \¡2 ■ /Jo / o
516 / t 2.. a I n . 1287raA = ----- \[2n a 2 (l + c o s y )1 1 A = -
6.5. M O M E N T O S, C E N T R O S DE G R A V E D A D , T E O R E M A S D E G ULD IN.
0 MOMENTO ESTÁTICO.-
Se llama momento estático de un punto material A, de masas m, situado a una distancia d, del eje 1, con respecto a este mismo eje 1, a la magnitudM, = md .
Se denomina momento estático de un sistema de n - puntos materiales, de
masas m] , m2 ,..., mn situados en el mismo plano que el eje 1, con respecto al
cual se toman y separados de el por la distancias d x, d 2,..., dn la suma es:
M x = 2 ^ m idi ...(a )i=i
358 Eduardo Espinoza Ramos
debiendo tomarse la distancia de los puntos que se encuentran a un lado del eje 1, con signo mas (+), y los que están al otro lado con signo menos (-), en forma similar se determina el momento estático de un sistema de puntos con respecto a un plano. Si la masa ocupa continuamente toda una línea o una figura del plano XOY, los momentos estáticos M x y M y , respecto a los ejes de
coordenadas OX y OY en lugar de la suma (oc), se expresa por las
correspondientes integrales.
Cuando se trata e figuras geométricas, la densidad se considera igual a la
Se llama momento de inercia, respecto a un eje 1, de punto material de masa m,
situado a una distancia d, de dicho eje 1, a un número I¡ = >nd2 . Se denomina
momento de inercia a un eje 1 de un sistema de n puntos materiales, de masa
m ¡, m2 , •••, mn a la suma:
Aplicaciones de la Integral Definida 359
donde d{, d 2, ..., dn son las distancias desde los puntos al eje 1, cuando la masa es continua en lugar de la suma, obtendremos la integral correspondiente.
Las coordenadas del centro de gravedad de una figura plana (ya sea arco o superficie) de masa M, se calcular por la formula:
- M y - M xM ' y M
donde M x , M y son los momentos estáticos de las masas, cuando se trata de
figuras geométricas, la masa M es numéricamente igual al correspondiente arco
o al área. Para las coordenadas del centro de gravedad ( X, Y) de un arco
de curva plana y = f(x), (a < x < b), que une los puntos A(a), f(a) y B(b), f(b) tenemos:
í -*■ ds f xyjl + (y')~dx { y d s f }’\J\ + (y ')2dx_ * A____ J a __________ y — Ja J a _________
s " ' " 5 ‘ J TJa Ja
n + ( y T d x
Las coordenadas del centro de gravedad (X ,7) del trapecio mixtilíneo
a < x < b , 0 < y < f(x) se puede calcular por las fórmulas:
J y * y ÍTb
y 2dxa
s S
360 Eduardo Espinoza Ramos
4
1727
donde ds = I y dx es el área de la figura.Ja
En forma similar se emplea para hallar las coordenadas del centro de gravedad de los cuerpos sólidos.
TEOREMA DE GULDIN.-
TEOREMA 1.- El área de la superficie engendrada por la rotación del arco de una curva plana alrededor de un eje situado en el mismo
plano que la curva, pero que no se corta con ella, es igual al producto de la longitud de dichos arcos por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad del mismo.
TEOREMA 2.- El volumen del cuerpo engendrado por la rotación de una figura plana alrededor de un eje, situado en el mismo plano
que la figura, pero que no se corte con ella, es igual al producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad de la misma.
Hallar los momentos estáticos, respecto a los ejes de coordenados, del segmento de la línea recta.
Desarrollo
x y— + — = 1 , comprendidos entre dichos ejes de coordenadosa b
Los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados es:
u - ‘ 1 y í * W dx • " •=i x f ^ W dy
X y b / „ dy bcomo — + — = 1 =» y = - ( a - x ) , — = -----a b a dx a
Aplicaciones de la Integral Definida 361
1728
Ai,Jo a V a 2 a 2 2 / o
byja2 + u2M. = - " t - - [0 - a 2]
b'Ja2 + b 22a
M
M
)2dy , donde x = - ( b - y ) => b
=I t a U b 1 <b ~ y)
dy b
Í / c2 / o
a-ja2 + b 2
I b 2
Hallar los momentos estáticos del rectángulo de lados a y b, respecto a estos mismos lados.
Desarrollo
Y x = a
b
0 a X
y = a
fJo
a 2bPara el eje y = b, se tiene: Mb = 1 bxdx =
r b ab2Para el eje x = a se tiene: M a = I ay dy = -----
Jo 2
Luego los momentos estáticos respecto a los ejes x e y respectivamente son:
362 Eduardo Espinoza Ramos
1729
1730
M a b M ab
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas del centro de gravedad x + y = a, x = 0, y = 0.
Desarrollo
rArea = A = I (a
Jo
Af _ f°J Jox (a -x )d x = a 6 y — = I y (a -y )d y = a
x Jo
Para encontrar x = , y = —1 donde M es la masa y para este caso, MM M
- Ai, M v — — aes el área; es decir: M = A luego x = ——, y = —— de donde x = y = — y
A A 3
los momentos estáticosM M ax y 6
Hallar los momentos estáticos respecto a los ejes OX y OY y las coordenadas2 2 2
del centro de gravedad del arco de la astroide: x 3 + y 3 =-a3 situado en el primer cuadrante.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 363
I I I l 1 1 dy ( Jx 3 + y 3 = a 3 ; v = ( a3 - J r3)3 derivando — = --------- ------- se sabe que
dx i*3
íJo
1 1 1 M x = \ (a3 —,*3)2
/o
2 2
1 + - -dx ■I. 2 2 3 1
(a 3 - a 3)2(— )3dx = — a 2 x 5
realizando el mismo procedimiento se obtiene:
M , las coordenadas del centro de gmvedad son:
- M - Mx = — - , y = —- , donde M es la masa total para nuestro caso, para el arco
M ' M2 2 2
va de (0,a) y (a,0) de la curva: x 3 + y 3 = a 3 nos piden hallar (x, y ) , comoi _I
dx = a ' .V :'d x .
i i 3a
l — I a 3x 3dx = ~ a Luego: x = - ~ — = ^ a en forma similar y = ^ aJo A 5
2a
364 Eduardo Espinoza Ramos
1731 Hallar el momento estático de la circunferencia r = 2a sen 0, respecto al eje polar.
Hallar el centro de gravedad del arco de circunferencia de radio a, que subtiene el ángulo 2a.
Desarrollo
Si x coincide con al abscisa del centro de gravedad de la mitad superior e— . dx y dx 2 a2y = 0 , tenemos: Si — = — , y, l + (— ) = —
dy x dy x
366 Eduardo Espinoza Ramos
1734
Puesto que x 2 + y 2 = a 2 para la mitad superior del arco se tiene: S = T - a.
í Jo
dr {asertaa a x | x</l + (— )2dy = a j dy
dy
a a x - a sena- aseriax = -----—
a
Por lo tanto el centro de gravedad esta sobre la bisectriz a una distancia senaa.------ del centro de la circunferencia. Entonces el centro de gravedad del
a
arco de circunferencia esta:
Hallar las coordenadas del centro de gravedad del primer cado de la cicloide: x = a (t - sen tj, y = a (1 - eos t).
Desarrollo
Se conoce que ds = \j(dx)2 +(dy)2 = asen X dt puesto que
(dx)2 - a 2 ( l - e o s t)2(dt)2 => (dy)2 = a 2sen2t(dt)2
yj(dx)2 + (dy)2 = íj^/(1-cosí)2 +sen2t dt = a\Í2 y fl-co s t dt = lasen —dt
[ 2iz [ 2k
= J d s = \ :Jo Jo
t t ! 2k lasen—dt = —4a eos — / =8 a2 / o
Aplicaciones de la Integral Definida 367
1735
*2n j *2 x iM x = I yds= I a(\-cos t) la sen—d t= 4 a 2 \ sen3(—)dt
Jo Jo 2 J0
32M x = — a2 en forma similar para M y = 8a zJt.
Luego el centro de gravedad es:
31a2- M 8 a2n - M 3 4 ---- 4x = - + = — — = a n ; y = - ± = —2— = - a => (x,y) = (a n , - a )
L Sa L Sa 3 3
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por la2 2x yelipse — + — = 1 y por lo ejes de coordenadas OX y O Y: (x > 0, y > 0 )
a~ b'(0 < t < 2k).
Desarrollo
368 Eduardo Espinoza Ramos
1736
M X = f y f ( y ) d y = f ^-yyjb2 - y 2dy = ^ ~ J a J O & 3
Las coordenadas del centro de gravedad son: x = —— = — ; y = = —M 3n M 3n
Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por las
curvas y = x 2, y = \[jt .
Desarrollo
A- =y 1' \fx + x 2 f~ 2 3--------- ( y ¡ x -x - ) d x = —
o 2 20
— M — M — gy = ~ r r i x - —— '■ luego: y = - ~ = —M M
para x se tiene: A~x ~ J X<~X ~x2 )dx
A 3 - 9 I - - 9A- = — => x = — ; Luego: x = y = —1 20 20 20
Aplicaciones de la Integral Definida 369
1737 Hallar las coordenadas del centro de gravedad de la figura limitada por el primer arco de la cicloide x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t) y por el eje OX.
Desarrollo
x = a (t - sen t), y = a (1 - eos t)
r»¿> pina
M f f= J ydx = J yd x , (0,0) si t = 0, (2rca,0) si t = 2ji
Ahora encontrando el área se tiene:
.2 nM = f ydx = f
Jo Je
1k pina( 1 - cos t)a( 1 - eos t)dt = a2 I (1 - eos t)2 dt
o Jo
M = 3a n , ahora calcularemos M x , M y
M.
M
4 i :
= f x f (x)dx = f J a Je
r 2=a3f Jo
a2 (1- eos í)2fl(l~ eos t)dt
3 p2n c _3_,, . 3 . 5a tí(1 -c o s /) dt = ------
b finx f(x )d x = I a (t-sen t)a ( \-eos t)a (l-eos t)dt
o
(t - sent)(\ — cost)2 dt =3 Jt2a3
370 Eduardo Espinoza Ramos
1738
5ain- _ M v 3a 'n - - M 2 ' 5 - - 5x - - ¡ r r ~ - — Y ~ n a ' y ~ ~ T r~ ~ T T ~ = 7 a ( x , y ) - ( n a , - a )M 3na M 3a n 6 6
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de radio a con el centro en el origen de coordenadas sobre el plano XOY.
Desarrollo
Se conoce que ds = 2nr dz, donde r = a por hipótesis y dz es la altura de la
2k f azdzzona esférica. z = — —--------= — I z d z - —
l ú a 1 a Jo 2
como x = y = 0 => el centro de gravedad es (0,0,—)2
1739 Hallar el centro de gravedad de un cono circular recto homogéneo, si el radio de la base es r y la altura es h.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 371
1740
Por simetría se tiene que el centro de gravedad se encuentra en el eje Y; luego:j c=z = 0
Calcularemos M xz = momento estático del cono, respecto del plano XZ. El
disco de la figura de base paralelo al plano XZ., tiene volumen dv = na~dy,r
■ donde el radio a, por semejanza de triangulo se tiene: a = —(h -y ) - , Luegoh
ñ h 2 p h _ 2 » 2. _ f . 7ir f . \2 j htenemos que: M xz = ydv = —— I y ( n - y ) ay = -
' J o h' Jo
- h ,, n r 2h
12
Luego y = —— = — puesto que V =y 4 3
3Luego el centro de gravedad esta a la distancia de a partir de la base del
cono.
Hallar el centro de gravedad del hemisferio de una bola homogénea de radio a, con el centro en el origen de coordenadas situado sobre el plano XOY.
Desarrollo
Determinaremos z para esto se tiene lo siguiente: la masa de una de las caras elementales (dividido el hemisferio) por medio de planos paralelos se tiene:
dm = P nr2dz , donde P es la densidad, z la distancia entre el plano secante y
la base del hemisferio, r = s]a2 - z 2 , el radio de la sección, tenemos:
n f («2 - J o
z2)dz 3z = ----------------= — a ; Luego por simetría se tiene: x = y = 0
2 -„3 8—na3
3El centro de gravedad es: C.G. = (0,0, - a)
372 Eduardo Espinoza Ramos
1741
1742
Hallar el momento de inercia de una circunferencia de radio a, respecto a su propio diámetro.
Desarrollo
r 2 I 7 v 7Se conoce que: 7 = 41 y .11 + (— y dxJo V dx
Donde la ecuación de la circunferencia de radio a, es:
2 2 2 2 2 2 dy XX + y =a => y = a —x y — = —dx y
, ‘ 4l ( a 2 ~ x2)i + 7 dx= 4 f \ C
Jo2 je 2 dx
n
fJo, 3 I 2 2 /1 .« . 3 , 0 send.cosd ¡ K , . 3 .* . 3/ = 4a I eos 0 ¿0 = 4a (—+ ------------- ) / =» I = 2a (—) = Ka
2 2 / 0 2
Hallar el momento de inercia de un rectángulo de lados a y b, respecto a estos lados: Ia , l h .
Desarrollo
Se conoce que / = I r dmI '
/ a = T y 2dm = a f y 2dy / ' = -Jo Jo 3 ' o
rJo
dm dy
I, = I x“í/m , donde dm = b dx
fJo4 = 1 xAbdx = b^ l o =* 4 =
¿o 1
Aplicaciones de la Integral Definida 373
1743 Hallar el momento de inercia de un segmento parabólico recto, respecto a su eje de simetría si la base es 2b y la altura es h.
Desarrollo
_ 4hb3 15
1744 Hallar el momento de inercia de la superficie de la elipse —- + — = 1,a b
respecto a sus ejes principales.
Desarrollo
De acuerdo a la figura, el momento de inercia del tubo cilindrico generado por rotación alrededor del eje X, del rectángulo R de la figura que tiene por base dy, y altura 2x.
Es decir: dla = y 2dv = y 1 (2ny)(2x)dy
dla =4ny3xdx Luego Ia = I dla = 4n I y 'xd yJo Jo
para esto paramétrizamos haciendo:
»ftx = a eos t, y = b sen t; Ia = 4 n \ b3sen3t.a eos íi> eos t dt
Jo
374 Eduardo Espinoza Ramos
1745
1746
n nIa = 4 rtab4 I “ sen?t eos2 / dt = 4nab4 I " (1- eos21)eos2 t.sent dt
Jo Jo
, 4 . cos3í cos5r / r 8nab4 . .- 4nab (--------- + --------) / = --------- en forma similar para el otro caso.3 5 / o 15
Hallar el momento polar de inercia de un anillo circular de radios /?, y R2 (Rl < R2) , es decir el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro del anillo y es perpendicular el plano del mismo.
Desarrollo
Dividimos el anillo, en anillos elementales concéntricos, donde la masa de cada
uno de estos anillos será dm = r 2r k dr y el momento de inercia es:
C 4 R jrI = 2n \ r 'd r , donde r = l entonces I = 2n.— / 2 = —(R% -R ? )
Jr, 4 / r, 2 2 1
Hallar el momento de inercia de un cono circular recto homogéneo, respecto a su eje, si el radio de la base es R, y la altura es H.
Desarrollo
Dividimos en una serie de tubos cilindricos elementales paralelos al eje del cono.
El volumen de uno de estos tubos elementales será dv = 2rtrhr dr, donde r es el radio del tubo; es decir la distancia hasta el eje del cono.
rh = H( 1----- ) es la altura del tubo, en este caso el momento de inercia es:
R
r R/ = r I 2 n H ( \ - - ) r ' d r
Jo ^
Aplicaciones de la Integral Definida 315
calculando la integral se tiene: I = — —— donde r es la densidad del cono.
1747 Hallar el momento de inercia de una bola homogénea de radio a y masa M, respecto a su diámetro.
Desarrollo
Escogemos un disco delgado paralelo al plano XZ y suponiendo que la densidad es P, el momento de inercia de un disco delgado de radio x, respecto
al eje Y es ~ x 2 para hallar el momento de inercia I y de toda la esfera se
suman los momentos individuales que acabamos de hallar en donde:
dM = Pdv = Pnx2dy entonces í v = - ( P n x 2dy)x2 = — Px4dyy 2 2
La ecuación de la sección de la esfera en el plano XY (circulo) es
x 2 + y 2 = R 2, donde R = a.
Luego: /„ = — f (o2 - y 2)dy = — nPR5 como la masa es m = —n a 3P ;* Z J-a 15 3
4 - 2a2 2 7 2 ■>se tiene: I „ = ( - t ta P \ ----- ) = - M a Respuesta: I = - M a ~
y 3 5 5 -v 5
376 Eduardo Espinoza Ramos
1748
1749
1750
Hallar el área y el volumen de un tubo engendrado por la revolución de un círculo de radio a, alrededor de un eje situado en el mismo plano que el círculo
y que se encuentra a una distancia b (b > a) del centro de este.
Desarrollo
V = 2it2a 2b; S = 4 n 2ab
a) Determinar la posición del centro de gravedad del arco de la astroide2 2 2
x 3 + y 3 = a 3 situado en el primer cuadrante.
b) Hallar el centro de gravedad de la figura limitada por la curvas: y 2 = 2 px y x 2 = 2py .
Desarrollo„ - - 2a - - 9p
a) x =j* xdx J x,]\+ y '1 dx j" x J l + (—)3dx
f + y '2dx f y¡l + y '2dxJ a JO
3 f / ‘- 5 * / o 2a . , - — 2ax = ——-—- = — ; luego por simetría se tiene: x = y = —
3 - . a 5 572 / o
b) En forma similar el caso desarrollado de a)
a) Hallar el centro de gravedad del semicírculo, aplicando el teorema deguldin.
b) Demostrar aplicando el teorema de guldin que es el centro de gravedad deun triangulo dista de su base a un tercio de la altura.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 377
a) Al girar la figura genera un cono cuyo
4 n 3volumen es: V = — R según el
teorema de guldin el producto del área de dicha figura por la longitud de la circunferencia que describe el centro de gravedad, es igual al volumen entonces:
Área de la circunferencia = rcR¿ ; longitud de la circunferencia = 2n y
comparando y efectuando se tiene: (2n y) = —JtR3
, . , - 4 R , írs4 Rde donde y = — por lo tanto (0,-— )
3tt 3/r
b) Al girar el triangulo alrededor de su base genera un cono cuyo volumen Jtbh2es: V = ------- donde b es la base y h es la altura del triangulo, según el
teorema de guldin este mismo volumen seria: V = 2 donde x es
la distancia del centro de gravedad a la base, luego comprobando se tiene:„ bhx„ nbh" - h2 t t ( ———) = — - — = > x - —
2 3 3
6.6. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA A LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE FISICA.
(T ) TRAYECTORIA RECORRIDA POR UN PUNTO.-
Si un punto se mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad v = f(t) es una función conocida del tiempo t, el espacio recorrido por dicho
punto en un intervalo de tiempo [tl ,t2\ ser igual a:
Se da el nombre de energía cinética de un punto material, de masa m y velocidad v, a la siguiente expresión:
r f (x )d x
La energía cinética de un sistema de n puntos materiales de masas m¡ , m2 ,..., mn , cuyas velocidades respectivas sean v¡, v2,..., v„ es igual a:
Para calcular la energía cinética de un cuerpo, hay que dividirlos convenientemente en partes elementales (que juegan el papel de puntos materiales) y después, sumando la energía cinética de estas partes, y pasando a limites, en lugar de la suma (1) se obtendrá la correspondiente integral.
Para calcular la fuerza con que presionan los líquidos se emplea la ley de pascal, según la cual, la presión que ejercen los líquidos sobre una área s sumergía a una profundidad h es igual a: p = yhs, donde y es el peso especifico
del liquido.
Aplicaciones de la Integral Definida 379
1751
1752
La velocidad de un cuerpo, lanzado hacia arriba verticalmente con una
velocidad inicial v0 , despreciando la resistencia del aire, se expresa por la
formula: v = v0 - g t , donde t es el tiempo transcurrido y g es la aceleración de
la gravedad, a que distancia de la posición inicial se encontrara este cuerpo a los t seg. de haberlo lanzado?
Desarrollo
datos:v = v0 - g t t = tiempog = aceleración de la gravedad
cálculo de la distancia recorrida a los t seg.
dsv « - = v0 - s , => f'(v 0 - Jo Jo
gt)dt
s = v0t - g -
La velocidad de un cuerpo, lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial v0 , contando la resistencia del aire, se expresa por la fórmula
v = cJg(~— y + arctg — ) donde t es la tiempo transcurrido, g es la aceleraciónc c
de la gravedad y c es una constante, hallar la altura a que se eleva el cuerpo.
Desarrollo
datos:
v = c /g ( -g - + arctg (— ))
t = tiempo c = constante g = gravedad
380 Eduardo Espinoza Ramos
dh , t v0v = — = clg ( -g - + arctg — )
dt c c
f dh= f [c .tg (-g - +arctg — ))dtJo Jo c c
h = ~ — ln |sec (-g — + arctg— ) | / g c c > o
2 2 2
h = ln | see ( -g — + arctg — | + — ln(l + -y )g C c g C¿
2 2 2 2 2 2
h = - h +— ln (l+ ^ -) => 2h = — ln(l + - ) de donde h = — ln(l + - )g e 2 g e - 2 g e
1753 Un punto del eje OX vibra armónicamente alrededor del origen de coordenadas con una velocidad que viene dada por la fórmula v = v0 cosco?, donde t es el
tiempo y v0 y co son unas constantes, hallar la ley de la vibración del punto, si
para t = 0, tenia una abscisa x = 0. a que será igual el valor medio de la magnitud absoluta de la velocidad del punto durante el periodo de la vibración.
vn cos cot d t , de donde x = — sencot / =— sencüt(0 1 0 0)
Vqx = — sencot (O
Aplicaciones de la Integral Definida 381
1754
1755
La velocidad del movimiento de un punto es: v = te~°mu . hallar elseg
camino recorrido por dicho punto desde que comenzó a moverse hasta que paro por completo.
Desarrollo
dato: v = te~°'ou
calculo del camino recorrido por un punto desde que comenzó hasta que paro.
ds -oon • . r , f ' -ooir e“° ol'( 0.01f - l ) / 'v = — = te , integrando I ds = I te dt = --------------- -------/dt Jo Jo (0.01)2 / o
_ g -0-01' (1- 0.0 ir)0.0001
el punto para que se pare por completo es cuando v = 0 => t = 0.
para t = 0, s = — -m = \ 04m s = 104m(íor4
Un proyectil cohete se levanta verticalmente, suponiendo que, siendo constante la fuerza de arrastre, la aceleración del cohete aumenta a causa e la
disminución de su pero según la ley: j = ------- , (a - bt > 0). hallar la longituda - b t
del cohete en cualquier instante t, si su velocidad inicial es igual a cero, hallar también la altura que alcanza el cohete en el instante t = tx.
Desarrollo
a) Calculo de la velocidad del cohete:
Datos: v0 = 0 ; j = ------- » a - b t > 0a - b t
dv A , A dtj = — = ------- => dv = -dt a - b t a - b t
382 Eduardo Espinoza Ramos
1756
f v f' Adt A , x /'I dv = I ------- => v = ------ln(a -b t) IJo Jo a - b t b / o
A A A a A , av = ---- \n (a -b t) + — lna = — ln(-------------------------------------------------- ) v = —ln(---- —)
b b b a - b t b a - b t
b) Calculo de la altura en el instante t.
— = v = — ln(—-—) = — l n a - —\n(a-bt) => ds = - ( \ n a - \n ( a - b t ) ) d t dt b a -b t b b b
f ds = — f (ln a - ln(a - bt))dtJo b Jo
s = — [/ ln a - 1 ln (a -b t ) + 1 + — ln(a - b t)] / b b I o
= Ar [bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln (a - b t ) ] l h2 l o
sb
s = — (bt ln a - bt ln(a - bt) + bt + a ln(a - bt) - a ln a) b2
s = -4 - (bt - (a - bt) ln a + (a - bt) ln(a - bt)) b2
s = Ar(bt + ( a - b t ) ln(a ■- -)) s = A r ( b t - ( a - b t ) ln( ■))fe2 a a - ¿ í
Calcular el trabajo necesario para sacar agua que hay en una cuba cilindrica vertical, que tiene un radio de base R y una altura H.
Desarrollo
Aplicaciones de la Integral Definida 383
1757
T c o - F d s = E „
H E p - mgh , y =
yv
m g
m = — donde y = peso especifico g
V = itR~H , derivando se tiene:
dV = nR dh
dEp = d (mgh)
calculando dm:
yv , dvm ~ — => dm - y —8 8
(1)
... (2)
ahora (1) en (2) se tiene: dm = yrcR — y dE = (yn R -— )gh
Jo Joghdh - ynR2 I hdh
ch
i 1 Jo
yrrR2H 2 JtyR2H 2t = ----------- pero E = a) por lo tanto co = —---------
Calcular el trabajo necesario para sacar el agua que hay en un recipiente cónico, con el vértice hacia abajo, cuyo radio de la base es R y la altura H.
Desarrollo
384 Eduardo Espinoza Ramos
Ep = F d s =m
donde to = trabajo
mg yvY = — => m = ——
v 8(1)
y = peso especifico
1 oV = —n r H 3
dV = —Jtr2dh 3
dm = y dv
yjcrreemplazando (2) en (3) se tiene: dm = ------dh
3 g
E„ = mgh => dE = d(mgh)
f M "Jo Jo
jKr~3g
Rh
(gh)dh , ahora cambio de r a R
h R— = — => r =r H H
Ep = g ~ \ h A 2h2dh Ep =-Ó Jo /2 3 // Jo 12
■ (2)
.(3)
. _ ^ / / p 12
Aplicaciones de la Integral Definida 385
1758
1759
Calcular el trabajo necesario para sacar el agua de una caldera semiesférica, que tiene un radio R = 10 m.
Desarrollo
0 R
dm<T_ x X
X'
/ dx
r
El disco comprendido entre x y x + dx tiene un volumen.
dV = tiy2dx = n(R2 - x 2)dx
La fuerza F requerida para bombear el agua de este dV es igual a su peso.
p dV = pn(R 2 - x 2)dx
La distancia en el cual actúa esta fuerza es:
—> —>[x, x+dx] => dW = F .d r = p n(R 2 - x 2 ) x d x , integrando en ambos miembros:
f “ f * R 2 x 2 x 4I dco = I pn (R 2 - x 2)xdx = Pn (—1------------ ) /Jo Jo 2 4 * o
jzR(ú = p -= (0.79)103 xl O4 , siendo p el peso de 1 dmi de agua
4
/. (0 = 0.79JtlO7 k g - f Im
Calcular el trabajo necesario para sacar, por el orificio superior, el aceite contenido en una cisterna de forma cilindrica con el eje horizontal, si el peso
especifico del aceite es y, la longitud de la cisterna H, y el radio de la base R.
Desarrollo
386 Eduardo Espinola Ramos
m 8 Y v / i \y = — => m = — ... (1)H
. . (2)
. . (3)
... (4)
Ep = co = mgh dcü = d(gmh)
Jo Jo. ÍJodh (ù = ynR H
1760 Que trabajo hay que realizar para levantar un cuerpo de masa m, de la superficie de la tierra, cuyo radio es R, a una altura h?. A que será igual este trabajo si hay que expulsar el cuerpo al infinito.
■
Desarrollo
Según la ley de gravitación universal, la fuerza F que ejerce la tierra un cuerpo
, , „ mMde masa m esta dado por: F = y — —R2
donde y = constante de gravitación
M = masa de la tierra, m = masa de un cuerpo cualquiera
R = radio de la tierra
wCR^h mM mM / R+h- J . ^ dR- y^ L w - y m M ( - ------ -— )
' R R + h
i
... (1)
como la fuerza atracción es igual peso (mg)
Aplicaciones de la Integral Definida 387
1761
1762
mM gR2=* m8 = y — r => v = - r r - (2)R- M
de (2) en (1) se tiene: W = gm~- si hay que expulsar el cuerpo al infinito h->°°1 + -
RmMw = y-----
R
Dos cargas eléctricas e0 = 100 CGSE y e¡ = 200 CGSE, se encuentran en el eje OX en los puntos xQ = 0 , xi = 1 cm , respectivamente. ¿Que trabajo se realizara si la segunda carga se traslada al punto x2 = 10 cm ?
Desarrollo
£ cLa fuerza de acción mutua de las cargas será F = dinas, por consiguiente,
xel trabajo necesario para trasladar la carga e, desde el punto xx al punto x2
Un cilindro con un embolo móvil, de diámetro D = 20 cm., y de longitud i = 80 cm., esta lleno de vapor a una presión de p -1 0 kgf I cm2 . ¿Qué trabajo hace falta realizar para disminuir el volumen del vapor en dos veces si la temperatura es constante (proceso isotérmico)?
Desarrollo
Para el proceso isotérmico pv = p0v0 . El trabajo realizado en al expresión del gas desde el volumen v0 hasta el volumen v, es igual a:
vw = I pdv= p0v0 ln— = 800*ln2 kgf / m .\ w = 800jtln2 kg f / mJV2 vo
sera: w = e0et
388 Eduardo Espinoza Ramos
1763
1764
Determinar el trabajo realizado en la expresión adiabática del aire, hasta ocupar en volumen v ,= 10m3, si el volumen inicial es v0 = 1 m3 y la presión
p0 =1 kg f / cm2 .Desarrollo
Para el proceso adiabático es valida la ley de Paisson pvk = p 0Vq , donde k =
1.4, de donde: [ l - ^ - 1]Jj2 k k - 1 V[
de donde al reemplazar sus valores se tiene: w = 15,000 kg - f / m
Un árbol vertical, de peso P y radio a, se apoya en una zanja AB la fricción entre una parte pequeña o de la base del árbol y la superficie del apoyo que esta en contacto con ella es igual a F = upo donde p = constante es la presión del árbol sobre la superficie del apoyo, referida a la unidad de superficie del mismo , y u es el coeficiente de función. Hallar el trabajo de la fuerza de fricción en una revolución del árbol.
Si a es el radio de la base del árbol, la presión s sobre la unidad de superficie de
apoyo será P = ——-, la fuerza de frotamiento de un anillo de anchura dr, que n a '
se encuentra a una distancia r del centro, será igual a r dr .a
Aplicaciones de la Integral Definida 389
1755
1766
El trabajo de la fuerza de frotamiento, sobre estos anillos, durante una vuelta
completa es: dw ■■ dr , por lo cual el trabajo total
w =4nup f" 2a2 Je r~dr = —Jtupa
Calcular la energía cinética de un disco, de masa M y radio R, que gira alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano del disco con una velocidad angular co.
Desarrollo
La energía cinética de un elemento del disco:
„ v2dm pr2ío2 , , , , , ,d k = -------= ---------d a . donde da = 27irdr2 2
es el elemento de superficie, r, su distancia al eje de giro; p, la densidad ^ ^ 2
superficial p = ---- — de esta forma dk = ----— r2dr , de donde:nR- 2 k R-
r °3 Mw2x\ W f 3Mw 4 j 3 M w x / «(Ec)cono = I — ^ = ----- — x*dx = ------- — /
J* 4R H R Jo 4/? 20/? ' o
£ .=3Mw2R2
20
Que trabajo es necesario realizar para detener una bola de hierro de radio
R = 2m que gira alrededor de su diámetro con una velocidad angular co = 1000
vueltas / crecimiento?. (El peso especifico del hierro es r = 7.8 gf /cm 3 ).
Desarrollo
w - mad, hallamos masas “m” sabemos que:
y ~ ~ =>m = yV=> M = ~n r3Y ... (1)
hallamos la aceleración a, este caso seria “a” por cinemática:
2 c o 2tú' = 2aQ => 0 = — ... (2)20
hallamos la distancia “d” este caso seria la longitud de arco:
02nr(—~) = d => d = n 9r ... (3)
2 71
para n vueltas. Reemplazando (1), (2) y (3) en w = mad
r4 3 0)2 0 j j , 4 yurnO . 4 ,w - —7tYr — .nOr de donde w - —n l -I r dr3 20 3 20
4 2 r5 4 3 œ2r2w - —rq'co'n = ^ Ylír )—^— Para n = 2 dos vueltas
N -, , w = — co~r kgf / m w = 2 .3 a1 0 8 k g - f / m
Aplicaciones de la Integral Definida\
391
1768 Un triangulo de base b y altura h esta sumergido verticalmente en agua, con el vértice hacia abajo, de forma que su base coincide con la superficie del agua. Hallar la presión que el agua ejerce sobre el.
Desarrollo
Se sap que dp = phl dh => por relación
H - h _ H B ( H - h )í ~ B ^ ~ H
C r H H — hF = p h /d h = phB(------- )dh
Jo Jo H
B 3/ / 3 —2/ / 3 /H B H 3 P ~H 6 / o = P H ' T
F BHF ■ r.------
1769 Una presa vertical forma de trapecio. Calcular la presión total del agua sobre dicha presa, sabiendo que la base superior tiene a = 70 cm, la base inferior b = 50 cm y su altura h = 20 cm.