mrnmrn LISIS MATEMATICO p m a tu soiucimmoi e. M K M im mm Transformada de Laplacc Sucesiones y Sans \U3M\ Solucionarlo de Análisis Matemático por Demidovich tomo III Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II Solucionarlo de Leithold 2da. Parte. Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3 www.s olucionarios.net Eduardo Espinoza Ramos / / I \ \ Lima - Perú ByPriale Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura. Catedrático de las principales Universidades de la Capital www.solucionarios.net
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LISIS MATEMATICO
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Solucionarlo de Análisis Matemático por Demidovich tomo III Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.Geometría Vectorial en R2 Geometría Vectorial en R3
www.s olucionarios.netEduardo Espinoza Ramos
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Eduardo Espinoza Ramos Graduado y Titulado en Matemática Pura.
Catedrático de las principales Universidades de la Capital
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Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún
método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas
de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin
expreso consentimiento del autor y Editor.
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N °13714
N °10716
N° 4484
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Ley de Derechos del Autor
Registro com ercia l
Escritura Publica
PROLOGO
Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los
conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más
alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto
nace aún antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como la vida misma.
El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que
estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes conquistas.
La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a
descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este primer
tomo, en su cuarta edición del solucionario del libro problemas y ejercicios de análisis
matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se
presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a
la captación de los diferentes problemas.
Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis
publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su
avance y desarrollo intelectual.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
INDICE
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS
1.1. Concepto de Función 11.2. Representación Gráfica de las Funciones Elementales 311.3. Limites 881.4. Infinitésimos e Infinitos 1431.5. Continuidad de las Funciones 155
CAPITULO II
DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES
2.1. Cálculo Directo de Derivadas 1732.2. Derivación por Medio de Tablas 1872.3. Derivadas de Funciones que no están dadas explícitamente 2592.4. Aplicaciones Geométricas Mecánicas de la Derivada 2762.5. Derivadas de Orden Superior 3062.6. Diferenciales de Primer Orden y de Orden Superior 3332.7. Teorema del Valor Medio 3492.8. Fórmula de Taylor 3542.9. Regla de L’Hospital - Benoulli para el Cálculo de Limites
indeterminados 361
CAPITULO III
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMÉTRICAS DE LAS DERIVADAS
3.1. Extremos de las Funciones de un Argumento 374
3.2. Dirección de la Concavidad - Puntos de Inflexión 423
3.3. Asíntotas 435
3.4. Construcción de las Gráficas de las Funciones por sus puntos
Característicos 445
Introducción al Análisis ]
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS
1.1. CONCEPTO DE FUNCION.-
Demostrar que si a y b son numero reales.
I ¡ a | - | b | | < | a - b | < | a | + | b |Desarrollo
Escribiremos: a = (a - b) + b, tomando valor absoluto
| a | = | ( a - b ) + b | < | a - b | + ¡b| , por la desigualdad triangular:
Luego: | a | < | a - b | + | b | => | a | - | b | < | a - b |
Además: | a - b | = | b - a | > | b | - | a | , es decir: | a - b | > | b | - | a |
Por tanto de (1) y (2) se tiene: | | a | - | b | | < | a - b |
por otro lado: | a - b | = | a + (-b) | < | a | + | -b | = | a | + | b |
de donde: | a - b | < | a | + | b |
Luego de (3) y (4) se tiene: | | a | - | b | | < | a - b | < | a | + | b |
Demostrar las siguientes igualdades:
a) | a.b | = | a 11 b | b) \a\2=a2
c) l ? l = T?T ’ b * ° d)b \ b \
.(1)
. (2)
■ (3)
(4)
2 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
a) 1er Caso: Sí a y b > 0 =* | a | = a,| b | = b por definición del valor absoluto
de donde | a 11 b | — ab
Como a >0, b > 0 => a.b > 0 => | ab | = a.b
Por definición del valor absoluto
Luego | a 11 b | = ab = | ab | => | a 11 b | = | ab |
2do. Caso: Si a > 0 a b < 0
Como: b < 0 => -b > 0 => | ab | = | -(ab) | = | a(-b) |
Como: -b > 0 => por la parte Ira se tiene:
| ab | = | a(-b) | = | a 11 -b | = | a 11 b | => | ab | = | a 11 b |
3er. Caso: Si a < 0 a b > 0 es en forma anàloga al 2do caso y se tiene
| ab | = | a 11 b |
4to. Caso: Si a < 0 a b < 0 -a > 0 a -b > 0
entonces (-a)(-b) = ab aplicando el 1ro y el 2do caso se tiene:
| ab | = | (-a)(-b) | = | -a 11 -b | = | a 11 b | por lo tanto ¡ ab | = | a 11 b |
b) \ a \ 2= a 2
S í a > 0 => | a | = a => \a\2=a2
Sí a < 0 | a | = -a => | a |2= (-a)2 = a2
Por tanto | a | 2= a :
Introducción al Análisis 3
'>
17 1 = 1 «-(7 ) 1=1 a II7 1 por la parte (a) b b b
además | - | = | é | ! por la parte (b) b
Luego: - I j l - j i i
Como | £ | . | a | | l m a | j L 3 j | | , por lo tamo | Í | = M
d) J a 2 = I a I
Sí a > O => yja2 = a
Sí a < O => - a > O => J (-a )2 = -a => a 2 = -a
Luego por lo tanto 4 a 2 = \ a \
Resolver las inecuaciones.
a) | x - 1 | < 3 b) | x + 1 | > 2
c) | 2x + 1 | < 1 d) | x - 1 | < | x + 1 |
Desarrollo
a) Sí | x — 1 | < 3 =* -3 < x - 1 < 3
de donde - 2 < x < 4 => x e <-2,4>
4 Eduardo Espinoza Ramos
b) | x + 1 | > 2 => x + l > 2 v x + l < - 2
=» x > 1 ó x < -3
r i _____ H __________1__________ »-3 -1
La solución es x e <-°o,-3> U <l,+°o>
c) | 2 x + l | < l í = * - l < 2 x + l < l
<=> -2 < 2x < 0
<=> -1 < x < 0
La solución es x e <-l,0>
d) | x — 1 | < |x + 1 | => | x - l | 2< |x + l | 2
=> x2 - 2 x + l < x 2 +2x + l
=> 4 x > 0 => x > 0
Luego la solución es x e <0,+°°>
4 Hallar f(-l), f(0), f(l), f(2), f(3) y f(4) sí: f ( x ) = x 3 - 6x2 + 1 lx - 6
Desarrollo
Como f ( x ) - x 3 - 6 x 2 + l l x - 6
/( -1 ) = (-1)3 - 6 (-l)2 + 11(—1) - 6 = -24
/(0 ) = (O)3 - 6(0)2 +11(0) - 6 = -6
/(1 ) = (l)3 - 6(1)2 +11(1) - 6 = 0
Introducción al Análisis 5
/(2) = (2)3-6 (2 )2+ 11(2)-6 = 0
/(3 ) = (3)3 -6 (3 )2 + 11(3)-6 = 0
/(4 ) = (4)3 - 6(4)2 +11(4) - 6 = 6
5 Hallar f(0), / ( - l ) , f ( - x), / ( i ) , _ L Sí f ( x ) = y¡l^x24 x /(x )
Desarrollo
Como /(x ) = Vl + x2 entonces /(0 ) = yjl + 02 = 1
/ ( - - ) = J l + ( - - ) 2 = J l + — = . / ^ = -4 V 4 V 16 V16 4
La función f(x) es lineal. Hallar dicha función sí: f(-l) = 2 y f(2) = -3.
Desarrollo
Como f(x) es lineal => f(x) = ax + b, donde a, b e R
f / ( - l ) = 2 Í2 = -a + bLuego
1/ ( 2) -3 = 2 a+b
5 , 1Resolviendo el sistema se tiene los valores de: a = - - , b = -
, , , 5 x 1/(*) = -------+ -J 3 3
Hallar la función entero y racional de segundo grado f(x) sí f(0) - 1, f( 1) - 0
y f(3) = 5.Desarrollo
Si f(x) es función entero y racional de segundo grado entonces f {x ) = ax1 + bx + c , donde a, b y c son constantes por determinarse.
Como
/( 0) = 1
/ ( 1) = 0 =>
/ ( 3) = 5
1 = c
0 =a+b+c
5 = 9a + 3b + c
¡a + b = - 1
9« + 3£ = 4
7 , 13Resolviendo el sistema se tiene a = —, b = ——
6 6
Luego como f {x ) = ax 2 + bx + c , se tiene f ( x ) _ ! 2 13,r + l
Introducción al Análisis 1
11
Se sabe que: f(4) = -2 y f(5) = 6. Hallar el valor aproximado de f(4.3), considerando la función f(x), en el segmento 4 < x < 5, es lineal, (interpolación lineal de funciones).
Desarrollo
f(x) es lineal => f(x) = ax + b
f / (4) = -2 \4a + b = -2Como < => -i resolviendo el sistema se tiene a = 8, b=-34
1/(5) = 6 [5a+ 6 = 6
Como f(x) = ax + b => f(x) = 8x - 34
Luego f(4.3) = 8(4.3; - 34 = 0.4
0 si x < 010 Escribir una sola fórmula que exprese la función: f { x ) =
empleando del signo del valor absoluto.he si jc>0
Desarrollo
ÍO si x < 0
nr si x > 0Como f i x ) = ■
Si x < 0 => para f(x) = 0 se tiene ■■■—■2
Si x > 0 => para f(x) = x se tiene2
Luego:
Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones:
a) y = 4 x + 1
8 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
El campo de existencia de una función también se conoce con el nombre
de dominio de la función.
Luego como y = \¡x + 1 para que esté bien determinado debe cumplirse
que x + l > 0 de donde x >-1 => x e [-l,+°°>
El campo de existencia de la función es -1 < x < °°
b) y = \Jx + 1Desarrollo
Como y - yjx + l => x + 1 puede ser positivo, negativo o cero, luego
el campo de existencia es: < x < +°°
12 y = —4 - x
Desarrollo
Los valores de x para que y =------y esté bien determinado es:4 - x
4 - x 2 * 0 => x *±2
Luego el campo de existencia de la función es: <-°°,-2> U <-2,2> U <2,+°°>
13 a) y = J x 2- 2Desarrollo
Para que y = \lx2 - 2 esté bien determinada debe cumplirse:
x 2 - 2 > 0 =* x 2 >2 => x>\Í2 v x<-y¡2
Luego el campo de existencia es: < —■*>,-\Í2]U[-j2,+°° >
Introducción al Análisis
14
b) y = x j x 2 - 2
Desarrollo ¡
Para que y = xyjx2 - 2 esté definida:i .
x 2 ~ 2 > 0 = > X > y ¡ 2 V x < - y ¡ 2 *
también para x = 0, y = x 'lx2 - 2 está definida
Luego el campo de existencia es: x = 0 , | x | > \ ¡ 2
y = \ h + x - x 2Desarrollo
Para que y — y j l + x - x 2 esté bien definida debe cumplirse
2 + x - x 2 >0 , e s decir: x 2 - x - 2 < 0 => ( x - 2 ) ( x + l ) < 0
15
-1 2
Luego el campo de existencia es: [-1,2]
' = yf-X- 1\ ¡ 2 + x
Desarrollo
Para que y = y f - x + . esté definida, debe cumplirse que:V 2 + x
-x > 0 a 2 + x > 0 , de donde: x < 0 a x > -2
-2 0
Luego el campo de existencia es [-2,0]
10 Eduardo Espinoza Ramos
16 y = -y/x-x3Desarrollo
Para que esté bien definida debe cumplirse que:
x - x 3 >0 => x(x - l)(x + 1) <0 de donde:
-1 0 1
luego el campo de existencia es: <-°°,-l] U [0.1]
17 y = log(l± £)2 - x
Desarrollo
Para que y = log(—- * ) esté bien definida debe cumplirse que: > 02 ~ x 2 - x
de donde (2 + x)(2 - x) > 0, pero x * 2
=$ (x + 2)(x - 2) < 0, de donde se tiene:
-2 2
Luego el campo de existencia es <-2,2>
18 y = log( x — 3x + 2 x + 1
Para que y = log( x — 3x + 2 X+1
Desarrollo
) esté bien definida debe cumplirse que:
Introducción al Análisis 11
X 2 3x "4“ ^“ >0 de donde (x2 - 3x + 2)(x +1) > 0 para x * - l
x + 1
(x - 2)(x - l)(x + 1) > 0, entonces:
19
-1 1 2
Luego el campo de existencia es: <-1,1> U <2,+°°>
y = arccos(-^-)l + x
2x
Desarrollo
2xy - arccos(----- ) => eos yl + x l + x
2xpero se conoce que: -1 < eos y < 1, de donde -1 < ----- < 1l + x
. , 2x , ^ 2x 2x ^ I- 1 < ----- <1 <=> -1 < ------ a ----- <1l + x l + x l + x
2x 2x<=> 0 < ----- + 1 A -------- 1 < 0l + x l + x
3x + l x —1 '« 0 < ------- a ----- < 0l + x x + 1
o 0 < (3x + 1)(1 + x) a (x - l)(x + 1) < 0, x * - l
12 Eduardo Espinoza Ramos
Luego (< -oo,—l > t/[—l,+°o > a < —1,1]
X20 y = arcsen( log — )
Desarrollo
X Xy = arcsen(log— ) => seny = log —
X Xcomo -1 < sen y < 1 => —1 < log — < 1 además — > O => x > O°10 10
Luego — < ~ < e => — <x<10e => x e [r—,10e] e 10 e e
21 y = yjsen 2xDesarrollo
Para que y = Jseñ lx esté bien determinado debe cumplirse que: 1 > sen 2x>0
Como O < sen %x<\ => arcsenO < 2x < arcsen 1
K=> O < 2x < — de donde se tiene:2 >
kit < x< kit + — , donde k = O, ±1, ±2. ±3,...2
22 , Sea f ( x ) = 2x4 - 3x3 ~ 5 x 2 + 6x -1 0 . Hallar:
<P(*) = ^ [ / W + /(-* )] y ¥(x) = [ f ( x ) ^ f ( - x ) ]
23 La función f(x), determinada en el campo simétrico -1 < x < 1, se denomina par sí f(-x) = f(x) e impar sí f(-x) = -f(x). Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cuales impares:
a) f ( x ) = ^ ( a x + a x )
Desarrollo
Como /(x ) = — (ax +a x) => f ( - x ) = - ( a x +ax)2 2
Luego f(x) = f(-x) => f(x) = —(ax + a x) es par2
b) f ( x ) = yjl + x + x 2 - y j l - x + x2
Desarrollo
/(x ) = V1 + x + x 2 - V l - x + x2
f ( - x ) = V\ - x + x2 - \ll+ x+ x2 = -(V l-x + x2 - Vl + X + X 2 ) = - / (x)
como: f(-x) = -f(x) => f(x) es impar
14 Eduardo Espinoza Ramos
c) f ( x ) = l](x + l)2 +l j( x - l )2
Desarrollo
Como f ( x ) = %¡(x +l)2 +%[(x-l)2 , entonces:
/ ( - * ) = ^/(-x +1)2 +t]( -x - l )2 = t ¡ ( x - 1)2 +í](x + l)2 = f (x )
Luego f(-x) = f(x) entones la función f(x) es par.
d) f ( x ) = log(” ~~)1- xDesarrollo
Como f (x ) - log(————) => f ( - x ) = log(—— ) - -log(----- ) - ~ f (x)l - x l + x l - x
Como f(-x) = -f(x) => la función es impar
24 Demostrar que cualquier función f(x), determinado en el intervalo -1 < x < 1, puede representarse como la suma de una función par y otra impar.
Desarrollo
A la función f(x) escribiremos así: f ( x ) = f (x) + — / (-x) - — f (-x)
f (X) = i / (*) + i f ( -x ) + i f ( x ) - i f ( - x )
/(* ) = i ( / ( x ) + f { - X )) + |(/(JC ) - f ( - x ) )
definiremos la función: J\(x) = ~( f ( x ) + f (-x)) que es par, es decir:
ahora definiremos la función f 2 (x) = ~ ( / ( x) - /( -x )) que es impar, es decir:
f 2(-x) = ^ ( f ( - x ) - f ( - ( ~ x ) ) = - ^ ( f ( x ) ~ f ( - x ) ) = - f 2(x) =* f 2(x) es
impar
por lo tanto /(x ) = / , (x) + / 2(x) es la suma de una función par y otra impar.
25 Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es unafunción par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una función impar.
Desarrollo
Sea f ( x ) — / j ( x ) . /2(x) donde / , (x) y / 2(x) son funciones pares por demostrar que / (x ) = / ,(x ) . /2(x) es par como / , (x) y / 2(x) son pares.
í f \(-*) = fi (x)
\ f 2(-x) = f 2(x)
f (~ x ) = ( /i . / 2 )(-*) = / , ( -x ) ./2 (-x) = / , (x )./2 (x) = / (x ) entonces
f ( x ) = f l (x) .f2(x) es par.
Si g(x) = g i(x).g2(x) donde g¡(x) y g2(x) son funciones impares por
demostrar que g(x) = gj(x).g2(x) es par
ígi(-x) = - g 1(x)Como g|(x) y g 2(x) son impares => <
g(~x) = gi(x).g2(x) = g(x) => ^(jc) = g jW .g 2(jr) es par
26 La función f(x) se llama periódica, si existe un número positivo T (periodo de la función) tal que f(x + T) = f(x) para todos los valores de x pertenecientes al campo de existencia de la función f(x). Determinar cuales de las funciones que se enumeran a continuación son periódicas y hallar el periodo mínimo T de las mismas.
a) f(x) =10 sen 3x
Desarrollo
Como f(x) = 10 sen 3x => f(x + T) = 10 sen (3x + 3T)
2 nComo sen x = sen (x + 2ti) => 3T = 2n => T = —3
Luego f(x)=10sen3x es periódica y T = ~
b) f(x) = a scn(Xx) + b cos(Xx)
Desarrollo
Sea f(x) = a sen (A.x) + b eos (A,x) entonces:
F(x + T) = a sen (kx + A.T) + b eos (Xx + X.T)
Como sen x = sen(x + 2n) y eos x = cos(x + 2n) de donde
XT = 2n => T = —A
por lo tanto f(x)=a sen(A.x)+ b cos(A,x) es periódica, donde el periodo
16 Eduardo Espinoza Ramos Introducción al Análisis 17
c) f {x) = JtgxDesarrollo
f (x) = sjtgx => f ( x + T) = yJtg(x + T)
Como tg x = tg(x + 7t) => T = Tt
Para que f(x) = f(x + T), luego: f (x) = yjtgx es periódica con T = jc
d) f ( x ) = sen2xDesarrollo
Se conoce que sen (x + n) = sen x. eos n + eos x. sen Jt = - sen x
De donde sen2 (x + n) = sen2x de donde:
f(x) = f(x + 7t) entonces la función / (x) = sen2x es periódica con periodo T = Jt.
e) f (x) = sen(y[x)Desarrollo
Se conoce que \fx ¿ J x + y¡T para T * 0
Luego f (x) = sen(y[x) => f ( x + T) = sen(s¡x + T)
Por tanto f(x) # f(x + T) la función: f ( x ) = sen(-ix) no es periódica
27 Expresar la longitud del segmento y = MN y el área S de la figura AMN como función de x = AM construir las gráficas de estas funciones.
18 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
En el A ADE, “x” varia desde A hasta E, es decir:
0 < x < c, por semejanza de triángulos tenemos:
A AMN ~ A ADE, de donde: - = - => y = — para 0 < x < c, ahorab e c
veremos para los “x” que varia desde E hasta B, c < x < a se tiene y = b,
luego: y =— x para 0 < x< c c
b para c < x< a
c xyahora veremos para el área S de la región sí 0 < x < c => 2
b *yPero y = — x , reemplazando se tiene: S = — sí 0 < x < cc 2
beSi c < x < a => S = b x —— , para c < x < a La gráfica es:
_
Introducción al Análisis 19
28 Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de longitud) de una barra AB = 1, en sus porciones AC = / , , CD = Z? y DB = l3,
(/, +12 +13 - i) son respectivamente iguales a: q x , q2, q3, expresar la masa
m de una porción variable AM = x de esta misma barra, como función de x, construir la gráfica de esta función.
Desarrollo
A ^A *------------- ---------------------------------*B___M
Consideremos primero: P = ~y => m = lp
Luego sí 0 < x < /, entonces m = x.q{
M
Sí ll < x < l l +l2 => m = l¡q¡ + q2( x - l ¡ )
ll C M A *------ ----- • ---------- • ------------ «B
38 Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores negativos de la función y; si:
a) y = 1 + xDesarrollo
Para que y = 0 se tiene que 1+ x = 0 => x = -1, luego y = 0 cuando x=-l
El campo de valores positivos es cuando y > 0, es decir 1+x > 0 => x > -1
y el campo de valores negativos es cuando y <0 es decir 1+x < 0 => x < -1
Luego y<0 , cuando x < - l
b) y = 2 + x - x 2Desarrollo
Para que y = 0 se tiene que 2 + x - x 2 = 0 , de donde: x = -1, x = 2, luego: y = 0, cuando x = {-1,2} y para los valores positivos y > 0 se
tiene: 2 + x - x 2 >0 =* x 2 - x - 2 < 0 => (x - 2)(x + 1) < 0, de donde se tiene:
-1 2
Luego x e <-l,2>. Entonces: y > 0 cuando x e <-l,2> y para losvalores negativos y < 0 se tiene: 2 + x - x 2 <0 => x 2 - x - 2 > 0
(x - 2)(x + 1) > 0, de donde se tiene:
+ \ X +
-1 2
26 Eduardo Espinoza Ramos
Luego x e <-°°,-l> U <2,+°°> entonces:
y < 0 cuando x e <-oo,-l>U<2,+°°>
c) y = 1 - x + x 2Desarrollo
7 1 ± y¡3 i , 3Para que y = 0 se tiene que 1 - * + * = 0 de donde * = — - — , luego ñ
xe R tal que y = 0. Como las raíces no son reales entonces:
l - ^ + x2 > 0 , V x e R => y > 0 para -°°< x < +°°
d) y = x 3 - 3 xDesarrollo
Para que y = 0, se tiene x3 - 3x = 0 , de donde: x = -y¡3 , x = 0, x = V3
Luego y = 0 cuando x = {-V3,0,\/3)
Para y > 0, se tiene x3 - 3 x > 0 =* x(x-V3)(x + \¡3) > 0
Luego x e < -y¡3,0 > U < y¡3, +°° >, entonces:
y > 0 cuando xe< -> /3 ,0 >U <y¡3,+°°>
para que y < 0, se tiene que x 3 - 3x < 0 => x ( x - V 3 ) ( x + \ / 3 ) < 0
x e< —°°,y¡3 > U < 0,y¡3 >
Introducción al Análisis 21
S o s
Luego x e < \¡3 >U < 0, \¡3 > entonces:
y < 0 , cuando ;ce<-oo;>/3 > í/< 0 ,> /3 >
e) y = log(———)1 + x
Desarrollo
2xPara que y— 0, debe ocurrir:----- = 1 de donde x = 1, luego: cuando x =1
1 + x
2 yPara que y > 0 ocurrirá cuando----- > 1
x + 1
x - \---- - > 0 => (x - l)(x + 1) >0x + l
2xx+ l
— 1 > 0 de donde:
luego x e <-oo,-i>u<l,+°o>
2xpara que y < 0 debe ocurrir que 0 < ----- < 11 + x
dedonde 0<2x(l + x)<( l + x)2 0<2x(l + x) a x 2 <1
. -1 0
luego x e <0,1 > entonces: y < 0 cuando x e <0,1 >
Eduardo Espinoza Ramos
Hallar la inversa de la función y, si:
a) y = 2x + 3 b) y = x2 - l
c) > = \A -* 3 d> y -
e) y = arctag(3x)
¿En qué campo estarán definidas estás funciones inversas?
Desarrollo
a) Como y = 2x + 3, esta función está definida en -<*> < x < +°°, despejamos
x es decir:
* = — (y —3), -»o < x < °° como x =—(y —3) => -°° < — (y — 3) < +°°2 2 2
- o o < y — 3 < + ° ° = > - o o < y < + 0 0
Entonces: x = —( y - 3 ) , -oo<y<+oo2
b) y = x 2 - 1 está definida en - o o < x < +°°
x2 = y + 1 => x = ±yfy + l para x = J y + l se tiene:
0 < -Jy + 1 <°° de donde -oo < x < +°°
para x = J y + l se tiene -°° < -yjy + l < 0 de donde: -1 < y < +~
luego x = y[y + l y x = y[y + l para - l < y< + ° o
c) y = s l l - x 3 , en forma análoga al caso anterior: x = l ] l - y i , - o o < y < +°°
Introducción al Análisis 29
X xd) y = Iog(—) está definida para x > 0 como y = log(—)
2 2
=> x = 2.10v como x > 0 => 2.10v >0 => 10v >0
- o o < y < + o o entonces: x = 2 .10 V para . - o o < y < + o o
e) y = arctg 3x, en forma análoga a los casos anteriores.
. - 1 n ny = arctg3x => x = - t a g y ; para ~~^< y <~
\x si x < 040 Hallar la inversa de: y = < ,
[.v si x > 0
Desarrollo
Sí x < 0 => y = x => x = y para -°°<y <0
Si x > 0 '=» y = x 2 => x = y[y para y > 0
Luego x = [ ) ’ S Í - oo < y < o
yfy si 0 < y < +oo
41 Escribir las funciones que se dan a continuación en forma de cadena de igualdades, de modo que cada una de los eslabones contenga una función elemental simple (potencial, exponencial, trigonométrica, etc.).
a) y = (2 x -5 )10Desarrollo
Como y = (2 x -5 )10 => y = u'c donde u = 2 x - 5
b) y = 2cosxDesarrollo
30 Eduardo Espinoza Ramos
Como y = 2COSJC =¿> y = 2“ , donde u = eos x
xc) y = \og(tag-)
Desarrollo
JC xComo y = log(tag —) => y = log(u) donde u = tg(v) y v = ~2 2
d) y = arcsen(3~* )Desarrollo
Como y = arcsen(3~x ) => y = aresen u de donde u = 3' y v = -x~
42 Escribir en forma de una igualdad las siguientes funciones compuestas, dadas mediante una cadena de igualdades.
a) y - u 2 ; u = sen xDesarrollo
o 2Como u = sen x, y = w~ => y - s e n x'
b) y = arctg u, u=y¡v , v = log x
Desarrollo
Como u — y/v => y - arctg \fv donde v = log x
Entonces y = arctg( x j log a )
í 2 u s i u < 0 tc) y = < u = x - 1
' [ 0 s i u > 0
Desarrollo
Para u < 0 =* a2 - 1 < 0 => a 2 < l =* - l < x < l => | x | < l
Introducción al Análisis 31
para u > 0 = > a 2 > 1 = ^ | x | > 1
luego como u = x2 — 1 se tiene: y = i ^ X ^ St x ~ ^> [ 0 si | x | > l
43 Escribir en forma explícitas las funciones y, dadas por las ecuaciones:
a) a 2 - arccos y = n b) 1 0 Jt + 1 0 )' = 10
c) x + | y | = 2y
Hallar los campos de definición de las funciones implícitas dadas
Desarrollo
a) a 2 - arccos y = n => arccos y = x 2- n
y = c os(a2 - tc) = eos x 2 .c o s k + s e n x 2 .sen k
y = - c o s a 2 para 4 k < \ x \ < y [ l K
b) 1 0 * + 10* = 10 = > 1 0 y = 1 0 - 1 0 * = > y = l o g ( 1 0 - 1 0 * ) , - ° ° < x < l
1 2 . REPRESENTACIÓN GRÁFICA~DE LAS FUNCIONES ______ELEMENTALES.-_________________________________________
La construcción de las gráficas se hace mediante una tabulación y enseguida uniendo dichos puntos.
Si partimos de la gráfica y = f(x) con ayuda de construcciones geométricas elementales obtendremos las gráficas de las funciones:
1 y i = -/(•*) * que es la representación simétrica de la gráfica respecto aleje OX.
32 Eduardo Espinoza Ramos
2 y 2 = f (—x ) , que es la representación simétrica de la gráfica respecto al eje OX.
3 y i = f ( x - a ) , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OX en la magnitud a.
4 y4 = f ( x) + b , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OY en la magnitud b.
Haremos una representación de todo esto.
Construir las gráficas de las funciones lineales (L. Recta)
44 y = kx sí k =0,1, 2, — ,-1 ,-22
Como y = kx
O1!M
=> II o
II¿4 XII
k = 2 => y = 2x
2=>
Xv = — 2
iII¿4 => XiII
k = -2 y = -2x
Desarrollo
Introducción al Análisis 33
45 y = x + b, sí b = 0, 1,2,-1,-2
Desarrollo
b = 0 XII>>
b = 1 => y = x + 1
b = 2 => y = x + 2
b = -1 y = x - 1
b = -2 => II X 1 NJ
46
47
y = 1.5x + 2
X y0 2
1 3.5
2 5
Desarrollo
Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2do grado (parábola).
? 1y - a x , sí a = 1, 2,— ,-1,-2,0
2
Desarrollo
Para a = 1 y = *
34 Eduardo Espinoza Ramos
X y0 0
± 1 i
± 2 4
48 y = x 2 +c sí c = 0,1,2,-1
49 y - (x - jc0 )2, sí x 0 = 0, 1, 2,-1
Desarrollo
Introducción al Análisis 35
50 y = y0 + ( * - l ) 2,si y0 =0, 1, 2,-1
Desarrollo
51 y =ax2 +bx + c sí: 1 a = l b =-2 c = 3
2 a = -2 b = 6 c = 0
Desarrollo
1 Para a = 1, b = -2, c = 3 se tiene y = x 2 - 2x + 3 de donde
y = ( x - l ) 2 +2
2 Para a = -2, b = 6, c = 0 se tiene y = - 2 x 2 + 6x
y = - 2(x2 - 3 x + ^ ) + ^ =* y = - 2 ( x - | ) 2+ ^
36 Eduardo Espinoza Ramos
52 y = 2 + x - x 2. Hallar los puntos de intersección de ésta parábola con el eje OX.
Desarrollo
Para encontrar los puntos de intersección con el eje X debe ocurrir y = 0 es
decir 2 + x - x 2 =0 de donde x 2 = - x - 2 = 0 => (x - 2)(x + 1) = 0 luegolos puntos de intersección con el eje X es: x = -1, 2
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES ENTERAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO
53 y = x 3 (parábola cúbica)
Desarrollo
X y0 0
1 i
-1 -i
2 8
-1 -8
Introducción al Análisis 37
54 y = 2 + ( x - l ) 3
Desarrollo
X y0 i
1 2
-1 -6
55 y = x 3 - 3 x + 2Desarrollo
X y0 21 02 4-1 4-2 0-3 -153 20
56 y = x4
Desarrollo
X y
0 0
± 1 i
± 2 116
x +
38 Eduardo Espinoza Ramos
57 y = 2x2 - x 4Desarrollo
y - 2 x 2 - x 4 => y = - ( a 4 - 2 * 2 + 1 ) + 1 => y = l - ( j c * - l ) 2
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES HOMOGRÁFICAS SIGUIENTES (Hipérbolas)
xDesarrollo
X y-1 -i
1 i
Desarrollo
x y0 i1 22 3-1 1
2
Introducción al Análisis
60 y =x - 2x+2
Desarrollo
x - 2 4>’ = — - => )’ = 1 “x+ 2 x + 2
mx - x 0
Desarrollo
62 2x- 3 3x + 2
v — •2x - 3 3x + 2
Eduardo Espinoza Ramos
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES RACIONALES FRACCIONARIAS.
y - x + — x
Desarrollo
y = jc + —, su dominio es R — {0} y una asíntota vertical es en x = 0 no tiene x
asíntota horizontal.
X i -1 1
2
1
2
3 -3
y 2 -2 52
52
10
310
3
Y ' 1 1 t 1
2
V t \ / \ / x /i
-1iii... , --------
11 1 X1
/ ^ - \ ~ -2/ \/ \ / » 1
y =
y =
JC+lDesarrollo
2 1x - - => y = x - l +------, una asíntota vertical es en x = -1, no tiene
jc + 1 x + l
asíntota horizontal.
X i
~20 1 2 3
2-2 3
2y 1 0 1 1 9 -4 9
2 2 2 2 2
n Y 1 1 \1 \1 v! V
/////1-1l1i
0 X
1 -4/. \ |1 ‘l'i
Desarrollo
Introducción al Análisis
En x - 0, se tiene asíntota vertical, en y = 0, se tiene asíntota horizontal.
66
X ± i i + 2 + 3+ _2
y i 4 1 14 9
y=-
Desarrollo
En x 0 se tiene una asíntota vertical, en y = 0, se' tiene una así horizontal.
X+ 1
2
± 1 ± 2 ±3
y ± 8 ± 1± 1
8+—
27
10«7 y = —— (curva de Agnesi)* +1
Desarrollo
X 0 ± i ± 2
y 10 5 2
2xy = —=— (Serpentina de Newton)
x +1
42 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
69
70
X 0 ± i ± 2 ±3
y 0 ± i± 1
5+ 2
5
1y = * + —2"X
Desarrollo
En x = 0 se tiene asíntota vertical
X i -1 2 -2 1+—• 2
y 2 0 9 7 92 2 2
9 1y = x +— (Tridente de Newton)x
Desarrollo
En x = 0 se tiene asíntota vertical
X i -1 2 -2 3 -3± 1 -
2
1
2
1
31
2
y 2 0 92
72
283
263
94
74
289
283
Introducción al Análisis
71
72
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIO IRRACIONALES SIGUIENTES:
y = yfxDesarrollo
y = yfx está determinado para x > 0
X 0 i 4 9 ’6
y . 0 i 2 3 4
y = </xDesarrollo
X 0 ± i ±8 ±27
y 0 ± i ± 2 ±3
(parábola de Neil)
Desarrollo
X 0 ± i ±8
y 0 i 2
7 4 / = ± W j r (parábola semi-cúbica)
Desarrollo
44 Eduardo Espinoza Ramos
75
X 0 1 3 / 4 7 9
y 0 ± 1 ± 2 ± 3
y = ± ^y ] 2 5 -x 2 (elipse)
Desarrollo
76 y = ±4x2 -1 (hipérbola)Desarrollo
' = ±4x2 - \ x2- y 2 =\
X ± i ± 2 ± 3
y 0
+i
too+1
7 Ï7 7Desarrollo
Introducción al Análisis
78
79
3 ’ = ± A4 - j c
(Cisoide de Diócles)
Desarrollo
X 0 1 2 3
y 0 ±2 i+• i
■ ±x\¡25 - x (para el estudiante)
80
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO TRIGONOMÉTRICAS
y = sen xDesarrollo
81 y = eos xDesarrollo
Y
46 Eduardo Espinoza Ramos
82 y = tg x
X 0
2
± K
£1
«+
i
y 0 o o 0 o o
X 0+ 1
2
± 71
2
y o o 0 OO 0
y = ctg xDesarrollo
83
84 y = see x
X 0
2± n ± 2n
y i OO - 1 1
Introducción al Análisis
85 y = esc xDesarrollo
86 y = A sen x, sí A = l, 10, - , - 22
Desarrollo
Si A = 1 =* y = sen x, su gráfico es:
X 0+ £
2
± n
£1
™-H ± 2 n
y 0 ± 1 0 ± 1 0
Si A = 10 => y = 10 sen x, su grafica es:
48 Eduardo Espinoza Ramos
x 0 ± n2
± 3£2
y 0 0 ± 1 ± 1
87 y = sen (nx), sí n = 1, 2, 3, —
Desarrollo
Si n = 1 => y = sen x es similar al ejercicio 86,
Si n = 2 =* y = sen 2x su grafica es:
X 0
4+ -
2
+i
± 7 1
y 0 ± 1 0 ± 1 0
Introducción al Análisis
En forma similar para n = 3, —2
88 y = sen(x-<p) sí <¡¡> = - 0,—,— ,?r2 2 4
Desarrollo
y - sen (x - <p) _ sen x. eos <p - eos x. eos cp =* y = sen x. eos <p - eos x. c
para <p = 0 se tiene y = sen x el gráfico es el mismo que el ejercicio 86.
Para cp = —, y = - eos x. Su
X 0
2
± n
y - i 0 ± 1
En forma similar para w = — , n ----2 ’ 4
89 y = 5 sen (2x - 3)Desarrollo
„ 3x ~ x 2 ^ y —5 sen 2x' donde el origen del nuevo sistema es (
Y el gráfico se hace en forma similar al ejercicio 87.
N> | U
>
50 Eduardo Espinoza Ramos
90 y = a sen x + b eos x, sí a = 6, b = -8
Desarrollo
Para a = 6, b = -8, se tiene y = 6 sen x - 8 eos c. Su gráfico es:
X 0+ —
2
± n +!
± 2 n
y -8 ± 6 8 -6 -8
91 y = sen x + eos xDesarrollo
X 04
K 3 K n 5/r i 3;r In 271 9zr n2 4 2 2 4 4 4
y i 4~2 1 0 -1 -J2 -1 0 1 4~2 0
Introducción al Análisis
Desarrollo
X 0± *
2
± 71
y i 0 1
y = x + sen x
Desarrollo
X 02
± 7 t
23 n ~2
± 2n
y 0+ £
20 3 K
~2371Y
0
95 y = t g 2x
Desarrollo
52 Eduardo Espinoza Ramos
X 0
1+ 13
± —2
+ —4
± n
y 0 1 + 1 0
96 y = 1 - 2 cos x
Desarrollo
X y0 -i
l+
i
± 7 t 3
1+ | ^ -0.41
97 y = se n x --se n 3 x
Desarrollo
X i
Introducción al Análisis
X 0 , n ± n 3 iz+ — + —2 2
y 0 ± 1.33 0 + 1.33
DesarrolloX 0 , K 3x
+ — + —2 2
y 3 1 -0.7172 2
54 Eduardo Espinoza Ramos
99 y = cos(—) x
Desarrollo
X i
31
31 -1 1
41
4y -1 1 -1 -1 1
41
4
100Desarrollo
y - ±yjsen x , sen x > 0 => x e [0,7t] U [2ny3n].... [-2n,-n]
Introducción al Análisis
CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
101 y - a x sí a = 2, e2
Desarrollo
Sí a = 2 => y = 2X
X V0 11 2-1 1
32 4-2 1
4
Desarrollo
X V0 1
1 1
2-1 22 1
4-2 4
102 y = logílx sí o = 10, 2 , —, e2
Desarrollo
Sí a =10 => y = log10 * => x = ÍO3'
Eduardo Espinoza Ramos
X y1 0
1 0 i
1
1 0
- i
103 y = sen hx, donde senhx = ~ (ex - e x)
Desarrollo
X y0 0
1 e - e l2
- 1 e~x - e2 .
104 y = eos hx; donde coshjc = - ( e Jf +e x)
Desarrollo
X y0 i
1 e —2
-1 e + e~l 2
Introducción al Análisis
105 y = tg hx, donde tghx =cosh x
Desarrollo
cuando x -»+<*>, y 1
x —> , y -» -1
i106 y = 10*
Desarrollo
X y1 10-1 1
101 1002
1 1 12 100 I
- x2y - e (curva de probabilidades)
Desarrollo
X y0 i± 1 i
e±2 1
4e
58 Eduardo Espinoza Ramos
108 y = 2 x2Desarrollo
L i 1y = 2 x2 = —— => y = —— > cuando x —» 0 , y —» 0
2? 2/
X 0 ± 1 ±2 ± 3 ± 4
y 0 12 \í2 fe
1
'$2
1 0 9 y = logx2Desarrollo
x 2 > 0 => x e U <0,+°°>
* ± 1 ±2 ±3 ± 4 a2
+ I3
+i4
y 0 Log 4 Log 9 Log 16 - log 9 - log 16
Introducción al Análisis
110 y = log2 x
Desarrollo
y — (log x)2 está definida para x > 0
X 1 2 3 1 1 .2 3
y 0 (log 2)2 (log 3)2 dog2)2 (log 3)2
111 y = log (log x)Desarrollo
y = log (log x) está definido para log x > 0 => x > 1
v = --------logx
Desarrolloi
V = ------ esta definida para x > 0, x * 1logx
60 Eduardo Espinoza Ramos
X 0.2 0.5 1 2 3 4y -0.625 -3.325 - o o 3.32 2.09 1.66
113 y = log(—) x
Desarrollo
y = log(—) está definido sí —>0 => x > 0 x x
x i 2 3 4 5 0.5 0.4y 0 -0.3 -0.47 -0.60 -0.69 0.3 0.9
114 y = log(-x)Desarrollo
y = log (-x) está definido sí -x > 0 => x < 0
Introducción al Análisis
x i2
0 -1 -2 -3
y -0.3 -oo 0 0.3 0.48
115 y = log2(l + x)Desarrollo
log2(l + x) = log2 10.1og10(l + x)
x -î 0 1 2 3 4 5y - o o 0 0.9 1.5 1.9 2.3 2.5
116 y = log (cos x)
Desarrollo
* X
62 Eduardo Espinoza Ramos
y = log (eos x) está definido sí eos x > 0. entonces
2n + l .. 2n + l xe<27tn, -----------------ti >U < --------------------jz,2nn>
u n . . 3n 571x e < — , — > U < — ,— > U...
2 2 2 2
11) y = 2 x sen xDesarrollo
X 0 71 n + 3tt 2n K -n 3n -2n
2 2 2 2
y 0 0.33 0 -0.038 0 -2.97 0 0.038 0
Y
Introducción al Análisis
1 1 8
1 1 9
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC TRIGONOMETRICAS INVERSAS
y = aresen x
Desarrollo
El dominio de y = aresen x es [-1,1]
Z TíEl rango de y = aresen x es [ - —,—]2 2
X -i
2
0^ 2
. 2
1
y n 71 0 7t n
2 4 4 2
y = árceos x
Desarrollo
El dominio de y = árceos x es [-1,1]
El rango de y = árceos x es [o,7t]
X y-1 K0 71
21 0
En forma análoga para las demás funciones el cual damos su gráfico.
120 y = arctgx
Desarrollo
64 Eduardo Espinoza Ramos
121 y = arctg x
X y0 71
2
oo 0
o o n1 71
4
122 y=-arcsen —x
Desarrollo
Introducción al Análisis
1 1y — arasen — => sen y = — x x
-1 < sen y < 1 =» => x € <-°°,l] U [l,+°°>
123 y = arccos — x
Desarrollo
y -arccos— => c o s v = — como -1 < cos y < 1* Jt
- l < i < l => x e < - o o , - i ] u [ l , + o o >
124 y = x + arctg x
X 0 X + o o X — » - O O
y 0 y —> +oo X - » + 00
66 Eduardo Espinoza Ramos
125
126
CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
y = |x |Desarrollo
Se conoce que: |„v|=
Sí x > 0
x <0
y = x
y = -x
X y0 0
± 1 1± 2 2
± 3 3
.TC > 0x < 0
Y
/ y = |x|X.1 \1 \1 X 1 • \1 » \
// I / I--- ~A I
/ 1 1 / 1 / i i -
-2 -1 0 1 2 X
y = ^ (x+\x \ )
Desarrollo
Si x > 0 => | x | = x, Luego y = ^( x+ \x \ ) = ^ { x +x) - x
Si x < 0 => | x | = -x, Luego y =-^-(.x+|*|) = — (x -x ) = 0
y = x
y = 0
Introducción al Análisis
127 a) y = x | x |Desarrollo
Si x > 0 => | x ¡ = x, pero
y - x \ x \ - x ( x ) = x 2 =$ y = x 2 p a r a x > 0
y = x \x\-~x(-x) = - x 2 => y = - x 2 p a r a x < 0
b) 3' = logv5|x|
Desarrollo
yy — los ^ 2 1* I <=> * = (V2)v =» \ x \= 22
ypara x > 0 = > | x | = x => jc = 22
2x <0 => | x | = -x => - x = 2 2
X y± 1 0± 2 2± 3 ln3
ln2
+ i2
-2
± 14
-4
128 a) y = sen x + | sen x |
Desarrollo
Se conoce que y = sen x tiene por gráfico:
68 Eduardo Espinoza Ramos
Si x e [0,7t] => | sen x | = sen x
Como y = sen x + | sen x | = 2 sen x para x e [O.rcj
Sí x e [Ji,27t] => | sen x | = - sen x => y = 0
Generalizando para n € Z consideramos el intervalo [n7t,(n +l)rc]
Si n es par | sen x | = sen x
Si n es impar | sen x | = - sen x
Í2senx para n par cuando x e [nnAn + \)n\Luego y — \
[ 0 para n impar cuando xe< nn,(n + \)K\
b) y = sen x - 1 sen x | en forma similar el ejemplo (a).
Introducción al Análisis
129 y =3 - x 2 para ¡x|<l 2
-—: para | x | > l
Desarrollo
Si | x | < 1 => -1 < x < 1
| x | > 1 => x > l v x < -1
además x > l => |x | = x a x < - 1 |x | = -x
Luego y —
3 - x 2 para - 1 < x < 12— para x > 1 x
— para x < -1 x
130 a) y = [x], b) y = x - [ x ]
donde [x] es la parte entera del número x, es decir, el mayor numero er menor o igual a x.
Desarrollo
a) y = [x] = [n]=> n < x < n + l , n e Z
70 Eduardo Espinoza Ramos
Sí 0 < x < 1 => y = 0
l < x < 2 = > y = l y
2 < x < 3 => y = 2
-1 < x < 0 => y = -1 -----------—------------O.
-2 < x < -1 => y = -2
-3 < x < -2 => y = -3
b) y = x - [x], [x] = n => n < x < n + 1, neZ
Sí 0 < x < 1 y = x
1 < x < 2 => y = x - 1
X
-3 < x < -4 => y = x + 3
-4 < x < -5 => y = x + 4
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EN EL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES (r, (p) (r > 0)
■iff*131 r = 1 (circunferencia)
Desarrollo
Se conoce que x = r eos 9 , y = r sen 0
Introducción al Análisis
r - yfx2 + y 2 , 0 = arctg —X
como r = 1 y r = j x2 +y 2 t luego. J x2 + y 2 = l ^ ^(circunferencia)
<pr ~ — (espiral de Arquímedes)
DesarrolloY
r - e 9 (espiral logarítmica)Desarrollo
72 Eduardo Espinoza Ramos
tp r0o 1
K re
6 e 6
7 1 6
~ ~ 6e K
7 1 n
~4 e 4
7 t 4
~ 4 C*
7 1 JC
~2 e 2
7 1 6
~~2 e”
134 r = — (espiral hiperbólica)4
Desarrollo
«P 0o ± —6
i+ 2± 71
r ± 6 ±4 ± 2 ± 1
135 r = 2 eos cp (circunferencia)
Desarrollo
Se sabe que: x 2 + y 2 = r 2 , x = r eos cp, coscp = -
Como r = 2cos<p => r = — , de donde r2 = 2x => x l + y ¿ - 2 x
X +
Introducción al Análisis
Luego * 2 - 2 x + y 2 =0 => (x2 - 2 x + l) + y 2 =1
(x - 1)' + y2 = 1 circunferencia de C( 1,0) y radio 1
136 r = —-—sen(p
Desarrollo
Se conoce que y = r sen cp => sencp = — Yr
Como r = ------ => r = — => r = —1
sencp y yr
Como r * 0 y = 1 0 X
137 r = sec2 ^ (parábola)
Desarrollo
sec‘ ^ = —------ pero x = reos— de donde eos— = —2 2 <¡P 2 I reos — z '
2
2 9 1 1 r2como r = sec ^ => r = -------- = _ _ de donde r = — => a 2 = r2 2<P X r2eos — _ ■*
2 r 2
Eduardo Espinoza Ramos
para r^O, además r = yjx2 + y2 => x 2 + y ~ - r~
luego: -x4 - x 2 = y2 . Sea: x,2 = x4 => x , = x 2 además y2 = y,
Entonces: x,2 - x, = v¡
2 1 1Completando cuadrados se tiene: xt - xx + —- yx +—
( x , ) 2 = (y, + —) parábola de vértice V(— y se abre hacia arriba
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA
141 x = í 3, y - i 2 (parábola Neil)
Desarrollo
t x y0 0 01 1 i-1 -1 i2 8 4-2 -8 4
142 x = 10cost , y = sen t (elipse)
Desarrollo
x2x = 10c os t => cos2/ = ----100
y = sent => sen2t = y 2
x 2 x2eos2t + sen2t =---- + y 2 de d o n d e ------ l-;y2 =l (elipse)
Y
-1
78 Eduardo Espinoza Ramos
143
144
x = lOcos3/ , y - \ 0 s e n 3t (astroide)
Desarrollo
j x = lOcos /
|y = 10 sen3t
3 x COS t -----10
3 ysen t = — 10
2 2. x ^ . y .
eos2 1 = (—)3 10
sen2t - (—)3 10
sen í + eos í = (—)3 +(—)3 de donde 10 10
2 2 2 2 2 1 = (_L)3+ ( _L)3 => x 3 + y 3 = 1 0 3
10 10
x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t) (desarrollo del circulo)
Desarrollo
x = a(cost + tsent) y = a(sent-tcost)
—T- = cos2 t + 2t cos t sent +12 sen21 a2
2= sen2t - 21 cos f sent + 12 eos2 í
a"
í x - a(eos t + tsent) envolvente (desarrollo de la circunferencia <
[y = absent — tcost)
Introducción al Análisis
145 x = - at{ + ?
Desarrollo
y = -
atr ¡ 7at2
1 + f3
1 + r at x a at yLuego: — = — => — = /
1 +1 at x y xt
Como: x = at 1 + í3
« (Z )X — '
ax3 y3 3 => x 3 + y 3 - a x y ■
1 + jc(jc + y )
146 x =4 ^
Desarrollo
80 Eduardo Espinoza Ramos
atx =
Ví y =+ t Vi+ r
t 0 ± 1 ±2 ±3
X a a a aV5 V5 Vio
y 0 a 3a¿ V2 _ Vio
147 x = 2‘ +2~‘ , y - 2 ' - 2 1 (rama de una hipérbola)
Desarrollo
t 0 1 -1 2 -2
X 2 5 5 17 172 ? 4 4
y 0 3 3 15 152 2 4 4
148 jc = 2eos2 i ; y - 2 sen2t (segmento de recia)
Desarrollo
|x = 2cos t
[y = 2 sen't
X ?— = COS t 2y 2— = sen t
x y i 2— + — = sen t + eos t2 2
- + ¿ = 12 2
x + y = 2
Introducción al Análisis
149 x = t - t ¿, y — tDesarrollo
t 0 i -i 2 -2 3 -3X 0 0 -2 -2 -6 -6 -12
y 0 0 2 -4 12 -18 27
150
CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS FUNCIONES DADAS EN FO IMPLÍCITA
151 x2 + y 2 =25 (circunferencia)
Desarrollo
* = a(2cos?-cos2 2t ) , y = a(2 sen t - sen 2t)
Desarrollo
82Eduardo Espinoza Ramos
152 xy = 12 (hipérbola)Desarrollo
X y± 1 ± 12
± 2 ± 6
±3 ±4±4 + 3± 6 ± 2
0 o o
153 y 2 =2x (parábola)
Desarrollo
X y0 0
i ± i22 ± 29 ±328 ± 4
x2 v2154 + — = 1 (elipse)100 64
Desarrollo
Introducción al Análisis
y = 0, x = + 10
Y8
OO+1II>>OIIX
-io( 0
-8
(100 - X 2)Desarrollo
Sea w = y 2, z - x 2
y 2 — lOO.v2 — a'4 => w = \0 0 z - z2 => w = - (z 2 - lOOz)
completando cuadrado se tiene: w - 2500 = ~(z + 25)2
2 2 2
156 jc3 + v 3 = a 3 (astroide)
Desarrollo
x = 0 , y = ± a
y = 0 , x = ± a
10 x
V(-25,250(
84 Eduardo Espinoza Ramos
157 x + y = 10 log yDesarrollo
Para y > 0, log y está definida:
x = 10 log y - y, aquí damos valores arbitrarios para y donde y > 0.
X -i-1 0 1 o g 2 -l
10 log 2 - 2
y i 12
2
158 x — eos yDesarrollo
x 2 = eos y => y = árceosx 2
¡—----------- — arctg—159 \¡x + y = e x (espiral logarítmico)
Desarrollo
x = rcosO y = rsend
(~)2 = eos2 9
(^ )2 = sen2 6
x 2 + y 2 = r2
Introducción al Análisis
tgO = — => 9 = arctg —x x
—__ yf~~Z T a rc tg—Como yjx~+y =e x
r = e0 en coordenadas polares
160 x 3 + v3 - 3x>' = 0 (folio de Descartes)
Desarrollo
Pasando a coordenadas polares se tiene:
r 3 eos3 9 + r3sen39 - I r 2sen9 cos0 = 0
r 3 eos3 9 + r3sen39 = 3r2sen9 eos 9
3 sen9 eos 9r =---- r---------7 -
cos 9 + sen 9
161 Hallar la formula de transición de al escala de celsio (C) a la de Fahrenheii si se conoce que 0°C corresponde a 32°F y 100°C a 212°F- Construir la gr de la función obtenida.
Desarrollo
Para 0°C => 32°F
100°C => 212°F => (0,32), (100,212)
Sea F = me + k => 32 '= m(0) + k =í> k = 32
+
x = r eos 0 , y = r sen 0
212 = 100m + 32 => 100m = 212 - 32 => 100m = 180 => m = 1.8
Eduardo Espinoza Ramos
f= 1.8c+ 32
En un triángulo, cuya base es b = 10 y su altura h = 6, esta inscrito un rectángulo. Expresar la superficie de dicho rectángulo y como función de x. Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo.
Desarrollo
La figura dada en el problema ubicaremos de la forma siguiente:
Area del rectángulo Y es: Y = Bx — (1)
También en el área del rectángulo “y” se puede expresar:
Introducción al Análisis
b h 1— - ( x h - 2 B x + Bb) como b=10, h = 6 se tiene:
y = 3 0 -~ (6 x -2 f ix + 10fl) m {
de (1) se tiene B = — , reemplazando (2) se tiene:X
y = 3 0 - i ( 6 . í - 2 y + —~ ) , de donde y = 0.6(10 - x)2 x
como y = 0.6x(10-x) y = -0.6x2 +6x => y -13 = -0.6(jc-5):
La gráfica de la función es:
El valor máximo es cuando x = 5, max y = 13
164 Resolver la ecuación: 2x2 - 5x + 2 = 0
Desarrollo
2x2 - 5 x + 2 = 0 = * x2 - - x + l = 0 =* x2 - - j t = - l2 2
completando cuadrados se tiene:
88 Eduardo Espinoza Ramos
165 Resolver el sistema de ecuación: xy = 10, x + y - 7
Desarrollo
Como x + y = 7 => y = 7 - x, además: xy = 10 => x(7-x) = 10
I x - x 1 -1 0 = 0 => x 2 - 7 x + 10 = 0 => (x - 2)(x- 5) = 0,
de donde se tiene: x¡ = 2, x2 -5
1.3. LIM ITES-
I o LIMITES DE UNA SUCESIÓN.-
E1 número “a” recibe el nombre de limite de la sucesión xx,x 2,...,xn,..., es
decir: lim xn - a <=> V e > 0 , 3 N > 0 / | j r „ —a | < e V n > Nrt—>°°
2o LIMITE DE UNA FUNCIÓN.-
lim / ( jc) - A <=> V e > 0 , 3 ó > 0 tal que: |f(x) - A| < e para 0 < |x - a| < 8x - > a
3° LIMITES LATERALES.-
Si x < a y x —» a, escribiremos convencionalmente x —> a - 0, de la misma
manera si x > a y x —» a, escribiremos x =* a + 0 y a los números
/ ( a - 0) = lim f ( x ) y / ( a + 0) = lim /(* ) se llaman limites laterales porx —> o —0 x —> a + 0
la izquierda y por la derecha en el punto “a” respectivamente. Para que exista
lim / ( x ) es necesario y suficiente que se cumple la igualdad f(a- 0) = f(a+ 0)JT-XJ
Introducción al Análisis
PROPIEDADES DE LIMITES
Si existen los l im/ , (a) y lim f 2 (a) . Entonces se tiene:
1 lim (/|(a) ± f 2(a)) = lim / , (a) ± lim f 2(x)x - * a x — * a
2 lim / , (x ) . f 2 (x ) = lim / , (a ), lim f 2 O )* -* o x —>a x-> a
f (x) l«n/,(jc)3 lim — — = Tr^^T-— donde lim f - , ( x ) * 0
x^> a f 2 ( X) lim f 2( x ) x-> a ~x —* a
NOTA: Los limites siguientes se usa continuamente.
senx 1 —hm ----- = 1 y lim(l + — y = lim (l+ a)a =e* - » 0 X x X a - iO
166 Demostrar que, si n —> el limite de la sucesión 1 — — —4 9 ’ n2
cero. ¿Para qué valores de n se cumple la desigualdad —— < en2
número positivo arbitrario)?. Efectuar el cálculo numérico para:
a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e =
Desarrollo
Probaremos que lim ^ - = 2, es decir: n _> “ n
dado un e>0, 3 N = ? / |- ^ - - 0 |< e V n > Nn
2 1 ITn > — , n > J — = , e Ve
\-L-0\=\±\L¿t < e =* n2 > —, „>./■! = N n n n
,... es i¡
(siende
= 0.001
90 Eduardo Espinoza Ramos
lim-^- = 0 o V e > 0, 3 N - J — n " c
1 ° l< £ V n > \ l jn2
por lo tanto la desigualdad — < e se cumple V n > Jf]- V e
a) Para e = 0.1 se tiene n > ^ = y/ÏÔ => n > 4
b) Para £ = 0.01 se tiene n > = 10
c) Para e = 0.001 se tiene n > = Vi000 n>32
167 Demostrar que el limite de la sucesión: •*„= — — , (n=l,2 ,...), cuandon+1
n es igual a 1. ¿Para qué valores de m > N se cumple la desigualdad
| x n - 1 1< e (siendo e un número positivo)?.
Hallar N para a) £ = 0.1 b) e = 0.01 c) £ = 0.001
Desarrollo
lim x n = lim = 1 es por demostrar.n—>oo n-»°° H +1
Dado e>0 , 3 N = ? / \ x„ - l | < e , V n > N
\x _ i 1=1-5_1 |= |— -— 1= —-— <£ => n +1 > - => n > - - l = N1 " 1 n + 1 ' ' n+1 H+l ^ e
Introducción al Análisis
Luego: I im -^ - = l «=> V e > 0 . a AT = io n + l £
i n 1| ---- - - 1 | < e , V n > — 1n + 1 £
a) Para e = 0.1, N = — -1 = 9e
b) Para £ = 0.01, N = - - 1 = 99£
c) Para e = 0.001, N = - - 1 = 999£
168 Demostrar que lim x 2 = 4 . ¿Cómo elegir para el número positivo dado i
número positivo 8 de modo que de la desigualdad |x - 2| < 5 se deduzc
desigualdad ¡ x i - 4 1< e . Calcular 5, para:
a> e = 0.1 b) e = 0.01 C) £ = 0.001
Desarrollo
lim x 2 =4 o V e > 0 , 3 8 > 0 / \x2 - 4 | < ex - > 2 '
Siempre que 0 < |x - 2| < 8
\ x2 - 4 \ < \ ( x + 2 ) ( x - 2 ) H x + 2 \ \ x - 2 \ < e
i sen(2x) 0 sen(2x)l t o i Z £ « ( 2£> = 1¡m_Z---- £— _ lim-Z___ 2x _ = lx->o x + sen(3x) n o sí«(3j) x->o, , sen(3x) 1 + 3 41H---------- 1 + 3------------------
1 - Veos A' (1 - VCOS A)(1 + Veos X) 1 COS Alim------ ------= lim--------------- f = --------- íim -x™ x2 a2 (1 + Veos a) a2(1 + VCOSA)
(Ì - eos a )0 + eos a) 1-cos" alim —------ 7===--------------- iim ‘
x2 (1 + Vcosa)(1 + eos a) x2 (1 + Veos A XI + eos A)
sen2x ,. , senx _2 1; üm --------- ----------- --------- = lim(------) .------ j= = -----------x~ (1 + Veos a )(1 + eos a) a'~>0 x (1 + vcos a )(1 + cos a)
1 1 1_(1)((1 + VTX1 + 1)” (2 X 2 ) '4
Vi + senx - Vi - senx240 lim — -----------------------
*->o xDesarrollo
J ] + s e n x -J l- s e iñ (sil + senx - Vi - senx X V1 + senx + Vi - senx)l i m JL__— ------------------------------------------------------------ = hm--------- r — l r = \* - * o a * -> o x(yj 1 + senx+ -JI-sera)
.. | senx | senxlim ------- - = lim --------= -1.*-»<r x x-*o~ x
b) lim l iS S lx - > 0 * x
Desarrollo
Isenjcl senx ,lim ------- 1 = lim ------= 1x-»0* X jt—>0* X
x - l269 a) lim*->i* | x - l |
Desarrollo
lim *■ * = lim - 1 = lim — 1 = —1jc—»i- 1 jc—1 1 j r - > r - ( x - l ) jr—>r
134 Eduardo Espinoza Ramos
b) lixnx - l
Desarrollo
üm —— = lim ——7 = üm 1 = 1t - t l ‘ ¡ t - 1 x->V X - l *->1
270 a) limx-*2~ X — 2
a) lim->2~ x — 2
b) limx—>2' X -2
Desarrollo
b) lim —x — * 2 X -
CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS FUNCIONES
271 y = lim (eos'" x)n —
Desarrollo
y = lim (eos2" x) = lim (eos" x)"/¡—>00 n —
Sí x * n, k = 0,±1 ,±2,..., eos2 x < 1 entonces y = lim (eos" x)nn —
Sí x = kn , eos2 x = 1 entonces y = lim (eos" x)" = 1 => y -
X
: 0 y = 0
1
Introducción al Análisis
272 y = üm -------, (x>0)1 + xn
Desarrollo
S íO < x < l => lim xn =0 Luego: y= lim1 + xn 1 + 0
y = x
Cuando x - l =$ y - lim —1— v = —n-*~ 1 +1 ■ 2
Cuando x > 1 => y - lim —- — = lim *n—I
«-»“ l + x" 1 + j 0 + 1y = o
273
Resumiendo y =
x si 0 < x < l
— si x = 1 20 si x > 1
1 = lim \¡x2 + a2a-> 0
Desarrollo
y= lim \¡x2 + a 2 - y j x 2 +0 = |x | => y =rt->0
136Eduardo Espinoza Ramos
274
Y,
lim arctg(nx)n—>00
Desarrollo
nSí x < 0 => lim arctg(nx) = arctg(-°°) = - -
«—>00 ¿
Sí x = 0 => lim arctg(nx) = 0 => y - 0n—>°°
nS íx > 0 => lim arctg(nx) = arctg(°°)~ —
n —>°°
27 y = lim yjl + x" , (x > 0)
Desarrollo
Sí 0 < x < L => 0 < x" < 1 => 1 < 1 + x" < 2
lim 1 < limn—* 00
lim 2"n—>°°é + x n < )
y = lim Vl + x" =1 => y = 1
Sí x > 1 => y - Una vl + xn - x =>
Resumiendo: y =1 si 0 < x < 1
7T
[x si X > 1
Convertir en ordinaria la siguiente función periódica mixta: a = 0.13555...
Desarrollo
135-13 122 61« = 0.13555...= 900 900 450
to j
Introducción al Añálisis
277 ¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación cuadrada «x2 +bx + c = 0 .:coeficiente “a” tiende a cero y los coeficientes “b” y “c” son constantes sie b * 0?
Hallar él limite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n -» 00
Desarrollo
138 Eduardo Espinoza Ramos
La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es.
S¡ =n(n - 2 )
. _ 5 ,-Como nos piden él limite de un ángulo interno cuando n —> °° es decir, i -
n (n - 2) .. . .. 7t(n-2) _O sea: < = ---------- => hm i = lim------------ 7T
77 71—>°° //—>oo
279 Hallar él limite de los perímetros de los polinomios regulares de n lados inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor,
sí n —> °°.Desarrollo
nPara el caso de los polinomios inscritos se tiene: 2Rnsen—.
*
n 1Luego lim 2Rnsen— para calcular este limite haremos n = -/i—>°° Yl X
nPara el caso de los polinomios circunscritos se tiene: 2Rn tg —
Luego lim 2 Rn tg — haciendo n = —, n —»°°, x —>0; i—>°° f í X
Tí 1 t£7tXlim 2Rntg — = 2R lim - tg n x = 2,/ta lim------= 2Rn/?—>oo t i JC >0 7TA'
Introducción al Análisis
280 Hallar él limite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la c
y = e~x eoskx trazadas en los puntos x = 0,1.2,....n, s ín -» °°
Desarrollo
Para x = 0,l,2,...,n los valores de y — e x eoskk son:
, l J ____l J ___ 1_’ « V * / ’V ’ e5 ’"'
Sea Sn = l - I + - L _ ± + 2 ._ 1 + +(_ 1)n J_ e e2 e3 e4 e5 en
es la suma de una progresión geométrica.
a a - a ( l - r n)Ademas ¿>n ------—-— donde “a” es el primer termino y r es la razón.
r c a(l ~ r n) 1Luego: Sn ------------ donde r = -1 - r e
____ --------------- _____________ r. 1 1 , L„— r" reemplazando se tiene: Sn = -----------~ r i . 1 e1 - r 1 ~ r * " l i ' e '
1 + - 1 + - e e e
= lim Sn = — - 0 = — ... üm Sn = —i + i e + \ „_>» n e + ¡
e
281 Hallar él limite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordena de la curva que n —> °°.de la curva y — 2 como bases, donde x = 1,2,3,...,n, con la condición
»0 INFINITÉSIMOS.- Si lima(jt) = 0 es decir: Si | a(x) | < e cuarx->a
0 < |x - a| < 8(e), la función a(x) se llama infinitésiicuando x —> a, en forma similar se determina la función infinitésima a( cuando x — > OO
OBSERVACIÓN.- La suma y el producto de un número limitadoinfinitésimo, cuando x -» a, es también un infinitésin
cuando x —> a.
oc(x)Si a(x) y |3(x) son infinitésimos, cuando x —>ay lim------= c donde c esf i ( x )
número distinto a cero las funciones a(x) y (5(x) reciben el nombre infinitésimos de un mismo orden, si c = 0, se dice que la función a(x) es i infinitésima de orden superior respecto a |3(x). La función a(x) se denom
cc(sc)infinitésima de orden n respecto a la función B(x), sí: lim --------- = c , dor[ p ( x ) ] n
GC(x')0 < | c | < +<*>; Si lim------ = 1 las funciones a(x) y (3(x) se lianx - * a ¡ 3 ( x )
equivalentes cuando x —» a: a(x) ~ (3(x).
El limite de la razón de dos infinitésimos no se altera, si los términos de misma se sustituyen por otros, cuyos valores respectivos sean equivalentes,
acuerdo con este teorema, al hallar él limite de la fracción: lim , dorx —* a P ( X )
a(x) —> 0 y P(x) —» 0 cuando x —» a, el numerador y denominador de fracción pueden restársele (o sumársele) infinitésimos de orden super elegidos de tal forma, que las cantidades resultantes sean equivalentes a anteriores.
144 Eduardo Espinoza Ramos
b) INFINITOS.- Si para un número cualquiera N, tan grande como se desee existe tal 5(N) se verifica la desigualdad |f (x ) |> N .
La función f(x) recibe el nombre de infinito, cuando x —> a, análogamente f(x
se determina como infinito cuando x —> «>.
288 Demostrar que la función / (x) -senx en infinitamente pequeña, cuand<
x —> oo. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < £?
Si e es un número arbitrario? Hacer los cálculos para
a) £ = 0.1 b) £ = 0.01 c) £ = 0.001
Desarrollo— —— — — —
Por definición se tiene: Si lim a(x) = 0 o lim a(x) = 0 ct(x) se llanax->a
infinitésimo.
setixEs decir que debemos demostrar que lim ------= 0 , pero se conoce que.
x
1 sen x 1-1 < sen x < 1 — < ------ < — y además sabemos que:x x x
1 senx . .. 1lim — < lim----- 5. lim —X x-*°° X X
0 < lim <0 de donde:
senx lim ------= 0senxf ( x) = es infinitamente pequeña. Veremos los valori
de x para que | f(x) | < £ como f (x ) = -senx , senx | ^ , 1 , , ,------ < — < e de don
\x >-
Introducción al Análisis
a) para £ = 0.1 => | x | > 10
b) para £ = 0.01 =» | x | > 100
c) para £ = 0.001 => | x | > 1000
. S') Demostrar que la función / (x) = 1 — x2 , es infinitamente pequeña cuai x -» 1. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e .
Si £ es un número positivo arbitrario?. Hacer los cálculos numéricos para:
a) £ = 0.1 b) £ = 0.01 c) £ = 0.001
Desarrollo
Para que f(x) sea infinitamente pequeña cuando x -> 1 se debe de demosl
que. es decir lim /(x ) = lim(l - x 2) = () => f(x) es infinitamente pequeX 1 X—1 1 n
determinaremos los valores de x para que se cumpla |f(x)| < £
l / ( x ) | = | l - x 2 | = | l - x | | l + x |< e
|x—1| |x+l| < £ pero | x 11 < ------- - de donde | x — 11 < —, puesto que x —»I x + 11 2
a) para £ = 0.1 => | x — 1 | < 0.05
b) para £ = 0.01 =» | x — 1 | <0.005
■ *0 Demostrar que la función /(x ) = ---- — es infinitamente grande cuando x —>
¿En qué entorno |x - 2| < 8 se verifica la desigualdad |f(x)| > N.
Si N es un número positivo arbitrar; >?
Hallar 8, sí a) N = 10 b) N =100 c) N=100l
Desarrollo
Se procede en forma similar a los casos anteriores.
Luego: |/ (x ) |> W => | ——r | > A' => |x - 2 | <-^- = 5x - 2 N
a) Sí N = 10 S = — = 0.110
b) Sí N = 100 => 8 = -----= 0.01100
c) Sí N = 1000 =* <5=—í— = 0.0011000
Determinar el orden infinitesimal:
a) De la superficie de una esfera.
b) Del volumen de la misma, si su radio r es un infinitésimo de la Ira ord( ¿Cuál es el orden infinitesimal del radio y del volumen, respecto al áre; esta esfera?
Desarrollo
Se conoce que: si y es infinitesimal de orden “n” se escribe y = knx" + <p(xy
de donde — = kn. Luego “n” es el orden infinitesimal,
a) Superficie de la esfera y = 4nr2, x = r
4nr¿ r 2 n------ - 4 n => —- = 1 => r - r
Luego n = 2, la superficie es de segundo orden respecto al radio.
Introducción al Análisis
b) Volumen de la esfera: 4^ r 3 _ 4 r ’3r" ~ 3 7 = I =* r = '
de donde n - 3, el volumen de la esfera es de tercer orden respe radio. Además tenemos que:
<fr( W ) 1(4*r'y
1- " 1
- = (4n) 1 => rn = r2 =» n = —4 nr' ' 2
J 4 nF ¡7 ;T~
r" = r2 de donde n = -3-2
Sea a el ángulo central de un sector circular ABO cuvo radio R Determinar el orden infinitesimal: 7 radl° R t,ende a
a) De la cuerda AB n , „ . . ,o) De la flecha del arco
c) Del área del AABD, respecto al infinitésimo a.
O
148 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
a) En la figura se observa que AB = 2AC además AC — Rsena
IRsen
a
a2 _2R ~ ~ 2
asen —— = — cuando a —» 0
a" 2
a -» 0 de donde
a 2 _ 1a a sen— ~ —
2 2 a" 2=> -¿- = — => a = a '! =» n = 1
b) En la figura se observa que: CD - R( 1 — J l — ) de donde
K(l-
aR(— +
a
1__1_1 . 4 a"
1 - sen2 O
1- ,2 a 1 1 , 2 a
l~“" 2 > , ^ 2 , 1 .. l1 a" 4 a 'a" a , 2 a1-sen —
2 «sen — , a -____ 2. — — ñero sen ot—>0 =>■ .ví'/í----->0 de donde sen(—)~
a" 4 2
a a2 ~ 2
Por lo tanto:2 a & 2
2cr a rt 4a" 4
c) ’ Área del AABC — AB.CD = 2R~sen —
Introducción al Análisis
(1 ~ J l — sen2 Entonces:
2 R2sen ~ (1 - , 1 -sen 2—) ,2 2/P
8(1+ 1 - se n 2- )
sen — (1--1 + s<?íT sen3 —=> -----2--------------- 2_ = I ^ ____ 2 = I
a" 8 a " 8
además a 0 => «>«(—)« —2 2
3«2 « 3 1 3 „
a" = 8a^~ 8 ^ “ = a =* 11 = 3
293 Determinar el orden infinitesimal respecto a x„ cuando x -->0, de las funcic siguientes:
•) ~ w V T w I C)
d) 1 - eos x e) tg x. sen x
Desarrollo
2x
a) Sea / (x) = ----- de donde se tiene que: ~ + x = — —___= 21 + * x" (1 + x)xn
cuando x -» 0 => x + 1 -> 1 entonces — = 2 => x n =x => n -
150 Eduardo Espinoza Ramos
b) Sea f ( x ) = yjx+yfx de donde se tiene que:
^ y ] ( x + y fx j* _ ^ x ( x + 1 + 2 yfx)_ _ ] c u a n d o x Q , X + 1 + 2 - n / x ~ > 1
Si la función es continua en cada uno de los puntos de un campo determii se dice que es continua en este campo.
*2do. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.-
Si dice que una función f(x) es discontinua en punto x0, que pertenei
campo de existencia de la función f(x) tiene finitos:
156 Eduardo Espinoza Ramos
Pero los tres puntos / ( x 0) , f ( x 0 - 0) y f ( x 0 + 0) son iguales entre sí, entonces x0 recibe el nombre de discontinuidad de Ira. Especie. En particular, si / ( x0 - 0) = / ( x 0 + 0), x0 se llama punto discontinuidad evitable para que la función f(x) sea continua en el punto x0 , es necesario y suficiente que:
f ( x 0) = f (x 0 - 0) = f ( x 0 + 0)
304 Demostrar que la función y = x 2 es continua para cualquier valor delargumento x.
Desarrollo
y = f ( X) = X2
i) f(x) está definida para todo x e R
ii) 3 lim / ( x ) = xo
iii) lim / ( x ) = f ( x 0) = x l luego f { x ) = x 2 es continua en todo valor delx - * x 0
argumento x.
305 Demostrar que la función racional entera p( x) = a 0x n + a ,x"~1 + ... + a n escontinua para cualquier valor de x.
Desarrollo
i) P(x) está definida V x e R
ii) 3 lim p(x)= lim a0x n + axx n 1 + ... + anx — X —
luego R(x) es continua a excepción de aquellos valores de x que anuí denominador.
307 Demostrar que la función y = J x e s continua para x > 0.
Desarrollo
') y = f ( x ) - y [ x está definida para x > 0
ii) 3 lim / (x) = J x ^ donde xn e [0,+°° >x - * x 0
iii) lim f (x) = f (xq) = yfx^ ==> y - f ( x) = \fx es continua V x e [0,+cX —* X q
308 Demostrar que la función f(x) es continua y no negativo en el intervalo (a,l
función / (x) = yff (x) también es continua en este intervalo.
Desarrollo
158 Eduardo Espinoza Ramos
309
310
i) / (a) = J f ( x ) está definida que: f(x) >0 V x e (a,b)
¡i) lim /(a ) = / lim /(x ) = yjf(x0)X -> X Q \ x —>JCq
üi) lim /(x ) = / ( a 0) = y/f(x0) => f ( x ) - ^ J f ( x ) es continua V x e (a,b)
Demostrar que la función y = eos x es continua para cualquier valor de x.
Desarrollo
a) f(x) = cosx está definida para: |c o s x |< l , -oo<x< °°
i------- . „ x+ Ai —a, ,2a+A anb) lim f (x ) = f ( x 0) = yjf(x0) = lim - 2sen(----- ----- ).sen(— -— )
x—íXq A*—»0 2 L
Axsen — 2 + A*
= lim --------— .sen(— ------).Ax = (-1) sen x (0) = 0x 22
Luego y = eos x es continua en < x < °°
Para qué valores de x serán continuas las funciones:
a) tg x b) ctg x
Desarrollo
a) tg x es discontinua en los puntos donde tg x = °°
setíxComo tgx = ------ => tg x = o® cuando eos x = 0COSJC
7CPero eos x = 0 => x = h n ± — para h = 0, ±1, ±2,...
Introducción al Análisis
Cuando x * h n ± — , 0 < |c o s x |< l2
senx , ntgx = ------ donde x ^ h n ± —c o s j c 2
lim tgx= lim tg(x+Ax)-tgx= lim ------ senAx------Ajr->0 A*->0 Ax~>0 COS(x + Ai) eos X = 0
ntgx es continua en x * h ± — donde h = 0, ± 1, ±2,...
b) ctg x es discontinua en donde ctg x = «>
eos Xcomo ctgx =------ = oo <=> senx = 0senx
pero sen x = 0 <=> x = hit, h e Z
lim A,ctgx = lim (ctg(x + Ax)-ctgx) = 0
311
entonces ctg x es continua en donde x * hit, h e Z
Demostrar que la función y = | x | es continua, construir la gráfica de función.
Desarrollo
y = l* | =x si * > 0
—X si A' < 0
Para que sea continua debe cumplirse:
i) y = | x | está definida en x = 0
ii) 3 lim | a | para esto se tiene lim Ixl = lim Ixl =0 => lim3 |xlx-*0+ x->0~ x—>0
160 Eduardo Espinoza Ramos
312
313
iii) lim |* | = /(O) => 0 = 0x—>0
Por lo tanto es continua V x e R
Demostrar que la magnitud absoluta de una función continua es también una función continua.
Desarrollo
Sea f(x) = | f(x) | está definida para todo f(x) y por ser f(x) continua, está también definida para todo x.
Af(x) = | f(x) + Af(x) | - | f(x) |
Af(x) = yJ(f(x) + Af(x))2 - J f i x f
lim A/ (* )= lim J ( f ( x ) + Af(x))2 - \] f(x)~A f M - > 0 A f ( x ) — > 0
lim A/(*)[2/(*) + A/ ( * ) ] _ 0 a/ 2f(x) + Af(x)
Una función está dada por la formula f ( x ) =x~ - 4 , cuando x * 2* - 2
A , cuando x = 2
¿Cómo debe elegirse el valor de al función A = f(2), para que la función f(x), completado de está forma sea continua cuando x = 2? Construir la gráfica de la función y = f(x).
Desarrollo
x 2 —4A = f(2 )= lim------- = lim(x + 2) = 4*->2 x - 2 *-»2
Luego A = f(2) = 4 es como debe de elegirse para que sea continua.
Introducción al Análisis
314
Luego /(* ) =
Su gráfico es:
x 2 —4
x - 2 ' X * 2 de donde f ( x ) = (* + 2’ X * 24 , X = 2 1 4 , x = 2
¿Cómo elegir el valor de f(0) para que la función f(x) sea continua en punto?.
Desarrollo
Para esto tomamos él limite de f(x) cuando x -> 0
/ ( 0) = lim (1 - xsen —) = 1 — 0 = 1jc-*0 x
Luego elegiremos a f(0) de la siguiente manera: f(0) = 1. Es decir:
/(* ) =1 -xsen— para x * 0
x1 para x = 0
-'15 La función f ( x ) - a r c tg ------ carece de sentido cuando x = 2, ;Pux - 2 ’ 6
elegirse el valor de f(2) de tal forma que la función completada sea contin cuando x = 2?
162 Eduardo Espinoza Ramos
316
Desarrollo
/ ( 2) = lim arctg— — 3 ; luego no se puede elegir f(2) de tal manera que seaJt-*2 x - 2
continua.
La función f(x) es indeterminada en el punto x = 0. Determinar f(0) de tal forma que f(x) sea continua en este punto, sí:
fl + rV1 -1a) f ( x) = -— ------- (n es un # natural).x
Desarrollo
/(O) = lim (1+ v) ' 1 sea 1 + x = a, x = a - 1, cuando x 1 ; a 1x—>0 X
/(O) = lim = ,im = nx->0 x «->1 Oí —1
= lim (a"-1 + a " -2 + ... +1) = 1 +1 + ... + l = na-*l
a" -1Luego /(0 ) = lim f ( x ) = lim----- — = n
i —>o a-»i a - 1
r , , I - e o s *b) f ( x ) = -----j —
Desarrollo
I - e o s * l - c o s 2 x/(O) = lim / (x) = lim-----= lim
jr->0 >o x2 ■'-»o x2(l + cos.x)
sen x 1 1 1= hm — — .(----- ) = (l)-(— ) = -
jc—>0 X l + cosx 1 + 1 2
Introducción al Análisis
En forma similar para:
c) / ( 0) = lim /(* ) = lim l ^ l + ^ - t n a - * ) = 2x — t O j : - * 0 X
d) / ( 0) = lim f ( x ) = lim ----- -— = 2j r - » 0 x —>0
e) / (0) = lim / (x) = lim x2sen — = 0>0 x —>0 x
0 / ( 0) = lim x ctgx = 1x-K)
AVERIGUAR SI SON CONTINUAS LAS SIGUIENTES FUNCIONE!
x2317 y = ——
x — 2Desarrollo
x2La función y = —— es continua en todo R, menos en x = 2, es decir que
x = 2 es discontinua de 2da especie.
1 + xDesarrollo
164 Eduardo Espinoza Ramos
319
l + x3 (l + x )(l-x + x2) , de donde para x * -11 + x 1 + x
y = l - x + x 2, luego la función tiene una discontinuidad en x = -1 evitable.
Su gráfica es:
y / l + X — 3
Desarrollo
v /7+ ^-3 (V 7+7-3)(> /7+I + 3) l + x - 9y = ' x 2 - 4 (a-2 -4X V 7+ 7+ 3) (a2 -4)(V t + x + 3)
x - 2 1y = (a-2 )(a + 2 x 7 7 + 7 + 3) (A + 2XV7 + A + 3)
Luego en x = -2 es un punto de discontinuidad segúri especie y en x = 2, es un punto de discontinuidad evitable.
320 y = -;
Desarrollo
t
Sí x > 0 => |x | = x => y = l
x < 0 => I x I = -x => y = -1
Introducción al Análisis
Luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad de pri especie.
321 y = sen — x
Desarrollo
La función y = sen— cárece de sentido cuando x = 0, pero esx
discontinuidad de 2da especie, puesto que lim sen — 3*-»o x
322 y = — :—sen x
Desarrollo
La función en x = 0 carece de sentido, pero es una discontinuidad evitx 1
puesto que: y(0) = lim------ = lim-------= 1*-»0 sen x *—»o senx
xAdemás en x = kn (k = ±1, ± 2 ,...) son puntos discontinuidad infinita.
323 y = ln(cos x)Desarrollo
Para que la función y = in(cos x) esté definida debe cumplirse que eos x Luego quitaremos los puntos donde cosx = 0, y además cosxcO , es de<
x = 2kn ± — (k = 0, ±1, ±2,...). Luego los puntos de discontinuidad son:
x = 2 k n ± ^ (k = 0, ±1, ±2,...)
324 y = ln ( f* |)
Desarrollo
166 Eduardo Espinoza Ramos
328
329
En forma similar el ejercicio 323 se obtiene que los puntos de discontinuidades x = krc (k = 0, ± 1,...) (infinita).
325 y = arctg — x
Desarrollo
La función y = arctg — carece de sentido cuando x - 0, luego la función es x
discontinua en x = 0, de la especie.
326 y = (l + x).arctg(—í-r-)\ - x ¿
Desarrollo
La función tiene en x = -1 un punto de discontinuidad evitable y en x = 1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.
i327 y = ex+l
Desarrollo
La función en x = -1 carece de sentido, luego en x = -1 es un punto de discontinuidad de segunda especie.
Desarrollo
La función en x = 0 carece de sentido, luego la función en el punto x = 0 tiene una discontinuidad evitable.
1i
l + e'~xDesarrollo
Introducción al Análisis
La función en el punto x = 1 carece de sentido, en este caso es un punt discontinuidad de primera especie, es decir que f ( x 0 - 0) y f ( x 0 + 0) , diferentes.
330
331
x , x £ 3 _y = 1 „ • Construir la gráfica de esta función
[2x + l , x> 3Desarrollo
x > 3 => y = 2x + 1
Demostrar que la función de Dirichlet X(x), que es igual a cero > irracional e igual a 1 cuando x es racional, es discontinua para cada uno de valores de x.
Desarrollo
JO, x e I11 n SuPon8amos que es continua; luego
V e > 0, 8 > 0 tal que 0 < | x — a | < 5 =>¡ f(x) - L | < e
tomamos x xe I (Irracional), x { e<0-<5, a+ 8 >
=> |f (x ) - L |< e => 10 — L |< e => |L |< e =í> L = 0
168 Eduardo Espinoza Ramos
333
además como x2 e 2 y x2e < a - S , a + S >
=> | f(x) - L | < e => 11 - L | < e =* 1 - L = 0
Luego L = 1. Llegamos a una contradicción. es discontinua.
AVERIGUAR SI SON CONTINUAS Y CONSTRUIR LA GRAFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
332 y = lim1
1 + x"(x > 0)
Desarrollo
Luego lim -------= 0„_»=o j + x
y = Wm (xarctg nx)n —>°°
Y -i
112 — ►-0 1 X
y = lim (xarctg nx) - xarctg(°°) =nx
Desarrollo
Como y = — la función es continua en todo x.
334 a) y = sig(x) b) y = x Sig(x) c) y = Sig(sen x)
donde la función Sig.x se determina por la formula: sig(x) - ■
Desarrollo
1, x > 00, x = 0
-1, x < 0
Introducción al Análisis
1 <
Y
0 X
.-1
La función en x = 0 es un punto de discontinuidad de la primera espe
335 a) y = x - E(x)
b) y = x E(x), donde E(x) es la parte entera del número x.
Desarrollo
Sí x e [0, l> => E(x) = 0 => y = x
x e [ l ,2 > => E(x) = 1 y = x -1
x e [2,3> => E(x) = 2 => y = x - 2
x e [- l ,0 > = > E(x) = -1 => y = x + 1
x e [-2,-2> =» E(x) = 2 => y = x + 2
E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de la primera especie.
170 Eduardo Espinoza Ramos
336
237
Dar un ejemplo que demuestre que la suma de dos funciones discontinuas
puede ser una función continua.Desarrollo
x2 - 9Consideremos las funciones /(x ) = -----— y g(x)~-x - 3 x - idefinidas en x = 3.
j c 2 - 9 x 2 - 4 x + 3
Pero si sumamos: / (x) + g(x) = ------- + -
x2 -4 x + 3 que están
x —3 x -3
.................(x —3)(x + 3) , (x -lX x -3 ) owx + 3 + x -1 ^_ 0 y 0f (x )+ g(x) = — — — — + -----— - (X 3)( x _ 3 >
f(x)+g(x)=2x+ 2 está definida V x, por lo tanto (f+g)(x) es continua Vxe R.
Sea a una fracción propia positiva que tiende a cero (0 < a < 1) ¿se pued poner en la igualdad E(1 + a) = E(1 - a) + 1, que se verifica para todos los
valores de a, él limite de la cantidad a?
Desarrollo
E(1 + a) = E(1 - a) + 1 donde E(1 + a) = E(x) donde x = 1, lim a = 0
entonces reemplazando: lim a , por el valor de a.a-»0
Introducción al Análisis
lim £ (1 + a )= l im £ ( 1- a ) + l=: £:(1-0 ) + l = £(l) + l = i + i = 2cc ex. —> 0
Luego £ (1) * Hm E(l) entonces E(x) es discontinua en x = 1 en el inter
[ 1,2> entonces no se puede reemplazar a por lim aa-»0
338 Demostrar que la ecuación x3 - 3x +1 = 0 tienen una raíz real en el inter (1,2). Calcular aproximadamente esta raíz.
Desarrollo
Por fórmula de Cardano se tiene: X = A + B, donde
además x + px + l = 0 de donde x3 — 3x + 1= 0 . reemplazando se titiene
1 , // 3 3 1 2 ,1 1 / 5A- * i W V - H +«
* = f f - f
U + V 5Luego: x = |- - 2 _ ---- + i J Í e ( l2)
339 Demostrar que cualquier polinomio p(x) de grado impar tiene por lo menos t raíz real.
Desarrollo
Si n - 1 => p(x) - a0x + flj — 0 , a0 ^ 0 => x = — esraízdeP(x)«o
172 Eduardo Espinoza Ramos
Si n > 3 r¡ = a + ifi , ¡3^0 es una raíz de p(x) => r2 = iP también es raíz
de p(x). Luego por el teorema del factor se tiene.
p(x) = ( x - r ] )(x - r 2) , R(x) = (x2 - 2ax + ¡i2 + a 2) R(x) donde grado
de R(x) = n - 2 > 1 siendo n - 2 impar. Por ser n impar.
si razonamos por inducir opinamos de que R(x) tiene una raíz real y que también es raíz de P(x).
340 Demostrar que la ecuación tag x = x tiene una infinidad de raíces reales.
Desarrollo
Si: x e [0 ,l> => E(x) = 0 => y = x
x e [ 1,2> => E(x) =1 => y = x - 1
x e [2,3> => E(x) = 2 => y = x - 2
x e [- l ,0 > = > E(x) = -1 => y = x + 1
x e [-2,-l> => E(x) = -2- => y = x + 2
E(x) = k, k e Z, son puntos de discontinuidad de primera especie.
Diferenciación de Funciones
CAPITULO II
DIFERENCIACION DE FUNCIONES
2.1. CÁLCULO DIRECTO DE DERIVADAS.-
a) INCREMENTO DEL ARGUMENTO E INCREMENTO DE FUNCIÓN.-
Si x, y x2 son valores de x, mientras que y, = f ( x ¡ ) e y 2 = f ( x 2)
los correspondientes valores de la función y = f(x), Ax = x 2 - x
llama incremento del argumento x en el segmento [xx,x 2
by = y i - y \ o s e a ¿x = f ( x 2) - f ( x l ) = f ( x l + A a ) - / (x ,) llama incremento de la función y = f(x) en el mismo segrr
Ay[x¡,x2]. (En la figura donde Ax = MA y Ay = AN) la razónAx
representa el coeficiente angular de la secante MN de la gráfica £ función y = f(x) y se llama velocidad media de la función y, e segmento [x,, x, + Ax].
174 Eduardo Espinoza Ramos
b) DERIVADA.- Derivada y' = -j~ de la función y - f(x) con respectod x
Aval argumento x se llama él limite de la razón — ,
c u a n d o Ax tiende a cero, es decir: y ’=lim -^- si dicho limite existe.
La derivada y'= f ' ( x ) representa la velocidad de variación de la función
en el punto x. |
c) DERIVADAS LATERALES.- Las expresiones
f ( r + \ x ^ - f ( x ) / ( x + A x )-/(x )f l (x')= lim — ■■ y /+(*) = lim ---7
Se llama derivadas a la izquierda y derecha respectivamente de la función
f(x) en el punto x.
Para que exista f ' ( x ) es necesario y suficiente que /_ (x) — f+ (x ) .
d) DERIVADA INFINITA.- Si en un punto determinado tenemos que
ljm / ( * + AO - oo , se dice que IA x —> + 0 A x I
la función continua f(x) tiene derivada infinita en el punto x.
341 Hallar el incremento de la función y = x2 , correspondiente al paso del
argumento.
a) d e x = 1 a x, = 2 b) d e x, =1 a x2 = 1-1
c) de x = 1 a x, = 1 + /i
Desarrollo I
a) Ay = f(x + Ax) - f(x) donde y = /(x ) = x2
Diferenciación de Funciones
además Ax = xt - x = 2 - l = l = > A x = l
/(x , +Ax) = f \ x x + l) = (x, + l)2
/ ( x + Ax) = (x + Ax)2, reemplazando se tiene:
/ ( I + 1) = / ( 2) = 22 =4 y f(l) = l
Ay = f(l + 1) - f(l) = f(2) - f(l) = 4 - 1 = 3 . Luego Ay = 3
b) Ay = /(X| + A x ) - / ( x |) donde Ax = 1.1 - 1 = 0.1
Ay = f(l + 0.1) - f(l) = f(l.l) - f(i)
Ay = (1.1)2 - 1 = 1.21-1 = 0.21
342 Hallar Ay para la función y = lfx sí:
a) x = 0, Ax = 0.001 b) x = 8, Ax = -9
c) x = a, Ax = h
Desarrollo
a) Ay = f(x + Ax) - f(x)
Ay = / (0 + 0.001)~/(0) = /(0.001) = #>.001 =0.1. Luego Ay = 0.1
b) Ay = f(8 - 9) - f(8) = f(-l) - f(8). Luego Ay = -1 - 2 = -3
'43 ¿Por qué para la función y = 2x + 3, se puede determinar el incremento , conociendo solamente que el incremento correspondiente es Ax = 5, mient
que para la función y = x" no puede hacerse lo mismo?
Desarrollo
176 Eduardo Espinoza Ramos
344
Ay = f(x + 5) - f(x) donde f(x) = 2x + 3
f(x + 5) = 2(x + 5) + 3 = 2x + 13 por lo tanto f(x) = 2x + 3, luego:
Ay = f(x + 5) - f(x) = (2x + 13) - (2x + 3) = 10 y mientras que para la función
y = x 2 se tiene:
Ay = f(x + Ax) - f(x) => Ay = f ( x + 5 ) ~ f (x) = (x + 5) — x
de donde se tiene: Ay = -10x + 25
Hallar el incremento Ay y la razón — para las funciones:Ax
a\ y -----i— _ 5 cuando x = l y Ax = 0.4(x - 2)
b) y = Vx , cuando x = 0 y Ax = 0.0001
c) y = log x, cuando x = 100,000 y Ax - -90,000
Desarrollo
a) Ay = f(x + Ax) - f(x) => Ay = f(l +0.4) - f(l) = f(1.4) - f(l)
348 La ley del movimiento de un punto es S - 2t2 + 3í + 5 donde la distancia se daen centímetros y el tiempo t en segundos. ¿A que será igual la velocidad med? de este punto durante el intervalo de tiempo comprendido entre t = 1 y t = 5?
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
La velocidad media =At
AS = S(t + At) - S(t) y At = t2 - 1{ es decir At = 5 - 1 = 4 => At = 4
AS = S(1 + 4) - S(l) = S(5) - SCI) = 70 - 10 = 60
, AS 60 cmLuego: — = _ = 15±I1At 4 seg
349 Hallar la pendiente de la curva y = 2X en el segmento 1 < x < 5
pendiente media de la curva = — = 2 = 1 ^ _ 7 c4 2 2
350 Hallar la pendiente media de la curva y = f(x) en el segmento [x, x + Ax]
Desarrollo
Pendiente media de la curva = — donde Ay = f(x + Ax) - f(x)Ax
Luego pendiente media de la curva = ^ x + Ax^ - f ( x )Ax
351 ¿Qué se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x?
Desarrollo
180 Eduardo Espinoza Ramos
352
353
Se entiende por pendiente de la curva y = f(x) en un punto dado x al ¡imite de la pendiente media de la curva Ax —> 0, el cual denotaremos por / (x ) , es
f(x + A x )-/(x ) decir: / (x) = lim ----------- — —
A*—>o Ax
Definir: a) La velocidad media de rotación.
b) La velocidad instantánea de rotación.
Desarrollo
Sea (p(t) la magnitud del ángulo de rotación en el instante t.
., A (0(1)a) La velocidad media de rotación-------
A t
.. A <p(t) 39(1)b) La velocidad instantánea de rotación = um —-— - —-—A/->o At at
Un cuerpo calentado e introducido en un medio, cuya temperatura sea menor, se enfría. ¿Qué debe entenderse por:?
a) Velocidad media de enfriamiento.
b) Velocidad de enfriamiento en un momento dado.
Desarrollo
Sea T = la temperatura en el instante t.
A 7'a) Velocidad media de enfriamiento = ----
At
AT dTb) Velocidad de enfriamiento en un momento dado = um —---- —Af-*o Ai dt
Diferenciación de Funciones
354 ¿Qué debe entenderse por velocidad de reacción de una sustancia en reacción química?
Desarrollo
Sea (p(t) = cantidad de sustancia en el instante la velocidad de reacción de
sustancia en una reacción química es: limAf-»0 Ai
355 Sea m = f(x) la masa de una barra heterogénea en el segmento [0,x] que ■ entenderse por:
a) Densidad lineal media de la barra en el segmento: |x, x + Ax]
b) Densidad lineal de la barra en el punto x?
Desarrollo
En forma similar al ejercicio anterior se tiene que:
a) La densidad lineal media = —-Ax
b) La densidad lineal en el punto x = — = lim —-dx *-»0 Ax
356 Hallar la razón — , para la función y = - en el punto x = 2-At x
a) Ax = 1 b) Ax = -1 c) Ax = 0.C
¿A que será igual la derivada y' cuando x = 2?
Desarrollo
Ay = f(x + Ax) - f(x) => Ay = f(2 + Ax)- f(2) donde / ( * ) = -
Ay =
x
1 1 -Ax2 + &x 2 2(2 + Ax)
182 Eduardo Espinoza Ramos
a) — =
At _ Ay 2(2 + At) 1Ax Ax 2(2 + At)
donde Ax = 1 reemplazando tenemos:
^ - = - - = -0.166 Ax 6
Av 1 , , . n , Ayb) — = ------------- donde Ax = 0.1, — ;Ax 2(2 + Ax) Ax
. JL « -0.238 21
Ayademás y ' = lim — = luir
1A x -> 0 Ax Ax—>0 2(2 + Ax)
357 Hallar la derivada de la función y = tg x
Desarrollo
y ’ = lim — , donde Ay = f(x + Ax ) - f(x)A x—>0 Ax
Ay = tg(x + Ax) - tg x
tg(x + Ax) — igx _ m _____ senAxAyy '= lim — = lim -— ,A x-»0 Ax A x -> 0 Ax Ax—>0 Ax eos x. cos(x + Ax)
Ay sen Axy = lim — = lim --------
1 1---------------- 1 2 - 1(------------ ) = — = sec xA*->oAx Ax—>o Ax cosx.cos(x +Ax) eos x. eos X eos X
358 Hallar y '= lim — para las funciones: A * -> 0 At
a) y' = x b) y = — c) y = sTx d) ctg xx
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
Ay = f(x + Ax) - f(x)
Ay = / ( x +Ax)3 - x 3 = 3x2 (Av) + 3x(Ax)2 +(Ax)3
r Ay 3x2Ax + 3xAx2 +AxJy _ nm —— - lim -----------------------—, en forma similar para los dem¡Ax—>0 Ax Aí-»0 Ax
como /(x ) = / '(x ) entonces x3 =3x2 => x " (x -3 ) = 0 => x = 0, x = 3 |
Luego la función coincide numéricamente en los puntos x = 0.3, x = 3
La ley de movimiento de un punto es 5 = 5 í" , donde la distancia S viene dado I en metros y el tiempo t, en segundos. Hallar la velocidad del movimiento en el j
m, 2 2s n t x ~a521 y = — ln(jc - a ) + — ln-------------2 2a x + a
Desarrollo
y = — ln(x2 - a 2) + — lln (x -a )-ln (x + a)]2 2a
, m , 2x n 1 1v = —(—-----—) + — (---------------) , de donde se tiene:
2 j t - o 2a x - a x + a
mx n ,x + a - x + a^y = —— 1 + - (— 2—
X - a 2a X - a
mx + n2 2 ' 2 2 ~'' J — ~ 2 2" x - a x - a x - a
522 >’ - x.sen(ln x - —)4
Desarrollo
236 Eduardo Espinoza Ramos
523
y' - senilnx - —) + x cos(ln x - —)(ln x d e r i v a n d o se tiene:4 4 4
u xy ' = sen( ln x - —) + eos(ln x - —)
y ' = sen{ ln x) eos — - eos(ln x)sen — + cos(ln x) eos — + se«(ln x)sen4 4 4
x/2 yfiy' = —— sen(lnx)-.— cosílnx)-t— —cos(ln a)h— — sen(lnx), por lo tanto2 2 2 2
y = V2se«(ln x)
1 , . x 1 cosxy = 2 H 'S 2 ) - 2 l¿ r x
Desarrollo
r — v1 ^ 2 1 sen2x(-senx) - eos x.2senxcos xy = r — — - T --------------------------5--------------------2 £ 2 se« x
2
ic o s 2 - 31 9 9 se« x + 2cos" xjsenx , , ,y ' = _ ¿------ é. + -------------- ------ , de donde se tiene:2 £ 2sen x
Diferenciación de Funciones
, 1 eos2 X +1=> y = ------- + ---------r—
2 senx 2senx
, s e « 2x + cos2 x + 1 2 1y = ----------------- ------------ = ----------— => y = -------—
2sen x 2 s e n x se« x
524 /(x ) = Vx2+ l - l n 1+ -* 2+1-x
Desarrollo
Aplicando propiedad de logaritmo
/ ( x ) = 7 x 2 + 1 - ln(l + V ? + 1 ) + ln x , aplicando la derivada se tiene:
JC_____ •
V x ~ + 1 1 + v x ‘ + 1 *
, x x 1J (x) = - ¿ = — —= ------— + -v x 2 + 1 v x 2 +l(l + v x 2 + 1 ) x
f -(r) - x 2 (l + V x 2 + l ) - x 2 + V x 27 l(l + V x 2 + l )
x*J~x~ + 1 (V x 2 + 1 +1)
_ X 2 (l + V x 2 +1 -1) + a/x 2 +1(1 + V x 2 +1)
/ w = x V 7 ^ d + ^ )
X 2 V x 2 +1 + V x 2 +l(l + V x 2 + 1)
/ w = x J 7 7 m +J J 7 i )
y_1_____X JC4 eos — .5 /1 — 2 2
COS Jt+1¿senx
n
238 Eduardo Espinoza Ramos
„„ N a2 +1 + V*2 +1 V a 2+1(1+ 7x^+1) _ , _ V a 2 +7/ (a ) = -------- = = = = — = -----------,----------- = > / U ) ----------
x(l + y¡x2 + l) *(1 + Va-2 +1) *
1 1 - 2 * + l^525 y = - l n ( — ---------- - )
3 A + A + 1
Desarrollo
y = ~[ln(x2 - 2 a +1) - ln(A2 + x +1)], aplicando la derivada se tiene.
3
1 , ( x 2 - 2 x + l) ' ( a 2 + a + 1)\ , l r 2 a - 2 2 a + 1 ,y ' = - [ ----------] => y : — : — 2------
3 x — 2 a + 1 A + A + 1 3 A - 2 . X + 1 X + A + 1
, 1 r 2 ( a - 1 ) ( a 2 + a + 1 ) - ( 2 a + l ) ( x 2 - 2 a + 1 ) ,v = _[--------------------------- -------------------- j3 ( a - 2 a + 1 ) ( a “ + a + 1 )
l r2(A3 - l ) - ( 2A 3 - 3A 2 + l ) n> = - [ --------- --------ó------------ J
3 ( a - 1)(a - 1)
, i 3a2- 3 a 2 -1 ^ A + l ^ x - ly ~ 3 (a-1)(a3-1) ~ (a -1 )(a 3-1) a 3 -1 ' A'3 - l
y ,_ v| -5jc2 -1 9 a -2 0 = (a+ 2)2 5.t2 +19a + 20^ ^ (jc+2)(x + 1)(x+3) (a + 3)4(jc + 1)3 (a+2)(a + 1)(a + 3)
, _ ( a + 2)(5a2+19x + 20)
-= E SV a: - 2
( a + 1 ) ( jc + 3 )
- i )
Desarrollo
1° y = ~nn x + ln(x - 1) - ln(x - 2)]
z ! = i + ( l + _ j_____L_) => y ' - y Á x - l ) ( x - 2) + x ( x - 2) - x ( x - l )y 2 x x - l x - 2 2 jc (a -1) ( a - 2)
,• _ x (x - l ) 1 x2 - 3 x + 2 + x2 - 2 x - x 2 +x } ~ \ x - 2 '2 a (a :-1)(jc-2)
r '_ yJx(x-l) ( r2 - 4.v + 2 xz - 4 x + 22\ fx - 2 x ( x - l ) ( x - 2) y ~ 2y jx ( x - \ ) ( x - 2 )
569 }' = x l x2x2 + \
Desarrollo
Iny = lnx + ^[ln x2 - l n ( A 2 +1)]
y ’ 1 1 2x 2x . y ’ I 1,2 2x ,_ = _ + ( — — ) - = - + - ( -------------- -— )y a 3 x x +1 y x 3 x x +1
Diferenciación de Funciones
y' 1 2 2 * , 5 2 a - 5 a 2 + 5 - 2 a - \— = —i------------------=> y = y(------------------------------------- ) = y ( -)y a 3 a 3 ( a 2 + 1 ) 3 a 3 ( a 2 + 1 ) 3 a ( a 2 + 1 )
, , 3 a 2 + 5 x | a 3 a 2 + 5 , , 3 a 2 + 5 a 2
y =y( ----- 5— ) = X\H— (----- 5— ) => y = — 5— —3 a ( a + 1 ) V a + 1 3x(x + 1 ) 3 ( a " + 1 ) V a + 1
570 y = <*~2)9V ( a - 1 ) 5 ( a - 3 ) "
Desarrollo
lny = 9 1 n ( A - 2 ) - ^ [ 5 1 n ( A - l ) + llln(jc-3)]
y x - 2 2 x - l a - 3
1 8 ( a - 1 ) ( a - 3 ) - 5 ( a - 2 ) ( a - 3 ) - 1 1 ( a - 2 ) ( a - 1 )y = y(---------------------------------------------------------- )
2 ( a - 1 ) ( a - 2 ) ( a - 3 )
( x - 2 )9 ( 2x2 - l 4 x + 2 fy/(x-l)5( x -3 )n 2 ( a - 1 ) ( a - 2 ) ( a - 3 )
2yy' = l + — c-~—. =* 2yy' = l + ¡J lZ => 2yy' = 1 + — - —Z V AT
2yy'-----= 1---- => y \ —---------- ) = ----- yy X y x *(2y2 -1)
276 Eduardo Espinoza Ramos
2.4. APLICACIONES GEOMÉTRICAS MECÁNICAS DE LA DERIVADA.- _________ __
a) ECUACIÓN DE LA TANGENTE Y DE LA NORMAL.-
La ecuación de la tangente a la curva y = f(x) ó f(x,y) = 0 en el punto
M (x0, y 0) es: y - yn = y'0( x - x0) donde y '0 es el valor de la
derivada y' en el punto M(*0,y 0).
La recta perpendicular a la tangente, que pasa por el punto de contacto de esta con la curva recibe el nombre de normal a dicha curva y su ecuaciónes:
x - x 0 + y'0( y - y 0)^ 0
b) ANGULO ENTRE CURVAS.-
E1 ángulo formado en las curvas y = f x(x) e y = f 2(x) en su punto
común M(x0, y 0) está dada por la fórmula:
¡ w - q) /i Oq) 8 l + f i W l í x o )
c) SEGMENTOS, RELACIONADOS CON LA TANGENTE Y LA NORMAL, PARA EL CASO DE UN SISTEMA DE COORDENADAS CARTES! ANAS.-
La tangente y la normal determinan los cuatro segmentos siguientes (En la figura),
t = TM, llamado segmento tangente S, ~ T K , sub tangente
m = NM, segmento normal Sn = KN , subnormal
Diferenciación de Funciones
Como Km =| y o | y tg<p = y '0 se tiene: t = TM = \ ~-yjl + (y'0f |y0
M = N M = \y 0N/Th>¿)2 !
S,=TK 1 2-1 ; =| y0y '0 |y°
d) SEGMENTOS RELACIONADOS CON LA TANGENTE Y NORMAL PARA EL CASO DE UN SISTEMA COORDENADAS POLARES:
Si la curva está dado en coordenadas polares por al ecuación r = f((f ángulo jii, formado por la tangente MT y el radio polar r = OM (fi
14) se determina por la fórmula tg¡i = r ^ - = — .dr r ’
La tangente MT y la normal MN en el punto M, junto con el radio p del punto de contacto y la perpendicular a dicho radio trazado por el ¡ O, determinan los cuatros segmentos siguientes:
t = MN, segmento de la tangente polar
m = MN, segmento de la normal polar
St - O T , subtangente polar Sn = ON , subnormal polar; do
m = MN = *Jr^+(r’)2 , Sn = MN = r
I = MT = ~ - - J r + (r ’)2 k ’l
r2St = OT = ——\r I
278 Eduardo Espinoza Ramos
Y
621 ¿Qué ángulos (p teman con el eje OX las tangentes a al curva y - x — x~ en los puntos abscisas son:
Demostrar que el astroide a 3 + y 3 = a3 el segmento tangente, comprend
entre los ejes de coordenadas, tiene magnitud constante e igual a: a.
Desarrollo
Por demostrar que d(A,B) = a
2 2 2
Para esto hallaremos la recta tangente. Como x 3 + y 3 = a 3 entonces:
mLt = y'\p(x0,y0)=}J — y L, ■ y - y 0 =>nL,(x-xo)V -*6
A : y - y 0 = ? — (x - xo)
Determinaremos el punto A para esto y = 0 se tiene:
290 Eduardo Espinoza Ramos
I 2 2 I 2 I 2x = xl (x03 + >>03 ) = x$a3 => AÍXqü3 ,0)
Ahora determinaremos el punto B para esto x = 0
1 2 2 I 2 I 2y = y ¿ ( xo + y o ) = yoa3 => ß (°-.vofl3 )
1 2 l 2 2 4 2 4
d(A,B) = )J(x3a 3)2 + ( y 3a 3)2 = \ j x 3.a3 + y 3a 3
2 2 4
= ]/(x3 + y ¿ ) a 3 = ^Ja3 .a3 =s]a2 =a
642 Demostrar que las normales a la envolvente de la circunferencia x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - t eos t) son tangentes a la circunferencia
' *2 + y2 = a 2 .
Desarrollo
xy
y '——ctgt mL, = -ctg t ... (1)
Ahora calcularemos la pendiente de las normales a la envolvente de la circunferencia:
Diferenciación de Funciones
dxx = a(cos t + t sen t) => —- = at eos tdt
. dyy = a(sen t - 1 eos t) => — = at sen tdt
dxdx dt atcostmLN = —— = --— = ---------- = ~ctg t . Luegody oy at sen 1
dt
De (1) y (2) queda demo'*rado que las normales a: •
x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1 eos t)
son tangente a la circunferencia x2 + y 2 = a 2
mLN = -ctg t ... (2)
643 Hallar el ángulo de intersección de las parábolas y =(x - 2):
y - 4 + 6x — x 2 .Desarrollo
Hallaremos los punto - de intersección como:
y - ( x - 2 )2 e )’- 4 t 6 i - i 2 , completando cuadrados
(x - 2)2 = -4 + 6x — jt2 => x 2 - 5x + 4 = 0
de donde* ,= 1, >>i=Í P](l,l)x2 =4, y2 = 4 p 2(4,4)
I y{ = 6 - 2 x y¡(1) = 4
[y'2 = 2 x -4 y'2( l) = -2
Eduardo Espiuoza Ramos
644
645
j í a J - y / d ) . ____ - 2 - 4 -6 6=$ tgCC — — —
l + y ííD .^d ) 1-8 -7 7
6 6tga = — => a = arctg (—) = 40°36'
¿Qué ángulo forma entre si las parábolas y = x 2 e y - x* al cortarse?
Desarrollo
Encontraremos los puntos de intersección como:
y = x 2 e y = x 3 ==* x 2 = x 3 => x 2( x - l ) = 0
x, = 0, y, = 0 p¡ (0,0)x2 =l, y2 =l p 2(U)
| y¡ (x) = 2x ^ | y¡ (0) = 0
[y2U) = 3x2 { ^ ( 0) = 0
« a - — = 0 * a = 0«l + y,'(0).yí(0) 1 + 0
esto quiere decir que son tangentes entre si, ahora para el punto /?2(1,1)
jy{( x) = 2x ^ | y{ (1) = 2
\y'2(x) = 3x2 ^ 1^(1) = 3
y i ( l ) - , í a ) = 3 - 2 = 1 ^ 1 ^ i . w1 + 7 Í(M (1 ) 1 + 6 7 7 ^ 7
Demostrar que las curvas y = 4.r2 + 2* - 8 e y = x 3 - x + 10 son tangentes entre si en el punto (3,34). Ocurrirá lo mismo en (-2,4)?
Desarrollo
Diferenciación de Funciones------- 7-- -----------------
Para que sean tangentes entre sí debe ocurrir que tg a = 0.
Como y, = 4x2 + 2 .* -8 =* y,/ = 8 ;t+ 2 => y[\x=i=26
y2 =jc3 -.v + 10 => y2 = 3x2 -1 => U=3= 27-1 = 26
1 +?í(3>y2(3) 1 + 26
Luego son tangentes entre sí. En el punto (-2,4) no son tangentes sí, por que tg a * 0
646 Demostrar que las hipérbolas . . y - a 2 y x 2 - y 2 ~ b 2 se cortan er formando un ángulo recto.
Desarrollo
Para que las curvas que se cortan forman un ángulo recto sus tangentes ser perpendiculares. Es decir:
Si l!, y L, son las rectas tangentes. Luego l!, 1 L , => ml!r L, = -] demostrar .
2Como xy = a 2 => mi!, = — - ='y '
x
x 2 ~ y 2 — b2 => mL, = y ' ■= —
u 2donde y' = - pero x y = a 2 => y = — => y ' = - = ^— = mr
a a
/ a2 x2Lt.mL¡=(— -)(—- ) = - l L¡t ±_L, => forma un ángulo recto.
a
294 Eduardo Espinoza Ramos
647 Sea la parábola y 2 = 4x , calcular la longitud de los segmentos: tangentes, normal, subtangente y subnormal en el punto (1,2).
Desarrollo
Longitud de la tangente = t =| — yj1 + ()’ó )2 Iy'o
2Como y 2 ~4x => 2yy' = 4 => y ~ ~ ^ 'V !l’2) = *
2 r—
Reemplazando en ¡a longitud de la tangente se tiene: / =¡ — v i + 1 1= 2v2
n = longitud de la normal - j v0 -y/l + ( )’ó ) ‘ | => n = 12 \ l +T |= 2y¡2
Longitud de la subtangente S, = |^ y | => S, =| —1= 2y0 1
Longitud de la subnormal =Sn =¡y0.}’0 I =* S „= |2 (l) |= 2
648 Hallar la longitud del segmento subtangente de la curva y = 2X en cualquier punto de la misma.
Desarrollo
5, = Subtangente f = | ~ | como y = 2x =* / = 2 Aln2 => y '0 - 2X° ln2>o
2*° 1S - I I - .. -' 2*” ln 2 ln 2
649 Demostrar que la longitud del segmento normal de cualquier punto de la
hipérbola equilátera x 2 - y 2 = a" es igual al radio de dicho punto.
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
n = longitud de la normal =| yoyj\ + (>q)2 |
Como x 2 - y 2 - a 2 => y ’ = —y
n =1 y<J1+(— )2 != y0-—— = 4 4 + yo v yo y0
Luego la longitud del segmento normal es igual al radio polar de dicho p
650 Demostrar que la longitud del segmento subnormal de la hij2 ^ 2x - y~ = a , en un punto cualquiera de la misma, es igual a la absi
dicho punto.Desarrollo
Sn ~ longitud de la subnormal = |v 0.y¿ ¡
Como x 2 - y 2 = a 2 => y ' = — => y '0 =y ' y0
Sn =1 yo(— ) 1= -*0 >0
x2 V 2651 Demostrar que los segmentos subtangente de la elipse — + — = 1 ja 2 b 2
circunferencia x 2 + y 2 = a 2 en los puntos de abscisas iguales, son i
entre sí. ¿Qué procedimiento de construcción de la tangente a la eli desprende de lo ante dicho?
Desarrollo
Los puntos de abscisas iguales tanto para
la elipse como para la circunferencia son
P](a,0) y p 2(-a ,0). Por lo tanto se
tiene que:
296 Eduardo Espinoza Ramos
• / 2 2a) de la ecuación de la elipse se tiene: yp¡¡ = — ¡a - x 0
además v7 = -----;Í= = = ,« ? I i 'y
, PoU o^o)a2yja2 -X q
b) De la ecuación de la circunferencia a 2 + y2 = a 2 se tiene:
y = \Ja2 - x 2 y' =-— %L=^ 4
El segmento subtangente de la elipse es:
5 - 1 yp° | - | (q2—-«o) i . | fl2~^oVpo «aü a*o
Sea /j0(*0,y 0) = p1(a,0) => S, =0
El segmento de la subtangente de la circunferencia
S' - | yp° | - | (a | - | a ~ ~ xóy'n., xo xo
Sea p 0(x0, y 0) = p ^a ,0) => S¡ = 0
En forma similar se hace para p 2 (-a,0), concluyendo que S, = S/ . De
todo lo obtenido se concluye que la tangente a la elipse se obtiene, trazando por los puntos de abscisas iguales una recta paralela al eje Y y puesto que como 5, = 0, esto nos indica que no hay proyección de la
tangente sobre el eje X; por lo tanto la tangente es vertical.
Diferenciación de Funciones
652
653
Hallar la longitud de los segmentos tangente, normal, subtangente y subnoi a la cicloide x = a(t - sen t), y = a(l - eos t), en un punto cualquiera t = t0
Desarrollo
| x[ - a - eos t \y¡ = a sen ¡x = a(t- sen t) => < / ; y = a (l-co s t) =* •!
[y, = « -a c o s í0 y, =asen
/ _ y'ta _ <?(l-cos/0) _ l-c o s í0y x /x, asent.*n
Hallar el ángulo que forman entre sí la tangente a la espiral logarítn
r = aek<p y el radio polar del punto de contacto.
Desarrollo
El ángulo formado entre la tangente y el radio polar está dado por:
d<P r kmtgu = r ----- = — como r ~ ae vdr r'
dr dep d(p _ 1
= akek(pd(p
dr akek(f>
d(p 1 ae* 1 1 ,1's " = r * = K ^ , = w ? = i " , s u ’ i =* y =arc,sV
298 Eduardo Espinoza Ramos
654
6 5 5
Hallar el ànguìo entre la tangente y el radio polar del punto de contacio para la
lemniscata r2 - a 2 cos2<p .
Desarrollo
d (p 2 2Como tgu = r ---- y corno r —a cos2<p derivando se tiene:dr
~ dr _ 2 dr a2sen2(p d(p r2 r -= - 2a l sen2(p => ------- = - --------- — => — = ---- --------
d(p d<p r dr a sen2cp
dm rtgu = r - f - = /•(— — — :dr a sen2(p a sen2(p
a~ eos 2(p „ n „t g u = - —------ - = - c t g 2(p => tgu = - c tg 2cp => u= — + 2(pa sen2(p 2
Hallar las longitudes de los segmentos polares: tangente, normal, subtangente, subnormal y el ángulo que forma entre sí la tangente y el radio polar del punto de contacto para la espiral de Arquímedes r = acp en el punto de ángulo polar cp = 2n.
Desarrollo
Longitud de la tangente = t - r— . J r 2 + ( r ’)2k ' l
Como r = acp drd(p
- a reemplazando se tiene:
t = — yja2(p2 + a2 = (payjip2 +1 => t = 2jtay¡AK2 +1 para cp = 2n
f
Longitud de subtangentes S, =| —
2 2 2
S, = -f— = = acp2 para cp = 2it reemplazando se tiene: S, = 4a n 2k ' l a
Diferenciación de Funciones 2
656
Longitud de la normal = n = yjr2 + (r ')2 => n = yja2(p2 +a2 = ayf^ñ2 +1
Longitud de la subnormal - S n = |r '| de donde Sn - a para r' = a
d(p dr dm 1tgu = r—— pero r = acp y — ~ a => —x. = _dr d(p dr a
reemplazando se tiene: tgu = (a(p)(—) = (p => tg u = cp ; tg u = 2 na
Hallar las longitudes de los segmentos polares, subtangentes, subnorm tangente y normal; y el ángulo que forman entre sí la tangente y el radio po
para la espiral hiperbólica r = — en un punto arbitrario (p = <p0 ; r = r0 .
Desarrollo
_ a
rr1 -■
<Po
t-' a . aComo r = — para cp~(p0 se tiene r0 = —V <Po
a2 2
St — ar' a
<Po
' “ ¡T i
n-=^Jr2 + ( r ’)2
S ,= a => 5 „ = |r ’|= -^ - 9o
t = W1 + (Po%
n =a j í + (Po
9o
además tgO = — = -<¡£>0 => íg# = ~<¡í>o de donde 0 = arctg(-(p0 )
300 Eduardo Espinoza Ramos
657
658
La ley del movimiento de un punto sobre el eje OX es x = 3t - t \ Hallar la velocidad del movimiento de dicho punto para los instantes t0 = 0 , /¡ =1 y
t2 =2 (x se da en centímetros y, t en segundos).
Desarrollo
V(x) = — = 3 - 3 r dt
V(f0) = V( 0) = 3cmseg
V(f1) = V(l) = 3 - 3 = 0
cmV(/2) = V( 2) = 3-3(4) = - 9 —
seg
Por el eje OX se mueve dos puntos que tienen respectivamente las leyes del
t 1 .movimiento x = 100+5t y x = — donde t > 0. ¿Con qué velocidad se alejarán
estos puntos, el uno del otro, en el momento de su encuentro (x se da encentímetros y t en segundos)?
Desarrollo
Para el tiempo del encuentro se tiene que V, = V2
Donde: V. = — = 5 => V, = — = t , de donde t = 5 seg.1 dt 2 dt
Z —1\ \ + tV2 — 5/ + 1~
velocidad con que se aleja = = (5 + 2í) |,=5 =/=5 dt
= 5 + 10 = 15 —r=5 seS
tv< tv0
Diferenciación de Funciones
659 Los extremos de un segmento AB = 5 m. Se deslizan por las rec perpendiculares entre si OX y OY (ver figura). La velocidad desplazamiento del extremo A es igual a 2 cm/seg ¿Cuál será la velocidad desplazamiento del extremo B en el instante en que el extremo A se encuei a una distancia OA = 3 m del origen de coordenadas.
Por pitágoras en el AOBA se tiene:
z 2 = x 2 + y 2, de donde para x = 3, z = 5, entonces y = 4.
Como z 2 = x 2 + y 2 , derivando se tiene:
. dz . dx dy dy dx dy2z— = 2x— + 2y — => y-^- = - x — => 4— = -3(2)dt dt dt dt dt dt
dv 3 cmpor i o tanto — = ---------dt 2 seg
660 La ley del movimiento de un punto material , lanzado en el plano vertical' Y (ver figura), formando un ángulo a respecto al horizonte, con una veloci< inicial V0 viene dada por las formulas (sin tomar en consideración
t2resistencia del aire), x = V0t eos a , y = V0t sena ~ g ~ > donde t es el tiemp
y la aceleración de la fuerza de gravedad. Hallar la trayectoria del movimie y su alcance, determinar también la magnitud de la velocidad del movimient su dirección.
302 Eduardo Espinoza Ramos
Para calcular la trayectoria eliminaremos el parámetro t de las ecuaciones.
xx = Vñtcosa => t-V0cosa
2y = V0f sena - — r => y = V0sena(-—-) -
2 ' V0cos a 2 v 02cos2 a
y = (tga)x------ x22V0 eos a
Su alcance es el punto A y para esto se tiene y = 0:
9 9el punto que cumple las condiciones del problema es: ( - , —)8 2
304 Eduardo Espinoza Ramos
663
664
Uno de los lados de un rectángulo tiene una magnitud constante a = 10 cm mientras que el otro b, es variable y aumenta a la velocidad constante de 4 cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán la diagonal del rectángulo y su área en el instante en que b = 30 cm?
Desarrollo
Z = diagonal del rectángulo
> z = Vi00 + b2 , derivando se tiene:Z = yja2 +b2
dZ db dZ 30 (4) =120
dt yjioo + b2 dt dt Vi00+ 900 10VÍ0
dZ 12 cmde donde se tiene: — = —¡= = 3.8----
dt VIO seg
la diagonal crece a una velocidad de 3.8 cm/seg.
dAdA db A = ab =» — = a — 10(4) = 40 dt dt
El área crece a una velocidad de 40
- = 40™ dt seg
cmseg
El radio de una esfera crece uniformemente con una velocidad de 5 cm/seg. ¿A qué velocidad crecerán el área de la superficie de la esfera y el volumen de la
misma, cuando el radio sea igual a 50 cm?Desarrollo
Área de la esfera = A = 4nr2
dA „ dr dA— = 8tt r — =* —dt dt dt
= 8tt(5)(50)dA cm— = 200071-----dt seg
Diferenciación de Funciones
4 •,Volumen de la esfera = V = —nr , derivando se tiene:3
— - 4 n r 2— => — = 47r(50)2(5) = 6 0 0 0 ;r^ -dt dt dt seg
665 Un punto se mueve sobre la espiral de Arquímedes r = a(p (a = 10 cmmodo que la velocidad angular de rotación de su radio polar es constan igual a 6o por segundo. Determinar la velocidad con que se alarga d radio polar r en el instante que r = 25 cm. f
Desarrollo
dr dtp , , d(p 6° n ,— = a — donde - J- = ---- = — /segdt dt dt seg 30
dr dr n cm— = 10(— ) => — = -------dt 30 dt 3 seg
666 Una barra heterogénea AB tiene 12 cm de longitud. La masa de la parte dede la misma crece proporcionalmente al cuadrado de la distancia del pi móvil respecto al extremo A y es igual a 10 g, cuando AM = 2 cm. Hall; masa de toda la barra AB y la densidad lineal en cualquier punto M d misma. ¿A qué es igual la densidad lineal de la barra en los puntos A y B?
Desarrollo
Condición del problema m = kx1, donde m es la masa y k el factoi proporcionalidad.
-> 5Cuando AM = X = 2 cm, m = 10 gr. De donde 10 = A:(2) =>
306 Eduardo Espinoza Ramos
Luego m { x ) -k x 2 => m(x) = —x22
La masa de la barra AB es cuando x = 12 y m = 360 gr. y la densidad en
cualquier punto de Ni es: ----- = 5x—dx cm
Ahora veremos la densidad en los puntos A y B
. » « dm „para el punto A: x = 0 => — = 0dx
para el punto B: x= 12 =» — =60—dx cm
2.5. DERIVADAS PE ORDEN SUPERIOR.-
PRIMERO: DEFINICION DE LAS DERIVADAS DE ORDENESSUPERIORES.-
A la derivada de la derivada se llama derivada de segundo orden o derivada segunda de una función. y = f(x), es decir y ” = (y')'
La derivada segundo se designa así: y " o , o f" (x )dx
d 2xSi x = f(t) es la ley del movimiento rectilíneo de un punto —— es ladt
aceleración de dicho movimiento.
En general, la derivada de orden enésimo de la función y = f(x) es la derivada de la derivada de orden (n - 1), la derivada enésima se designa por:
Diferenciación de Funciones
SEGUNDO: FÓRMULA DE LEIBNIZ.-
Si las funciones u = f(x) y v = g(x) tienen derivadas hasta de orden enésir inclusive, para calcular la enésima derivada del producto de estas funciones pueden emplear la formula de Leibniz:
686 Por la circunferencia x 2 + y 1 = a 2 se mueve un punto M con una velocida
angular constante W. Hallar la ley del movimiento de su proyección M x sobr
el eje OX, si en el momento t = 0, el punto ocupa la posición M0(a,0) (sega
figura). Hallar la velocidad y la aceleración del movimiento del punto M ,.
¿A que es igual la velocidad y la aceleración del punto M, en el momento
inicial, y en el momento en que pasa por el origen de coordenadas?¿Cuáles son los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración del punto M, ?
Desarrollo
x dxEn el AOMXM se tiene cos(wí) = — , de donde x = a eos wt, V = — = -awa dt
es la velocidad en el momento t.
a = —— = - a w 2 eos wt es la aceleración en el momento t. d t 2
V |,_o= 0 , velocidad inicial
a |(=0 = - a w 2 , la aceleración inicial.
Diferenciación de Funciones 3
687 Hallar la derivada de orden n-esimo de la función y = (ax + b)n , donde n es numero entero.
2~ 2-t-5 y ^ „_ (5a + 2y + 3)(-2- 5y ')- (2 - 2x - 5y)(5 + 2 y ')5x+2y + l ' (5A + 2y + l)2
Al simplificar y hacer la evaluación en el punto (1,1) se tiene: y " L —Ki.i) 25
710 Hallar y” en el punto (0,1) sí A4 -Ay + y4 =l
Desarrollo
4a3 -y -A y '+ 4 y 3y' = 0 => (4v3 - A)y'= y - 4a3 => y ' = —— •4y3 — a
y - _ (4y3 ~ -yK y 1 2a2 ) - (y - 4a3 )(12y2y 1)(4y3 — a)2
y - 4 a3Reemplazando y ' = ——---- en y" y evaluando en el punto p(0,1) se tiene
4 y - x
332 Eduardo Espinoza Ramos
711 a) La función “y” está dada implícitamente por la ecuaciónd3 y
x 2 + 2 x y + y 2 - 4 x + 2 y - 2 = 0 . Hallar — f en el punto (1 ,1).dx
b) Hallar sí x 2 + y 2 =a~ dx
Desarrollo
a) 2 x + 2 y + 2 x y ' + 2 y y ' - 4 + 2 y ' = 0 =* ( 2 x + 2 y + 2 ) y ' = 4 - 2 x - 2 y
4 - 2 x - 2 yy = ---------------------- =■
(2jt+2y + 2)
. ( 2 x + 2 y + 2 ) 2 ( - 2 - 2 y ' ) - ( 4 - 2 x - 2 y ) 2 ( 2 x + 2 y + 2 ) ( 2 + 2 y )
y ~ ( 2 x + 2 y + 2 )4
. ( 2 x + 2 y + 2 ) ( -2 - 2 y ’) - 2 (4 - 2 * - 2 y )(2 + 2 y ')
V " (2x + 2 y + 2 )3
Simplificando y calculando y ' " , y evaluando en (1 ,1) se tiene:
b) x 2 + y 2 = a 2 => 2 x + 2 y y ' = 0 => y ' = -
y - x y _
y2 y 2
„ _ 3a2 , _ 3a2 3a2*y* y / y y5
Diferenciación de Funciones
2.6. DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE ORDE SUPERIORES.-____________________________ _________
a) DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN:
Se llama diferencial (de primer orden) de una función y = f(x) a la principal de su incremento lineal con respecto al incremento Ax = i la variable independiente x, la diferencial de una función es ig producto de su derivada por la diferencial de la variable indepen
dyd y - f ' (x)dx , de aquí, que y ' = — .
dx
Si MN es el arco de la gráfica de la función y = f(x), MT la tangei el punto M(x,y) y PQ = Ax = dx.
Tendremos que el incremento de la coordenada de la tangente AT = el segmento AN = Ay.
b) PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS DIFERENCIAL
1 de = 0, donde c = constante 2 dx = Ax
3 d(cu) = c du 4 d(u ± v) = du
5 d(uv) = udv + vdu 6 d(—) = -V “ ~v v2
7 d(f(u)) = f'(u)du
334 Eduardo Espinoza Ramos
712
c) APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL PARA LOS CALCULOS APROXIMADOS.-
Sea y = f(x) la diferencial dy y el incremento Ay de dicha función es aproximadamente iguales entre sí Ay = dy.
Es decir / (x + Ax) - f ( x ) ~ / ' ( x)Ax, de donde:
f ( x ) + / ' (x)Ax = f ( x + Ax)
d) DIFERENCIALES DE ORDENES SUPERIORES.-
Se llama diferencial de segundo orden a la diferencial de primer orden d 2y= d(dy) , en forma similar se define de tercer orden si y = f(x) y “x” es la variable independiente, se tiene:
d 2y = y"(dx)2
d 3y = y " '(d x ) \
d ny = y (n)(dx)n
Cuando y = f(u), donde u = \|/(x) se tiene:
d 2 y = y" (du)~ + y' d 2u
d 3y= y '" (du )3 +3 y"du.d2u + y 'd 3u
Hallar el incremento Ay y la diferencial dy de la función y = 5x + x para x = 2 y Ax = 0.001
Ay = 2.001(5 +2.001) - 14 => Ay = 2.001(7.001) - 14 = 0.009001
dy = y'dx = {5 + 2x)Ax =* dy = (5 + 4)(0.001) = 9(0.001) => dy = 0.C
Sin calcular la derivada, hallar d ( l - x 3), para x = 1 y Ax = - -3 '
Desarrollo
d ( l - x 3) = -3 x 2dx = -3 x 2Ax =$ d ( l - x 3) = - 3( l) ( - i) = 13
El área S de un cuadrado cuyo lado es igual a x, viene dada por la foi
S = x 2 , hallar el incremento y la diferencial de esta función y determir valor geométrico de esta ultima.
Desarrollo
dS = 2x.Ax y AS = S(x + Ax) - S(x)
A5 = (x + Aí)2 - x 2 => AS = x 2 +2x.Ax + (Ax)2 - x 2
por lo tanto se tiene: AS = 2x.Ax + (Ax)2
Dar la interpretación geométrica del incremento y de la diferencial d( siguientes funciones:
a) del área del circulo S = n x 2. b) del volumen del cubo v = x
Desarrollo
a) El incremento de la función es: AS = S(x + Ax) - S(x)
AS =n(x + Ar2) = 2tdc.Ax + tt.Ax2
Calculemos la diferencial es decir:
336 Eduardo Espinoza Ramos
dS = S'(x)dx => dS = 2rcx.dx = 2rcx.Ax
Como AS = 2nx.Ax + n.Ax2 y dS = 27t.x.Ax y como Ax -> 0.
entonces: AS = dS
b) El incremento de la función es Av = v(x + Ax) - v(x)
Av = (;t +Ax)3 - jc 3 => Av = x3 + 3x2.Ax + 3x.Ax2 — x 3
de donde se tiene: Av = 3x2 .Ax + 3x.Ax2
Calculemos la diferencial es decir:
dv = V'(x)dx => dv = 3x2dx => dv = 3x2.Ax
Como Ax —» 0, => Av = dv
716 .Demostrar que cualquiera que sea “x”, el incremento de la función v = 2x , correspondiente al incremento de “x” en una magnitud Ax, es equivalente a la expresión 2 * Ax. ln 2 , cuando Ax —» 0.
Desarrollo
Ay = dy como dy = y'dx= y'.Ax
y = 2x y' = 2x \n2
Ay ® dy = y'.Ax = 2X ln2.Ax
717 ¿Para qué valor de “x”, la diferencial de la función y = x 2 no equivale al incremento de esta, misma función cuando Ax —> 0?
Desarrollo
Como y = x 2 => dy = 2x.Ax
Diferenciación de Funciones
A y - ( x + A x ) ~ -x = 2x.Ax + Ax2
para que Ay ^ dy el valor de x debe ser cero es decir x = 0.
718 ¿Tienen diferencial la función y = | x | para x = 0?
Desarrollo
Como dy = y'dx luego y = | x | no es diferenciable en x = 0, por lo tanto no tiene diferencial.
719 Empleando la derivada, hallar la diferencial de la función y = eos x jn 7rx = — y Ax = — .6 36
Desarrollo
Como y = eos x => dy = y'dx => dy = - sen. Ax
dy — —sen—.— => dy = -----= -0.04366 36 72
720 Hallar la diferencial de la función: y = ~ para x = 9 y Ax = -0.01\ x
Desarrollo
2 _Ly — 7= => dy = y'dx como y = 2x 2
V*
y' = - x 2 => y' = ---y
j . j Ax -0 01 1d y - y d x - ----- => dy = — — => dy = ------ «0.00037f ¿ 2700x 2 92
338Eduardo Espinoza Ramos
_ n n721 Calcular la diferencial de la función y = tg x para x - — y T - 1go'
Desarrollo
y = tg x dy — sec 2 x.dx — sec x.Ax
dy = « c H f ^ ^ - 0-0698
HALLAR LAS DIFERENCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES PARA CUALQUIER VALOR DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE \
DE SU INCREMENTO.
722 y = 4 :x
Desarrollo
mdxV= J - =* y = xPm => dy = -mx m 'dx =* d y - —
xm
X723 y = 1-JE
Desarrollo
, ( l - x ) - x ( - l ) _ __Como dy = y'dx entonces y = — ^ ” 2 J ( i- * ) 2
dxLuego dy = y'dx=
ti x)
x724 y = arcsen —
aDesarrollo
Diferenciación de Funciones
y = arcsen — => y ’ =a l - ( - ) 2 Va2 - x 2
dxcomo dy = y'dx =
I 2 2Va - x
725 y = «rcíg — a
Desarrollo
* a ay = arctg— =* y ’ = --------- => y = -5 ---- -l + (—)2 a +X
a
adxcomo dy - y dx = —------Cl + x~
2
726 y = e~xDesarrollo
_ 2 _ 2
Como y = e x => y’=-2xe *
2Además dy = y' dx - -2xe dx =$ dy = -2xe dx
727 y = x In x - xDesarrollo
y = x l n x - x => y' = lnx + l - l = lnx
dy = y 'd t = In x.dx => dy = ln x.dx
340 Eduardo Espinoza Ramos
728 y = In -——1 + JC
Desarrollo
y = ln-—— = ln(l - ¿r) - ln(l + x)\ + x
1 1 - l - x - l + x , 2y ’ = ----------------= ---------- ----- => y = ------- -\ - X l+X l - X l - X
2dxcomo dy = y'dx => dy = ------- -
l - x 2
729 r = ctg (p + ese 9Desarrollo
, , 1 eos q>r' = -csc <p- e s c (p.ctg(p => r = ------ ---------- r—:
sen (p sen (p
l + cos<pcomo dr=r'd(p => = ------- 5—
sen~(p
730 S = arctg e'Desarrollo
S - arctg e! => S ' = ----- =-1 + éT
_, , e dtcomo dS = S' dt => dS =S dt = -----—
1 + e
731 Hallar dy sí x 2 + 2 x y - y 2 = a2
Desarrollo
2xdx + 2xdy + 2ydx - 2ydy = 0 => (2x +2y)dx = (2y
1 + coscp sen2(p
- 2x)dy
Diferenciación de Funciones
d y - ~ --- ^ d x => d y = ^ -^ -d x => dy = - ^ - ^ - d x2 y - 2 x y - x x - y
HALLAR LAS DIFERENCIALES DE LAS SIGUIENTES FUNCK DADA DE FORMA IMPLICITAS
f { x ) - y [ x => f \ x ) = —t = , reemplazando a la ecuación:4 V ?
f ( x + A x )~ f ( x ) + f ’(x)dx
VÍ7 « V Í 6 + - ^ = = 2.03 4^16
E745 Demostrar basándose en la fórmula de la ley de ohm / = que una pequeña
variación de la intensidad de la corriente, debida a una pequeña variación de la
resistencia, puede hallarse de manera aproximada por la fórmula A1 = A/?R
Diferenciación de Funciones
746
747
Desarrollo
EComo / = — aplicando la diferencial de un cociente con respecto a R.
R
,, RdE-EdR JT, „di = ------- ------ pero dE = 0R2
. .. EdR E dR ILuego: d i - -----— = — (— ) =* AI = ----ARR2 R R R
Demostrar que un error relativo de 1% cometido al determinar la longitui radio, da lugar a un error relativo aproximado de un 2%, al calcular el áre circulo y la superficie de la esfera.
Desarrollo
Usar la formula siguientes: Área del circulo = A = jtr2
Superficie de la esfera =S = 4nr2
Calcular d 2y , sí y = eos 5x
Desarrollo
y = jos 5x =s> dy = -5 sen 5x dx
d 2 y = -25 eos 5x(dx)2
748 u = yjl — x2 , hallar d 2u
Desarrollo
348 Eduardo Espinoza Ramos
749 y = arccos x, hallar d 2 yDesarrollo
dx . x(dx)2y = arccos x => dy = — . => dy = -
750 y = sen x. Ln x, Hallar d 2yDesarrollo
senx , , , . senx\ jdy = cosx.\nx.dx +------dx => ¿ y = (eosx.l n x H---------- ) ííxx x
,2 , , cosx., , .2 .xcosx-senx 2d y = (-senx. ln x + ----------------------------- )(dx) + (-,----------)(dx)X X"
,2 , , 2 cosx senx 2d y = (-senx. ln x + ------------- z~)(dx)X X
751 z = ———, hallar d 2 zx
Desarrollo
1 -ln x , ,2 2 x - 3 2dz = -^— dx => d z = — r—(dx)x" XJ
752 z = x e x , hallar d zDesarrollo
dz = (2xe~x - x 2e~x )dx => d 3z = -e~x(x2 - 6 x + 6)(dx)3
4
753 z = ------ , hallar d Az2 - x
Desarrollo
4 384 / * \4En forma similar a los anteriores a z = --------- (dx)
762 Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Lagrange y hallar el4
correspondiente punto intermedio z para la función f ( x ) = x 3 en el segmento
[-1,1]Desarrollo
4
f ( x ) = x 3 = 1¡7 es continua V x e R
/ '(* ) = => f ( l ) = l y f ( - l)= l
además/Xz) = M í l ^ = l z l = 0 l - ( - l ) 2
como f ' ( z ) = 0 => ^ > /z=0 => z = 0
como -1 < z < 1, luego se cumple para z = 0
Diferenciación de Funciones
En el segmento de ■ la parábola y = x 2 comprendido entre los puntos A(1
B(3,9). Hallar un punto cuya tangente sea parábola a la cuerda AB.
Desarrollo
( ¡ m f v _ / (b)~ f (o)^ea j ( z ) ----------------- donde a = 1, b = 3b - a
9-1/ '(* ) = — = 4 como f ( z ) = z 2 =* f ' ( z ) = 2x
como f ' ( z) = 4 => 2z = 4 => z = 2
Luego el punto será (z, f(z)) = (2,4)
764 Aplicando el teorema de Lagrange, demostrar la fóm sen(x + h) - sen x = h cos£ donde x < £ < x + h
Desarrollo
Sea f(x) = sen x, es continua en [x, x + h] por el teorema de Lagrange
tlene: f ' ( x + h ) - f ( x ) = (x + h - x ) f ( % )
f ( x + h ) - f ( x ) = hf'($) donde /*(£)= cos£.sen(x + h )-senx = h cos£
donde £ = a + 0(x - a) y O< 0 < 1
caso particular para a = 0, se tiene la formula de Machaurin.
f ( x ) = f(0 ) = x f '(0) + ~ f "(0) +... + - í l L /<*-» (0) + fin) ,¿ x 21 (« — ! ) ! , ni ^
354 Eduardo Espinoza Ramos
765 a) Comprobar si se cumple las condiciones del teorema de Cauchy para las funciones f ( x ) = x 2 + 2 y f ( x ) = x 3 - 1, en el segmento [ 1,2] y hallar £
b) Idem para f(x) = senx y F(x) = cosx en el segmento [0, ~ ]
Desarrollo
, „ . , ^ .• f ( b ) - f ( a ) / '(£ )a) Por el teorema de Cauchy se tien e :--------------- = -----— 1 < q < 2F(b)-F(a) F\Z)
f(2) = 6, f(l) = 3 y / '( § ) = 24
f(2) = 7, F(l) = 0 y / '( § ) = 3£
/ '( g ) _ 6 -3 3 _2_= 3 ^ 14FXÉ) 7 - 0 7 3% 7 9
b) f(x) = sen x => f ' ( x ) = cosx
TCF(x) = cosx => F'(x) = -senx , 0< ¿ í c
eos! 1 -0 t ' c ti-----—- = ----- => ctg £ = 1 => c = —-sm * 0 -1 4
2.8. FÓRMULA DE TAYLOR.-
Si una función f(x) es continua y tiene derivadas continuas hasta de grado (n - 1) inclusive en el segmento a < x < b (o b < x < a) y para cada punto
interior del mismo existe una derivada finita , en este segmento se
verifica la fórmula de Taylor.
Diferenciación de Funciones
f ( x ) = f{a) + (x - a ) f \a) + f "(a) + / '"(a) +
- + í7(n-1)! ni
766 Desarrollar el polinomio f ( x ) = x 3 - 2 x " + 3 x + 5 en potencias enterepositivas del binomio x - 2.
Desarrollo
f ( x ) = x 3 - 2x 2 +3 x + 5 => f ' ( x ) = 3 x 2 - 4 x + 3
f " ( x ) = 6 x - 4 , f " ' ( x ) = 6, f in)(x) = 0
para n > 4 de donde f(2) =11, / '(2 ) = 7 , / ' ” (2) = 8 , / " ' ( 2) = 6
f ( x ) = x3- 2 x 2+3x+5 = f ( 2 ) + f X2)(x - 2) + (* - 2) + (jc - 22! 3!
a) íenx = x --^ - + :~ / v(<5) donde f v(%) = cos£ , £ =9\X, O<0t < l
Diferenciación de Funciones
x ^ X 5 X 1b) senx = x - — + — - — f v“(£) donde / v"(£) = -cos£
donde ^ ~ d 2x , O<02 <1
770 Desarrollar la función /(x ) = ex en potencias de x hasta el término de x"~
Desarrollo
f ( x ) = ex => f M ( x )= e x => / (n)(0) = l
m - / ( 0 ) + / t o , + £ B ^ + ...+ +n ( l x ,21 (n —!)! n!
x2 x”_1 r"f ( x ) = e* = l + x + — + ...+———- + — e5 donde ^ - 6 x , y O<0<1
2! (ra-1)! ni
771 Demostrar que la diferencias entre sen(a + h) y sen a + h eos a, no es m<
de - h22
Desarrollo
Sea (x) = sen x haciendo el desarrollo en potencias de x - a
senx = íe/;a + (x - a) eos a - ( V °^ sena - eos a +2! 3!
haciendo x =a + h, de donde se tiene:.
, , , , , h2 h3sen(a + h) = sena + h eos a ----- sena----- eos a +...2! 3!
sen(a + h )-se n a -h c o sa = — ( - s e n a - - a - — sena+ ...+) . m2 3 12
358 Eduardo Espinoza Ramos
h h h2 , , h h h*-sena— cos a H—cosa+— sena+... = sena(-H-------------------- h..)+cosa(-------- H--------- K..)3 3 12 12 3 20
donde -1 + — + ...<1 12
h h — + — + ...<1 3 20
además 0 < sen 9 < 1 y 0 < eos 0 < 1
y además cuando sen a -> 1, eos -> a y cuando eos a —» 1, sen —> a
/ i hl s / h h3sena(- Ih— - + ...) + eos a(— + -----K..) < 112 3 20
h , h¿ . h r w h¿- [ s e n a ( - Ih------K..) + cosa(— + — + ...) < —2 12 3 20 2
... (2)
reemplazando (2) en ( 1 ) se tiene: sen(a + h)~ sena - h cos a <
772 Determinar el origen de las formulas aproximadas:
„2a) yj l + X ~ 1 + -, I X ¡ < 1
2 8b) yJ\ + X =1 + — — —
3 9I X I < 1
y valorar el error de la fórmula
Desarrollo
a) Mediante el desarrollo de Taylor se tiene:
3r,— , x x>/l + X = 1H----------(- -
2 8el error es:
16(1 + É)2
„ X X(1 + -------- + -2 8
16(l + £ )2 16(l + £ )2
Diferenciación de Funciones
b) V IT I = l + £ - £ _ + A (_ ^ ) d error es:
( l+ £)3
n , x X 2 5 X 3 X x 2 S r 3(1+ + ----------ñ~) — (! + ————) = — -___
3 9 ! 3 9 881(l+ £ )3 81(1 + | ) 3
donde £ = 0x y O< 0 < 1
773 Valorar el error de la fórmula: e = 2 + — + — + -12! 3! 4!
Desarrollo
, x 2 X 3 r 4 v 5e =1 + * + — + — +— + ü_2! 3! 4! 5 ! J (g)
e =e cuando x= l entonces se tiene:
e *=2+h +i +i +h f V ( 0 donde
Luego el error será: ~ donde § = 0x = 0(1) = 0
Pero 0 < 0 < l, el máximo error que puede tener ex =2 + — + -L + JL2! 3! 4!
cuando se toma el mayor £ es decir que debe lomarse el máximo valor de ( pero el máximo valor 0 aproximado y siempre menor que 1, entonces tomand
0 = 1, el error < ~ donde e < 3.
Luego redondeando se tiene error < — = — = n rm5! 40
360 Eduardo Espinoza Ramos
774 Un hilo pesado, bajo la acción de la gravedad, se cambia formando la catenaria
y = a cosh —. Demostrar que para valores pequeños de | x | la forma que toma a
x2el hilo puede representarse aproximadamente por la parábola: y = a + —2 a
Desarrollo
Como |x| es pequeño utilizaremos la formula de MACLAURIN.
Sea f (x ) - y - acosh(—) =£ f(0) = a a
f(x ) = a cosh — = a+ — + — -r- + ... como ¡ x | es pequeño entonces | x | - 0 a 2 a 4 la
X X xLuego ---- - +---- - + ... => o puesto que -------r => o para | x | => 04la 6la nían~l
X X X XLuego acosh — = a +---- - + -----= y
a 2a 4 la3 2 a
X XPor lo tanto a cosh — = a H----a 2a
X 2775 Demostrar que cuando | x | < a, con una precisión hasta de (—) , se verifica la :a
igualdad aproximada ea ~ J ———V a - x
Desarrollo
Diferenciación de Funciones
n x ~ x 3x2 ' P * ' %(1— ) 2 « 1 + — + — Aa 2a 8a~
multiplicando ambos miembros se tiene que: . Ia+ x ~ \ + £ + _£—\ a - x a 2a1
X
ahora haciendo el desarrollo de ea en potencias de — :a
j 2 ~ X Xe° «1 + - + — _a 2 a~
de (1) y (2) se tiene que: J --+x = ea' a - x
2.9. REGLA DE L ’ HOSPITAL - BERNOULLI PARA CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS.-
a) CÁLCULO DE LIMITES INDETERMINADOS DE LAS FOR
- V — .
0 oo ■'
Consideremos f(x) y g(x) dos funciones derivables para 0 < | x - a sin que la función g(x) se reduzca a cero, si f(x) y g(x) son infinitar pequeño o infinitamente grandes cuando x => a, es decir si la fra f (x )—— representa en el punto x = a, una expresión indeterminadag(x)
forma — o — , tendremos que:0 O O
f ( X) . f \ X) lim —— = lim —-— a condición que este limite de las derivadas e>g(x) x —* a g ( x )
362 Eduardo Espinoza Ramos
f \ x )También esta regla se aplica cuando x si la fracción-------es unag \x )
expresión indeterminada se vuelve a aplicar esta regla.
b) OTRAS FORMAS INDETERM1NADAS--
Para hallar los limites de expresiones indeterminadas de la forma 0, o«, se transforma los correspondientes productos f x{x).f2(x) donde
lim /, (x) = 0 y lim f 2 (*) = 00 en la fracción.
/ |W , t 0 N u., / 2(x) ,e °°— — (forma — ) o también ——— (forma — )1 0 1
f 2(x) f¡(x)
Para el caso de las indeterminadas de la forma °° - °o se transforma la/ (•*)diferencia /¡ (x) - f 2(x) en el producto /, (x)[l— ----- i y se calcula élfi(x)
f (•*) / Mlimite de la fracción -2— , si él limite —— = 1, esta expresión sefi(x) fi(x)
reduce a la forma:
1- f 2(x)
(forma 5 )1 0
fi(x)
Los limite cuyas expresiones de las determinadas son de la forma
1~, 0o y o=°.
Se calculan primero tomando logaritmos y después se levanta el logaritmo.
Diferenciación de Funciones
HALLAR LOS LIMITES QUE SE INDICAN DE LAS FUNCIC SIGUIENTES:
776 ,imí - l 3 í l z £ ± 2 *->t x - 7 x + 6
Desarrollo
U ~ x ~ 2x - x + 2 ,. 3x~ — 4x —1 3 - 4 - 1 -2 1lim---- -------------- = lim------ -------- = ---------- = — = _*-»i x - I x + 6 3x - 7 3 -7 -4 2
___ ,. x eos x -senx111 lim —X
Desarrollo
x eos x -senx eos x -xsenx-eos xlim-------- ------- = hm -------------------------x~iO x x->o 2x2
l - x - l 2 l 2 lhm— -------- = iim------------ = —lim— -— = - ( - ) :M ,l - s e n ™ x~*l * e o s™ n ^ e o s ™ K 0
2 2 2 2
coshx-l 7/9 lim--r->0 l-c o sx
Desarrollo
coshx -l senhx ex -e~x ex +e~x 2h m - --------------= h m -----------= lim ----------------= lim --------- -— = - = l*->0 I - eos x x >o senx 2senx *->o 2cosx 2
lim x V * = lim xn. lim = 0".e”° = (0)(1) = 0x - » 0 x - ^ 0 x — * 0
Diferenciación de Funciones 1
791 lim xsen(—)X—>®°
Desarrollo
a a asen — — 2 eos --lim xsen(-) = lim — = lim —- —-— — = a lim eos ü = a.eos 0 = a. 1 = a
00 X X > °° 1 X—)oo 1 ^— oo
X X 2
792 lim xnsen— , n > 0X
Desarrollo
a n a aa sen- a eos— eos-lim sen— = lim — = - lim— —- i = «a lim---- £ = - ( 1 ) = «, paran >]
x *->« _1_ ,-»■ 2 1 - n x-^ort + 1 „ o 1
x" x"
Sí n = 1 => lim xsen — = ax-*a x
Sí n < 1 => lim xnsen— ~ 0
793 lim In x. ln(x -1 )JC—»1
Desarrollo
Hm ln x. ln(x -1) - lim---- ------= 0, por la regla de L ’ Hospital
ln (x-l)
794 lim(— ------ L )>i x -1 ln x
Desarrollo
368 Eduardo Espinoza Ramos
, x 1 . * ln * —* + 1 . ln*lim(-------------) = linj-------------- = lim-------------r*->i x - l ¡n* (* -l) ln * ^ f a * l
x
1ln* x 1 1= lim-------- —- = lim----- — = -—- = -
je—»1 , . 1 x-»l 1 1 1 + 1 2ln* + l — — + —rx X X
795 lim(—í—.— ---------)-r->3 X - 3 X — X — 6
Desarrollo
1 5 , *~-6* + 9 (* -3 )hm(---------- r---------) = lim---------- ;----------= lim------- ——5------ —at-»3 x - 3 x - x - 6 *-»3(*-3)(* - x - 6 ) *->3(*-3)(* - * - 6 )
x - 3 i - l 1 1 — lim—---------= lim -x->3 x2 — x — 6 *-»3 2*—1 6 — 1 5
796 lim(----- í - p ---------^7=-)■*-»2(1- A ) 3(1-V*)
Desarrollo
1 + V* I + n/Í + V ? , ,• 3 + 3 ^ f x - 2 - 2 l f x - l l f x 2lim(-------------------------- ) = l i m -------------------— ------~ i 2 ( l - * ) 3(1 - x ) *-*i 6 ( 1 - * )
donde lim xsen — = 0 , puesto que z = —, cuando x —» 0, z —»*->0 x x
1 1 íenz . 1lim —senz = ? => -1 < sen z < 1 => - -
z z z z
1¡ra_ I < i i m í f í £ < i ¡ m i ^ o s l i m o s o •••i™£7 £ = »: _>oo 1 z z _ > “ Z z ~ * ° ° Z 2
x-senxb) lim ----------= 1
x-*- x + senx
j senxlim£ Z £ £ ^ = l i m - H H = 1 ^ = 1 donde lim — = 0, ver parte a) x->™ x +senx j | senx 1 + 0 x
Diferenciación de Funciones
810 Demostrar que el área de un segmento circular con una ángulo cer pequeño, que tiene la cuerda AB = b y la sagita CD = h (según figu
2aproximadamente igual a: S ~~bh
Con un error relativo tan pequeño como se desea, cuando a —> 0
Desarrollo
Sea R el radio de la circunferencia, el área del segmento esta dada exacte2
por la formula: 5 = — ( a - s e n a ) , para demostrar que: 5 = — bh
Calculemos lim —— y esto debe ser aproximadamente igual a 1.a->0 2 . ,— bh3
Según la figura b = R cos a
H = R - b = R(l -eo s a)
2 2—bh = — R2 co sa(l-co sa) 3 3
R¿
Luego lim —— = lim —— ------------------ = lim - ( — - — — )«-*0± bh a~>0 —/?2co sa(l-co sa ) “^ ° 4 co sa(l-co sa )
(a-sena)O
a - sena
374 Eduardo Espinoza Ramos
CAPITULO III
EXTREMO DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES GEOMETRICAS PE LAS DERIVADAS ___
3JL EXTREMOS DE~ LAS FUNCIONES DE UN ARGUMENTO.-__________________________________________
a) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE LAS FUNCIONES.-
Diremos que la función y = f(x) es creciente en un intervalo determinado sí para cada par de puntos x, y x 2 de dicho intervalo.
Se cumple que sí <x2 =* f ( x t ) < f ( x 2)
Diremos que la función y = f(x) es decreciente en un determinado intervalo si para cada par de puntos cualesquiera x, y x2 de dicho intervalo se cumple
que sí x, < x 2 => / ( x , ) > / ( x 2)
Aplicación de las Derivadas
Si la función f(x) es continua en el segmento [a,b] y / '(x ) > 0 para a < : la función es creciente.
En el segmento [a.b]. Si la función f(x) es continua en el segmento [a, / (x) < 0 para a < x < b la función es decreciente en |a,b]
Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones.
811 y = l - 4 x - x 2Desarrollo
/ = - 4 - 2 x => }’' = 0 para los puntos críticos, es decir:
- 4 - 2x = 0 => x = - 2 punto critico.
-2
Como y = f(x) / = / ’(x) = - 4 - 2 x => / = - 2 ( x + 2)
Si x <-2, y’>0 => f(x) = y, es creciente en <-°o,-2>
Si x >-2, y'<0 f(x) = y, es decreciente en <-2,«>>
812 y = ( x - 2 ) 2Desarrollo
y = (x — 2)2 =* y’= 2 ( x - 2 )
Como y' = 0 para obtener los puntos críticos entonces:
2(x - 2) = 0 => x = 2 punto critico.
376 Eduardo Espinoza Ramos
2/ = 2 (x -2 )
*1Si x < 2 => y'<0 => y =f(x) es decreciente en <-«>,2>
Si x > 2 => y’> 0 => y = f(x) es creciente en <2,~>
*13 y = U + 4)JDesarrollo
y = (a + 4)3 =* y'=3(ar + 4)2
Como y' = 0 , para obtener los puntos críticos es decir:
3(x + 4)2 = 0 , de donde x = -4
Si x<- 4 => y'<0 => f(x) = y es crecimiento en <-oo,-4>
y' = 3U + 4)2
S i x > - 4 = > y’> 0 => f(x) = y es crecimiento en <-4,<*»
Aplicación de las Derivadas
814 y = *‘ (* -3 )Desarrollo
y = *2(jt-3 ) = *3 - 3 jc2 => y '= 3*2 -6 * => y' = 0
para obtener los puntos críticos es decir:
3.v - 6x = 0 =» 3x(x-6) = 0 => x = {0,6} puntos críticos
0 6y'=3jc(j:-6)
Si x<0, y’>0 => f(x) = y es creciente en <-oo,0>
Si 0 < x < 6, y'< 0 => y = f(x) es decreciente en <0,6>
Si x > 6 => v’>0 y = f(x) es creciente en <6,°°>
815 v = ■x - 2
Desarrollo
, _ ( x - 2 ) - x -2y ---- r-T- - ----- — como y' = 0 , para obtener los puntos críticos.
(x - 2 Y (.x - 2 Y
Es decir: -2= 0 . Luego 3 x tal que y' = 0
( x - 2 y
Además x = 2 es punto de discontinuidad
y =■- 2
( a- 2 ) 2
378 Eduardo Espinoza Ramos
Si x < 2 => y '< 0 => y = f(x) es decreciente en <-°°,2>
Si x > 2 => v’< O => y = f(x) es decreciente en < 2 ,°°>
1 _I)2
Desarrollo
816 y -(x -3 )
—2y ' -----------; para obtener puntos críticos debe ocurrir que y' = 0' C*-3)2
_2Como y’ = ---------, no 3 x, tal que y' = 0
' (a -3)
Además x = 3 es punto de discontinuidad
3
Si x < 3 =* y '<0 => y = f(x) es decreciente en<-»,3>
Si x > 3 => y '<0 => y = f(x) es decreciente en <3,°°>
817 yx2 —6x — 16
Desarrollo
, (x2 - 6 x - 16)(jc) x(x2 - 6 a - 1 6 ) - a 2 - 1 6
y _ ( a 2 — 6 a — i 6 ) 2 / ( a 2 - 6 a - 1 6 ) 2
Para hallar los puntos críticos debe ocurrir que: y' = 0
Para que y' = 0 => — a ” —16 = 0 => a 2 = —16 3 x e R
Aplicación de las Derivadas
818
Además x = -2, x = 8 son puntos de discontinuidad
y ’ — f ' (x ) = -----^( a - 2 +16)
(a' —6 a —16)
-o» < x < -2 y'= f ' ( x ) < o-2 < x < 8 y = / ’(x)<o8 < X < OO y '= /'(A )< 0
Luego la función y - f(x) es decreciente en: <-«>,-2>, <-2,8>, <8,°°:
y = (x-3)sfxDesarrollo
Calcularemos su derivada
y' = (a-3 )'V a + (a-3)(V a)' => y' = V J + £ z l => =2y[x ‘ 2y[x
Hallaremos los puntos críticos para esto debe cumplirse que y' = 0 V 3 y’
Si y '=0 => 3 x -3 = 0 => Aj = 1 puntos críticos
Sí 3 y' => 2 y f x = 0 = > a 2 — 0
380 Eduardo Espinoza Ramos
819
x < 0, y = O - 3)\[x no esta definida
0 < x < 1, y’< 0 =* y = es decreciente en <0,1; V-t
X — 31 < x < y' > 0 => y = —t=- es decreciente en <1 ,<*>>
Calcularemos la derivada y
Desarrollo
1 1 l [ 7 - l
3 3 ^ 7 3$ /?
Ahora hallaremos los puntos críticos, para esto hacemos que y' = 0 y 3 y'
Si y’=0 =» tfx* - 1=0 => x = ± 1
Si 3 y' => 3sfx2 = 0 => x = 0
Puntos críticos
-k> < x <-1, y’<0 => y - - ^ - y f x es creciente en <-°°,-l>
Aplicación de las Derivadas
- l < x < 0 , y '<0 =$ y = f(x) es decreciente en <-l,0>
0 < x < l , y '>0 => y = f(x) es decreciente en <0,1>
l < x < ° ° => y '> 0 => y = f(x) es creciente en <1,°°>
820 y = x + sen xDesarrollo
Calculando la derivada y' = 1 + eos x , ahora encontraremos los puntos críi
para esto debe ocurrir y '= 0 ’ ’ 3 y'
Si y’= 0 => 1 + eos x = 0 - eos x = -1 => x = 7t(2n + 1)
ahora veremos si y '>0 v y '<0
pero se conoce que -1 < eos x < 1, V x e R
sumando 1 se tiene 0 < 1 + eos x < 2, V x € R
luego y' > 0 V x e R, por lo tanto y = x + sen x es creciente en: <-°°,
821 y = x ln xDesarrollo
% jy = lnx + l , luego y' = 0 se tiene: !nx = -l => x = e~] = -
e
y para que 3 y ', se tiene x = 0
como la función esta definida para x > 0 entonces:
382 Eduardo Espinoza Ramos
Como y' = ln x +1 se tiene:
0 < jc< - , y'<0 => y = x lnx , es decreciente en < O ,-> e .
1 * r 1 » !— <-*<<*>, y'> O => y = x ln x* es creciente en (—,°° >e . . e
822 y = arcsen (1 + x)Desarrollo
1 , 1Calculando la derivada y ' = -—= de donde y - - = = = ■
y jí-( l + x)2 y ¡ x - 2 x <*
para hallar los puntos críticos hallaremos los valores de x de tal manera que3 y.
Luego 4 - x 2 - 2x = 0 => - x l - 2.x = 0 => -x(x + 2) = 0=> = 0 , x2 = -2
puntos críticos
-2 0
<J-(x2 + 2x) J - x ( x + 2)
-oo < x < -2, 3 y' es decir que no es y '>0 ni >’’< 0 , por lo tanto no hay
intervalo de crecimiento y de decrecimiento.
-2 < x < 0, y > 0 => y = arcsen (x + 1) es crecimiento en: <-2,0>
823 y = 2e*2~4xDesarrollo
Aplicación de las Derivadas
Calcularemos su derivada y'=2ex' 4x(2x - 4), luego para hallar los pui
críticos haremos y' = 0 , es decir: 2e(x~~4x) (2x - 4) = 0, de donde x = 2
2y '= 4ex(x~4) (x - 2)
- <»<x<2, y '<0 => y = 2ex ~4x es decreciente en: <-<»,2>
2 < x < °° , y '>0 => y = 2ex ~4x es creciente en: <2,°°>
i824 y = 2x~a
Desarrollo
— -1Calcularemos su derivada y ' = e x~a (---------) ln 2( x - a ) 2
12 A"«
y ' - --------- yin 2 , ahora hallaremos los puntos críticos, para esto veremos(x -a )
valores de “x”, de tal manera que 3 y '.
Luego x - a = 0 => x = a punto critico
384 Eduardo Espinoza Ramos
- oo < x < a, y '<0 =* y = 2x~a es decreciente en: <-o°,a>
a < x < «o, v'<0 => y = 2x~a es decreciente en: <a,»>
825 y = ■
Desarrollo
Calcularemos su derivada y ' = — —- ahora hallaremos los puntos críticos,x~
para esto debe ocurrir que: y' = 0 V 3 y'
Sí y = 0 é?A( j t - l ) = 0 => x=1
Sí 3 y' => x 1 = 0 => x = 0
, ex( x - l ) y = ------=—
- o o < x < 0 , y ' < 0 => y - — es decreciente en: < - o o , 0 >x
0 < x < l , y'<0 => v = — es decreciente en: <0,1 >x
1 < x < o o , y’> 0 => y = — es creciente en: < l , o o >x
Aplicaciones de las Derivadas
Averiguar los extremos de las funciones siguientes:
826 y —x 2 + 4x + 6Desarrollo
y' = 2x + 4 => y'—0, para obtener los puntos críticos
es decir: 2x + 4=0 =» x = -2
y"= 2 => y " (—2) > 0 => x = -2
se tiene un punto mínimo de donde y = 2
827 y = 2 + x - x 2Desarrollo
y' = 1 - 2x =* y'= 0 => 1 - 2x = 0 de donde x = ^ punto critico
y " = ~2 => y "(—) <0 => en el punto x = — se tiene en máximo2 2
9 . 9 1de donde y = — , es decir: v = — es un máximo cuando x = —4 ' 4 2
828 y = x 3 - 3x 2 +3 x + 2Desarrollo
y' = 3x2 - 6x + 3 =* y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:
3x' - 6x + 3 = 0 => x = 1. punto critico
y " ' = 6 x - 6 => y ( l ) = 0 => y = x 3 - 3 x 2 +3x + 2
no tiene máximo ni mínimo por lo tanto no tiene extremos
386 Eduardo Espinoza Ramos
829 y = 2*3 +3*2 -12* + 5Desarrollo
y' = 6x2 + 6 x - \2 => y' = Q para los puntos críticos
6*2 + 6x -12 = 0 de donde: x¡ = - 2 , x2 = l
y" = 12* + 6 => y ''( -2 )< 0 => en x4 =-2
se tiene un punto máximo de donde y = 25
y” (1) = 18 > 0 => en x 2 = 1 se tiene un punto mínimo de donde y = -2
830 y = *2(* —12)2Desarrollo
y = *2(*2 - 24* +144) => y = *4 - 24*3 + 144*2, derivando se tiene:
y’ = 4x3 - 72*2 + 288*, hacemos y' = 0 para obtener los puntos críticos
para obtener los puntos críticos es decir, * 2(*2 + 9) = 0 de donde x = 0
y"= 2*(*2 + 3 ) ( -* 4 - l x \ +9)
y"(0) = 0 =?> no hay máximos ni mínimos por lo tanto no hay extremos.
388 Eduardo Espinoza Ramos
x 1 - 2 x + 2833 y =
x — 1Desarrollo
x2 - 2xCalculando la derivada se tiene: y ' = ------—r , hacemos y' = 0 para obtener( * - l )2
los puntos críticos, es decir: x2 - 2x = 0 => x¡ = 0 , x2 = 2
„ _ 2 (x -l)(-x 2 + 3x -1)
y Ot-1)4
y ' 1 (0) — —2 < 0 => en x, = 0 hay un punto máximo de donde y = -2
y" (2) = 2 > 0 => en x2 = 2 hay un punto mínimo de donde y = 2
( x - 2)(8-x )
Desarrollo
834 y =x"
Calculando su derivada v = , haciendo y' = 0x
para obtener los puntos críticos es decir: -(lOx - 32) = 0 => x = 3.2
-(10x-32) „ 20x - 96y = — 3— =* y = — —
X X
9y" (3.2) < 0 => hay un máximo en el punto x = 3.2 de donde y = —
16 _
■2)Desarrollo
835 y =x(4-x~)
Aplicaciones de las Derivadas
, 16(3x -4 )>' = —;-------7-7 , hacemos y’= 0 para obtener los puntos críticos, es deci
x ¿( 4 - x ¿)‘
16(3x2 -4 ) = 0 =* x , = - ~ , x2 = AS - V3
„ _ 16(-12x7 + 2x5 -128x3 + 128x)x4( 4 -x 2)4
2 2y "(— 7=) < 0 y = f(x) tiene un máximo en x, = — = de donde y = - 3\
V 3 v3
4836 y =
yjx2 + 8
Desarrollo
—4xCalculando su derivada y' = --------- —, haremos y'=0(x2+ 8)2
para encontrar los puntos críticos. Es decir: -4x = 0 => x = 0
4 „ i2x3
(x¿ + 8)2
4
y = -------7 (1— 5 )3 x +8
y "(0) = — - < o => en el punto x = 0 hay un máximo de donde y = \¡2
837 y = *yjx2 - 4
Desarrollo
390 Eduardo Espinoza Ramos
x2 -12Calculando su derivada se tiene: y ' = -----------j - , haciendo y = 0 para
3(.x2 - 4 ) 2
obtener los puntos críticos, es decir: x2 -12 = 0 => xx = 2^¡3 , x2 = -2y¡3
„ *(28- x 2)y 5
3(x2 - 4 ) 2
y'\2y¡3)>0 =» hay mínimo en jc,=2\/3 de donde y = >/3
y ”(-2\Í3) <0 => hay un máximo en el punto x2 = -2 -J Í , de donde y = -V3
838 y = ^(*2 - l ) 2Desarrollo
4 X . |Calculando su derivada se tiene: y 1 = ---------- —, haciendo y’ = 0 para
3(x2- l ) ^obtener los puntos críticos, es decir: 4x = 0 => x = 0
y „= 4(* ~3)_ ^ ;y" (0)< o => hay un máximo en x = 0, de donde y = l |
9(x2 -l)3
además x2 - l = 0 => x = ± l son puntos críticos
y" (±1) > 0 =$ en x = ± 1 hay un máximo de donde y = 0
839 y = 2 sen 2x + sen 4xDesarrollo
y'' = 4 eos 2.x + 4 eos 4x = 4(cos 2x + eos 4x)
y' = 8 eos x eos 3x , haciendo y' = 0 para los puntos críticos, es decir:
Aplicaciones de las Derivadas
840
841
8 eos x. eos 3x = 0, de donde: eos x = 0 v eos 3x = 0
o ' n , 1, n7rSi eos x = 0 => ,x = (n— )n =» x =— +rc6 2
cos3x = 0 => x = (n + —), n = 0,±l,±2 6
y" = -4 senx. cos 3x -1 2 eos x.sen3x
• ■ Jl 3 r- 'y"(n-- ) > 0 => hay un mínimo en: x = — V3 de donde y = - -6 2 :
t 7T jj[y "(n + —) < 0 hay un máximo en: x - n + — de donde y =
6 6
y = 2 eos— + 3cos—2 3
Desarrollo
De igual manera que el ejercicio 839
De donde x = 12k7t, hay un máximo; de donde y = 5 y en x = 12(k ±
Hay un máximo de donde y = 5 eos —5
Cuando x ■= 12(k ± — )k hay un mínimo de donde: y = -5cos — 5
Cuando x = 6(2k + l)jt, hay un mínimo de donde y = 1
y = x - ln ( l +x)Desarrollo
1 XCalculando su derivada se tiene: y ' = 1------- => y ' = •1+x 1+*
to |
u<
392 Eduardo Espinoza Ramos
haciendo y' = 0 , para obtener los pnntos críticos es decir: x = 0
__ i— => y ' ' (0) > 0 =) en x = 0 hay un punto de donde y = 0(1+x)2
842 y = x In xDesarrollo
Calculando su derivada se tiene: y'= In x +1, haciendo y = 0 , es decir.
In x + 1 = 0 => x = e ' => x = -e
v - = i => y "(i) = e > 0 => en el punto x = - hay un mínimo de donde: x e e
y' = — In— = — cuando x = — e e e e
843 y = xln2j(Desarrollo
y’ = ln 2 * + 2 ln x , haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos
ln2 x + 21n„v = 0 =* lnx(lnx+2) = 0
de donde se tiene: ln x = 0 => x = 1
lnx + 2 = 0 => x = e
2 ln x 2y ------ + -
X X
y" (1) = 2 > 0 =» en x = 1 hay un punto mínimo de donde y = 0 cuando x = 1
Aplicaciones de las Derivadas
844
845
_2 4 2 1y"(e ) = — + _ _ < ( ) => en x = — hay un punto máximo de donde
e e e
y = \ i lne-2)2 = 4 - =* y = 4e e e .
y = cosh xDesarrollo
Calculando la derivada y ' = senhx = ---------- , haciendo y' = 02
para obtener los puntos críticos, es decir:
ex — e~x---- -----= 0 => e -1 = 0 x = 0
, , _ e + ey - ~ ^ ^ >’ (0) = 1 > 0 en x — 0 hay un punto mínim<
donde y =1.
y - x e xDesarrollo
Ca!culando su derivada y' = ex +xex =ex(l + x)
haciendo y’ = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:
ea(l + *) = 0 => ex =0 v l + x = 0, de donde x =-1
y"= ex +ex + xex
y"=(2 + x)ex =i> y"(l) = e~l >0 => en el punto x = -1, hay un míni
de donde: y = cuando x = -le
394 Eduardo Espinoza Ramos
846 y = x 22~xDesarrollo
Calculando su derivada se tiene: y'= 2xe~x - x 2e~x = xe~x(2 - x)
haciendo / = 0 , para obtener los puntos críticos es decir:
xe~x( 2 - x ) = 0 de donde: x x = 0, x 2 = 2
y"=2e~x -2xe~x -2xe~x + x 2e~x => y" = (2 - 4x + x 2 )e~x
y ' ' (0) = 2 > 0 => en el punto x = 0
hay un mínimo de donde y = 0 cuando x = 0
2y ' '(2) = (2 - 8 + 4)e-2 => y " (2 )-— ^ < 0 => en el punto x = 2 hay un
emáximo de donde: y = 4e~2 cuando x = 2
ex847 y = —x
Desarrollo
, xex - e x ex( x - l )Calculando su derivada se tiene: y = ------— = ----- -—
x x
haciendo y' = 0 para obtener los puntos críticos, es decir:
e x(x — 1) = 0 de donde x = 1
x2ex( x - l ) + ex - e x(x - l )2 xy — i
Aplicación de la Derivada
ex(x3- 2 x 2+2x) „ ex(x2 - 2 x + 2)y = --------------------------- -------------------------- = > y = ------------------------- -- ----------------- i
e (l-2 + 2)-------- -------- e > 0 => en el punto x = l hay un mínimo de d
y = 0 cuando x = 1
848 y = x arctg xDesarrollo
Xy' - arc.tgx + ----- - haciendo y'= 0 para obtener los puntos críticos, es de
l + x
arctgx + ---- = 0 => (1 + x 2)arctgx +x = 0 => arctgx = -------— => X:1 + x l + x 2
1 1 + x 2 - 2 x 2 1 l - x 2
y = I 7 7 +i r ^ T -» y 55 / - ( 0 ,= 0
=> no hay máximo ni mínimo.
Determinar los mínimos y máximos absolutos de las siguientes funcione los segmentos que se indican (cuando los segmentos no se indican, mínimos y máximos absolutos, de las funciones deben determinarse en tod campo de existencia).
849 — —l + x2
Desarrollo
Calculando su derivada se tiene: y ' = — -~'v ~ ~x =(l + x2)2 (l + x2)2
haciendo y' = 0 , para obtener sus puntos críticos, es decir: 1 - x2 = 0 => x=
396 Eduardo Espinoza Ramos
-1 1, (l + x)(l-x)
1 ~ (1 + x2)2
—oo < x < 1, y existe en x =-1 un mínimo.—1 < -x < 1, y ' > 0 J
1Por lo tanto el valor mínimo es y = - -
1 < x < 1, y > Ol ex.ste x _ j un máximo y el valor máximo es y = -1 < JC < °°, y ' <0 j
850 y = yjx(\0-x)Desarrollo
Calculando su derivada se tiene: y' = -j==JL== haciendo y' = 0 , para
obtener los puntos críticos es decir: 5 - x = 0 de donde: x, = 5 , además 3 y
es decir: ,Jx(\0-x) = 0 => x2 = 0 y x3 = 10
0 5 10
Como y = yjx(\0 — x) su campo de existencia es:
x(10 - x) > 0 =*> x(x - 10) < 0
Aplicación de la Derivada
0 10
Luego esta definida para el intervalo [0,10]
5 —xy =■
\ jx ( \Q -x )
0 < * < 5 , y ' > 0 5 < x < 10, y ’ < 0 existe en x = 5 un mínimo de donde y = 5
además en los extremos, es decir en x = 0 el valor de y = 0 y en x = valor de y = 0.
Luego el valor mínimo cuando x = 0, 10 es: y = 0 y el valor máximo ci x = 5, es: y = 5
851 y —sen*x + eos4 xDesarrollo
Calculando su derivada se tiene:
y' = 4sen 3x eosx — 4 eos3 x.senx => y'=4senxeosx(sen2x - e o s 2 x)
haciendo y'= 0 , para obtener los puntos críticos se tiene:
4senxeosx(sen2x - e o s 1 x) = 0 -4sen x. eos x. eos 2x = 0
de donde se tiene: sen 2x. eos 2x= 0
dedonde: x = (2k + l)— y x= k — , (k = 0, ±1, ±2,...)4 2
K 1para x = (2k+\)— hay un mínimo y su valor mínimo es: y = — , y ci
4 2
x = k ^ hay un valor máximo y su valor es: y = 1
398 Eduardo Espinoza Ramos
852 y = arccos x
854
Desarrollo
Calculando su derivada se tiene: y' = haciendo que 3 y' para
obtener los puntos críticos es decir: \ j l - x 2 = 0 de donde x — ±1, evaluando
en la función y(l) = 0, y(-l) = 7t
Luego cuando x = 1, hay un valor mínimo y = 0 y cuando x = -l, hay un
valor máximo y = n
853 y - x 3, en el segmento [-1,3]
Desarrollo
y' = 3x2 => x = 0, punto critico haciendo la evaluación en la función se
tiene: y(0) = 0, y(-l) = -l, y(3) = 27
Luego cuando x = -1, se tiene un valor mínimo en y = -1
y cuando x = 3, se tiene un valor máximo en y = 27
y = 2x3 + 3x2 -12x + l
a) En el segmento [-1,5] b) En el segmento [-10,12]
Desarrollo
y' = 6x2 + 6x - 12, y haciendo y' = 0 , se obtiene los puntos críticos, es decir:
6x2 + 6 x -1 2 = 0 => x 2 + x - 2 - 0 de donde xx = - 2 , *2 = 1, para
a) consideremos x2 = 1, como puntos críticos.
Aplicación de la Derivada
Luego evaluando se tiene: y(l) = -6, y(-1) = 14, y(5) = 266
Luego cuando x = l se tiene un valor mínimo en y = -6
y cuando x = 5 se tiene un valor máximo en y = 266
855 Demostrar que para los valores positivos de “x”, se cumple la desigual
je + — > 2 x
Desarrollo
Por hipótesis se tiene x > 0 => yfx y — están bien expresado, luego:\JX
( y fx — = ) 2 > 0 x - 2 J x (- i= -) + — > 0V* VJT x
x - 2 + — > 0 => x + - > 2 X x
856 Determinar los'coeficientes “p” y “q” del trinomio cuadrado y = x 2 + px
de forma que y = 3, será un mínimo de este trinomio cuando x = 1, d; explicación geométrica del resultado obtenido.
Desarrollo
Calculando su derivada se tiene: y'~ 2x + p , haciendo y '-O para obtenei
puntos críticos se tiene: 2x + p = 0 => x — — ~ por dato se tiene que y
cuando x = 1, es decir: = 1 =» p = -22
Sí y = 3 cuando x = l =» en y - x 2 + px + q =>3 = l - 2 + q = > q =
Luego los valores de “p” y “q” son: p = -2 y q = 4
400 Eduardo Espinoza Ramos
857 Demostrar la desigualdad: ex > 1 + x para x * 0.
Desarrollo
Consideremos la función / (x) = ex - (1 + x) de esta función se tiene:
f(x) > f(0) para x * 0
Como / ( jc) = ex - (1 + x) => f(0) = 0
Como f(x)>f(0) e* - (1 + *) > 0 =* ex >l + x p a r a x * 0
Demostrar las desigualdades:
x3858 x - - — <senx<x para x > 0
6
859 cosjc> 1------para x * 02
a:2860 a- — < ln(l + .í)< .t para x > 0
861 Dividir un número positivo dado “a” en dos sumandos, de tal forma que su producto sea el mayor posible.
Desarrollo
Sean “x” e “y” los dos sumandos. Luego a = x + y de donde y = a - x
Además p(x) - xy= ax - x 2 producto de los sumandos
Luego p'(x) = a — 2x de donde p'(x) = 0
o • a aSe tiene jc = — como y = a - x y - —2 2
Luego cada uno de los sumando debe ser igual a:a
Aplicación de la Derivada
862 Torcer un trozo de alambre de longitud de manera que forme un rectái
cuya área sea la mayor posible.Desarrollo
t — 2x + 2y ; área = xy
como i = 2x + 2y =* y = l - 2 x
Luego A (x ) - x y ~ x ( - — ~ ) - — - x 22 2
i
A'(x) ~ - - 2 x => A’(jc) = 0 para obtener los puntos críticos, es decir:
1 o n 1— 2x = 0 =* x = —2 4
A"(x) = -2 => A "(—) = -2 < 0 =* 4
se obtiene el área mayor posible.
/* = —4 /
^ ~ 4
863 ¿Cuál de los triángulos rectángulos de perímetro dado igual a 2p, tiene m área?
Desarrollo
2p = x + y + z, donde z = yjx2 + y 2
x + y + yjx' + y* - 2 p => ^Jx2 + y 2 = 2 p - ( x + y)
x 2 + y 2 = 4p2 - 4 p ( x + y) + x 2 +2xy + y 2 => 0 = 4 p 2 - 4 p x -4 p y + 2
402 Eduardo Espinoza Ramos
de donde y =2px-2p*
x - 2 p
2 2 x - 2 pA(x) =
px~ - xp x - 2 p
A \x ) =2px~ - %p2x + 4p3 A'(jc) = 0
( x - 2 p ) 2
para los puntos críticos, es decir: 2/wc“ - 8 p 2x.+ 4p => x — 2p± J2p
es decir x = 2p + \ Í2 p , y = 2p - 4 l p , son los triángulos isósceles
864 Hay que hacer una superficie rectangular cercada por tres de sus lados con tela metálica y lindante por el cuarto con una larga pared de piedra, ¿qué forma será más conveniente dar a la superficie (para que su área sea mayor), si se dispone en total de 1 m. lineales de tela metálica?
Desarrollo
Pared de piedra
2\ + y = ( => y = í - 2 x
A(x) - x y = x(l — 2x) = xl - 2x~
A ( x ) - l - A x /4'(a:) = 0 , es decir: x ~ ~
como y = l - 2 x => y = —
Luego las dimensiones debe de ser una el doble de la otra.
Aplicación de la Derivada
865 De una hoja de cartón cuadrada, de lado a, hay que hacer una caja recta abierta, que tenga la mayor capacidad posible, recortando para ello cua en los ángulos de la hoja y doblando después los salientes de la figura en de cruz, así obtenido.
Desarrollo
Área base - (a - 2 x ) 2
Vol = V(x) = (a - 2x)2x
V(x) = (a2 - 4 x + Ax2)x
V(x) = 4xi - 4x2 + a2x
V’(x) = l2x2 - 8 x + a 1 - V'(jc) = 0 , es decir:
12*2 -8 jt + a 2 =0 =* xY= - , x2 = -
V (x) - 24x 8 => V "(—) - -4 < 0 en xx - — hay un máximo o 6
^ (—) =; 4 > 0 => en j: = - hay un mínimo2 2
866
Luego el lado del cuadrado que se corta debe ser igual a —6
Un deposito abierto, de hoja delata con fondo cuadrado, debe tener capa, para V litros. ¿Qué dimensión se debe tener dicho deposito para que ( fabricación se necesita la menor cantidad de hoja de lata?
Desarrollo
El área lateral = x 2 + 4xy
404 Eduardo Espinoza Ramos
867
V = x y = Volumen
V
.. (2)
4Vy = —r luego A(x) = x~ + —
x2 x
A'(x) = 2 x - ^ - = 0 => jc = /2VJC
V %/2Vpor lo tanto y = -y-—- y x --------¡I 4V2 2
¿Cuál de los cilindros de volumen dados tienen menor superficie total?
Desarrollo
Vc = jtr h , derivando se tiene: Vc O) - n(2rh + r h ' )
pero V¡. (r) = 0 por ser constante
2 h=> . 2rh + r^h'=0 => h '= —r
A, - 2Ttrh + 2nr2 , derivando se tiene
A¡ (r) = 2 Jih + Aitr + 2 Ttrh'
(1)
... (2)
2/ireemplazando (1) en (2) At (r) = 2nh + nr + 2nr(----- )
r
2 higualando a cero se tiene: 2rch + 2nr(----- ) + 4nr = 0
r
J
h - 2h + 2r = 0 => h = 2r. Los cilindros cuya altura es igual al diámetro (■ la base.
«68 Inscribir en una esfera dado un cilindro de volumen máximo.
Desarrollo
Sean r = radio de la base del cilindro
2h = altura del cilindro
R = radio de la esfera
Aplicación de la Derivada
pero r2 + h 2 = R 2
V = ln r2h
dh _ r dr h ... (1]
... (2)
dV _ 2 dh— - ¿K(r~—- + 2rh), reemplazando (1) en (2)
dV „ r riv- — =.2n{-— + 2rh) como — = 0 dr h dr
2n{ — + 2rh) = 0 => r2 =2h2h
Como r2 + h2 = R 2 2/72 + h2 = R 2 => h= R - , 0 / _ 2 R i— — 2 h — —-=73 S
Luego el volumen será máximo cuando 2h = ~ y el radio r = R ¡ íV3 V3
Inscribir en una esfera dada un cilindro que tenga la mayor superficie late, posible.
Desarrollo
Altura del cilindro = 2h
406 Eduardo Espiri >za Ramos
870
r = radio del cilindro
r2 +h2 = R2 => r — -\Tr 2 —h2
A, - 4jtrh = Anh'ÍR' - I
R2 —h2 - h2
, 4n(R2 - 2 h 2)A¡(h) = -
■Jr 2 u2A¡ (h) = 0, para obtener los puntos críticos.
4 iLuego 4n(R2 - 2 h 2) = 0 => h = — R => 2h-yJ2R
Luego la altura del cilindro en J lR para que tenga la mayor superficie lateral
posible.
Inscribir en una esfera dada un cono de volumen máximo.
Desarrollo
Sea h = altura del cono , r = radio del cono
x 2 = R 2 - r2
además x 2 =(h — R)~ —h~ - 2hR + R
x 2 - R 2 — r2 => R2 - r 2 = h2 -2 h R + R 2
=> r - sfR2 - h2 por otro lado se tiene:
i = ^[h1 + 2hr - h2 => z — ^¡2Rh
Aplicación de la Derivada
872
Ale =nrz => A, = Ky¡2hr-R2 .s¡2Rh
j j tc _ T(2R^2Rh- h2 j2Rh(2R - 2 h) d \ . 4R2h -3 R h 2dh 2 7 M 2V 2 R h - h 2 dh I I
(2Rh)2(2R h-h2)2
dA,. A— - = 0 es decir Rh(4R-3h) = 0 => h = - Rdr 3
Luego el volumen es máximo cuando la altura fl = ~ R donde R es el radie
la esfera.
Circunscribir en tomo a un cilindro dado un cono recto que tenga el me volumen posible los planos y centros de sus bases circulares coinciden?
Desarrollo
H-
Sean H = altura del cono
R = radio del cono
h = altura del cilindro
r = radio del cilindro
408Eduardo Espinoza Ramos
n = J Í L -r R H ~ h
n H \ 2 c _ 3 (H - h ) 2
dV<- rcr2 3h2( H - h ) 2 - H i 2 (H -h ) ~dH ~~3 ' ( H - /0 4
Se tendrá el menor volumen posible cuando el radio de la base del cono es ^ r j
donde “r” es el radio del cilindro dado.
873 ¿Cuál de los conos circunscritos en tomo a una esfera tiene el menor volumen*
Desarrollo
Por semejanza de triángulo se tiene:
Aplicación de la Derivada
x h 2 h2R2 2 hR2R ~ *Jh2 -2hr X ~ h 2 -2hR ^ * ~ h -2 R
además V - -nx2h = -nh(-^-— ) f 3 3 h -2 R
_ nh2R2 _ dVc K h2R2-4hR 3 ■ C~ 3 ( h - 2 R ) ^ d h ~ 3 ( /? -2R)2
úWLuego — - = 0 =>• h 2R 2 -4 h R 2 - 0 de donde h~4R
dh
Por lo tanto el cono circunscrito en una esfera de menor volumen es cuandc altura “h” es igual a 4 veces el radio de la esfera, es decir: h = 4R
874 Una faja de hoja de iata de anchura “a” debe ser encorvada longitudinalme en forma de canelón abierto (fig. N° 26) ¿Qué ángulo central debe tom¡ para que el canelón tenga la mayor capacidad posible?
Desarrollo
A = área de la parte sombreada es = ?
A = área del sector circular
410Eduardo Espinoza Ramos
875
Área del A AoB
= £ R* _ R{^ í ) = (<p - sew<p)A = - * ( 2 , 2
-A = (1 - eos (p) = 0íi<p 2
eos 9 = 1 =>
Luego como 0 < cp S n
Por lo tanto para detener la mayor capacidad posible se tiene cp = rt •
De una hoja circular hay que cortar un sector tal que enrollado nos dé unj
embudo de la mayor capacidad posible.
Desarrollo
Además r1 = R~ ~h~
nr2hVolumen del cono = Vc = ——- como r2 = R2 - h2
_ nh(R~ h l = !Lh(R2 - h 2) 3 3
Aplicación de la Derivada
876 Un recipiente abierto esta formado por un cilindro, terminado por su p inferior en una semi-esfera; el espesor de sus paredes es constante ¿ dimensiones deberá tener dicho recipiente para que, sin variar su capacidac geste en hacerlo la menor cantidad de material?
A, = 2rtRh + 2nR
Desarrollo
2nR
c = R h + 2nR h = -
h = 3 c-2nR i3 jcR-
reemplazando (2) en (1)
... (1)
... (2)
,3 c -2 k R 2 2 c 2 n 2A =2rc/?(-^— )+ 2nR = — + — /?-3k R R 3
-> -j 3 c6c + 4nR~ = 0 => R =—— reemplazando en
, 3c-2nR 3c-3c „h = ---------— = -- = 0 => h = 03nR 3k R
La altura de la parte cilindrica debe ser igual a cero, es decir, el recipiente d tener forma de semi-esfera.
412 Eduardo Espinoza Ramos
877 Determinar la altura mínima h = OB que puede tener la puerta de una torre ABCD, para que a través de ella se puede introducir en la torre una barra rígida
MN, de longitud i, cuyo extremo M resbalará a lo largo de la línea horizontal
AB. La anchura de la torre d < í
Desarrollo
Haciendo rodar la barra por ambas paredes a una distancia “d”, desde la pare vertical, la barra se levantara una longitud H del suelo.
El problema nos pide este máximo levantamiento, para esto por semejanza de triángulo se tiene:
/cose /eos 6^ dedonde H = lcosd: d. = (lco sd -d ) tgeH IsenO ctg9
Aplicación de la Derivada 4
878
dHde
l eos6 - d lsen26
= (/ COS0 - d) see2 9 + tg9(-lsen9) = 0
deos2 9
H = (Isfd - d )
eos 9eos3 9 = y , de donde se tiene:
sen9 = J l - ( y ) 3
#_ _ «5
simplificando se tiene que: H = (y[c* - i f d 2)?-
En un plano de coordenadas se da un punto, M 0(x0, y0) , situado en el prim
cuadrante. Hacer pasar por este punto una recta, de manera que el triángu formando entre ella y los semi ejes positivos coordenados tenga la menor árt posible.
Desarrollo
Sea L : y - y0 - tg9(x - x0) donde mL = tg 8
Haciendo las intersecciones con lo,s ejes coordenados.
1 3 1 3para x = ± -j= , y = por lo tanto el punto es. P(±—j=i —)
882 Un corredor tiene que ir desde el punto A que se encuentra en una de las orilla» de un río, al punto B, que se halla en la otra, sabiendo del movimiento por la orilla es k veces mayor que la del movimiento por el agua, determinar bajo que ángulo deberá atravesar el río, para llegar al punto B en el menor tiemp® posible. La anchura del río es h; la distancia entre los puntos A y B (por la
orilla), es d.Desarrollo "
Aplicación de la Derivada
Como e - v.t => donde Vm = velocidad del movimientom
V = velocidad del agua
Reemplazando t = -------- - calculando valores críticoskv
dt dt h , h 1lo ^ )sen '0 cos6, - t - ( ------ 7 -) = od& de v kv sen 6
cosd l . l i2n ~ I rT ^ cos0 = — => 9 = árceos— sen 0 ksen'O k k
883 En oí segmento recto AB = a, que une entre sí dos focos luminosos A i intensidad p) y B (de intensidad q). Hallar el punto de menos iluminado M iluminación es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al fe luminoso).
Desarrollo
AI l = p -
M
N- a - x
B"• I2 = q
-H
E, = iluminación total = / , + / . ,
418 Eduardo Espinoza Ramos
884
885
¿E, _ 0 = - 2 P | g(2)dx (a -x) '
a f p1 = — 1 — => a^fp — x^fp = yfqx dedonde x = ■- j=3 ( a -x )3 +
Una lámpara esta colgada sobre el centro de una mesa redonda de radio r ¿A qué altura deberá esta la lampara sobre la mesa para que la iluminación de un objeto que se encuentre en el borde sea la mejor posible? (la iluminación es directamente proporcional al coseno del ángulo de incidencia de los rayos luminosos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al foco de
luz).Desarrollo
^ _ / cosa _ lx _d ¿
(r2 + x2)2
I(r2 +x2)2 - x ( - ) ( r 2 +x2)22x_ - 0 = _____________^------dx {r2+x2)3
de un tronco redondo de diámetro d, hay que cortar una viga de secció rectangular. ¿Qué anchura “x” y altura “y ’ deberá tener esta sección para que la viga tenga la resistencia máxima posible?
a) a la comprensión. b) a la flexión
9
Aplicación de la Derivada ¿
Observación: La resistencia de la viga a la comprensión es proporciona]área de su sección transversal, mientras que a la flexión es producto de la anchura de esta sección por el cuadrado de altura.
2 d ~ x -4 x 3 =0 => 2d“x = 4x3 por lo tanto x--^¡= y ^V2
b) RF — xy2 del gráfico se tiene: y 2 ~ d 2 - x 2
síl
... (a)
Rf - kx(d2 - x 2) => RF =k(d x - x 3), derivando se tiene:
s
886
-3x") => d~ =3x2 dedonde x = ~ ~ dx ^
En (a) y 2 — d 2 — (—=)2 => y 2 = d 2 - — => y = J - dV 3 3 V 3
Una barra AB, que puede girar alrededor del punto A, soporta una carga de i kg. a la distancia de a cm. del punto A y se mantiene en equilibrio por medi de una fuerza vertical P, aplicada en su extremo libre B. Cada uno de longitu de la barra pesa q kg. Determinar la longitud x de la misma, de tal forma que 1 fuerza P sea la mínima posible y hallar P mínimo.
420 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
w
Q
Ice peso TDensidad lineal d = q — de donde d - ~ ----- —
cm long T
M A = 0 => Px =Qa+ w(~) > donde w = <lx Por lo tant0 P* = Qa + -“ A"
P = Ql + 1 xx 2
¿X -_ o = _ % + í =» adx x" 2 x
± = 1■2 2
x = 20,
... (a)
... (|J)
reemplazando ((3) en (a) tenemos:
Q aP --1 min20,
<1
887 Los centros de tres esferas perfectamente elásticas A, B y C están situadas en las línea recta. La esfera A, de masa M, choca a una velocidad “v” con la esferaB, la cual, recibiendo una determinada velocidad, choca a su vez con al esferaC, cuya masa es m. ¿Qué masa deberá tener la esfera B para que la velocida de la esfera C sea la mayor?
Desarrollo
A con B: Luego B con C
Aplicación de la Derivada
888
2 MvV o = ---------- -
x+M
2 x V avc = —7 a m + x
De (a) y (p): Vc
4 xM.
... (a)
- (P)
2x 2 mvm + x x + M
4 M..(m + x)(M + x) x2 +(m + M )x + mM
dVc _ _ 4Mv(x2 +x(m + M) + mM - x(2x + m + M)) dx (x2 +(m + M)x + mM)2
x~ + x(m + M) + mM =2x~ + (m + M)x => mM = x 2 c = \¡Mm
Si tenemos N pilas eléctricas idénticas, con ellas podemos formar baterías procedimientos distintos uniendo entre sí grupos de “n” pilas en serie
después los grupos así formados, (un número — ) en derivación. La intensicn
de la corriente que proporciona una batería de este tipo se determina por , . NnEtomiula: / -----------— , donde E es la f.e.m. de una pila, r su resisten
. NR + n rexterna. Determinar para que valor de “n” es mayor la intensidad de corriente que proporciona la batería.
Desarrollo
di _ _ (NR + n2r) - n2nr dn NE(NR + n2r)2
NR + n2r - 2 n 2r => NR = n2r => n = .
422 Eduardo Espinoza Ramos
NE¡ = yJry[ÑR_ ^ => / = —
2M? 2 2 \ R r
889 Determinar que diámetro “y” deberá tener la abertura circular de una presa, para que le gesto de agua por segundo Q sea el mayor posible, si
Q = c s jh - y donde “h” es la profundidad del punto inferior de la abertura
(tanto g, como el coeficiente empírico C, son constantes).
Desarrollo
iQ = Cy4hZ y=C{hy2 - y i )2
| /i= o = C -(h y 2 - y 3) 1(2hy-7>y1) => 2hy = 3y2 => — = ?
dy 2 ’ 3
890 Si x l,x 2,-;X„ , son resultados de mediciones igualmente preciso de la
magnitud “x”, su valor más probable será aquel para el cual la suma de los
cuadrados de los errores S = ^ ( x - x , ) 2 , tenga el valor mínimo. Demostrari=i
que el valor más probable de la magnitud “x” es la media aritmética de los
resultados de las mediciones.
Desarrollo
nS = V (x - x, )2 , derivando se tiene:
Aplicación de la Derivada
3.2. DIRECCIÓN DE LA CONCAVIDAD.- PUNTOS I INFLEXIÓN.-__________________________________________
Ira. CONCAVIDAD DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN.-
Consideremos una función y = f(x) diferenciable en (a,b) diremos c y = f(x) es cóncava hacia arriba en (a,b). Si / ” (x) > 0, V x e (a,b)
es cóncava hacia abajo en (a,b) sí / " (x) < 0, V x e (a,b).
2do. PUNTO DE INFLEXIÓN.-
E1 punto (x0, / ( x 0)) es punto de inflexión sí / ' ' ( x 0) = 0
HALLAR LOS INTERVALOS DE CONCAVIDAD Y LOS PUNTOS I INFLEXION DE LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES
891 ,v = x3 - 6 x 2 +12x + 4Desarrollo
y '“ 3x2 -12x + 12 => y ' - 0
para obtener los puntos críticos, es decir: 3x2 - 12x +12 = 0 de donde x =
y = 6x-12 => _v"(2) = 0, no hay máximo ni mínimo, hallaremos lipuntos de inflexión.
>’"= 0 es decir 6 x -1 2 = 0 => x = 2
424 Eduardo Espinoza Ramos
Intervalos f(x) / '(* ) f " ( x ) Conclusión
-oo < x < 2 + - Cóncava hacia abajo
x = 2 12 0 0 Puntos de inflexión
x > 2 + + Cóncava hacia arriba
Luego en: <-<*>,2> es cóncava hacia abajo
<2,«» es punto hacia arriba
(2,12) es punto de inflexión
además en: <-°°,2> y <2,°°> es creciente
892 y = (x + 1)4Desarrollo
y' = 4(x + l)3 => y = o
para los puntos críticos es decir: 4(x + 1)3 = 0 => x = -1
y' = 4(x + 1)3
Aplicación de la Derivada
~°° < x < -1, y < o
- 1 < X < y ’ > 0
existe un punto mínimo en x = -l y su valor es: y = 0, es decir que (-1,( punto mínimo y los intervalos <-°o,-l> es decreciente y en <-l,c<o creciente.
Sea >’"= 12(x + 1)~ => (x + I)2 - 0 => x = -l
y " > 0 , V x € R => la gráfica es cóncava hacia arriba en: < -o o ,o c >
893 y = x + 3
y — — i
Desarrollo
=> x = -3(x + 3)~
punto critico no existe máximos ni mínimos
426 Eduardo Espinoza Ramos
-3
- o o < x < - 3 , y ' < 0 = > y = ----------------- es decreciente en < - = * > , - 3 >j t + 3
-3 < x < <*>, y'< 0 => y =------ es decreciente en <-3,=°>jc + 3
2^ ~Qt + 3)3
-°°< x< -3 , y"<0 es cóncava hacia abajo en <-«>,-3>
en -3 < x < co, v">0 => y = ------ es cóncava hacia arriba sobre <-3,~>x + 3
Luego en: <-°o,-3> cóncava hacia abajo
<-3,co> cóncava hacia arriba
x = -3 punto de discontinuidad no hay punto de inflexión.
Aplicación de la Derivada 4:
894 y = --------x~ +12
y ,= x 2(x2+36)
Desarrollo
y = o(x^+12)
para los puntos críticos es decir: x 2(x2 + 36) = 0 de donde x = 0
-o® < x < 0, y'>0 es creciente en: <-¿»,0>
0 < x < ■*>, j ’> 0 -=> es creciente en: <0,»j>
„ _ 24jr(36 - jc2), => y"~Q, para los puntos de inflexión es decir:( jr + 12)
Si -°o < x < -6, y" > O => es cóncava hacia arriba sobre <-°o,-6>
-6 < x < 0, y'' < 0 => es cóncava hacia abajo sobre <-6,0>
0 < x < 6, y ' ' > 0 => es cóncava hacia arriba sobre <0,6>
6 < x < «x>, y" < 0 => es cóncava hacia abajo
y = y¡4xi - l2 x
, 4(x2 -1)
Desarrollo
(4 X3 — 12x)3
=> y '= 0
para los puntos críticos, es decir: 4(x~ —1) = 0 de donde x1- l , x 2 - 1 ;
3
y también sí 3 y' es decir (4x3 --12a')2 =0 => x3 = 0 , x4 — —75 , x5 = 75
4(x + l)(x —1)
(4x -12x)3
Aplicación de la Derivada
- 7 5 < x < - l , y’> 0 *
-I < x < 0, y'< 0 i l
-1 < x < 0, y'< 0 KJ no e
0 < x < 1, >'<0 * x = 1
l< x < 7 5 , >>’>0 Ü
no existe máximo ni mínimo
existe un máximo en x = -l y su val y = 2 => P l(-1,2)
existe máximo ni mínimo existe un mínimo ei = 1 y su valor es y = -2 => p 2 (1,-2)
l< x < 7 5 , y’>0
75 < x < °° , / > C
. -32(x2 +1)
3 máximo ni mínimo
y =■ de aquí los puntos de inflexión son:(4x3 -12x)3
Xj - 0, x2 = -7 5 , x3 = 73 de donde (0,0), (-73 ,0 ), (73,0)
-3 0 3
- ° o < x < -7 3 , y" > 0 => es cóncava hacia arriba sobre < -oo,-73 >
-7 5 < x < 0, y < o => es cóncava hacia abajo sobre < -7 5 ,0 >
430Eduardo Espinoza Ramos
0 < r < ^3 . y">0 =» es cóncava hacia abajo sobre < 0,>/3:
896
s l3 < x < ° ° , y"<0 => es cóncava hacia abajo sobre < sfí ,00 >
y = eos xDesarrollo
/ = 0 para los puntos críticos es decir:y' = senx
sen x = 0 => x = 0, ±7C, ±2n, ±3n, ...
' = 0 p a r a los puntos de inflexión:y' ’ = — COS X => y
x = (2fe + l ) ” > k = 0 , ± l , ± 2 ,
de donde y = 0 => ((2Jk + 1)^ ,0 ) punto de inflexión si
Aplicación de la Derivada
897
(4A: +1) — < a: < (4fc -t-3) , / ' > °2 ¿
<(4fc+l)^-,(4fc+3)^->2 ^
es cóncava hacia arriba sobre
(4* +3)— < jc < (4* +5)—, y"<02 2
< (4£ + 3)—,(4& + 5)— >2 2
es cóncava hacia abajo sol
y = x - sen xDesarrollo
y' = 1 — eos x ==> y' = 0 , para obtener los puntos críticos, es decir:
1 - eos x = 0 de donde eos x = 1 =$ x = 0 , 2n, 4tc, ...
y”=senx => y" (2kn) = 0 no existe máximos ni mínimos.
Además para (2k - 2)n < x < 2ku, y' > 0 =» es creciente en 1
intervalos <(2k - 2)re, 2kn> para k = 0, ±1, ±2,...
Como y" = senx => / ' = 0 para los puntos de inflexión
decir sen x = 0 => x = ±tc, ±2n,...
luego para x = 2kn, y = 2kn => p(2kJt, 2k7t) punto de inflexión
-2k -7 1 K 2n
432 Eduardo Espinoza Ramos
2k < x < (2k + 1) n, y"> 0 => es cóncava hacia arriba en los
intervalos <2k7t, (2k + 1 )n>
(2k + 1 )7t < x< (2k + 2)n, y"< 0 => es cóncava hacia abajo en los
intervalos. <(2k + 1 )tc, (2k + 2)n>
898 y = x 2 ln xDesarrollo
y' = 2 x l n x + x => y ' = 0 p a r a los puntos críticos es decir:
2x ln x + x = 0 => x(2 ln x + 1) = 0 => jc, = 0 no esta definido en:
. -i _ 1 - _ _ LX — C y *3 — J— » *4 r—Ve Ve
Aplicación de la Derivada
899
y '(-7=) = 2 > 0 => hay un mínimo en x = ~ ve ^
2 1 2 de donde y = — => P\(~ñ ,— )e Ve e
y'X— 7=) 5 máximo ni mínimo Ve
como y"=21nA + 3 => >>" = 0 para los puntos de inflexión tenemos
32 ln x = -3 => x 2 =e~3 => x - e 2
p2
y = arctg x - xDesarrollo
x 2y = a rc tg x -x => y ' = ----------1 + x 2
2xy = -------- r r = o => x = o
(i+ *2)2
0
x < 0, y ' ' > 0 es cóncava hacia arriba
x > 0, y " < 0 es cóncava hacia abajo
x = 0, y = 0 luego p(0,0) punto de inflexión
434 Eduardo Espinoza Ramos
900 y = (l + x 2)ex
y'=2xex + (x2 +l)ex
Desarrollo
y '=exix + l)2 , haciendo y' = 0 , para los puntos críticos, es decir
e*(.x: + l)2 =0 dedonde: x = -l
Si x < -1, y > 0 la función no tiene máximo ni mínimos y además es ] creciente en los intervalos: <-«>,-1> y <-l,°°>
x >-1, y‘>0
como y'=e*(x + l)2 => y"= ex(x + IX*+ 3) haciendo y "= 0 , s d
obtiene los puntos de inflexión, es decir e x ( x + l)(* + 3 ) = 0 de donde:!
Xy = - 1 , X2 = - 3 .
2 10 Luego p ,( - l ,—), p 2 ( - 3 , — ) punto de inflexión
_3 ' 1
Si x < -3, y” > 0 => e s cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-°°,-3>
Si -3 < x <-1, y "< 0 => e s cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-3,-1>
Si x > -1, y">0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo <-l,°°>
Aplicación de la Derivada
3.3. ASÍNTOTAS.-
a) DEFINICION.-
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una curva y = f(x) de forma que por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infin mientras que la distancia entre este punto y una recta determinada tiene cero, esta recta recibe el nombre de “asíntota” de la curva.
b) ASÍNTOTA VERTICALES.- (paralelos al eje O Y).
Si existe un número a tal, que lim f ( x ) = °o, la recta x = a es asíntx-^a
vertical.
c) ASÍNTOTA OBLICUAS.- (respecto a los ejes coordenados)
Si existen los limites lim ^ = *, y lim [f(x) - k xx] = b, la re.
y = kxx + b¡ será asíntota (oblicua a la derecha o bien, sí k¡ = horizontal derecha, paralela al eje OX).
Si existen los limites = y \ ¡ m [ f ( x ) - k 2x] = b2 la rec
y = k2x + b2 es asíntota (oblicua a la izquierda o bien, cuando k , = horizontal izquierdo paralela al eje OX).
La gráfica de la función y = f(x) (que se supone uniforme) no puede ten- más de una asíntota derecha (oblicua u horizontal) ni más de una asínto izquierda (oblicua u horizontal).
436 Eduardo Espinoza Ramos
HALLAR LAS ASÍNTOTAS DE LA CURVA:
1901 y = - ,
( * - 2)2Desarrollo
Para obtener las asíntotas verticales haremos el denominados igual a cero, es
decir: ( x - 2 ) 7 =0 => x = 2 es una asíntota vertical.
Ahora buscaremos las asíntotas oblicuas cuando x —» +°°
como y = kx + b entonces y = a que es una asíntota horizontal.
Aplicación de la Derivada
3.4.
916
CONSTRUCCION DE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES POR SUS PUNTOS CARACTERÍSTICOS.
Construir las gráficas determinando el campo de existencia de cada funció puntos de discontinuidad, los puntos extremos, los intervalos de crecimie deciecimiento, los puntos de inflexión de su gráfica la dirección < concavidad y las asíntotas de la gráfica.
y = x3 - 3 x 2Desarrollo
Como y — x 3x es un polinomio, su campo de existencia es todo números reales R.
y x 3x => y '- 3 x 2 - 6 x - 0 para los números críticos => {(
números críticos.
, y ' = 3 x ( x - 2 )
para x < 0, y'>0 W
0 < x < 2, v'< 0 *
' I2 < x < °°, / > 0
3 máximo en x = 0, (0,0)
3 mínimo en x = 2, (2,-4)
es creciente en <-°°,0> y <2,°°> y decreciente en < 0 — >’2
y '= 3x2 -6 x => y " = 6 x - 6 = 0
446 Eduardo Espinoza Ramos
para los puntos de inflexión => 6 x - 6 - 0 x — 1, (1,-2) punto de
inflexión.
1y" = 6 ( x - l )
Para x < l , >>"<0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,l>
Para x > 1, y"> 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1 ,°°>
No tiene asíntotas.
Desarrollo
2 4El campo de existencia de y = ---- ----- es el conjunto de los números reales.
v = 6x~ ~ x4 => y ’ = 1--x ~ 4x ■ = 0 para los números críticos de dond y 9 9{0,-73,73} son los críticos.
Aplicación de la Derivada
y' = - - x ( x - 3 ) ( x + 3)
para x < - ^ 3 , y’> 0 +
—J í < x < 0 , y'<0~
0<x<y¡3, y ’>0+
y ¡ 3 < X < OO , y ' < 0 “
es creciente en los intervalos < - o o , - 3 > , < 0 , 3 >
es creciente en los intervalos < - \ / 3 , 0 > , < 3 , ° o >
))
3 máximo en X = y¡3, (-3,1)
=> 3 mínimo en x = 0, (0,0)
=> 3 máximo en x = y¡3, (-s/3,1)
, I2 x -4 x 3y - — i — o
•*
« 1para obtener los números críticos, es decir - ( 4 - 4 * 2) = 0 de donde
■ . • • > 3■ . '""H*
5 'x = —l, y = ~< puntos de inflexión
448 Eduardo Espinoza Ramos
para x < - l , y"< 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-o°,—>/3>
para -1 <x< 1, y '" > 0 => es cóncava hacia arriba sobre el intervalo < y¡3 >
para x > 1, y" < 0 => es cóncava hacia abajo sobre el intervalo < °° >
no tiene asíntotas.
918 y = (* - ! ) - (* + 2)Desarrollo
y = x 3 - 3x + 2 su campo de existencia es y' = 3x2 - 3 = 0 para los número críticos de donde {-1,1} son los números críticos.
y=3(x + l ) (x - l )
para x < 1, y'> 0+
-1 < x < 1. y'<0~
x > i, y > o +
máximo en x = -1, (-1,4)
mínimo en x = l , (1,0)
Aplicación de la Derivada
919
Los intervalos donde es creciente son < - o o , - i > t < ] „ > y d o n d
decreciente es <-1,1 >
Como y ~ 3x 3 => y" = 6x = 0 para los puntos de inflexión,decir x = 0, (0,2) es un punto de inflexión.
0y"=6x
para x < 0, / ' < 0 la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-oo,0>
para x > 0, y " > 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,oo>
no tiene asíntota
j._ (x - 2 ) 2(x + 4)4
Desarrollo
Su campo de existencia es todo los números reales
*3-12x + 16 3x2-12y - — j — - ^ = ^ = 0
>■
para los números críticos, es decir {-2,2} números críticos.
450 Eduardo Espinoza Ramos
y' = - ( x + 2)(x-2) 4
para3 máximo en x = -2, (-2,8)
ra x< -2 , y '>0 ~\
, < x < 2, y'< 0~
<x<°o, y’> 0 + ti3 mínimo, en x = 2, (2,0)
2 < x < °°, y'
la gráfica es creciente en los intervalos <-°°,-2>,<2,°°> y es decreciente en el
intervalo <-2,2>
, 3x2 -12 „ 3 x_como y = ---------- => y = — - u
4 2
para los puntos de inflexión, es decir x = 0 de donde (0,4) punto de
inflexión.
y " = — = 0 2
para x < 0, y"< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre el intervalo <-=*>,0> ¡
para x > 0, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre e intervalo <0,o°>
no tiene asíntotas.
Aplicación de la Derivada
920 y =(x2- 4 )3
125Desarrollo
Su campo de existencia es todo los números reales
(jc2 - 4 ) 3y=- , 6 x ( x 2 - 5 ) 2 n
y =0125 ' 124
para los números críticos de donde: {—\Í5,0,y[5] son números críticos
, 6x(x2 - 5)2y = ----------- —
125
para x<-y¡5 , y '<0" ^
—Js < x< 0 , y'<0~ i l
0 < x < 5, y'> 0+ *
5 < x < oo, y'> 0+ «
3 máximo ni mínimos en x = -y¡5
3 mínimo en x = 0, (0,-1)
3 máximo ni mínimos en x = -Js
La gráfica es creciente en < 0,^5 >, < y/5, > y decreciente en los interval< -oo, —JE > , < -y¡5,0 >
452 Eduardo Espinoza Ramos
, 6 x(x2 - 5 ) 2Como y = --------------
125y" = — (je2—5X*2-1) = 0 7 25
Para los puntos de inflexión se tiene: {—-J5,—1,1,75 > de donde ( 75 ,0),64 64 i—(_ 1 ------ ) (1,------ ) , (V5,0) puntos de inflexión.
’ 125 125
y ” = ^ (x + 75 )(x- y¡5)(x +1)( x -1)
para x<-\¡5 , y"> 0 la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -°°, -7 5 >
para S < x < - \ , y” < 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre:
< --75,-1 >
para -1 < x < 1, y” > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobe <-l,l>
para 1 < x < 75 , y" < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < 1,75
para 75 <x<°° , y " > 0 ,la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <\Í5,°°>
no tiene asíntotas.
Aplicación de la Derivadu
921x - 2 x + 2
y = - ^ T ~Desarrollo
Su campo de existencia es R - {1}
, x (x -2 )x" — 2x + 2^ ' x - l
números críticos.
y ■-x(x -2 )( x - l ) 2
( x - l ) 2= 0 para los puntos críticos es decir {
)<X<oo, y‘> 0+ «
3 máximo en x = 0, (0,-2)
=> 3 máximo ni mínimo en x = 1
=* 3 mínimo en x = 1, (2,2)
la grálica es creciente en los intervalos <-°°,0>, <2,°°> y decreciente en intervalos <0,1 > y < 1,2>.
Como y1 = ———— ( x - l ) 2
y =-( x - l f
- = 0, 3 x e R
Por lo tanto no hay pühto de inflexión, y " = -a - 1 ) 3
para x < 1, y" < 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°o, 1 >
454 Eduardo Espinoza Ramos
para x > 1, y"> O, la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°>
Calculando las asíntotas para las verticales se tiene:
x _ i = 0 =» x = 1 asíntota vertical.
Para las oblicuas se tiene:
y jc2 -2 .x + 2k, = lim — = lim — -— —---- 1
x->+~ x x(x -1)
x - 2 x + 2h = lim ( y - k xx)= lim (-------- ------
X—)+oo X—H 00 X i
como y = k ix + bl => y = x - l
es una asíntota oblicua.
■*) = - l
x4 —3922 y = -------
*Desarrollo
Su campo de existencia es todo los reales R - {0}
y - *4 ~ 3 => y ’ = ?(x +1) =Q para los números críticos, como -V4 +1 = 0,X X 1
3 x e R ; no tiene punto críticos, por lo tanto no tiene máximos ni mínimos.
Aplicación de la Derivada
, 3(x4 +l)2
X ~
para x <0, y '>0 , x > 0, y '<0
Luego la gráfica es creciente en los intervalos: <~oo,0>, <0,°°> como:
X X 3
para obtener los puntos de inflexión de donde {-1,1}
Luego (-1,2), (1,-2) puntos de inflexión
v " = 6(*2 +1) 0 + 1)(*--1)3
para x < - l , y"< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-<*>,-]>
para - l < x < 0 , y" > 0, la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-l,0>
para 0 < x < l , y " < 0 ,la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <0,1 >& -y.
para l < x < ° ° , y ''> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba <1,°°>
Calculando las asíntotas se tiene:
Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 para las asíntotas oblicuas.
456Eduardo Espinoza Ramos
k, = lim — = lim yjc-»+~ x *-»+~ x
xA +3
no tiene asíntotas
9 2 3
xA +3y = -
npsarrollo
Su campo de existencia es todo los reales R - {0}
jc4 +3 ■_ 3(*4 -1) _ n los números
numero críticos.
críticos, es decir: {-1,1}
Aplicación de la Derivada
para x < - 1, y'>0
-1 < x < 0, y '< 0. . j0 < x < 1, y ’<0~ &
<°°, y > 0+ A
3 máximo en x = -l, (-1,-4)
3 máximo ni mínimo en x = 0
y x=> 3 mínimo en x = l , (1,4)
1 < X < ° ° , y'
La gráfica es creciente en los intervalos <-<*>,-1>, <1,°°> y decreciente er los intervalos <-l,Q>, <0,1 >
Como y ' = 3(X =» y ” = 6(——j—) = 0x x
Para los puntos de inflexión, pero como 3 x e R tal que y" = 0 , 1 gráfica tiene puntos de inflexión.
„ _ 6(x +1) x3
parr x < 0, y "< 0 , la gráfica es cóncava hacia abajo sobre <-°°,0>
para x > 0, y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°°>
Calculando las asíntotas se tiene:
Para las asíntotas verticales, se tiene x = 0 y para las asíntotas oblici tenemos:
y . x4 +3Kj = lim — = lim — -— = ooX—>+oo X X—>+oo X
no tiene asíntotas oblicuas.
458 Eduardo Espinoza Ramos
924 2 2y = x + —X
Desarrollo
Su campo de existencia es todo R - {0}
2 2(x —1)y = x2 + — => y ' = ——-— - = 0 para los números, es decir x = 1X ' X
para x < 0 , y '< 0 +
0 < x < 1, y'cCT
=> 3 máximo ni mínimo en x = 0
=> 3 mínimo en x = l , (1,3)1 < x < oo, y'> 0
La gráfica es creciente en el intervalo <1,°°> y decreciente en los
intervalos <-°°,0>,<0,l>
Aplicación de la Derivada 4
Como y' =, 2(x3- l ) „ 2(x + 2) = 0
Para los puntos de inflexión, es decir: x = -y/2 , (-72,0) punto de inflexic
- I Í 2 0
„_2{x2 -U 2x + 4){x+^Í2) y *3
para x < -i¡2 , y" > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -l¡2 >
para - I f l < x < 0 , y"< 0, la gráfica es cóncava hacia abajo sobre < -n/2,0
para x > 0, y '' > 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <0,°<=>
Ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene x = 0
para las asíntotas oblicuas: = lim — = lim (x + — ) = <»X JC—>+oo
no tiene asíntota oblicuas.
460 Eduardo Espinoza Ramos
925 y = ~ ~ x +3
Desarrollo
El campo de existencia es todo los números reales
1 y' = — ^ r = 0
para obtener los números críticos, es decir x = 0
-2x(x2 +3)2
para x < 0, y' > 0+
x> 0 , y’<0
como y-2x
(x2 + 3)2
3 máximo en x = 0, (0’~)
„ 6(x -1) n
v
para obtener los puntos de inflexión es decir: {-1,1}. Luego (-1 .-) > 0>-)
son los puntos de inflexión.
„ 6(x + l)(x -l)(x2 + 3)3
Aplicación de la Derivada 4
para x < -1, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <-<*>,-1>
para -1 < x < 1, y"< 0, !a gráfica es cóncava hacia arriba sobre < -l,l>
para x > 1, y"> 0 , la gráfica es cóncava hacia arriba sobre <1,°°>
ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales x 2 +3 = 0, existe.
y 1Para las asíntotas oblicuas se tiene: kx = lim — = lim —------- ■•= 0*->+“ x (x + 3)
bx = lim (y -£)*) = lim ——■— = 0x —>+oo ^ —>+00 ^
como y = kxx + bx => y = 0 asíntota horizontal.
J ix - 4Desarrollo
El campo de existencia de la gráfica es: R - {-2,2}
8 ■ ~ 16x ny = —z---- => y = —------ - = 0, para los números críticos es decir: x = (x —4 (x -4 ) .
462 Eduardo Espinoza Ramos
y ' =-16x
(x2 - 4)2
=í> 3 máximo ni mínimo en x = -2
=> 3 máximo en x = 0, (0,-2)
=> 3 máximo ni mínimo en x = 2
La gráfica es creciente en los intervalos <-°°,-2> <-2,0> y decreciente en los
intervalos <0,2> <2,<*»
_ , -16xComo y = —------ r-
(x —4)
„ 16(3x2 +4)V (x2 - 4 ) 3
Para los puntos de inflexión => 3x2 +4 = 0, H¡ x <e R por lo tanto no hay
punto de inflexión
-2 2
x < -2, y" > 0 , cóncava hacia arriba <-°°,-2>
-2 < x < 2, y" < 0, cóncava hacia abajo <-2,2>
x > 2, y ' ' > 0 , cóncava hacia arriba
Aplicación de la Derivada 4
ahora calcularemos las asíntotas. Para las asíntotas verticales se tiene: x = ±
Para las asíntotas oblicuas se tiene: k = lim — = lim ---- ------ = oat-*+~ X x(x2 - 4)
bx = lim (-y-kxx) = lim —p— = 0X —^ + o o x —>+oo ^
com oy = kx + b => y = 0, es una asíntota horizontal.
y = - ---- T ■4 + x”
Desarrollo
Su campo de existencia es todos los números reales