32 2 Approximation in speziellen Raumen
2 Approximation in speziellen Raumen
2.1 Satz von Weierstraß
zunachst : Approximation in C[a, b], −∞ < a < b <∞
Satz 2.1 (Weierstraß 1885)Sei f ∈ C[a, b]. Dann existiert eine Polynomfolge (pn)n, die gleichmaßig auf [a, b] gegen f konvergiert.
pn ==⇒glm.
f ⇐⇒ limn→∞
supx∈[a,b]
|f(x)− pn(x)| = 0
⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : ‖f − pn‖∞ = supx∈[a,b]
|f(x)− pn(x)| < ε
Bemerkung : Vergleich zum Satz von Taylor fur analytische Funktionen :
sei f : C −→ C analytisch in z ∈ C : |z| ≤ R ⊂ C =⇒m∑
k=0
akzk −−−−→
m→∞f(z)
gleichmaßig in z ∈ C : |z| ≤ R, setzen pm(z) :=m∑
k=0
akzk y pm ==⇒
glm.f ,
∀ ε > 0 ∃ m0 ∀ m ≥ m0 : sup|z|<R
|pm(z)− f(z)| < ε
=⇒ ∀ ε > 0 ∃ m0 ∀ m ≥ m0 : sup−R<x<R
|pm(x)− f(x)| < ε
aber : falls f nicht analytisch 99K ??
Weierstraß y sogar fur stetige Funktionen moglich
f analytisch 99K Entwicklung in gleichmaßig konvergente Potenzreihe moglich
f stetig, aber nicht analytisch 99K”Entwicklung“ in gleichmaßig konvergente Reihe allge-
meiner Polynome, die sich nicht zu Potenzreihe umordnen lassen
schonster Beweis von Satz 2.1 mit Bernstein-Polynomen
Definition 2.2 Seien f : [0, 1] −→ R, n ∈ N. Der n-te Bernstein-Operator Bn : f 7−→ Bnf ∈ Pn istgegeben als
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(n
k
)f
(k
n
)xk(1− x)n−k, x ∈ [0, 1].
Bemerkung : • (Bnf) (x) . . . Bernstein-Polynom n-ter Ordnung zu f , Bnf ∈ Pn
• Fur alle f : [0, 1] −→ R, n ∈ N gilt
(Bnf)(0) = f(0), (Bnf)(1) = f(1)
fuhren weiter ein : Differenzen-Operatoren(∆k
hf)(x), k ∈ N, h ∈ R :
(∆hf) (x) =(∆1
hf)(x) = f(x+ h)− f(x),
(∆k+1
h f)(x) =
(∆1
h
(∆k
hf))
(x), x ∈ R
Ubung II-1 : Zeigen Sie : (∆mh f)(x) =
m∑
j=0
(m
j
)(−1)m−j f(x+ jh) fur m ∈ N, x, h ∈ R.
2.1 Satz von Weierstraß 33
Lemma 2.3 Seien n ∈ N, x ∈ [0, 1], f : [0, 1] −→ R. Dann gilt
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(∆k
1/nf)
(0)(n
k
)xk .
Be w e i s :
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(n
k
)f
(k
n
)xk
(1−x)n−k
︷ ︸︸ ︷n−k∑
j=0
(n− kj
)(−1)n−k−jxn−k−j
=n∑
k=0
n−k∑
j=0
f
(k
n
)(n
k
)(n− kj
)(−1)n−k−jxn−j
=n∑
`=0
x`∑
k=0
f
(k
n
) (n
k
)(n− kn− `
)
︸ ︷︷ ︸n!
k!(`−k)!(n−`)!=(n`)(`
k)
(−1)`−k =n∑
`=0
(n
`
)x`
∑
k=0
f
(k
n
) (`
k
)(−1)`−k
︸ ︷︷ ︸“∆`
1/nf”(0)
Ubung II-2 : Seien h0(x) ≡ 1, h1(x) = x, h2(x) = x2, f(x) = eαx, α ∈ R, g ∈ Pm, m ∈ N,x ∈ [0, 1]. Zeigen Sie
(a) Bnh0 = h0, d.h. (Bnh0)(x) ≡ 1, n ∈ N(b) Bnh1 = h1, d.h. (Bnh1)(x) = x, n ∈ N
(c) Bnh2 =(
1− 1n
)h2 +
1nh1, d.h. (Bnh2)(x) =
1nx+
(1− 1
n
)x2, n ∈ N
(d) (Bnf) (x) =(xe
αn + (1− x))n
, n ∈ N(e) (Bng) ∈ Pm, n ∈ N
Satz 2.4 (Bernstein)Sei f eine auf [0, 1] beschrankte Funktion. Dann gilt fur alle x ∈ [0, 1], in denen f stetig ist,
limn→∞
(Bnf) (x) = f(x).
Falls f ∈ C[0, 1] ist, konvergieren die Polynome Bnf auf [0, 1] gleichmaßig gegen f .
Be w e i s : 1. Schritt : zeigen die Identitat
n∑
k=0
(k − nx)2(n
k
)xk(1− x)n−k = nx(1− x) (12)
n∑
k=0
(k − nx)2(n
k
)xk(1− x)n−k
=n∑
k=0
k2
(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸n2(Bnx2)(x)=nx+n(n−1)x2, UA II-2(c)
− 2nxn∑
k=0
k
(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸n(Bnx)(x)=nx, UA II-2(b)
+ n2x2n∑
k=0
(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸(Bn1)(x)≡1, UA II-2(a)
= nx+ n(n− 1)x2 − 2n2x2 + n2x2 = nx(1− x)
34 2 Approximation in speziellen Raumen
2. Schritt : zeigen fur beliebiges δ > 0, 0 ≤ x ≤ 1,
∑
| kn−x|≥δ
(n
k
)xk(1− x)n−k ≤ 1
4nδ2(13)
∣∣∣∣k
n− x
∣∣∣∣ ≥ δ =⇒ (k − nx)2n2δ2
≥ 1 y
∑
| kn−x|≥δ
(n
k
)xk(1− x)n−k ≤ 1
n2 δ2
n∑
k=0
(k − nx)2(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸= nx(1−x), (12)
=
≤ 14︷ ︸︸ ︷
x(1− x)n δ2
≤ 14nδ2
3. Schritt : f beschrankt =⇒ |f(x)| ≤M , x ∈ [0, 1];
sei f stetig in x =⇒ ∀ ε > 0 ∃ δx > 0 ∀ y ∈ [0, 1], |y − x| < δx : |f(x)− f(y)| < ε
2
f(x) =n∑
k=0
f(x)(n
k
)xk(1− x)n−k y
f(x)− (Bnf) (x) =n∑
k=0
[f(x)− f
(k
n
)](n
k
)xk(1− x)n−k
=∑
| kn−x|<δx
[f(x)− f
(k
n
)](n
k
)xk(1− x)n−k +
∑
| kn−x|≥δx
[f(x)− f
(k
n
)](n
k
)xk(1− x)n−k
y |f(x)− (Bnf) (x)|
≤∑
| kn−x|<δx
∣∣∣∣f(x)− f(k
n
)∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
< ε2
(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸< ε
2
+∑
| kn−x|≥δx
∣∣∣∣f(x)− f(k
n
)∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
≤2M
(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸≤ 2M
4nδ2x
, (13)
≤ ε
2+
2M4nδ2x
< ε fur n ≥ n0(ε, x)
4. Schritt : sei jetzt f ∈ C[0, 1] =⇒ f gleichmaßig stetig auf [0, 1]
⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, y ∈ [0, 1], |y − x| < δ : |f(x)− f(y)| < ε
2,
weiter analog zum 3. Schritt y
|f(x)− (Bnf) (x)| ≤ ε
2+
2M4nδ2
< ε fur n ≥ n0(ε) und alle x ∈ [0, 1]
=⇒ limn→∞
supx∈[0,1]
|f(x)− (Bnf) (x)| = 0 ⇐⇒ (Bnf) ==⇒glm.
f
Folgerung 2.5 Seien f ∈ C[0, 1] und ε > 0. Dann existiert ein n0(ε), so dass fur alle n ≥ n0 gilt
supx∈[0,1]
|f(x)− (Bnf)(x)| < ε .
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 35
B e w e i s : (Satz 2.1)
sei f ∈ C[a, b], setzen ξ :=x− ab− a , g(ξ) := f
( x︷ ︸︸ ︷a+ (b− a)ξ )
=⇒ g ∈ C[0, 1]
====⇒Folg. 2.5
∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0 : supξ∈[0,1]
|g(ξ)− (Bng) (ξ)| < ε
rn(x) := (Bng)( x− ab− a︸ ︷︷ ︸
ξ
)∈ Pn =⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0 : sup
x∈[a,b]
|f(x)− rn(x)| < ε
Ubung II-3 : • Sei g(t) = |2t− 1|, t ∈ [0, 1]. Berechnen Sie die zugehorigen Bernstein-Polynome(B4g) (t) und (B6g) (t). Zeigen Sie, dass fur n ∈ N
(B2ng)(
12
)=
122n
(2nn
)
gilt, und geben Sie eine Abschatzung fur den lokalen Fehler∣∣g (
12
)− (B2ng)(
12
)∣∣ furn→∞ an.
• Sei f ∈ C[a, b] mit den Momentenbedingungenb∫
a
tmf(t) dt = 0, m ∈ N0, gegeben.
Dann ist f ≡ 0 auf [a, b].
Hinweis : Verwenden Sieb∫
a
[f(t)]2 dt =b∫
a
[f(t)− p(t)] f(t) dt fur alle (algebraischen)
Polynome p(t), und den Satz von Weierstraß.
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen
betrachten – vor Verallgemeinerung von Satz 2.1 – zunachst Approximation durch Bernstein-Polynome etwasgenauer
bemerkenswert : gleichzeitige Approximation von Funktion und Ableitungen !
Beispiele : (i) fn(x) =sin(nx)n
, n ∈ N, x ∈ [0, 2π] y |fn(x)| ≤ 1n, x ∈ [0, 2π] y fn ==⇒
glm.0
andererseits: f ′n(x) = cos(nx) nicht (gleichmaßig) konvergent, insbesondere f ′n 6==⇒glm.
0
(ii) Seien Tn(x) die Tschebyscheff-Polynome (erster Art) aus Bsp. (2) in Abschnitt 1.5,
gn(x) =Tn(x)n
, n ∈ N, x ∈ [−1, 1].
spater (Satz 2.51): Tn(x) =√
2π cos(n arccosx), T ′n(1) =
√2πn
2, n ∈ N
y ‖gn‖∞ ≤√
2n√π−−−−→n→∞
0, d.h. gn ==⇒glm.
0,
aber
‖g′n − g′2n‖∞ ≥ |g′n(1)− g′2n(1)| = n
√2π−−−−→n→∞
∞, d.h. g′n nicht glm. konv.
36 2 Approximation in speziellen Raumen
Beispiele : (iii) Seien r(z), p(z) in beschranktem Gebiet G ⊂ C analytische (komplexe) Funktionen mit|r(z)− p(z)| < ε auf ∂G (einfach geschlossene Kurve) ======⇒
Max.prinzip|r(z)− p(z)| < ε in G
seien m ∈ N, δ > 0, und Sδ := z ∈ G : dist (z, ∂G) ≥ δ ⊂ G
=⇒Cauchy-Ungl.22
∣∣∣r(m)(z)− p(m)(z)∣∣∣ ≤ m! |∂G|
2π δm+1ε, z ∈ Sδ
d.h. fur ε ↓ 0 (und festes Sδ, m ∈ N) 99K p(m)(z) approximiert r(m)(z) gleichmaßig(in C), falls p(z) bereits r(z) approximiert hat
Lemma 2.6 Seien k ∈ N0, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1]. Dann gilt
dk
dxk(Bn+kf) (x) = (Bn+kf)(k) (x) =
(n+ k)!n!
n∑
j=0
∆k1
n+kf
(j
k + n
)(n
j
)xj(1− x)n−j .
Be w e i s : Interpretation fur k = 0 : (Bnf)(0) (x) = (Bnf) (x)
verwenden Leibniz23-Formel : (uv)(m) =m∑
`=0
(m
`
)u(`)v(m−`)
dk
dxk(Bn+kf) (x)
=n+k∑
`=0
(n+ k
`
)f
(`
n+ k
)[x`(1−x)n+k−`](k)
︷ ︸︸ ︷k∑
ν=0
(k
ν
) [x`
](ν)
︸ ︷︷ ︸=
`!
(`−ν)! x`−ν , ν ≤ `
0 , ν > `
ff
[(1− x)n+k−`
](k−ν)
︸ ︷︷ ︸=
((−1)k−ν (n+k−`)!
(n−`+ν)! (1− x)n−`+ν , `− ν ≤ n
0 , `− ν > n
)
=n+k∑
`=0
min(k,`)∑
ν=max(0,`−n)
f
(`
n+ k
)(−1)k−ν
(n+ k
`
)(k
ν
)(n+ k − `)!(n− `+ ν)!
`!(`− ν)!x
`−ν(1− x)n−`+ν
=k∑
ν=0
n+ν∑
`=ν
f
(`
n+ k
)(−1)k−ν
(k
ν
)(n+ k
`
)`! (n+ k − `)!
(`− ν)! (n− `+ ν)!︸ ︷︷ ︸(n+k)! 1
n! ( n`−ν)
x`−ν(1− x)n−`+ν
=j = `− ν
(n+ k)!n!
k∑ν=0
n∑
j=0
f
(j + ν
n+ k
)(−1)k−ν
(k
ν
) (n
j
)xj(1− x)n−j
=(n+ k)!n!
n∑
j=0
k∑ν=0
f
(j + ν
k + n
)(−1)k−ν
(k
ν
)
︸ ︷︷ ︸∆k
1n+k
f( jk+n )
(n
j
)xj(1− x)n−j
=(n+ k)!n!
n∑
j=0
∆k1
n+kf
(j
k + n
)(n
j
)xj(1− x)n−j
22Cauchy-Ungleichungen : f : G −→ C holomorph, z0 ∈ G, Kr(z0) ⊂ G, r > 0 =⇒ ∀ δ, 0 < δ ≤ r ∀ z ∈ Kr−δ(z0) :˛˛f (m)(z)
˛˛ ≤ r
δ
m!
δmmax
|ζ−z0|=r|f(ζ)| , z ∈ Kr−δ(z0)
allg. Kurve γ ⊂ G (einfach, geschlossen) :˛f (m)(z)
˛≤ m! |γ|
2π δm+1 maxζ∈γ |f(ζ)|, dist (z, γ) ≥ δ
23Gottfried Wilhelm von Leibniz (∗ 1.7.1646 Leipzig † 14.11.1716 Hannover)
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 37
Satz 2.7 Seien k ∈ N0 und f ∈ Ck[0, 1]. Dann gilt
limn→∞
supx∈[0,1]
∣∣∣(Bnf)(k) (x)− f (k)(x)∣∣∣ = 0 .
Be w e i s : verwenden Lemma 2.6, betrachten zunachst ∆k1
n+kf
(j
k + n
)fur j = 0, . . . , n :
f ∈ Ck[0, 1] ===⇒MWS
∃ ξj ∈(
j
n+ k,j + k
n+ k
): ∆k
1n+k
f
(j
k + n
)=
1(n+ k)k
f (k)(ξj) (ξj =j
nfur k = 0)
======⇒Lemma 2.6
(Bn+kf)(k) (x) =(n+ k)!n!
n∑
j=0
1(n+ k)k
f (k)(ξj)︸ ︷︷ ︸
∆k1
n+k
f( jk+n )
(n
j
)xj(1− x)n−j
yn! (n+ k)k
(n+ k)!(Bn+kf)(k) (x)
=n∑
j=0
f (k)
(j
n
) (n
j
)xj(1− x)n−j
︸ ︷︷ ︸=(Bnf(k))(x)
+n∑
j=0
[f (k)(ξj)− f (k)
(j
n
)](n
j
)xj(1− x)n−j
j = 0, . . . , n yj
n∈
[j
n+ k,j + k
n+ k
]y
∣∣∣∣ξj −j
n
∣∣∣∣ <j + k
n+ k− j
n+ k=
k
n+ k< δ fur n ≥ n0(δ), d.h.
=======⇒f ∈ Ck[0, 1]
∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x, y ∈ [0, 1], |x− y| < δ :∣∣∣f (k)(x)− f (k)(y)
∣∣∣ < ε
3
=⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 ∀ j = 0, . . . , n :∣∣∣∣f (k) (ξj)− f (k)
(j
n
)∣∣∣∣ <ε
3
y∣∣∣(Bn+kf)(k) (x)− f (k)(x)
∣∣∣
≤∣∣∣∣1−
n! (n+ k)k
(n+ k)!
∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸−−−−→
n→∞0
∣∣∣(Bn+kf)(k) (x)∣∣∣
︸ ︷︷ ︸≤ C
︸ ︷︷ ︸< ε
3 , n≥n1
+∣∣∣
n! (n+k)k
(n+k)! (Bn+kf)(k)(x)−(Bnf(k))(x)︷ ︸︸ ︷n∑
j=0
[f (k)(ξj)− f (k)
(j
n
)](n
j
)xj(1− x)n−j
∣∣∣
+∣∣∣(Bnf
(k))
(x)− f (k)(x)∣∣∣
︸ ︷︷ ︸< ε
3 , n≥n2, Satz 2.4
<23ε +
n∑
j=0
∣∣∣∣f (k)(ξj)− f (k)
(j
n
)∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
< ε3 , n≥n0
(n
j
)xj(1− x)n−j
︸ ︷︷ ︸< ε
3 , n≥n0
< ε fur n ≥ max(n0, n1, n2)
Ubung II-4 : Beweisen Sie, dass fur f ∈ Ck[0, 1], k ∈ N0, und 0 ≤ j ≤ n stets ein ξj ∈(
j
n+ k,j + k
n+ k
)
existiert, so dass gilt
∆k1
n+kf
(j
k + n
)=
1(n+ k)k
f (k)(ξj) .
38 2 Approximation in speziellen Raumen
Satz 2.8 Sei f auf [0, 1] gegeben.
(i) Fur n ∈ N, k ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n, existiere f (k)(x) fur alle x ∈ [0, 1], und es gelte
m ≤ f (k)(x) ≤ M fur alle x ∈ [0, 1].
Dann folgt
m ≤ (n− k)! nk
n!(Bnf)(k) (x) ≤ M fur alle x ∈ [0, 1],
insbesondere gilt
infx∈[0,1]
f (k)(x) ≥ 0 =⇒ infx∈[0,1]
(Bnf)(k) (x) ≥ 0 .
(ii) Seien f monoton nicht fallend auf [0, 1] und n ∈ N. Dann ist (Bnf)(x) monoton nicht fallendauf [0, 1].
(iii) Sei f eine auf [0, 1] konvexe Funktion, dann ist (Bnf)(x) konvex auf [0, 1], n ∈ N.
Be w e i s : zu (i) : Lemma 2.6 y (Bnf)(k) (x) =n!
(n− k)!n−k∑
j=0
∆k1/nf
(j
n
)(n− kj
)xj(1−x)n−k−j (∗)
========⇒MWS, UA II-4
∀ j, 0 ≤ j ≤ n−k ∃ ξj ∈(j
n,j + k
n
): ∆k
1/nf
(j
n
)=
1nk
f (k)(ξj) (mit ξj :=j
n, k = 0)
=⇒ (n− k)! nk
n!(Bnf)(k) (x) =
n−k∑
j=0
f (k)(ξj)(n− kj
)xj(1− x)n−k−j
︸ ︷︷ ︸≥0
===================⇒n−kPj=0
`n−kj
´xj(1− x)n−k−j = 1
(i)
zu (ii) : Sei f monoton nicht fallend
======⇒(∗), k = 1
(Bnf)′ (x) = n
n−1∑
j=0
∆1/nf
(j
n
)
︸ ︷︷ ︸f( j+1
n )−f( jn )≥0
(n− 1j
)xj(1− x)n−1−j
︸ ︷︷ ︸≥0
≥ 0, x ∈ [0, 1] =⇒ (ii)
zu (iii) : Sei f konvex auf [0, 1]
⇐⇒ ∀ λ ∈ [0, 1] ∀ x, y ∈ [0, 1] : f (λx+ (1− λ)y) ≤ λf(x) + (1− λ)f(y)
λ :=12, x := x0 + 2h, y := x0 mit x0 ∈ [0, 1], h ∈ R und x0 + 2h ∈ [0, 1]
=⇒ (∆2
hf)(x0) = f(x0 + 2h)− 2f(x0 + h) + f(x0) ≥ 0
======⇒(∗), k = 2
(Bnf)′′ (x) = n(n−1)n−2∑
j=0
∆21/nf
(j
n
)
︸ ︷︷ ︸≥0
(n− 2j
)xj(1− x)n−2−j
︸ ︷︷ ︸≥0
≥ 0, x ∈ [0, 1] =⇒ (iii)
Satz 2.9 Sei f eine auf [0, 1] konvexe Funktion. Dann gilt fur n ∈ N, n ≥ 2,
(Bn−1f) (x) ≥ (Bnf) (x) , x ∈ (0, 1).
Fur f ∈ C[0, 1] gilt sogar (Bn−1f) (x) > (Bnf) (x), x ∈ (0, 1), falls f nicht in allen Teilintervallen[j−1n−1 ,
jn−1
], j = 1, . . . , n− 1, linear ist; in diesem Fall gilt dann (Bn−1f) (x) = (Bnf) (x).
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 39
B e w e i s∗ : seien n ≥ 2, 0 < x < 1,
(Bn−1f) (x)− (Bnf) (x)
=n−1∑
k=0
(n− 1k
)f
(k
n− 1
)xk(1− x)n−1−k −
n∑
k=0
(n
k
)f
(k
n
)xk(1− x)n−k
= (1− x)n−1n−1∑
k=0
(n− 1k
)f
(k
n− 1
)(x
1− x)k
− (1− x)nn∑
k=0
(n
k
)f
(k
n
)(x
1− x)k
=y = x
1−x
1− x = 11+y
(1− x)n
[(1 + y)
n−1∑
k=0
(n− 1k
)f
(k
n− 1
)yk −
n∑
k=0
(n
k
)f
(k
n
)yk
]
=⇒ (Bn−1f) (x)− (Bnf) (x)(1− x)n
= f(0) +n−1∑
k=1
(n− 1k
)f
(k
n− 1
)yk +
n−1P`=1
(n−1`−1)f( `−1
n−1 )y`
︷ ︸︸ ︷n−2∑
k=0
(n− 1k
)f
(k
n− 1
)yk+1
+ f(1)yn − f(0)−n−1∑
k=1
(n
k
)f
(k
n
)yk − f(1)yn
=n−1∑
k=1
[(n− 1k
)f
(k
n− 1
)+
(n− 1k − 1
)f
(k − 1n− 1
)−
(n
k
)f
(k
n
)]
︸ ︷︷ ︸=: ck
yk
=⇒ ck =(n
k
)[ (1− k
n
)
︸ ︷︷ ︸=1−λ
f( k
n− 1︸ ︷︷ ︸=:x
)+
k
n︸︷︷︸=:λ
f( k − 1n− 1︸ ︷︷ ︸=:y
)− f
( k
n︸︷︷︸=(1−λ)x+λy
)]
=(n
k
)[(1− λ)f(x) + λf(y)− f ((1− λ)x+ λy)]︸ ︷︷ ︸
≥0, f konvex
≥ 0 =⇒ (Bn−1f) (x) ≥ (Bnf) (x)
sei f linear in
[k − 1n− 1
,k
n− 1
]y ck = 0, k = 1, . . . , n− 1 =⇒ (Bn−1f) (x) = (Bnf) (x), x ∈ (0, 1)
(Bn−1f) (0) = (Bnf) (0) = f(0), (Bn−1f) (1) = (Bnf) (1) = f(1) y (Bn−1f) ≡ (Bnf) auf [0, 1]
sei (Bn−1f) ≡ (Bnf) auf [0, 1] y ck ≡ 0, k = 1, . . . , n− 1, f ∈ C[0, 1], f konvex y f linear
Beispiel : wesentlich : f konvex; Veranschaulichung der Approximation einer konkaven Funktion,
f : Polygonzug durch (0, 0),(
15,35
),
(35,45
),
(910,
710
), (1, 0)
y Bernstein-Polynome (siehe [Dav75, S. 116])
(B2f) (x) =32x− 3
2x2
(B4f) (x) =52x− 3x2 +
32x3 − x4
(B10f) (x) = 3x− 30x3 + 105x4 − 189x5 + 210x6 − 160x7 + 90x8 − 35x9 + 6x10
40 2 Approximation in speziellen Raumen
f(x)
x
(B4f) (x)
(B2f) (x)
(B10f) (x)
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
0 0.4 0.6 0.8 1
Bemerkung : geometrische Interpretation : Bernstein-Approximationen stetiger Funktionen beschranktzwischen Extremwerten der Funktion, analog fur Ableitungen hoherer Ordnung; monotoneund konvexe Funktionen haben monotone und konvexe Approximationen ; Bernstein-Approximation
”ahmen“ (Gestalt der) Funktion (in gewisser Hinsicht) nach,
”shape preservation“ : z.B.
• Positivitat
• Monotonie
• Konvexitat
• Variationsverminderung
Definition 2.10
(i) Eine Funktion ϕ : [a, b] −→ R heißt von beschrankter Variation auf [a, b], ϕ ∈ BV[a, b], wenn eseine Konstante M > 0 gibt, so dass fur jede Zerlegung Z = t0, t1, . . . , tm von [a, b] stets
V(ϕ,Z) :=m∑
k=1
|ϕ(tk)− ϕ(tk−1)| ≤ M
bleibt. Dann heißtVb
aϕ := supZV(ϕ,Z)
totale Variation von ϕ auf [a, b].
(ii) Sei ξ = (ξ0, . . . , ξm) ein Vektor, dann ist
V(ξ) :=m∑
k=1
|ξk − ξk−1|
die Variation des Vektors ξ.
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 41
Bemerkung : • Es gilt ϕ (stuckweise) Lipschitz-stetigϕ monotonϕ stuckweise stetig differenzierbar
=⇒ ϕ ∈ BV
• (nur) Stetigkeit nicht ausreichend
• Eine Funktion ϕ ist genau dann von beschrankter Variation auf [a, b], wenn sie dortals Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden kann.
• lokal : gilt ϕ(tk−1) ≤ ϕ(tk) ≤ ϕ(tk+1) y
· · ·+ (ϕ(tk)− ϕ(tk−1)) + (ϕ(tk+1)− ϕ(tk))︸ ︷︷ ︸+ · · · = · · ·+ (ϕ(tk+1)− ϕ(tk−1)) + · · ·
99K Zwischenstelle tk entfallt 99K”ausreichend“, uber lokale Extrema zu summieren
; gunstig bei nur endlich vielen, z.B. bei Polynomen
Ubung II-5 : (i) Seien ξ = (ξ0, . . . , ξm) ∈ Rm+1 ein Vektor, und hξ : [0, 1] −→ R die auf denIntervallen
[k−1m , k
m
], k = 1, . . . ,m, stuckweise lineare Funktion, fur die gilt
hξ
(k
m
)= ξk, k = 0, . . . ,m.
Zeigen Sie, dass daraus folgt: V10hξ = V(ξ).
(ii) Geben Sie eine stetige Funktion an, die nicht von beschrankter Variation ist.
(iii) Sei f ∈ C1[a, b], dann gilt
Vbaf =
b∫
a
|f ′(t)| dt .
Satz 2.11 Seien f ∈ C[0, 1] und n ∈ N. Dann gilt
V10(Bnf) ≤ V
(f
(j
n
), j = 0, . . . , n
)≤ V1
0f .
Be w e i s : f ∈ C[0, 1] ======⇒Lemma 2.6
(Bnf)′ (x) = n
n−1∑
j=0
∆1/nf
(j
n
)(n− 1j
)xj(1− x)n−1−j
======⇒UA II-5 (iii)
V10(Bnf) ≤
1∫
0
∣∣∣∣∣∣n
n−1∑
j=0
∆1/nf
(j
n
)(n− 1j
)tj(1− t)n−1−j
∣∣∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
|(Bnf)′(t)|
dt
≤ n
n−1∑
j=0
∣∣∣∣∆1/nf
(j
n
)∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸|f( j+1
n )−f( jn )|
(n− 1j
) 1∫
0
tj(1− t)n−1−j dt
︸ ︷︷ ︸1n
=n−1∑
j=0
∣∣∣∣f(j + 1n
)− f
(j
n
)∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
V(f( jn ), j=0,...,n)
≤ V10f
42 2 Approximation in speziellen Raumen
Nachteil : Approximations”geschwindigkeit“ sehr langsam (im Vergleich zu anderen Methoden)
y siehe z.B. Satz 2.13 unten
Lemma 2.12 Es existiert ein c > 0, so dass fur alle n ∈ N und alle x ∈ [0, 1] gilt
∑
| kn−x|≥n−1/4
(n
k
)xk(1− x)n−k ≤ c
n32.
Be w e i s : setzen Sm(x) :=n∑
k=0
(k − nx)m
(n
k
)xk(1− x)n−k , m ∈ N
=⇒ S0(x) =n∑
k=0
(n
k
)xk(1− x)n−k = 1, S2(x) =
(12)nx(1− x),
S1(x) = n
n∑
k=0
k
n
(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸(Bn id)(x)=x
− nx
n∑
k=0
(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸1
= nx− nx = 0
außerdem fur 0 < x < 1,
S′m(x) =n∑
k=0
(k − nx)m−1
(n
k
)xk−1(1− x)n−k−1
[−mnx(1− x) + k(1− x)(k − nx)− (n− k)x(k − nx)︸ ︷︷ ︸
(k−nx)2
]
= −mnSm−1(x) +Sm+1(x)x(1− x)
y Sm+1(x) = x(1− x) [S′m(x) +mnSm−1(x)] , m ∈ Ny Sm, m ∈ N, Polynome in x und n : S2, S3 ∈ P1(n), S4, S5 ∈ P2(n), S6, S7 ∈ P3(n), . . . , d.h.
∃ c > 0 ∀ x ∈ [0, 1] : |S6(x)| ≤ c n3
sei
∣∣∣∣k
n− x
∣∣∣∣ ≥ n−14 ⇐⇒ |k − nx| ≥ n 3
4 =⇒ (k − nx)6 ≥ n92 ⇐⇒ (k − nx)6
n92
≥ 1 y
∑
| kn−x|≥n−1/4
(n
k
)xk(1− x)n−k ≤ 1
n92
n∑
k=0
(k − nx)6(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸= S6(x) ≤ c n3
≤ c
n32
Satz 2.13 (Voronovskaya24, 1932)Seien f beschrankt in [0, 1], und x0 ∈ [0, 1], so dass f ′′(x0) existiert. Dann gilt
limn→∞
n [(Bnf)(x0)− f(x0)] =x0(1− x0)
2f ′′(x0) .
Be w e i s : verwenden Taylor-Entwicklung von f bei x0,
f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)
2(x− x0)2 + r(x)(x− x0)2 mit lim
x→x0r(x) = 0
====⇒x := k
n
f
(k
n
)= f(x0) + f ′(x0)
k − nx0
n+f ′′(x0)
2(k − nx0)2
n2+ r
(k
n
)(k − nx0)2
n2
24Elizaveta Vladimirovna Voronovskaya (∗ 1898 † 197? )
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 43
(Bnf) (x0) =n∑
k=0
[f(x0) + f ′(x0)
k − nx0
n+
(f ′′(x0)
2+ r
(k
n
))(k − nx0)2
n2
]
︸ ︷︷ ︸f( k
n )
(n
k
)xk
0(1− x0)n−k
= f(x0)n∑
k=0
(n
k
)xk
0(1− x0)n−k
︸ ︷︷ ︸1
+f ′(x0)n
n∑
k=0
(k − nx0)(n
k
)xk
0(1− x0)n−k
︸ ︷︷ ︸0
+f ′′(x0)
2n2
n∑
k=0
(k − nx0)2(n
k
)xk
0(1− x0)n−k
︸ ︷︷ ︸nx0(1−x0), (12)
+n∑
k=0
r
(k
n
)(k
n− x0
)2 (n
k
)xk
0(1− x0)n−k
︸ ︷︷ ︸=:Rn(x0)
= f(x0) +x0(1− x0)
2nf ′′(x0) + Rn(x0)
y g.z.z. : limn→∞
nRn(x0) = 0
sei ε > 0 ========⇒lim
x→x0r(x) = 0
∃ n0 ∈ N ∀ n ≥ n0 ∀ x ∈ [0, 1], |x− x0| < n−14 : |r(x)| < ε
seien M := sup0≤x≤1
r(x)(x− x0)2, n ≥ n0 y
∑
| kn−x0|<n−14
∣∣∣∣r(k
n
)∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
<ε
(k
n− x0
)2 (n
k
)xk
0(1− x0)n−k < ε
n∑
k=0
(k
n− x0
)2 (n
k
)xk
0(1− x0)n−k
︸ ︷︷ ︸=
x0(1−x0)n , (12)
< ε
≤ 14︷ ︸︸ ︷
x0(1− x0)n
≤ ε
4n, n ≥ n0
∑
| kn−x0|≥n−14
∣∣∣∣r(k
n
)∣∣∣∣(k
n− x0
)2
︸ ︷︷ ︸≤M
(n
k
)xk
0(1− x0)n−k ≤ M∑
| kn−x0|≥n−14
(n
k
)xk
0(1− x0)n−k
︸ ︷︷ ︸≤ c n−
32 , Lemma 2.12
≤ Mc√n︸︷︷︸
< ε2 , n≥n1
1n
<ε
2n, n ≥ n1
=⇒ |n Rn(x0)| < ε
4+
ε
2< ε, fur n ≥ max(n0, n1)
Ubung II-6 : Verifizieren Sie Satz 2.13 durch direkte Berechnung fur
a) f(x) = ex b) g(x) = x3 .
y”langsame“ Konvergenz bzw.
”schlechte“ Approximationsordnung 99K Begriff der Saturation
44 2 Approximation in speziellen Raumen
Definition 2.14 Sei ϕ : R+ −→ R+ stetig mit limx→∞
ϕ(x) = 0. Eine Folge (Tn)n von Approximations-
operatoren heißt saturiert mit Ordnung ϕ, wenn gelten
(i) o-Klasse
limn→∞
‖Tnf − f‖∞ϕ(n)
= 0 ⇐⇒ Tnf = f, n ∈ N,
(ii) O-Klasse f : lim sup
n→∞‖Tnf − f‖∞
ϕ(n)<∞
\ f : Tnf = f 6= ∅.
Bemerkung : Deutung : (ii) ∼”optimale“ Approximationsordnung O (ϕ(n)) wird fur hinreichend große
Klasse von Funktionen erreicht,”bessere“ Ordnung o(ϕ(n)) nur von den unter Tn invari-
anten
Satz 2.15 Die Bernstein-Polynome (Bn)n auf C[0, 1] sind saturiert mit Ordnung ϕ(n) = 1n .
Be w e i s : O-Bedingung (ii) : Satz 2.13 y
∅ 6= f ∈ C2[0, 1] : f ′′ 6≡ 0
⊂f : lim sup
n→∞‖Bnf − f‖∞
ϕ(n)<∞
\ f : Bnf = f
(zur Erinnerung : f ∈ C2[0, 1], f ′′ ≡ 0 ⇐⇒ f linear)
n.z.z. : limn→∞
‖Bnf − f‖∞ϕ(n)
= 0 ⇐⇒ Bnf = f, n ∈ N
g.z.z. : limn→∞
n (Bnf − f) (x) = 0, x ∈ [0, 1] =⇒ f linear (−−−−−−−−→UA II-2 (a),(b)
Bnf = f , n ∈ N)
zeigen :lim sup
n→∞n (Bnf − f) (x) ≥ 0, x ∈ [0, 1] =⇒ f konvex (14)
Annahme : f nicht konvex, d.h.
∃ x0, x1 ∈ [0, 1], x0 < x1 ∃ λ ∈ (0, 1) : λf(x0) + (1− λ)f(x1) < f (λx0 + (1− λ)x1)
ξ := λx0 + (1− λ)x1 ∈ (0, 1) y
∃ ε > 0 : λf(x0) + (1− λ)f(x1) < λf(x0) + (1− λ)f(x1) + εξ(1− ξ) < f (ξ)
seien
h(x) := f(x0) +f(x1)− f(x0)
x1 − x0(x− x0) =⇒ h(xj) = f(xj), j = 0, 1, h(ξ) < f(ξ)
undg(x) = h(x) + ε x(1− x)︸ ︷︷ ︸
>0, x∈(0,1)
=⇒ g(xj) > f(xj), j = 0, 1, g(ξ) < f(ξ)
=⇒ ∃ [a, b] ⊂ [x0, x1] : (f − g)(a) = (f − g)(b) = 0, (f − g)(x) > 0, x ∈ (a, b)
=⇒ ∃ η ∈ (a, b) : (f − g)(η) = maxy∈[a,b]
(f − g)(y)
seien a < α < η < β < b, x ∈ [α, β] : (f − g)(x)− (f − g)(η) ≤ 0 y
f(x) ≤ k(x) := g(x) + (f − g)(η), x ∈ [α, β], f(η) = k(η)
2.3 Positive lineare Operatoren 45
setzen k fort zu k ∈ C2[0, 1] mit k(x) ≥ f(x), x ∈ [0, 1] ======⇒Satz 2.8 (ii)
(Bnk
)(x) ≥ (Bnf) (x)
lim supn→∞
n (Bnf − f) (η) ≤ lim supn→∞
n((Bnk
)(η)− f(η)︸︷︷︸
ek(η)
)
= limn→∞
n(Bnk − k
)(η)
=Satz 2.13
η(1− η)2
k′′(η)︸ ︷︷ ︸k′′(η)=g′′(η)≡−2ε
= − ε η(1− η) < 0
f
x0 ξ η x1
h
g
k
=⇒ lim supn→∞
n (Bnf − f) (η) < 0 99K Widerspruch zu (14)
sei jetzt 0 = limn→∞
n (Bnf − f) (x) = limn→∞
n (Bn(−f)− (−f))︸ ︷︷ ︸f−Bnf
(x), x ∈ [0, 1] ==⇒(14)
f,−f konvex
=⇒ f konvex & konkav ⇐⇒ f linear
Folgerung 2.16 Fur f ∈ C[0, 1] sind folgende Aussagen aquivalent :
(i) f linear, d.h. f(x) = ax+ b, a, b ∈ R(ii) Es gilt
limn→∞
n ‖Bnf − f‖∞ = 0 .
(iii) Fur jedes x ∈ [0, 1] istlim
n→∞n (Bnf − f) (x) = 0 .
Bemerkung :”Parabel-Methode“ im Beweis, Idee von Schwarz25, ursprunglich verwendet zum Nachweis
dafur, dass fur stetige f gilt
f konvex in I ⇐⇒ lim suph↓0
f(x+ h)− 2f(x) + f(x− h)h2
≥ 0, x ∈ I
99K f im Maximum η durch”passende“ Parabel k majorisiert (statt Tangente)
2.3 Positive lineare Operatoren
Verallgemeinerungen von Satz 2.4:
• Bernstein-Operatoren als spezielle positive lineare Operatoren in C[a, b] 99K Satz 2.18 :”Hauptsatz
der Theorie positiver linearer Approximationsverfahren“
• f ∈ C[a, b] 99K mehrdimensionaler Fall, bzw. f ∈ C(M), M kompakter topologischer Raum99K Satz 2.27 (Stone-Weierstraß)
25Hermann Amandus Schwarz (∗ 25.1.1843 Hermsdorf (Schlesien) † 30.11.1921 Berlin)
46 2 Approximation in speziellen Raumen
Definition 2.17 Seien −∞ < a < b <∞.
(i) Dann heißtC+ := f ∈ C[a, b] : f(x) ≥ 0, x ∈ [a, b]
positiver Kegel in C[a, b].
(ii) Ein linearer Operator T : C[a, b] −→ C[a, b] heißt positiver linearer Operator, falls gilt
T(C+
) ⊆ C+ .
Beispiel :Bn linear, n ∈ N ====⇒Satz 2.8
Bn, n ∈ N, positive, lineare Operatoren
Bemerkung : ‖Bn‖ = 1, n ∈ N : h0 ≡ 1 ∈ C[0, 1] =====⇒UA II-2(a)
Bnh0 = h0, ‖h0‖C[0,1] = 1 y ‖Bn‖ ≥ 1
andererseits :
‖Bnf‖C[0,1] ≤ supx∈[0,1]
n∑
k=0
∣∣∣∣f(k
n
)∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸≤ ‖f‖C[0,1]
(n
k
)xk(1− x)n−k ≤ ‖f‖C[0,1]
n∑
k=0
(n
k
)xk(1− x)n−k
︸ ︷︷ ︸= 1
≤ ‖f‖C[0,1] =⇒ ‖Bn‖ ≤ 1
y ‖Bn‖ = 1, n ∈ N y ∀ f ∈ C[0, 1] ∀ n ∈ N : ‖Bnf‖C[0,1] ≤ ‖f‖C[0,1]
99K Bn ”Kontraktionen“ auf C[0, 1]
Ubung II-7 : Zeigen Sie folgende Eigenschaften eines positiven linearen Operators T : C[a, b] −→ C[a, b].
(a) Fur alle g, h ∈ C[a, b] gilt
|g| ≤ h =⇒ |Tg| ≤ Th,
d.h. |g(x)| ≤ h(x), x ∈ [a, b] =⇒ |(Tg)(x)| ≤ (Th)(x), x ∈ [a, b].
(b) T ist beschrankt, es gilt ‖T‖ = ‖Th0‖∞ mit h0 ≡ 1 in [a, b].
(c) Beweisen Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung,
|(T [fg]) (x)| ≤√
(T [f2]) (x)√
(T [g2]) (x), f, g ∈ C[a, b], x ∈ [a, b].
Satz 2.18 (Bohman-Korovkin)Sei (Ln)n eine Folge positiver linearer Operatoren, Ln : C[a, b] −→ C[a, b], n ∈ N, fur die zusatzlichgelte
limn→∞
‖hk − Lnhk‖∞ = 0, mit hk(x) = xk, k = 0, 1, 2. (15)
Dann folgt fur alle Funktionen f ∈ C[a, b]
limn→∞
‖f − Lnf‖∞ = 0.
Be w e i s : Seien f ∈ C[a, b], ε > 0; z.z. : ∃ n0 = n0(ε) ∀ n ≥ n0 : supx∈[a,b]
|f(x)− (Lnf)(x)|︸ ︷︷ ︸
‖f−Lnf‖∞
< ε
2.3 Positive lineare Operatoren 47
Sei x ∈ [a, b] beliebig =======⇒f glm. stetig
∃ δ > 0 ∀ y ∈ [a, b], |x− y| < δ : |f(x)− f(y)| < ε
o.B.d.A. δ <b− a
2, fuhren Hilfsfunktionen ein
ϕx(t) :=
χ[x−δ,x+δ]
(t), a+ δ < x < b− δχ
[x−δ,b](t), b− δ ≤ x ≤ b
χ[a,x+δ]
(t), a ≤ x ≤ a+ δ,
µx(t) := 1− ϕx(t), ψx(t) := (t− x)2 , t ∈ [a, b]
y h0 ≡ ϕx + µx, ψx ∈ C[a, b]; sei t ∈ [a, b] beliebig
y |f(t)− f(x)| = |(ϕx(t) + µx(t))(f(t)− f(x))| ≤≥0︷ ︸︸ ︷ϕx(t) |f(t)− f(x)|︸ ︷︷ ︸
<ε=ε h0(t)
+
≥0︷ ︸︸ ︷µx(t) |f(t)− f(x)|︸ ︷︷ ︸
≤ 2 ‖f‖∞< ε h0(t) + 2 ‖f‖∞ µx(t) (16)
wollen verwenden : u, v ∈ C[a, b], |u(y)| ≤ v(y) =====⇒UA II-7(a)
|(Lnu)(y)| ≤ (Lnv)(y)
y majorisieren unstetige Funktion µx durch (geeignete) stetige Funktion,
µx(t) ≤ 1δ2
ψx(t) =1δ2
[h2(t)− 2xh1(t) + x2h0(t)
]1
x
µx
x− δ x+ δ
1δ2ψx
u(t) := f(t)− f(x)h0(t), v(t) := ε h0(t) +2 ‖f‖∞δ2
[h2(t)− 2xh1(t) + x2h0(t)
]
==⇒(16)
|u(t)| ≤ v(t) =====⇒UA II-7(a)
|(Lnu)(t)| ≤ (Lnv)(t)
===⇒t = x
∣∣∣
(Lnu)(x)︷ ︸︸ ︷(Lnf)(x)− f(x) (Lnh0) (x)
∣∣∣ ≤
(Lnv)(x)︷ ︸︸ ︷ε (Lnh0)(x) +
2‖f‖∞δ2
(Ln
[h2 − 2xh1 + x2h0
])(x)
|(Lnf)(x)− f(x)| ≤ |(Lnf)(x)− f(x)(Lnh0)(x)|+ |f(x)(Lnh0)(x)− f(x)|
≤ ε‖Lnh0‖∞ +2‖f‖∞δ2
∥∥Ln
(h2 − 2xh1 + x2h0
)∥∥∞ + ‖f‖∞ ‖Lnh0 − h0‖∞
==⇒sup
‖Lnf − f‖∞ ≤ ε‖Lnh0‖∞ +2‖f‖∞δ2
∥∥Ln
(h2 − 2xh1 + x2h0
)∥∥∞ + ‖f‖∞ ‖Lnh0 − h0‖∞ (17)
‖Lnh0‖∞ ≤ ‖Lnh0 − h0‖∞︸ ︷︷ ︸<ε, n≥n1, (15)
+ ‖h0‖∞︸ ︷︷ ︸1
< 1 + ε fur n ≥ n1 (18)
o.B.d.A. f 6≡ 0, h2(x)− 2xh1(x) + x2h0(x) = 0 y∣∣Ln
(h2 − 2xh1 + x2h0
)(x)
∣∣
=∣∣[(Lnh2)(x)− h2(x)]− 2x [(Lnh1)(x)− h1(x)] + x2 [(Lnh0)(x)− h0(x)]
∣∣
≤ ‖Lnh2 − h2‖∞︸ ︷︷ ︸
<ε δ22‖f‖∞ , n≥n2, (15)
+ 2 supx∈[a,b]
|x|︸ ︷︷ ︸
=:c1
‖Lnh1 − h1‖∞︸ ︷︷ ︸
<ε δ22c1‖f‖∞ , n≥n3, (15)
+ supx∈[a,b]
x2
︸ ︷︷ ︸=:c2
‖Lnh0 − h0‖∞︸ ︷︷ ︸
<ε δ22c2‖f‖∞ , n≥n4, (15)
==⇒sup
2‖f‖∞δ2
∥∥Ln
(h2 − 2xh1 + x2h0
)∥∥∞ < 3 ε fur n ≥ max(n2, n3, n4)
48 2 Approximation in speziellen Raumen
=====⇒(17), (18)
‖Lnf − f‖∞ < ε(1 + ε) + 3 ε+ ‖f‖∞ ε = ε (4 + ε+ ‖f‖∞)︸ ︷︷ ︸=:c(f)
fur n ≥ n0 := maxi=1,...,4
ni
Bemerkung : [a, b] = [0, 1], (Bn)n positiv, linear, Ubungsaufgabe II-2 (a)-(c) y
Bnh0 − h0 ≡ 0, Bnh1 − h1 ≡ 0, ‖Bnh2 − h2‖∞ =1n
supx∈[0,1]
∣∣x− x2∣∣
︸ ︷︷ ︸14
=14n−−−−→n→∞
0,
d.h. Satz 2.18 =⇒ Satz 2.4
nachstes Ziel : 2. Approximationssatz von Weierstraß fur trigonometrische Polynome als Folgerung aus Ana-logon zu Satz 2.18
betrachten dazu Fejer26 -Polynome Fnf : sei f ∈ C2π(R), mit
Sn[f ](x) =a0(f)
2+
n∑
k=1
(ak(f) cos(kx) + bk(f) sin(kx))
undak(f) =
1π
π∫
−π
f(x) cos(kx) dx, k ∈ N0, bk(f) =1π
π∫
−π
f(x) sin(kx) dx, k ∈ N
Man betrachtet Fejer-Operatoren Fn : C2π(R) −→ Tn ⊂ C2π(R) mit
Fnf :=1n
n−1∑
k=0
Sk[f ], d.h. (Fnf) (x) =S0[f ](x) + · · ·+ Sn−1[f ](x)
n, x ∈ [−π, π], n ∈ N
Ubung II-8 : Zeigen Sie sukzessive :
(i) Fur x 6= 2mπ, m ∈ Z, und n ∈ N gilt :12
+n∑
k=1
cos(kx) =sin
(2n+1
2 x)
2 sin(
x2
)
(ii) Fur x 6= 2mπ, m ∈ Z, und n ∈ N gilt :n−1∑
k=0
sin(
2k+12 x
)
sin(
x2
) =
(sin
(nx2
)
sin(
x2
))2
(iii) Fur x ∈ R, n ∈ N0, und Dn(t− x) :=12
+n∑
k=1
cos (k(t− x)), D0(x) :=12, gilt :
Sn[f ](x) =1π
π∫
−π
Dn(t− x)f(t) dt
(iv) Fur x ∈ R, n ∈ N, und Kn(t− x) := 2n−1∑
k=0
Dk(t− x) gilt :
(Fnf) (x) =1
2nπ
π∫
−π
Kn(t− x)f(t) dt
(v) Es gilt : Fn1 ≡ 1, (Fn cos) (x) =n− 1n
cos(x), (Fn sin) (x) =n− 1n
sin(x), n ∈ N
26Lipot Fejer (∗ 9.2.1880 Pecs (Ungarn) † 15.10.1959 Budapest)
2.3 Positive lineare Operatoren 49
Bemerkung : • n-ter Dirichlet27-Kern, n ∈ N0
Dn(t− x) =12
+n∑
k=1
cos (k(t− x)) =
sin(
2n+12 (t− x))
2 sin(
t−x2
) , t 6= x+ 2mπ, m ∈ Z
2n+ 12
, t = x+ 2mπ, m ∈ Z
• n-ter Fejer -Kern, n ∈ N
Kn(t− x) = 2n−1∑
k=0
Dk(t− x) =
sin
(n(t−x)
2
)
sin(
t−x2
)
2
, t 6= x+ 2mπ, m ∈ Z
n2, t = x+ 2mπ, m ∈ Z
Definition 2.19
(i) Man nennt Cπ
+ := f ∈ C2π(R) : f(x) ≥ 0, x ∈ R positiven Kegel in C2π(R).
(ii) Ein linearer Operator T : C2π(R) −→ C2π(R) heißt positiver linearer Operator, falls gilt
T(C
π
+
)⊆ C π
+ .
Beispiel : Fn, n ∈ N, positive, lineare Operatoren (UA II-8 (iv))
trigonometrisches Analogon zu Satz 2.18 :
Satz 2.20 (Bohman-Korovkin)Sei (Ln)n eine Folge positiver linearer Operatoren, Ln : C2π(R) −→ C2π(R), n ∈ N, fur die zusatzlichgelte
limn→∞
‖gk − Lngk‖∞ = 0, k = 0, 1, 2, mit g0(x) ≡ 1, g1(x) = cosx, g2(x) = sinx. (19)
Dann folgt fur alle Funktionen f ∈ C2π(R)
limn→∞
‖f − Lnf‖∞ = 0.
Be w e i s : wesentlicher Trick im Beweis von Satz 2.18 : Majorisierung der unstetigen Funktion µx durcheine (geeignete) stetige Funktionen ψx, die sich als Linearkombination der
”Testfunktionen“ darstellen ließ,
µx(t) ≤ 1δ2
ψx(t) =1δ2
[h2(t)− 2xh1(t) + x2h0(t)
],
dann Ausnutzen des Positivitat & Linearitat der (Ln)n 99K passender”Ersatz“
27Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (∗ 13.2.1805 Duren † 5.5.1859 Gottingen)
50 2 Approximation in speziellen Raumen
ψx(t) :=12g0(t)︸︷︷︸
1
− cos(x)2
g1(t)︸︷︷︸cos(t)
− sin(x)2
g2(t)︸︷︷︸sin(t)
=1− cos(x− t)
2
= sin2
(x− t
2
), t ∈ R
=⇒ µx(t) ≤ 1sin2
(δ2
) ψx(t)
Rest analog zu Beweis vonSatz 2.18 . . .
1µx
xx− δ x+ δ
1
sin2( δ2 )ψx
x+2π x+2π+δx+2π−δ
Folgerung 2.21 Sei (Fn)n die Folge der Fejer-Operatoren. Dann gilt fur alle f ∈ C2π(R)
limn→∞
‖f −Fnf‖∞ = 0.
Be w e i s : folgt unmittelbar aus UA II-8 (iv),(v) und Satz 2.20
Bemerkung : • ursprunglicher Beweis von Fejer direkt
• Einfuhrung, Satz 0.1 y Folge der Partialsummen der Fourier-Reihe muß wedergleichmaßig noch punktweise gegen f ∈ C2π(R) konvergieren, aber Folge der arith-metischen Mittel der Partialsummen ( 99K Fejer-Polynome) stets gleichmaßig !
Folgerung 2.22 (2. Approximationssatz von Weierstraß)Sei f ∈ C2π(R). Dann existiert eine Folge trigonometrischer Polynome (tn)n, die gleichmaßig auf R gegenf konvergiert.
Bemerkung : Verallgemeinerung der Satze 2.18, 2.20 : Seien X ein kompakter Hausdorff28 -Raum29 mitmindestens zwei Elementen, m ∈ N, und f1, . . . , fm reellwertige, stetige Funktionen aufX mit der folgenden Eigenschaft :
∀ k = 1, . . . ,m ∃ ak ∈ C(X), reellwertig ∀ x ∈ X :
Py(x) :=m∑
k=1
ak(y) fk(x) ≥ 0, Py(x) = 0 ⇐⇒ x = y(20)
Sei nun (Ln)n eine Folge positiver, linearer Operatoren von C(X) in C(X), die zusatzlich
limn→∞
‖fk − Lnfk‖∞ = 0, k = 1, . . . ,m,
erfullen, dann folgt fur alle f ∈ C(X)
limn→∞
‖f − Lnf‖∞ = 0.
Beweis : siehe z.B. [Lor66, Ch. 1, Thm. 3]
28Felix Hausdorff (∗ 8.11.1868 Breslau † 26.1.1942 Bonn)29 topolog. Raum X Hausdorff - Raum ⇐⇒ ∀ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∃ V, V ′ ⊂ X offen : x ∈ V, x′ ∈ V ′, V ∩ V ′ = ∅
Hausdorff-Raum ∼ separierter topologischer Raum
2.3 Positive lineare Operatoren 51
Beispiele : X = [a, b] : m = 3, f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = x2, a1(y) = y2, a2(y) = −2y, a3(y) = 1
=⇒ Py(x) = (y − x)2 y (20) X 99K Satz 2.18
X = T : m = 3,
f1(x) = 1, f2(x) = cos(x), f3(x) = sin(x), a1(y) =12, a2(y) = − cos(y)
2, a3(y) = − sin(y)
2
=⇒ Py(x) = sin2
(y − x
2
)y (20) X in T 99K Satz 2.20
betrachten Verallgemeinerung von Fourier- und Fejer-Summen:
1m
n+m−1∑
k=n
Sk[f ] =
Fm, n = 0Sn[f ], m = 1
speziell m = n:
(Vnf) (x) =1n
2n−1∑
k=n
Sk[f ](x) = 2 (F2nf) (x)− (Fnf) (x), x ∈ [−π, π]
Vnf ∈ T2n−1 . . . de la Vallee-Poussin30-Polynome, Vn : C2π(R) −→ C2π(R) . . . de la Vallee-Poussin-Operatoren
Ubung II-9 : Zeigen Sie folgende Eigenschaften der de la Vallee-Poussin-Operatoren Vn, n ∈ N.
(i) Vn(t) = t, t ∈ Tn
(ii) limn→∞
‖f − Vnf‖∞ = 0, f ∈ C2π(R)
(iii) ‖Vn‖ ≤ 3
(iv) Sei g(x) = | cosx|. Dann existiert ein c > 0, so dass fur alle n ∈ N gilt
(Vng)(π
2
)− g
(π2
)≥ c
n.
Folgerung 2.23 (De La Vallee-Poussin-Operatoren)
Seien (Vn)n die de la Vallee-Poussin-Operatoren. Dann gilt fur n ∈ N,
‖f − Vnf‖∞ ≤ 4 δ (f, Tn) , f ∈ C2π(R).
Be w e i s : Seien f ∈ C2π(R), und tn ∈ Tn mit ‖f − tn‖∞ = δ(f, Tn)
y ‖f − Vnf‖∞ ≤ ‖f − tn‖∞︸ ︷︷ ︸δ(f,Tn)
+ ‖tn − Vntn‖∞︸ ︷︷ ︸0,UA II-9(i)
+ ‖Vn‖︸ ︷︷ ︸≤3,UA II-9(iii)
‖f − tn‖∞︸ ︷︷ ︸δ(f,Tn)
≤ 4δ(f, Tn)
30Charles Jean Gustave Nicolas Baron de la Vallee-Poussin (∗ 14.8.1866 Louvain / Belgien † 2.3.1962 Louvain)
52 2 Approximation in speziellen Raumen
Folgerung 2.24 Sei b(x) = |x|, x ∈ [−1, 1]. Dann existiert ein c > 0, so dass fur alle n ∈ N gilt
δ(b,Pn) ≥ c
n.
Be w e i s : sei g(s) = | cos s| ======⇒UA II-9(iv)
‖Vng − g‖∞ = maxs∈[−π,π]
|Vng(s)− g(s)| ≥ c
n, n ∈ N
sei tn ∈ Tn beliebig =====⇒Satz 2.23
‖g − tn‖∞ ≥ δ(g, Tn) ≥ 14‖Vng − g‖∞ ≥
c′
n
y ∀ tn ∈ Tn ∃ sn ∈ [−π, π] :∣∣∣| cos sn| − tn(sn)
∣∣∣︸ ︷︷ ︸
‖g−tn‖∞
≥ c′
n; sei jetzt pn ∈ Pn
y ‖b− pn‖∞ = maxx∈[−1,1]
|b(x)− pn(x)| = maxs∈[−π,π]
|b(cos s)− pn(cos s)| ≥∣∣∣| cos sn| − (pn cos)︸ ︷︷ ︸
tn∈Tn
(sn)∣∣∣ ≥ c′
n
infpn∈Pn=⇒ δ(b,Pn) ≥ c′
n, n ∈ N
Satz 2.25 (Korovkin)Sei (Ln)n eine Folge positiver linearer Polynomial-Operatoren, Ln : C[−1, 1] −→ Pn, n ∈ N. Dann gibtes mindestens ein k ∈ 0, 1, 2, so dass
limn→∞
n2 ‖hk − Lnhk‖∞ > 0,
d.h. ‖hk − Lnhk‖∞ 6= o(n−2
)fur ein k = 0, 1, 2.
Be w e i s : indirekt: sei limn→∞
n2 ‖hk − Lnhk‖∞ = 0, k = 0, 1, 2; zeigen dann fur b(x) = |x|:
‖b− Lnb‖∞ = o(n−1), d.h. limn→∞
n ‖b− Lnb‖∞ = 0 (Widerspruch zu Folg. 2.24)
seien x0 ∈ [−1, 1] beliebig, bx0(x) = |x− x0|; verwenden
limn→∞
n2 (hk(x0)− (Lnhk)(x0)) = 0, k = 0, 1, 2 (21)
fur x ∈ [−1, 1] gilt∣∣|x| − |x0|
∣∣ ≤ |x− x0| ⇐⇒ |b(x)− |x0|h0(x)| ≤ bx0(x)
=====⇒UA II-7(a)
|(Lnb)(x)− |x0|(Lnh0)(x)| ≤ (Lnbx0) (x)
====⇒x = x0
|(Lnb)(x0)− |x0|(Lnh0)(x0)| ≤ (Lnbx0) (x0) ≤UA II-7(c)
√(Lnh0)(x0)
√(Lnb2x0
)(x0) (22)
(Lnb
2x0
)(x0) = x2
0 ((Lnh0)(x0)− h0(x0))− 2x0 ((Lnh1)(x0)− h1(x0)) + ((Lnh2)(x0)− h2(x0))
==⇒(21)
limn→∞
n2(Lnb
2x0
)(x0) = x2
0 limn→∞
n2 ((Lnh0)(x0)− h0(x0))︸ ︷︷ ︸
0
−2x0 limn→∞
n2 ((Lnh1)(x0)− h1(x0))︸ ︷︷ ︸
0
+ limn→∞
n2 ((Lnh2)(x0)− h2(x0))︸ ︷︷ ︸
0
= 0
==⇒(22)
limn→∞
n |(Lnb)(x0)− |x0|(Lnh0)(x0)| ≤ limn→∞
√(Lnh0)(x0)
︸ ︷︷ ︸h0(x0)=1, (21)
limn→∞
√n2
(Lnb2x0
)(x0)
︸ ︷︷ ︸0
= 0 (23)
2.4 Satz von Stone-Weierstraß, Muntz-Satze 53
y limn→∞
n (|b(x0)| − (Lnb)(x0)|)︸ ︷︷ ︸±|x0|(Lnh0)(x0)
≤ |x0| limn→∞
n |h0(x0)− (Lnh0)(x0)|︸ ︷︷ ︸
0, (21)
+ limn→∞
n |(Lnb)(x0)− |x0|(Lnh0)(x0)|︸ ︷︷ ︸
0, (23)
= 0
=====⇒glm. in x0
limn→∞
n ‖b− Lnb‖∞ = 0 y limn→∞
n δ(b,Pn) = 0 Bemerkung : • Deutung: positive lineare Operatoren (Ln)n saturiert mit Ordnung bestenfalls n−2
• langsame Approximationsgeschwindigkeit quasi unvermeidlich fur”shape properties“ :
seien (Tn)n : C[0, 1] −→ Pn Operatoren mit
f (k) ≥ 0 =⇒ (Tnf)(k) ≥ 0, n ∈ N, k ∈ N0
Dann existiert ein f ∈ C[0, 1], f = (· − x)2, so dass fur alle n ∈ N gilt
x(1− x)n
= (Bnf) (x) ≤ (Tnf)(x)
und”=“ ⇐⇒ Bn ≡ Tn (Berens/DeVore, 1980)
2.4 Satz von Stone-Weierstraß, Muntz-Satze
bisher : f ∈ C[a, b] (oder C2π(R)) 99K verallgemeinern auf hohere Dimensionen, z.B.
Q = [a1, b1]× · · · × [an, bn] ⊂ Rn ,
verallgemeinerte Bernstein-Polynome moglich,
(Bαf) (x) =α1∑
k1=0
· · ·αn∑
kn=0
f
(k1
α1, . . . ,
kn
αn
) n∏
j=1
(αj
kj
)x
kj
j (1− xj)αj−kj ,
fur x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, α = (α1, . . . , αn) ∈ Nn
wahlen gleich allgemeineren Zugang : C(X) reellwertig, d.h. f ∈ C(X) ⇐⇒ f : X −→ R, stetig
Idee : f, g ∈ C(X) =⇒ f + g, f · g ∈ C(X)
99K C(X) nicht nur Vektorraum, sondern sogar Algebra
Definition 2.26
(i) Eine Algebra A ist eine Menge, auf der Addition und Multiplikation definiert sind, und die unter diesenOperationen abgeschlossen ist.
(ii) Eine Subalgebra (Unteralgebra) U ⊂ A einer Algebra A ist eine Teilmenge von A, die unter Additionund Multiplikation abgeschlossen ist.
Beispiele : • P :=⋃n
Pn . . . Menge der algebraischen Polynome (beliebiger Ordnung)
=⇒ P ⊂ C(I) Unteralgebra von A = C(I)
• Pn ⊂ C(I) Subalgebra von C(I) ⇐⇒ n = 0
54 2 Approximation in speziellen Raumen
Satz 2.27 (Satz von Stone 31-Weierstraß)
Seien X ein kompakter metrischer Raum und A ⊂ C(X) eine Unteralgebra mit den beiden Eigenschaften
(i) A ist punktetrennend, d.h.
∀ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∃ f ∈ A : f(x) 6= f(x′)(ii) 1 ∈ ADann ist A dicht in C(X).
Bemerkung : • A dicht in C(X) ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∀ f ∈ C(X) ∃ a ∈ A : ‖f − a‖∞ < ε⇐⇒ A = C(X)
• Forderung (i) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig : sei A nicht punktetren-nend, d.h.
∃ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∀ a ∈ A : a(x) = a(x′)
sei jetzt f ∈ C(X) mit f(x) 6= f(x′)32 y
0 < |f(x)− f(x′)| ≤ |f(x)− a(x)|+ |a(x)− a(x′)|︸ ︷︷ ︸0
+|f(x′)− a(x′)| ≤ 2 ‖f − a‖∞
=⇒inf
δ(f,A) = infa∈A
‖f − a‖∞ ≥ 12|f(x)− f(x′)| > 0
y A nicht dicht in C(X)
noch einige Vorbereitungen vor dem Beweis von Satz 2.27
Lemma 2.28 Ein reeller Vektorraum V ⊂ C(X) mit 1 ∈ V ist genau dann punktetrennend, wenn es zubeliebigen x, x′ ∈ X mit x 6= x′, und y, y′ ∈ R eine Funktion f ∈ V gibt, so dass gilt
f(x) = y, f(x′) = y′.
Be w e i s :”⇐=“ klar, Umkehrung
seien jetzt x, x′ ∈ X, x 6= x′, y, y′ ∈ R gegeben, g.z.z. : ∃ f ∈ V : f(x) = y, f(x′) = y′
V punktetrennend =⇒(ii)∃ g ∈ V : g(x) 6= g(x′), setzen
f(t) := y′g(t)− g(x) · 1(t)g(x′)− g(x) + y
g(t)− g(x′) · 1(t)g(x)− g(x′)
Bezeichnungen : seien f, g ∈ C(X) (reellwertig) =⇒ |f |, max(f, g), min(f, g) ∈ C(X), gegeben durch
|f |(x) = |f(x)|, max(f, g)(x) = maxf(x), g(x), min(f, g)(x) = minf(x), g(x), x ∈ X
31Marshall Harvey Stone (∗ 8.4.1903 New York † 9.1.1989 Madras)
32Existenz von f : X metrisch, x ∈ V , x′ ∈ V ′, V ∩V ′ = ∅, o.B.d.A. V, V ′ ⊂ X abgeschlossen y f(y) :=δ(y, V )
δ(y, V ) + δ(y, V ′)=⇒ f(x) = 0, f(x′) = 1; i.a. : Lemma von Urysohn, siehe z.B. [Kot60, §6.4]
2.4 Satz von Stone-Weierstraß, Muntz-Satze 55
Lemma 2.29 Sei A ⊂ C(X) eine Unteralgebra zu C(X) mit 1 ∈ A.
(i) f ∈ A =⇒ |f | ∈ A(ii) f, g ∈ A =⇒ max(f, g) ∈ A, min(f, g) ∈ A(iii) Sei F ⊂ A eine endliche Teilmenge, dann gilt max f : f ∈ F ∈ A, min f : f ∈ F ∈ A
Be w e i s : zu (i) : sei f ∈ A, verwenden Satz von Weierstraß mit [a, b] = [−‖f‖∞, ‖f‖∞] fur h(x) = |x|
y h ∈ C [−‖f‖∞, ‖f‖∞] ====⇒Satz 2.1
∃ (pn)n, pn ∈ P : ‖pn − h‖∞glm.−−−−→
n→∞0; f ∈ A ====⇒
Algebrapn(f) ∈ A
y∥∥∥pn(f)− |f |︸︷︷︸
h(f)
∥∥∥C(X)
= supx∈X
|pn (f(x))− h (f(x))| ≤ξ = f(x)
sup|ξ|≤‖f‖∞
|pn(ξ)− h(ξ)|︸ ︷︷ ︸
‖pn−h‖∞
−−−−→n→∞
0
======⇒pn(f) ∈ A
|f | ∈ A
zu (ii), (iii) : max(f, g) =f + g + |f − g|
2, min(f, g) =
f + g − |f − g|2
außerdem : A Algebra ====⇒UA II-10
A Algebra =⇒(i)
(ii) ==⇒Ind.
(iii)
Ubung II-10 : Zeigen Sie, dass fur eine Algebra A ⊂ C(X) stets gilt A Algebra.
B e w e i s : (von Satz 2.27)
sei f ∈ C(X), z.z.: f ∈ A =========⇒A abgeschlossen
g.z.z. : ∀ ε > 0 ∃ aε ∈ A : ‖aε − f‖∞ < ε
seien ε > 0, x, ξ ∈ X, x 6= ξ ======⇒Lemma 2.28
∃ hx,ξ ∈ A ⊂ C(X) : hx,ξ(x) = f(x), hx,ξ(ξ) = f(ξ)
setzenΩx,ξ :=
y ∈ X : hx,ξ(y) < f(y) +
ε
2
⊂ X, x, ξ ∈ X
y x, ξ ⊂ Ωx,ξ, Ωx,ξ offen (als Urbild offener Mengen unter stetigen Funktionen), und
X ⊇⋃
ξ∈X, ξ 6=x
Ωx,ξ ⊇⋃
ξ∈X, ξ 6=x
x, ξ︸ ︷︷ ︸
X
=⇒ X︸︷︷︸
kompakt
=⋃
ξ∈X, ξ 6=x
Ωx,ξ
︸︷︷︸offen
, x ∈ X
=======⇒offene Uberd.
∀ x ∈ X ∃ Fx ⊂ X, #Fx <∞ : X =⋃
ξ∈Fx
Ωx,ξ
setzen hx := minhx,ξ : ξ ∈ Fx, x ∈ X ========⇒Lemma 2.29(iii)
hx ∈ A, hx(y) ≤ f(y) +ε
2, x, y ∈ X
definieren jetzt
Ωx :=y ∈ X : hx(y) > f(y)− ε
2
⊂ X, x ∈ X
y x ∈ Ωx, Ωx offen, und
X ⊇⋃
x∈XΩx ⊇
⋃
x∈Xx
︸ ︷︷ ︸X
=⇒ X︸︷︷︸
kompakt
=⋃
x∈XΩx
︸︷︷︸offen
=⋃
x∈FΩx fur ein F ⊂ X, #F <∞
mit aε := maxhx : x ∈ F ========⇒Lemma 2.29(iii)
aε ∈ A, aε(y) ≥ f(y)− ε
2, y ∈ X
y f(y)− ε < aε(y) < f(y) + ε, y ∈ X ⇐⇒ ‖f − aε‖∞ < ε
56 2 Approximation in speziellen Raumen
Beispiele : (1) Seien X ⊂ Rk, k ∈ N, X kompakt, A ⊂ C(X) Unteralgebra aller reellen Polynomein x1, . . . , xk, p(x) = p(x1, . . . , xk); dann gilt
(i) 1A = p0 ∈ A, p0(x1, . . . , xk) ≡ 1
(ii) x = (x1, . . . , xk), ξ = (ξ1, . . . , ξk) ∈ X, x 6= ξ =⇒ ∃ j ∈ 1, . . . , k : xj 6= ξjsetzen f := pj ∈ A mit pj(y1, . . . , yk) = yj , j = 1, . . . , k
y A punktetrennend =====⇒Satz 2.27
A dicht in C(X) y Verallgemeinerung von Satz 2.1
(2) Seien X = R ∪ ∞ (1-Punkt-Kompaktifizierung), und
C(X) =f ∈ C(R) : −∞ < lim
x→∞f(x) = lim
x→−∞f(x) <∞
,
A =g ∈ C(X) : ∃ p(x) ∈ P ∃ n ∈ N0 : g(x) =
p(x)(1 + x2)n
”rationale Funktionen“
y A ⊂ C(X) Unteralgebra,
(i) 1A = g0 ∈ A, g0 ≡ 1 =p0
(1 + x2)0
(ii) x, ξ ∈ X, x 6= ξ, A 3 f(y) :=
y
1 + y2, xξ 6= 1 ∧ (x, ξ) 6= (0,∞)
1− y2
1 + y2, xξ = 1 ∨ (x, ξ) = (0,∞)
y A punktetrennend =====⇒Satz 2.27
A dicht in C(X)
Folgerung 2.30 Die Menge der trigonometrischen Polynome ist dicht in C2π(R), d.h. jede stetige, 2π-periodische Funktion ist Limes einer gleichmaßig konvergenten Folge trigonometrischer Polynome.
Be w e i s : sei X = S1 = z ∈ C : |z| = 1, naturliche Isomorphie
f ∈ C(X) ←→ f ∈ C2π(R), f(eix
)= f(x), x ∈ R
setzen A = span<e (zk) = cos(kx), =m(zk) = sin(kx), k ∈ N0
y A ⊂ C2π(R) Unteralgebra,
1A = f ≡ 1 ∈ A; seien z, w ∈ X, z 6= w =⇒ <e z 6= <ew : g(ξ) := <e ξ=m z 6= =mw : g(ξ) := =m ξ
Bemerkung : siehe Folgerung 2.22
andere Verallgemeinerung des Satzes von Weierstraß :
verwenden span xα0 , xα1 , . . . ; 0 ≤ α0 ≤ α1 ≤ α2 ≤ · · · , αi ∈ R als Approximationsraum fur C[0, 1]
Fur welche Folgen α := (αj)j∈N0 ist P(α) := spanR xαj : j ∈ N0 dicht in C[0, 1] ?
Bemerkung : Problem bearbeitet von Bernstein (1912) und Muntz33(1914)
33Hermann (Chaim) Muntz (∗ 1884 Lodz † 1956 )
2.4 Satz von Stone-Weierstraß, Muntz-Satze 57
Beispiele : • α = N0, d.h. αj = j =⇒ P(α) = P =⋃
n Pn
• α ≡ 1, d.h. αj = 1, j ∈ N0 =⇒ P(1) = ax : a ∈ R y keine Dichtheit,
analog : #y ∈ R : ∃ j ∈ N0 : αj = y <∞ y keine Dichtheit
• α = 2N0 =⇒ P(α) ⊂ C[0, 1] dicht, aber nicht in C[−1, 1]
betrachten P(α) als Algebra, A = P(α) y punktetrennend in [0, 1] :
P punktetrennend (siehe Bsp. (1)), d.h. ∀ x, ξ ∈ [0, 1], x 6= ξ ∃ q ∈ P : q(x2) 6= q(ξ2)
y ∃ p ∈ P(α) : p(x) = q(x2) 6= q(ξ2) = p(ξ) =====⇒Satz 2.27
P(2N0) dicht in C[0, 1]
P(2N0) nicht punktetrennend in C[−1, 1], denn
∃ x, x′ ∈ [−1, 1], x 6= x′ := −x ∀ p ∈ P(2N0) : p(x) = p(x′)
===========⇒Bem. nach Satz 2.27
P(2N0) nicht dicht in C[−1, 1]
• α = βN0, β ∈ R+ \ N0 =⇒ P(α) keine Polynome, aber
∀ p ∈ P(α) ∃ q ∈ P : p(x) = q(xβ)
=⇒s.o.P(α) punktetrennend =====⇒
Satz 2.27P(βN0) dicht in C[0, 1]
beweisen Dichtheit von P(α) ⊂ P fur”ausgedunnte“ Folgen α in C[0, 1] mittels Dichtheit von P(α′)
im Hilbertraum H = L2(0, 1),
〈f, g〉2 =
1∫
0
f(x)g(x) dx, ‖f‖2 =
1∫
0
|f(x)|2 dx
12
Lemma 2.31 (Determinantenformel von Cauchy)Seien a = (ak)k∈N, b = (bj)j∈N, ak, bj ∈ R mit ak + bj 6= 0, j, k ∈ N, und n ∈ N. Dann gilt
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1a1+b1
1a1+b2
· · · 1a1+bn
1a2+b1
1a2+b2
· · · 1a2+bn
.... . .
...1
an+b11
an+b2· · · 1
an+bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∏1≤j<k≤n
(aj − ak) (bj − bk)
n∏j,k=1
(aj + bk). (24)
B e w e i s∗ : setzen
Dn :=
1a1+b1
1a1+b2
· · · 1a1+bn
1a2+b1
1a2+b2
· · · 1a2+bn
.... . .
...1
an+b11
an+b2· · · 1
an+bn
, dn = detDn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1a1+b1
1a1+b2
· · · 1a1+bn
1a2+b1
1a2+b2
· · · 1a2+bn
.... . .
...1
an+b11
an+b2· · · 1
an+bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
betrachten dn als Funktion von ai, bk, i, k = 1, . . . , n, dn = dn(a1, . . . , an, b1, . . . , bn)
58 2 Approximation in speziellen Raumen
sei qn :=n∏
j,k=1
(aj + bk) y qnDn Matrix mit Polynomen in ai, bk als Eintragen y dn =pn
qnrationale Funktion
betrachten Grade der Zahler- und Nenner-Polynome :
deg qn = n2, deg(
1ai + bk
)= −1 ==⇒
Det.deg dn ≤ −n ==⇒
Bem.deg pn ≤ n2 − n = n(n− 1)
außerdem gilt : falls
aj = ak , j 6= kbi = br , i 6= r
=⇒ dn = 0 =⇒ pn = 0
y pn = cn
deg(·)=n(n−1)︷ ︸︸ ︷( ∏
1≤j<k≤n
(aj − ak))
︸ ︷︷ ︸Anzahl Faktoren :
n(n− 1)
2
( ∏
1≤j<k≤n
(bj − bk))
︸ ︷︷ ︸Anzahl Faktoren :
n(n− 1)
2
===========⇒deg pn ≤ n(n− 1)
cn ≡ c ∈ R (unabh. von ai, bk)
n.z.z. : cn = c = 1, o.B.d.A. aj 6= an, j < n, bk 6= bn, k < n
multiplizieren dazu letzte Zeile von Dn mit an und betrachten liman→∞
bzw. limbn→∞
y
limbn→∞
liman→∞
an dn = limbn→∞
liman→∞
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1a1+b1
1a1+b2
· · · 1a1+bn
1a2+b1
1a2+b2
· · · 1a2+bn
.... . .
...an
an+b1an
an+b2· · · an
an+bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= limbn→∞
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1a1+b1
1a1+b2
· · · 1a1+bn
1a2+b1
1a2+b2
· · · 1a2+bn
.... . .
...
1 1 · · · 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1a1+b1
1a1+b2
· · · 01
a2+b11
a2+b2· · · 0
.... . .
...
1 1 · · · 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= dn−1
andererseits :
dn =pn
qn= cn
∏1≤j<k≤n
(aj − ak)∏
1≤j<k≤n
(bj − bk)
n∏j,k=1
(aj + bk)
= cn
∏1≤j<k≤n−1
(aj − ak)n−1∏j=1
(aj − an)∏
1≤j<k≤n−1
(bj − bk)n−1∏j=1
(bj − bn)
n−1∏j,k=1
(aj + bk)n∏
k=1
(an + bk)n−1∏j=1
(aj + bn)
= cndn−1
cn−1
n−1∏j=1
(aj − an)n−1∏j=1
(bj − bn)
n∏k=1
(an + bk)n−1∏j=1
(aj + bn)
ycncn−1
=dn
dn−1
n∏k=1
(an + bk)n−1∏j=1
(aj + bn)
n−1∏j=1
(aj − an)n−1∏j=1
(bj − bn)=an dn
dn−1
an + bnan
n−1∏
j=1
an + bjaj − an︸ ︷︷ ︸−−−−→
an→∞−1
n−1∏
j=1
aj + bnbj − bn︸ ︷︷ ︸−−−−→
bn→∞−1
2.4 Satz von Stone-Weierstraß, Muntz-Satze 59
=⇒ cncn−1
= limbn→∞
liman→∞
cncn−1
= limbn→∞
liman→∞
an dn
dn−1
︸ ︷︷ ︸→ 1
an + bnan
︸ ︷︷ ︸→ 1
n−1∏
j=1
an + bjaj − an
︸ ︷︷ ︸→ (−1)n−1
n−1∏
j=1
aj + bnbj − bn
︸ ︷︷ ︸→ (−1)n−1
= (−1)2n−2 = 1
y cn = cn−1 = · · · = c1 = 1
Bemerkung : Der Grad einer rationalen Funktion f = gh sei definiert als deg f := deg g − deg h. Fur
rationale Funktionen f1, f2 gilt (wie fur Polynome) :
deg(f1 + f2) ≤ max deg f1, deg f2 , deg(f1f2) = deg f1 + deg f2.
Ubung II-11 : • Zeigen Sie, dass P dicht in L2(0, 1) ist.
• Sind γn < 0 (oder γn > 0) fur n ≥ n0, n ∈ N, so gilt :
∏
n∈N(1 + γn) konvergent34 ⇐⇒
∑
n∈Nγn konvergent.
Satz 2.32 (Muntz-Satz fur L2[0, 1])Sei α = (αj)j mit 0 ≤ α0 < α1 < α2 < · · · , αi ∈ R. Dann ist P(α) dicht in L2[0, 1] genau dann,falls gilt
∞∑
j=1
1αj
= ∞ .
Be w e i s : setzen hk(x) := xαk , k ∈ N0, x ∈ [0, 1] =========⇒αj 6= αk, j 6= k
jede endliche Teilmenge von hkk∈N0
ist linear unabhangig,
〈hj , hk〉2 =
1∫
0
xαj+αk dx =1
αj + αk + 1, k, j ∈ N0
P(α) dicht in L2(0, 1) ⇐⇒Def. 1.16
hkk∈N0, hk(x) := xαk , abgeschlossen im Hilbertraum H = L2(0, 1)
⇐⇒Satz 1.24
δ2n+1(f) =g(h0, . . . , hn, f)g(h0, . . . , hn)
−−−−→n→∞
0
fur alle f ∈ T mit span(T) ⊆ L2(0, 1) dicht; h0, . . . , hn lin. unabhangig ========⇒Lemma 1.23(iii)
g(h0, . . . , hn) > 0
wahlen T :=fk : fk(x) = xk, x ∈ [0, 1], k ∈ N0
====⇒UA II-11
span(T) = P dicht in L2(0, 1)
=⇒ 〈hj , fm〉2 =
1∫
0
xαj+m dx =1
αj +m+ 1, j,m ∈ N0
34∞Y
n=1
an heißt konvergent, falls p := limm→∞
mQn=1
an existiert und p 6= 0 gilt, d.h. 0 < limm→∞
mQn=1
|an| < ∞; o.B.d.A. an 6= 0.
60 2 Approximation in speziellen Raumen
y mussen g(h0, . . . , hn, fm), g(h0, . . . , hn) berechnen, m ∈ N0,
g(h0, . . . , hn) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
〈h0, h0〉H 〈h0, h1〉H · · · 〈h0, hn〉H〈h1, h0〉H 〈h1, h1〉H · · · 〈h1, hn〉H
......
〈hn, h0〉H 〈hn, h1〉H · · · 〈hn, hn〉H
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
12α0+1
1α0+α1+1 · · · 1
α0+αn+1
1α1+α0+1
12α1+1 · · · 1
α1+αn+1
.... . .
...1
αn+α0+11
αn+α1+1 · · · 12αn+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
g(h0, . . . , hn, f) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
12α0+1 · · · 1
α0+αn+11
α0+m+1
.... . .
...1
αn+α0+1 · · · 12αn+1
1αn+m+1
1m+α0+1 · · · 1
m+αn+11
2m+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
verwenden dazu Determinantenformel von Cauchy (Lemma 2.31) mit ak = bk = αk−1 + 12 , k ∈ N
==⇒(24)
g(h0, . . . , hn) =
∏0≤j<k≤n
(αj − αk)2
n∏j,k=0
(αj + αk + 1), g(h0, . . . , hn, fm) =
g(h0, . . . , hn)2m+ 1
n∏
j=0
(m− αj
αj +m+ 1
)2
d.h. P(α) dicht in L2(0, 1) ⇐⇒ (hk)k∈N abgeschlossen in H = L2(0, 1)
⇐⇒ δn+1(fm) =1√
2m+ 1
n∏
j=0
|m− αj |αj +m+ 1
−−−−→n→∞
0, m ∈ N0
g.z.z. :∞∑
j=1
1αj
=∞ ⇐⇒n∏
j=0
|m− αj |αj +m+ 1
−−−−→n→∞
0, m ∈ N0
(i) falls α = (αk)k beschrankt, d.h. ∃ σ ∈ R ∀ k ∈ N0 : αk ≤ σ <∞
=⇒∞∑
j=1
1αj
=∞ undn∏
j=0
≤ m+σσ+m+1 <1︷ ︸︸ ︷|m− αj |αj +m+ 1
︸ ︷︷ ︸≤( m+σ
σ+m+1 )n+1
−−−−→n→∞
0, m ∈ N0
(ii) falls N0 ⊂ α, d.h. ∀ r ∈ N0 ∃ αjr : αjr = r
=⇒∞∑
j=1
1αj≥
∞∑r=1
1αjr︸ ︷︷ ︸
∞Pk=1
1k
= ∞ undn∏
j=0
|m− αj |αj +m+ 1
︸ ︷︷ ︸=0, n ≥ jm
−−−−→n→∞
0, m ∈ N0
(iii) sei jetzt limj→∞
αj =∞, m 6= αj , j ∈ N0
yn∏
j=0
|m− αj |αj +m+ 1
−−−−→n→∞
0 ⇐⇒∏
αj≥m+1
1− 2m+1αj+m+1︷ ︸︸ ︷
αj −mαj +m+ 1
= 0
⇐⇒UA II-11 bzw. Bem.
∑
αj≥m+1
1αj +m+ 1
= ∞
⇐⇒1
αj
>1
αj + m + 1≥ 1
2αj
, αj ≥ m + 1
∞∑
j=1
1αj
=∞
2.4 Satz von Stone-Weierstraß, Muntz-Satze 61
Bemerkung : (∗)direkt :∏
αj≥m+1
αj −mαj +m+ 1
= limk→∞
k∏
j=jm
αj −mαj +m+ 1
= limk→∞
k∏j=jm
(1− m
αj
)
k∏j=jm
(1 + m+1
αj
)
sei∑
j
1αj
=∞ y limk→∞
k∏
j=jm
(1 +
m+ 1αj
)≥ lim
k→∞
1 + (m+ 1)
k∑
j=jm
1αj
=∞
k∏
j=jm
(1− m
αj
)< 1 =⇒
∏
αj≥m+1
αj −mαj +m+ 1
= limk→∞
k∏
j=jm
αj −mαj +m+ 1
= 0
sei∑
j
1αj
<∞ y∑
j
1α2
j
<∞, αj 6= m, j ∈ N0 =⇒ limk→∞
k∏
j=jm
(1− m
αj
)
︸ ︷︷ ︸>0
> 0,
limk→∞
k∏
j=jm
(1 +
m+ 1αj
)<∞ y
∏
αj≥m+1
αj −mαj +m+ 1
= limk→∞
k∏
j=jm
αj −mαj +m+ 1
> 0
Satz 2.33 (Muntz-Satz fur C[0, 1])Sei α = (αj)j mit 0 ≤ α0 < α1 < α2 < · · · , αi ∈ R. Dann ist P(α) dicht in C[0, 1] genau dann,wenn gilt α0 = 0 und
∞∑
j=1
1αj
= ∞ .
Be w e i s : Sei wieder hk(x) := xαk , k ∈ N0, x ∈ [0, 1]
”=⇒“ : Sei P(α) dicht in C[0, 1] =====⇒
Def. 1.16hkk abgeschlossen in C[0, 1] =============⇒
UA I-1, ‖f‖2 ≤ ‖f‖∞hkk
abgeschlossen in L2(0, 1) =====⇒Satz 2.32
∞∑
j=1
1αj
= ∞; außerdem : f0 ≡ 1 ∈ C[0, 1]
=⇒ ∀ ε > 0 ∃ r ∈ N, ai ∈ R :
∥∥∥∥∥f0 −r∑
i=0
aihi
∥∥∥∥∥∞
= supx∈[0,1]
∣∣∣f0(x)−r∑
i=0
aihi(x)∣∣∣ < ε
=⇒∣∣∣ f0(0)︸ ︷︷ ︸
1
−r∑
i=0
ai hi(0)︸ ︷︷ ︸xαi=0,i 6=0
∣∣∣ =∣∣∣1− a0h0(0)
∣∣∣ < ε =⇒ h0(0) = xα0 |x=06= 0 =⇒ α0 = 0
”⇐=“ : betrachten wieder T :=
fk : fk(x) = xk, x ∈ [0, 1], k ∈ N0
====⇒Satz 2.1
span(T) = P dicht in
C[0, 1] ; ausreichend, fm ∈ T zu approximieren
f0 ≡ 1 ∈ T ====⇒α0 = 0
f0 ≡ h0, d.h. ∀ ε > 0 ∃ h = h0 ∈ P(α) : ‖f0 − h‖∞︸ ︷︷ ︸0
< ε
sei jetzt m ∈ N, wahlen λ ≥ 1 mit λ >1α1
y λαi > 1, i ≥ 1
y∞∑
i=1
1λαi − 1
≥ 1λ
∞∑
i=1
1αi
=Vor.∞ =====⇒
Satz 2.32P(β) dicht in L2(0, 1) mit βj = λαj − 1, j ∈ N, β0 = 0
=⇒ ∀ g ∈ L2(0, 1) ∀ ε > 0 ∃ r ∈ N, bi ∈ R, hi ∈ P(β) :∥∥∥g −
r∑
i=1
bi hi
∥∥∥2< ε
62 2 Approximation in speziellen Raumen
wahlen g(x) = gm,λ(x) := λmxλm−1 y
∀ ε > 0 ∃ r ∈ N, bi ∈ R :
∥∥∥∥∥λmxλm−1 −
r∑
i=1
bi xβi
∥∥∥∥∥
2
2
=
1∫
0
(λmxλm−1 −
r∑
i=1
bi xλαi−1
)2
dx ≤ ε2
sei s ∈ [0, 1] y∣∣∣∣∣s
λm −r∑
i=1
biλαi
sλαi
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣
s∫
0
(λmtλm−1 −
r∑
i=1
bi tλαi−1
)dt
∣∣∣∣ ≤Holder
∥∥∥∥∥λmtλm−1 −
r∑
i=1
bi tβi
∥∥∥∥∥2︸ ︷︷ ︸
≤ε
√s ≤ ε
====⇒x = sλ
sλm = xm = fm(x) =⇒∣∣∣∣∣fm(x)−
r∑
i=1
biλαi
xαi
∣∣∣∣∣ ≤ ε, 0 ≤ x ≤ 1
==⇒sup
∥∥∥∥∥fm −r∑
i=1
biλαi
hi
∥∥∥∥∥∞≤ ε, m ∈ N
Bemerkung : • sei P . . . Menge der Primzahlen, α = P ∪ 0 =====⇒Satz 2.33
P(α) dicht in C[0, 1] :∞∏
k=1
(1− 1
pk
)= 0 ====⇒
UA II-11
∞∑
k=1
1pk
=∞ (siehe z.B. [Fic74, S. 375])
• Man kann die Dichtheit der P(α) (auch ohne Monotonie-Voraussetzungα0 < α1 < α2 < · · · ) zeigen in
Lp(0, 1), 1 ≤ p <∞ ⇐⇒∑
k
αk + 1p
1 + α2k
= ∞, αk > −1p
C[0, 1] ⇐⇒∑
k
αk
1 + α2k
= ∞, αk ≥ 0, ∃ m : αm = 0
Lp(a, b), C[a, b], 0 < a < b, ⇐⇒∑
αk 6=0
1|αk| = ∞
2.5 Approximation in C[a, b], Der Haarsche Eindeutigkeitssatz
Problem : C[a, b] nicht strikt konvex 99K Eindeutigkeit ? 99K fur welche Teilraume U evtl. doch eindeutig ?
betrachten Spezialfall :
X = C[a, b] = CR[a, b], U ⊂ X endlich-dimensionaler Teilraum, U = spanu1, . . . , un, dimU = n
Bezeichnung : sei g0 ∈ U Bestapproximation zu f in U, ‖f − g0‖∞ = δ(f,U) = infg∈U‖f − g‖∞
A0 = A0(f, g0) = x ∈ [a, b] : |f(x)− g0(x)| = ‖f − g0‖∞ ⊂ [a, b]
Menge der Extremalpunkte von f − g0
Satz 2.34 (Kriterium von Kolmogorov35)g0 ∈ U ist Bestapproximation zu f ∈ C[a, b] in U genau dann, wenn fur alle g ∈ U gilt
maxx∈A0
(f(x)− g0(x)) g(x) ≥ 0. (25)
2.5 Approximation in C[a, b], Der Haarsche Eindeutigkeitssatz 63
B e w e i s : 1. Schritt : zeigen A0 kompakt=========⇒(f − g0)g stetig
supx∈A0
(f(x)− g0(x)) g(x) = maxx∈A0
(f(x)− g0(x)) g(x) existiert
A0 ⊂ [a, b] beschrankt y g.z.z. : A0 abgeschlossen; sei (xn)n ⊂ A0, limn→∞
xn = ξ ∈ [a, b]
=======⇒(xn)n ⊂ A0
‖f − g0‖∞ = |f(xn)− g0(xn)| |f−g0| stetig−−−−−−−−→n→∞
|f(ξ)− g0(ξ)| =⇒ ξ ∈ A0
2. Schritt :”=⇒“ : sei g0 ∈ U mit ‖f − g0‖∞ = δ(f,U), z.z. : (25)
Annahme : (25) falsch, d.h. ∃ g1 ∈ U ∃ ε > 0 : maxx∈A0
(f(x)− g0(x)) g1(x) = −2ε < 0
========⇒f, g0, g1 stetig
∃ G offen, A0 ⊂ G ⊂ [a, b] ∀ s ∈ G : (f(s)− g0(s)) g1(s) < −ε
sei λ > 0, betrachten hλ := g0 − λg1 ∈ U, s ∈ G y
=⇒ (f(s)− hλ(s))2 = (f(s)− g0(s))2︸ ︷︷ ︸δ2(f,U)
+ 2λ (f(s)− g0(s)) g1(s)︸ ︷︷ ︸<−ε, s∈G
+ λ2 g21(s)︸ ︷︷ ︸
≤‖g1‖2∞< δ2(f,U) − λε + λ
(λ‖g1‖2∞ − ε
)︸ ︷︷ ︸
<0, λ<ε ‖g1‖−2∞
< δ2(f,U) − λε
=⇒ |f(s)− hλ(s)| < δ(f,U), s ∈ G (26)
sei jetzt s ∈ H = [a, b] \G ⊂ [a, b] \ A0 ==⇒Def.
|f(s)− g0(s)| < ‖f − g0‖∞ = δ(f,U), s ∈ H;
G offen =⇒ H abgeschlossen ========⇒|f − g0| stetig
∃ s0 ∈ H : maxs∈H|f(s)− g0(s)| = |f(s0)− g0(s0)|
====⇒s0 ∈ H
∃ γ > 0 : maxs∈H|f(s)− g0(s)| = δ(f,U)− γ < δ(f,U), wahlen λ <
γ
2‖g1‖∞ y
|f(s)− hλ(s)| ≤ |f(s)− g0(s)|︸ ︷︷ ︸<δ(f,U)−γ, s∈H
+ λ|g1(s)|︸ ︷︷ ︸≤λ‖g1‖∞< γ
2
< δ(f,U) − γ
2< δ(f,U), s ∈ H (27)
=====⇒(26), (27)
∀ s ∈ G ∪H = [a, b] : |f(s)− hλ(s)| < δ(f,U), λ < min(
ε
‖g1‖2∞,
γ
2‖g1‖∞
)
=⇒ ∃ hλ ∈ U : ‖f − hλ‖∞ < δ(f,U) = infh∈U‖f − h‖∞ 99K Widerspruch
3. Schritt :”⇐=“ : seien g ∈ U, h := g0 − g ∈ U ==⇒
(25)∃ s0 ∈ A0 : (f(s0)− g0(s0))h(s0) ≥ 0 y
(f(s0)− g(s0)︸ ︷︷ ︸
g0(s0)−h(s0)
)2 = (f(s0)− g0(s0))2︸ ︷︷ ︸=‖f−g0‖2∞, s0∈A0
+ 2 (f(s0)− g0(s0))h(s0)︸ ︷︷ ︸≥0
+ h2(s0)︸ ︷︷ ︸≥0
≥ ‖f − g0‖2∞
=⇒ ‖f − g‖∞ ≥ ‖f − g0‖∞ ======⇒g ∈ U bel.
δ(f,U) = infg∈U
‖f − g‖∞ ≥ ‖f − g0‖∞ ≥ δ(f,U)
=⇒ g0 ∈ U Bestapproximation, ‖f − g0‖∞ = δ(f,U)
Bemerkung : • Satz 2.34 99K”Test“, ob gegebenes g ∈ U Bestapproximation ist; fur praktische
Anwendung auf spezielle U einschranken
• g0 Bestapproximation 99K fur beliebiges g ∈ U und alle x ∈ A0 darf nicht geltensgn 36 (f(x)− g0(x)) = − sgn (g(x)) ======⇒
g ∈ U bel.A0 ”
groß“, dort viele Vorzeichen-
wechsel von f − g0
35Andrey Nikolaevich Kolmogorov (∗ 25.4.1903 Tambov / Russland † 20.10.1987 Moskau)36sgn h(x) := 1 fur h(x) > 0; sgn h(x) := 0 fur h(x) = 0; sgn h(x) := −1 fur h(x) < 0
64 2 Approximation in speziellen Raumen
Definition 2.35 Eine Menge u1, . . . , un ⊂ C[a, b] heißt T -System auf [a, b], falls fur alle c1, . . . , cn ∈ Rmit
n∑i=1
|ci| > 0 die Funktion
c1 u1 + · · · + cn un
hochstens n− 1 verschiedene Nullstellen im Intervall [a, b] besitzt.
Bemerkung : Zahlung der Nullstellen zunachst ohne Berucksichtigung der Vielfachheiten; man kann aberzeigen, dass ein Element g ∈ spanu1, . . . , un eines T -Systems auf [a, b], g 6≡ 0, hochstensn− 1 Nullstellen unter Berucksichtigung der Vielfachheiten besitzt ([Mul78, Satz 2.3.5])
Beispiele : • uk(x) = xk, k = 0, . . . ,m
, m ∈ N, bilden T -System auf [a, b] :
p(x) :=m∑
k=0
ck uk(x) =m∑
k=0
ck xk ∈ Pm
y hochstens m verschieden Nullstellen (fur m+ 1 Funktionen uk)
• u1(x) = x, u2(x) = ex =⇒ u1, u2 kein T -System auf [0, 3], aber auf [0, 1] :
[0, 3] : c1 := 3, c2 := −1, h(x) := 3x− ex
=⇒ h(0) = −1, h(3) = 9− e3 < 0, h(ln 3) = 3(ln 3− 1) > 0
=⇒ ∃ ξ0 ∈ (0, ln 3), ξ1 ∈ (ln 3, 3) : h(ξ0) = h(ξ1) = 0
[0, 1] : g(x) = c1x+ c2ex, |c1|+ |c2| > 0; Ann. : ∃ ξ0 < ξ1 ∈ [0, 1] : g(ξ0) = g(ξ1) = 0
ξ0 = 0 =⇒ c2 = 0 ======⇒g(x) = c1x
g′(x) = c1 6= 0 =⇒ ∀ ξ1 ∈ (0, 1] : |g(ξ1)| > 0
ξ0 > 0 =====⇒g(ξ0) = 0
c1 = −c2 eξ0
ξ0=⇒ c1, c2 6= 0 =====⇒
g(ξ1) = 0
eξ0
ξ0=eξ1
ξ1
andererseits : h(y) =ey
ystreng monoton fallend auf (0, 1] =⇒ ξ0 = ξ1
Ubung II-12 : 1. Zeigen Sie, dass die Elemente eines T -Systems linear unabhangig sind.
2. Es seien uk(x) = xk, k = 0, . . . ,m−1, und f ∈ Cm[a, b], m ∈ N, mit f (m)(x) > 0,x ∈ [a, b]. Dann bildet f, uk, k = 0, . . . ,m− 1 ein T -System auf [a, b].
3. Beweisen Sie, dass die Mengen
(a) 1, sin(kx), cos(kx), k = 1, . . . ,m auf [0, 2π)
(b) 1, cos(kx), k = 1, . . . ,m auf [0, π]
(c) sin(kx), k = 1, . . . ,m auf (0, π)
jeweils T -Systeme bilden.
4. Seien s1, . . . , sn ∈ R, si 6= sk, i 6= k. Zeigen Sie, dass es1x, . . . , esnx auf jedemendlichen Intervall [a, b] ein T -System bildet.
2.5 Approximation in C[a, b], Der Haarsche Eindeutigkeitssatz 65
Lemma 2.36 (Kriterium fur T -Systeme)Eine Menge u1, . . . , un ⊂ C[a, b] ist T -System auf [a, b] genau dann, wenn es zu jeder ZerlegungZ = t1, . . . , tn in [a, b], a ≤ t1 < · · · < tn ≤ b, und jedem y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn genau einenKoeffizientenvektor c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn gibt, so dass fur die Linearkombination
p(x) = c1 u1(x) + · · · + cn un(x)
gilt p(ti) = yi, i = 1, . . . , n.
Be w e i s∗ : p(ti) = yi, i = 1, . . . , n ⇐⇒
c1 u1(t1) + · · · + cn un(t1) = y1...
......
c1 u1(tn) + · · · + cn un(tn) = yn
(∗)
(∗) fur beliebige t1 < · · · < tn, (y1, . . . , yn) ∈ Rn eindeutig losbar ⇐⇒ ∆ =
∣∣∣∣∣∣∣
u1(t1) · · · un(t1)...
...u1(tn) · · · un(tn)
∣∣∣∣∣∣∣6= 0
∆ = 0 ⇐⇒ ∃ c1, . . . , cn ∈ R,n∑
k=1
|ck| > 0 :
c1 u1(t1) + · · · + cn un(t1) = 0...
......
c1 u1(tn) + · · · + cn un(tn) = 0
⇐⇒ ∃ p :=n∑
k=1
ckuk mit mindestens n Nullstellen, p(tk) = 0, k = 1, . . . , n ⇐⇒ u1, . . . , un kein
T -System
Definition 2.37 Sei u1, . . . , un ⊂ C[a, b] ein T -System auf [a, b], dann ist U = spanu1, . . . , un einHaar37scher Teilraum von C[a, b].
Bemerkung : U Haarscher Teilraum ∼ U erfullt Haarsche Bedingung
Satz 2.38 (Haarscher Eindeutigkeitssatz)Es sei U ⊂ C[a, b] ein Haarscher Teilraum mit dim U = n. Dann besitzt jedes f ∈ C[a, b] , f /∈ U,genau eine Bestapproximation in U.
Bemerkung : f ∈ U =⇒ f Bestapproximation, δ(f,U) = 0, eindeutig
B e w e i s : Existenz folgt bereist aus Satz 1.2, n.z.z. : Unitat; f /∈ U =========⇒U abgeschlossen
δ(f,U) > 0
1. Schritt : sei h ∈ U Bestapproximation zu f , zeigen : #A0 ≥ n+ 1,
A0 = A0(f, h) = x ∈ [a, b] : |f(x)− h(x)| = δ(f,U) = ‖f − h‖∞Annahme : #A0 ≤ n, d.h. A0 = t1, . . . , tk, k ≤ n
U erfullt Haarsche Bedingung ======⇒Lemma 2.36
∃ p ∈ U : p(ti) = − (f(ti)− h(ti)), i = 1, . . . , k, mit
ti ∈ [a, b], p(ti) beliebig fur i = k + 1, . . . , n
=⇒ maxx∈A0
(f(x)− h(x)) p(x) = maxi=1,...,k
(f(ti)− h(ti)) p(ti)︸ ︷︷ ︸−(f(ti)−h(ti))
2
=ti ∈ A0
− δ2(f,U) < 0
37Alfred Haar (∗ 11.10.1885 Budapest † 16.3.1933 Szeged)
66 2 Approximation in speziellen Raumen
y Widerspruch zu Satz 2.34 =⇒ #A0 ≥ n+ 1
2. Schritt : seien g0, g1 ∈ U Bestapproximationen zu f an U, ‖f − g0‖∞ = ‖f − g1‖∞ = δ(f,U)====⇒Satz 1.8
h := 12 (g0 + g1) ∈ U Bestapproximation =====⇒
1. Schritt#A0(f, h) ≥ n+ 1, d.h.
∃ s1, . . . , sn ∈ A0(f, h) ⊂ [a, b] : |f(si)− h(si)| = δ(f,U), i = 1, . . . , n
außerdem : |f(si)− gk(si)| ≤ ‖f − gk‖∞ = δ(f,U), k = 0, 1, i = 1, . . . , n
=⇒ δ(f,U) = |f(si)− h(si)| ≤
≤δ(f,U)︷ ︸︸ ︷|f(si)− g0(si)|
2+
≤δ(f,U)︷ ︸︸ ︷|f(si)− g1(si)|
2≤ δ(f,U)
=⇒ |f(si)− gk(si)| = δ(f,U), k = 0, 1, ===============⇒|f(si)− h(si)| = δ(f, U)
g0(si) = g1(si), i = 1, . . . , n
=⇒ g := g0 − g1 ∈ U besitzt n Nullstellen s1, . . . , sn ======⇒U Haar-TR
g ≡ 0 ⇐⇒ g0 ≡ g1
Folgerung 2.39 Sei n ∈ N.
(i) Jedes f ∈ C[a, b] besitzt genau eine Bestapproximation in Pn.
(ii) Jedes f ∈ C2π(R) besitzt genau eine Bestapproximation in Tn.
Be w e i s : Beispiel & UA =⇒ U = Pn, U = Tn erfullen Haarsche Bedingung =====⇒Satz 2.38
(i),(ii)
Satz 2.40 Sei U ⊂ C[a, b] ein Teilraum mit dimU = n, und es existiere ein g0 ∈ U, g0 6≡ 0,das mindestens n Nullstellen in [a, b] besitzt. Dann existiert eine Funktion f ∈ C[a, b], die mehrereBestapproximationen in U hat.
Be w e i s : g0 6≡ 0, g0 ∈ U = span u1, . . . , un =⇒ ∃ a1, . . . , an ∈ R,n∑
i=1
|ai| > 0 : g0 =n∑
i=1
aiui
# y ∈ [a, b] : g0(y) = 0 ≥ n =⇒ ∃ t1, . . . , tn ∈ [a, b] : g0(ti) = 0, i = 1, . . . , n y
a1 u1(t1) + · · · + an un(t1) = 0...
......
a1 u1(tn) + · · · + an un(tn) = 0
=======⇒nP
i=1|ai| > 0
∆ :=
∣∣∣∣∣∣∣
u1(t1) · · · un(t1)...
...u1(tn) · · · un(tn)
∣∣∣∣∣∣∣= 0
1. Schritt : zeigen ∃ γ1, . . . , γn ∈ R,n∑
i=1
|γi| > 0 ∀ g ∈ U :n∑
i=1
γi g(ti) = 0
∆ = 0 ==⇒( )>
∃ c1, . . . , cn ∈ R,n∑
i=1
|ci| > 0 :
c1 u1(t1) + · · · + cn u1(tn) = 0...
......
c1 un(t1) + · · · + cn un(tn) = 0
(28)
sei g ∈ U beliebig, o.B.d.A. g 6≡ 0 =⇒ ∃ d1, . . . , dn ∈ R,n∑
k=1
|dk| > 0 : g =n∑
k=1
dkuk
====⇒γi := ci
n∑
i=1
γi g(ti) =n∑
i=1
ci
n∑
k=1
dkuk(ti) =n∑
k=1
dk
n∑
i=1
ciuk(ti)
︸ ︷︷ ︸0, (28)
= 0
2.5 Approximation in C[a, b], Der Haarsche Eindeutigkeitssatz 67
2. Schritt : konstruieren f ∈ C[a, b] mit δ(f,U) = 1
o.B.d.A. ‖g0‖∞ = 1, definieren
h(x) :=
sgn γi , x = ti
linear , dazwischen
y ‖h‖∞ = 1
setzen f(x) := h(x)(
1− |g0(x)|2
), x ∈ [a, b]
1
a t1 t5t2γ5 < 0γ1 > 0
t4
γ4 < 0
‖g0‖∞ = 1
b
h
−1
t3γ2 = 0 γ3 > 0
=⇒ |f(x)| = |h(x)|︸ ︷︷ ︸
≤‖h‖∞=1
(1− |g0(x)|
2
)
︸ ︷︷ ︸12≤ · ≤1
≤ 1, x ∈ [a, b] =⇒ ‖f‖∞ ≤ 1
n∑
i=1
|γi| > 0 y ∃ i0 : |sgn γi0 | = |h(ti0)| = 1 =======⇒g0(ti0 ) = 0
|f(ti0)| = 1 ======⇒‖f‖∞ ≤ 1
‖f‖∞ = 1 y δ(f,U) ≤ 1
Annahme : δ(f,U) < 1 =⇒ ∃ g ∈ U : ‖f − g‖∞ < 1 =⇒ |f(ti)− g(ti)| < 1, i = 1, . . . , n
=⇒ 1 > (f(ti)− g(ti))2 = (f(ti))2 − 2f(ti)g(ti) + (g(ti))
2 =g0(ti) = 0
(h(ti))2 − 2h(ti)g(ti) + (g(ti))
2
γi > 0 : h(ti)= 1 y g(ti)> 12 (g(ti))
2 ≥ 0 y γig(ti) > 0
γi = 0 : h(ti)= 0 y γig(ti) = 0
γi < 0 : h(ti)=−1 y g(ti)<− 12 (g(ti))
2 ≤ 0 y γig(ti) > 0
=======⇒nP
i=1|γi| > 0
n∑
i=1
γig(ti) > 0
y Widerspruch zu 1. Schritt 99K Annahme falsch ⇐⇒ δ(f,U) = 1
3. Schritt : zeigen, alle gµ := µg0, |µ| ≤ 12 sind Bestapproximationen an f in U, d.h.
δ(f,U) = ‖f − gµ‖∞ = ‖f − µg0‖∞ , |µ| ≤ 12
sei x ∈ [a, b] y
|f(x)− µg0(x)| ≤ |f(x)|+ |µ| |g0(x)| =
≤‖h‖∞=1︷ ︸︸ ︷|h(x)|
≥0︷ ︸︸ ︷(1− |g0(x)|
2
)
︸ ︷︷ ︸|f(x)|
+ |µ| |g0(x)|
≤ 1 − |g0(x)|(
12− |µ|
)
︸ ︷︷ ︸≥0, |µ|≤ 1
2
≤ 1
==⇒sup
‖f − µg0‖∞ ≤ 1
2. Schritt y 1 = δ(f,U) = infg∈U
‖f − g‖∞ ≤ ‖f − µg0‖∞ ≤ 1
=⇒ ‖f − µg0‖∞ = δ(f,U) = 1, |µ| ≤ 12
Bemerkung : Satz 2.40 99K Haarsche Bedingung”scharf“
Tschebyscheff-Alternanten :”Ersatz“ fur Kolmogorov-Kriterium
68 2 Approximation in speziellen Raumen
Definition 2.41 Seien f ∈ C[a, b], U ⊂ C[a, b] ein Teilraum mit dimU = n, n ∈ N, und g0 ∈ U. EinePunktfolge a ≤ t1 < t2 < · · · < tn+1 ≤ b heißt Tschebyscheff-Alternante fur f − g0, falls
(i) f(ti)− g0(ti) = −[f(ti+1)− g0(ti+1)
], i = 1, . . . , n
(ii) |f(tk)− g0(tk)| = ‖f − g0‖∞, k = 1, . . . , n+ 1
gelten.
Bemerkung : • f(tk) − g0(tk) = (−1)k ‖f − g0‖∞ ∨ f(tk) − g0(tk) = (−1)k+1 ‖f − g0‖∞,k = 1, . . . , n+ 1
• falls gilt : sgn (f(ti)− g0(ti)) = −sgn (f(ti+1)− g0(ti+1)) , i = 1, . . . , ny a ≤ t1 < t2 < · · · < tn+1 ≤ b
”Referenz“ fur f − g0, d.h. Alternante ist spezielle
Referenz
Satz 2.42 Seien U ein Haarscher Teilraum von C[a, b], dimU = n, und f ∈ C[a, b]. Zu g0 ∈ Uexistiere eine (n + 1)-punktige Alternante zu f − g0. Dann ist g0 Bestapproximation zu f in U, d.h.‖f − g0‖∞ = δ(f,U).
Be w e i s : Sei a ≤ t1 < t2 < · · · < tn+1 ≤ b Alternante zu f − g0Annahme : g0 nicht Bestapproximation, d.h. ∃ g ∈ U : ‖f − g‖∞ < ‖f − g0‖∞
=⇒ ∀ k = 1, . . . , n+ 1 : |f(tk)− g(tk)| < |f(tk)− g0(tk)|
betrachten g − g0 = (f − g0)− (f − g) ∈ U
nach Voraussetzung y |f(t1)− g0(t1)| = ‖f − g0‖∞, o.B.d.A. f(t1)− g0(t1) = ‖f − g0‖∞=⇒ g(t1)− g0(t1) = f(t1)− g0(t1)− (f(t1)− g(t1))︸ ︷︷ ︸
≤|f(t1)−g(t1)|<f(t1)−g0(t1)
> 0
analog : f(t2)− g0(t2) = − ‖f − g0‖∞ =⇒ g(t2)− g0(t2) < 0, . . .
====⇒Iteration
sgn (g(tk)− g0(tk)) = (−1)k+1 ======⇒g0, g stetig
∃ s1, . . . , sn, si ∈ (ti, ti+1) : (g − g0) (si) = 0
d.h. # y ∈ [a, b] : (g − g0)(y) = 0 ≥ n ======⇒U Haar-TR
g − g0 ≡ 0 ⇐⇒ g ≡ g0y Widerspruch zu ‖f − g‖∞ < ‖f − g0‖∞ y Annahme falsch, d.h. g0 Bestapproximation
Bemerkung : • Tschebyscheff’s Alternantensatz : seien U ein Haarscher Teilraum von C[a, b],dimU = n, der die Konstanten enthalte; dann ist g0 ∈ U genau dann Bestapproxima-tion zu f ∈ C[a, b], wenn fur f − g0 eine (n+ 1)-punktige Alternante existiert
”=⇒“ technisch aufwendiger, siehe z.B. [Mul78, Satz 2.4.2], [Lor66, Ch. 2, §7]
• dimPn = n+ 1 =⇒ p ∈ Pn Bestapproximation zu f ∈ C[a, b] ⇐⇒ f − phat (n+ 2)-punktige Alternante auf [a, b]
• dim Tn = 2n+ 1 =⇒ t ∈ Tn Bestapproximation zu f ∈ C2π(R) ⇐⇒ f − that (2n+ 2)-punktige Alternante auf [0, 2π)
2.5 Approximation in C[a, b], Der Haarsche Eindeutigkeitssatz 69
Beispiele : wenden Satz 2.42 zum qualifizierten”Raten“ einer Bestapproximation fur f ∈ C[a, b];
sei U = P1 y dimU = 2, d.h. falls wir g0 ∈ P1 finden, das 3-punktige Alternanteauf [a, b] bezuglich f−g0 hat =============⇒
Satz 2.42, Folg. 2.39(i)g0 eindeutig bestimmte Bestapproximation
(1) [a, b] = [0, π], f(x) = sinx, Vermutung : g0(x) =12
12
= supx∈[0,π]
∣∣∣∣sinx−12
∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸‖sin(·)− 1
2‖∞
= −(
sin 0− 12
)=
(sin
π
2− 1
2
)
= −(
sinπ − 12
)
12
sin x
g0
π2 π
1
0 1 2 3
=⇒ t1 = 0, t2 =π
2, t3 = π ist 3-punktige Alternante =⇒ g0 Bestapproximation
zu sinx
(2) [a, b] = [−π, π], f(x) = sinx ungerade ====⇒UA II-13
suchen ungerades g0, d.h. g0(x) = αx
Vermutung : g0(x) =23πx
23
= supx∈[0,π]
∣∣∣∣sinx−23πx
∣∣∣∣︸ ︷︷ ︸
‖sin(·)−g0‖∞=(sin−g0) (−π) = − (sin−g0)
(−π
2
)
=(sin−g0)(π
2
)= − (sin−g0) (π)
g0
sin x
1
−1
0 π−π2
π2−π
=⇒ t1 = −π, t2 = −π2, t3 =
π
2bzw. τ1 = −π
2, τ2 =
π
2, τ3 = π sind 3-punktige
Alternanten zu =⇒ g0 Bestapproximation zu sinx in P1
Bemerkung : Beispiel (2) y Alternanten nicht notwendig eindeutig
Satz 2.43 (Satz von De La Vallee-Poussin)
Seien U ⊂ [a, b] ein Haarscher Teilraum, dimU = n, f ∈ C[a, b], g0 ∈ U, und a ≤ t1 < · · · < tn+1 ≤ bbilde eine Referenz fur f − g0. Dann gilt
δ(f,U) ≥ mink=1,...,n+1
|f(tk)− g0(tk)| .
Be w e i s : Annahme : ∃ g ∈ U : ‖f − g‖∞ < mink=1,...,n+1
|f(tk)− g0(tk)|
=⇒ ∀ k = 1, . . . , n+ 1 : |f(tk)− g(tk)| < |f(tk)− g0(tk)|
betrachten g − g0 = (f − g0)− (f − g) ∈ U, o.B.d.A. f(t1)− g0(t1) > 0
=⇒ g(t1)− g0(t1) = f(t1)− g0(t1)− (f(t1)− g(t1))︸ ︷︷ ︸≤|f(t1)−g(t1)|<f(t1)−g0(t1)
> 0
70 2 Approximation in speziellen Raumen
analog : f(t2)− g0(t2) < 0 =⇒ g(t2)− g0(t2) < 0, . . .
====⇒Iteration
sgn (g(tk)− g0(tk)) = (−1)k+1 ======⇒g0, g stetig
∃ s1, . . . , sn, si ∈ (ti, ti+1) : (g − g0) (si) = 0
d.h. # y ∈ [a, b] : (g − g0)(y) = 0 ≥ n ======⇒U Haar-TR
g − g0 ≡ 0 ⇐⇒ g ≡ g0 y Widerspruch zu
‖f − g‖∞ < ‖f − g0‖∞ y Annahme falsch, d.h. ∀ g ∈ U : ‖f − g‖∞ ≥ mink=1,...,n+1
|f(tk)− g0(tk)|=⇒inf
δ(f,U) ≥ mink=1,...,n+1
|f(tk)− g0(tk)|
Bemerkung : g0 ∈ U =====⇒Satz 2.43
mink=1,...,n+1
|f(tk)− g0(tk)| ≤ δ(f,U) ≤ ‖f − g0‖∞d.h. fur min
k=1,...,n+1|f(tk)− g0(tk)| . ‖f − g0‖∞ =⇒ g0 ”
fast“ Bestapproximation
Ubung II-13 : • Ist f ∈ C[−a, a] eine (un)gerade Funktion, d.h. f(x) = −f(−x) bzw. f(x) = f(−x),und U ⊂ C[−a, a] ein Teilraum, fur den gelte : g ∈ U =⇒ g− ∈ U bzw. g+ ∈ U,g−(x) = 1
2 (g(x)− g(−x)), g+(x) = 12 (g(x) + g(−x)), x ∈ [−a, a], dann gibt es
auch eine (un)gerade Bestapproximation an f in U.
• Finden Sie alle Bestapproximationen g0 ∈ U = P1 zu f(x) =√x auf [0, 1]; geben
Sie δ(f,U) an.
• Zeigen Sie, dass fur U = Tn und f(x) = a cos(mx) + b sin(mx), a, b ∈ R, m ∈ N,m > n, die Bestapproximation gegeben ist durch g0 ≡ 0. Wie groß ist δ(f,U) ?
• Beweisen Sie folgende Aussage : Das Polynom p ∈ Pn, n ∈ N, mit an = 1, das vonf ≡ 0 die kleinste Abweichung hat, besitzt die Darstellung
p(x) =1
2n−1Tn(x), x ∈ [−1, 1],
wobei Tn(x) = cos(n arccosx) die (standardisierten) Tschebyscheff-Polynome 1. Artsind.
• Zeigen Sie die”Extremaleigenschaft der Tschebyscheff-Polynome“: fur alle p ∈ Pn gilt :
|p(x)| ≤ |Tn(x)| supt∈[−1,1]
|p(t)|, |x| > 1.
2.6 Orthogonale Polynome
Die gewichteten Raume Lp,w
Seien 1 ≤ p <∞, w : R −→ [0,∞) messbar, dann definiert man den gewichteten Lp-Raum
Lp,w(R) :=f : R −→ C : f messbar,
∫
Rw(x)|f(x)|p dx <∞
mit
‖f‖p,w :=( ∫
Rw(x)|f(x)|p dx
) 1p
, 1 ≤ p <∞
;”Pseudo-Norm“, d.h.
‖f − g‖p,w = 0 ⇐⇒ g ∼w f ⇐⇒ g(x) = f(x) f.u. in Dw := x ∈ R : w(x) > 0
y Bildung von Aquivalenzklassen, [f ]w = g : g ∼w f,
Lp,w = Lp,w/h ∈ Lp,w : ‖h‖p,w = 0 =
[f ]w :∫
Rw(x)|g(x)|p dx <∞, g ∈ [f ]w
2.6 Orthogonale Polynome 71
Es sei 0 ( Lp,w, d.h. es gelte nicht w(x) = 0 f.u. in R; oft Identifizierung f ∼ [f ]w, bzw. Lp,w ∼ Lp,w
bekannt :
• Lp,w, 1 ≤ p <∞, sind mit ‖ · ‖p,w Banach-Raume, gleichmaßig konvex fur 1 < p <∞• Holder 38-Ungleichung: 1 < p <∞, 1
p + 1p′ = 1, f ∈ Lp,w, g ∈ Lp′,w y ‖fg‖1,w ≤ ‖f‖p,w ‖g‖p′,w
• p = 2 =⇒ L2,w Hilbert-Raum mit Skalar-Produkt
〈f, g〉w =∫
R
w(x)f(x)g(x) dx,
vollstandig bezuglich ‖ · ‖2,w =√〈·, ·〉w
• Sei w ∈ Lloc1 (R), d.h. ∀(c, d) ⊂ R :
∫ d
c
w(x) dx < ∞. Dann liegen die Treppenfunktionen dicht in
Lp,w, ebenso wie die stetigen Funktionen mit kompaktem Trager (siehe z.B. [Sch71, Satz 2.10]).
Bezeichnung :
• w ≡ 1 99K Lp,w = Lp, ‖ · ‖p,w = ‖ · ‖p, . . .
• falls Dw ≈ (a, b), d.h. ∃ −∞ ≤ a < b ≤ ∞ : w(x) > 0 f.u. in (a, b), w(x) = 0, x 6∈ (a, b)99K Lp,w =: Lp,w(a, b)
Orthogonale Polynome
seien jetzt p = 2, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, betrachten alle Gewichtsfunktionen w(x), so dass P ⊂ L2,w(a, b):
(i) −∞ < a < b <∞:
b∫
a
w(x) dx <∞ ⇐⇒ P ⊂ L2,w(a, b), wobei P dicht in L2,w(a, b) ist:
f ∈ L2,w(a, b), ε > 0 =⇒s.o.∃ gε ∈ C[a, b] : ‖f − gε‖2,w <
ε
2
=====⇒Weierstraß
∃ p ∈ P : ‖gε − p‖22,w ≤ ‖gε − p‖2∞b∫
a
w(x) dx <ε2
4y ‖f − p‖2,w < ε
(ii) −∞ ≤ a < b ≤ ∞: Momentenbedingungen
b∫
a
xm w(x) dx <∞, m ∈ N0 ⇐⇒ P ⊂ L2,w(a, b),
aber i.a. ist P nicht dicht in L2,w(a, b)
konnen Aquivalenzklassenbildung vernachlassigen, denn∫
R
w(x) dx > 0 =⇒ ∀ p, q ∈ P, ‖p− q‖2,w = 0 : #ξ ∈ R : p(ξ) = q(ξ) =∞ =====⇒p, q ∈ P
p ≡ q
y in jeder Aquivalenzklasse [f ] ∈ L2,w(a, b) liegt hochstens ein Polynom, d.h. U := p ∈ P : p ∈ L2,w(a, b) ⊂L2,w(a, b) isomorph zu U = [p] : p ∈ P : [p] ∈ L2,w(a, b) ⊂ L2,w(a, b)
seien hk(x) := xk, k ∈ N0, linear unabhangig, Un := spanh0, . . . , hn = Pn, n ∈ N0, dimUn = n+ 1;man setzt zusatzlich : U−1 := 0, deg(0) = −1 (Grad des Nullpolynoms),
hn ∈ Un \Un−1, U−1 ⊆ U0 ⊆ U1 ⊆ · · · , U =⋃n
Un
38Otto Ludwig Holder (∗ 22.12.1859 Stuttgart † 29.8.1937 Leipzig)
72 2 Approximation in speziellen Raumen
bestimmen orthonormierte Basiselemente (ek)k, ek ∈ Uk \Uk−1, 〈ej , ek〉w = δjk; sei
〈hj , hk〉w =
b∫
a
w(x)xj+k dx =: µj+k, j, k ∈ N0
=⇒ Γm := g(h0, . . . , hm) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
µ0 µ1 · · · µm
µ1 µ2 · · · µm+1
.... . .
...µm µm+1 · · · µ2m
∣∣∣∣∣∣∣∣∣, m ∈ N0, Γ−1 := 1
========⇒Gram-Schmidt
em =1√
Γm−1Γm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
µ0 µ1 · · · µm−1 h0
µ1 µ2 · · · µm h1
.... . .
...µm µm+1 · · · µ2m−1 hm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣(nach letzter Spalte entwickelt), d.h.
em(x) =1√
Γm−1Γm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
µ0 µ1 · · · µm−1 1µ1 µ2 · · · µm x...
. . ....
µm µm+1 · · · µ2m−1 xm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
Entw. nachletzter Spalte
√Γm−1
Γmxm + g(x), (29)
mit g ∈ Um−1, m ∈ N; Γ−1 = 1 =⇒ e0(x) =1√Γ0
=1õ0
99K (em)m heißen normierte Orthogonalpolynome zum Gewicht w(x); gelegentlich andere Normierung (statt‖em‖w = 1) sinnvoller ; βnen, βn 6= 0, speziell :
e∗n(x) :=
√Γn
Γn−1en(x) = xn + · · · , n ∈ N0, e∗−1(x) := 0 (30)
Lemma 2.44 Seien n ∈ N0, p ∈ Pn mit p(x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a0. Dann ist 〈p, p〉w minimal
genau dann, wenn p = e∗n gilt.
Be w e i s : g := p− e∗n ∈ Un−1⊥ e∗n ======⇒p = e∗n + g
〈p, p〉w = ‖p‖2w = ‖e∗n‖2w + ‖g‖2w ≥ ‖e∗n‖2wy 〈p, p〉w minimal ⇐⇒ g = 0 ⇐⇒ p = e∗n
von wesentlichem praktischen & theoretischen Interesse :
Satz 2.45 (Rekursionsformel fur Orthogonalpolynome)Sei n ∈ N0, dann gilt
e∗n+1(x) = (x− σn)e∗n(x)− τ2ne∗n−1(x), x ∈ (a, b),
mit
σn =
b∫
a
w(x)x e2n(x) dx, n ∈ N0, und τn =
√ΓnΓn−2
Γn−1, n ∈ N, τ0 = 0 .
Be w e i s∗ : f(x) := e∗n+1(x)− x e∗n(x) =⇒ f ∈ Pn ============⇒Abschnitt 1.5, f = fn
f =n∑
k=0
〈f, ek〉w ek
〈f, ek〉w = 〈e∗n+1 − x e∗n︸ ︷︷ ︸f
, ek〉w = 〈e∗n+1, ek〉w︸ ︷︷ ︸=βn+1〈en+1,ek〉w=0, k≤n
− 〈x e∗n, ek〉w = −b∫
a
w(x) e∗n(x) x ek(x)︸ ︷︷ ︸=:gk(x)
dx
= − 〈e∗n, gk〉w, k ≤ n
2.6 Orthogonale Polynome 73
gk ∈ Uk+1 ⊥ e∗n, k + 1 ≤ n− 1 =⇒ 〈f, ek〉w = − 〈e∗n, gk〉w = 0, k ≤ n− 2 (31)
gn−1(x) = x en−1(x) =(30)
√Γn−2
Γn−1x
xn−1+···︷ ︸︸ ︷e∗n−1(x) =
√Γn−2
Γn−1xn +
∈Un−1︷ ︸︸ ︷r1(x)
=(29)
√Γn−2
Γn−1
√Γn
Γn−1
(en(x)−
∈Un−1︷︸︸︷g(x)
)
︸ ︷︷ ︸xn
+ r1(x) =
√Γn−2
Γn−1
√Γn
Γn−1︸ ︷︷ ︸τn
en(x) + r2(x)︸ ︷︷ ︸∈Un−1
y gn−1 = τn en + r2
y 〈f, en−1〉w = −〈e∗n, gn−1〉w = −τn 〈e∗n, en〉w︸ ︷︷ ︸qΓn
Γn−1, (30)
−〈e∗n, r2〉w︸ ︷︷ ︸0, r2⊥e∗n
= −τn√
Γn
Γn−1= −τ2
n
√Γn−1
Γn−2(32)
〈f, en〉w = −〈e∗n, gn〉w = −√
Γn
Γn−1
b∫
a
w(x) x e2n(x) dx
︸ ︷︷ ︸σn
= − σn
√Γn
Γn−1(33)
y f =n∑
k=0
〈f, ek〉w ek =(31)
〈f, en−1〉w en−1 + 〈f, en〉w en
=(32),(33)
−τ2n
√Γn−1
Γn−2en−1
︸ ︷︷ ︸e∗n−1
− σn
√Γn
Γn−1en
︸ ︷︷ ︸e∗n
= −τ2n e∗n−1 − σne
∗n
y e∗n+1(x) = f(x) + x e∗n(x) = (x− σn) e∗n(x) − τ2n e∗n−1(x)
Folgerung 2.46 (Rekursionsformel fur Orthonormalpolynome)Seien n ∈ N, und σn, τn wie in Satz 2.45. Dann gilt
τn+1en+1(x) = (x− σn) en(x) − τn en−1(x), x ∈ (a, b). (34)
B e w e i s : ek =(30)
√Γk−1
Γke∗k, k ∈ N0 y
τn+1en+1(x) =
√Γn+1Γn−1
Γnen+1(x) =
√Γn−1
Γne∗n+1(x)
=Satz 2.45
√Γn−1
Γne∗n(x)
︸ ︷︷ ︸en(x)
(x− σn)− τ2n
√Γn−1
Γne∗n−1(x)
= (x− σn) en(x) − ΓnΓn−2
Γ2n−1︸ ︷︷ ︸τ2
n
√Γn−1
Γn
√Γn−1
Γn−2en−1(x)
︸ ︷︷ ︸e∗n−1(x)
= (x− σn) en(x) −√
Γn Γn−2
Γn−1︸ ︷︷ ︸τn
en−1(x)
74 2 Approximation in speziellen Raumen
Satz 2.47 (Nullstellen der Orthonormalpolynome)Die Orthonormalpolynome en, n ∈ N, zum Gewicht w uber (a, b) haben n einfache reelle Nullstellen
λ(n)1 < λ
(n)2 < · · · < λ
(n)n , die alle in (a, b) liegen. Die Nullstellen von en−1, n ≥ 2, trennen die von en
scharf, d.h.λ(n)
m < λ(n−1)m < λ
(n)m+1, 1 ≤ m ≤ n− 1.
Außerdem gilt
λ(n)1 ≤ σn−1 ≤ λ(n)
n , τn−1 ≤ λ(n)n − λ(n)
1
2, n ∈ N .
Be w e i s : 1. Schritt : alle Nullstellen sind einfach
Annahme : sgn en(x) = const, x ∈ (a, b), n ∈ N, o.B.d.A. en(x) > 0, x ∈ (a, b)
===⇒n ∈ N
0 = 〈en, e0〉w =
b∫
a
w(x)︸ ︷︷ ︸>0 f.u.
en(x)︸ ︷︷ ︸>0
dx > 0 y Widerspruch =⇒ ∃ ξ1 ∈ (a, b) : en(ξ1) = 0
Annahme : ξ1 mehrfache Nullstelle =⇒ en
(· − ξ1)2 ∈ Un−2 ⊥ en
=⇒ 0 =⟨en,
en
(· − ξ1)2⟩
w
=
b∫
a
w(x)e2n(x)
(x− ξ1)2 dx =∥∥∥∥
en
(· − ξ1)
∥∥∥∥2
w
> 0 y Widerspruch
2. Schritt : alle Nullstellen liegen in (a, b), o.B.d.A. a > −∞
Annahme : λ(n)1 ≤ a, betrachten h(x) :=
e∗n(x)
x− λ(n)1
=n∏
k=2
(x− λ(n)
k
), x ∈ (a, b) y h ∈ Un−1 ⊥ e∗n
=⇒ 〈h, e∗n〉w = 0
andererseits : e∗n(x)h(x) =(x− λ(n)
1
)
︸ ︷︷ ︸>0
n∏
k=2
(x− λ(n)
k
)2
︸ ︷︷ ︸>0, x 6=λ
(n)k
> 0 fast uberall in (a, b)
=⇒ 〈h, e∗n〉w =
b∫
a
w(x) h(x) e∗n(x)︸ ︷︷ ︸>0 f.u.
dx > 0 y Widerspruch =⇒ λ(n)1 > a
analog : λ(n)n < b fur b <∞
3. Schritt : alle Nullstellen sind reell, λ(n)m < λ
(n−1)m < λ
(n)m+1, 1 ≤ m ≤ n− 1
Rekursionsformel ========⇒e0 ≡ 1, τ0 = 0
e∗1(x) = x− σ0, e∗2(x) = (x− σ1) (x− σ0)︸ ︷︷ ︸e∗1(x)
−τ21 =
∣∣∣∣x− σ0 −τ1−τ1 x− σ1
∣∣∣∣
====⇒induktiv
e∗n(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x− σ0 −τ1 0 · · · · · · 0
−τ1 x− σ1 −τ2 0 · · · ...
0 −τ2. . .
. . .. . .
...
.... . .
. . .. . . −τn−2 0
... · · · 0 −τn−2 x− σn−2 −τn−1
0 · · · · · · 0 −τn−1 x− σn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= det(x id−An)
2.6 Orthogonale Polynome 75
mit
An =
σ0 τ1 0 · · · 0
τ1 σ1 τ2. . .
...
0. . .
. . .. . . 0
.... . . τn−2 σn−2 τn−1
0 · · · 0 τn−1 σn−1
=⇒ Eigenwerte λ(n)1 ≤ λ(n)
2 ≤ · · · ≤ λ(n)n
e∗n charakteristisches Polynom zu An =⇒ e∗n(x) =n∏
k=1
(x− λ(n)
k
)
verwenden Sachverhalt aus linearer Algebra (siehe z.B. [Sch71, S. 57/58]):
sei B = (bij)ni,j=1 reelle, symmetrische n × n-Matrix mit Eigenwerten ϕ1 ≤ · · · ≤ ϕn, n ≥ 2,
Bk, k = 1, . . . , n, sei (n− 1)× (n− 1)-Matrix nach Weglassen der k-ten Zeile und k-ten Spaltevon B, mit Eigenwerten ψ1 ≤ · · · ≤ ψn−1; dann gelten
(i) ϕm ≤ ψm ≤ ϕm+1, 1 ≤ m ≤ n− 1,(ii) ϕ1 ≤ bii ≤ ϕn, i = 1, . . . , n,(iii) b2ij ≤ bii bjj , 1 ≤ i < j ≤ n, falls ϕ1 ≥ 0
setzen B = An, k = n =⇒ Bn = An−1 =⇒(i)
λ(n)m ≤ λ(n−1)
m ≤ λ(n)m+1, 1 ≤ m ≤ n− 1
Annahme : λ(n)m(+1) = λ
(n−1)m =: λ ⇐⇒ en(λ) = en−1(λ) = 0 = e∗n(λ) = e∗n−1(λ)
=====⇒Satz 2.45
e∗n−2(λ) =(λ− σn−1)
0︷ ︸︸ ︷e∗n−1(λ) −
0︷ ︸︸ ︷e∗n(λ)
τ2n−1
= 0 ====⇒Iteration
≡1︷ ︸︸ ︷e∗0(λ) = 0 y Widerspruch
4. Schritt : λ(n)1 ≤ σn−1 ≤ λ(n)
n , τn−1 ≤ λ(n)n − λ(n)
1
2, n ∈ N
e∗1(x) = x− σ0 =⇒ λ(1)1 = σ0; n ≥ 2, B = An =⇒
(ii)i = n
λ(n)1︸︷︷︸ϕ1
≤ σn−1︸ ︷︷ ︸bnn
≤ λ(n)n︸︷︷︸ϕn
B := An − λ(n)1 id =⇒ ϕ1 = 0 =⇒
(iii)i = n− 1
j = n
τ2n−1︸︷︷︸
eb2n−1,n
≤(σn−2 − λ(n)
1
)
︸ ︷︷ ︸ebn−1,n−1
(σn−1 − λ(n)
1
)
︸ ︷︷ ︸ebn,n
, n ≥ 2
B := λ(n)n id − An =⇒ ϕ1 = 0 =⇒
(iii)i = n− 1
j = n
τ2n−1︸︷︷︸
b2n−1,n
≤(λ(n)
n − σn−2
)
︸ ︷︷ ︸bn−1,n−1
(λ(n)
n − σn−1
)
︸ ︷︷ ︸bn,n
, n ≥ 2
=⇒ τ4n−1 ≤
(σn−2 − λ(n)
1
)(λ(n)
n − σn−2
)
︸ ︷︷ ︸≤
λ(n)n −λ
(n)1
2
!2
, (∗)
(σn−1 − λ(n)
1
)(λ(n)
n − σn−1
)
︸ ︷︷ ︸≤
λ(n)n −λ
(n)1
2
!2
, (∗)
≤(λ
(n)n − λ(n)
1
2
)4
wegen (∗) : 4(α− λ(n)
1
)
︸ ︷︷ ︸a
(λ(n)
n − α)
︸ ︷︷ ︸b
≤((
α− λ(n)1
)
︸ ︷︷ ︸a
+(λ(n)
n − α)
︸ ︷︷ ︸b
)2
⇐⇒ (a− b)2 ≥ 0
=⇒ τn−1 ≤ λ(n)n − λ(n)
1
2
76 2 Approximation in speziellen Raumen
Bemerkung : zur Verteilung der Nullstellen in (a, b) siehe z.B. [Sch71, Satz 3.5]
sei f ∈ H = L2,w(a, b), Un = Pn =======⇒Abschnitt 1.5
Proximum in Un eindeutig gegeben als fn =n∑
k=0
〈f, ek〉w ek,
d.h.
fn(x) =n∑
k=0
b∫
a
w(t)ek(t) f(t) dt
︸ ︷︷ ︸〈f,ek〉w
ek(x) =
b∫
a
w(t) f(t)n∑
k=0
ek(t)ek(x)
︸ ︷︷ ︸=:kn(x,t)
dt (35)
Definition 2.48 Seien (ek)k∈N0ein reelles Orthonormalsystem von Polynomen, n ∈ N. Dann heißt die
symmetrische Funktion
kn(x, t) =n∑
k=0
ek(t)ek(x), x, t ∈ (a, b),
Kern-Polynom der Ordnung n des Orthonormalsystems (ek)k∈N0.
betrachten Integraloperator Kn : L2,w(a, b) −→ Un = Pn, gegeben durch
(Knf) (x) :=
b∫
a
w(t) f(t) kn(x, t) dt = 〈f, kn(x, ·)〉w = 〈f, kn(·, x)〉w
y Knf = fn . . . orthogonale Projektion auf Un, d.h. Kng = g, g ∈ Un, bzw.
〈g, kn(x, ·)〉w = 〈g, kn(·, x)〉w = g(x), g ∈ Un = Pn, x ∈ (a, b)
99K”Reproduktions-Eigenschaft“ des Kern-Polynoms kn(x, t)
e0 ≡ 1 ∈ Un, n ∈ N0 y
1 = (Kne0) (x) =
b∫
a
w(t) kn(x, t) dt, n ∈ N0, x ∈ (a, b) (36)
Satz 2.49 (Formel von Christoffel39-Darboux40)Seien n ∈ N0, (ek)k∈N0
ein reelles Orthonormalsystem von Polynomen, und x, t ∈ (a, b) mit x 6= t.Dann gilt
kn(x, t) = τn+1en+1(x)en(t) − en+1(t)en(x)
x− t .
Be w e i s∗ : verwenden (34) : τj+1ej+1(s) = (s− σj) ej(s) − τj ej−1(s), j ∈ N
=======⇒s = x, ·ej(t)
(x− σj) ej(x)ej(t) = τj+1ej+1(x)ej(t) + τj ej−1(x)ej(t)
=======⇒s = t, ·ej(x)
(t− σj) ej(t)ej(x) = τj+1ej+1(t)ej(x) + τj ej−1(t)ej(x)
=====⇒Subtrakt.
(x− t) ej(x)ej(t) = τj+1 (ej+1(x)ej(t) − ej+1(t)ej(x))
+ τj (ej−1(x)ej(t) − ej−1(t)ej(x))
39Elwin Bruno Christoffel (∗ 10.11.1829 Monschau † 15.3.1900 Strasbourg)40Jean Gaston Darboux (∗ 14.8.1842 Nimes † 23.2.1917 Paris)
2.6 Orthogonale Polynome 77
==⇒nP
j=0
(x− t)kn(x, t) =n∑
j=0
τj+1 (ej+1(x)ej(t)− ej+1(t)ej(x)) +n∑
j=0
τj (ej−1(x)ej(t)− ej−1(t)ej(x))
=τ0 = 0
n+1∑
`=1
τ` (e`(x)e`−1(t)− e`(t)e`−1(x))−n∑
`=1
τ` (e`(x)e`−1(t)− e`(t)e`−1(x))
= τn+1 (en+1(x)en(t)− en+1(t)en(x))
kn(x, x) als stetige Erganzung fur limt→x
kn(x, t),
kn(x, x) = τn+1 limt→x
en+1(x)en(t)− en+1(t)en(t) + en+1(t)en(t)− en+1(t)en(x)x− t
= τn+1
(e′n+1(x)en(x) − en+1(x)e′n(x)
)=
n∑
k=0
(ek(x))2
kn(x, x) ≥ e20(x) > 0, τn+1 > 0 =⇒ e′n+1(x)en(x) − en+1(x)e′n(x) > 0, n ∈ N0 (∗)
y ∀ x ∈ (a, b) : en(x) = 0 =⇒ en+1(x) 6= 0 (keine gemeinsame Nullstelle)
& e′n(x) 6= 0 (nur einfache Nullstellen)
e′n(x) = 0 =⇒ e′n+1(x) 6= 0 (keine gemeinsame Extremstelle)
außerdem : (∗) y(en+1(x)en(x)
)′> 0, x 6= λ
(n)k ====⇒
UA II-14Nullstellen von en+1 und en trennen einander scharf
Anwendung der Formel von Christoffel-Darboux auf punktweise Konvergenz
seien f ∈ L2,w(a, b), n ∈ N0, x ∈ (a, b)
=====⇒(35), (36)
f(x)− fn(x) =
b∫
a
w(t) (f(x)− f(t)) kn(x, t) dt
=Satz 2.49
b∫
a
w(t)f(x)− f(t)
x− t︸ ︷︷ ︸=:hx(t)
τn+1 (en+1(x)en(t) − en+1(t)en(x)) dt (37)
Satz 2.50 Seien w eine Gewichtsfunktion uber dem endlichen Intervall (a, b), x ∈ (a, b), hx ∈ L2,w(a, b),und (ek)k∈N0
ein reelles Orthonormalsystem von Polynomen, fur das (ek(x))k∈N0gleichmaßig beschrankt
ist. Dann gilt limn→∞
fn(x) = f(x).
Be w e i s : aus (37) folgt mit hx(t) :=
f(x)− f(t)
x− t , x 6= t
0, x = t
78 2 Approximation in speziellen Raumen
|f(x)− fn(x)| ≤ τn+1
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
w(t) hx(t) (en+1(x)en(t) − en+1(t)en(x)) dt
∣∣∣∣∣∣
≤ τn+1
(|en+1(x)|
∣∣∣b∫
a
w(t) hx(t) en(t) dt
︸ ︷︷ ︸〈hx,en〉w
∣∣∣ + |en(x)|∣∣∣
b∫
a
w(t) hx(t) en+1(t) dt
︸ ︷︷ ︸〈hx,en+1〉w
∣∣∣)
= τn+1 (|en+1(x)| |〈hx, en〉w|+ |en(x)| |〈hx, en+1〉w|)
≤ τn+1
√e2n+1(x) + e2n(x)
√|〈hx, en〉w|2 + |〈hx, en+1〉w|2︸ ︷︷ ︸≤
∞X
k=n
|〈hx, ek〉w|2 ≤ δ2(hx, Un−1)
≤ τn+1
√e2n+1(x) + e2n(x)
︸ ︷︷ ︸≤ c, Vor.
δ(hx,Un−1) ≤ c τn+1 δ(hx,Un−1)
(a, b) endlich
=====⇒Satz 2.47
τn+1 ≤λ
(n+2)n+2 − λ(n+2)
1
2≤ b− a
2
=⇒ P = U dicht in L2,w(a, b) ======⇒hx ∈ L2,w
δ(hx,Un−1) −−−−→n→∞
0
y lim
n→∞|fn(x)− f(x)| = 0
Bemerkung : falls z.B. f ′(x) existiert =⇒ hx ∈ L2,w(a, b)
Ubung II-14 : • Beweisen Sie, dass die Polynome hk(x) = xk, k ∈ N0, auf [−1, 1] bezuglich keinerGewichtsfunktion w orthogonal sein konnen.
• Seien w eine Gewichtsfunktion mit w(x) = w(−x) auf [−1, 1], und pn orthogonalePolynome bezuglich 〈·, ·〉w auf [−1, 1]. Dann gilt pn(−x) = (−1)npn(x), x ∈ [−1, 1].
• Zeigen Sie, dass aus
(en+1(x)en(x)
)′> 0, x 6∈
λ
(n)1 , . . . , λ
(n)1
, fur die Nullstellen von
en+1 und en folgt : λ(n+1)m < λ
(n)m < λ
(n+1)m+1 , 1 ≤ m ≤ n.
Klassische Orthogonalpolynome – zwei Spezialfalle
Gewichtsfunktion w(x) ≥ 0 auf R gegeben, betrachten mit jeweils einem”klassischen“ Beispiel : w 6≡ 0
auf endlichem Intervall (Tschebyscheff-Polynome 1. Art) bzw. w 6≡ 0 auf unendlichem Intervall (Laguerre-Polynome)
1. Fall : Orthogonal-Polynome zu einer Gewichtsfunktion auf einem endlichem Intervall
(a, b) = (−1, 1), wα,β(x) = (1− x)α (1 + x)β , α > −1, β > −1 ==========⇒Orthogonalisierung
P(α,β)n Jacobi-Polynome
Beispiele : α = β = 0 : Legendre-Polynomeα = β = − 1
2 : Tschebyscheff-Polynome 1. Artα = β = 1
2 : Tschebyscheff-Polynome 2. Art
α = β : ultraspharische Polynome
2.6 Orthogonale Polynome 79
hier nur Auflistung einiger wesentlicher Eigenschaften, dann als konkretes Beispiel : Tschebyscheff-Polynome1. Art (mit Beweisen)
(0) wα,β(x) = (1− x)α (1 + x)β , α > −1, β > −1, x ∈ (−1, 1)
(1) Rodrigues41-Formel : P (α,β)n (x) =
(−1)n
2n n!1
(1− x)α (1 + x)β
dn
dxn
((1− x)α+n (1 + x)β+n
), |x| < 1
explizite Darstellung : P (α,β)n (x) =
n∑
k=0
(α+ n
k
)(β + n
n− k)(
x− 12
)n−k (x+ 1
2
)k
=⇒ P (α,β)n (1) =
(α+ n
n
)=
Γ(α+ n+ 1)Γ(n+ 1)Γ(α+ 1)
, P (α,β)n (−1) = (−1)n
(β + n
n
)
(2) Normierung :∥∥∥P (α,β)
n
∥∥∥2
2,w=
⟨P (α,β)
n , P (α,β)n
⟩w
=
1∫
−1
wα,β(x)(P (α,β)
n (x))2
dx
= 2α+β+1 Γ(α+ n+ 1) Γ(β + n+ 1)Γ(α+ β + 2n+ 2)
(α+ β + 2n
n
)
Hauptkoeffizient : an(α, β) =12n
(α+ β + 2n
n
)
(3) Differentialgleichung : P(α,β)n (x) losen Differentialgleichung
(1− x2
)y′′ + ((β − α)− (α+ β + 2)x) y′ + n(n+ α+ β + 1)y = 0
Bemerkung : weitere Eigenschaften & Beweise dazu siehe z.B. [Sch71, Abschnitt 3.4], [Dav75, Sect. 10.3]
Ubung II-15 : Im Spezialfall α = β = 0, d.h. w(x) ≡ 1, x ∈ (−1, 1), bezeichnet man die Jacobi-Polynome
als Legendre-Polynome, P(0,0)n (x) =: Pn(x). Leiten Sie aus der zugehorigen Rodrigues-Formel
Pn(x) =1
2n n!dn
dxn
((x2 − 1
)n)
folgende Eigenschaften her bzw. verifizieren Sie diese :
(a) explizite Darstellung : Pn(x) =12n
[n2 ]∑
m=0
(−1)m
(n
m
)(2n− 2m
n
)xn−2m, Pn(1) = 1
(Hierbei ist [a] = max r ∈ Z : r ≤ a.)
(b) Rekursionsformel : (n+ 1)Pn+1(x) = (2n+ 1)xPn(x)− nPn−1(x)
(c) Normierung : ‖Pn‖22 =
1∫
−1
P 2n(x) dx =
22n+ 1
, Hauptkoeffizient : an =12n
(2nn
)
(d) y = Pn(x) lost die Differentialgleichung :(1− x2
)y′′ − 2xy′ + n(n+ 1)y = 0
41Benjamin Olinde Rodrigues (∗ 16.10.1794 Bordeaux † 17.12.1851 Paris)
80 2 Approximation in speziellen Raumen
Tschebyscheff-Polynome 1. Art
Orthogonalpolynome zum Gewicht w(x) =
1√1− x2
, x ∈ (−1, 1)
0 , sonst
; Standardisierung : Tn(1) = 1
Satz 2.51 (Eigenschaften der Tschebyscheff-Polynome 1. Art)
Seien n ∈ N0, x ∈ (−1, 1).
(i) Normierung : 〈Tn, Tm〉w =
0 , n 6= mπ , n = m = 0π2 , n = m ∈ N
; Hauptkoeffizient : an = 2n−1, n ∈ N
(ii) Rekursionsformel : T0(x) = 1, T1(x) = x, Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x), n ∈ N(iii) trigonometrische Darstellung : Tn(x) = cos (n arccosx) , x ∈ [−1, 1]
(iv) Nullstellen : Tn hat einfache reelle Nullstellen in λ(n)k = cos
((2k + 1)π
2n
), k = 0, . . . , n− 1
(v) Alternante : Tn alterniert in ξk = cos(kπ
n
), d.h. Tn (ξk) = (−1)k, k = 0, . . . , n
(vi) Differentialgleichung : y = Tn(x) ist Losung von(1− x2
)y′′ − xy′ + n2y = 0
Be w e i s : aus der Rodrigues-Formel fur Tn (unter Berucksichtigung der Standardisierung)
Tn(x) = (−1)n
√π√
1− x2
2n Γ(n+ 1
2
) dn
dxn
((1− x2
)n− 12)
kann man ableiten
Tn(x) =n
2
[n2 ]∑
k=0
(−1)k (n− k − 1)!k! (n− 2k)!
(2x)n−2k, n ∈ N, σn = 0, τ2
1 =12, τ2
n =14, n ≥ 2 (38)
==⇒(38)
an =n
2(n− 1)!n!
2n = 2n−1 y T ∗n = 21−n Tn
zu (ii) ========⇒Satz 2.45, (38)
T ∗n+1(x)︸ ︷︷ ︸2−n Tn+1(x)
= (x− σn︸︷︷︸0
) T ∗n(x)︸ ︷︷ ︸21−nTn(x)
− τ2n︸︷︷︸14
T ∗n−1(x)︸ ︷︷ ︸22−n
==⇒·2n
Tn+1(x) = 2x Tn(x) − Tn−1(x)
zu (iii) trigonometrische Darstellung : z.z. : Tn(cosϕ) = cos(nϕ)
Induktion y n = 0, n = 1 X; mittels (ii) jetzt
Tn+1(cosϕ) =(ii)
2 cosϕ Tn(cosϕ)︸ ︷︷ ︸cos(nϕ), I.V.
− Tn−1(cosϕ)︸ ︷︷ ︸cos((n−1)ϕ), I.V.
= 2 cosϕ cos(nϕ)︸ ︷︷ ︸cos((n+1)ϕ)+cos((n−1)ϕ)
− cos((n− 1)ϕ) = cos((n+ 1)ϕ)
y Tn(x) = cos (n arccosx), x ∈ [−1, 1]
zu (iv) Tn(λ) = 0 ⇐⇒ n arccosλ =π
2+ kπ, k ∈ Z ⇐⇒ λ = cos
((2k + 1)π
2n
), k ∈ Z
===⇒Period.
λ(n)k = cos
((2k + 1)π
2n
), k = 0, . . . , n− 1
2.6 Orthogonale Polynome 81
zu (v) Tn
(cos
(kπ
n
))=(iii)
cos (kπ) = (−1)k, k ∈ Z
zu (i) noch zu berechnen : 〈Tm, Tn〉w
〈Tm, Tn〉w =
1∫
−1
1√1− x2
Tn(x)Tm(x) dx =x = cos ϕ
π∫
0
cos(nϕ) cos(mϕ)︸ ︷︷ ︸12 (cos((n+m)ϕ)+cos((n−m)ϕ))
dϕ
=
12
(sin(n+m)ϕ
n+m+
sin(n−m)ϕn−m
)∣∣∣∣π
0
= 0 , n 6= m
π∫
0
dϕ = π , n = m = 0
π∫
0
1 + cos(2nϕ)2
dϕ =π
2, n = m ∈ N
zu (vi) . . . nachrechnen mit Darstellung (38) oder (iii)
Bemerkung : (i) y ‖T0‖2,w =√π, ‖Tn‖2,w =
√π
2, n ∈ N, d.h. zugehoriges Orthonormalsystem ist
(ek)k∈N0mit e0(x) =
1√π, en(x) =
√2πTn(x), x ∈ [−1, 1]
(iii) y |Tn(x)| ≤ 1 =⇒ |en(x)| ≤√
2π
, n ∈ N, x ∈ [−1, 1] 99K Satz 2.50
2. Fall : Orthogonal-Polynome zu einer Gewichtsfunktion auf einem unendlichem Intervall
(a, b) = (0,∞), wα(x) =xα e−x , x > 00 , x ≤ 0
, α > −1 ==========⇒
OrthogonalisierungL
(α)n Laguerre-Polynome
Momentenbedingung :
µk =
∞∫
0
w(x)xk dx =
∞∫
0
x(k+α+1)−1 e−x dx = Γ(k + α+ 1), k ∈ N0
existiert fur k + α+ 1 > 0 ====⇒k ∈ N0
α > −1
Bemerkung : weiteres Beispiel klassischer Orthogonalpolynome uber unendlichem Intervall : Hermite-
Polynome, w(x) = e−x2, x ∈ R ==========⇒
OrthogonalisierungHn
y kann man auch als Spezialfall der Laguerre-Polynome auffassen, fur n ∈ N0, x ∈ R,
H2n(x) = (−1)n 22n n! L(− 12 )
n (x2), H2n+1(x) = (−1)n 22n+1 n! x L( 12 )
n (x2)
82 2 Approximation in speziellen Raumen
Satz 2.52 (Eigenschaften der Laguerre-Polynome)
Seien n ∈ N0, x ∈ (0,∞).
(i) Normierung :⟨L(α)
n , L(α)m
⟩w
=
0 , n 6= m
Γ(α+ n+ 1)n!
, n = m ∈ N0
Hauptkoeffizient : an =(−1)n
n!, n ∈ N
(ii) Rekursionsformel : L(α)0 (x) = 1, L
(α)1 (x) = −x+ 1 + α,
(n+ 1)L(α)n+1(x) = [(2n+ 1 + α)− x]L(α)
n (x)− (n+ α)L(α)n−1(x), n ∈ N
(iii) Differentialgleichung : y = L(α)n (x) ist Losung von x y′′ + (α+ 1− x)y′ + ny = 0
Be w e i s∗ : Rodrigues-Darstellung : L(α)n (x) =
1n!
ex x−α dn
dxn
(e−xxα+n
)
=⇒ L(α)n (x) =
n∑
k=0
(α+ n
n− k)
(−x)k
k!=⇒ L(α)
n (0) =(α+ n
n
), an =
(−1)n
n!
man kann zeigen : σn(α) = 2n+ 1 + α, τ2n(α) = n(n+ α) =====⇒
Satz 2.45· · · (ii), . . .
Bemerkung : aus Rodrigues-Darstellung fur L(α)n folgt
ddx
(wα+1(x)L
(α+1)n−1 (x)
)=
1(n− 1)!
ddx
(dn−1
dxn−1
(e−xxα+n
))=
n
n!dn
dxn
(e−xxα+n
)
= n wα(x) L(α)n (x) (39)
zur Erinnerung : haben L2,w(a, b) betrachtet, so dass P ⊂ L2,w(a, b) gilt (y Momentenbedingung furunendliche Intervalle (a, b)), aber i.a. gilt fur unendliche Intervalle (a, b) nicht : P dicht in L2,w(a, b)
Satz 2.53 Sei wα(x) = xα e−x, x ∈ (0,∞), α > −1. Die Menge der Polynome P liegt dicht im RaumL2,wα(0,∞).
Be w e i s : verwenden : stetige Funktionen mit kompaktem Trager dicht in L2,w(a, b) (siehe z.B. [Sch71,Satz 2.10]) 99K ausreichend, solche Funktionen durch P zu approximieren in L2,wα(0,∞)
sei f ∈ C(0,∞), supp f ⊂ (0, r), r > 0 y h(x) :=f(− lnx) , e−r ≤ x ≤ 1
0 , 0 ≤ x ≤ e−r
∈ C[0, 1]
2.6 Orthogonale Polynome 83
sei ε > 0 ====⇒Satz 2.1
∃ p ∈ P, p(x) =m∑
k=0
akxk ∀ x ∈ [0, 1] : |h(x)− p(x)| < ε
=====⇒x = e−y
∃ a0, . . . , am ∈ R ∀ y ≥ 0 :∣∣∣ f(y)
︸︷︷︸h(x)
−m∑
k=0
ake−yk
︸ ︷︷ ︸p(x)
∣∣∣ < ε
=⇒∞∫
0
yαe−y
︸ ︷︷ ︸wα(y)
(f(y)−
m∑
k=0
ake−yk
)2
dy < ε2 Γ(α+ 1)
=======⇒gk(y) := e−ky
∞∫
0
wα(y)(f(y)−
m∑
k=0
akgk(y))2
dy
︸ ︷︷ ︸‚‚‚‚f−mP
k=0akgk
‚‚‚‚2
2,wα
< ε2 Γ(α+ 1)
=⇒ span gm, m ∈ N0 dicht in L2,wα(0,∞)
verwenden Satz 1.21 mit H = L2,wα(0,∞), en =
√n!
Γ(α+ n+ 1)L(α)
n , n ∈ N0, T = gm, m ∈ N0 ⊆ H
y g.z.z. : ‖gk‖22,wα=
∞∑n=0
|〈gk, en〉wα |2, k ∈ N0 (40)
k = 0 : g0(y) ≡ 1 ≡ L(α)0 (y) =⇒ g0 =
√Γ(α+ 1) e0 =⇒ 〈g0, en〉wα = 0, n ∈ N y (40)
k ∈ N : ‖gk‖22,wα=
∞∫
0
e−yyα e−2ky︸ ︷︷ ︸g2
k(y)
dy =
∞∫
0
e−(1+2k)y yα dy =Γ(α+ 1)
(2k + 1)α+1(41)
〈gk, en〉wα =
√n!
Γ(α+ n+ 1)
∞∫
0
1n
ddy
“wα+1(y)L
(α+1)n−1 (y)
”, (39)
︷ ︸︸ ︷e−yyαL(α)
n (y) e−ky︸︷︷︸gk(y)
dy
=part. Int.
√n!
Γ(α+ n+ 1)
(1nwα+1(y)L
(α+1)n−1 (y)e−ky
∣∣∣∣∞
0︸ ︷︷ ︸0
+k
n
∞∫
0
e−yyα+1L(α+1)n−1 (y) e−ky dy
)
=Iteration
√n!
Γ(α+ n+ 1)kn
n!
∞∫
0
e−(k+1)yyα+n L(α+n)0 (y)︸ ︷︷ ︸
1
dy
=
√n!
Γ(α+ n+ 1)kn
n!Γ(α+ n+ 1)(k + 1)α+n+1
=kn
(k + 1)α+n+1
√Γ(α+ n+ 1)
n!
Γ(α+ n+ 1) = (α+ n)Γ(α+ n) = · · · = (α+ n) · · · (α+ 1) Γ(α+ 1) y
∞∑n=0
〈gk, en〉2wα=
∞∑n=0
k2n
(k + 1)2α+2n+2
Γ(α+ n+ 1)n!
=Γ(α+ 1)
(k + 1)2α+2
∞∑n=0
(k
k + 1
)2n (α+ n) · · · (α+ 1)n!
=q =
“k
k+1
”2
Γ(α+ 1)(k + 1)2α+2
∞∑n=0
qn (α+ n) · · · (α+ 1)n!
84 2 Approximation in speziellen Raumen
entwickeln ϕ(x) =1
(1− x)1+αin Taylorreihe um x0 = 0 =⇒ ϕ(n)(0) = (1 + α) · · · (n+ α) y
1(1− x)1+α
= ϕ(x) =∞∑
n=0
ϕ(n)(0)n!
xn =∞∑
n=0
(α+ n) · · · (α+ 1)n!
xn, |x| < 1
======⇒x = q < 1
∞∑n=0
〈gk, en〉2wα=
Γ(α+ 1)(k + 1)2α+2
∞∑n=0
qn (α+ n) · · · (α+ 1)n!
︸ ︷︷ ︸“1− k2
(k+1)2
”−1−α=“
(k+1)22k+1
”α+1
=Γ(α+ 1)
(2k + 1)α+1=
(41)‖gk‖22,wα
Bemerkung : • analoge Aussage zu Satz 2.53 gilt auch fur L2,wH(R) mit wH(x) = e−x2
(Hermite-Polynome)
• Fur beliebige Gewichte v(x) auf (0,∞), die alle Momentenbedingungen
µk =
∞∫
0
v(x)xk dx, k ∈ N0,
erfullen, gilt Analogon zu Satz 2.53 aber i.a. nicht !
Gegenbeispiel : sei v(x) := e− ln2 x, x ∈ (0,∞)
y µk =
ek+2∫
0
e− ln2 x︸ ︷︷ ︸≤1
xk dx +
∞∫
ek+2
e− ln2 x︸ ︷︷ ︸≤x−(k+2)
xk dx ≤ ck +
∞∫
ek+2
dxx2≤ Ck <∞, k ∈ N0
betrachten f(x) = sin(4π lnx) =⇒ f beschrankt, messbar, f ∈ L2,v(0,∞)
seien hn(x) = xn, n ∈ N0; Beh. : 〈f, hn〉v = 0, n ∈ N0
〈f, hn〉v =
∞∫
0
e− ln2 x sin(4π lnx)xn dx =ln x = u + n+1
2
e(n+1)2
4
∞∫
−∞e−u2
sin(4πu)︸ ︷︷ ︸ungerade
du = 0
y∞∑
n=0
〈f, hn〉2v = 0 6= ‖f‖22,v
=====⇒Satz 1.21
span hn, n ∈ N0︸ ︷︷ ︸P
nicht dicht in L2,v(0,∞)
2.7 Hilbertraume mit reproduzierendem Kern
‘reproducing kernel Hilbert spaces’, (siehe z.B. [Aro50])
Seien S ⊂ Cn, F = f : S −→ C Funktionen auf S, H ⊂ F ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt 〈·, ·〉 ,vollstandig bezuglich ‖f‖ =
√〈f, f〉, H = f ∈ F : 〈f, f〉 <∞
2.7 Hilbertraume mit reproduzierendem Kern 85
Definition 2.54 Eine Funktion K : S × S −→ C heißt reproduzierender Kern fur H, falls folgendeBedingungen erfullt sind :
(i) Fur jedes y ∈ S gilt : K(·, y) ∈ H.
(ii) Fur jedes f ∈ H und jedes y ∈ S gilt die Reproduktionseigenschaft
f(y) = 〈f,K(·, y)〉 .
Beispiel : Seien S = (a, b) ⊂ R, H = Pn ⊂ L2,w(a, b) mit Orthonormalsystem (ek)nk=0, d.h.
〈ej , ek〉w = δjk, und kn(x, t) Kern-Polynom der Ordnung n d.h.
kn(x, t) =n∑
k=0
ek(t)ek(x), x, t ∈ (a, b)
sei g ∈ Pn y g =n∑
j=0
〈g, ej〉w ej
y 〈g, kn(x, ·)〉w =
b∫
a
g(t)kn(x, t)w(t) dt =n∑
j=0
n∑
k=0
〈g, ej〉w ek(x)
〈ej ,ek〉w=δjk︷ ︸︸ ︷b∫
a
ej(t)ek(t)w(t) dt
=n∑
j=0
〈g, ej〉w ej(x) = g(x) = 〈g, kn(·, x)〉w , g ∈ Pn, x ∈ (a, b)
y kn(·, ·) ist reproduzierender Kern bezuglich H
Satz 2.55 (Aronszajn42-Bergman43)H besitzt einen reproduzierenden Kern genau dann, wenn fur jedes feste y ∈ S das lineare Funktional
Ly(f) = f(y)
beschrankt ist, d.h. es existiert ein cy > 0, so dass fur alle f ∈ H gilt
|Ly(f)| ≤ cy ‖f‖ . (42)
B e w e i s :”=⇒“ : sei y ∈ S =====⇒
Def. 2.54Ly(f) = f(y) = 〈f,K(·, y)〉
y |Ly(f)|2 = |〈f,K(·, y)〉|2 ≤ ‖f‖2 〈K(·, y),K(·, y)〉︸ ︷︷ ︸K(·,y)|
y=K(y,y)
= ‖f‖2K(y, y) ========⇒c2y := K(y, y)
(42)
”⇐=“ : sei (42) fur alle y ∈ S erfullt y 44 ∃ gy ∈ H : f(y) = Ly(f) = 〈f, gy〉
K(·, y) := gy, d.h. K(x, y) := gy(x), x ∈ S =⇒ K(·, ·) ist reproduzierender Kern fur H
42Nachman Aronszajn (∗ 1907 † 1980 )43Stefan Bergman (∗ 5.5.1895 Czestochowa / Polen † 6.6.1977 Palo Alto / USA)44Satz von Frechet45-Riesz46 : L ∈ L(H) =⇒ ∃ ! h0 ∈ H ∀ h ∈ H : L(h) = 〈h, h0〉, ‖L‖ = ‖h0‖45Maurice Rene Frechet (∗ 2.9.1878 Maligny/Frankreich † 4.6.1973 Paris)46Frigyes (Frederic) Riesz (∗ 22.1.1880 Gyor † 28.2.1956 Budapest)
86 2 Approximation in speziellen Raumen
Beispiel : S = (a, b), H = Pn ⊂ L2,w(a, b) mit reproduzierendem Kern kn(x, t), x, t ∈ (a, b)
f ∈ H, x0 ∈ (a, b) =⇒ f(x0) =n∑
k=0
〈f, ek〉wek(x0)
y |Lx0f | = |f(x0)| ≤n∑
k=0
|〈f, ek〉w| |ek(x0)| ≤Holder
(n∑
k=0
|〈f, ek〉w|2) 1
2
︸ ︷︷ ︸≤‖f‖, Bessel-Ungl.
(n∑
k=0
e2k(x0)
) 12
︸ ︷︷ ︸=:cx0
≤ cx0 ‖f‖
Satz 2.56 H besitze einen reproduzierenden Kern.
(i) Dieser Kern ist eindeutig.
(ii) Fur alle ξ1, . . . , ξn ∈ C und y1, . . . , yn ∈ S gilt
n∑
k,j=1
K(yk, yj) ξj ξk ≥ 0, (43)
insbesondere also K(x, y) = K(y, x), K(x, x) ≥ 0, |K(x, y)|2 ≤ K(x, x)K(y, y), x, y ∈ S.
(iii) Aus limn→∞
‖f − fn‖ = 0 folgt limn→∞
fn(x) = f(x) fur alle x ∈ S.
Diese Konvergenz gilt gleichmaßig fur jede Menge S′ ⊂ S, auf der K(x, x) beschrankt ist.
(iv) Sei (ek)k∈N0ein vollstandiges Orthonormalsystem in H. Dann konvergiert die Fourier-Entwicklung
einer Funktion f ∈ H,∞∑
k=0
〈f, ek〉 ek
punktweise gegen f und gleichmaßig auf allen S′ ⊂ S, auf denen K(x, x) beschrankt ist.
Be w e i s : zu (i) : seien K(x, y), J(x, y) reproduzierende Kerne fur H, sei y ∈ S y
‖K(·, y)− J(·, y)‖2 = 〈K(·, y)− J(·, y),K(·, y)− J(·, y)〉= 〈K(·, y)− J(·, y),K(·, y)〉︸ ︷︷ ︸
K(·,y)−J(·,y)|y=K(y,y)−J(y,y)
− 〈K(·, y)− J(·, y), J(·, y)〉︸ ︷︷ ︸K(·,y)−J(·,y)|
y=K(y,y)−J(y,y)
= 0
=⇒ K(·, y) = J(·, y) fur jedes feste y ∈ S =⇒ K(·, ·) ≡ J(·, ·)
zu (ii) :n∑
k,j=1
K(yk, yj) ξj ξk =n∑
k,j=1
〈K(·, yj),K(·, yk)〉︸ ︷︷ ︸K(yk,yj)
ξj ξk =
⟨n∑
j=1
K(·, yj)ξj ,n∑
k=1
K(·, yk)ξk
⟩
=∥∥∥∥
n∑
k=1
K(·, yk)ξk
∥∥∥∥2
≥ 0
n = 1, ξ = 1 y K(x, x) ≥ 0, K(x, y) = 〈K(·, y),K(·, x)〉︸ ︷︷ ︸K(·,y)|
x=K(x,y)
= 〈K(·, x),K(·, y)〉︸ ︷︷ ︸K(·,x)|
y=K(y,x)
= K(y, x)
o.B.d.A. K(x, y) 6= 0, verwenden (43) mit n = 2, y1 = x, y2 = y, ξ1 = −1, ξ2 = λ, falls K(x, x) > 0 y47
0 ≤ K(x, x)− λK(x, y)− λK(y, x) + |λ|2K(y, y)
=λ =
K(x,x)K(x,y)
K(x, x)−K(x, x)−K(x, x) +K(x, x)2K(y, y)|K(x, y)|2 =
≥0︷ ︸︸ ︷K(x, x)|K(x, y)|2
(K(x, x)K(y, y)− |K(x, y)|2)︸ ︷︷ ︸
y · ≥ 0
2.7 Hilbertraume mit reproduzierendem Kern 87
zu (iii) : sei x ∈ S y
|f(x)− fn(x)|2 = |〈f − fn,K(·, x)〉|2 ≤ ‖f − fn‖2 〈K(·, x),K(·, x)〉︸ ︷︷ ︸K(·,x)|
x=K(x,x)
= ‖f − fn‖2 K(x, x) −−−−→n→∞
0
K(x, x) ≤M , x ∈ S′ =⇒ |f(x)− fn(x)|2 ≤ M ‖f − fn‖2 gleichmaßig auf S′
zu (iv) : Folge aus (iii) und der generellen Aussage∥∥∥f −
m∑
k=0
〈f, ek〉 ek
∥∥∥ −−−−→m→∞
0
Satz 2.57 H besitze einen reproduzierenden Kern K(·, ·), L ∈ L(H) sei ein beschranktes linearesFunktional auf H. Dann ist
h := LxK(x, ·) ∈ H, d.h. h(y) = LxK(x, y), y ∈ S,
und es gelten L(f) = 〈f, h〉 fur alle f ∈ H, und ‖L‖2 = LyLxK(x, y) .
Be w e i s : LxK(x, y) bedeutet : sei y ∈ S fest, gy := K(·, y) y LxK(x, y) = Lgy, x ∈ SL ∈ L(H) =⇒
Satz von Frechet-Riesz48∃ h ∈ H ∀ f ∈ H : L(f) = 〈f, h〉, ‖L‖ = ‖h‖
=⇒ LxK(x, y) = Lgy = 〈gy, h〉 = 〈h, gy〉 = 〈h,K(·, y)〉︸ ︷︷ ︸h(y)
= h(y)
y ‖L‖2 = ‖h‖2 = 〈h, h〉 = Lh = Ly
LxK(x,y)︷︸︸︷h(y) = LyLxK(x, y)
Satz 2.58 H besitze einen reproduzierenden Kern K(·, ·), und hnn sei ein vollstandiges Orthonormal-system in H. Dann gilt
K(x, y) =∞∑
n=1
hn(x) hn(y) , x, y ∈ S.
Fur jede Folge (αn)n ∈ `2 gilt∞∑
n=1
|αn| |hn(x)| ≤√K(x, x)
( ∞∑n=1
|αn|2) 1
2
, x ∈ S.
Be w e i s : y ∈ S =⇒ K(·, y) ∈ H =⇒ K(·, y) =∞∑
n=1
〈K(·, y), hn〉︸ ︷︷ ︸〈hn,K(·,y)〉 = hn(y)
hn =∞∑
n=1
hn(y) hn
y K(x, y) =∞∑
n=1
hn(x) hn(y), x, y ∈ S
=⇒49
∞∑n=1
|hn(x)|2 ≤ ‖K(x, x)‖2 = 〈K(x, x),K(x, x)〉︸ ︷︷ ︸K(·,x)|
x=K(x,x)
= K(x, x), x ∈ S
y∞∑
n=1
|αn| |hn(x)| ≤( ∞∑
n=1
|αn|2) 1
2( ∞∑
n=1
|hn(x)|2) 1
2
︸ ︷︷ ︸≤√
K(x,x)
≤√K(x, x)
( ∞∑n=1
|αn|2) 1
2
, x ∈ S
47K(x, x) = 0 : fur K(y, y) > 0 99K analog (x ↔ y); fur K(y, y) = 0 99K λ = ±1,±i y <e K(x, y) = =m K(x, y) = 048siehe 44, S. 8549Bessel-Ungleichung, S. 24
88 2 Approximation in speziellen Raumen
Beispiel : Sei G ⊂ C ein Gebiet50, speziell : G = z ∈ C : |z| < 1, und
A2(G) :=f : G ⊂ C −→ C : f analytisch51 in G,
∫∫
G
|f(x+ iy)|2 dxdy <∞
A2(G) heißt Bergman - Raum, mit 〈·, ·〉A Hilbert-Raum, vollstandig bezuglich ‖ · ‖A,
〈f, g〉A =∫∫
G
f(x+ iy)g(x+ iy) dxdy, ‖f‖A =( ∫∫
G
|f(x+ iy)|2 dxdy) 1
2
A2(G) ist abgeschlossener Teilraum von L2(G) (siehe z.B. [Yos78, Prop. I.9.3, S. 53])
seien z0 ∈ G, 0 < r < dist (z0, ∂G) = 1− |z0|, f ∈ A2(G)
=⇒ f(z) =∞∑
n=0
an(z − z0)n, |z − z0| ≤ r
y ‖f‖2A ≥∫∫
|z−z0|≤r
|f(x+ iy︸ ︷︷ ︸z
)|2 dx dy =
r∫
0
2π∫
0
∞∑n=0
an%neinϕ
︸ ︷︷ ︸f(%eiϕ+z0)
∞∑
k=0
ak %ke−ikϕ
︸ ︷︷ ︸f(%eiϕ+z0)
% dϕ d%
= 2π∞∑
n=0
|an|2r∫
0
%2n+1 d% = 2π∞∑
n=0
|an|2 r2n+2
2n+ 2≥ 2π |a0|2︸︷︷︸
|f(z0)|2
r2
2= π r2 |f(z0)|2
y |f(z0)| ≤ 1√π r
‖f‖A
betrachten Lz0(f) := f(z0), z0 ∈ G, f ∈ A2(G) y Lz0 ∈ L (A2(G)) , |Lz0(f)| ≤ 1√π r︸ ︷︷ ︸
cz0
‖f‖A
=====⇒Satz 2.55
A2(G) besitzt einen reproduzierenden Kern KA(z, w)
=====⇒Def. 2.54
f(w) = 〈f,KA(·, w)〉A =∫∫
G
f(z)KA(z, w) dxdy =Satz 2.56(ii)
∫∫
G
f(z)KA(w, z) dxdy
mit z = x+ iy
hA
n
n
mit hAn (z) =
√n+ 1π
zn, n ∈ N0, vollstandiges Orthonormalsystem in A2(G):
〈hAk , h
An 〉A =
√(n+ 1)(k + 1)
π
∫∫
G
zn zk dx dy
=
√(n+ 1)(k + 1)
π
1∫
0
rn+k+1
2π∫
0
ei(n−k)ϕ dϕ
︸ ︷︷ ︸2πδnk
dr = 2(n+ 1)
1∫
0
r2n+1 dr = δnk
Vollstandigkeit : siehe z.B. [Dav75, Thm. 11.4.3]
50offen, beschrankt, zusammenhangend
51f analytisch in z0 ∈ G ⇐⇒ f(z) =∞P
n=0an(z− z0)n fur |z− z0| < r(z0); ausreichend ware auch f holomorph in G
2.7 Hilbertraume mit reproduzierendem Kern 89
=====⇒Satz 2.58
KA(z, w) =∞∑
n=0
hAn (z) hA
n (w)
=1π
∞∑n=0
(n+ 1) [zw]n
︸ ︷︷ ︸ddη ( 1
1−η )|η=zw
=1
π(1− zw)2, z, w ∈ G
y KA(z, z) =1
π(1− |z|2)2 , |z| < 1
K(x, x)
1
10
8
6
4
2
−1 0
f ∈ A2(G), w ∈ G =⇒s.o.
f(w) =1π
∫∫
G
f(z)(1− wz)2 dx dy, z = x+ iy
Bemerkung : KA(z, w) heißt Bergman-Kern fur G, z, w ∈ G ⊂ C
Folgerung 2.59 Seien H ein Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K(·, ·), und Lkk ⊂ L(H) mitder Eigenschaft, dass aus f ∈ H, Lk(f) = 0, k ∈ N, stets folgt f ≡ 0. Dann ist hnn, gegeben durch
hn(y) = LnK(·, y), n ∈ N, y ∈ S,
vollstandig in H, d.h. aus 〈g, hn〉 = 0, n ∈ N, folgt g ≡ 0.
Be w e i s : Ln ∈ L(H) =====⇒Satz 2.57
hn = Ln,xK(x, ·) ∈ H, Ln(f) = 〈f, hn〉, f ∈ Hy 0 = 〈g, hn〉 = Ln(g) ==⇒
Vor.g ≡ 0
Folgerung 2.60 Seien H ein Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K(·, ·) und Orthonormalsystemhnn. Das System hnn ist vollstandig genau dann, wenn gilt
K(x, x) =∞∑
k=1
|hk(x)|2 , x ∈ S.
Be w e i s :”=⇒“ : folgt aus Satz 2.58
”⇐=“ : sei hnn nicht vollstandig y ∃ gkk ⊂ H : hnn ∪ gkk vollstandig, orthonormal in H
(siehe z.B. [Dav75, Thm. 9.3.12], [Wer00, Satz V.4.9])
=====⇒Satz 2.58
K(x, x) =∞∑
n=1
|hn(x)|2 +
>0︷ ︸︸ ︷∑
k
|gk(x)|2 >
∞∑n=1
|hn(x)|2 fur ein x ∈ S
90 2 Approximation in speziellen Raumen
Beispiel :H =F : [0, 1] −→ R : ∃ f ∈ L2[0, 1] : F (x) =
x∫0
f(t) dt, x ∈ [0, 1]
mit
〈F,G〉 :=
1∫
0
f(t)g(t) dt =
1∫
0
F ′(t)G′(t) dt, F,G ∈ H,
mit G(x) =x∫0
g(t) dt, F (x) =x∫0
f(t) dt; suchen K(·, ·)
======⇒Def. 2.54(ii)
〈F,K(·, x)〉 =
1∫
0
F ′(t)ddtK(t, x) dt = F (x) =
x∫
0
F ′(t) dt, x ∈ [0, 1], F ∈ H
yddtK(t, x) = χ
[0,x](t) y K(t, x) = (t+ c1(x))χ[0,x]
(t) + c2(x)χ[x,1](t)
==========⇒K(t, x) = K(x, t)
(t+ c1(x))χ[0,x](t) + c2(x)χ[x,1]
(t) = c2(t)χ[t,1](x)
︸ ︷︷ ︸χ
[0,x](t)
+(x+ c1(t))χ[0,t](x)
︸ ︷︷ ︸χ
[x,1](t)
y (t+ c1(t)− c2(t))χ[0,x](t) = (x+ c1(t)− c2(x))χ[x,1]
(t) y c1(x) = c, c2(x) = x+ c
y K(t, x) = t χ[0,x]
(t) + x χ[x,1]
(t) + c = min(x, t) + c
K(x, x) = 〈K(·, x),K(·, x)〉 =
1∫
0
(ddtK(t, x)
)2
︸ ︷︷ ︸χ
[0,x](t)
dt = x ===⇒c = 0
K(t, x) = min(x, t), x, t ∈ [0, 1]
=====⇒Satz 2.55
|F (x)|2 ≤ K(x, x) ‖F‖2 = x 〈F, F 〉 = x
1∫
0
|F ′(t)|2 dt, x ∈ [0, 1], F ∈ H
Bemerkung : K(t, x) . . . Green 52sche Funktion53 zur Differentialgleichung y′ = 0, y(0) = 0 auf [0, 1]
Beispiel : S = [−π, π], H = Tn ⊂ L2[−π, π], Kn(x, y) :=1πDn(x− y) =
sin(n+ 12 )(x− y)
2π sin x−y2
======⇒UA II-8 (iii)
Sn[f ](x) =1π
π∫
−π
Dn(t− x)f(t) dt = 〈f,Kn(·, x)〉 , x ∈ R, n ∈ N0
d.h. f(x) = 〈f,Kn(·, x)〉, f ∈ Tn, x ∈ R, n ∈ N0
52George Green (∗ Juli 1793 Nottingham † 31.5.1841 Nottingham)
53 Sei Ly :=nP
k=0ak(x)y(k) = y0 lineare DGL n-ter Ordnung, mit Randbed. Rjy :=
n−1Pk=0
`ckjy(k)(a) + dkjy(k)(b)
´= 0,
j = 1, . . . , n, y0 ∈ C[a, b]; y eind. best. G(s, t) ∈ C`[a, b]2
´mit y(x) =
bRa
G(x, τ)y0(τ) dτ , x ∈ [a, b], (und weiteren Vor.)
heißt zugehorige Greensche Funktion.
2.7 Hilbertraume mit reproduzierendem Kern 91
jetzt H = L2[−π, π] y statt Funktionen ; Aquivalenzklassen
y L ∈ L(H), L(f) = f(x0), x0 ∈ [−π, π], f ∈ H
nicht definiert ! y Satz 2.55 nicht anwendbar; analog fur Satz 2.58, denn∞∑
n=1
hn(x) hn(y)
nicht konvergent :
limn→∞
Kn(x, y) =1π
limn→∞
(12
+n∑
k=1
cos(k(x−y))︷ ︸︸ ︷(cos(kx) cos(ky) + sin(kx) sin(ky))
)
︸ ︷︷ ︸sin(n + 1
2)(x− y)
2 sin x−y2
= Dn(x− y)
existiert nicht
formal : K(x, y) := δ(x− y) . . . Dirac54sche Delta-”Funktion“ ( 99K singulare Distribution) mit
Reproduktionseigenschaft
f(y) =
π∫
−π
f(x)δ(y − x) dx = 〈f, δ(y − ·)〉
und divergenter Darstellung δ(x− y) = limn→∞
Kn(x, y) =12π
+1π
∞∑
k=1
cos(k(x− y))
Ubung II-16 : (i) Beweisen Sie den Satz von Vitali55 : Das Orthonormalsystem fnn∈N0⊂ L2[a, b]
ist genau dann vollstandig, wenn gilt
∞∑n=0
( t∫
a
fn(x) dx)2
= t− a, a ≤ t ≤ b .
(ii) Welcher Zusammenhang besteht zu Folgerung 2.60 ?
(iii) Zeigen Sie unter Verwendung von (i) die Vollstandigkeit des Systems cos(nx), n ∈ N0in L2[0, π].
54Paul Adrien Maurice Dirac (∗ 8.8.1902 Bristol † 20.10.1984 Tallahassee / Florida)55Guiseppe Vitali (∗ 26.8.1875 Ravenna † 29.2.1932 Bologna)