32 2 Approximation in speziellen R¨ aumen 2 Approximation in speziellen R¨ aumen 2.1 Satz von Weierstraß zun¨ achst : Approximation in C[a, b], -∞ <a<b< ∞ Satz 2.1 (Weierstraß 1885) Sei f ∈ C[a, b]. Dann existiert eine Polynomfolge (p n ) n , die gleichm¨ aßig auf [a, b] gegen f konvergiert. p n == ⇒ glm. f ⇐⇒ lim n→∞ sup x∈[a,b] |f (x) - p n (x)| =0 ⇐⇒ ∀ ε> 0 ∃ n 0 ∀ n ≥ n 0 : f - p n ∞ = sup x∈[a,b] |f (x) - p n (x)| <ε Bemerkung : Vergleich zum Satz von Taylor f¨ ur analytische Funktionen : sei f : C -→ C analytisch in {z ∈ C : |z|≤ R}⊂ C = ⇒ m X k=0 a k z k ----→ m→∞ f (z) gleichm¨ aßig in {z ∈ C : |z|≤ R}, setzen p m (z) := m X k=0 a k z k y p m == ⇒ glm. f , ∀ ε> 0 ∃ m 0 ∀ m ≥ m 0 : sup |z|<R |p m (z) - f (z)| <ε = ⇒ ∀ ε> 0 ∃ m 0 ∀ m ≥ m 0 : sup -R<x<R |p m (x) - f (x)| <ε aber : falls f nicht analytisch 99K ?? Weierstraß y sogar f¨ ur stetige Funktionen m¨ oglich f analytisch 99K Entwicklung in gleichm¨ aßig konvergente Potenzreihe m¨ oglich f stetig, aber nicht analytisch 99K ” Entwicklung“ in gleichm¨ aßig konvergente Reihe allge- meiner Polynome, die sich nicht zu Potenzreihe umordnen lassen sch¨onster Beweis von Satz 2.1 mit Bernstein-Polynomen Definition 2.2 Seien f : [0, 1] -→ R, n ∈ N. Der n-te Bernstein-Operator B n : f -→ B n f ∈P n ist gegeben als (B n f )(x)= n X k=0 n k ¶ f k n ¶ x k (1 - x) n-k , x ∈ [0, 1]. Bemerkung : • (B n f )(x) ... Bernstein-Polynom n-ter Ordnung zu f , B n f ∈P n • F¨ ur alle f : [0, 1] -→ R, n ∈ N gilt (B n f )(0) = f (0), (B n f )(1) = f (1) f¨ uhren weiter ein : Differenzen-Operatoren ( Δ k h f ) (x), k ∈ N, h ∈ R : (Δ h f )(x)= ( Δ 1 h f ) (x)= f (x + h) - f (x), ( Δ k+1 h f ) (x)= ( Δ 1 h ( Δ k h f )) (x), x ∈ R ¨ Ubung II-1 : Zeigen Sie : (Δ m h f )(x)= m X j=0 m j ¶ (-1) m-j f (x + jh) f¨ ur m ∈ N, x, h ∈ R.
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2 Approximation in speziellen R¨aumen¼h… · 32 2 Approximation in speziellen R¨aumen 2 Approximation in speziellen R¨aumen 2.1 Satz von Weierstraß zun¨achst: Approximation
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32 2 Approximation in speziellen Raumen
2 Approximation in speziellen Raumen
2.1 Satz von Weierstraß
zunachst : Approximation in C[a, b], −∞ < a < b <∞
Satz 2.1 (Weierstraß 1885)Sei f ∈ C[a, b]. Dann existiert eine Polynomfolge (pn)n, die gleichmaßig auf [a, b] gegen f konvergiert.
pn ==⇒glm.
f ⇐⇒ limn→∞
supx∈[a,b]
|f(x)− pn(x)| = 0
⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0 ∀ n ≥ n0 : ‖f − pn‖∞ = supx∈[a,b]
|f(x)− pn(x)| < ε
Bemerkung : Vergleich zum Satz von Taylor fur analytische Funktionen :
sei f : C −→ C analytisch in z ∈ C : |z| ≤ R ⊂ C =⇒m∑
k=0
akzk −−−−→
m→∞f(z)
gleichmaßig in z ∈ C : |z| ≤ R, setzen pm(z) :=m∑
k=0
akzk y pm ==⇒
glm.f ,
∀ ε > 0 ∃ m0 ∀ m ≥ m0 : sup|z|<R
|pm(z)− f(z)| < ε
=⇒ ∀ ε > 0 ∃ m0 ∀ m ≥ m0 : sup−R<x<R
|pm(x)− f(x)| < ε
aber : falls f nicht analytisch 99K ??
Weierstraß y sogar fur stetige Funktionen moglich
f analytisch 99K Entwicklung in gleichmaßig konvergente Potenzreihe moglich
f stetig, aber nicht analytisch 99K”Entwicklung“ in gleichmaßig konvergente Reihe allge-
meiner Polynome, die sich nicht zu Potenzreihe umordnen lassen
schonster Beweis von Satz 2.1 mit Bernstein-Polynomen
Definition 2.2 Seien f : [0, 1] −→ R, n ∈ N. Der n-te Bernstein-Operator Bn : f 7−→ Bnf ∈ Pn istgegeben als
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(n
k
)f
(k
n
)xk(1− x)n−k, x ∈ [0, 1].
Bemerkung : • (Bnf) (x) . . . Bernstein-Polynom n-ter Ordnung zu f , Bnf ∈ Pn
• Fur alle f : [0, 1] −→ R, n ∈ N gilt
(Bnf)(0) = f(0), (Bnf)(1) = f(1)
fuhren weiter ein : Differenzen-Operatoren(∆k
hf)(x), k ∈ N, h ∈ R :
(∆hf) (x) =(∆1
hf)(x) = f(x+ h)− f(x),
(∆k+1
h f)(x) =
(∆1
h
(∆k
hf))
(x), x ∈ R
Ubung II-1 : Zeigen Sie : (∆mh f)(x) =
m∑
j=0
(m
j
)(−1)m−j f(x+ jh) fur m ∈ N, x, h ∈ R.
2.1 Satz von Weierstraß 33
Lemma 2.3 Seien n ∈ N, x ∈ [0, 1], f : [0, 1] −→ R. Dann gilt
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(∆k
1/nf)
(0)(n
k
)xk .
Be w e i s :
(Bnf) (x) =n∑
k=0
(n
k
)f
(k
n
)xk
(1−x)n−k
︷ ︸︸ ︷n−k∑
j=0
(n− kj
)(−1)n−k−jxn−k−j
=n∑
k=0
n−k∑
j=0
f
(k
n
)(n
k
)(n− kj
)(−1)n−k−jxn−j
=n∑
`=0
x`∑
k=0
f
(k
n
) (n
k
)(n− kn− `
)
︸ ︷︷ ︸n!
k!(`−k)!(n−`)!=(n`)(`
k)
(−1)`−k =n∑
`=0
(n
`
)x`
∑
k=0
f
(k
n
) (`
k
)(−1)`−k
︸ ︷︷ ︸“∆`
1/nf”(0)
Ubung II-2 : Seien h0(x) ≡ 1, h1(x) = x, h2(x) = x2, f(x) = eαx, α ∈ R, g ∈ Pm, m ∈ N,x ∈ [0, 1]. Zeigen Sie
(a) Bnh0 = h0, d.h. (Bnh0)(x) ≡ 1, n ∈ N(b) Bnh1 = h1, d.h. (Bnh1)(x) = x, n ∈ N
(c) Bnh2 =(
1− 1n
)h2 +
1nh1, d.h. (Bnh2)(x) =
1nx+
(1− 1
n
)x2, n ∈ N
(d) (Bnf) (x) =(xe
αn + (1− x))n
, n ∈ N(e) (Bng) ∈ Pm, n ∈ N
Satz 2.4 (Bernstein)Sei f eine auf [0, 1] beschrankte Funktion. Dann gilt fur alle x ∈ [0, 1], in denen f stetig ist,
limn→∞
(Bnf) (x) = f(x).
Falls f ∈ C[0, 1] ist, konvergieren die Polynome Bnf auf [0, 1] gleichmaßig gegen f .
Folgerung 2.5 Seien f ∈ C[0, 1] und ε > 0. Dann existiert ein n0(ε), so dass fur alle n ≥ n0 gilt
supx∈[0,1]
|f(x)− (Bnf)(x)| < ε .
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 35
B e w e i s : (Satz 2.1)
sei f ∈ C[a, b], setzen ξ :=x− ab− a , g(ξ) := f
( x︷ ︸︸ ︷a+ (b− a)ξ )
=⇒ g ∈ C[0, 1]
====⇒Folg. 2.5
∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0 : supξ∈[0,1]
|g(ξ)− (Bng) (ξ)| < ε
rn(x) := (Bng)( x− ab− a︸ ︷︷ ︸
ξ
)∈ Pn =⇒ ∀ ε > 0 ∃ n0(ε) ∀ n ≥ n0 : sup
x∈[a,b]
|f(x)− rn(x)| < ε
Ubung II-3 : • Sei g(t) = |2t− 1|, t ∈ [0, 1]. Berechnen Sie die zugehorigen Bernstein-Polynome(B4g) (t) und (B6g) (t). Zeigen Sie, dass fur n ∈ N
(B2ng)(
12
)=
122n
(2nn
)
gilt, und geben Sie eine Abschatzung fur den lokalen Fehler∣∣g (
12
)− (B2ng)(
12
)∣∣ furn→∞ an.
• Sei f ∈ C[a, b] mit den Momentenbedingungenb∫
a
tmf(t) dt = 0, m ∈ N0, gegeben.
Dann ist f ≡ 0 auf [a, b].
Hinweis : Verwenden Sieb∫
a
[f(t)]2 dt =b∫
a
[f(t)− p(t)] f(t) dt fur alle (algebraischen)
Polynome p(t), und den Satz von Weierstraß.
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen
betrachten – vor Verallgemeinerung von Satz 2.1 – zunachst Approximation durch Bernstein-Polynome etwasgenauer
bemerkenswert : gleichzeitige Approximation von Funktion und Ableitungen !
Beispiele : (i) fn(x) =sin(nx)n
, n ∈ N, x ∈ [0, 2π] y |fn(x)| ≤ 1n, x ∈ [0, 2π] y fn ==⇒
glm.0
andererseits: f ′n(x) = cos(nx) nicht (gleichmaßig) konvergent, insbesondere f ′n 6==⇒glm.
0
(ii) Seien Tn(x) die Tschebyscheff-Polynome (erster Art) aus Bsp. (2) in Abschnitt 1.5,
gn(x) =Tn(x)n
, n ∈ N, x ∈ [−1, 1].
spater (Satz 2.51): Tn(x) =√
2π cos(n arccosx), T ′n(1) =
√2πn
2, n ∈ N
y ‖gn‖∞ ≤√
2n√π−−−−→n→∞
0, d.h. gn ==⇒glm.
0,
aber
‖g′n − g′2n‖∞ ≥ |g′n(1)− g′2n(1)| = n
√2π−−−−→n→∞
∞, d.h. g′n nicht glm. konv.
36 2 Approximation in speziellen Raumen
Beispiele : (iii) Seien r(z), p(z) in beschranktem Gebiet G ⊂ C analytische (komplexe) Funktionen mit|r(z)− p(z)| < ε auf ∂G (einfach geschlossene Kurve) ======⇒
Max.prinzip|r(z)− p(z)| < ε in G
seien m ∈ N, δ > 0, und Sδ := z ∈ G : dist (z, ∂G) ≥ δ ⊂ G
=⇒Cauchy-Ungl.22
∣∣∣r(m)(z)− p(m)(z)∣∣∣ ≤ m! |∂G|
2π δm+1ε, z ∈ Sδ
d.h. fur ε ↓ 0 (und festes Sδ, m ∈ N) 99K p(m)(z) approximiert r(m)(z) gleichmaßig(in C), falls p(z) bereits r(z) approximiert hat
Lemma 2.6 Seien k ∈ N0, f ∈ C[0, 1], x ∈ [0, 1]. Dann gilt
dk
dxk(Bn+kf) (x) = (Bn+kf)(k) (x) =
(n+ k)!n!
n∑
j=0
∆k1
n+kf
(j
k + n
)(n
j
)xj(1− x)n−j .
Be w e i s : Interpretation fur k = 0 : (Bnf)(0) (x) = (Bnf) (x)
verwenden Leibniz23-Formel : (uv)(m) =m∑
`=0
(m
`
)u(`)v(m−`)
dk
dxk(Bn+kf) (x)
=n+k∑
`=0
(n+ k
`
)f
(`
n+ k
)[x`(1−x)n+k−`](k)
︷ ︸︸ ︷k∑
ν=0
(k
ν
) [x`
](ν)
︸ ︷︷ ︸=
`!
(`−ν)! x`−ν , ν ≤ `
0 , ν > `
ff
[(1− x)n+k−`
](k−ν)
︸ ︷︷ ︸=
((−1)k−ν (n+k−`)!
(n−`+ν)! (1− x)n−`+ν , `− ν ≤ n
0 , `− ν > n
)
=n+k∑
`=0
min(k,`)∑
ν=max(0,`−n)
f
(`
n+ k
)(−1)k−ν
(n+ k
`
)(k
ν
)(n+ k − `)!(n− `+ ν)!
`!(`− ν)!x
`−ν(1− x)n−`+ν
=k∑
ν=0
n+ν∑
`=ν
f
(`
n+ k
)(−1)k−ν
(k
ν
)(n+ k
`
)`! (n+ k − `)!
(`− ν)! (n− `+ ν)!︸ ︷︷ ︸(n+k)! 1
n! ( n`−ν)
x`−ν(1− x)n−`+ν
=j = `− ν
(n+ k)!n!
k∑ν=0
n∑
j=0
f
(j + ν
n+ k
)(−1)k−ν
(k
ν
) (n
j
)xj(1− x)n−j
=(n+ k)!n!
n∑
j=0
k∑ν=0
f
(j + ν
k + n
)(−1)k−ν
(k
ν
)
︸ ︷︷ ︸∆k
1n+k
f( jk+n )
(n
j
)xj(1− x)n−j
=(n+ k)!n!
n∑
j=0
∆k1
n+kf
(j
k + n
)(n
j
)xj(1− x)n−j
22Cauchy-Ungleichungen : f : G −→ C holomorph, z0 ∈ G, Kr(z0) ⊂ G, r > 0 =⇒ ∀ δ, 0 < δ ≤ r ∀ z ∈ Kr−δ(z0) :˛˛f (m)(z)
˛˛ ≤ r
δ
m!
δmmax
|ζ−z0|=r|f(ζ)| , z ∈ Kr−δ(z0)
allg. Kurve γ ⊂ G (einfach, geschlossen) :˛f (m)(z)
˛≤ m! |γ|
2π δm+1 maxζ∈γ |f(ζ)|, dist (z, γ) ≥ δ
23Gottfried Wilhelm von Leibniz (∗ 1.7.1646 Leipzig † 14.11.1716 Hannover)
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 37
Satz 2.7 Seien k ∈ N0 und f ∈ Ck[0, 1]. Dann gilt
limn→∞
supx∈[0,1]
∣∣∣(Bnf)(k) (x)− f (k)(x)∣∣∣ = 0 .
Be w e i s : verwenden Lemma 2.6, betrachten zunachst ∆k1
Bemerkung : geometrische Interpretation : Bernstein-Approximationen stetiger Funktionen beschranktzwischen Extremwerten der Funktion, analog fur Ableitungen hoherer Ordnung; monotoneund konvexe Funktionen haben monotone und konvexe Approximationen ; Bernstein-Approximation
”ahmen“ (Gestalt der) Funktion (in gewisser Hinsicht) nach,
”shape preservation“ : z.B.
• Positivitat
• Monotonie
• Konvexitat
• Variationsverminderung
Definition 2.10
(i) Eine Funktion ϕ : [a, b] −→ R heißt von beschrankter Variation auf [a, b], ϕ ∈ BV[a, b], wenn eseine Konstante M > 0 gibt, so dass fur jede Zerlegung Z = t0, t1, . . . , tm von [a, b] stets
V(ϕ,Z) :=m∑
k=1
|ϕ(tk)− ϕ(tk−1)| ≤ M
bleibt. Dann heißtVb
aϕ := supZV(ϕ,Z)
totale Variation von ϕ auf [a, b].
(ii) Sei ξ = (ξ0, . . . , ξm) ein Vektor, dann ist
V(ξ) :=m∑
k=1
|ξk − ξk−1|
die Variation des Vektors ξ.
2.2 Weitere Eigenschaften von Bernstein-Polynomen 41
Bemerkung : • Es gilt ϕ (stuckweise) Lipschitz-stetigϕ monotonϕ stuckweise stetig differenzierbar
=⇒ ϕ ∈ BV
• (nur) Stetigkeit nicht ausreichend
• Eine Funktion ϕ ist genau dann von beschrankter Variation auf [a, b], wenn sie dortals Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden kann.
Be w e i s : wesentlicher Trick im Beweis von Satz 2.18 : Majorisierung der unstetigen Funktion µx durcheine (geeignete) stetige Funktionen ψx, die sich als Linearkombination der
”Testfunktionen“ darstellen ließ,
µx(t) ≤ 1δ2
ψx(t) =1δ2
[h2(t)− 2xh1(t) + x2h0(t)
],
dann Ausnutzen des Positivitat & Linearitat der (Ln)n 99K passender”Ersatz“
27Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (∗ 13.2.1805 Duren † 5.5.1859 Gottingen)
50 2 Approximation in speziellen Raumen
ψx(t) :=12g0(t)︸︷︷︸
1
− cos(x)2
g1(t)︸︷︷︸cos(t)
− sin(x)2
g2(t)︸︷︷︸sin(t)
=1− cos(x− t)
2
= sin2
(x− t
2
), t ∈ R
=⇒ µx(t) ≤ 1sin2
(δ2
) ψx(t)
Rest analog zu Beweis vonSatz 2.18 . . .
1µx
xx− δ x+ δ
1
sin2( δ2 )ψx
x+2π x+2π+δx+2π−δ
Folgerung 2.21 Sei (Fn)n die Folge der Fejer-Operatoren. Dann gilt fur alle f ∈ C2π(R)
limn→∞
‖f −Fnf‖∞ = 0.
Be w e i s : folgt unmittelbar aus UA II-8 (iv),(v) und Satz 2.20
Bemerkung : • ursprunglicher Beweis von Fejer direkt
• Einfuhrung, Satz 0.1 y Folge der Partialsummen der Fourier-Reihe muß wedergleichmaßig noch punktweise gegen f ∈ C2π(R) konvergieren, aber Folge der arith-metischen Mittel der Partialsummen ( 99K Fejer-Polynome) stets gleichmaßig !
Folgerung 2.22 (2. Approximationssatz von Weierstraß)Sei f ∈ C2π(R). Dann existiert eine Folge trigonometrischer Polynome (tn)n, die gleichmaßig auf R gegenf konvergiert.
Bemerkung : Verallgemeinerung der Satze 2.18, 2.20 : Seien X ein kompakter Hausdorff28 -Raum29 mitmindestens zwei Elementen, m ∈ N, und f1, . . . , fm reellwertige, stetige Funktionen aufX mit der folgenden Eigenschaft :
∀ k = 1, . . . ,m ∃ ak ∈ C(X), reellwertig ∀ x ∈ X :
Py(x) :=m∑
k=1
ak(y) fk(x) ≥ 0, Py(x) = 0 ⇐⇒ x = y(20)
Sei nun (Ln)n eine Folge positiver, linearer Operatoren von C(X) in C(X), die zusatzlich
limn→∞
‖fk − Lnfk‖∞ = 0, k = 1, . . . ,m,
erfullen, dann folgt fur alle f ∈ C(X)
limn→∞
‖f − Lnf‖∞ = 0.
Beweis : siehe z.B. [Lor66, Ch. 1, Thm. 3]
28Felix Hausdorff (∗ 8.11.1868 Breslau † 26.1.1942 Bonn)29 topolog. Raum X Hausdorff - Raum ⇐⇒ ∀ x, x′ ∈ X, x 6= x′ ∃ V, V ′ ⊂ X offen : x ∈ V, x′ ∈ V ′, V ∩ V ′ = ∅
Satz 2.25 (Korovkin)Sei (Ln)n eine Folge positiver linearer Polynomial-Operatoren, Ln : C[−1, 1] −→ Pn, n ∈ N. Dann gibtes mindestens ein k ∈ 0, 1, 2, so dass
limn→∞
n2 ‖hk − Lnhk‖∞ > 0,
d.h. ‖hk − Lnhk‖∞ 6= o(n−2
)fur ein k = 0, 1, 2.
Be w e i s : indirekt: sei limn→∞
n2 ‖hk − Lnhk‖∞ = 0, k = 0, 1, 2; zeigen dann fur b(x) = |x|:
noch einige Vorbereitungen vor dem Beweis von Satz 2.27
Lemma 2.28 Ein reeller Vektorraum V ⊂ C(X) mit 1 ∈ V ist genau dann punktetrennend, wenn es zubeliebigen x, x′ ∈ X mit x 6= x′, und y, y′ ∈ R eine Funktion f ∈ V gibt, so dass gilt
f(x) = y, f(x′) = y′.
Be w e i s :”⇐=“ klar, Umkehrung
seien jetzt x, x′ ∈ X, x 6= x′, y, y′ ∈ R gegeben, g.z.z. : ∃ f ∈ V : f(x) = y, f(x′) = y′
V punktetrennend =⇒(ii)∃ g ∈ V : g(x) 6= g(x′), setzen
f(t) := y′g(t)− g(x) · 1(t)g(x′)− g(x) + y
g(t)− g(x′) · 1(t)g(x)− g(x′)
Bezeichnungen : seien f, g ∈ C(X) (reellwertig) =⇒ |f |, max(f, g), min(f, g) ∈ C(X), gegeben durch
|f |(x) = |f(x)|, max(f, g)(x) = maxf(x), g(x), min(f, g)(x) = minf(x), g(x), x ∈ X
31Marshall Harvey Stone (∗ 8.4.1903 New York † 9.1.1989 Madras)
32Existenz von f : X metrisch, x ∈ V , x′ ∈ V ′, V ∩V ′ = ∅, o.B.d.A. V, V ′ ⊂ X abgeschlossen y f(y) :=δ(y, V )
δ(y, V ) + δ(y, V ′)=⇒ f(x) = 0, f(x′) = 1; i.a. : Lemma von Urysohn, siehe z.B. [Kot60, §6.4]
2.4 Satz von Stone-Weierstraß, Muntz-Satze 55
Lemma 2.29 Sei A ⊂ C(X) eine Unteralgebra zu C(X) mit 1 ∈ A.
(i) f ∈ A =⇒ |f | ∈ A(ii) f, g ∈ A =⇒ max(f, g) ∈ A, min(f, g) ∈ A(iii) Sei F ⊂ A eine endliche Teilmenge, dann gilt max f : f ∈ F ∈ A, min f : f ∈ F ∈ A
Be w e i s : zu (i) : sei f ∈ A, verwenden Satz von Weierstraß mit [a, b] = [−‖f‖∞, ‖f‖∞] fur h(x) = |x|
y h ∈ C [−‖f‖∞, ‖f‖∞] ====⇒Satz 2.1
∃ (pn)n, pn ∈ P : ‖pn − h‖∞glm.−−−−→
n→∞0; f ∈ A ====⇒
Algebrapn(f) ∈ A
y∥∥∥pn(f)− |f |︸︷︷︸
h(f)
∥∥∥C(X)
= supx∈X
|pn (f(x))− h (f(x))| ≤ξ = f(x)
sup|ξ|≤‖f‖∞
|pn(ξ)− h(ξ)|︸ ︷︷ ︸
‖pn−h‖∞
−−−−→n→∞
0
======⇒pn(f) ∈ A
|f | ∈ A
zu (ii), (iii) : max(f, g) =f + g + |f − g|
2, min(f, g) =
f + g − |f − g|2
außerdem : A Algebra ====⇒UA II-10
A Algebra =⇒(i)
(ii) ==⇒Ind.
(iii)
Ubung II-10 : Zeigen Sie, dass fur eine Algebra A ⊂ C(X) stets gilt A Algebra.
B e w e i s : (von Satz 2.27)
sei f ∈ C(X), z.z.: f ∈ A =========⇒A abgeschlossen
y x, ξ ⊂ Ωx,ξ, Ωx,ξ offen (als Urbild offener Mengen unter stetigen Funktionen), und
X ⊇⋃
ξ∈X, ξ 6=x
Ωx,ξ ⊇⋃
ξ∈X, ξ 6=x
x, ξ︸ ︷︷ ︸
X
=⇒ X︸︷︷︸
kompakt
=⋃
ξ∈X, ξ 6=x
Ωx,ξ
︸︷︷︸offen
, x ∈ X
=======⇒offene Uberd.
∀ x ∈ X ∃ Fx ⊂ X, #Fx <∞ : X =⋃
ξ∈Fx
Ωx,ξ
setzen hx := minhx,ξ : ξ ∈ Fx, x ∈ X ========⇒Lemma 2.29(iii)
hx ∈ A, hx(y) ≤ f(y) +ε
2, x, y ∈ X
definieren jetzt
Ωx :=y ∈ X : hx(y) > f(y)− ε
2
⊂ X, x ∈ X
y x ∈ Ωx, Ωx offen, und
X ⊇⋃
x∈XΩx ⊇
⋃
x∈Xx
︸ ︷︷ ︸X
=⇒ X︸︷︷︸
kompakt
=⋃
x∈XΩx
︸︷︷︸offen
=⋃
x∈FΩx fur ein F ⊂ X, #F <∞
mit aε := maxhx : x ∈ F ========⇒Lemma 2.29(iii)
aε ∈ A, aε(y) ≥ f(y)− ε
2, y ∈ X
y f(y)− ε < aε(y) < f(y) + ε, y ∈ X ⇐⇒ ‖f − aε‖∞ < ε
56 2 Approximation in speziellen Raumen
Beispiele : (1) Seien X ⊂ Rk, k ∈ N, X kompakt, A ⊂ C(X) Unteralgebra aller reellen Polynomein x1, . . . , xk, p(x) = p(x1, . . . , xk); dann gilt
(i) 1A = p0 ∈ A, p0(x1, . . . , xk) ≡ 1
(ii) x = (x1, . . . , xk), ξ = (ξ1, . . . , ξk) ∈ X, x 6= ξ =⇒ ∃ j ∈ 1, . . . , k : xj 6= ξjsetzen f := pj ∈ A mit pj(y1, . . . , yk) = yj , j = 1, . . . , k
y A punktetrennend =====⇒Satz 2.27
A dicht in C(X) y Verallgemeinerung von Satz 2.1
(2) Seien X = R ∪ ∞ (1-Punkt-Kompaktifizierung), und
C(X) =f ∈ C(R) : −∞ < lim
x→∞f(x) = lim
x→−∞f(x) <∞
,
A =g ∈ C(X) : ∃ p(x) ∈ P ∃ n ∈ N0 : g(x) =
p(x)(1 + x2)n
”rationale Funktionen“
y A ⊂ C(X) Unteralgebra,
(i) 1A = g0 ∈ A, g0 ≡ 1 =p0
(1 + x2)0
(ii) x, ξ ∈ X, x 6= ξ, A 3 f(y) :=
y
1 + y2, xξ 6= 1 ∧ (x, ξ) 6= (0,∞)
1− y2
1 + y2, xξ = 1 ∨ (x, ξ) = (0,∞)
y A punktetrennend =====⇒Satz 2.27
A dicht in C(X)
Folgerung 2.30 Die Menge der trigonometrischen Polynome ist dicht in C2π(R), d.h. jede stetige, 2π-periodische Funktion ist Limes einer gleichmaßig konvergenten Folge trigonometrischer Polynome.
Be w e i s : sei X = S1 = z ∈ C : |z| = 1, naturliche Isomorphie
f ∈ C(X) ←→ f ∈ C2π(R), f(eix
)= f(x), x ∈ R
setzen A = span<e (zk) = cos(kx), =m(zk) = sin(kx), k ∈ N0
y A ⊂ C2π(R) Unteralgebra,
1A = f ≡ 1 ∈ A; seien z, w ∈ X, z 6= w =⇒ <e z 6= <ew : g(ξ) := <e ξ=m z 6= =mw : g(ξ) := =m ξ
Bemerkung : siehe Folgerung 2.22
andere Verallgemeinerung des Satzes von Weierstraß :
Definition 2.35 Eine Menge u1, . . . , un ⊂ C[a, b] heißt T -System auf [a, b], falls fur alle c1, . . . , cn ∈ Rmit
n∑i=1
|ci| > 0 die Funktion
c1 u1 + · · · + cn un
hochstens n− 1 verschiedene Nullstellen im Intervall [a, b] besitzt.
Bemerkung : Zahlung der Nullstellen zunachst ohne Berucksichtigung der Vielfachheiten; man kann aberzeigen, dass ein Element g ∈ spanu1, . . . , un eines T -Systems auf [a, b], g 6≡ 0, hochstensn− 1 Nullstellen unter Berucksichtigung der Vielfachheiten besitzt ([Mul78, Satz 2.3.5])
Beispiele : • uk(x) = xk, k = 0, . . . ,m
, m ∈ N, bilden T -System auf [a, b] :
p(x) :=m∑
k=0
ck uk(x) =m∑
k=0
ck xk ∈ Pm
y hochstens m verschieden Nullstellen (fur m+ 1 Funktionen uk)
• u1(x) = x, u2(x) = ex =⇒ u1, u2 kein T -System auf [0, 3], aber auf [0, 1] :
Ubung II-12 : 1. Zeigen Sie, dass die Elemente eines T -Systems linear unabhangig sind.
2. Es seien uk(x) = xk, k = 0, . . . ,m−1, und f ∈ Cm[a, b], m ∈ N, mit f (m)(x) > 0,x ∈ [a, b]. Dann bildet f, uk, k = 0, . . . ,m− 1 ein T -System auf [a, b].
3. Beweisen Sie, dass die Mengen
(a) 1, sin(kx), cos(kx), k = 1, . . . ,m auf [0, 2π)
(b) 1, cos(kx), k = 1, . . . ,m auf [0, π]
(c) sin(kx), k = 1, . . . ,m auf (0, π)
jeweils T -Systeme bilden.
4. Seien s1, . . . , sn ∈ R, si 6= sk, i 6= k. Zeigen Sie, dass es1x, . . . , esnx auf jedemendlichen Intervall [a, b] ein T -System bildet.
2.5 Approximation in C[a, b], Der Haarsche Eindeutigkeitssatz 65
Lemma 2.36 (Kriterium fur T -Systeme)Eine Menge u1, . . . , un ⊂ C[a, b] ist T -System auf [a, b] genau dann, wenn es zu jeder ZerlegungZ = t1, . . . , tn in [a, b], a ≤ t1 < · · · < tn ≤ b, und jedem y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn genau einenKoeffizientenvektor c = (c1, . . . , cn) ∈ Rn gibt, so dass fur die Linearkombination
ckuk mit mindestens n Nullstellen, p(tk) = 0, k = 1, . . . , n ⇐⇒ u1, . . . , un kein
T -System
Definition 2.37 Sei u1, . . . , un ⊂ C[a, b] ein T -System auf [a, b], dann ist U = spanu1, . . . , un einHaar37scher Teilraum von C[a, b].
Bemerkung : U Haarscher Teilraum ∼ U erfullt Haarsche Bedingung
Satz 2.38 (Haarscher Eindeutigkeitssatz)Es sei U ⊂ C[a, b] ein Haarscher Teilraum mit dim U = n. Dann besitzt jedes f ∈ C[a, b] , f /∈ U,genau eine Bestapproximation in U.
Bemerkung : f ∈ U =⇒ f Bestapproximation, δ(f,U) = 0, eindeutig
B e w e i s : Existenz folgt bereist aus Satz 1.2, n.z.z. : Unitat; f /∈ U =========⇒U abgeschlossen
δ(f,U) > 0
1. Schritt : sei h ∈ U Bestapproximation zu f , zeigen : #A0 ≥ n+ 1,
A0 = A0(f, h) = x ∈ [a, b] : |f(x)− h(x)| = δ(f,U) = ‖f − h‖∞Annahme : #A0 ≤ n, d.h. A0 = t1, . . . , tk, k ≤ n
U erfullt Haarsche Bedingung ======⇒Lemma 2.36
∃ p ∈ U : p(ti) = − (f(ti)− h(ti)), i = 1, . . . , k, mit
ti ∈ [a, b], p(ti) beliebig fur i = k + 1, . . . , n
=⇒ maxx∈A0
(f(x)− h(x)) p(x) = maxi=1,...,k
(f(ti)− h(ti)) p(ti)︸ ︷︷ ︸−(f(ti)−h(ti))
2
=ti ∈ A0
− δ2(f,U) < 0
37Alfred Haar (∗ 11.10.1885 Budapest † 16.3.1933 Szeged)
66 2 Approximation in speziellen Raumen
y Widerspruch zu Satz 2.34 =⇒ #A0 ≥ n+ 1
2. Schritt : seien g0, g1 ∈ U Bestapproximationen zu f an U, ‖f − g0‖∞ = ‖f − g1‖∞ = δ(f,U)====⇒Satz 1.8
h := 12 (g0 + g1) ∈ U Bestapproximation =====⇒
1. Schritt#A0(f, h) ≥ n+ 1, d.h.
∃ s1, . . . , sn ∈ A0(f, h) ⊂ [a, b] : |f(si)− h(si)| = δ(f,U), i = 1, . . . , n
außerdem : |f(si)− gk(si)| ≤ ‖f − gk‖∞ = δ(f,U), k = 0, 1, i = 1, . . . , n
=⇒ g := g0 − g1 ∈ U besitzt n Nullstellen s1, . . . , sn ======⇒U Haar-TR
g ≡ 0 ⇐⇒ g0 ≡ g1
Folgerung 2.39 Sei n ∈ N.
(i) Jedes f ∈ C[a, b] besitzt genau eine Bestapproximation in Pn.
(ii) Jedes f ∈ C2π(R) besitzt genau eine Bestapproximation in Tn.
Be w e i s : Beispiel & UA =⇒ U = Pn, U = Tn erfullen Haarsche Bedingung =====⇒Satz 2.38
(i),(ii)
Satz 2.40 Sei U ⊂ C[a, b] ein Teilraum mit dimU = n, und es existiere ein g0 ∈ U, g0 6≡ 0,das mindestens n Nullstellen in [a, b] besitzt. Dann existiert eine Funktion f ∈ C[a, b], die mehrereBestapproximationen in U hat.
Be w e i s : g0 6≡ 0, g0 ∈ U = span u1, . . . , un =⇒ ∃ a1, . . . , an ∈ R,n∑
i=1
|ai| > 0 : g0 =n∑
i=1
aiui
# y ∈ [a, b] : g0(y) = 0 ≥ n =⇒ ∃ t1, . . . , tn ∈ [a, b] : g0(ti) = 0, i = 1, . . . , n y
a1 u1(t1) + · · · + an un(t1) = 0...
......
a1 u1(tn) + · · · + an un(tn) = 0
=======⇒nP
i=1|ai| > 0
∆ :=
∣∣∣∣∣∣∣
u1(t1) · · · un(t1)...
...u1(tn) · · · un(tn)
∣∣∣∣∣∣∣= 0
1. Schritt : zeigen ∃ γ1, . . . , γn ∈ R,n∑
i=1
|γi| > 0 ∀ g ∈ U :n∑
i=1
γi g(ti) = 0
∆ = 0 ==⇒( )>
∃ c1, . . . , cn ∈ R,n∑
i=1
|ci| > 0 :
c1 u1(t1) + · · · + cn u1(tn) = 0...
......
c1 un(t1) + · · · + cn un(tn) = 0
(28)
sei g ∈ U beliebig, o.B.d.A. g 6≡ 0 =⇒ ∃ d1, . . . , dn ∈ R,n∑
k=1
|dk| > 0 : g =n∑
k=1
dkuk
====⇒γi := ci
n∑
i=1
γi g(ti) =n∑
i=1
ci
n∑
k=1
dkuk(ti) =n∑
k=1
dk
n∑
i=1
ciuk(ti)
︸ ︷︷ ︸0, (28)
= 0
2.5 Approximation in C[a, b], Der Haarsche Eindeutigkeitssatz 67
2. Schritt : konstruieren f ∈ C[a, b] mit δ(f,U) = 1
Definition 2.41 Seien f ∈ C[a, b], U ⊂ C[a, b] ein Teilraum mit dimU = n, n ∈ N, und g0 ∈ U. EinePunktfolge a ≤ t1 < t2 < · · · < tn+1 ≤ b heißt Tschebyscheff-Alternante fur f − g0, falls
(i) f(ti)− g0(ti) = −[f(ti+1)− g0(ti+1)
], i = 1, . . . , n
(ii) |f(tk)− g0(tk)| = ‖f − g0‖∞, k = 1, . . . , n+ 1
• falls gilt : sgn (f(ti)− g0(ti)) = −sgn (f(ti+1)− g0(ti+1)) , i = 1, . . . , ny a ≤ t1 < t2 < · · · < tn+1 ≤ b
”Referenz“ fur f − g0, d.h. Alternante ist spezielle
Referenz
Satz 2.42 Seien U ein Haarscher Teilraum von C[a, b], dimU = n, und f ∈ C[a, b]. Zu g0 ∈ Uexistiere eine (n + 1)-punktige Alternante zu f − g0. Dann ist g0 Bestapproximation zu f in U, d.h.‖f − g0‖∞ = δ(f,U).
Be w e i s : Sei a ≤ t1 < t2 < · · · < tn+1 ≤ b Alternante zu f − g0Annahme : g0 nicht Bestapproximation, d.h. ∃ g ∈ U : ‖f − g‖∞ < ‖f − g0‖∞
d.h. # y ∈ [a, b] : (g − g0)(y) = 0 ≥ n ======⇒U Haar-TR
g − g0 ≡ 0 ⇐⇒ g ≡ g0y Widerspruch zu ‖f − g‖∞ < ‖f − g0‖∞ y Annahme falsch, d.h. g0 Bestapproximation
Bemerkung : • Tschebyscheff’s Alternantensatz : seien U ein Haarscher Teilraum von C[a, b],dimU = n, der die Konstanten enthalte; dann ist g0 ∈ U genau dann Bestapproxima-tion zu f ∈ C[a, b], wenn fur f − g0 eine (n+ 1)-punktige Alternante existiert
d.h. # y ∈ [a, b] : (g − g0)(y) = 0 ≥ n ======⇒U Haar-TR
g − g0 ≡ 0 ⇐⇒ g ≡ g0 y Widerspruch zu
‖f − g‖∞ < ‖f − g0‖∞ y Annahme falsch, d.h. ∀ g ∈ U : ‖f − g‖∞ ≥ mink=1,...,n+1
|f(tk)− g0(tk)|=⇒inf
δ(f,U) ≥ mink=1,...,n+1
|f(tk)− g0(tk)|
Bemerkung : g0 ∈ U =====⇒Satz 2.43
mink=1,...,n+1
|f(tk)− g0(tk)| ≤ δ(f,U) ≤ ‖f − g0‖∞d.h. fur min
k=1,...,n+1|f(tk)− g0(tk)| . ‖f − g0‖∞ =⇒ g0 ”
fast“ Bestapproximation
Ubung II-13 : • Ist f ∈ C[−a, a] eine (un)gerade Funktion, d.h. f(x) = −f(−x) bzw. f(x) = f(−x),und U ⊂ C[−a, a] ein Teilraum, fur den gelte : g ∈ U =⇒ g− ∈ U bzw. g+ ∈ U,g−(x) = 1
2 (g(x)− g(−x)), g+(x) = 12 (g(x) + g(−x)), x ∈ [−a, a], dann gibt es
auch eine (un)gerade Bestapproximation an f in U.
• Finden Sie alle Bestapproximationen g0 ∈ U = P1 zu f(x) =√x auf [0, 1]; geben
Sie δ(f,U) an.
• Zeigen Sie, dass fur U = Tn und f(x) = a cos(mx) + b sin(mx), a, b ∈ R, m ∈ N,m > n, die Bestapproximation gegeben ist durch g0 ≡ 0. Wie groß ist δ(f,U) ?
• Beweisen Sie folgende Aussage : Das Polynom p ∈ Pn, n ∈ N, mit an = 1, das vonf ≡ 0 die kleinste Abweichung hat, besitzt die Darstellung
p(x) =1
2n−1Tn(x), x ∈ [−1, 1],
wobei Tn(x) = cos(n arccosx) die (standardisierten) Tschebyscheff-Polynome 1. Artsind.
• Zeigen Sie die”Extremaleigenschaft der Tschebyscheff-Polynome“: fur alle p ∈ Pn gilt :
|p(x)| ≤ |Tn(x)| supt∈[−1,1]
|p(t)|, |x| > 1.
2.6 Orthogonale Polynome
Die gewichteten Raume Lp,w
Seien 1 ≤ p <∞, w : R −→ [0,∞) messbar, dann definiert man den gewichteten Lp-Raum
Lp,w(R) :=f : R −→ C : f messbar,
∫
Rw(x)|f(x)|p dx <∞
mit
‖f‖p,w :=( ∫
Rw(x)|f(x)|p dx
) 1p
, 1 ≤ p <∞
;”Pseudo-Norm“, d.h.
‖f − g‖p,w = 0 ⇐⇒ g ∼w f ⇐⇒ g(x) = f(x) f.u. in Dw := x ∈ R : w(x) > 0
y Bildung von Aquivalenzklassen, [f ]w = g : g ∼w f,
Lp,w = Lp,w/h ∈ Lp,w : ‖h‖p,w = 0 =
[f ]w :∫
Rw(x)|g(x)|p dx <∞, g ∈ [f ]w
2.6 Orthogonale Polynome 71
Es sei 0 ( Lp,w, d.h. es gelte nicht w(x) = 0 f.u. in R; oft Identifizierung f ∼ [f ]w, bzw. Lp,w ∼ Lp,w
bekannt :
• Lp,w, 1 ≤ p <∞, sind mit ‖ · ‖p,w Banach-Raume, gleichmaßig konvex fur 1 < p <∞• Holder 38-Ungleichung: 1 < p <∞, 1
p + 1p′ = 1, f ∈ Lp,w, g ∈ Lp′,w y ‖fg‖1,w ≤ ‖f‖p,w ‖g‖p′,w
• p = 2 =⇒ L2,w Hilbert-Raum mit Skalar-Produkt
〈f, g〉w =∫
R
w(x)f(x)g(x) dx,
vollstandig bezuglich ‖ · ‖2,w =√〈·, ·〉w
• Sei w ∈ Lloc1 (R), d.h. ∀(c, d) ⊂ R :
∫ d
c
w(x) dx < ∞. Dann liegen die Treppenfunktionen dicht in
Lp,w, ebenso wie die stetigen Funktionen mit kompaktem Trager (siehe z.B. [Sch71, Satz 2.10]).
Bezeichnung :
• w ≡ 1 99K Lp,w = Lp, ‖ · ‖p,w = ‖ · ‖p, . . .
• falls Dw ≈ (a, b), d.h. ∃ −∞ ≤ a < b ≤ ∞ : w(x) > 0 f.u. in (a, b), w(x) = 0, x 6∈ (a, b)99K Lp,w =: Lp,w(a, b)
Orthogonale Polynome
seien jetzt p = 2, −∞ ≤ a < b ≤ ∞, betrachten alle Gewichtsfunktionen w(x), so dass P ⊂ L2,w(a, b):
(i) −∞ < a < b <∞:
b∫
a
w(x) dx <∞ ⇐⇒ P ⊂ L2,w(a, b), wobei P dicht in L2,w(a, b) ist:
y in jeder Aquivalenzklasse [f ] ∈ L2,w(a, b) liegt hochstens ein Polynom, d.h. U := p ∈ P : p ∈ L2,w(a, b) ⊂L2,w(a, b) isomorph zu U = [p] : p ∈ P : [p] ∈ L2,w(a, b) ⊂ L2,w(a, b)
seien hk(x) := xk, k ∈ N0, linear unabhangig, Un := spanh0, . . . , hn = Pn, n ∈ N0, dimUn = n+ 1;man setzt zusatzlich : U−1 := 0, deg(0) = −1 (Grad des Nullpolynoms),
hn ∈ Un \Un−1, U−1 ⊆ U0 ⊆ U1 ⊆ · · · , U =⋃n
Un
38Otto Ludwig Holder (∗ 22.12.1859 Stuttgart † 29.8.1937 Leipzig)
72 2 Approximation in speziellen Raumen
bestimmen orthonormierte Basiselemente (ek)k, ek ∈ Uk \Uk−1, 〈ej , ek〉w = δjk; sei
Bemerkung : falls z.B. f ′(x) existiert =⇒ hx ∈ L2,w(a, b)
Ubung II-14 : • Beweisen Sie, dass die Polynome hk(x) = xk, k ∈ N0, auf [−1, 1] bezuglich keinerGewichtsfunktion w orthogonal sein konnen.
• Seien w eine Gewichtsfunktion mit w(x) = w(−x) auf [−1, 1], und pn orthogonalePolynome bezuglich 〈·, ·〉w auf [−1, 1]. Dann gilt pn(−x) = (−1)npn(x), x ∈ [−1, 1].
• Zeigen Sie, dass aus
(en+1(x)en(x)
)′> 0, x 6∈
λ
(n)1 , . . . , λ
(n)1
, fur die Nullstellen von
en+1 und en folgt : λ(n+1)m < λ
(n)m < λ
(n+1)m+1 , 1 ≤ m ≤ n.
Klassische Orthogonalpolynome – zwei Spezialfalle
Gewichtsfunktion w(x) ≥ 0 auf R gegeben, betrachten mit jeweils einem”klassischen“ Beispiel : w 6≡ 0
auf endlichem Intervall (Tschebyscheff-Polynome 1. Art) bzw. w 6≡ 0 auf unendlichem Intervall (Laguerre-Polynome)
1. Fall : Orthogonal-Polynome zu einer Gewichtsfunktion auf einem endlichem Intervall
y kann man auch als Spezialfall der Laguerre-Polynome auffassen, fur n ∈ N0, x ∈ R,
H2n(x) = (−1)n 22n n! L(− 12 )
n (x2), H2n+1(x) = (−1)n 22n+1 n! x L( 12 )
n (x2)
82 2 Approximation in speziellen Raumen
Satz 2.52 (Eigenschaften der Laguerre-Polynome)
Seien n ∈ N0, x ∈ (0,∞).
(i) Normierung :⟨L(α)
n , L(α)m
⟩w
=
0 , n 6= m
Γ(α+ n+ 1)n!
, n = m ∈ N0
Hauptkoeffizient : an =(−1)n
n!, n ∈ N
(ii) Rekursionsformel : L(α)0 (x) = 1, L
(α)1 (x) = −x+ 1 + α,
(n+ 1)L(α)n+1(x) = [(2n+ 1 + α)− x]L(α)
n (x)− (n+ α)L(α)n−1(x), n ∈ N
(iii) Differentialgleichung : y = L(α)n (x) ist Losung von x y′′ + (α+ 1− x)y′ + ny = 0
Be w e i s∗ : Rodrigues-Darstellung : L(α)n (x) =
1n!
ex x−α dn
dxn
(e−xxα+n
)
=⇒ L(α)n (x) =
n∑
k=0
(α+ n
n− k)
(−x)k
k!=⇒ L(α)
n (0) =(α+ n
n
), an =
(−1)n
n!
man kann zeigen : σn(α) = 2n+ 1 + α, τ2n(α) = n(n+ α) =====⇒
Satz 2.45· · · (ii), . . .
Bemerkung : aus Rodrigues-Darstellung fur L(α)n folgt
ddx
(wα+1(x)L
(α+1)n−1 (x)
)=
1(n− 1)!
ddx
(dn−1
dxn−1
(e−xxα+n
))=
n
n!dn
dxn
(e−xxα+n
)
= n wα(x) L(α)n (x) (39)
zur Erinnerung : haben L2,w(a, b) betrachtet, so dass P ⊂ L2,w(a, b) gilt (y Momentenbedingung furunendliche Intervalle (a, b)), aber i.a. gilt fur unendliche Intervalle (a, b) nicht : P dicht in L2,w(a, b)
Satz 2.53 Sei wα(x) = xα e−x, x ∈ (0,∞), α > −1. Die Menge der Polynome P liegt dicht im RaumL2,wα(0,∞).
Be w e i s : verwenden : stetige Funktionen mit kompaktem Trager dicht in L2,w(a, b) (siehe z.B. [Sch71,Satz 2.10]) 99K ausreichend, solche Funktionen durch P zu approximieren in L2,wα(0,∞)
sei f ∈ C(0,∞), supp f ⊂ (0, r), r > 0 y h(x) :=f(− lnx) , e−r ≤ x ≤ 1
A2(G) ist abgeschlossener Teilraum von L2(G) (siehe z.B. [Yos78, Prop. I.9.3, S. 53])
seien z0 ∈ G, 0 < r < dist (z0, ∂G) = 1− |z0|, f ∈ A2(G)
=⇒ f(z) =∞∑
n=0
an(z − z0)n, |z − z0| ≤ r
y ‖f‖2A ≥∫∫
|z−z0|≤r
|f(x+ iy︸ ︷︷ ︸z
)|2 dx dy =
r∫
0
2π∫
0
∞∑n=0
an%neinϕ
︸ ︷︷ ︸f(%eiϕ+z0)
∞∑
k=0
ak %ke−ikϕ
︸ ︷︷ ︸f(%eiϕ+z0)
% dϕ d%
= 2π∞∑
n=0
|an|2r∫
0
%2n+1 d% = 2π∞∑
n=0
|an|2 r2n+2
2n+ 2≥ 2π |a0|2︸︷︷︸
|f(z0)|2
r2
2= π r2 |f(z0)|2
y |f(z0)| ≤ 1√π r
‖f‖A
betrachten Lz0(f) := f(z0), z0 ∈ G, f ∈ A2(G) y Lz0 ∈ L (A2(G)) , |Lz0(f)| ≤ 1√π r︸ ︷︷ ︸
cz0
‖f‖A
=====⇒Satz 2.55
A2(G) besitzt einen reproduzierenden Kern KA(z, w)
=====⇒Def. 2.54
f(w) = 〈f,KA(·, w)〉A =∫∫
G
f(z)KA(z, w) dxdy =Satz 2.56(ii)
∫∫
G
f(z)KA(w, z) dxdy
mit z = x+ iy
hA
n
n
mit hAn (z) =
√n+ 1π
zn, n ∈ N0, vollstandiges Orthonormalsystem in A2(G):
〈hAk , h
An 〉A =
√(n+ 1)(k + 1)
π
∫∫
G
zn zk dx dy
=
√(n+ 1)(k + 1)
π
1∫
0
rn+k+1
2π∫
0
ei(n−k)ϕ dϕ
︸ ︷︷ ︸2πδnk
dr = 2(n+ 1)
1∫
0
r2n+1 dr = δnk
Vollstandigkeit : siehe z.B. [Dav75, Thm. 11.4.3]
50offen, beschrankt, zusammenhangend
51f analytisch in z0 ∈ G ⇐⇒ f(z) =∞P
n=0an(z− z0)n fur |z− z0| < r(z0); ausreichend ware auch f holomorph in G
2.7 Hilbertraume mit reproduzierendem Kern 89
=====⇒Satz 2.58
KA(z, w) =∞∑
n=0
hAn (z) hA
n (w)
=1π
∞∑n=0
(n+ 1) [zw]n
︸ ︷︷ ︸ddη ( 1
1−η )|η=zw
=1
π(1− zw)2, z, w ∈ G
y KA(z, z) =1
π(1− |z|2)2 , |z| < 1
K(x, x)
1
10
8
6
4
2
−1 0
f ∈ A2(G), w ∈ G =⇒s.o.
f(w) =1π
∫∫
G
f(z)(1− wz)2 dx dy, z = x+ iy
Bemerkung : KA(z, w) heißt Bergman-Kern fur G, z, w ∈ G ⊂ C
Folgerung 2.59 Seien H ein Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K(·, ·), und Lkk ⊂ L(H) mitder Eigenschaft, dass aus f ∈ H, Lk(f) = 0, k ∈ N, stets folgt f ≡ 0. Dann ist hnn, gegeben durch
hn(y) = LnK(·, y), n ∈ N, y ∈ S,
vollstandig in H, d.h. aus 〈g, hn〉 = 0, n ∈ N, folgt g ≡ 0.
Be w e i s : Ln ∈ L(H) =====⇒Satz 2.57
hn = Ln,xK(x, ·) ∈ H, Ln(f) = 〈f, hn〉, f ∈ Hy 0 = 〈g, hn〉 = Ln(g) ==⇒
Vor.g ≡ 0
Folgerung 2.60 Seien H ein Hilbertraum mit reproduzierendem Kern K(·, ·) und Orthonormalsystemhnn. Das System hnn ist vollstandig genau dann, wenn gilt
K(x, x) =∞∑
k=1
|hk(x)|2 , x ∈ S.
Be w e i s :”=⇒“ : folgt aus Satz 2.58
”⇐=“ : sei hnn nicht vollstandig y ∃ gkk ⊂ H : hnn ∪ gkk vollstandig, orthonormal in H
(siehe z.B. [Dav75, Thm. 9.3.12], [Wer00, Satz V.4.9])
=====⇒Satz 2.58
K(x, x) =∞∑
n=1
|hn(x)|2 +
>0︷ ︸︸ ︷∑
k
|gk(x)|2 >
∞∑n=1
|hn(x)|2 fur ein x ∈ S
90 2 Approximation in speziellen Raumen
Beispiel :H =F : [0, 1] −→ R : ∃ f ∈ L2[0, 1] : F (x) =
x∫0
f(t) dt, x ∈ [0, 1]
mit
〈F,G〉 :=
1∫
0
f(t)g(t) dt =
1∫
0
F ′(t)G′(t) dt, F,G ∈ H,
mit G(x) =x∫0
g(t) dt, F (x) =x∫0
f(t) dt; suchen K(·, ·)
======⇒Def. 2.54(ii)
〈F,K(·, x)〉 =
1∫
0
F ′(t)ddtK(t, x) dt = F (x) =
x∫
0
F ′(t) dt, x ∈ [0, 1], F ∈ H
yddtK(t, x) = χ
[0,x](t) y K(t, x) = (t+ c1(x))χ[0,x]
(t) + c2(x)χ[x,1](t)
==========⇒K(t, x) = K(x, t)
(t+ c1(x))χ[0,x](t) + c2(x)χ[x,1]
(t) = c2(t)χ[t,1](x)
︸ ︷︷ ︸χ
[0,x](t)
+(x+ c1(t))χ[0,t](x)
︸ ︷︷ ︸χ
[x,1](t)
y (t+ c1(t)− c2(t))χ[0,x](t) = (x+ c1(t)− c2(x))χ[x,1]
(t) y c1(x) = c, c2(x) = x+ c
y K(t, x) = t χ[0,x]
(t) + x χ[x,1]
(t) + c = min(x, t) + c
K(x, x) = 〈K(·, x),K(·, x)〉 =
1∫
0
(ddtK(t, x)
)2
︸ ︷︷ ︸χ
[0,x](t)
dt = x ===⇒c = 0
K(t, x) = min(x, t), x, t ∈ [0, 1]
=====⇒Satz 2.55
|F (x)|2 ≤ K(x, x) ‖F‖2 = x 〈F, F 〉 = x
1∫
0
|F ′(t)|2 dt, x ∈ [0, 1], F ∈ H
Bemerkung : K(t, x) . . . Green 52sche Funktion53 zur Differentialgleichung y′ = 0, y(0) = 0 auf [0, 1]
Beispiel : S = [−π, π], H = Tn ⊂ L2[−π, π], Kn(x, y) :=1πDn(x− y) =
sin(n+ 12 )(x− y)
2π sin x−y2
======⇒UA II-8 (iii)
Sn[f ](x) =1π
π∫
−π
Dn(t− x)f(t) dt = 〈f,Kn(·, x)〉 , x ∈ R, n ∈ N0
d.h. f(x) = 〈f,Kn(·, x)〉, f ∈ Tn, x ∈ R, n ∈ N0
52George Green (∗ Juli 1793 Nottingham † 31.5.1841 Nottingham)