Моделирование спектров отражения ипоглощения слоев с параболическим
профилем концентрации
Дурнев М.В.
16.04.2012
Структура образца
1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0 2 2 01 . 4 41 . 4 51 . 4 61 . 4 71 . 4 81 . 4 91 . 5 01 . 5 11 . 5 2
Energ
y, eV
Z - c o o r d i n a t e , n m
x = δx(2z/d)2
Eg = 1.515− 1.575x+ 0.477x2
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 2 / 13
Теоретическая модель
• Cистема двух дифференциальных уравнений, связывающихэлектрическое поле и поляризацию в среде
[ω0(z)− ω − i
Γ
2− ~
2M
∂2
∂z2
]P =
ε0ωLT
4πE[
∂2
∂z2+ ε0
ω2
c2
]E = −4π
ω2
c2P
• Граничные условия на поле: EA|z0 = EB |z0 ,∂EA
∂z|z0 =
∂EB
∂z|z0
• Дополнительные граничные условия на поляризацию (ДГУ
Пекара):(P ± γ ∂P
∂z
)|z=±d/2 = 0
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 3 / 13
Возможные методы решения
1 Интерференция поляритонных волн
E,P ∝ eikz =⇒ k = ±k1(ω), ±k2(ω)
E(z) = E+1 eik1z +E−1 e−ik1z +E+
2 eik2z +E−2 e−ik2z
2 Взаимодействие света с размерно-квантованнымисостояниями экситона
В.А. Киселев, И.В. Макаренко, Б.С. Разбирин, И.Н. Уральцев, Физика твердого тела 19, 8 (1977)
М.М. Воронов, Е.Л. Ивченко, В.А. Кособукин, А.Н. Поддубный, Физика твердого тела 49, 9 (2007)
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 4 / 13
Возможные методы решения
1 Интерференция поляритонных волн
E,P ∝ eikz =⇒ k = ±k1(ω), ±k2(ω)
E(z) = E+1 eik1z +E−1 e−ik1z +E+
2 eik2z +E−2 e−ik2z
2 Взаимодействие света с размерно-квантованнымисостояниями экситона
В.А. Киселев, И.В. Макаренко, Б.С. Разбирин, И.Н. Уральцев, Физика твердого тела 19, 8 (1977)
М.М. Воронов, Е.Л. Ивченко, В.А. Кособукин, А.Н. Поддубный, Физика твердого тела 49, 9 (2007)
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 4 / 13
Квантование экситона в отсутствие электрического поля
[ω0(z)− ωn − i
Γ
2− ~
2M
∂2
∂z2
]Pn = 0
Pn(±d/2) = 0
ω0(z) = ω0 + ∆ω(2z/d)2
P ′′n +2M
~
(ωn − Ω
z2
l2Ω
)Pn = 0
ωn = ωn − ω0 + iΓ/2
Ω = 4
√∆ω
~2
2Md2lΩ =
√2~MΩ
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 5 / 13
Уровни размерного квантования экситона
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 01 . 4 01 . 4 21 . 4 41 . 4 61 . 4 81 . 5 01 . 5 21 . 5 41 . 5 61 . 5 81 . 6 0
c a l c u l a t i o n a p p r o x i m a t i o n s G a A s
Energ
y, eV
L e v e l n u m b e r
δω = 79 meVd = 45 nmΩ = 6.8 meVδω/Ω ≈ 12 >> 1
Уровни одномерногоосциллятора
ωn = Ω(n+ 1/2)
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
N = 1 N = 3
Z - c o o r d i n a t e , n m0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
N = 1 2
Z - c o o r d i n a t e , n m
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 6 / 13
Уровни размерного квантования экситона
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 01 . 4 01 . 4 21 . 4 41 . 4 61 . 4 81 . 5 01 . 5 21 . 5 41 . 5 61 . 5 81 . 6 0
c a l c u l a t i o n a p p r o x i m a t i o n s G a A s
En
ergy,
eV
L e v e l n u m b e r
Уровни в однороднойяме
ωn =~2π2n2
2Md2
0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0
N = 1 3 N = 3 0
Z - c o o r d i n a t e , n mМоделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 7 / 13
Экситонный вклад в поляризацию
Волновые функции нижних уровней
Pn(x) =
(2
l2Ωπ
)1/41√
2nn!exp
(−z
2
l2Ω
)Hn
(√2z
lΩ
)
Функция Грина
G(z, z′, ω) =∑n
Pn(z)P ∗n(z′)
ωn − ω
Экситонный вклад в поляризацию
[ω0(z)− ω − i
Γ
2− ~
2M
∂2
∂z2
]P =
ε0ωLT
4πE
P (z) =ε0ωLT
4π
∫ d/2
−d/2
G(z, z′, ω)E(z′)dz′ =ε0ωLT
4π
∑n
Pn(z)
ωn − ωΛn
Λn =
∫P ∗n(z′)E(z′)dz′
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 8 / 13
Суммарное электрическое поле в слое
[∂2
∂z2+ ε0
ω2
c2
]E = −4π
ω2
c2P
G(z, z′, ω) = − i
2k0exp(ik0|z − z′|) , k0 =
√εω
c
E(z) = E0(z) + κ∑n
∑m
M−1nmΛ(0)
m
∫Pn(z′) exp(ik0|z − z′|)dz′
Λ(0)m =
∫P ∗m(z)E0(z)dz
Ωnm =
∫ ∫dzdz′P ∗m(z)Pn(z′) exp(ik0|z − z′|), κ = i
ωLT k0
2
Mmn = (ωn − ω)δmn − κΩmn
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 9 / 13
Коэффициент отражения в отсутствие контраста
Пренебрегая смешиванием уровней:
Mmn = (ωn + δωn)− ω + i(Γ0,n + Γ/2)δmn
Радиационный сдвиг и уширение уровня
δωn = −|κ|=Ωnn, Γ0,n = |κ|<Ωnn
Коэффициенты отражения и пропускания:
r =∑n
iΓ0,n
ωn − ω − i(Γ0,n + Γ/2)
t = 1 +∑n
i(−1)nΓ0,n
ωn − ω − i(Γ0,n + Γ/2)Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 10 / 13
При наличие контраста в симметричном случае:
r+ =1 + in0 tanφ+ κ
−→Λ M−1Λc(1 + n0)(1 + i tanφ)
1− in0 tanφ+ κ−→Λ M−1Λc(1− n0)(1 + i tanφ)
r− =1− in0 cotφ− κ
−→Λ M−1Λs(1 + n0)(i + cotφ)
1 + in0 cotφ− κ−→Λ M−1Λs(1− n0)(i + cotφ)
r =1
2(r+ + r−)
t =1
2(r+ − r−)
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 11 / 13
Моделирование эксперимента
rtot = r1 +re2ik0d1t21n0
1 + e2ik0d1rr1
ttot =t1te
ik0d1t21n0
1 + e2ik0d1rr1
r1 =1− n1 + n
; t1 =2
n+ 1
В более сложных структурах можно использовать технику матрицрассеяния
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 12 / 13
1 4 5 0 1 4 6 0 1 4 7 0 1 4 8 0 1 4 9 0 1 5 0 0 1 5 1 0 1 5 2 0
0 . 0
0 . 5
1 . 0
1 . 5
e x p e r i m e n t s i m u l a t i o n
Int
ensit
y, arb
.u.
E n e r g y , m e V
Ω = 4.3 meVω0 = 1.46 eVωLT = 1 meVΓ = 1 meVlΩ = 8.3 nm
k0lΩ << 1, поэтому нечетные пики пропадаютΩ ≈ EB , электрон и дырка квантуются независимо
Моделирование спектров отражения и поглощения слоев с параболическим профилем концентрации Дурнев М.В. 13 / 13