1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen - Arithmetik
von Prof. Dr. Dr. Heribert Popp,TH Deggendorf
Gliederung
• Summenzeichen• Produktzeichen• Binomialkoeffizient und Fakultät• Logarithmus naturalis (ln)
1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik
Die Menge IR der reellen Zahlen ist so konstruiert, dass in ihr die Ausführungen der vier Grundrechenarten möglich ist. Für je zwei Zahlen a, b R ist also auchAddition a + b IRSubtraktion a – b IRMultiplikation a * b IRDivision (für b 0) a / b IR
1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik
Regeln bezüglich der Vertauschbarkeit der Zahlen und derKlammermultiplikation (Assoziativität, Kommutativität, Distributivität) sind erfüllt. Gegeben sind die reellen Zahlen a, b, c .a + b = b + aa * b = b * a(a + b) + c = a + (b + c)(a * b) * c = a * (b * c)a + 0 = aa + (-a) = 0a * 1 = aa * 1/a = 1 für alle Werte von a außer der Null.a * 0 = 0a * (b + c) = a * b + a * c. (Distributivität)
Kap. 1.4 BeispielWurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
bcaacb 733337
Kap. 1.4 Aufgabe 1Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
bcaacb 733337
[richtig]
baab 7337
Kap. 1.4 Aufgabe 1Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
bcaacb 733337
[richtig]
baab 7337
Kap. 1.4 Aufgabe 1Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
bcaacb 733337
[richtig]
baab 7337 falsch
033
Kap. 1.4 Aufgabe 1Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
bcaacb 733337
[richtig]
baab 7337 falsch
033 falsch
babab 2121773
Kap. 1.4 Aufgabe 1Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)
bcaacb 733337
[richtig]
baab 7337 falsch
033 falsch
babab 2121773
Richtig
1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen1.4.1 Das Summenzeichen
(1.4.1) DefinitionDie Summe der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form
(sprich: Summe der ai, für i = m bis n).
n
miinmm aaaa 1
1.4.1 Das Summenzeichen
(1.4.1) DefinitionDie Summe der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form
(sprich: Summe der ai, für i = m bis n).Dabei heißen i Laufindex (Summationsindex), m untere und n obere Summationsgrenze (i, m, n Z; m n).
Der Ausdruck stellt also eine Anweisung dar, die
Summe der Zahlen ai zu bilden, wobei i alle ganzen Zahlen von m bis n durchläuft. Häufig tritt der Spezialfall einer Summe oderauf.
n
miinmm aaaa 1
n
miia
n
iia
1
n
iia
0
Beispiel
a1=4, a2=7, a3=12, a4=18
4118127443214
1
aaaaaii
Eine größere Bedeutung hat das Summenzeichen, wenn es möglich ist, die zu summierende Größe ai explizit als eine Funktion des Summationsindex i darzustellen.
Faustregel:1. unterscheiden sich die Folgeglieder um gleichen Betrag (habe er den Wert d), dann ist der Ausdruck etwas mit i*d (wobei i der Laufindex ist), z.B. 2+5+8+11; hier ist gleiche Differenz 3, also ist Formel 3*i, nun geht es mit Startwert los. Starte ich mit i=1, so wäre 1*3=3 und 1 zu hoch, also muss ich meinen Ausdruck, wenn ich mit i=1 starte um 1 reduzieren. Formel lautet Summe I=1 bis 4 von 3*i-1
2. Kann ich Regel 1) nicht anwenden, zerlege ich jeden Summanden um zu sehen, dass sich die zerlegten Teile je Summand um 1 in den Bestandteilen erhöhen, z.B. 4+9+16+25Ich zerlege 2*2+3*3+4*4+5*5also je Summand werden die zwei Faktoren des Produktes um 1 größer, genau das mach ja auch der Summationsindex i, starte ich mit i=2 wäre i*i der erste Summand 2*2 und dann steigt i auf 3 und der zweite Summand wäre 3*3, so dass ich habe: Summe I=2 bis 5 von i*i
3. Das Vorzeichenalternieren bei den Summanden lässt sich mit (-1)i realisieren ((-1)^1=-1;(-1)^2=1; i(-1)^3=-1; (-1)^4=1), wobei man die Potenz i so variieren muss (i, i+1), so dass er erste Summand das richtige Vorzeichen hat, z.B. 1,-2,3.-4 benötigt (-1)i-1, da erstes positiv sein muss und wenn i bei 1 beginnt muss zwei als Potenz beim ersten Summanden raus kommen.
n321
Beispiel:
n
i
in1
321
Beispiel:
Beispiel:
1110
143
132
1
Beispiel:
10
2 11
11101
431
321
i ii
Beispiel:
10
2 11
11101
431
321
i ii
Hierbei lautet das allgemeine Bildungsgesetz:
10,,2;1
1
iii
ai
.
Beispiel:
997531
Beispiel:
50
1
1 121997531i
i i
Beispiel:
50
1
1 121997531i
i i
Ungerade Zahlen kann man darstellen durch die Formel (2i-1); einen Vorzeichenwechsel durch die Formel (-1)i+1
Beispiel:
2562741
Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h. zerlegen4= 2*227=3*9=3*3*3256=16*16=4*4*4*4Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also
Beispiel:
2562741
Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h. zerlegen4= 2*227=3*9=3*3*3256=16*16=4*4*4*4Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also
ii
Beispiel:
2562741 ii
4
1i
ii
1.4.1 Das Summenzeichen
Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln:(1.4.2) Satz
a. (c = const);cncn
i
1
205*4555554
1
i
1.4.1 Das Summenzeichen
Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln:(1.4.2) Satz
(a) (c = const);
(b)
Ein Handelsunternehm,en hat 2 Filialen a und b und erzielt dort in einem Jahr die monatlichen Umsätze von ai und bi (i=1,…,12).Der gesamte Jahresumsatz berechnet sich aus
cncn
i
1
;
n
mii
n
mii
n
miii baba
12
1
12
1
12
1 ii
ii
iii baba
1.4.1 Das Summenzeichen
Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln:(1.4.2) Satz
(a) (c = const);
(b)
(c) (c IR);
(d) (m k n - 1);
Ein Unternehmen kann seinen jährlichen Gesamtumsatz bestimmen als Addition der Monatssummen oder Addition der beiden Halbjahre
cncn
i
1
;
n
mii
n
mii
n
miii baba
n
mii
n
mii acca
n
kii
k
mii
n
mii aaa
1
12
16
6
1
12
1 ii
ii
ii aaa
1.4.1 Das Summenzeichen
Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln:(1.4.2) Satz
(a) (c = const);
(b)
(c) (c IR);
(d) (m k n - 1);
(e)
cncn
i
1
;
n
mii
n
mii
n
miii baba
n
mii
n
mii acca
n
kii
k
mii
n
mii aaa
1
kn
kmiki
n
mii aa
612
616
12
1 ii
ii aa
Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe. Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.
Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez
Rohstoff 1 a1 1 a1 2 .. a1 12Rohstoff 2 a2 1
Rohstoff 3 :
Rohstoff 4 :
Rohstoff 5
Rohstoff 6
Rohstoff 7Rohstoff 8 a8 1 a8 12
8
1
1
i
ia
8
1
12
i
ia
Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe. Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.
Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez
Rohstoff 1 a1 1 a1 2 .. a1 12Rohstoff 2 a2 1
Rohstoff 3 :
Rohstoff 4 :
Rohstoff 5
Rohstoff 6
Rohstoff 7Rohstoff 8 a8 1 a8 12
12
1
1
j
ja
12
1
8
j
ja
8
1
1
i
ia
8
1
12
i
ia
Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe. Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.
Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez
Rohstoff 1 a1 1 a1 2 .. a1 12Rohstoff 2 a2 1
Rohstoff 3 :
Rohstoff 4 :
Rohstoff 5
Rohstoff 6
Rohstoff 7Rohstoff 8 a8 1 a8 12
8
1
12
1i jija
12
1
1
j
ja
12
1
8
j
ja
8
1
1
i
ia
8
1
12
i
ia
Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe. Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.
Beispiel Doppelsumme
2
1
1
0
)36(i j
iji
Berechnen Sie die Doppelsummen:
Beispiel Doppelsumme
2
1
1
0
)36(i j
iji
Berechnen Sie die Doppelsummen:
i=1 (j=0,1): 6*1+3*1*0+ 6*1+3*1*1
Beispiel Doppelsumme
2
1
1
0
)36(i j
iji
Berechnen Sie die Doppelsummen:
i=1 (j=0,1): 6*1+3*1*0+ 6*1+3*1*1+i=2 (j=0,1): 6*2+3*2*0+ 6*2+3*2*1=6+0 +6 +3+12+0+12+6 =45
1.4.1 Das Summenzeichen
Für Doppelsummen sind die zu Satz (1.4.2) analogen Rechenregeln erfüllt. Dabei gilt insbesondere:
es ist also gleichgültig, ob zuerst über die Indices i oder j summiert wird.
n
j
m
iij
m
i
n
jij aa
1 11 1
mnmn
n
jmj
n
jj
m
i
n
jij aaaaaaa
1111
111
1 1
(1.4.3) DefinitionGegeben seien die Zahlen a11, ..., amn IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe die Doppelsumme:
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.4) DefinitionDas Produkt der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form
(sprich: Produkt der ai, für i = m bis n).
n
miinmm aaaa 1
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.4) DefinitionDas Produkt der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form
(sprich: Produkt der ai, für i = m bis n).
Einen wichtigen Spezialfall stellt das Produkt (für n N und a0 = 1) dar.
Für eine beliebige reelle Zahl bezeichnen wir an als die n-te Potenz von a. Dabei heißt a Basis und die Hochzahl n Exponent.
n
miinmm aaaa 1
n
i
n aa1
Beispiel Produktzeichen
Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens
1251*
641*
271*
81*1
Beispiel Produktzeichen
Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens
1251*
641*
271*
81*1
Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen8=2*2*227= 3*3*364=4*4*4Formel lautet i^3
Beispiel Produktzeichen
Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens
125
1*641*
271*
81*1
Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen8=2*2*227= 3*3*364=4*4*4Formel lautet i^3
5
13
1i i
Rechenregeln für alle beliebigen Werte von außer der Null. Wir nennen den Kehrwert von.
Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie wenn sie in Klammern stünden.
Zwei Brüche und werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert:
Der Kehrwert eines Bruchs ist der Bruch .
Rechenregeln
333
Beispiel 1:
Rechenregeln
333
36
333
nicht
Beispiel 1:
Rechenregeln für alle beliebigen Werte von außer der Null. Wir nennen den Kehrwert von.
Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie wenn sie in Klammern stünden.
Zwei Brüche und werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert:
Der Kehrwert eines Bruchs ist der Bruch .
Rechenregeln
87
43
Beispiel 2:
Rechenregeln
3221
87
43
Beispiel 2:
Rechenregeln für alle beliebigen Werte von außer der Null. Wir nennen den Kehrwert von.
Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie wenn sie in Klammern stünden.
Zwei Brüche und werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert:
Der Kehrwert eines Bruchs ist der Bruch .
Rechenregeln• Zwei Brüche und werden dividiert, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des
Nennerbruchs multipliziert:
• Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes so umformen, dass man erhält, kann man den Bruch mit kürzen und erhält . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. . Es gilt dann also
• Brüche werden so addiert:1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner haben. 2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe .3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe und im Nenner der gleichnamige Ausdruck : .
• Eine Potenz ist ein Term, der in der Form dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind.
• Bei ungeradzahligem kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden
Rechenregeln
7321
Beispiel 3:
Rechenregeln
67
37
21
7321
Beispiel 3:
Rechenregeln• Zwei Brüche und werden dividiert, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des
Nennerbruchs multipliziert:
• Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes so umformen, dass man erhält, kann man den Bruch mit kürzen und erhält . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. . Es gilt dann also
• Brüche werden so addiert:1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner haben. 2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe .3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe und im Nenner der gleichnamige Ausdruck : .
• Eine Potenz ist ein Term, der in der Form dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind.
• Bei ungeradzahligem kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden
Rechenregeln
1612
Beispiel 4:
Rechenregeln
43
4434
1612
Beispiel 4:
Rechenregeln• Zwei Brüche und werden dividiert, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des
Nennerbruchs multipliziert:
• Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes so umformen, dass man erhält, kann man den Bruch mit kürzen und erhält . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. . Es gilt dann also
• Brüche werden so addiert:1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner haben. 2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe .3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe und im Nenner der gleichnamige Ausdruck : .
• Eine Potenz ist ein Term, der in der Form dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind.
• Bei ungeradzahligem kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden
Rechenregeln
97
64
Beispiel 5:
Rechenregeln
913
97
96
97
64
Beispiel 5:
Rechenregeln• Zwei Brüche und werden dividiert, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des
Nennerbruchs multipliziert:
• Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes so umformen, dass man erhält, kann man den Bruch mit kürzen und erhält . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. . Es gilt dann also
• Brüche werden so addiert:1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner haben. 2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe .3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe und im Nenner der gleichnamige Ausdruck : .
• Eine Potenz ist ein Term, der in der Form dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind.
• Bei ungeradzahligem kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden
Rechenregeln
51
51
51
51
Beispiel 6:
Rechenregeln
)51(
4
51
51
51
51
Beispiel 6:
Rechenregeln• Zwei Brüche und werden dividiert, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des
Nennerbruchs multipliziert:
• Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes so umformen, dass man erhält, kann man den Bruch mit kürzen und erhält . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. . Es gilt dann also
• Brüche werden so addiert:1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so
umgeformt, dass sie den gleichen Nenner haben. 2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe .3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe und im Nenner der gleichnamige Ausdruck : .
• Eine Potenz ist ein Term, der in der Form dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind.
• Bei ungeradzahligem kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden
Rechenregeln
3 8
Beispiel 7:
Rechenregeln
283
Beispiel 7:
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:
(a) an * am = an+m; 23*24= 8*16=128
23+4= 27=128
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:
(a) an * am = an+m;
(b) (an)m = an*m;
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:
(a) an * am = an+m;
(b) (an)m = an*m; (23)4=212=
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:
(a) an * am = an+m;
(b) (an)m = an*m; (23)4=84=4096
212=4096
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:
(a) an * am = an+m;
(b) (an)m = an*m;
(c) für a 0; mm aa
1
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:
(a) an * am = an+m;
(b) (an)m = an*m;
(c) für a 0;
(d) für a 0;
mm aa
1
mnm
n
aaa 23/24=8/16=1/2
23-4=1/2
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:
(a) an * am = an+m;
(b) (an)m = an*m;
(c) für a 0;
(d) für a 0;
(e) anbn = (ab)n.
mm aa
1
mnm
n
aaa
23/24=8/16=1/2 23-4=1/2
22*32= (2*3)2=
1.4.2 Das Produktzeichen
(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:
(a) an * am = an+m;
(b) (an)m = an*m;
(c) für a 0;
(d) für a 0;
(e) anbn = (ab)n
(f) a m/n =
mm aa
1
mnm
n
aaa
23/24=8/16=1/2 23-4=1/2
22*32=4*9= 36 (2*3)2=62=36
n ma 521
2 55
Quadratische Gleichung• ax² + bx + c = 0
mit a, b, c IR und a 0 • Es gibt hierbei zwei Lösungen x1 und x2 falls • b² - 4ac 0
aacbbx
242
2,1
Im Falle von b² - 4ac < 0 existiert keine reellwertige Lösung.
Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:
x² - 4x + 3 = 0 1,32
242
12164212,1
xxx
aacbbx
242
2,1
1.4.3 Binomkialkoeffizient und Fakultät
(1.4.6) DefinitionSeien n, k N {0} mit k n. Dann setzen wir
(a) und 0! = 1
(sprich: n- Fakultät); n! ist die Anzahl der möglichen Anordnungen
n
i
nin1
321!
1.4.3 Binomkialkoeffizient und Fakultät
(1.4.6) DefinitionSeien n, k N {0} mit k n. Dann setzen wir
(a) und 0! = 1
(sprich: n- Fakultät);
(b)
(sprich: n über k).
Man bezeichnet als Binomialkoeffizienten.Binomialkoeffizient n über k ist Anzahl der k-elementigen
Teilmengen aus einer n-elementigen Menge.
n
i
nin1
321!
!!
!21
11kkn
nkknnn
kn
kn
0! =
1! =
2! =
3! =
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! =
2! =
3! =
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! =
3! =
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! =
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! =
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
71!=
Beispiele
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
71!= am Taschenrechner nicht rechenbar (69! ist die letzte rechenbare Zahl).
Beispiele
Beispiele:
46
02
Beispiele:
1!0!2
!202
Beispiele:
15432121654321
!4!2!6
46
1!0!2
!202
1.4.3 Binomkialkoeffizient und Fakultät
(1.4.7) SatzFür die Zahlen n, k N mit k n gilt:
1. (n + 1)! = (n + 1) * n! 4! = 4*3!
2.
3.
nnn
1
,10
knn
kn
Beispiel:Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:
)1()!1(
nnn
Beispiel:Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:
)1()!1(
nnn
)1(!)1(
)1()!1(
nnnn
nnn
Beispiel:Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:
)1()!1(
nnn
)1(!)1(
)1()!1(
nnnn
nnn
)1()!1()1(
)1(!)1(
)1()!1(
nnnnn
nnnn
nnn
Beispiel:Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:
)1()!1(
nnn
)1(!)1(
)1()!1(
nnnn
nnn
)1()!1()1(
)1(!)1(
)1()!1(
nnnnn
nnnn
nnn
)!1()1(
)!1()1()1(!)1(
)1()!1(
nnnnnn
nnnn
nnn
1.4.3 Binomkialkoeffizient und Fakultät
(1.4.8) SatzSeien a, b IR und n N. Dann gilt:
n
k
kkn
nnnnnn
bakn
babnn
ban
ban
aba
0
1221
121
Beispiel
kk
k
bak
ba
3
3
0
3 3)(
Beispiel
kk
k
bak
ba
3
3
0
3 3)(
03
03
ba
Beispiel
kk
k
bak
ba
3
3
0
3 3)(
1203
13
03
baba
Beispiel
kk
k
bak
ba
3
3
0
3 3)(
30211203
33
23
13
03
babababa
Beispiel
kk
k
bak
ba
3
3
0
3 3)(
30211203
33
23
13
03
babababa
3223 33 babbaa
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Logarithmen sind in der Wissenschaft ein unverzichtbares
Werkzeug, denn damit können beispielsweise sehr komplizierte Formeln in einfachere Ausdrücke überführt werden.
• Einführungsbeispiel:• Betrachten wir die Gleichung . Wir suchen den Wert x der die
Gleichung löst. Salopp könnte man das schreiben als • Die kleine Kopfrechnung verrät uns, dass ist. Wir können die
Lösung so hinschreibenund so sprechen: „Der Logarithmus zur Basis 5 von 125 ist 3“.
• Es sind die beiden Aussagen und äquivalent, was „gleichwertig“ heißt.
• „Der Logarithmus zur Basis a von x ist y.“• Der Logarithmus gibt an, welche Potenz x die Gleichung ergibt: .
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Beispiele:• also
• Spezieller Logarithmus zur Basis e, wobei diese die eulersche Zahl ist.
• =ln y• Wir nennen ihn den natürlichen Logarithmus. Seine
Kurzschreibweise ist lny.• Die Bezeichnung natürlich hat sich eingebürgert, weil dieser
Logarithmus - wie die Basis e - sehr einfach in der Anwendung ist. So findet er ähnliche Anwendungen wie e, beispielsweise bei Wachstumsprozessen. Allerdings kann man hier nicht ohne Taschenrechner auf das zugrunde liegende y schließen.
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Rechenregeln für LogarithmenDie Rechenregeln gelten für alle Basen e.
• Der Logarithmus von y ist nur für Werte y>0 definiert. • ln 1=0• ln (y*z)=ln y + ln zWir interessieren uns für . Es ist oder aber mit und :
• ln(y/x) = ln(y)- ln(x)
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Beispiel:
Wir interessieren uns für ln(528/22). Es ist ln(528/22)=ln(24)=3,178. ln(528/22)=ln 528-ln 22=6,27-3,09=3,178
ln (1/y)= -ln yln zb= b ln z
• Beispiel:ln 153=ln 3375 = 3,52833 ln 15=3*1,1761=3,5283
Eine Rechenregel, die einem das Auflösen von Gleichungen sehr erleichtern kann, ist
ln ex =x
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Beispiele:
1. Wir wollen vereinfachen und gehen in mehreren Schritten vor:
1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)Wir beachten: Der Ausdruck bedeutet nichtln*e, sondern er bedeutet ln(e), also der Logarithmus von e.
Zusammenfassend können wir feststellen, dass die Rechenregeln für Logarithmen dem Umgang mit Potenzen entsprechen. Logarithmen können nur die oben beschriebenen Regeln. Ausdrücke wie ln(x+y) dürfen daher nicht weiter zerlegt werden - auch, wenn uns das manchmal unbefriedigend erscheint.
ln(x+y)<>ln(x)+ln(y)
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) DefinitionGegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser nElemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) DefinitionGegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser nElemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.Beispiel: drei Elemente a,b,cabc,bac,cab,acb,bca,cba
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) DefinitionGegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser nElemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.
(1.4.10) Satz(a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Permutationen n!
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) DefinitionGegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser nElemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.
(1.4.10) Satz(a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Permutationen n!
Beispiel: Elemente a,b,a; zwei Gruppen a (n1=2), b (n1=1)
aab,aba,baa
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.9) DefinitionGegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser nElemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.
(1.4.10) Satz(a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Permutationen n!(b) Für n Elemente, die aus r Gruppen zu je n1, ..., nr (n = n1+ ...+ nr) gleichen Elementen bestehen, beträgt die Anzahl der Permutationen
!!!!
21 rnnnn
Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden.
Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden.
8! =
Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden.
8! = 40.320
Es ergeben sich somit 40.320 unterschiedliche Reihenfolgen für die Durchführung der Produktion.
Aus 3 Wagen 1. Klasse, 5 Wagen 2. Klasse und 2 Schlafwagen soll ein Zug von 10 Wagen zusammengestellt werden.
Aus 3 Wagen 1. Klasse, 5 Wagen 2. Klasse und 2 Schlafwagen soll ein Zug von 10 Wagen zusammengestellt werden.
Es gibt hierbei also Gruppen von je 3, 5 und 2 gleichen Wagen, so dass sich insgesamt
2520!2!5!3
!10
verschiedene Arten der Zusammenstellung ergeben.
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.11) DefinitionJede Zusammenstellung von k Elementen aus ngegebenen Elementen bezeichnet man als eineKombination der k- ten Ordnung.Die Anzahl der Kombinationen hängt natürlich davon ab,ob es auf die Reihenfolge der Elemente ankommt oder oballe Elemente verschieden sein müssen.
(1.4.12) Definition (Mit Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung)
Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgtdie Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung mitBerücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung:
n*(n -1)*(n - 2)* ... * (n - k + 1) = !!
! kkn
knn
Ein 20-köpfiger Aufsichtsrat bestimmt aus seiner Mitte einen Vorsitzenden und seinen Stellvertreter.
Ein 20-köpfiger Aufsichtsrat bestimmt aus seiner Mitte einen Vorsitzenden und seinen Stellvertreter.
Da es hierbei auf die Reihenfolge ankommt und kein Mitglied beide Funktionen gleichzeitig ausüben kann, gibt es
3802019!18!20
!220!20
verschiedene Besetzungsmöglichkeiten.
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.13) Satz (ohne Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung)
Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl derKombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der
Anordnung und ohne Wiederholung .
kn
Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6 anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig ist.
Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6 anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig ist.
Es gibt deshalb dafür
649
Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6 anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig ist.
Es gibt deshalb dafür
649
=13.983.816 Möglichkeiten.
3
49
Will man dagegen 3 Zahlen ankreuzen, so beträgt die Anzahl der Möglichkeiten nur
Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6 anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig ist.
Es gibt deshalb dafür
649
=13.983.816 Möglichkeiten.
3
49=18.424.
Will man dagegen 3 Zahlen ankreuzen, so beträgt die Anzahl der Möglichkeiten nur
1.4.5 Permutation und Kombination
(1.4.13) Satz (Mit Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung)
Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl derKombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung .
(1.4.14) Satz (Mit Berücksichtigung der Anordnung und Wiederholung)
Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgt dieAnzahl der Kombinationen k- ter Ordnung mitBerücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholungen nk.
(1.4.15) Satz (ohne Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholung)
Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholung .
kn
kkn 1
Bei der Beurteilung der Klangqualität von 10 Lautsprecher-Boxen verschiedener Hersteller wird so verfahren, dass die Tester jeweils einen Hörvergleich zwischen 2 Boxen-Paaren vornehmen. Um die Objektivität der Tester zu überprüfen, soll auch jeweils ein Hörvergleich zwischen zwei Boxen-Paaren des gleichen Fabrikats stattfinden.
Bei der Beurteilung der Klangqualität von 10 Lautsprecher-Boxen verschiedener Hersteller wird so verfahren, dass die Tester jeweils einen Hörvergleich zwischen 2 Boxen-Paaren vornehmen. Um die Objektivität der Tester zu überprüfen, soll auch jeweils ein Hörvergleich zwischen zwei Boxen-Paaren des gleichen Fabrikats stattfinden.
Da es hierbei nicht auf die Reihenfolge ankommt und Wiederholungen zugelassen sind, muss jeder Tester insgesamt
552
112
1210
Hörvergleiche durchführen.