Anhang A: Rechenregeln fur Erwartungswert, Varianz und Kovarianz Hier werden nur spezielle Rechenregeln des Erwartungswertes, der Varianz und der Kovarianz behandelt. Erganzend gelten die in Abschnitt 5.6 behandelten Eigenschaften. Dort sind teilweise auch die Beweise fiir die aufgelisteten Rechen- regeln gefiihrt. A.1 Erwartungswert Der Erwartungswert E(X) ist ein Durchschnittswert, den die Zufallsvariable X bei hiiufigem Durchfiihren eines Zufallsexperiments im Mittel annehmen wird (vgl. Abschnitt 5.5). Fiir ihn gelten folgende Regeln: • Konstante Eine Konstante ist eine feste GroBe, die nicht variiert wird. Ihr Erwartungswert ist deshalb die Konstante selbst: (A.l) E(a)=a. Beispiel A.I: Der Erwartungswert von a = 5 ist E(a)=E(5)=5. • • Multiplikativer Faktor Ahnlich wie beim Summenzeichen kann auch beim Erwartungswert ein multi- plikativer Faktor vor den Erwartungswertoperator gezogen werden: (A. 2) E(b.X)= b.E(X). Beispiel A.2: Gehen wir von folgendem Gliicksspiel aus: Ein Los kostet 1 E (Einsatz). In einer Trommel sind 100 Lose, von denen 10 eine Auszahlung von 5 € (Hauptgewinn) und 40 eine Auszahlung von 1 E versprechen. Die iibrigen 100 -10 - 40 = 50 Lose sind Nieten, fiihren also zu einer Auszahlung von 0 E. Vnter Beachtung der Definition, dass sich der Gewinn als Differenz zwischen Auszahlung und Einsatz ergibt, erhiilt man folgende Gewinne: • Niete: Gewinn = Auszahlung - Einsatz = 0 -1 = -1 [€] • Auszahlung von 1 E: Gewinn = Auszahlung - Einsatz = 1-1 = 0 [€]
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Anhang A: Rechenregeln fur Erwartungswert, Varianz und Kovarianz
Hier werden nur spezielle Rechenregeln des Erwartungswertes, der Varianz und der Kovarianz behandelt. Erganzend gelten die in Abschnitt 5.6 behandelten Eigenschaften. Dort sind teilweise auch die Beweise fiir die aufgelisteten Rechenregeln gefiihrt.
A.1 Erwartungswert
Der Erwartungswert E(X) ist ein Durchschnittswert, den die Zufallsvariable X bei hiiufigem Durchfiihren eines Zufallsexperiments im Mittel annehmen wird (vgl. Abschnitt 5.5). Fiir ihn gelten folgende Regeln:
• Konstante
Eine Konstante ist eine feste GroBe, die nicht variiert wird. Ihr Erwartungswert ist deshalb die Konstante selbst:
(A.l) E(a)=a.
Beispiel A.I: Der Erwartungswert von a = 5 ist
E(a)=E(5)=5. • • Multiplikativer Faktor
Ahnlich wie beim Summenzeichen kann auch beim Erwartungswert ein multiplikativer Faktor vor den Erwartungswertoperator gezogen werden:
(A. 2) E(b.X)= b.E(X).
Beispiel A.2: Gehen wir von folgendem Gliicksspiel aus: Ein Los kostet 1 E (Einsatz). In einer Trommel sind 100 Lose, von denen 10 eine Auszahlung von 5 € (Hauptgewinn) und 40 eine Auszahlung von 1 E versprechen. Die iibrigen 100 -10 - 40 = 50 Lose sind Nieten, fiihren also zu einer Auszahlung von 0 E.
Vnter Beachtung der Definition, dass sich der Gewinn als Differenz zwischen Auszahlung und Einsatz ergibt, erhiilt man folgende Gewinne:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion hat dann folgendes Aussehen:
50 I fUr x =-1 - --
100 2
40 2 fUrx=O - --
f(x)= 100 5
10 ftirx=4 - = -
100 10
0 sonst
Wie groB ist der Erwartungswert, wenn auf den Gewinn 10 % Abgaben zu zahlen sind, also nur 90 % ubrig bleiben?
Anwendung von E(b·X)= E(0,9·X)
• Erwartungswert des Gewinns ohne Abgaben:
3 9 E( 0,9 . X) = L 10 . x j . p j
J=!
=~.(-1) . .!.+~.0.~ 10 2 10 5
+~.4.~ 10 10
9 36 =--+0+-
20 100 45 36 9
=--+-=--100 100 100
= -0,09 [fl.
Beispiel A.3: Gegeben sei folgende Dichtefunktion:
Anwendung von b· E(X) = 0,9· E(X)
• Erwartungswert des Gewinns: 3
E(X)= LXj ·Pj j=!
=(-1) . .!.+0.~+4.~ 2 5 10
5 4 1 = -10+ 10 = -10 =-0,1 [€]
• Erwartungswert des Gewinns ohne Abgaben: 0,9· E(X) = 0,9· (- 0,1) = -0,09 [€].
{o fUr - 00 < x :s; 0
f(x)= 1/2x fUr 0<x:S;2
o fUr 2<x:S;+00
Multipliziert man X mit b = 5, so betriigt der entsprechende Erwartungswert:
•
Anhang A: Rechenregeln fUr Erwartungswert, Varianz und Kovarianz 281
2 2 1 2 S E(S.X)= fSx.f(x)dx= JSx.-xdx= f-X2 dx
o 0 2 0 2
=1~X312 =~.23 _~.03 = 40 -0 =6 667. 6 0 6 6 6 '
Das gleiche Ergebnis erhiilt man, wenn der einfache Erwartungswert, der in Beispiel S.12 ermittelt wurde:
2 4 IJ=E(X)= fx.f(x)dx="3'
o
mit b = S multipliziert wird.
E(X)·S =.±.S = 20 = 6 667. 3 3 ' •
• Lineartransformation
Die beiden Rechenregeln zum Erwartungswert einer Konstanten und zum Erwartungswert einer Zufallsvariablen lassen sich kompakt in der Formel fUr den Erwartungswert einer lineartransformierten Zufallsvariable darstellen (vgl. hierzu Abschnitt S.6):
(A.3) E(Y)=E(a+b.X)=a+b.E(X).
mit
(A.4) Y = a+ b·X .
• Summe
Der Erwartungswert von der Summe zweier Zufallsvariabler X und Y Hisst sich durch summandenweises Berechnen der zwei Erwartungswerte bestimmen:
(A.S) E(X±Y)=E(X)±E(Y).
Beispiel A.4: Die Rechenregel des summandenweisen Addierens sei nur am Beispiel fUr den stetigen Fall demonstriert. Gegeben sind folgende Dichtefunktionen:
{o fUr
f(x)= 1/2x fUr
o fUr
-oo<x$;O {O 0< x$;2 ,f{Y) = 0,04y + 0,06
2<x$;+oo 0
fUr -oo<y$;l
fUr 1<y$;6.
fUr 6<y$;oo
282 Anhang A: Rechenregeln fur Erwartungswert, Varianz und Kovarianz
Unter Verwendung des Erwartungswertes von X,
2 4 E(X)= fx.f(x)dx=-=1,333 ,
o 3
undY,
erhiilt man:
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=1,333+3,917=5,25. • A.2 Varianz
Die Varianz Var(X),
als Streuungsparameter gibt die durchschnittlichen Abweichungen vom arithmetischen Mittel wieder (vgl. Abschnitt 5.5). Fur sie gelten folgende Regeln:
• Konstante
Eine Konstante als feste GroBe besitzt keine Streuung. Ihre Varianz ist deshalb null:
(A. 7) Var(a)= O.
Beispiel A.5: Die Varianz von a = 5 betragt
Var(a)= Var(5)= O. • • Multiplikativer Faktor
Die Varianz misst die quadrierten Abweichungen. Ein multiplikativer Faktor, der vor den Varianz-Operator gezogen wird, muss deshalb quadriert werden:
Anhang A: Rechemegeln flir Erwartungswert, Varianz und Kovarianz
(A.8) Var{b.X}=b2 .Var{X}.
Beispiel A.6 (Fortsetzung von Beispiel A.2): Beim Losbeispiel betrligt die Wahrscheinlichkeitsfunktion fiir den Gewinn
{
0,5 fiir x =-1
f{x}= 0,4 fiir x = ° 0,1 fUr x = 4
° sonst
283
Wie groB ist die Varianz, wenn auf den Gewinn 10 % Abgaben zu zahlen sind, also nur 90 % ubrig bleiben? Vnter Verwendung der Varianz fiir den Gewinn,
erhlilt man die Varianz des Gewinns ohne die Abgaben:
Var(b. X)= b2 . Var(X}= 0,92 .2,090 = 1,693 [£2].
• Lineartransformation
•
Fur die Varianz einer lineartransformierten Zufallsvariablen gilt die aus Abschnitt 5.6 bekannte Rechenregel:
(A.9) Var(Y) = Var(a + bX}= b2 . Var(X) .
• Summe
1m Gegensatz zum Erwartungswertoperator diirfen die Einzelvarianzen der Zufallsvariablen X und Y nicht einfach aufaddiert werden, urn die Varianz der Summe Var(X + Y} zu berechnen. Beriicksichtigt werden muss nlimlich noch die Kovarianz zwischen beiden Zufallsvariablen Cov(X, Y}:
(A.lO) Var(X± Y}= Var(X}+ Var(Y} ±2.Cov(X, Y}. t
X und Y sind nicht unabhlingig
284 Anhang A: Rechenregeln fur Erwartungswert, Varianz und Kovarianz
Die Kovarianz ist null, wenn beide Variablen unabhangig voneinander sind. Unter dieser Voraussetzung gilt:
(A. I I ) Var(X ± Y)= Var(X)+ Var(Y). t
X und Y sind unabhangig
A.3 Kovarianz
Die Kovarianz misst den Zusammenhang zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y. Ein positiver Wert zeigt einen positiven Zusammenhang an. Mit iiberdurchschnittlichen Werten der einen Zufallsvariablen gehen dann tendenziell iiberdurchschnittliche Werte der anderen Zufallsvariablen einher. Eine negative Kovarianz belegt einen negativen Zusammenhang, also dass mit iiberdurchschnittiichen Werten der einen Zufallsvariablen tendenziell unterdurchschnittliche Werte der anderen Zufallsvariablen korrespondieren. Eine Kovarianz von null zeigt an, dass zwischen zwei Zufallsvariablen kein (linearer) Zusammenhang besteht.
Da die Kovarianz im voriiegenden Lehrbuch nur im Abschnitt 8 vorkommt, seien die Rechenregeln ohne Beispiele kurz angegeben:
50 Da mit der Kovarianz der lineare Zusammenhang zwischen X und Y gemessen wird, reicht fur die Giiltigkeit der Beziehung (A. 13) die Unkorreliertheit anstelle der stiirkeren Forderung der Unabhiingigkeit aus.
Anhang B: Tabellen
Tbll Bl a e e .. . 1 '1 lDomla vertel uog p=0,1 p=0,2 p=0,3 p=0,4 p=0,5
Eckstein, Peter P. 2002: Klausurtraining Statistik, 3., iiberarb. und erw. Aufl., Wiesbaden.
Lippe, Peter von der 2004: Induktive Statistik. Forme1n, Aufgaben, Klausurtraining, 6., iiberarb. Aufl., Miinchen.
Schwarze, Jochen 2002: Aufgabensammlung zur Statistik, 4. Aufl., Heme/Berlin.
Vogel, Friedrich 2001: Beschreibende und schlieBende Statistik, Aufgaben und Beispiele, 9., kOIT. u. erw. Aufl., MiinchenIWien.
Index
Abhangigkeit 43 ff., 189, 250, 261,
268
Additionssatz fUr zwei Ereignisse
32 fo
Annahmebereich 224 ff.
Anordnungsproblem 17 ff
Anteilswert 164,189,196 f., 213 ff.,
223 fo, 239, 243, 258
Anteilswertdifferenzentest 258
Anteilswerttest 243
Approximation 98,156,167,171 ff.,
209,213,216,220,223,243,247,
254,256 ffo
arithmetisches Mittel ~ 73, 104, 119,
120,176,196,203,217,239,265
Auswahl
~ aufs Geradewohl (wilkiihrliche
Auswahl) 183
~ einfache Zufalls- 2, 183 ff.
~ geschichtete Zufalls- 184 f.
~ Klumpen- 185 fo
~ -satz- 184 ffo
Bayes 37,40,41,42
Bemoulli-Prozess 91 ff., 105
Bias 190,194
Binomialkoeffizient 21
Chi-Quadrat-Anpassungstest 262 ff.
Chi -Quadrat -U nabhiingigkeitstest
261,269 ff
Chi-Quadrat-Verteilung 131 ff., 140,
176,215 f, 220, 262 ff, 271 fo
Dichtefunktion 57 ffo, 67 ff., 86 f.,
112 ff., 126 fo, 132 ff, 140 fo,
147 ffo, 156, 161, 172, 190, 193,
199,205,231 ffo, 265, 280 f.
~ gemeinsame 142, 147 fo
~ Rand- 150
~ Zulassigkeit der 58
disjunkt 10, 11,28,29,32,37
Doppelter GauB-Test 251, 262
Doppelter t-Test 253,262
Effizienz 192
Endlichkeitskorrektur 104
Entscheidungsbaum 36, 39
Entstandardisierung 180, 204, 218,
247
Ereignis 3 ff., 28 ff., 51, 91, 94 ffo,
105 ff., 115, 164 f., 169, 173 ff.
~ disjunktes 34
~ Elementar- 7, 16,32,45,56
~ Komplementar- 9 f., 29 f., 91, 158,
168
~ Teil- 8, 30 f
~ unmogliches 7 fo
Ergebnis 1 ffo, 16 fo
- -menge 4 ffo, 16,33,34,47 ff.
- - endliche 16
- - unendliche 5
304
Erhebung 180 ff.
~ Teil- 180 ff.
~ Vol1- 1, 180 ff.
Erwartungstreue 190 ff.
~ asymptotische 194 f., 199
Erwartungswert 73 ff., 81 ff., 89 ff.,
103 ff., 110, 114, 121, 128 f., 134,
137, 141, 151 f., 157 ff., 166 ff.,
188 ff., 198, 208, 222, 228, 240,
241 ff., 250 ff., 276, 279 ff.
~ Eigenschaften yom 77 ff.
~ Rechenregeln flir den 279 ff.
Exponentialverteilung 114 ff.
Fehler 1. Art 227,230 ff.
Fehler 2. Art 230 ff., 261 ff.
Fehlermarge 222 f.
Freiheitsgrade 132 ff., 176, 179,
208, 215, 220, 243, 246, 253,
256 f., 260 ff., 271 f.
~ Nenner- 140
~ Ziihler- 140
F-Test 253 ff., 260 ff.
Gammafunktion 133
GauB-Test 228 f., 240 f., 250 ff., 262
Gesetz
~ Assoziativ- 12
~ Distributiv- 12
~ Kommutativ- 12
~ Gesetz der groBen Zahlen 156,
160 ff.
~ ~ von Bernoulli 164 f.
Index
~ ~ von Tschebyscheff 161 f.
Gleichverteilung 89 f., 112 ff., 263 f.
~ diskrete 89 ff.
~ stetige 112 ff.
Grenzwertsiitze 156, 164 ff.
Grundgesamtheit 1 f., 156, 161, 166,
180 ff., 187, 189 ff.
Giitekriterien flir Punktschiitzer
188 ff.
Hiiufigkeit 14 f., 37, 45, 56, 164 f.,
175, 262 ff., 267 ff.
~ absolute 13, 164, 175,270
~ beobachtete 262 ff.
~ erwartete 262 ff.
~ Rand- 270 ff.
~ zweidimensionale 270
Hypothese
~ Alternativ- 221 ff., 228 f., 233 f.,
262
~ Nul1- 221 ff., 227 ff.
~ Parameter- 221
~ Punkt- 222,229,233
~ Unabhiingigkeits- 221
~ Verteilungs- 221
Interval1schiitzung 201 ff.
Irrtumswahrscheinlichkeit 231 ff.
Kennzahlen 85
Kleinst-Quadrate-Schiitzer 199 f.
Kleinst-Quadrate-Schiitzung 199 f.
Klumpenauswahl 185 f.
Index
Ko1mogorov-Smimoff-
Anpassungstest 267 ff.
Kombinationen 19 ff.
Kombinatorik 17 ff.
Konfidenzaussage 211 f.
Konfidenzintervall 201 ff.
~ fUr den Antei1swert 212 ff.
~ fUr den Erwartungswert 204,
208 ff.
~ fUr die Varianz 217 ff.
~ -Liinge 211,221 ff.
Konfidenzniveau 201 f., 206,
207 ff., 210 ff., 221 ff., 233
Konsistenz 194 f.
Konstante 79,81, 149,279,282
Korre1ationskoeffizient 153 f.
Kovarianz 151 ff., 279, 283 f.
kritischer Wert 222 ff.
KSA-Test 261,267 ff.
Lageparameter 86
Likelihood-Funktion 199
Lineartransformation 79 f., 175,
281,283
Macht eines Tests 231
Machtigkeit 16
MaBzahl 73,117,134
Maximum-Likelihood-Methode
198 f.
Momente 85, 86, 188, 198
~ gewohn1iche 85,198
~ -nmethode 198, 199,201
~ zentra1e 85, 86, 87
Multip1ikationssatz 44, 45, 46
305
~ fUr n unabhangige Ereignisse 46
~ fUr zwei unabhangige Ereignisse
44
Multiplikativer Faktor 279,282
MutmaBlichkeit 199
Nichtparametrische Tests 239,261
notwendiger Stichprobenumfang
217 ff.
Parametrische Tests 221 ff.
Permutation 17, 18, 19, 23, 25, 26,
95,98,102
~ mit Wiederho1ung 18, 23
PriifgroBe 224, 225, 227, 228, 229,
230,235,237,238,240,241,242,
243,244,245,246,247,248,251,
252,253,255,256,257,258,260,
262,263,265,268,269,271,272,
273,275,276
Punktschatzer 188 ff.
p-Wert 235,236,237,238
Quantile 70, 126 ff., 134 f., 138 f.,
179,209,218,225
~ der Chi-Quadrat-Vertei1ung 134
~ der F-Vertei1ung 141
~ der Standardnorma1vertei1ung 126,
128
~ der t-Vertei1ung l38,209
Randwahrscheinlichkeit 144
Rang 261,273,275 f.
306
~ -platziiberschreitungen 273
~ verbundener 273
Regressionskoeffizient 154 f.
Satz von Bayes 41 ff.
Satz von der total en Wahrscheinlich-
keit 37 ff.
Saulendiagramm 55
Schatzer 190 ff., 201 ff.
~ effizienter 192 f., 196, 198, 207
~ erwartungstreuer 190 ff., 195 f.,
198 f., 207
~ Intervall- 201 ff.
~ Kleinst-Quadrate- 199 f.
~ konsistenter 195, 196, 198, 207
~ Maximum-Likelihood- 198 f.
~ Momenten- 198 ff.
~ Punkt- 189 f., 196 ff., 210
Schiefekoeffizient 86 ff.
Schluss
~ indirekter 1 f., 180 ff.
~ induktiver 1 f., 180 ff.
Schnittmenge 9 ff., 28 ff.
signifikant 222, 228, 249, 253, 258,
260,275
Stabdiagramm 55 ff., 109
Stabilitatseigenschaft 14
Stammfunktion 60 f.
Standardabweichung 75 ff., 83 ff.,
124, 130, 158 ff., 168, 203 ff.,
211 ff., 217, 219, 222, 224, 241,
244 f., 257, 265, 275 ff.
Index
Standardisierung 83, 120, 124, 129,
170,224
SteigungsmaB 154,155
Stetigkeitskorrektur 171 ff.
Stichprobe 180 ff.
Stichproben
~ -anteilswert 195, 213 ff., 223 f.,
239,243,258 f.
~ -fehler 181,183,201
~ -funktion 189,201,224
~ -mittelwert 195
~ -umfang 104, 156, 179, 194 f.,
211 f., 221 ff., 232, 239, 241, 252,
267 f.
~ -variable 187 ff., 201, 224
~-varianz 195,240,252,260
~ -wert 199,276
Streuungsparameter 76,86,282
Teilerhebung 181
Test
~ Anteilswert- 241 ff.
~ Anteilswertdifferenzen- 256 ff.
~ Chi-Quadrat-Anpassungs- 262 ff.
~ Chi-Quadrat-Unabhangigkeits-
261,269,270,272
~ doppelter GauB- 248 ff.
~ doppelter t- 251 ff.
~ einseitiger 222 ff., 240 f.
~ Einstichproben- 237 ff.
~ F- 258 ff.
~ GauB- 227 ff., 238 ff.
Index
- (KSA-) Kolmogorov-Smimoff-An-
passungs- 267 ff.
- nichtparametrischer 261 ff.
- parametrischer 237 ff.
- rechtsseitiger 233
- t- 239
- U- 253,261,273 ff.
- Varianz- 244 ff.
- von Welch 251,254 ff.
- zweiseitiger 222 ff.
- Zweistichproben- 247 ff.
Treppenform 64
Tschebyscheffsche Ungleichung
156 ff.
t-Test 239 ff.
- flir unabhiingige Stichproben
251 ff.
- doppelter 251 ff.
Uberschreitungswahrscheinlichkeit
233 ff.
Unabhiingigkeit
- stochastische 43, 146, 162 ff., 270
- Uberpriifung von 43 ff., 144 ff.
U-Test 253,261,273 ff.
307
Varianz 73 ff., 103 ff., 110, 114 ff.,
119 ff., 129, 134, 137, 141, 153,
157, 161 ff., 176, 188 ff., 203,
208, 215 ff., 228, 239, 240 ff.,
250 ff., 257, 260 ff., 269, 279,
282 f.
- Eigenschaften der 77 ff.
- -heterogenitiit 256
- Rechenregeln flir die 279 ff.
- Varianztest 244 ff.
- -verschiebungssatz 78 ff., 85
- verschwindende 194 f.
Variationen 19 ff.
Venn-Diagramm 6 ff., 28 ff., 94
Vereinigungsmenge 9 f., 28, 33
Verteilung
- Binomial- 95 ff., 102, 104, 105,
109 ff., 170 ff., 175 ff., 199,
213 ff., 243, 258
- Chi-Quadrat- 131 ff., 140, 176,
215 ff., 220, 262 ff., 271 f.
- Exponentia1- 112, 114 ff.
- F- 112, 139 ff., 260, 262
- geometrische 106
- hypergeometrische 101 ff.
- linksschiefe 87
- Norma1- 112, 117 ff., 166 f., 170,
172 ff., 203, 208, 213 ff., 228 f.,
240, 243 ff., 251 ff., 258, 264,
267,269,275
- rechtsschiefe 87, 105, 110, 172
308
- Schiefe der 86
- Standardnonnal- 120 ffo, 136, 137,
138,167,168,170,171,172,174,
179,203,204,208,209,210,212,
218,224,228,240,241,244,247,
252,256,258,262,273
- stetige Gleich- 112
- t- 136 f., 176, 208 ffo, 220, 240,
243, 256 f., 262
Verteilungsfunktion 63 ff., 101 ff.,
116 f., 120 ffo, 133, 137, 141,
165 ffo, 170 ff., 188
- empirische 268
- Funktionsvorschrift der 64
- grafischeDarstellung der 65
- Rechenregeln fur die 65,68
- tabellarische Darstellung der 64
Vollerhebung 1, 180 fo
vollstandiges System 37 f., 40
Wahrscheinlichkeit
- aposteriori 15
- apriori- 15
- bedingte 34 ff., 40 ffo
- Hochst- 157 ff.
- Intervall- 58,67,172
- Komplementar- 59,68,93, 169
- kumulierte 63 ffo
- Laplacesche 15
- Mindest- 158 ff.
- Rand- 144 ffo
- statistische 13 ffo
Index
- -stheorie 3, 29
- subjektive 13
- -sverteilungen 51, 53 ff., 89 ffo,
112 ffo
- totale 38
Wahrscheinlichkeitsbegriff 12 f.
Wahrscheinlichkeitsfunktion 53 ff.,
89 ffo
- gemeinsame 142 fo
- Grafische Darstellung der 55
- Tabellarische Darstellung der 54
Wahrscheinlichkeitsrechnung 2, 3,
4, 13,28,55, 156, 183
- Additionssatz der 32,33
- Axiome der 28, 32, 58, 64
- Multiplikationssatz der 44, 45, 46
Wert
- empirischer 224
- kritischer 222 ffo
Zentraler Grenzwertsatz 118, 156,
164 ff., 208, 228, 251, 258, 268
- von de Lindeberg und Feller 175
- von de Lindeberg und Levy 165 ff.
- von Ljapunoff 175
- von de Moivre und Laplace
169 ffo, 258
zentrales Schwankungsintervall
128 f., 139, 179
Ziehen mit ZUrUcklegen 19,23, 106
Ziehen ohne ZUrUcklegen 19, 104
Index
Zufallsauswah1 2, 161, 181 ff., 196,
201
- einfache 182 f.
- geschichtete 183
- uneingeschrankte 186
Zufallsexperiment 3 f., 13, 51, 61,
70,95 f. 102, 122, 176
Zufallsvariab1e
- Begriff 49 ff.
- diskrete 52 ff., 57, 64 f., 68, 73,
89,151,267
309
- identisch vertei1te 161 ff., 176
- standardisierte 83 ff., 128, 170,
173,175
- stetige 51 ff., 57, 59, 63, 67, 73,
75,112,151
- zweidimeniona1e 142 ff.
Zufallsvorgang 3 ff., 13, 15 f., 50,
91, 161, 164, 169
Gunther Bourier Beschreibende Statistik Praxisorientierte EinfOhrung Mit Aufgaben und Liisungen 5., uberarb. Auflage 2003. X, 269 S. mit 108 Abb. Br. EUR 26,90 ISBN 3-409-52215-8
Gunther Bourier Wahrscheinlichkeitsrechnung und schlieBende Statistik Praxisorientierte EinfOhrung Mit Aufgaben und Liisungen 3., uberarb. Aufl. 2002. XII, 382 S. mit 110 Abb. u. 16 Tab. Br. EUR 29,90 ISBN 3-409-31463-6
Hans-F. Eckey/ Reinhold Kosfeld/Christian Dreger Okonometrie Grundlagen - Methoden - Beispiele 3., uberarb. u. erw. Autl. 2004. XXIV,423 S. mit 21 Abb. u. 7 Tab. Br. EUR41,90 ISBN 3-409-33732-6
Hans Friedrich Eckey/Reinhold Kosfeld/ Matthias Turck Deskriptive Statistik Grundlagen - Methoden - Beispiele 4., neu bearb. Aufl. 2005. XXV, 277 S. mit 84 Abb. u. 15 Tab. Br. EUR 24,90 ISBN 3-409-42701-5
Hans-F. Eckey / Reinhold Kosfeld/Martina Rengers Multivariate Statistik Grundlagen - Methoden - Beispiele 2002. XXXIV, 442 S. mit 93 Abb. u. 120 Tab. Br. EUR 34,90 ISBN 3-409-11969-8
Anderungen vorbehalten. Stand: Juli 2005.
Peter P. Eckstein Klausurtraining Statistik Deskriptive Statistik - Stochastik - Induktive Statistik. Mit kompletten Liisungen 3., uberarb. u. erw. Aufl. 2002. VIII. 252 S. Br. EUR 29,90 ISBN 3-409-32096-2
Peter P. Eckstein Repetitorium Statistik Deskriptive Statistik - Stochastik - Induktive Statistik. Mit Klausuraufgaben und Liisungen 5., vollst. uberarb. u. elW. Autl. 2003. X. 388 S. Br. EUR 29,90 ISBN 3-409-52099-6
Ullrich Guckelsberger/Fritz Unger Statistik in der Betriebswirtschaftslehre Mit Fallbeispielen und Liisungen 1998. XII, 349 S. Br. EUR 24,90 ISBN 3-409-12230-3
Agnes Reichardt Obungsprogramm zur statistischen Methodenlehre 7., durchges. Aufl. 2002. 197 S. mit 20 Abb. Br. EUR 27,90 ISBN 3-409-73826-6
Helmut Reichardt! Agnes Reichardt Statistische Methodenlehre fiir Wirtschaftswissenschaftler 11., durchges. Aufl. 2002. 262 S. mit 50 Abb. Br. EUR 36,90 ISBN 3-409-23761-5
Kurt Scharnbacher Statistik im Betrieb Lehrbuch mit praktischen Beispielen 14., akt. Aufl. 2004. 328 S. Br. EUR 36,90 ISBN 3-409-47027-1