DERET FOURIER
Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang
didefinisikan oleh sin ( nπxL ) dan cos ( nπxL ) juga berperioda 2L, maka :
n = bilangan asli (1,2,3,4,5,….)
dimana :
L = pertemuan titik
Bilangan-bilangan untuk a0,a1 , a2, …b0,b1 , b2, … disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)
Contoh :
1. Ekspansikan ke dalam deret fourier f(x) = [ −88 2< x<4
0< x<2
jawab :
a0 = 1L ∫
−L
L
f ( x )dx
=12 ∫
0
2
8 dx + 12 ∫
0
2
−8dx
= 12 8 x ]2
0 + 12 8 x ]4
2
= ( 12
.8 .2−12
.8 .0)+(−12
.8 .2−(−12
.8.0))= 8 + (-16) + 8
= 0
FISIKA MATEMATIKA II Page 1
F(x) = 12a0 + ∑
n=1an cos (nπxL ) + bn sin( nπxL )
a0 = 1L ∫
−L
L
f ( x ) dx
an = 1L ∫
−L
L
f ( x ) cos(nπxL )dx
= 1L ∫
−L
L
f ( x ) sin( nπxL )dx
an =1L ∫
−L
L
f ( x ) cos(nπxL )dx
=12 ∫
0
2
8cos ( nπx2 )dx+ 12
∫2
4
−8 cos( nπx2 )dx
( nπx2 )disubtitusikanmisal t=( nπx2 )dtdx
=nπ2
dx= 2nπ
dt
=12 ∫
0
2
8 cos t 2nπ
dt+12
∫2
4
−8 cos t 2nπ
dt
=12.8 . 2
nπ ∫0
2
cos t dt+12. (−8 ) . 2
nπ ∫
2
4
cos t dt
= 8nπ
sin nπx2
] 20−¿
8nπ
sin nπx2
]42¿
= 8nπ (sin nπ2
2−sin nπ 0
2 )− 8nπ (sin nπ 4
2−sin nπ 2
2 )=
8nπ
(0 .0 )− 8nπ
(0 .0 )
= 0
an =1L ∫
−L
L
f ( x ) sin(nπxL )dx
¿ 12 ∫
0
2
8 sin ( nπx2 )dx+ 12
∫2
4
−8sin( nπx2 )dx
¿ 12 ∫
0
2
8 sin t 2nπ
dt+ 12
∫2
4
−8 sin t 2nπ
dt
FISIKA MATEMATIKA II Page 2
¿12.8 . 2
nπ ∫0
2
sin t dt+ 12. (−8 ) . 2
nπ ∫
2
4
sin t dt
= 8nπ
−cos t ] 20−¿
8nπ
−cos t ]42¿
= −8nπ (cos nπ 2
2−cos nπ 0
2 )+ 8nπ (cos nπ 4
2−cos nπ 2
2 )=
−8nπ [ (−1 )n−(1 )n ]+ 8
nπ [ (1 )n− (−1 )n ]
=−16nπ
(−1 )n+ 16nπ
(1 )n
F(x) = 12a0 + ∑
n=1an cos ( nπxL ) + bn sin( nπxL )
=12.0 + ∑
n=10 cos ( nπxL ) + [−16
nπ(−1 )n+ 16
nπ(1 )n] sin( nπxL )
= [−161π
(−1 )1+ 161 π
(1 )1] sin( 1πx2 ) + [−16
2π(−1 )2+ 16
2 π(1 )2] sin( 2 πx
2 ) + …
= [16π
+ 16π ] sin( πx2 ) + [−16
nπ+ 16nπ ] sin( 2 πx
2 )+…
=32π
sin( πx2 )+0+ 323π
sin( 3πx2 )+0+ 32
5 πsin( 5 πx
2 )+0+…
SOAL
1. f ( x )=¿¿
2. f ( x )=x−π ≤0≤π(x)
Jawab.
FISIKA MATEMATIKA II Page 3
1. 𝑎0 = 1L∫−L
L
f (x )dx
¿ 14∫−4
0
−xdx=+14
∫0
4
x dx
¿−14 .
12x2¿¿
¿−18x2¿−4
0 + 18x2 ¿0
4
¿¿ (-4) ) - (18
( 4 ) – 18
(0 )¿
¿2+2 =4
a0=1L∫−ll f (x ) cos nπx
L dx
=14∫ 4
0−x cos nπx4
dx+ 14 ∫ 0
4x cos nπx4 dx
intergal persial :∫
misal : u=-x dv=∫cos
du=dx →misal : t : nπx4
v=∫cos nπx4
dx
=∫cos L 4nπ
dt=sin nπx4
=4
nπxsi n nπx
x
=(uv-∫v du)+(uv-∫vdu)
=[-x4nπ
sin nπx4
¿40− ∫−4
0 4nπx
sin nπx4
−dx ¿+[x 4nπ
sin nπx4
¿04−∫ 0
4 4nπ
sin nπx4
dx ]
=[−x 4nπ
sin nπx4
¿−40 + 4
nπ∫−4
0 sin nπx4 dx]+[
4 xnπ
sin nπx4
¿04− 4
nπ∫ 0
4 sin nπx4
dx¿
=[(−04nπ
sin nπx4
¿−(− (−4 ) 4nπ
sin nπ (−4 )4 )+ 4
nπ− 4
nπ−cos nπx
4¿−4
0 +¿ ¿04
FISIKA MATEMATIKA II Page 4
=[0+ 16−cosnπ
nπx4
¿−40 ¿+[0+ 16
nπcos nπx
4¿0
4]
=[(−16nπ cos
nπ .04
¿−¿cosnπ (−4)
4¿¿+¿cos
nπ .44
¿−¿)]
=[-16nπ
+ 16nπ
¿+[ 1−1 ]
=0+0 =0
bn=il∫−ll f (x ) sin nπx
4dx
=14∫−4
0 −x sin nπxl
dx+ 14∫ 0
4 x sin nπxl
dx
Parsial→u=−x ; du =-dx ; t=nπxl
du=sindx ;v= ∫ sin nπx4
dx ; dx=4nπ
dt
=−4nπ
cos nπx4
=(uv∫v du)+(uv-∫v du)
=[-x ·−4nn
cos nnx4 ∫
−4
0
−∫−4
0−4nn
cos nnx4
dx ¿+¿ cos nnx4
¿04−∫
0
4−4nn
cos nnx
4 ]
=[ 4 xnn
cos nnx4
¿−40 + 4
nn∫−4
0
cos nnx4
dx] + [−4 xnn
cos nnx4
¿04+ 4
nn ∫0
4
cos nnx4
dx¿
=[(4.0nn
cos nn.04
¿−¿ )+ 4nn ·
4nn sin
nnx4
¿−40 ] +
[(−4.4nn
cos nn .44
¿−(−4.0nn
cos nn .o4 )+ 4
nn· 4nn
sin nnx4
¿04 ¿¿
=[( 4nn
−16nn
¿+( 16nn
sin nn .04
−16nn
sin nn (−4 )4
)¿+( 16nn
+ 4nn
)+¿
=[−12nn
=(0−0)¿+[ 20nn
+(0−0)]
FISIKA MATEMATIKA II Page 5
= −12nn
+ 20nn
=−8nn
f(X)=⥤ 12ao+∑
n=1ancos nπx
l=bn sin nπx
l
=12
4+0+ 8nπ sin
nπx4
=2+8nπ
sin nπx4
a. Deret fourier dari fungsi genap dan ganjilDeret fourier dari fungsi genap dan periode dua sukunyahanyalah terdiri dari konstans dan kosinus, dan sebaliknya fungsi ganjil hanyalah sinus saja.
Untuk fungsi genap/kosinus
a0=2L∫0
L
f ( x ) dx
an=2L∫0
L
f ( x )cos nπxL
dx
∴ f ( x )=a0
2+∑
n+1an cos nπx
L
Untuk fungsi ganjil/sinus
bn=2L∫0
L
f ( x )sin nπxL
dx
∴ f ( x )=∑n+1
bn sin nπxL
Contoh :
f ( x )=x−π ≤0≤π
Jawab :
Fungsi genap
a0=2L∫0
L
f ( x ) dx
¿ 2π ∫−π
π
x dx
¿ 2π. 12x2 π
−π
FISIKA MATEMATIKA II Page 6
¿ 2π.( 1
2π2−1
2(−π )2)
¿0
atau
a0=2L∫0
L
f ( x ) dx
¿ 2π [∫– π
π
xdx−∫−π
π
x dx]¿ 2π
.0
¿0
FISIKA MATEMATIKA II Page 7
an=2L∫0
L
f ( x )cos nπxL
dx
¿ 2π ∫−π
π
x cosnx dx
parsialu=xdv=cosnx dx
du=dx v=1n
sin nx
¿ 2π (uv−∫ v du)
¿ 2π (x . 1
nsin nx π
−π−∫
−π
π1n
sin nxdx )¿ 2π ( xn sin nx π
−π−1
n ∫−π
π
sin nxdx )Misal : t=nx
dt=ndx
d x=dtn
¿ 2π ( xn sin nx π
−π−1
n ∫−π
π
sin t dtn )
¿ 2π ( xn sinnx π
−π−1
n. 1n∫–π
π
sin t dt)¿
2π ( xn sinnx π
−π−
1n2 −cos t π
−π )¿ 2π
¿
¿ 2π (0−0+( 1
n2 (−1 )n− 1n2 (1 )n))
¿ 2π ( 1
n2 (−1 )n− 1n2 (1 )n)
¿ 2π n2 (−1 )n− 2
π n2 (1 )n
FISIKA MATEMATIKA II Page 8
∴ f ( x )=a0
2+∑
n+1an cos nπx
L= 2
π n2 (−1 )n− 2π n2 (1 )n cosnx+…
¿( 2π n2 (−1 )n− 2
π n2 (1 )n cos1x )+( 2π n2 (−1 )n− 2
π n2 (1 )ncos 2x )+( 2π n2 (−1 )n− 2
π n2 (1 )ncos3 x )¿( 2
n−2
ncos x)+0+(−2
9 π− 2
9πcos3 x)+0+…
¿ −4π
cosx+0−−49π
cos3 x+0. −425 π
cos5 x+0−…
Fungsi ganjil
2. f ( x )=0−π<¿ x<020< x<π
ao = 1L∫−L
L
f (x ) dx
= 1n∫−n
0
0dx+ 1n∫0
π
2dx
= 0 + 2 xπ ]π0
= ( 2ππ
−2.0π )=2
an = ∫−L
L
f ( x ) cos nπxL
dx
= 1π ∫
−π
0
0cos nπxπ
dx+ 1π∫0
π
2 cos nπxπ
dx
= 0 + 2π∫0
π
cosnx dx
Misal: t=nx
dtdx= n
dx=dtn
= 2π∫0
π
cos t ∙ 1ndt
FISIKA MATEMATIKA II Page 9
= 2nπ∫0
π
cos t dt
= 2nπ
sin t ] π0
= 2nπ
sin n (π )− 2nπ
n (0 )
= 0-0 = 0
bn = 1L∫−L
L
f (x ) sin nπxL
dx
= 1π ∫
−π
0
0sin nπxπ
dx+ 1π∫0
π
2sin nπxπ
dx
= 0 + 1π
2sin nx dx
Misal: t=nx
dtdx= n
dx=1ndt
= 2π∫0
π
sin t ∙ 1ndt
= 2nπ∫0
π
sin t dt
=- 2nπ
cos t ] π0
= (−2nπ
cos n (π )+ 2nπ
cosn(0))=
−2nπ
(−1)n+ 2nπ
(−1)n
f ( x )= 12a0+∑
n=1
∞
(an cos nπxL
+bnsin nπxL )
=12∙2+0+( 2
nπ(1)n− 2
nπ(−1)n)sin nπx
π
FISIKA MATEMATIKA II Page 10
= 1 +
( 21π
(1)1− 21 π
(−1)1)sin 1 x+( 22π
(1)2− 22 π
(−1)2)sin 2 x+( 23π
(1)3− 23π
(−1)3)sin 3 x
= 1 + 4π
sin x+0+ 43 π
sin 3 x+0+…
DERET FOURIER KOMPLEK
Bentuk cos nx dan sin nx dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial dengan menghubungkan euler.
f ( x )=ao
2+∑
n=1
∞ (an( einx+e−inx
2 )+bn( einx+e−inx
2 )) =
ao
2+∑
n=1
∞ (an(an+i bn
2 )e inx+∑n=1
∞
bn( an−i bn
2 )e−inx)Dimana:a0= 1
2L∫−L
L
f ( x ) dx
an= 12L∫−L
L
f ( x ) einπxL dx
bn=1
2L∫−L
L
f ( x ) e−inπx
L dx
Contoh soal:
1. f ( x )=0−π<¿ x<010< x<π
Jawab:
a0= 12L∫−L
L
f ( x ) dx
FISIKA MATEMATIKA II Page 11
= 12π ∫−π
0
0dx+ 12 π∫0
π
1dx
=1
2π (0+ 12π
x) = 0+( 1
2π∙ π− 1
2π∙0)
= 12
an= 12L∫−L
L
f ( x ) einπxL dx
` = 12π [∫
−π
0
0einπxπ +∫
0
π
1 einπxπ dx]
= 12π [0+∫
0
π
e inx dx ] = 1
2π [∫0π
einx dx ]Misal : t=nx
dtdx
=¿
dx=dt¿
= 12π∫0
π
et dx
= 12π
∙ 1¿∫
0
π
et dt
= 1
2πin∙ e t ] π
0
= 1
2πin∙ e inx ] π
0
= 1
2πin(einπ−e¿ 0)
FISIKA MATEMATIKA II Page 12
= 1
2πin(einπ−1)
bn=1
2L∫−L
L
f ( x ) e−inπx
L dx
= 12π [∫
−π
0
einπxπ dx+∫
0
π
1e−inπx
π dx ] = 1
2π [∫0π
e−inxdx]Misal:t=−inx
dtdx
=−¿
dx= 1−¿ dt
= 12π [∫0
π
et ∙ 1−¿ dt ]
= −1
2πin∙e t ] π
0
= −1
2πin∙ e−inx ] π
0
=−1
2πin(e−inπ−e−¿0)
= - 1
2πin(e−inπ+1)
∴ f ( x )=
122
+∑n=1
∞ 12πin
(e inπ−1 ) [ e inx+ e−inx
2 ]+ −12πin
(e−inπ+1)[ e inx−e−inx
2 ] =
14+
12πi .1
(e i1π−1 )[ e i1x+e−i1 x
2 ]− 12πi
(e−i1π+1 )[ e i1x−e−i1x
2 ]+ 12πi .2
(ei 2π−1 ) [ e i2x+e−i2x
2 ]− 12 πi .2
(ei2π+1 )[ ei 2x−e−i2 x
2 ]+ 12πi .3
(e i3π−1 )[ ei3 x+e−i3 x
2 ]− 12πi .3
(ei3π+1 )[ ei3x−e−i3 x
2 ]+…
FISIKA MATEMATIKA II Page 13
“FUNGSI-FUNGSI”
1. FUNGSI GAMMA
Fungsi gamma (n) yang lazimnya di sajikan dalam symbol γ (n) di definisikan
FISIKA MATEMATIKA II Page 14
γ (n )=∫0
∞
xn−1 e−x dx untuk n>0 keberadaan fungsi ini untuk setiap n>0 tidak dapat
disanksikan mengingat integral di ruas kanan konvergen jika n>0.Beberapa sifat dasar fungsi gamma :
Memenui γ (n+1 )=n. γ (n) γ (1 )=1, jika n bulat positif , maka γ (n+1 )=! sebat itu fungsi , gamma sering
dinamakan fungsi factorial
Untuk n>0 , γ (n) memiliki asimtot tegak n=0 , artinya limn→∞
γ (n )=∞
γ ¿)= √φ
Perluasan analitik untuk n<0 γ (n )= γ(n+1)n
Contoh : 1. γ (1 )=n>0
γ (1 )=∫0
∞
xn−1e− xdx
¿∫0
∞
x1−1 e− xdx
¿∫0
∞
. e−x dx
¿∫0
∞
1.e−x dx
¿−e−x|∞0 ¿¿ -(-e−0 ¿=−e−∞+e0=0+1=1
2. γ=(−2 12 )=n<0
γ (n )= γ (n+1)n
γ (−2 12 )=
γ (−2 12+1)
−2 12
FISIKA MATEMATIKA II Page 15
γ (−1 12 )=
γ (−1 12+1)
−2 12.−1 1
2
γ (−12 )=
γ ( 12+1)
−2 12.−1 1
2.−1
2
γ ( 1
2 )= √π−52
.−32.−1
2
¿ √π−15
8
= -8
15 √π
3. ∫0
∞
e−3 xdx => mis: t=3 x↔ x= t3
dtdx
=3
dx=dt3
∫0
∞
¿¿
∫0
∞
¿¿
∫0
∞
¿¿
¿¿dt
¿¿
¿1
2187.6 .5 .4 .3 .2.1
FISIKA MATEMATIKA II Page 16
¿720
2187=0,329
4. γ (3 ) . γ ( 3
2 )γ( 9
2 )=2 ! 1
2 γ ¿¿¿
¿ 2
1058
¿0,15
2. FUNGSI BETA
Fungsi beta β (m,n ) , untukm>0dan n¿0 adalah :
β (m ,n)= ∫0
1
xm−1(1−x )n−1dx
Hubungan antara F . beta dan gamma:
Fungsi γ (m ) = ∫0
∞
xm−1 . exdx
Dapat γ (n ) = 2 ∫0
∞
x2m−1 .e xdx
Sebab jika x = u2 maka
∫0
∞
xm−1 . e−x dx = ∫0
∞
u2m−2 . e−u2
. (2u ) .du
= 2 ∫0
∞
u2m−1 . e−u
. du
Demikian pula :
γ (n )=∫0
∞
xn−1 .e− xdx
FISIKA MATEMATIKA II Page 17
= 2 ∫0
∞
xn−1 . e−xdx
= 2 ∫0
∞
y2n−1 . e− y2
dy
Demikian pula:
γ (m ) . γ (n ) = 4 ∫0
∞
x2m−1 .e− x2
dx
= ∫0
∞
y2n−1 . e− y2
dy
= 4 ∫0
∞
∫0
∞
x2m−1 . y2n−1 . e−(x2+ y2)dxdy.
Jika kita gunakan transpormasi koordinat y=γ cosθ, y=γ sin θ, maka:
∫0
∞
∫0
∞
xm−1 . y2n−1 . e−(x2+ y2 )dxdy .
Menjadi:
∬R
G(γ ,θ)|d (x , y )d (γ , θ)|dγdθ , dengan G ((γ , θ)
γ ¿ γ ¿ . e−r2
= r2 (m+n)−2 cos2 m−1θsin2m−1θ .
Pada daerah pengintegralan pada sistem coordinat (γ ,θ¿ yang sesuai dengan 0
≤ x<∞;0≤ y≤∞ dan yacorbian transformasi d (x , y )d (γ , θ) adalah :
|d (x , y )d (γ , θ)|=|dx /dγdy /dγ
dx /dθdy /dθ| = |cosθ γ sin θ
sinθ γ cosθ| = γ
Karna itu,
γ (m ) . γ (n )=4∫0
π2
γ 2 (m+n)−2 cos2m−1θ sin 2n−1θe−γ 2
( γ )dγdθ¿
¿
¿4∫0
π2
∫0
∞
γ 2(m+n )e−r 2
cos2m−1θsin2n−1θdγdθ
¿ [2∫0∞
r2 (m+n)−1e−γ 2
dγ ] . [2∫0
π2
cos2m−1θ sin2n−1θdθ]
FISIKA MATEMATIKA II Page 18
¿2∫0
∞
γ 2(m+n )−1e−γ 2
dγ ¿¿ β (m ,n)
Mengingat γ (m+n )=∫0
∞
xm+n−1e− xdx
= ∫0
∞
¿¿¿
= 2 ∫0
∞
z2 ¿¿
Maka kita peroleh hub antara fungsi beta dan gamma.γ (m ) . γ (n )=γ (m+n ) β(m.n)atau ,
β (m.n )=γ (m ) . γ (n)γ (m+n)
Contoh:
1. β (3,5 )
Jawab: γ (3 ) . γ (5)γ (3 )+γ (5)
=2 !4 !
7 ! =2! .4,3,2,1
7,6,5,4,3,2,1=2
210=1
105 .
2. ∫0
1
√ 1−xx
dx
Jawab: ∫0
1
√ 1−x√x
dx = ∫0
1
√1−x . ( x )12dx
= ∫0
1
(1−x )12dx
= γ ( 32 ) . γ (1
2)
= 12γ ( 1
2 ) .√ π
= 12 √π . √π
= 12 √π .
Aplikasi Deret Fourier
FISIKA MATEMATIKA II Page 19
Persoalan fisika, terutama yang menyangkut tentang vibrasi getaran biasanya membawa kita
kepada besaran fisis berupa frekuensi, pannjang gelombang dan jenisnya.
Sebuah partikel bergerak dengan laju konstan sehingga lintasannya berupa lingkaran dengan
jari-jari A. Pada saat bersamaan partikel Q bergerak ke atas dan ke bawah sepanjang garis
lurus RS yang merupakan pencerminan terhadap sumbu y.
θ=ω. t
dimana : ω = kecepatan anguler (rad/s)
t = waktu (s)
simpangannya : Y=A sinω.t
simpangan dapat didefinisikan sebagai jarak partikel dari titik keseimbangan, sehingga untuk
gerak P terhadap sumbu x dan sumbu y dapat ditulis :
x=A cos ω.t dan y=A sin ω.t
karena dalam bidang komplek
z=x+i y
z = A cos ω.t + i A sin ω.t
z = A ( cos ωt + i sin ωt )
z=A . eiωt dzdt
=A .eiωt iω
dzdt
=A .iω .eiωt
FISIKA MATEMATIKA II Page 20
Dalam bentuk lain, maka simpangan Y dapat dinyatakan sebagai bentuk gelombang yang
bergerak ke kanan/ ke kiri.
Y=A sin 2πT
( x−vt )
Menyatakan simpangan Y merupakan fungsi periodik dari x ( untuk t yang sesuai ) dan
fungsi t ( dari x yang sesuai ).
FISIKA MATEMATIKA II Page 21
Line dan Surface Integral
1) Line Integral
F = gaya
F=f ( x , y )
x=P ( x , y )
y=Q ( x , y )
j=limn→ 0
∑i=1
n
F (δ ,n )∆ li
j=∫AB
Fdl
Dalam bentuk skalar : j=∫AB
x dx+ y dy
j=∫AB
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy
Line integral : j=∫AB
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy
j=∫L
P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy
Dimana :
Fungsi P (x,y) dan Q (x,y)
Cara menghitung line integral :
x = Q (t)
y = P (t)
dxdt
=QI ( t ) dydt
=QI ( t )
x=Q I (t ) y=Q I (t )
j=∫L
P(x , y¿)dx+Q ( x , y )dy ¿
j=∫
[P Q (t ) .Q ( t ) Q I dt+Q Q (t ) .Q (t ) QI dt ]
FISIKA MATEMATIKA II Page 22
j=∫α
β
[P (Q ( t ) .Q ( t ) )+Q (Q ( t ) .Q ( t ) ) ]Q I dt
Contoh soal :
1. Hitung line integral ∫AB
y2dx+2 xydy dimana L = busur lingkaran radius, R=a.
Jawab :
x=acos t y=a sin t
dxdt
=−acos t dydt
=asin t
dx=−acos t dt dy=a sin dt
0 ≤ t ≤ 2π
j=∫0
2π
y2dx+2 xy dy
j=∫0
2π
¿¿¿
j=∫0
2π
a2 sin2t .−asin t dt+2a3cos2t sint dt
j=∫0
2π
−a3 sin3 t dt+2a3 cos2 t sin t dt
j=∫0
2π
a3 sin t (−sin2t+2cos2t )dt
j=a3∫0
2π
sin t (2cos2 t−sin2 t )dt
Misal :
u=sin t
du=cos t dt
dv=2cos2t−sin2t dt
∫ dv=∫ (2 cos2 t−sin2 t )dt
v=4 cos t sin t−2 sin t cos t
FISIKA MATEMATIKA II Page 23
v=2 cos t sin t
j=a3 [uv−∫ v du ]
j=a3[sin t 2cos t sin t−∫0
2 π
2 cos t sint cos t dt ]j=a3[2cos t sin 2t−∫
0
2π
2cos2 t sin t dt ]Misal :
z=2 cos2t
dz=−4 cos t sin t dt
dt= dz−4 cos t sin t
j=a3[2cos t sin2t−∫0
2π
z sin t dz−4 cos t sin t ]
j=a3[2cos t sin 2t+ 14cos t∫0
2π
z dz]j=a3|2cos t sin 2t+ 1
4cos t12z2|
0
2π
j=a3 ¿¿
j=a3[2cos t sin 2t+ 18 cos t
4 cos4 t ]0
2π
j=a3[2cos t sin 2t+ 12
cos3 t ]0
2π
j=a3[(2 cos2π sin2 2π+ 12
cos32π )−(2 cos0 sin2 0+ 12
cos30)]j=a3[(2.1.0+ 1
21)−(2.1.0+ 1
21)]
FISIKA MATEMATIKA II Page 24
j=a3( 12−1
2 )j=a3 .0
j=0
2. Hitunglah line intergral ∫L
y dx−x dy
T = seluruh busur elips x2
a2 + y2
b2 =1
b
a
jawab :
x = a cos t
dxdt
=−asint
dx = -a sint t dt
0≤ +≤ 2 π
J = ∫0
2π
y dx−x dy
=∫0
2π
(b sin t .−a sin t )dt−(acos t . bcos t )dt
=∫0
2π
−ab sin t dt−abcos t dt
= ∫0
2π
−ab (sin t+cos t )dt
= −ab∫0
2π
1dt
= -ab . t ¿02 π
= -ab (2π – 0 )
FISIKA MATEMATIKA II Page 25
Y = b sin t
dydt
=bcos t
dy = b cos t dt
= -ab . 2π – (-ab) . 0
= -ab . 2π
3. Dari soal 2 dengan L garis lurus yang menghubungkan m ( 1,1) dan n ( 3,3 )
1 30
0.51
1.52
2.53
3.5
Column1Column2Column3
y− y1
x−x1=
y2− y1
x2−x1
y−1x−1
=3−13−1
y−1x−1
=22
2 y−2=2 x−22 y=2 xy=x→dy=du
Jawaban :
∫1
3
y dx−x dy atau∫1
3
y dx−x dy
¿∫1
3
y dy−x dx
¿ 12y2−1
2x2 ¿1
3
¿( 12
32−12
32)−( 12
02−12
02)¿0
2) Surface Integral
F=F P ( x , y , z ) . q ( x , y , z ) . R ( x , y , z )
fungsi continudi v P=( x , y , z )Q= (x , y , z )R=( x , y , z )
Bidang permukaan λada di dalam v dibatasi L jadi P,Q,R continu pada bidang λ
FISIKA MATEMATIKA II Page 26
z
n=satuan normal
n=n cos (n , x )cos (n , y )cos (n , z )
y |n|=1
x
F i=F=P ( x , y , z ) .Q ( x , y , z ) . R ( x , y , z )
ni=ni cos (n i , y i ) . cos (ni , yi) . cos (ni , z i )
∑n=1
1
F i ni∆T i ;dimana∆T i (L=11,2 ,…. L )
limλ=0
∑i=1
l
Fi ni dλ=∬λ
Fnidλ
Rumus
FISIKA MATEMATIKA II Page 27
→ disebut dengan permukaan ( surface integral)
Integral permukaan adalah integral lipatan yang dibatasi oleh tiga parameter yaitu koordinat kortesian, silinder dan bola.
a. Koordinat kartesian z s permukaan s yang normal terhadap bidang xy
y
x
untuk pernyataan element vector luasnya
F ns ∆ s=n .d s;n=vektor normal
d s=luas permukaan
Cara perhitungan
1. Untuk menghitung vector normal satuan n permukaan s yaitu ; untuk mencari batas ( titik potong0 ∅ (x , y , z )=c
N=v .∅ maka n= v∅|v∅|
n ( x , y , z )
2. Pecahkan persamaan permukaan ∅ (x , y , z )=0 bagi variable z hingga di peroleh z=z ( x , y )
3. Nyatakan vector u (x,y,z)=u (x,y,z (x,y)) = v (x,y)n ( x , y , z )=n (x , y , z ( x , y ) )=w ( x , y )
4. Elemen luas d s dinyatakan dalam dxdy secara geometri dxdy adalah proyeksi d s
jadi d s= (dx , dy )n . k
= (dx , dy )w (x , y ) . k
5. Hitung integral lipat dua I=∬dxdy
[ v ( x , y ) .w ( x , y )w ( x , y ) k ]dxdy ataul=∬
l
F .nds
Contoh soal
FISIKA MATEMATIKA II Page 28
∬λ
Fndλ
1. Jika F=(x+ y2 ) i−2x j+2 yz k dan s adalah bidang 2 x+ y+2 z=6 hitung integral
∬s
Fnds dalam oktan pertama.
Jawaban: 2 x+ y+z=6
2 z=6−2 x− y
z=3−x−12y
∅=2 x+ y+2 z
V ∅=i ddx
(2 x+ y+2 z )+ j ddy
(2x+ y+2 z )+k ddz
(2x+ y+2 z )
¿ i (2 )+ j (1 )+k (2 ) |V .∅|=√22+12+22=√3=3
n= (V .∅ )|V .∅|
↔
¿ 2i+ j+2k3
ds=dxdyn.k
=dxdy23
=32dxdy
I=∬s
f . n ds
¿∫0
3
∫0
6−2x
[ (x+ y2 ) i−2 xj+2 yz k ] 2i+ j+2k3
. 32dxdy
¿∫0
3
∫0
6−2x
[( x+ y2 ) i−2 xj+2 y (3−x−12y )k ]2i+ j+2k . 1
2dxdy
¿ 12 [∫0
3 [ ∫06−2 x
2 (x+ y2 )−2 x+4 y (3−x−12y )]dxdy
¿ 12∫0
3 [ ∫06−2x
2 x+2 y2−2x+12 y−4 xy−2 y2] dxdy ¿ 1
2∫03 [ ∫0
6−2x
(12 y−4 xy )dy ]dx ¿ 1
2∫03
[12 . 12y2−4 x . 1
2y2¿0
6−2x ]dx ¿ 1
2∫03
[6 y2−2 x y2 ¿06−2 x ]dx
FISIKA MATEMATIKA II Page 29
2 x+ y+0=6
y=6−2 x
2 x+0+0=6
2 x=6
x=3
nk= k⌈V ∅ ⌉=
23
¿ 12∫0
3
[6 (6−2x )2−2 x (6−2 x )2 ]dx
¿ 12∫0
3
[6 (36−24 x+4 x2 )−2x (36−24 x+4 x2 ) ]dx
¿ 12∫0
3
(216−144 x+24 x2−72x+48 x2−8 x3 )dx
¿ 12∫0
3
(216−216 x+72 x2−8 x3 )dx
¿12
216 x+ 2162
x2+ 723
x3+ 84x4 ¿0
3
¿12 [ (216 .3+108 .32+24 .33−2 .34 )−0 ]
¿12
[ 648−972+648−162 ]
¿12
.162
¿0
b. Koordinat Silinder
Misal s adalah permukaan silinder x2+ y2=a2 dengan z sebagai sumbu simetrinya, maka koordinat sudut Ѳ dan z dapat dipilih sebagai parameter dengan r=a adalah x=a cosѲ; y=asinѲ; z=z. Sehingga kedudukan vektor
r (Ѳ , z)=(a cosѲ) i+(a sinѲ) j+ z k .... (1)
Sehingga
drdѲ
=(−a sinѲ ) i+ (acosѲ ) j ; drdz
=k
Karena itu vektor elemen luas permukaan silinder s adalah:
n . dA=[ drdѲx drdz ]dѲdz
¿ [ i j k−asinѲ acosѲ 0
0 0 1] dѲdz
¿a (cosѲi+sinѲ j )dѲdz
FISIKA MATEMATIKA II Page 30
n . dA=(x i+ y j ) (adѲdz )…(2)
Untuk menyederhanakan perhitungan , hitung dahulu F . n dalam sistem koordinat kartesian yang menghasilkan medan saklar Ѳ(x , y , z)=F . n, kemudian sisipkan persamaan paramer.
Contoh soal:
F=z i+x j−3 y2 z k dan s adalah permukaan silinder x2+ y2=16 yang terdapat didalam oktan pertama abtara z=0 ; z=5. Hitunglah ∬ F . n . dA
Jawab:
x2+ y2=a2
x2+ y2=16→ a2=16
a=√16=4
x=a cosѲ=4cosѲ ; y=asinѲ=4 sinѲ ; z=z
n . dA=a (x i+ y j)dѲ dz
¿4 (x i+ y j )dѲdz
¿ ( 4 x i+4 y j )dѲdz
n . dA=( z i+x j−3 y2 z k ) ( 4 x i+4 y j )dѲdz
¿ (4 xz+4 xy )dѲd z
∫0
5
∫0
π2
F .n . dA=∫0
5 [∫0
π2
( 4 xz+4 xy )dѲ ]dz¿∫
0
5 [∫0
π2
4 (4 z cosѲ+4cosѲ 4 sinѲ )dѲ ]dz¿∫
0
5 [∫0
π2
4 (4 z cosѲ+16 cosѲsinѲ )dѲ ] dz¿∫
0
5 [∫0
π2
4(4 z cosѲ+16 12
sin 2Ѳ)dѲ ]dz
FISIKA MATEMATIKA II Page 31
¿∫0
5 [∫0
π2
4 (4 z cosѲ+8sin 2Ѳ ) dѲ ]dz¿4∫
0
5 [(4 z sinѲ+8 12−cos 2Ѳ)|π20 ]dz
¿4∫0
5
¿¿
¿4∫0
5
[4 z (1−0 )−4 (−1−1)] dz
¿4∫0
5
[4 z (1−0 )−4 (−1−1)] dz
¿4∫0
5
[ 4 z+8 ] dz
¿4 [4 12z2+8 z|50 ]
¿4 [(2 (52 )+8.5 )−(2 (02 )+8.0)]¿4 (90)
¿360
c. Koordinat Bola
Misal s permukaan bola x2+ y2+z2=a2 dengan pusat simetri dititik asal 0 (0,0,0) maka koordinat sudut Ѳ dan ф dengan r=a. x=a sinѲcosф; y=asinѲ sinф; z=acosѲ.
Vektor kedudukan:
r (Ѳ ,ф )=a [ ( sinѲcosф ) i+(sinѲsinф) j+cosѲ¿k ]
drdѲ
=a [ (cosѲcosф ) i+(cosѲ sinф) j±sinѲ¿ k ]
drdф
=a [ (cosѲ−sinф ) i+(cosѲcosф) j ]
FISIKA MATEMATIKA II Page 32
Vektor elemen luas permukaan bola s:
n . dA=[ drdѲx drdф ]dѲdф
¿ [ i j ka cosѲcosф a cosѲsinф −sinѲ
−acosѲsinф acosѲcosф 0 ]dѲdф
¿a2¿
n . dA=(x i+ y j+z k ) (a sinѲdѲdz )
Medan vektor s (x,y,z) pada permukaan bola z adalah x (Ѳ,ф ) , y (Ѳ ,ф ) , z (Ѳ)=v (Ѳ ,ф)
Untuk menyederhanakan perhitungan , hitung dahulu F . n dalam sistem koordinat kartesian yang menghasilkan medan saklar Ѳ(x , y , z)=F . n
Contoh soal:
Hitung ∬ F . n . dA jika (x2+ y2+z2 ¿ ( xi+ yj+zk ) dan s adalah seluruh permukaan bola
x2+ y2+z2=25.
Jawab:
x2+ y2+z2=a2
x2+ y2+z2=25→a=5
∬ F . n . dA=∫0
π
∫0
2π
( x2+ y2+z2 ) (xi+ yj+zk ) ( xi+ yj+zk ) 5 sinѲ dѲdф
¿∫0
π
∫0
2π
5 (x2+ y2+z2 ) (x2+ y2+z2 ) sinѲ dѲdф
¿∫0
π
∫0
2π
5 (x2+ y2+z2 )2 si nѲ dѲdф
¿∫0
π
∫0
2π
5 (25 )2 sinѲdѲdф
¿∫0
π [3125∫0
2π
sinѲ dѲ ]dф¿∫
0
π
[3125−cosѲ|2π0 ] dф
FISIKA MATEMATIKA II Page 33
¿∫0
π
¿¿
¿∫0
π
[3125(−1+1)] dф
¿∫0
π
0dф
¿0
Persamaan Diferensial BiasaDefinisi: suatu persamaan yang mengandung turunan atau diferensial dinamakan persamaan
diferensial.
Bilamanapun perubahan terbaik dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi satu
perubahan bebas, maka turunan yang muncul adalah turunan biasa dan persamaan anini
merupakan persamaan diferensial biasa. Orede tingkat suatu persamaan diferensial adalah
tingkat atau pangkat tinggi turunan yang adalah persamaan.
Contoh soal:
1. d3 yd x3 +sin x d2 y
d x2 + y=cos x→ordo3
2. d2vd x2 +
d2 vd y2 =0→ordo2
FISIKA MATEMATIKA II Page 34
Jawabanya mana??
Ga ada….
1. Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah
Jika diberikan suatu fungsi f, dengan batas y ¿ f ( x ) merupakan solusi suatu persamaan diferensial (jika persamaan itu menjadi suatu kesamaan). Jika y dan turunan digantikan dengan f ( x ) dan turunannya yang menjadi perbedaan turunan y.Contoh soal:1. y=x ln x−x
Jawab:
Solusi dari persamaan diferensial: dydx= x+ yx
dydx
=(u1v+v1 )−x1
dydx
=( ln x+ 1xx)− x
dydx
=ln x+1−1= ln x
Substitusi y=x ln x−x, kedalam persamaan:
dydx
= x+ yx
⇔d ¿¿
u1. v+v1 . u−xdx
= xx+ x ln x
x− x
x
(1 ∙ ln x+ 1x∙ x )=ln x
ln x+1−1= ln x
ln x=ln x
2. Persamaan Diferensial Orde 1
a) Persamaan Diferensial Eksak
Missal M dan N fungsi dua peubah sehingga M, N, My, dan Nx continu pada
suatu daerah siku R, M (x,y) dx + N (x,y) dy …………..(1)Adalah diferensial eksak suatu fungsi f yang nilainya Z = f
(x,y) dan hanya jika: dMdy =dNdx
FISIKA MATEMATIKA II Page 35
Jika syarat dipenuhi, maka persamaan diferensial:
M ( x,y ) dx + N ( x,y ) dy = 0, disubuteksak dan solusi umum: f ( x,y ) = cUntuk memenuhi fungsi F:
dz= dfdx
.dx+ dfdy
. dy
Dan ruas kiri dz = 0,dfdx
=m¿) : dfdy=n ( x , y )
Contoh soal:1. Tentukan solusi dari persamaan
(3 x2−2 y+ex+ y)dx+(ex+ y−2 x+4 )dy=0
Jawab:
Menguji ke eksakan dMdy
=dNdx
dMdy
(3 x2−2 y+ex+ y )=−2 ex+ y=−2+e−x + y
dNdx
(ex+ y−2x+4 )=−2+e−x+ y
dMdy
=dNdx
→−2 x+ex+ y=−2+ex+ y (eksak)
Untuk memenuhi fungus F
dfdx
=(3 x2−2 y+ex+ y )
df =(3 x2−2 y+ex+ y )dx
∫ df=∫ (3 x2−2 y+ex+ y)dx
f=x3−2 y+ex+ y+C
¿ x3- 2yx +ex + y+C
dfdy
=ex+ y−2x+4
df = ex + y−2 x+4dy
∫ df=∫ex + y−2 x+4dy
f= ex + y−2 xy+4 y+C
dz = dfdx
dx+ dfdy
dy
FISIKA MATEMATIKA II Page 36
dz= (x3−2 yx+ex+ y+C )+(ex+ y−2 xy+4 y )+C
dz=x3−2 yx+e x+ y+ex+ y−2xy+4 y+C
b) Persamaan Diferensial Orde 1 Ruas Kanan ≠ 0
Bentuk umumnya adalah: dydx
+ p ( x ) y=Q(x)
Untuk mencari solusi maka ruas kanan = 0
Mula-mula kita anggap Q (x) = 0
dydx
+ p ( x ) y=0 →dydx
=−p ( x ) y (dipisahkan variable)
Dimana p (x) = I
dyy
=−p ( x )dx
∫ dyy
=−∫ p ( x )dx→ ln y=∫−p ( x )dx+C
Selanjutnya d (e∫ p ( x )dx)dx
y=e∫−p ( x ) dx+C=e− I
dydx
=dydx
eI+ yeI dIdx
dydx
=e I ( dydx + y . dIdx )
dydx
=eI ( dydx +P (x ) . y)ddx
( ye−I )=eI Q(x )
y=e−I∫ e IQ ( x )dx+De−I …………..(2)
Contoh soal:
1. x2 y '−2 xy=1x
Jawab:
x2 y '−2 xy=1x
Dibagi dengan x2, sehingga menjadi:
y '−2 yx
= 1x3
FISIKA MATEMATIKA II Page 37
Dan 1x3 =Q ( x )
y '−2 yx
=0→ y '=2xy
I=∫P ( x )dx
I=∫P(−2x )dx=−2 ln x
Untuk I=e−2 ln x
e−1=x2
Jadi, y=e−1∫Q ( x ) eI dx+Ce−1
y=x2∫ 1x3 .
1x2 dx+Cx2
y=x2∫ 1x5 dx+Cx2=∫ x−3dx+Cx2
y=−12
x−2+Cx2
¿−1
2 x2 +Cx2
Persamaan Diferensial Ordo 2
a. Persamaan difererensial orde 2 dengan rumus kanan = 0
Persamaan diferensial orde 2 dikatakan linier jika persamaan
Y ' '+P ( x )Y '+Q ( x )Y=r (x )
Dimana r ( x ) = 0 maka, Y ' '+P ( x )Y '+Q ( x )Y=0
Contoh:
Selesaikan persamaan orde 2 dari d2YdX2 +3 dY
dX+2Y=0
Jawab:
d2YdX2 +3 dY
dX+2Y=0
[ (D+2 ) (D+1 ) ]Y=0
Maka,
(D+2 )Y=0 , (D+1 )Y=0
FISIKA MATEMATIKA II Page 38
D= ddx
Integralkan (D+2 )Y=0
ddx
Y +2Y=0
dYdX
=−2Y
∫ dY=∫−2Ydx
∫ dYY
=¿−∫2dx¿
Ln Y = -2X
Y=e−2x
(D+1 )Y=0↔( ddx
+1)Y=0
dydx
+Y=0
dYdX
=−Y ↔dy=−Ydx
dYY
=−dx
∫ dyy
=−∫dx Ln y = -x y=e−x
Aplikasi dalam fisika
FISIKA MATEMATIKA II Page 39
Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan masalah fisika dalam bentuk persamaan
diferensial.
Contoh :
1. Tentukan bentuk persamaan gerak dari sebuah benda bila kepadanya dikerjakan gaya F
yang tetap dalam arah sumbu x.
Jawab:
H. Newton II F = m.a
a = percepatan a= vt=dv
dt=
dxdtdt
=dx2
dt 2
maka, F=m . dx2
dt 2 Fdt 2=mdx2
2. Tentukan posisi sebagai fungsi waktu dari sebuah benda jatuh bebas. Diketahui
percepatan pada gerak jatuh bebas sama dengan percepatan gravitasi bumi g.
Jawab:
a = g
d2Ydt2 =g d
dt ( dydt )=g
dydt
=g . ddt
dydt
=g .t
dy = g.t.dt
∫ dy=∫¿+Cdt y=12g t 2+Ct
Hukum fisika gerak jatuh bebas y=12g t 2
Latihan
Selesaikan persamaan diferensial linier :
1. y '+ y=e x
jawab :
rubahbentuk y ' menjadibentuk diferensial :
dy+ ydx=ex dx
y=e−I∫ eIQ ( x )dx+D.eI P ( x )=I
y=e−∫ex
∫ e∫ dxex dx+C .e−∫ex dx
¿e− x∫ex . exdx+C .ex
FISIKA MATEMATIKA II Page 40
¿e− x∫e2x dx+exC
misal , t=2x
dtdx
=2
dx=12dt
¿e− x∫e t 12dt+exC
¿e− x 12e t+exC
¿ 12e−x e2x+exC
¿ 12ex+exC=ex (1
2+C)
2. Selesaikan PDF berikut cara terpisah
a. x3dx+( y+1 )2dy=0
Jawab:
Menguji keeksakan
dNdy
=x3=0
dNdy
=( y+1 )2=0
dNdy
=dNdx
=0↔eksak
Fungsi F :
dfdx
=x3df =x3dx
∫ df=∫ x3dx
f=14x4+C
dfdy
=( y+1 )2= y2+2 y+1
df =( y2+2 y+1 )dy
∫ df=∫ ( y2+2 y+1 )dy
f=13y3+ y2+ y+C
FISIKA MATEMATIKA II Page 41
Jadi,
dz= dfdx
dx+ dfdy
dy
¿( 14x4+C)+( 1
3y3+ y2+ y+C)
¿ 14x4+ 1
3y3+ y2+ y+C
3.dydx
= 4 y(x ( y−3 ) )
jawab ∶
x ( y−3 )dy=4 y dx
x ( y−3 )dy−4 y dx=0
ke eksakan∶
dMdy
=−4 y=−4
dNdx
=x ( y−3 )=xy−3 x=x−3
dMdy
=dNdx
−4=x−3⟹ tidak eksak
Funfsi f
dfdx
=−4 y
df =−4 ydx
∫ df=−∫ 4 y dx
f=−4 yx+∁
dfdy
=x ( y−3 )
df =( xy−3 x )dy
∫ df=∫ ( xy−3 x )dy
FISIKA MATEMATIKA II Page 42
f=12x y2−3xy+∁
∴dz=−4 yx+∁+12x y2−3 xy+∁
¿−4 yx+∁ +12x y2−3 xy+∁
PenerapanPersamaan Diferensial Biasa DalamFisika
a . PersamaanBernoulli
adalah pengembangan dariPersamaanDiferensia l Biasa Linier .Persamaan Diferensial
BiasaBernoulli ini ruaskirinya samadenganruas kiri PDB Linier dan ruaskanannya
adalah ruaskanan PDB Linier yangdikalikandengan yn , jadi bentuk PDB Bernoulli :
dydx
+P ( x ) y=Q (x ) yn
dari rumusdiatas ini bukan PDB Linierorde satu , tapi dapat diubahmenjadi persamaan
linier orde satudenganmelakukan substitusi ∶ Z= y1−n
dzdy
=(1−n ) . y1−n−1
¿ (1−n ) y−n
dz= (1−n ) y−ndy
∴ dydx
+P ( x ) y=Q ( x ) yndikali (1−n ) y−ndy
(1−n ) y−ndy+ (1−n ) y1−nP ( x )dx=(1−n )Q (x )dx
atau
dz+(1−n )Z P ( x )dx=(1−n )Q ( x )dx
contoh :
1.Selesaikan PDB z x y y1= y2−2 x3
jawab :
z x y y1= y2−2 x3
zxy dy= y2dx−2 x3dx dibagi2xy
FISIKA MATEMATIKA II Page 43
dy=12yx
−1
dx− x2
ydx
dy−12yx
−1
dx−x2 y−1dx
Z= y1−n
Z= y1−(−1)= y2⇔ dzdy
=2 y⇔dz=2 ydy
∴dy−12yx
−1
dx−x2 y−1dx=−x2 y−1dx dikali2 y
2 ydy− y2 x−1dx=−2 x2dx
dz−zx−1dx=−2 x2dx
y=e−IQ ( x )dx+De−I
Z= y2 e−∫x−1dx∫ e∫ x−1 dx
(−2 x2)dx+∁ . e∫ x−1
dx
y2=x∫ x−1 (−2 x2 )dx+∁ x
¿ x∫−2 x dx+∁ x
¿−x .=x2+∁ x
¿−x3+∁ x
b. Cara Langrage
f ( x ) dydx
+ yϕ ( x )=ψ (x)
Persamaan tereduksi (ruas kiri)
f ( x ) dydx
+ yϕ ( x )=0
dydx
+ϕ (x )f ( x)
dx=0
∫ dyy
+∫ ϕ( x)f (x)
dx=0
Lny+∫ ϕ( x)f (x)
dx= lnC
FISIKA MATEMATIKA II Page 44
y=C .e−∫ ϕ (x)
f ( x)dx
Merupakan penyelesaian umum dari persamaan tereduksi, C1 dalam penyelesaian umum persamaan tereduksi dipandang sebagai fungsi dari x.
1ydydx
+Φ(x )f (x)
= 1C
dCdx
f ( x ) dydx
+ yϕ ( x )= y f (x)C
dCdx
Didapat
f ( x ) dydx
+ yϕ ( x )=f ( x ) e−∫ϕ ( x )
f ( x )dx. dCdx
Maka
e−∫ ϕ( x)
f (x ) dCdx
=ψ (x)
dCdx
=ψ (x )f ( x)
e−∫ϕ (x)
f (x) dx
C1=∫ ϕ (x)f (x)
e−∫ ϕ (x)
f ( x) dx+C
Jadi persamaan
y=C .e−∫ϕ(x)
f (x) dx+e
−∫ϕ (x)f (x) dx
∫ ψ (x)f (x )
e−∫ ϕ(x)
f ( x) dxdx
Contoh
x ( 1− y2 ) dydx
+ y (2x2−1 )=0
Jawab
x ( 1− y2 ) dydx
+ y (2x2−1 )=0
dyy
+( 2x2−1 )x (1−x2)
=0
FISIKA MATEMATIKA II Page 45
∫ dyy
+¿∫ (2x2−1 )x (1−x2 )
dx=0¿
Ln y+∫ ( 2x2−1 )x ( 1−x2 )
dx=lnC
Missal
u=(2x2−1 )
dudx
=4 x
du=4 xdx
dv=x (1−x2 )dx
∫ dv=∫ x (1−x2 )dx
Missal:
t=(1−x2 )
dtdx
=−2x
dx= dt−2 x
v=∫ xt dt−2x
=−12 ∫ t dt=−1
212t 2=−1
4(1−x2 )2
∴∫ (2 x2−1 )x (1−x2 )
dx=uv−∫ vdu
¿ (2 x2−1 )(−14
(1−x2 )2)−∫−14
(1−x2 )2 4 xdx
¿−14
(2x2−1 ) 1−2x2+x4 ¿+ 14
4∫ (1−x2)2dx
¿(−14
( 2x2−4 x4+2 x6−1+2x2−x4 ))+∫ x t2 dt−2x
¿−x2+ 54x 4−1
2x6+ 1
4−1
2∫ t 2dt
FISIKA MATEMATIKA II Page 46
¿−x2+ 54x 4−1
2x6+ 1
4−1
213t 3
¿−x2+ 54x 4−1
2x6+ 1
4−1
6( 1−x2 )3
lnY=−x2+ 54x4−1
2x6+ 1
4−1
6(1−x2 )3=lnC
Y=C e−( x2+5
4x 4− 1
2x 6+ 1
4−1
6( 1−x2)3)
… ..(1)
1ydydx
+Φ(x )f (x)
= 1C
dCdx
1ydydx
+(2 x2−1 )x (1−x2 )
dx= 1C
dCdx
dikali yx (1−x2 )
yx (1−x2)y
dy+(2 x2−1 )x (1−x2 )
yx (1−x2 )dx= yx ( 1−x2 )C
dCdx
x ( 1−x2 )dy+ y (2 x2−1 )dx= yx (1−x2)C
dCdx
dyy
+( 2x2−1 )x (1−x2)
dx= yx ( 1−x2 )C
dCdx
Y=C e−( x2+5
4x4−1
2x6+ 1
4−1
6( 1−x2)3)
=yx (1−x2 )
CdCdx
Ce−(x2+ 5
4x4−1
2x6+ 1
4−1
6(1− x2 )3)
=yx (1−x2 )
dxdCC
¿∫ dCC ∫ yx (1−x¿¿2)
dx¿
¿ lnC∫ 1yx (1−x2)
dx
Misal:
t=1−x2
dt=−2 x dx
FISIKA MATEMATIKA II Page 47
dx= dt−2 x
¿ lnC∫ 1yxt
dt−2x
¿ lnC∫ 1−2 x2 y
dtt
¿ lnC 1−2 x2∫
dtt
¿ lnC 1−2 x2 y
ln t
¿lnC ln (1−x2 )
−2x2 y
Y=C e−( x2+5
4x4−1
2x6+ 1
4−1
6( 1−x2)3)
+C e−( x2+5
4x4− 1
2x6+ 1
4−1
6( 1−x2)3)
−lnC ln (1−x2 )
−2 x2 y
¿2Ce−(x2+ 5
4x4−1
2x6+ 1
4−1
6( 1−x2)3 )
+lnC ln (1−x2 )
−2 x2 y
PENERAPAN PDB DALAM FISIKA
A. PEGAS
Hukum newton II : F=m.aHukum Hooke : F =- k.xHokum newton II = Hukum hookem.a = -k.x
m.
dvdt
=−k .x
FISIKA MATEMATIKA II Page 48
m . d2 xdt 2
=−kx
Ordo 1
Dimana : r2 = d2 xdt
m. r2+ k.x =0
fungsi karakteristik F (r) =0
m. r2+ k =0
m. r2=k
r2=
km
r =√ km
Persamaan gerak
ω2=
km
⇔ω=√ km
∴ x=c1 cosωt+c2 sinωt
Ordo 2
FISIKA MATEMATIKA II Page 49
m . d2 xdt 2
+kx=0
x=c1 cos √ km
.t+c2sin √ km
. t
m . d2 xdt 2
+b dxdt
+k . x=0
Fungsi Karakteristik
mr2+br+k=0
r1 .2=−b2m
± 12m √b2−4mk
Dimana :
α= 1
2m √b2−4mk
x=A .e(−b2m
+α ) t+Be
(−b2m
+α )t
=e(−b2m ) [ A .eα . t+B .e−α . t ]
Persamaan gerak
B. Rangkaian Listrik
Rangkaian listrik yang dihubungkan seri terdiri dari sumber tegangan v (t), tahanan (R), kapasitor (C), inductor (L). Pada saat t=0, maka Q=Q0 dan
Ld2Qdt
+RdQdt
+QC
=v ( t )
Dimana :ω0=√1LC
Persamaan gerak
FISIKA MATEMATIKA II Page 50
x=e−b2m [c1e
√(b2−4mk )t+c2 e−√(b2−4mk ) t ]
i ( t )=e−( R
2L )t [A .e√R2−4 LC
.t
2L+B .e√R2−4 LC
. t2L ]
i=dQdt
=0
=dQdt
=Qt
=Q2−Q1
t 2−t1
Contoh:
1. Massa 5 kg digantungkan pada pegas yang tergantung dan mempunyai tetapan pegas 1000N/m. Carilah persamaan geraknya dan hitung persamaan gerak jika t=0!
Diket :m=5kg
K=1000N/m
Dit : x…….?
x…….? t=0
x=C1 cos√ km⋅t+C2 sin√ k
m⋅t
=C1 cos√1000
5⋅t+C2 sin√1000
5⋅t
x=C1 cos√200⋅0+C2 sin√200⋅0
=C1cos 0 +C2sin 0
=C1 . 1+C2 . 0
=C1
2. Sebuah massa 20gr digantungkan pada ujung sebuah sistem pegas ,dan panjang pegas berubah 4cm dari keadaan semula.tidak ada gaya luar yang bekerja pada massa pegas dan tahanan udara diabaikan.nyatakan pers gerak yang terjadi jika massa tertarik ke bawah 1cm dari keadaan setimbang dan pada massa diberikan kecepatan awal 0,5 cm/dt arah keatas .
Diket : m=20 gr =2x10-2kg
x=4cm =4x10-2kg
FISIKA MATEMATIKA II Page 51
dit : x……?
jawab :
F = m.g
=2x10-2kg.10 kg
=2x10-1N⇔F=K⋅x
K= Fx=2×10−1
4×10−2=0,5×101=5 Nm
x=C1 cos√ k
m⋅t+C2 sin√ k
m⋅t
=0 ,01 cos √ 5
2×10−2⋅t+0 ,01 sin√ 52×10−2⋅t
3. Sebuah rangkaian listrik LRC, yang tidak menggunakan sumber tegangan terdiri
dari tahanan 6 Ω, kapasitor 0,02 F, inductor 0,1 H. hitunglah arus pada rangkaian
jika saat rangkaian dihubungkan t = 0, arus (I0) = 0 dan kapasitor telah bermuatan
o,1 C.
Diketahui : R = 6 Ω
C = 0,02 F
L = 0,1 H
I0 = 0
Q = 0,1 C
FISIKA MATEMATIKA II Page 52
Ditanyakan : i (t) = …?
Jawab : i (t) ¿−( R
2L) .t [A .√ R2 4 LC . t
2 L+B .√R2 4 LC . t
2 L ]
¿−( 6
2.0,1).0 [A .√62 4 . 0,10,02 . 0
2.0,01 +B .√62 4 .0,10,02 . 0
2.0,01 ] ¿−0 [A .0 +B .0 ]
¿−1 [ A .1+B .1]
¿−1 [ A+B ]
¿−A−B
i ¿Qt
¿ 0,1t
¿
4. Gunakan persamaan Bernoulli
2 x3 y2= y ( y2+3 x2 )
2 x3dy= y2+3 x2 y
2 x3dy= y3dx+3 x2 y dx :2 x3
dy=12y3 x−3dx+ 3
2x−1 y dx
dy−12y3 x−3dx=3
2x−1 y dx
dy−32x−1 y dx=1
2y3 x−3dx
z= y1−n= y1−3= y−2
d zdy
=−2 y3→dz=−2 y−3dy
dy−12y3 x−3dx=−3
2x−1 ydx ×−2 y−3
−2 y−3dy+ x−3dx=−3 x−1 y−2dx
dz+x−3dx=−3 x−1 z dx
FISIKA MATEMATIKA II Page 53
dz+3 x−3 z dx=−x−3dx
y=−1∫IQ ( x )dx+D−I
y=−∫ 3
x dx∫
∫ 3x dx
(−x−3 )dx+C−∫ 3
x dx
¿−3 lnx∫3lnx (−x−3 )dx+C−3lnx
misal : t=3 ln x
dtdx
=u' v+v 'u
¿0 ln x+ 1x
.3=0+ 3x=3
x
dtdx
=3x
3dx=x dt
dx=x3dt
¿−3 lnx∫t (−x−3 ) . x3dt+C−3 lnx
¿−3 lnx∫t−x3
dt+C−3 lnx
¿−3 lnx−x−2
3 ∫t dt+C−3 lnx
¿−3 lnx−x−2
3t+C−3 lnx
¿−3 lnx−x−2
33 lnx+C −3 lnx
¿0 −x−2
3+C−3 lnx
¿ −x−2
3+C−3 lnx
FISIKA MATEMATIKA II Page 54