Fungsi Gamma Fungsi Beta Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta

KALKULUS 4

Dr. D. L. Crispina Pardede, SSi., DEA.

SARMAG TEKNIK MESIN

1. Deret Fourier

1.1. Fungsi Periodik

1.2. Fungsi Genap dan Ganjil,1.3. Deret Trigonometri,1.4. Bentuk umum Deret Fourier,1.5. Kondisi Dirichlet,1.6. Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.

2. Integral Fourier

KALKULUS 4 - SILABUS

2. Integral Fourier

3. Transformasi Laplace

3.1. Definisi dan sifat Transformasi Laplace3.2. Invers dari transformasi Laplace3.3. Teorema Konvolusi3.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D.

dengan syarat batas.4. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

4.1. Fungsi Gamma

4.2. Fungsi Beta4.3. Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta

Tabel Nilai Fungsi Gamma

4.1. Fungsi Gamma

n ΓΓΓΓ(n)

1,00 1,0000

1,10 0,9514

1,20 0,9182 1,20 0,9182

1,30 0,8975

1,40 0,8873 1,50 0,8862

1,60 0,8935

1,70 0,9086

1,80 0,9314

1,90 0,9618 2,00 1,0000

Grafik Fungsi Gamma

4.1. Fungsi Gamma

FUNGSI GAMMA : ΓΓΓΓ(n)

4.1. FUNGSI GAMMA

∫∫−−−

∞−

==Γ

bx1nx1ndxexlimdxex)n(

konvergen untuk n>0

∫∫ ∞→==Γ

0b

0

dxexlimdxex)n(

Contoh:

4.1. Fungsi Gamma

dxexlim

dxex)1(

bx11

x

0

11

=

=Γ

−−

−∞

−

∫

∫

[ ] [ ] 1 ee lim e lim

dxelim

dxexlim

0b

b

b

0

x

b

b

0

x

b

0

x11

b

=+−=−=

=

=

−

∞→

−

∞→

−

∞→

−−

∞→

∫

∫

Contoh:

4.1. Fungsi Gamma

dxexlim

dxex)2(

bx1

x

0

12

=

=Γ

∫

∫

−

−∞

−

..........

dxexlim 0

x1

b

=

= ∫−

∞→

Rumus Rekursi dari Fungsi Gamma

ΓΓΓΓ(n+1) = n ΓΓΓΓ (n)

dimana Γ(1) = 1

4.1. Fungsi Gamma

Contoh:1. Γ(2) = Γ(1+1) = 1 Γ(1) = 1.

2. Γ(3) = Γ(2+1) = 2 Γ(2) = 2.

3. Γ(3/2) = Γ( ½ +1) = ½ Γ(½).

Bila n bilangan bulat positif

ΓΓΓΓ(n+1) = n!

dimana Γ(1) = 1

4.1. Fungsi Gamma

Contoh:1. Γ(2) = Γ(1+1) = 1! = 1.

2. Γ(3) = Γ(2+1) = 2! = 2.

3. Γ(4) = Γ(3+1) = 3! = 6.

Contoh:Hitunglah

4. Γ(6)

5. Γ(5)/Γ

4.1. Fungsi Gamma

5. Γ(5)/Γ(3)

6. Γ(6)/2Γ(3)

Bila n bilangan pecahan positif

ΓΓΓΓ(n) = (n-1) . (n-2) . … αααα ΓΓΓΓ(αααα )

dimana 0 < α < 1

4.1. Fungsi Gamma

Contoh:1. Γ(3/2) = (1/2) Γ (1/2)

2. Γ(7/2) = (5/2)(3/2)(1/2)Γ(1/2)

3. Γ(5/3) = (2/3)Γ(2/3).

Bila n bilangan pecahan negatif

4.1. Fungsi Gamma

n

)1n()n(

+Γ=Γ

atau

)...1n(n

)mn()n(

−

+Γ=Γ

m bilangan

Contoh:

4.1. Fungsi Gamma

−

−

+−Γ

=

−

−Γ

=

−

+−Γ

=

−Γ

13

12

1

3

2

1

3

12

3

2

3

Γ

=

−

−

Γ

=

−

−−−

4

3

2

1

2

1

2

3

2

1

2

1

2

3

2

3

2

32

Contoh:

4.1. Fungsi Gamma

−

−

+−Γ

=

−

−Γ

=

−

+−Γ

=

−Γ

11

2

3

2

5

12

3

2

5

2

3

2

5

12

5

2

5

−

Γ

=

−

−

−

Γ

=

−

−

−

+−Γ

=

−

−

−Γ

=

8

15

2

1

2

1

2

3

2

5

2

1

2

1

2

3

2

5

12

1

2

3

2

5

2

1

Beberapa hubungan dalam fungsi gamma

4.1. Fungsi Gamma

π=Γ )( 21

)!1n()n( −=Γ )!1n()n( −=Γ

n

)1n()n(

+Γ=Γ

π

π=−ΓΓ

nsin)n1()n(

Contoh Soal:

4.1. Fungsi Gamma

( )( )

( ) ( )

21

25

.3Γ

Γ( )

( )1 .2

2

5 .1

−Γ

Γ

( ) ( )

( )

( )( )

325

386

.5

5,5

5,23 .4

Γ

Γ

Γ

ΓΓ( )

( )( )

21

21

.3

21 .2

Γ

−Γ

−Γ

Penggunaan Fungsi Gamma

==

=→=

0y maka 0, x bila

dy dx y 2x Misalkan

:awabJ

21

4.1. Fungsi Gamma

∫∞

−

0

x26dxex Hitung .1

∞=∞=

==

y maka , x bila

0y maka 0, x bila

8 45

2

6! (7) )(

dyey )( dyey )(

dyey)( dye)y( dxex

7

7

21

0

y1-77

21

0

y67

21

0

y67

21

0

21

y6

21

0

x26

==Γ=

==

==

∫∫

∫∫∫∞

−∞

−

∞−

∞−

∞−

4.1. Fungsi Gamma

∫∞

−=

0

x y substitusidengan dye y Hitung .233y

∞=∞=

==

=→=

y maka , x bila

0y maka 0, x bila

dy 3y dx x y Misalkan :awabJ23

π=Γ==

==

=

=

∫

∫∫

∫∫∫

∞−

∞−

∞−

∞∞∞−

3

1)(

3

1dx e x

3

1

dx e x3

1 dx e x

3

1

dxx 3

1 e xdx

x 3

1 e x dye y

21

x-

0

121

x-

0

21

x-

0

32

61

x-

0

61

23

1

x-

0

31

03

2

3y

4.1. Fungsi Gamma

u ln x substitusidengan

ln x-

dx

Hitung .3

1

0

=−∫

0 u maka ,1 x bila dan u maka 0, x Bila

due- xd e x u ln x Misalkan

:awabJu-u-

==∞==

=→=→=−

0 u maka ,1 x bila dan u maka 0, x Bila ==∞==

π=Γ==

−==

∫

∫∫∫∞

∞∞

−

−

)( du e u

du )e( u u

due-

ln x-

dx

21

0

001

0

u-

u--u

21

21

FUNGSI BETA dinyatakan sebagai

4.2. FUNGSI BETA

∫−−

−=

1

0

1n1mdx)x1(x)n,m(B

konvergen untuk m > 0 dan n > 0.

Sifat: B(m,n) = B(n,m)

Bukti: … … …

0

Bukti:

4.2. Fungsi Beta

dx)y()y1(

dx)x1(x)n,m(B

11n1m

1

0

1n1m

−=

−=

∫

∫

−−

−−

Terbukti

)m,n(B

dx)y1()y(

dx)y()y1(

1

0

1m1n

0

∴

=

−=

−=

∫

∫

−−

HUBUNGAN Fungsi Beta dengan Fungsi Gamma

4.2. Fungsi Beta

)n( )m()n,m(B

ΓΓ=

)nm(

)n( )m()n,m(B

+Γ

ΓΓ=

Contoh:1. Hitung B(3,5).Jawab:

4.2. Fungsi Beta

)5( )3()5( )3( ΓΓΓΓ......

)8(

)5( )3(

)53(

)5( )3()5,3(B =

Γ

ΓΓ=

+Γ

ΓΓ=

Contoh:2. Hitung B(5 , 2).

Jawab:3. Hitung B(3/ , 2).

4.2. Fungsi Beta

3. Hitung B(3/2 , 2).

Jawab:4. Hitung B(1/3 , 2/3).

Jawab:

Penggunaan Fungsi Beta

4.2. Fungsi Beta

∫ −

1

0

34dx)x1(x Hitung .1

:Jawab11

280

1

!8

!3 !4

4) (5

(4) (5)

)4,5(B

dx)x1(x dx)x1(x

1

0

141-51

0

34

=

=+Γ

ΓΓ=

=

−=− ∫∫−

4.2. Fungsi Beta

∫−

2

0

2

x2

dxx Hitung .2

du 2 dx 2u x Misalkan :Jawab =→=

...)(3,B 24

du)u1(u 24 u1

duu

2

8

u12

duu8

u22

du2)u2(

x2

dxx

21

1

0

21

0

2

1

0

21

0

22

0

2

21

==

−=−

=

−=

−=

−

∫∫

∫∫∫−

Penggunaan Fungsi Beta

4.2. Fungsi Beta

dy yay Hitung .3

a

0

224

∫ −

LATIHAN

dx e x Hitung .3

dx e x Hitung .2

x4

0

x4

∫

∫∞

∞−

−

)(

)()3( b).

)3()4(2

)7( a). Hitung .1

29

23

Γ

ΓΓ

ΓΓ

Γ

dx e x Hitung .3

0

x4∫−

du u)-4( u Hitung .6

dx )x1( x Hitung .5

42/53/2

132

0

0

∫

∫ −

)32,3

12

3 (B b). 2) ,(B a). Hitung .4