noteofmath.files.wordpress.com  · Web viewDiophantine Equation (Persamaan Diophantine). Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa

Diophantus Dan Persamaan Linear Dua Variabel

biografi

Diophantus Dan Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel berkaitan erat dengan persamaan diophantine. Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang yang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus juga dikenal dengan julukan “bapak dari aljabar”. Namun julukan itu kemudian disandang oleh Al-Khawarizmi tentunya. Dia merupakan seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria, pada waktu itu Alexandria adalah pusat pembelajaran Matematika.

Semasa hidup Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai Diophantine Equation (Persamaan Diophantine).

Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linier, bisa saja kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat.

Persamaan linear dua variabel berkaitan erat dengan persamaan diophantine. Persamaan ini pertama kali dipelajari oleh seseorang yang bernama Diophantus yang menghabiskan hidupnya di Alexandria. Diophantus juga dikenal dengan julukan “bapak dari aljabar”. Namun julukan itu kemudian disandang oleh Al-Khawarizmi tentunya. Dia merupakan seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria, pada waktu itu Alexandria adalah pusat pembelajaran Matematika.

Semasa hidup Diophantus terkenal karena karyanya yang berjudul Arithmetica. Arithmetica adalah suatu pembahasan analitis teori bilangan yang berisi tentang pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat persamaan. Persamaan-persamaan tersebut dikenal sebagai Diophantine Equation (Persamaan Diophantine).

Persamaan deophantine merupakan suatu persamaan yang mempunyai solusi yang diharapkan berupa bilangan bulat. Persamaan Diophantine tidak harus berbentuk persamaan linier, bisa saja kuadrat, kubik, atau lainnya selama mempunyai solusi bilangan bulat.

Bentuk paling sederhananya diberikan oleh ax + by = c

a, b koefisien dan c konstanta bulat yang diberikan. Penyelesaian persamaan Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini. Jika d adalah FPB dari a dan b, maka agar persamaan di atas mempunyai solusi maka d harus dapat membagi c. Terkadang dalam menentukan pasangan bilangan bulat yang memenuhi persamaan, kita harus mencoba-coba dan pandai menentukan pola dari selesaiannya.

Bentuk paling sederhananya diberikan oleh :

ax + by =c

Koefisien dan c konstanta bulat yang diberikan. Penyelesaian persamaan Diophantine adalah semua pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan ini. Jika d adalah FPB dari a dan b, maka agar persamaan di atas mempunyai solusi maka d harus dapat membagi c. Terkadang dalam menentukan pasangan bilangan bulat yang memenuhi persamaan, kita harus mencoba-coba dan pandai menentukan pola dari selesaiannya.

Hikmah apa yang dapat kalian ambil dari biografi Diophantus ini?

1. Menyelesaikan masalah tidaklah semudah menyelesaikan perkalian dengan mencongak. Kita harus menentukan strategi yang tepat untuk menyelesaikannya.

2. Terkadang kita dihadapkan dengan masalah yang selesaiannya tidak tunggal. Oleh karena itu jangan pernah menyerah untuk menggali informasi lebih dalam sehingga mendapatkan selesaian lainnya.

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

SK 2. Memahami sistem persamaan linear dua variabel dan menggunakannya dalam pemecahan masalah

KD 2.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya.

Indikator Pencapaian Kompetensi

2.3.1 Menggunakan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari.

2.3.2 Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari dengan sistem persamaan linear dua variabel.

Tujuan pembelajaran

1. Siswa dapat menggunakan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari

2. Siswa dapat menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari dengan sistem persamaan linear dua variabel

12

12

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

a. Sebelum kalian mampelajari KD ini, pahamilah terlebih dahulu KD 2.1 dan KD 2.2.

b. Perdalam kembali metode substitusi dan eliminasi

c. Untuk memahami materi ini, perhatikan materi dan contoh soal penyelesaian persamaan linear dua variabel.

Petunjuk Belajar

Harga 10 pisang dan 2 nanas adalah Rp 26.500,00 sedangkan harga 5 pisang dan 3 nanas adalah Rp 22.250,00. Dapatkah kamu menghitung harga satuan untuk pisang dan nanas tersebut?

Permasalahan-permasalahan aritmetika sosial seperti ini dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV).

Mengapa harus dua variabel?

Perhatikan bahwa contoh kasus tersebut melibatkan dua macam variabel yang belum diketahui nilainya, yaitu harga satuan pisang dan harga satuan nanas.Untuk dapat mengetahui harga-harganya, kamu dapat menggunakan pemisalan untuk harga satuan pisang dan harga nanas.

ILUSTRASI

Misalkan, harga satuan pisang adalah x dan harga satuan nanas adalah y.

Jadi, contoh kasus tersebut dapat ditulis dalam bentuk model matematika

sebagai berikut.

10x + 2y = 26.500

5x + 3y = 22.250

Dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV, kamu dapat

mengetahui nilai x dan y.

MENYELESAIKAN MASALAH SEHARI-HARI YANG BERKAITAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan perhitungan yang melibatkan sistem persamaan linear dua variabel. Permasalahan-permasalahan disajikan dalam bentuk soal cerita.

Ada dua fakta mengenai SPLDV yang dapat dijadikan pegangan untuk mengenali sebuah soal cerita, yaitu :

1. Fakta adanya dua PLDV,

2. Fakta adanya dua variabel.

Berdasarkan dua fakta tersebut di atas, cara mengenali soal cerita adalah sebagai berikut :

a. Dua besaran yang nilainya belum dikatehui, dan

b. Sekurang-kurangnya terdapat dua kalimat/ pernyataan yang menghubungkan kedua besaran berikut,

Maka, soal cerita tersebut kemungkinan besar dapat diselesaikan dengan menggunakan SPLDV. Dalam hal ini masih berupa kemungkinan, karena kita belum mengetahui apakah pernyataan yang menghubungkan kedua besaran itu bersifat linear atau tidak.

Strategi penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

a. Dua besaran yang belum diketahui dimisalkan sebagai variabel dalam SPLDV yang akan disusun,

Atau secara lebih umumnya langkah-langkah menyelesaikan soal cerita adalah sebagai berikut :

1. Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua varibel

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel

3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

Contoh

Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar Rp 15.000,00, sedangkan intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga Rp 18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?

Penyelesaian :

Langkah 1 :

Misalkan harga 1 kg mangga = x

harga 1 kg apel = y

Kalimat matematika dari soal di samping adalah

b. Dua kalimat/pernyataan yang menghubungkan kedua besaran tersebut diterjemahkan ke dalam kalimat matematika. Jika diperoleh dua PLDV, maka kedua PLDV dapat dipandang sebagai sebuah SPLDV.

c. Kita selesaikan SPLDV yang diperoleh pada bagian (b). Kemudian penyelesaian yang diperoleh kita gunakan untuk menjawab pada soal cerita aslinya.

Atau secara lebih umumnya langkah-langkah menyelesaikan soal cerita adalah sebagai berikut :

1. Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua varibel

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel

3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

INGAT !!!

Metode gabungan terdiri dari metode eliminasi dan subsitusi

Langkah 2 :

Selanjutnya, selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan metode gabungan

· metode eliminasi

· metode subtitusi

subtitusi nilai ke persamaan

Langkah 3: Dengan demikian, harga 1 kg mangga adalah Rp 4.000,00 dan harga 1 kg apel adalah Rp 7.000,00.

Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg apel adalah :

LKS

Tujuan :

1. Siswa dapat menggunakan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari

2. Siswa dapat menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari dengan sistem persamaan linear dua variabel

Standar Kompetensi : 2 Memahami sistem persamaan linear dua variabel dan menggunakannya dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar. 2.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dua variabel dan penafsirannya

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Nama Kelompok :

1. .........................................

2. .........................................

3. .........................................

Misalkan :

X =.......

Y=........

Maka kita akan mendapatkan 2 persamaan yaitu

Petunjuk :

Diskusikan dengan teman dalam kelompokmu

Sebuah toko kelontong menjual dua jenis beras sebanyak 50 kg, harga 1 kg beras jenis I adalah Rp. 6.000,00 dan jenis II adalah 6.200,00/kg. Jika harga beras seluruhnya Rp. 306.000,00 maka

a. Susunlah sistem persamaan dengan x dan y

b. Tentukan nilai x dan y

c. Tentukan jumlah harga 4 kg beras jenis I dan 7 kg beras jenis II

Penyelesaian

Ikuti langkah-langkah berikut untuk mencari penyelesaian dengan metode subsitusi dan eliminasi

1. Lakukan pemisalan terhadap apa yang diketahui dalam soal.

Penyelesaian:

Petunjuk: suatu variabel dapat dieliminasi jika koofisennya sama atau berlawanan agar lebih mudah, masing-masing persamaan kita beri nama persamaan 1 dan 2

2. Mengeliminasi y untuk memperoleh nilai x atau mengeliminasi x untuk memperoleh nilai y.

3. Misalkan kita akan mengeliminasi y untuk memperoleh nilai x maka koofisien y harus disamakan atau berlawanan. Jadi, persamaan 1 harus dikalikan ...... dan persamaan 2 harus dikalikan ......... hasilnya adalah ...

Penyelesaian:

Penyelesaian:

4. Untuk mendapatkan nilai y kita melakukan metode subtitusi dengan memasukkan nilai x yang sudah didapatkan kedalam persamaan 1 atau persamaan 2.

5. Untuk menentukan harga 4 kg beras jenis I dan 7 kg beras jenis II lakukan substitusi nilai x dan y di salah satu persamaan.

Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita adalah sebagai berikut :

1. Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua varibel

2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel

3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

SOAL LATIHAN

Rangkuman

1. Harga dua pensil dan 3 buku adalah Rp 4.750,00 sedangkan harga 5 pensil dan 2 buku adalah Rp 5.000,00. Harga 3 pensil dan 12 buku adalah ..

2. Keliling sebuah persegi panjang adalah 54 cm, sedangkan panjangnya 3 cm lebihnya dari lebar. Luas persegi panjang adalah ..

3. Dua buah bilangan cacah berjumlah 60 dan selisih kedua bilangan itu adalah 30. Tentukan kedua bilangan itu!

Soal Evaluasi

1. Harga dua buah baju dan tiga kaos adalah Rp. 85.000,00, sedangkan harga tiga baju dan satu kaos tipe yang sama adalah Rp. 75.000,00. Tentukan harga sebuah baju dan harga sebuah kaos?.

2. Harga 2 pasang sepatu dan 3 pasang sandal adalah Rp. 90.000,00 sedangkan harga 3 pasang sepatu dan 4 pasang sandal dengan model yang sama adalah Rp. 130.000,00. Tentukan harga 4 pasang sepatu dan 5 pasang sandal!

3. Dian membeli 1 buah pensil dan 2 buah buku dengan harga Rp 7.500,00; dan toni membeli 3 buah pensil dan 2 buah buku dengan harga Rp 10.500,00; . berapakah harga dari 1 buah pensil dan 1 buah buku?

4. Jumlah siswa putra dan putri adlah 48 anak. Siswa putra lebih banyak daripada siswa putri. Selisih banyak siswa putra dengan siswa putri adalah 4 anak. Tentukan banyak masing-masing siswa!

5. Ibu ina membeli 2 kg tepung dan 1 kg telur untuk membuat bolu bakar dengan harga Rp 50.000,00; dan ibu susi membeli 3kg telur dan 2kg tepung untuk membuat donat dengan harga Rp 79.000,00; di beli dari toko yang sama. Berapa harga 1 kg tepung dan 1 kg harga telur?

6. Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp14.400.00. Harga 6 buah buku tulis dan 5 buah pensil Rp11.200,00.Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah adalah

7. Andre membeli 3kg buah mangga dan 2kg jeruk dengan harga

Rp 44.000,00; ,linda membeli 5 kg mangga dan 1 kg jeruk dengan harga Rp. 57.000,00; dan santi ingin membeli 5kg salak dan 1kg manggis dengan harga 1kg salak sama dengan harga 1kg mangga, harga 1kg manggis sama dengan harga 1 kg jeruk jadi berapa harga yang harus dibayar santi ?

8. Sebuah bioskop mampu menjual karcis kelas I dan kelas II sebanyak 650 lembar. Harga setiap karcis untuk kelas I adalah Rp. 1.000,00 dan harga setiap karcis untuk kelas II adalah Rp. 750,00. Jika hasil penjualan seluruh karcis adalah Rp. 550.000,00, tentukan banyak karcis kelas I dan kelas II yang terjual !

9. Umur Sani 7 tahun lebih tua dari umur Ari. Sedangkan jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah umur masing-masing !

10. Selisih uang Budi dan Ali adalah Rp3.000,00. Jika 2 kali uang Budi ditambah dengan 3 kali uang Ali adalah Rp 66.000,00. Tenrukanlah jumlah uang budi dan ali!

DAFTAR PUSTAKA

Dewi Nurani & Tri Wahyuni. (2008). Matematika Konsep dan Aplikasinya untuk kelas VIII SMP/MTS. Jakarta : Departemen Pendidikan Nasional.

Endah, dkk. (2008). Contextual Teaching and Learning Matematika Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah Kelas VII Edisi 4. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

Nuniek Avianti Agus. (2007). Mudah Belajar Matematika Kelas VIII. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

M.Cholik. A. & Sugijono. (2004). Matematika 2 untuk SMP/MTS Kelas VIII. Jakarta: Erlangga.

KUNCI JAWABAN EVALUASI

215.000

218.000

{

xy

xy

+=

+=

215.000

218.000

xy

xy

+=

+=

1

2

´

´

215.000

2436.000

xy

xy

+=

+=

-

415.00036.000

yy

-=-

321.000

y

Û-=-

21.000

7.000

3

y

-

Û==

-

27.00015.000

x

+=

Û

215.0007.000

x

=-

28.000

x

=

8.000

4.000

2

x

==

52(54.000,00)(37.000,00)

xyRpRp

+=´+´

Rp20.000,0021.000,00

41.000,00

Rp

Rp

=+

=

ሼǥǥǥǥǥǥǥǥǥǥǤሺͳሻǥǥǥǥǥǥǥǥǥǥǤሺʹሻ

1.Harga sebuah baju Rp 20.000,00 dan harga sebuah kaos adalah Rp 15.000,00 2.Harga 4 pasang sepatu dan 5 pasang sandal adalah Rp.170.000,00 3.Harga 1 buah pensil = 1.500,00; dan 1 buah buku = 3.000,00 4.Jumlah siswa putra adalah 26 siswa dan jumlah siswa putri 22 siswa. 5.Harga 1 kg tepung = 21.000,00; dan harga 1 kg telur = 8.000,00; 6.Jumlah harga 5 buku dan 8 pensil adalah 12.400,00 7.Rp 61.000,00 8.Karcis yang terjual adalah 400 karcis untuk karcis I dan 250 karcis untuk karcis II 9.Umur Sani = 25 tahun dan umur Ari = 18 tahun. 10.Uang budi Rp. 15.600, dan uang ali 12.600.