Persamaan Linear DiophantinePosted by hendry_dext Wew.
Posting-an kali ini sedikit telaat.. Alasan utama karena semakin
lama, materi semakin naik level (meskipun tidak sulit-sulit amett).
Tapi, gw berusaha menerangkannya dengan sejelas-jelasnya biar
semuanya bisa ngertii..
Nah, sekarang kita akan memasuki babak yang sedikit berbeda
dengan pelajaran SMP atau SMA (loh memank di sini ga ada pelajaran
sekolah khan yakk). Ini mengenai persamaan diophantine. Lihat di
bahasan GCD (algoritma Eulid) karena itu dasar supaya bisa ke
sini.
Persamaan diophantine adalah persamaan bersuku banyak ax+by = c,
di mana a, b, dan c adalah bilangan-bilangan integer (bulat).
Contoh Persamaan diophantine ax+by=c: 2x+ 4y= 26. Persamaan linear
diophantine ax+by= c mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika
gcd(a,b) membagi c. Bukti: Bisa dilihat di GCD (algoritma Eulid).
Di sana dinyatakan bahwa: . Jadi, c merupakan kelipatan dari
gcd(a,b).
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Wew. Jangan stress dulu kawan-kawan. Enjoy aja.. Ini gak susah
koq..
Contoh soal 1: Tentukan semua bilangan bulat x dan y yang
memenuhi persamaan berikut:
http://www.forkosh.dreamhost.com/mathtex.cgi?15x+%206y=190 Jawab:
Mungkin bagi kalian yang penasaran untuk menyelesaikan kasus ini,
bisa dengan coba-coba.. Misalnya, jika x = 1, y-nya berapa, dan
seterusnya.. Tapi, repott.. ==". Mungkin, 10 tahun lagi baru Nah,
untuk mendapatkan solusi, selese.. kita dari gcdnya dulu: gcd
Wkwkwkwk (15,6) = 3.
Namun, ternyata 190 tidak habis dibagi 3. Nah, artinya,
persamaan di atas tidak punya solusi untuk semua bilangan bulat x
dan y.
Eh, jangan bingung. Jawabannya yah gitu aja.. Wew. Guampang
khan..
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 2: Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi
persamaan berikut:
http://www.forkosh.dreamhost.com/mathtex.cgi?15x+%206y=189 Jawab:
Wew. Ini soalnya berbeda dengan yang nomor satu.. Cuma beda 190
dengan 189.. Maklum, gw ini males ganti angka.. Jadi, tinggal copy
paste aja gitchu.. gak repot.. solusinya jelas berbeda. Pertama,
kita tentukan gcd-nya dulu pake algoritma Euclid. 15 = 6 x 2 +3 6 =
3 x 2 + 0. Nah, remainder/ sisa terakhir kedua (yang di-bold)
adalah gcd-nya. Jadi, gcd(15,6) = 3. Lalu, perhatikan bahwa 189 itu
habis dibagi 3 (atau 3 solusi x 189). Artinya, persamaan itu punya
dan y. . Nah, di sini
Lalu, ambil persamaan terakhir (Untuk lebih jelasnya, lihat
bahasan GCD bagian pengembangan algoritma Euclid / identitas
Bezout): 3 = 15 - 6 x 2 3 = 1 x 15 - 2 x 6 (dikali 63) 189 = 63 x
15 - 126 x 6 Nah, dari sini, kita sudah mendapatkan satu solusi,
yaitu x = 63 dan y = -126 (lihat bentuk gcd(a,b)=ax+by)... Tapi,
yang diinginkan di soal adalah semua solusi. So, bagaimana
caranya.?? Sekarang, kita cari gradiennya: m= -15/6 = -5/2(harus
disederhanakan!). Nah, inget lah bahwa jika titiknya ditambah
dengan gradien, maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. Jadi,
kita mendapatkan semua solusi dalam bentuk parameter k sebagai
berikut: y = -126 5 k
x = 63 + 2k, untuk k adalah semua bilangan bulat.
Tanda plus minus boleh terbalik. Jadi, hasilnya bisa saja
seperti ini: y = -126 + 5 k x = 63 - 2k, untuk k adalah semua
bilangan bulat.
Jika, dirasa angka 126 dan 63 terlalu besar, maka dapat
dikecilkan dengan memasukkan sembarang angka k, misalnya k= 30.
Maka: y = -126 + 5.30 = 24 dan x = 63 - 2.30 = 3. Jadi,
persamaannya menjadi seperti ini: y = 24 + 5k x = 3 - 2k, untuk k
semua bilangan bulat.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Aku kasih contoh lagi yg semodel dengan contoh 2 yaa, biar tambah
jagoo.. Contoh soal 3: Tentukan semua bilangan bulat yang memenuhi
persamaan berikut:
http://www.forkosh.dreamhost.com/mathtex.cgi?15x+%206y=189 Jawab:
Huehue.. Biar sesuai dengan tahunnya donkx.. 2008... LAgi-lagi,
gunakan algoritma Euclid: 155 = 1 x 128 + 27 128 = 4 x 27 + 20 27 =
1 x 20 + 7 20 = 2 x 7 + 6 7=1x6+1 6=6x1+0 gcd(155,128) adalah 1.
Karena 1 2008, maka persamaan tersebut punya solusi.
Lalu, ubah bentuk algoritma di atas menjadi identitas
diophantine. (ambil persamaan kedua terbawah) 1=7-1x6 1 = 7 - (20 -
2 x 7) 1 = 3 x 7 - 20 1 = 3 x (27 - 20) - 20 1 = 3 x 27 - 4 x 20 1
= 3 x 27 - 4 (128 - 4 x 27) 1 = 19 x 27 - 4 x 128 1 = 19 (155 -
128) - 4 x 128 1 = 19 x 155 -23 x 128
Lalu, kalikan dengan 2008, hasilnya: 2008 = (38152) x 155 +
(-46184) x 128
Note: jujur angkanya jelek.. wew.. Jadi, kita mendapatkan x dan
y-nya: x = -46184 dan y = 38152 Cari gradiennya: m = - (128/155)
==> sudah tidak bisa lebih sederhana... Maka hasilnya: y = 38152
-128 k x = -46184 +155k, untuk k semua bilangan bulat.
Jika ingin angkanya lebih tidak rumit, maka masukkan saja
misalnya k =298, maka: y = 38152 - 128. 298 = 8 dan x = -46184 +
155.298 = 6, maka hasilnya: y = 8 - 128 k x = 6 + 155 k, untuk
semua k bilangan bulat.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Contoh Soal 4: Tentukan semua bilangan bulat POSITIF yang memenuhi
persamaan berikut:
http://www.forkosh.dreamhost.com/mathtex.cgi?13x+37y%20=200 Jawab:
37 = 2 x 13 + 11 13 = 1 x 11 + 2 11 = 5 x 2+ 1 2 = 2 x 1 + 0. gcd
(13,37) = 1. Satu membagi 200. Artinya punya solusi. 1 = 11 - 5 x 2
1 = 11 - 5 x (13 -11) 1 = 6 x 11 - 5 x 13 1 = 6 x (37 - 2 x 13) - 5
x 13 1 = 6 x 37 - 17 x 13 Kalikan semua dengan 200 200 = 1200 x 37
- 3400 x 13
Maka, x = -3400 dan y = 1200. gradien = m = - (13/37)
Maka, nilai x dan y-nya adalah: y = 1200 -13 k x = -3400 + 37k
Namun, ini belum selesai. Coba lihat kembali apa yang diminta soal:
bilangan bulat POSITIF. Artinya nilai x dan y harus > 0.
y>0 1200 - 13 k > 0 13k k 1200 92 4/13 ... (i)
x>0 -3400 + 37k>0 37 k > 3400 k > (3400/37) k >
91 33/37... (ii)
91 33/37
k k = 92
92 4/13
Maka, hanya ada satu solusi x dan y, yaitu jika nilai k =92. y =
1200 -13.92 = 4 x = -3400 + 37.92 = 4.
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
Hueee. Akhirnyaa.. berjam-jam... >.< , postingan mengenai
diophantine selesai juga... Ini buatnya
Misalnya kalo ada yang bingung, silakan laporrr.. Aku akan
bersedia menjawab.. So, ada yg bingung ga nieh.?? Sumber: Olimpiade
Matematika SMA (Suwah Semibiring): Yrama Widya
22 COMMENTS:
1.
dukenNovember 8, 2008 1:31 PM woww...bagus banget tambahin terus
ya plajaran2 yang lain. aku tunggu lho.. Reply tutorialnya....
2. raniFebruary 20, 2009 9:44 PM good... it's fantastic..
gradiennya untuk apa ya? kok selama ini aku belum pernah pake
gradien untuk diophantine ya? Reply
3. hendry_dextFebruary 21, 2009 10:16 AM Di buku-buku oficial
memang ngak disinggung gradien... Tapi, inti pengerjaannya sama
seperti yang kutulis di blog ini.. Hwohwohwo.. ^^ Gradien itu untuk
mendapatkan selisih y dan selisih x yang relatif prima, sehingga
dapat digunakan untuk mengubah parameter x dan y secara lebih
akurat. (Penjelasan yang lebih baik bisa ditemukan di contoh soal
di atas). ^^ Reply
4. AnonymousMarch 13, 2009 5:06 PM alhamdulillah akhirnya dapt
jg tntang persamaan diophantine.. maf kl tidak keberatan tlong ksih
tw referensinya tntang persamaan diophantine donk ;) kl ada jurnal
jg g p2. makasih bnyk sebelumnya.. Reply tlg tar dikirim ke
[email protected]
5.
RofitaMarch 14, 2009 4:35 PM Saya jadi br masih bljar agak lagi
diophantine mumet ya?! ke gmn gitcuuu untuk tuch... :) ngubah
k???
mhn dijelaskan parameter
trus knp pada contoh 2 variabel y yang dijumlahkan dengan -5 at
+5???? knp Mhn sangat Makacih ;) Reply bkn -2 penjelasannya
ditunggu at +2??? y.. blsnnya..
6. RofitaMarch 14, 2009 4:43 PM Saya jadi br masih bljar agak
lagi diophantine mumet ya?! ke gmn gitcuuu untuk tuch... :) ngubah
k???
mhn dijelaskan parameter
trus knp pada contoh 2 variabel y yang dijumlahkan dengan -5 at
+5???? knp Mhn sangat Makacih ;) Reply bkn -2 penjelasannya
ditunggu at +2??? y.. blsnnya..
7. hendry_dextMarch 14, 2009 5:15 PM Gradien merepresentasikan
selisih y/ selisih x..
Dengan demikian, bagian pembilang itu miliknya y, kalo bagiannya
penyebut itu milik x..
Apakah sudah terjawab? ^^ Reply
8. RofiMarch 19, 2009 8:06 PM Assalamu'alaikum.... permaslahan..
sy oia mencb pak, mencari sy selesaian punya positif
dari persamaan 4181x-6765y=1000000.., mhn bantuannya y, cz sy cr
hasilnya masih ttp ada yang slh.. dimanakah letak
kesalahannya??????? makasih banyak Reply
9. hendry_dextMarch 20, 2009 8:57 AM Ya elah. Aku yang imut-imut
gini and masih muda en cakep gini dipanggil bapak... ~_~ Huehue..
Ternyata koefisien x dan y nya itu sejalan sesuai penjumlahan
fibonacci.. Agak ribet kalo dijabarkan.. Jadi, aku langsung buat
identitas Bezoutnya yaa.. Identitas 4181 * (-2584) kalikan kedua
4181 * (-2584*1000000) Artinya x y Gradiennya Jadi: x y Ambil x y
Agar Artinya, Selesai. = = k= = = menjadi Bezout: -6765 * (-1597) =
1 ruas dengan sejuta.. - 6765 * (-1597*1000000) = 1000000. = = m
solusi = awalnya: -2584000000 -1597000000 4181/ 6765.
=
-2584000000 + 6765 k -1597000000 + 4181 k. 381967 (dengan
coba-coba), maka: 6755 + 6765 k 4027 + 4181 k postif, maka k =
0,1,2,3,.... solusinya tak berhingga.
Reply
10. RofitaMarch 23, 2009 4:58 PM ya soal maaf q khan g tw...:)
jadi tak dari pangil bapk aj he he...] kak
diatas
emang
perluasan
barisan
fibonacci
identitas bezoutnya dah bisa, tp q binggung gunkan k berapa yang
nanti hasilnya positif... semuanya dah tak coba hsilnya negatif..
please ya mhn bantuannya.. ni Tinggal semoga ini terkait thok
please dg ?!!! TA kakakq yang q muda en he..he.. imut2.. amin..
dibalas
dengan
kebaikan
gmn bntu aq y? k nya berapa biar positif, kmrn q gnkan k = 31896
makasih sangat oia, blh di mnt tunggu almat seblemnya... jawabny..
emailnya?
blh donk hi hi...:) Reply
11. RofitaMarch 23, 2009 5:02 PM eh iya bknkah identitas
bezoutnya itu 4181*(-2584)-6765*1597??.. tlg di cek ulang ya? tar q
jg cek ulang lagi...
makacie:)))))))))))) Reply
12. RofitaMarch 23, 2009 5:11 PM
iy
kak,
mf
q
yang
salah
dalam
memasukkan
nilainya ya..
makasih tp q tetep mnta emailnya kl
boleh..
q hrap boleh, :) Reply
13. RofitaMarch 23, 2009 5:14 PM btw x begtu gmn tuch? Reply koq
pula bisa lgsung dg jd y x=6755+6765k? nya?
14. RofitaMarch 23, 2009 5:20 PM kak sorry, soalny itu ternyta q
salah soal, jgn bingung lht pertanyaanq yow??
amburadul x1*4181+6765x2=1000000
mksih, dtunggu jwbnya y dengn segera Reply
15. hendry_dextMarch 23, 2009 6:35 PM email kuw
[email protected]... Ada di bagian kanan "About Me" koq..
Hueheee... Ak 4181 x tulis + 6765 ulang y = lagisoalnya:
1000000
Kalo kamu udah bikin identitas Bezuotnya, maka semuanya jadi
gampang bgt... Identitas Bezoutnya:
4181 * (-2584) +6765 * (1597) = 1 dikali sejuta jadi: 4181 *
(-2584000000)+6765 * (1597000000) = 1000000 Artinya solusi awalnya:
x = -2584000000 y = 1597000000 gradiennya Jadi, x = y So, karena
x>0 -2584000000 6765 k k>= y> 1597000000 4181 k k = = m
-2584000000 = + 1597000000 (-4181)/ (6765) solusinya: 6765 k -4181k
maka: > 0 2584000000 381966,0015 (i) > ... 0 0 381967 -4181k
k < 381966 6765 > .. k
positif