Problem fazowy w optyce rentgenowskiej Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Problem fazowyw optyce rentgenowskiej
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Poprzednie wykłady
Na poprzednich wykładach pokazaliśmy, że dla pewnej geometrii rozpraszania zespolona amplituda fali rozproszonej na obiekcie E(q) jest proporcjonalna
do transformaty Fouriera jego gęstości elektronowej r(r)
k
rR
r(r) q=k-k’
Problem fazowy: sformułowanie*
*Dla prostoty zapisu, na tym wykładzie, znak proporcjonalności zamienimy na równość: jest to możliwe poprzez dobór odpowiednich jednostek.
Dlatego używamy symbolu F(q) a nie E(q)
Związek między amplitudą rozproszenia i strukturą obiektu
W eksperymencie mierzymy tylko natężenie.Informacja o fazach zostaje utracona.
Dysponujemy tylko modułem amplitudy:
Możemy odzyskać strukturę:
Odwracalności transformacji Fouriera:Nie możemy odzyskać struktury obiektu!
Obliczanie obrazu dyfrakcji dla znanej struktury jest proste.
Wyznaczenie struktury na podstawnie obrazu rozproszenia jest trudne!
Amplituda jest zespolona!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Problem fazowy
Im r
Re r
1) Bez faz nie wiemy jak dodać wszystkie wektory2) Pewne ułatwienie: w rezultacie musimy
wylądować w dodatniej części osi rzeczywistej
r(0)
Dla kryształu:(periodyczność)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Informacja zawarta w fazieCo tracimy ? przykład 1
Obiekt
moduł
faza
tylko moduł
tylko faza
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2010
obiekt
Informacja zawarta w fazieCo tracimy ? przykład 2
zamieniamytylko fazy
moduł faza
rekonstrukcja obiektu
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Metody rozwiązywania problemu fazowy
Metody
matematycznenumeryczne
[dodatkowa wiedza o strukturze]
fizyczne[bezpośredni pomiar faz]
Obiekty
periodyczne[kryształy]
nieperiodyczne[nanostruktury
układy biologiczne]
Często inne podejście!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Q. Shen, Q. Hao, S.M. Gruner, Macromolecular Phasing, Physics Today 59, 46 (2006)
Rozwiązania problemu fazowego - kryształy
Bragg, Nobel 1915
Kendrew, Perutz, Nobel 1962
Hauptman, Karle, Nobel 1985
D. Hodkin, Nobel 1964
Autokorelacja i funkcja PattersonaZobaczmy co przyniesie bezpośrednia transformacja obrazu rozproszenia [natężeń]
Pamiętamy, że:
Nazwijmy nasze wyrażenie P(r)
Teraz je rozpiszmy:
Po uporządkowaniu:
Wykonujemy całkę po d3q
Ostatecznie:Jest to tzw. funkcja autokorelacji
(w krystalografii jest ona nazywana funkcją Pattersona i ma periodyczność sieci)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Autokorelacja i funkcja Pattersona - interpretacja
4-5
2-1
2-5
4-52-1
2-53
45
6
1 2
Prosta molekuła
Molekuła i jej kopia przesunięta o r
Niektóre punkty funkcji Pattersona
1) Piki w funkcji P(r) odpowiadają wektoromłączącym parę atomów.
2) Intensywność: iloczyn liczb atomowych pary. Niektóre piki odpowiadają wielu parom.
3) Bardzo silne maksimum dla r=0. Suma kwadratów liczb atomowych wszystkich atomów
(0,0)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Autokorelacja i funkcja Pattersona - interpretacja
Dla prostych struktur znajomość funkcji Pattersona pozwala na odgadnięciestruktury. Liczba pików dla molekuły składającej się z N atomów wynosi N2.Dla skomplikowanych struktur jest to mission-impossible. Dodatkowo dladużych molekuł funkcja Pattersona staję się kompletnie rozmyta – zbytdużo wektorów między atomowych.
Autokorelacja P(r)Molekuła r(r) |F(q)|2
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Autokorelacja – skomplikowany obiekt
Autokorelacja P(r)Molekuła r(r)
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Ciężki atom
Molekuła r(r) Autokorelacja P(r)
Zwiększony kontrast
Dla pojedynczego ciężkiego atomu (w małej molekule)funkcja Pattersona jest w przybliżeniu obrazem molekuły widzianym z pozycji ciężkiego atomu(+ jej punktowym odbiciem)
Ciężkie atomy
Autokorelacja P(r)Molekuła r(r)
Prosta molekuła z ciężkimi atomami
W takim przypadkudominującymi pikami w autokorelacji są piki ciężki-cięzki. Można od razu wyznaczyć ich względne położenia
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
MIR – Multiple isomorphous replacementwielokrotne podstawienie izomorficzne
Natywna molekuła (P) Ciężkie atomy (H) Pochodna izomorficzna (PH)
Do molekuły dodajemy ciężkie atomy lub kompleksy molekularne zawierające atomy [np. Au, Hg, U] i krystalizujemy .
Uwaga: nazwa ‘zamiana’ jest nieco myląca.
Zakładamy (lub oczekujemy), że nie zmienia to struktury molekuły. Stąd przymiotnik ‘izomorficzny’. Pomiary możemy wykonać dla kryształów
zawierających natywne i pochodne molekuły.
Przykład: mioglobina. Kendrew&Perutz, Nobel z Chemii 1962
MIR – pozycja ciężkich atomów
W pierwszym kroku musimy wyznaczyć położenia ciężkich atomów. Ponieważ ciężkich atomów jest niewiele to wystarczy wyznaczyć ich funkcję Pattersona.
Molekuła natywna Funkcja Pattersona
ciężkie atomy
Molekuła pochodna Funkcja Pattersona
Ponieważ liczba atomów w naszej molekule jest duża to w funkcji Pattersona PPH nie można zazwyczaj zidentyfikować pików ciężki-cięzki
Różnica funkcji Pattersona
Widoczne piki dla wektorów:atom molekuły – atom molekuły
Widoczne piki dla wektorów:atom molekuły – atom molekuły
atom ciężki – atom ciężkiatom ciężki – atom molekuły
Widoczne piki dla wektorów:atom ciężki – atom ciężki
atom ciężki – atom molekuły
Taka jakośćnie zawsze wystarcza!
Różnicowa mapa Pattersona
Na podstawie zmierzonych obrazów dyfrakcji, tworzymy następującą funkcję:
Wyraźne prążki + „szum”
Następnie definiujemy różnicową mapę Pattersona:
W wyniku otrzymaliśmy nieco zaszumioną funkcję Pattersona PH ciężkich atomów . Na jej postawie możemy stosunkowo łatwo wyznaczyć względne pozycje ciężkich atomów a w efekcie zespoloną amplitudę FH.
Uwaga nie jest to trywialne [patrz Drenth]:
Widzimy, że:
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
MIR- Różnicowa mapa Pattersona
Papainaenzym trawienny+ 1 atom Hg
natywna
pochodna izomorficzna
Principles of protein x-ray crystallographyJ. Drenth [pewna część dostępnaprzez googlebooks]
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
MIR- wyznaczenie struktury molekuły
Do pełnego wyznaczenia struktury musimy znać
Z pomiarów dyfrakcyjnych znamy:
Potrafimy wyznaczyć:
Jak wyznaczyć ?
Wiemy, że:
Zatem:
Dlatego:
Rozpisujemy:
kosinus to funkcja parzysta = nie znamy znaku tej różnicy
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
MIR- wyznaczenie struktury molekuły (obrazowo)
Im
Re
|FP| |FPH|
FH
diagram Arganda
Im
Re
|FP|
|FPH|-FH
-FH
Dwa przecięcia –dwie możliwe fazy
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
M(ultiple!)IR
Potrzebujemy jeszcze jedną pochodną izomorficzną
Im
Re-FH
-FH2
Jedno przecięcie!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Wymuszony, tłumiony oscylator harmoniczny •elektron w atomie jest związany•tłumienie np. promieniste
Dyspersja - przypomnienie
Poprawki dyspersyjne do amplitudy rozpraszaniana związanym elektronie.
Na tym wykładzie zakładaliśmy, że rozproszenie na krysztale jest spójną superpozycją rozproszenia na swobodnych elektronach opisanym
przez Thomsona.
Dla pojedynczego oscylatora
Całkowitą poprawkę uzyskuje się traktując atom jako zespół oscylatorów
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
MAD – multiple-wavelength anomalous diffraction
Niezwykle ważna metoda „fazowania” wykorzystująca dyspersję.
Poprawki dyspersyjne do amplitudy rozpraszania są ważne w pobliżu krawędzi absorpcji. Makromolekuły (białka itp) są zwykle złożone z lekkich pierwiastków
Metionina – jeden z aminokwasów budujących białka [zawiera siarkę]
Można w niej podmienićselen za siarkę bez znacznejzmiany w strukturzebiałka
Popularny przykład
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Krawędź K selenu Z=34
MAD – multiple-wavelength anomalous diffraction
Idea metody: Przez zmianę energii w pobliżu krawędzi absorpcji możemy zmieniać fazę fal rozproszonych na atomach selenu. Powoduje to zmianę intensywności i faz
obserwowanych refleksów!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
MAD – anomalna dyfrakcja - równania
Nierezonansowy czynnik struktury wszystkich atomów
Nierezonansowy czynnik struktury „anomalnych” atomów
Szereg Fouriera dla kryształu
wszystkie „normalne” atomy„anomalne”
Współczynniki szeregu [czyli zespolone amplitudy refleksów] liczymy sumując po wszystkich atomach
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
1
2
3
Nierezonansowy czynnik struktury wszystkich atomów
Nierezonansowy czynnik struktury „anomalnych” atomów
J.Als-Nielsen, Modern x-ray physics
MAD – anomalna dyfrakcja - pomiar
Wykonując pomiary dla trzech energii (długości fali) możemy jednoznacznie wyznaczyć 3 niewiadome. Później trochę podobnie jak z ciężkimi atomami w MIR.
Metodę można stosować jedynie na synchrotronach . Potrzeba przestrajalnego źródła X a sygnał jest mały.
znane nieznane
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Inne metody „fazowania” dla kryształów
1) METODY BEZPOŚREDNIE Karle & Haumptman Nobel Chemia 1985czysto matematyczno/statystyczne –małe molekuły
2) Molecular Replacement -wielkie molekułyznamy mały fragment struktury. Próbujemy go obracać i przesuwać w obrębie molekuły. Przestrzeń poszukiwań 6D. Na szczęście można odseparować translację od rotacji.
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Dyfrakcyjna mikroskopia rentgenowska„fazowanie spekli”
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Twierdzenie Shannona o próbkowaniu
0
If an function f(r) (object) is known to vanish outside the interval (-a,a) then its Fourier transform is completely specified by the values sampled at kn=nDk , where Dk=p/a,
n=0,±1,.., ± . Hence, we can reconstruct the object from disretely sampled Fourier transform Fn=F(nDk). Sampling with Dk is reffered to as Nyquist ctitical sampling.
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
rmax=p/Dk
2kmax
Dk
Dk= DkNqst=p/rmax
FFT-1
2rmax
Próbkowanie nadmiarowe
Obraz dyfrakcyjny [zespolony] ObiektPróbkując obraz dyfrakcyjny zgodnie z kryterium Nyquistajesteśmy w stanie go w pełni odtworzyć.
Pamiętamy, że stosują próbkowanie niedomiarowe jesteśmy narażeni na aliasing
Co się stanie jeżeli zastosujemybardziej gęste próbki tj. próbkowanie nadmiarowe?
Odtwarzamy obiekt i „pusty” obszar wokół niego!
Dk= DkNqst/2
FFT-1
Tu zero!
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Skończony nośnik
Jeżeli wiemy, że nasz obiekt ma skończony nośnik (tj. ograniczony do pewnego) obszaru. To ta dodatkowa informacja, przy zastosowaniu , nadmiarowego próbkowania może posłużyć do rozwiązania problemu fazowego. Strata części informacji o obiekcie , zawartej w fazie, jest rekompensowana przez dodatkową informacje o jego nośniku!
Warunki:
1) Nadpróbkowanie powinno być znaczne. [tym większe im większy szum]2) Musimy użyć koherentnego promieniowania. Droga koherencji musi być
większa niż obiekt + cała pusta przestrzeń wokół obiektu.3) Metody tej nie da się zastosować dla kryształów. Okazuje się, że piki
Bragga odpowiadają próbkowaniu Nyqista, komórki elementarnej.
przestrzeń odwrotna
przestrzeń rzeczywista
przestrzeń odwrotna
przestrzeń rzeczywista
S
S
Przykładowy iteracyjny algorytm odzyskiwania fazy
W każdej iteracji zerujemy ten obszar!
Wiemy, że obiekt zajmuje obszar
Demonstracja
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
„Spekle” rentgenowskie –koherentna dyfrakcja na obiektach nieperiodycznych
Układy biologiczne. Nie wszystko da się skrystalizować!
Bakteria [E.Coli] Eukariota [drożdże] Ludzki chromosom
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
Najbardziej obiecująca i rozwijana metoda obrazowania
rentgenowskiego w ciągu ostanich lat kilku lat
Ptychografia
Ptychochrafia
Optyka rentgenowska - P. Korecki - 2015
KONIEC