Richiami di calcolo delle probabilità Variabili casuali Processi stocastici Moto Browniano Equazioni Differenziali Stocastiche Spazio di probabilità Uno spazio di probabilità è una terna (Ω, A, P ), dove Ω è un insieme qualunque (in genere pensato come l’insieme dei risultati possibili di un esperimento casuale), A è detta σ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali si può calcolare una probabilità,e P () è appunto una misura di probabilità su Ω (P :Ω → [0, 1]). Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi tali che ∅∈A; se A ∈A allora anche il suo complementare ¯ A è in A; unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora ad A.
59
Embed
Variabili casuali Processi stocastici Moto Browniano ...users.unimi.it/iacus/finance/processi.pdf · Richiami di calcolo delle probabilità Variabili casuali Processi stocastici Moto
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare A è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare A è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare A è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare A è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.
Uno spazio di probabilità è una terna (Ω,A, P), dove Ω è uninsieme qualunque (in genere pensato come l’insieme deirisultati possibili di un esperimento casuale), A è dettaσ-algebra, ovvero un insieme di insiemi (gli eventi) per i quali sipuò calcolare una probabilità,e P() è appunto una misura diprobabilità su Ω (P : Ω 7→ [0, 1]).
Per la precisione, una σ-algebra è una famiglia di insiemi taliche
∅ ∈ A;
se A ∈ A allora anche il suo complementare A è in A;
unioni numerabili di elementi di A appartengono ancora adA.
Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, A è la σ-algebra generata dagli eventielementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibilecalcolare una probabilità.
Ad esempio E = “numero pari” = 2, 4, 6, F = “numeromaggiore di 4” = 5, 6. G = “numero 7” appartiene a A?
Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, A è la σ-algebra generata dagli eventielementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibilecalcolare una probabilità.
Ad esempio E = “numero pari” = 2, 4, 6, F = “numeromaggiore di 4” = 5, 6. G = “numero 7” appartiene a A?
Ad esempio: nell’esperimento “lancio di un dado”,Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, A è la σ-algebra generata dagli eventielementari di Ω, cioè di fatto, quelli per i quali è possibilecalcolare una probabilità.
Ad esempio E = “numero pari” = 2, 4, 6, F = “numeromaggiore di 4” = 5, 6. G = “numero 7” appartiene a A?
Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P(ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P(ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P(ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P(ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
Dato un spazio di probabilità (Ω,A, P), si definisce variabilecasuale X una funzione misurabile da Ω in R(X : Ω 7→ R),ovvero
∀A ∈ B(R),∃B ∈ A : X−1(A) = B
cioè tale per cui è sempre possibile misurare attraverso Pl’insieme dei valori che essa assume ricorrendo alla misura diprobabilità P sullo spazio di partenza:
P(X ∈ A) = P(ω ∈ Ω : ω ∈ X−1(A)) = P(B), A ⊂ R, B ∈ A
Nella notazione di sopra B(R) è detta σ-algebra di Borel su R.Senza scendere in dettagli, diciamo solo che B è unaparticolare σ-algebra che lavora sui sottoinsiemi di R.
Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativoall’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si devericorrere agli eventi su Ω, ovvero
Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativoall’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si devericorrere agli eventi su Ω, ovvero
Ad esempio, sia Ω lo spazio campionario relativoall’esperimento “lancio di un dado”. E sia X la variabile casualedefinita come segue: X (ω) = -1, per ω = 1 o 2, X (ω) = 0, per ω= 3, 4, 5 e +1 altrimenti. Per calcolare P(X ≥ 0) si devericorrere agli eventi su Ω, ovvero
Nella prassi comune di costruisce una tantum la funzione diripartizione di X :
F (x) = P(X ∈ (−∞, x ]), x ∈ R
e da questa si derivano tutte le altre probabilità di interessesenza dover ricorrere alla misura di probabilità sullo spazio dipartenza.
La questione della misurabilità delle variabili aleatorie èrilevante, e lo sarà soprattutto nello studio dei processi, poichéalle σ-algebre è legata la nozione di informazione di unesperimento (soprattutto in ambito finanziario).
Due variabili casuali X ed Y si dicono indipendenti se
P(X ∈ A, Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)
ciò vuol dire che la probabilità con cui X assume i suoi valorinon è influenzata da quella con cui Y assume i suoi.Ovviamente A e B sono due sottoinsiemi di R.
Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali Xγ ,γ ∈ Γ definita su Ω× Γ a valori in R. Quindi le variabilialeatorie (misurabili per ogni γ ∈ Γ) che costituiscono ilprocesso sono funzioni del tipo X (γ, ω) 7→ R.
Per un fissato valore di ω, diciamo ω, X (γ, ω), vista comefunzione di γ ∈ Γ rappresenta l’evoluzione del processo el’insieme dei valori
Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali Xγ ,γ ∈ Γ definita su Ω× Γ a valori in R. Quindi le variabilialeatorie (misurabili per ogni γ ∈ Γ) che costituiscono ilprocesso sono funzioni del tipo X (γ, ω) 7→ R.
Per un fissato valore di ω, diciamo ω, X (γ, ω), vista comefunzione di γ ∈ Γ rappresenta l’evoluzione del processo el’insieme dei valori
Ad esempio, se Γ = N, e le Xn, n ∈ N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempodiscreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è allabase delle più utilizzate procedure statistiche.
Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0,∞), allora (Xt ,t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta l’evoluzione temporale del processoX .
Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie è una possibilerealizzazione del processo.
Ad esempio, se Γ = N, e le Xn, n ∈ N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempodiscreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è allabase delle più utilizzate procedure statistiche.
Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0,∞), allora (Xt ,t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta l’evoluzione temporale del processoX .
Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie è una possibilerealizzazione del processo.
Ad esempio, se Γ = N, e le Xn, n ∈ N sono indipendenti e conla stessa legge, siamo di fronte ad una successione di variabilicasuali i.i.d. Questa successione, che è un processo in tempodiscreto, è a volte chiamato campione bernoulliano ed è allabase delle più utilizzate procedure statistiche.
Se invece come Γ prendiamo l’asse dei tempi [0,∞), allora (Xt ,t ≥ 0), viene detto processo in tempo continuo e ogni traiettoriadel processo rappresenta l’evoluzione temporale del processoX .
Quindi, ogni valore di ω ∈ Ω genera una traiettoria del processoal variare di t . Ciascuna di queste traiettorie è una possibilerealizzazione del processo.
In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)attraverso processi stocastici. L’osservazione empirica di unasuccessione di quotazioni/prezzi/etc sarà l’osservazione di una(e una sola) particolare traiettoria del processo.
Fissato invece un istante t = t , se facciamo variare ω ∈ Ω,allora X (t , ω) fornisce la distribuzione del processo al tempo t .In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti neltempo (h > 0), quali saranno i valori più probabili (quotazioni) diun particolare prodotto finanziario alla luce dell’informazioneraccolta sul fenomeno sino al tempo t .
In finanza modelleremo le dinamiche dei prezzi (ad esempio)attraverso processi stocastici. L’osservazione empirica di unasuccessione di quotazioni/prezzi/etc sarà l’osservazione di una(e una sola) particolare traiettoria del processo.
Fissato invece un istante t = t , se facciamo variare ω ∈ Ω,allora X (t , ω) fornisce la distribuzione del processo al tempo t .In finanza ha senso chiedersi, per un valore di t + h avanti neltempo (h > 0), quali saranno i valori più probabili (quotazioni) diun particolare prodotto finanziario alla luce dell’informazioneraccolta sul fenomeno sino al tempo t .
Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t ≥ 0), si può associare,per ogni t una σ-algebra che indichiamo conFt = σ(X (s); 0 ≤ s ≤ t) (la σ-algebra generata da X (t)), cioè lapiù piccola σ-algebra di A che rende X (s, ω) misurabile perogni 0 ≤ s ≤ t . Questa σ-algebra (che deve contenere anchegli insiemi di misura nulla di A) è l’insieme più piccolo disottoinsiemi di Ω che ci permette di calcolare tutte le probabilitàrelative ad eventi che riguardano X (t).
La famiglia di σ-algebre (Ft , t ≥ 0) viene chiamata filtrazionenaturale del processo ed è tale per cui Fs ⊂ Ft , per s < t .
Ad ogni processo, ad esempio (X (t), t ≥ 0), si può associare,per ogni t una σ-algebra che indichiamo conFt = σ(X (s); 0 ≤ s ≤ t) (la σ-algebra generata da X (t)), cioè lapiù piccola σ-algebra di A che rende X (s, ω) misurabile perogni 0 ≤ s ≤ t . Questa σ-algebra (che deve contenere anchegli insiemi di misura nulla di A) è l’insieme più piccolo disottoinsiemi di Ω che ci permette di calcolare tutte le probabilitàrelative ad eventi che riguardano X (t).
La famiglia di σ-algebre (Ft , t ≥ 0) viene chiamata filtrazionenaturale del processo ed è tale per cui Fs ⊂ Ft , per s < t .
Le filtrazioni sono dunque successioni di σ-algebre crescenti.Vediamo un esempio. Pensiamo al lancio di una moneta. Irisultati sono T o C con uguale probabilità. Possiamo associarea questo esperimento la σ-algebra costruita su [0, 1] nelseguente modo: associamo al risultato T l’intervallo [0, 1/2) e aC l’intervallo [1/2, 1] e le relative probabilità alle lunghezzedegli intervalli corrispondenti (mis. Lebesgue), ovveroP(T ) = P([0, 1/2)) = 1/2, P(C) = P([1/2, 1]) = 1/2. quindi
Supponiamo ora che l’esperimento continui con un lanciosuccessivo della moneta. Se è uscita T al primo lancio, puòancora uscire T o C. Associamo [0, 1/4) all’evento = “T alsecondo lancio e al primo”, e [1/4, 1/2) all’evento = “C alsecondo lancio e T al primo”. Analogamente per [1/2, 3/4) e[3/4, 1]. Quindi
F2 =∅, [0, 1/2), [1/2, 1], [0, 1/4), [1/4, 1/2),
[1/2, 3/4), [3/4, 1], [0, 1], . . .
è ancora una σ-algebra (con . . . s intende l’insieme di tutte lepossibili unioni degli intervalli elencati) e F1 ⊂ F2.
Pensando all’n-esimo lancio della moneta si arriverà asuddividere [0, 1] in intervalli di ampiezza 1/2n e alla σ-algebraFn che include tutte le precedenti.
Indichiamo con Xi il risultato del lancio della moneta allai-esima prova. Allora, X1 è F1 misurabile, X2 è F2 misurabile,ecc.
Ovvero (Fi , i ≥ 1) è una filtrazione per il processo Xi , i ≥ n.
È utile per un processo essere misurabile rispetto ad unfiltrazione?
Se al secondo lancio abbiamo X2 = T e X−2 1(T ) è l’intervallo[1/4, 1/2), sappiamo esattamente cosa è successo anche nellancio precedente X1, ovvero è uscita T . Viceversa, nonsappiamo nulla su cosa accadrà per X3, ecc.
Le filtrazioni sono dunque un modo per descrivere l’aumento diinformazione che si ha col trascorrere del tempo.
Dato un processo (Xt , t ≥ 0) e una filtrazione (Ft , t ≥ 0), si diceche X è adattato ad (Ft , t ≥ 0) se per ogni t ≥ 0, X (t) èFt -misurabile.
In finanza la filtrazione rappresenta tutta l’informazione raccoltasul processo fino al tempo t . Richiedere che il processo siaadattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare lecaratteristiche.
L’idea di σ-algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) èda intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare conle variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilità(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilità), la σ-algebraFt è costruita in modo tale da contenere “tutta l’informazionerilevante” sul processo con il minimo “ingombro”.
Dato un processo (Xt , t ≥ 0) e una filtrazione (Ft , t ≥ 0), si diceche X è adattato ad (Ft , t ≥ 0) se per ogni t ≥ 0, X (t) èFt -misurabile.
In finanza la filtrazione rappresenta tutta l’informazione raccoltasul processo fino al tempo t . Richiedere che il processo siaadattato ad una filtrazione, vuol dire poterne studiare lecaratteristiche.
L’idea di σ-algebra minimale (e quindi di filtrazione naturale) èda intendersi in questo senso: visto che per poter lavorare conle variabili casuali (e quindi i processi) serve la misurabilità(altrimenti non posso calcolare alcuna probabilità), la σ-algebraFt è costruita in modo tale da contenere “tutta l’informazionerilevante” sul processo con il minimo “ingombro”.
In genere l’introduzione dei processi serve a modellare unaqualche struttura di dipendenza. Se pensiamo all’andamento diun indice azionario, è impensabile immaginare che laquotazione precedente non influenzi la successiva in unaqualche misura, cioè non si può assumere l’indipendenza. Iprocessi di uso corrente nelle applicazioni sono costruiti apartire dalle proprietà che si vogliono modellare. Ci sono quindidiversi approcci, tra questi la modellazione degli incrementi edella funzione di covarianza del processo.
Xt − Xs : incremento del processo tra s e t , s < t
Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti proprietà:
(i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t)− B(s) è indipendente da B(u)− B(v) pert > s ≥ u > v ≥ 0;
(ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzionedi B(t)− B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanzat − s e non da t e/o s separatamente;
(iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioèB(t)− B(s) ∼ N (0, t − s)
Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti proprietà:
(i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t)− B(s) è indipendente da B(u)− B(v) pert > s ≥ u > v ≥ 0;
(ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzionedi B(t)− B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanzat − s e non da t e/o s separatamente;
(iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioèB(t)− B(s) ∼ N (0, t − s)
Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti proprietà:
(i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t)− B(s) è indipendente da B(u)− B(v) pert > s ≥ u > v ≥ 0;
(ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzionedi B(t)− B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanzat − s e non da t e/o s separatamente;
(iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioèB(t)− B(s) ∼ N (0, t − s)
Si chiama moto Browniano (o processo di Wiener) unprocesso (B(t), t ≥ 0) che parte da zero, ovvero B(0) = 0, conle seguenti proprietà:
(i) è un processo ad incrementi indipendenti: ovveroB(t)− B(s) è indipendente da B(u)− B(v) pert > s ≥ u > v ≥ 0;
(ii) è un processo a incrementi stazionari: cioè la distribuzionedi B(t)− B(s) per t > s ≥ 0 dipende solo dalla distanzat − s e non da t e/o s separatamente;
(iii) è un processo ad incrementi Gaussiani: cioèB(t)− B(s) ∼ N (0, t − s)
Si supponga di avere un processo (S(t), t ≥ 0) cherappresenta il valore di un’azione all’istante t .
Consideriamo un intervallo di tempo infinitesimale dt dopo ilquale il prezzo è variato da S a S + dS (indicando con dS lavariazione di S nell’intervallo di tempo dt , cioèdS = S(t + dt)− S(t)). Il rendimento dell’azione viene valutatoattraverso il rapporto dS/S.
Possiamo pensare di modellare questo rendimento comesomma di due contributi: uno deterministico ed uno stocastico.
Il contributo della parte deterministica è legato ai tassi diinteresse o ai rendimenti costanti legati ad operazionifinanziarie senza rischio (cioè il trend o drift = “deriva”).Indicando con µ il rendimento medio, allora il contributo saràproporzionale a µ rispetto al tempo intercorso
contributo deterministico = µdt
In modelli più generali, si può anche assumere che µ siafunzione di S, di t o tutti e due.
Il contributo stocastico è quello dovuto a fattori esogeni comenotizie inattese o altri shock esterni al mercato. Si puòimmaginare che questo contributo sia la realizzazione di unavariabile casuale Gaussiana di media nulla (shock gaussiani).
Chiamiamo questo contributo dX , e scriviamo
contributo stocastico = σdX
La costante σ > 0, chiamata volatilità rappresenta la variabilitàintrinseca dei rendimenti (anche σ si può assumere funzione diS, di t o tutti e due) e sostanzialmente fa si che la variabilitàdegli shock sia proporzionale a quella dei rendimenti, cioèσdX ∼ N (0, cσ2) dove c è la varianza di dX .
Dinamiche dei prezziequazioni differenziali stocastiche (eds)
Mettendo assieme i due contributi arriviamo alla seguenteequazione
dSS
= µdt + σdX
chiamata equazione differenziale stocastica che, seppurmeramente una rappresentazione matematica formale, cipermette di descrivere un semplice modello per la variazionedei rendimenti.
Si noti che dX non è ancora chiaro che cosa rappresenti.
Il passaggio successivo è quello di scrivere più adeguatamentela parte stocastica. Abbiamo detto che dX è solo una notazioneper indicare una particolare variabile gaussiana di media nullae varianza assegnata. È ragionevole assumere che la varianzadi dX non sia costante ma dipendenda anch’essa dall’intervallodi tempo considerato dt . Poniamo dunque
dX ∼ N (0, dt)
il che, come prima, equivale a scrivere che dX = Z√
dt conZ ∼ N (0, 1). Se pensiamo a due intervalli di tempo distinti dt edu, le rispettive versioni di dX possono considerarsiindipendenti quando gli intervalli non sono sovrapposti, maallora tutto ciò ci conduce naturalmente ad associare dX agliincrementi di un moto Browniano.
Infatti, gli incrementi del moto Browniano nell’intervallo [t , t + dt)hanno la seguente proprietà
B(t + dt)− B(t) ∼ N (0, dt)
Perché si riscala la varianza di dX a dt? Uno dei motivi è chenoi siamo interessati al limite per dt → 0 dell’equazionedifferenziale stocastica. Se la varianza di dX non fosseproporzionale a dt allora, la varianza di S sarebbe pari a 0 o a+∞! Un altro motivo è ovviamente la relazione con il motobrowniano: cioè si associa la parte di variabilità stocastica alletraiettorie del moto browniano.
Ricordando che per ipotesi EdX = 0 e Var(dX ) = dt , si ottiene
EdS = E(σSdX + µSdt) = µSdt
e
Var(dS) = EdS2 − (EdS)2
= E(σ2S2dX 2 + (µSdt)2 + 2(µSdt)(σSdX ))− (µSdt)2
= E(σ2S2dX 2) = σ2S2dt
Si evince che valore atteso e varianza dei rendimentidipendono direttamente da µ e σ. Quindi, identificato il modellofunzionale, per poter prevedere il comportamento di S ènecessario stimare µ e σ sui dati di mercato [ ].
Le due ipotesi su cui stiamo tacitamente lavorando e cheuseremo anche in futuro sono le seguenti
la storia passata viene interamente riflessa nel valoreattuale dell’asset e non contiene informazioni sul futuro;
i mercati rispondono immediatamente ad ogni nuovainformazione si abbia sull’asset.
Quindi ciò che andremo a modellare è sempre l’effettodell’arrivo di nuove informazioni sul prezzo dell’asset, cioè gliincrementi del processo. I processi che descrivono una taledinamica dei prezzi sono anche detti Markoviani .
Ricordiamo che la derivazione di dS = σSdX + µSdt è del tuttointuitiva ma molti dettagli tecnici non sono stati affrontati.
Inoltre la scrittura in forma differenziale è solo una scrittura chedal punto di vista matematico vuol dire poco.
Per dt piccolo, ma positivo, è corretto dire che dX si comportacome gli incrementi di un moto browniano, ma se dt → 0, cioèlo interpretiamo come variazione infinitesima della traiettoriadel moto browniano, allora cade l’analogia in quanto talitraiettorie sono ovunque non differenziabili.
Per capire meglio di cosa stiamo parlando, vediamo le cosesotto un altro punto di vista...