1 LE VARIABILI CASUALI Introduzione Data prova, ad essa risultano associati i k eventi A 1 , A 2 , ..., A k con le relative probabilità p 1 , p 2 , ..., p k . I k eventi A i generati da una specifica prova sono necessari ed incompatibili: p i = P(A i ) ≥ 0, i=1, 2 ,...,k; ∑ = k 1 i p i = 1.
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1LE VARIABILI CASUALI
Introduzione
Data prova, ad essa risultano associati i k eventi
A1 , A2 , ..., Ak
con le relative probabilità p1 , p2 , ..., pk.
I k eventi Ai generati da una specifica prova sono necessari ed incompatibili:
pi = P(Ai ) ≥ 0, i=1, 2 ,...,k; ∑=
k
1i
pi = 1.
2 Lezione 2
Eventi Probabilità
A1 p1 A2 p2 ... ... Ak pk 1
Definiamo una funzione X(.) che associa ad ogni evento Ai un numero reale:
Valori Probabilitàx1 p1 x2 p2 ... ... xk pk 1
Questa è la variabile casuale (nel seguito v.c.) generata da quell’esperimento sotto la fun-zione X(⋅).
3 Le variabili casuali Non è detto che la relazione fra numeri reali ed eventi debba essere necessariamente biu-nivoca, ma ad eventi diversi potrebbe corrispondere lo stesso valore:
S =
ove agli otto eventi generati dalla prova corrispondono, tramite la X(⋅), cinque valori distinti della retta reale. La relativa v.c. associabile alla precedente figura avrebbe la struttura:
4 Lezione 2
xi pi x1 p4 x2 p2+p5 x3 p1 x4 p3+p6 x5 p7+p8 1
Dagli eventi generati da una data prova si possono derivare più variabili casuali mutando
la legge di associazione X(⋅).
Esempio Consideriamo come prova il lancio di un dado regolare. I possibili eventi sono:
A1 , A2 , ..., A6 , con P(Ai ) = pi = 1/6
5 Le variabili casuali
Ai A1 A2 A3 A4 A5 A6
pi 61
61
61
61
61
61
Se scegliamo la funzione
X(Ai ) = i , i=1,2,...,6
otteniamo la v.c. ad essa associata:
xi 1 2 3 4 5 6
pi 61
61
61
61
61
61
Sia ora X(Ai ) tale che: se si verificano gli eventi A1 o A2 o A3 vinco una lira, mentre se escono A4 o A5 o A6 perdo una lira:
6 Lezione 2
⎩⎨⎧
=−
==
6,5,4i se 1
32,1,i se 1)X(Ai
e la relativa v.c. associata allo stesso esperimento avrà la struttura seguente:
xi -1 1
pi 63
63
Una v.c. X è discreta se i valori che assume sono in numero discreto finito o numerabile:
xi pi x1 p1 x2 p2 ... ... xk pk 1
7 Le variabili casuali con:
pi ≥ 0, i =1 ,2 ,...,k ; ∑=
k
i 1
pi = 1,
Esempio
Supponiamo di aver rilevato il numero xi dei componenti di 105 famiglie ottenendo la di-stribuzione di frequenza delle famiglie per numero di componenti:
xi 1 2 3 4 6 7 ni 10 20 40 20 10 5
fi 10510
10520
10540
10520
10510
1055
Estraiamo a caso una famiglia, otteniamo uno degli venti
Ai = Viene estratta una famiglia con i componenti, i=1, 2, …, 7 con
8 Lezione 2
P(A1 ) =10510 ; P(A2 ) =105
20 ; P(A3 ) =10540 ; P(A4 ) =105
20 ; P(A6 ) =10510 ; P(A7 ) =105
5
I possibili risultati dell'esperimento sono:
xi A1 A2 A3 A4 A6 A7
pi 10510
10520
10540
10520
10510
1055
Consideriamo la regola che associa a ciascuno degli eventi Ai un numero reale
X(Ai ) = i
in altri termini X(Ai ) è la funzione che associa all'evento Ai il numero dei componenti della famiglia cui l’evento si riferisce. Otteniamo la v.c. discreta
xi 1 2 3 4 6 7
pi 10510
10520
10540
10520
10510
1055
9 Le variabili casuali
Le variabili casuali sono una generalizzazione delle distribuzioni di frequenza.
MEDIA
E(X) = ∑=
k
1i
xi pi.
VARIANZA
( )[ ] 0μμpμ)(xμXEσ 22i
2i
k
1i
22 ≥−=−=−= ∑=
; 0σ ≥
MOMENTO DI ORDINE r
i
k
1i
ri
rr px)E(X ∑
=
==μ
10 Lezione 2
INDICE DI ASIMMETRIA
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=γ3
1 σμXE i
3i
k
1i3 p)x(1
μ−σ
= ∑=
INDICE DI CURTOSI
=−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=γ 3σμXE
4
2 4i
k
1i4 μ)(x
σ1
−∑=
pi - 3
Esempio
Calcoliamo media e varianza delle due variabili casuali. Per la prima otteniamo
=+++++=μ )654321(61 =
621 3.5
=−+++++=μ−μ=σ 222232222
2 )5.3()654321(61 2.91667.
11 Le variabili casuali Per la seconda otteniamo
0)11(21
=+−=μ
[ ] 11)1(21 22
22 =+−=μ=σ
Questa seconda variabile casuale è standardizzata (ha media 0 e varianza 1):
Xσ1
σμ
σμXZ +−=
−=
12 Lezione 2
Variabili casuali doppie discrete
Oltre alle variabili casuali semplici discrete esistono quelle multiple discrete ed in partico-
lare le doppie (X, Y) descritta in una tabella a doppia entrata: