Unit 3 Set |37 UNIT PELAJARAN 3 SET HASIL PEMBELAJARAN Di akhir unit ini, anda diharap dapat: 1. Menyatakan tata tanda dalam set seperti { }, , , , dan . 2. Melukis gambar rajah Venn berdasarkan daripada maklumat yang diberi. 3. Mentakrif kesamaan dua set, set semesta, set kosong, set terhingga dan set terbilangkan. 4. Menentukan bilangan unsur dalam sesuatu set: melalui rumus n(AB). 5. Mengenal beberapa operasi seperti persilangan (), kesatuan (), beza di antara dua set ( – ) dan pelengkap (‘ ). 6. Menyelesaikan masalah yang melibatkan set. 7. Menyatakan hukum aljabar seperti tukar tertib, sekutuan, taburan, identiti, songsangan. 8. Mentakrif hasil darab Cartesan untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan hasil darab set.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Unit 3 Set |37
UNIT PELAJARAN 3
SET
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Menyatakan tata tanda dalam set seperti { }, , , , dan .
2. Melukis gambar rajah Venn berdasarkan daripada maklumat yang diberi.
3. Mentakrif kesamaan dua set, set semesta, set kosong, set terhingga dan set
terbilangkan.
4. Menentukan bilangan unsur dalam sesuatu set: melalui rumus n(AB).
5. Mengenal beberapa operasi seperti persilangan (), kesatuan (), beza di antara
dua set ( – ) dan pelengkap (‘ ).
6. Menyelesaikan masalah yang melibatkan set.
7. Menyatakan hukum aljabar seperti tukar tertib, sekutuan, taburan,
identiti, songsangan.
8. Mentakrif hasil darab Cartesan untuk menyelesaikan masalah yang
melibatkan hasil darab set.
Matematik Asas |38
PENGENALAN
onsep set sering digunakan dalam matematik di mana pelajar mempelajarinya dalam
pelbagai bentuk teori set dari peringkat sekolah rendah hinggalah sekolah menengah.
Secara umumnya set ialah pungutan objek-objek yang tertakrif dengan jelas. Objek-
objek ini dinamakan unsur. George Cantor dikenali sebagai bapa teori set kerana beliau adalah
orang pertama yang mempelopori cabang matematik ini terutamanya mengenai set nombor tak
terhingga (infinite). Dalam seharian, konsep set juga boleh digunakan seperti buku-buku rujukan
seorang pelajar, perkakasan komputer, buah-buahan tempatan di Malaysia dan bulan-bulan dalam
setahun. Dalam matematik pula, seperti set penyelesaian sesuatu persamaan kuadratik, set
nombor integer dan set koordinat-koordinat.
3.1 SET
Takrif
Sesuatu set boleh ditulis dengan cara perihalan atau tanda kurung { } dan ia boleh dilabelkan
dengan huruf abjad besar seperti A, B, C… Unsur-unsur dalam suatu set diwakili oleh huruf kecil
seperti a, b, c,... dan diasingkan dengan koma dan unsur-unsur yang sama tidak perlu diulang.
Contoh Set
Contoh
X ialah set nombor-nombor perdana yang kurang daripada 10.
X = {nombor-nombor perdana yang kurang daripada 10}
= { 2, 3, 5, 7 }
B = {x :15 < x < 24, x ialah nombor ganjil}
= { 17, 19 ,21, 23 }
K
Unit 3 Set |39
Sesuatu set haruslah ditakrif dengan jelas dan tepat supaya unsur-unsur dalam set itu dapat
ditentukan.
Contoh set yang ditakrif dengan jelas dan tepat:
a) Set pelajar dalam Program Matematik yang memakai cermin mata.
b) P = {segi tiga, segi empat, pentagon, heksagon }.
c) Q = { 6, 9, 12, 15, 18 }.
d) R = { 17, 19, 21, 23 }
Contoh set yang tidak ditakrif dengan jelas dan tepat:
a) Set pelajar dalam Program Sains yang rajin.
b) Set poligon yang mempunyai kurang daripada 7 sisi.
Contoh pewakilan unsur
Menulis set
Setiap objek dalam satu set dikenali sebagai unsur dan simbolnya . Bagaimana agaknya bukan
unsur diwakili?
A ialah set huruf-huruf dalam perkataan STATISTIK.
A = { s, t, a, i, k }
Contoh 3.1
Matematik Asas |40
B ialah set nombor genap antara 5 dan 14.
B = { 6, 8, 10, 12 }
Menulis unsur set
A = { s, t, a, l, k }
s A, t A, a A, tetapi 2 A
Jika sesuatu set mengandungi banyak unsur, kita gunakan tiga titik, … untuk menyatakan bahawa
ada unsur yang tidak dituliskan.
= {1, 2, 3, 4,… }, B = {2, 4, 6, 8,… }, W = {0, 1, 2, 3, 4,… }, A = {1, 2, 3, 4,…98, 99, 100 }
Set Terhingga dan Terbilangkan
a) Set Terhingga
Satu set itu terhingga sekiranya ianya set kosong atau mengandungi n unsur di mana n Z+
i) M adalah set hari-hari dalam seminggu.
set terhingga.
ii) P = {x : x adalah bilangan sungai di bumi}
set terhingga.
iii) Y = set integer positif yang genap.
= {2, 4, 6, 8, 10, ..}
set tak terhingga.
Contoh 3.2
Contoh 3.3
Unit 3 Set |41
iv) I adalah selang unit nombor nyata.
I = {x : 0 x 1}
set tak terhingga.
b) Set Terbilangkan
Suatu set itu terbilangkan sekiranya ia terhingga atau boleh disusun.
Merujuk kepada Contoh 2.3,
(i), (ii) – terbilangkan
(iii) – tak terhingga secara terbilang
(iv) – tak terbilangkan
A ialah set bulan-bulan dalam setahun. – set terhingga, terbilang
B ialah set integer positif yang ganjil - set tak terhingga, terbilangkan
Perwakilan set dengan Gambar Rajah Venn
Sesuatu set boleh diwakili dengan sebuah Gambar Rajah Venn dengan setiap unsur dalam set itu
dikurung dalam suatu rajah tertutup. Rajah itu biasanya berbentuk elips, segi empat tepat atau
bulatan (bentuk rajah tertutup yang lain boleh juga digunakan). Perhatikan titik-titik digunakan
untuk mewakili unsur. Siapa agaknya yang mencipta Gambar Rajah Venn? John Venn (1834–
1923) adalah seorang ahli falsafah dan pakar mengenai logik yang berbangsa Inggeris. Dia
terkenal kerana memperkenalkan Gambar Rajah Venn yang digunakan dalam pelbagai bidang,
termasuklah Teori Nombor, Kebarangkalian, Logik, Statistik dan Sains Komputer.
Contoh 3.4
Matematik Asas |42
S = { 1, 3, 5, 7 } Contoh: P = { p, q, r, s }
Bila titik tidak digunakan apakah makna 20 di dalam set M ini?
Bilangan Unsur
Tatatanda n(A) digunakan untuk mewakili bilangan unsur dalam set A. Tahukan anda kenapa
huruf n digunakan untuk mewakili bilangan unsur?
Apabila melukis Gambar Rajah Venn, bilangan unsur diwakili dengan menuliskan nombor di dalam
gambar rajah tanpa titik seperti di sebelah.
Nyatakan bilangan unsur dalam setiap set yang berikut.
a) A = {2, 3, 5, 7, 11, 12}
b) B = {huruf-huruf vokal}
c) C ={bulan-bulan dalam setahun yang mempunyai 31 hari}
Penyelesaian :
a) n(A ) = 6
b) B = {a, e, i, o, u}, n(B) = 5
c) C = {Januari, Mac, Mei, Julai, Ogos, Oktober, Disember}, n(C) = 7
20
M
.1 .7
.5 .3
S
.p .q
.r .s
.t
.s .t
R
Contoh 3.5
Contoh 3.6
Unit 3 Set |43
Set Kosong
Set kosong ialah set yang tidak mengandungi sebarang unsur. Set kosong diwakili oleh symbol
atau { }.
A= {Set nombor-nombor ganjil yang boleh dibahagikan dengan 2} = { }
Z = { bulan yang mengandungi 32 hari } = .
Bagaimana pula dengan { }? Apa maknanya? Adakah { } = { 0 }?
Cuba anda bincangkan dengan rakan anda.
Set Sama
Dua set A dan B dikatakan set sama jika setiap unsur dalam A adalah unsur dalam B dan setiap unsur
dalam B adalah unsur dalam A tanpa mengira susunan.
Diberi X = {15, 20, 35, 60, 75}
Y = {75, 20, 35, 15, 2+m}
Jika X = Y, cari nilai m.
Penyelesaian :
Setiap unsur X adalah unsur Y dan sebaliknya.
Oleh itu, 2 + m = 60
m = 60 – 2 maka m = 58
Contoh 3.7
Contoh 3.8
Matematik Asas |44
Set Semesta,
Set Semesta ialah set yang mengandungi semua unsur yang menjadi bahan perbincangan.
Simbol yang mewakili set semesta ialah . Dalam sebuah Gambar rajah Venn, set semesta
biasanya diwakili oleh sebuah segi empat tepat.
= { semua integer positif }
A = { semua nombor kuasa dua sempurna yang kurang daripada 70}
= {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64}
Nyatakan satu set semesta yang mungkin bagi setiap set yang berikut.
a) P = {bunga raya, orkid, bunga melor}
b) Q = {Malaysia, Brunei, Singapura, Indonesia}
Penyelesaian :
a) = {jenis-jenis bunga}
b) = {negara-negara di Asia Tenggara}
Cuba namakan satu contoh set semesta dan set-set yang berkaitan dengannya.
Contoh 3.9
Unit 3 Set |45
Tunjukkan set berikut dengan Gambar rajah Venn.
= { x ialah integer dan x2 25 }
A = { x ialah integer ganjil dan x2 25 }
Penyelesaian :
Maka, = { −5, – 4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
A = { −5, −3, −1, 1, 3, 5}
Hubungan Set Semesta Dengan Set dan Gambar Rajah Venn
= {a, b, c, d, e, f, g, h}
A = {b, d, e, h}
A .d
.a .e .h .c .b .f .g
Tahukah anda siapa yang mencadangkan bulatan digunakan untuk mewakili set?
Bolehkan set diwakili dengan bentuk yang lain seperti segi tiga atau segi empat?
.– 4
.−2 .5
.0 . 1 . 2 .3 . 4
Contoh 3.10
Contoh 3.11
.−5 .−3 .−1
.1 .3 .5
A
Matematik Asas |46
1. Nyatakan sama ada penyataan berikut betul atau salah.
a) n,a,m,e= (m,a,n,e
b) a,b,c adalah sama dengan x,y,z
c) a,b,c,…,z ialah set yang tertakrif
2. Senaraikan unsur setiap set yang berikut;
a) Set negeri-negeri di Malaysia yang bermula dengan huruf P
b) Set bulan yang mempunyai 31 hari
c) Set bulan yang mempunyai 30 hari
3. Senaraikan unsur setiap set yang berikut;
a) xx ialah hari di dalam seminggu
b) xx ialah negara di Asia Tenggara yang bermula dengan huruf B
c) xx ialah negeri di Malaysia
4. Senaraikan unsur setiap set yang berikut;
a) xx + 2 = 8
b) x x + 1 = 5
c) xx + 1 =2x
3.2 Subset ( atau )
Set A ialah subset set B, sekiranya semua unsur set A terdapat dalam. set B. Hubungan ini ditulis
sebagai AB. AB bermakna jika xA, maka xB.
Latihan Formatif 3.1
Unit 3 Set |47
P A
-- subset tak wajar
-- subset wajar
-- bukan subset
A = B jika dan hanya jika A B dan B A
A = {2, 4, 6, 8}
B = {2, 8, 6, 4}
{1,2,4,7} {1,2,4,7,9} subset wajar
{a,b,c,} {a,b,c,} subset tak wajar
Sesuatu subset boleh diwakili dengan gambar rajah Venn.
Lukis satu gambar rajah Venn untuk mewakili setiap yang berikut.
a) P = {nombor-nombor ganjil}
N = {nombor Tabii}
b) A = {huruf-huruf vokal}
B = {huruf-huruf abjad}
Penyelesaian :
a) P N b) A B
N B
Contoh 3.12
Contoh 3.12
Matematik Asas |48
Sesuatu set boleh dilukis dengan menggunakan pelbagai bentuk asalkan garisannya bercantum.
Tahukah anda bahawa:
Subset bagi suatu set
Set kosong dan set itu sendiri juga merupakan subset bagi set yang diberikan. Bilangan subset
yang mungkin bagi sesuatu set dengan n unsur ialah 2n. Set kosong dan sebarang set adalah
setnya sendiri: X X dan X.
Bolehkah anda tunjukkan bagaimana formula untuk jumlah bilangan unsur, 2n
terbentuk? Bincangkan dengan rakan anda.
1. Nyatakan bilangan subset bagi set A = {2,3,6}
2. Nyatakan semua subset yang mungkin bagi set-set yang berikut:
a) P = {0,1}
b) Q = {3,5,7}
A
AA
A ialah subset tidak wajar A
A
A B
A ialah subset wajar B
B
Contoh 3.13
Unit 3 Set |49
Penyelesaian :
1. Bilangan subset bagi A = 23 = 8
2. a) Subset bagi P ialah ,{0},{1} dan {0,1}.
b) Subset bagi Q ialah ,{3},{5},{7},{3,5},{3,7},{5,7} dan {3,5,7}.
i) X = { i, j }
Subset bagi A ialah , {i,j}, {i}, {j} - ada 4.
ii) A = { x, y, z }
Subset bagi A ialah , {x}, {y}, {z}, {x,y},{x,z},{y,z}, {x,y,z} - ada 8.
Suatu set dengan n unsur mempunyai 2n subset.
M = {1, 2, 3, 4}
Bilangan subset bagi M, n(M) = 24 = 16. Subsetnya ialah:
1 x (1,x) y (1,y) 2 x (2,x) y (2,y) 3 x (3,x) y (3,y) 4 x (4,x) y (4,y) 5 x (5,x) y (5,y) c) {(x,x), (x,y), (y,x), (y,y)} x x (x,x) y (x,y) y x (y,x) y (y,y)