Unit 7 Trigonometri I |171 UNIT PELAJARAN 7 TRIGONOMETRI I HASIL PEMBELAJARAN Di akhir unit ini, anda diharap dapat: 1. Mencari sudut (dalam radian atau darjah) dan pertukaran daripada darjah ke radian dan sebaliknya. 2. Mengira panjang lengkok, luas tembereng dan luas sektor sesuatu bulatan. 3. Mencari nisbah trigonometri untuk sebarang sudut. 4. Mengenal pasti nisbah trigonometri bagi sudut-sudut khas (mencari dengan menggunakan segitiga) dan sudut am, sudut sepadan, sudut positif dan negatif. 5. Mencari fungsi salingan, nisbah trigonometri bagi sudut tirus dan sudut negatif.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Unit 7 Trigonometri I |171
UNIT PELAJARAN 7
TRIGONOMETRI I
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Mencari sudut (dalam radian atau darjah) dan pertukaran daripada darjah ke radian dan sebaliknya.
2. Mengira panjang lengkok, luas tembereng dan luas sektor sesuatu bulatan.
3. Mencari nisbah trigonometri untuk sebarang sudut.
4. Mengenal pasti nisbah trigonometri bagi sudut-sudut khas (mencari dengan
menggunakan segitiga) dan sudut am, sudut sepadan, sudut positif dan
negatif.
5. Mencari fungsi salingan, nisbah trigonometri bagi sudut tirus dan sudut negatif.
Matematik Asas|172
PENGENALAN
rigonometri adalah perkataan Yunani . Trigonon bermakna tiga sudut dan metro
bermakna mengukur. Maka, trigonometri adalah pengukuran sudut tiga segi. Ia adalah
satu cabang matematik yang berkaitan dengan sudut, segi tiga, fungsi trigonometri
seperti sinus, kosinus dan tangen. Menurut Edward J. Byng, trigonometri adalah ciptaan orang
Arab.
Perkembangan awal trigonometri terbukti digerakkan disebabkan keperluan penyelesaian masalah
astronomi. Ia juga mempunyai kaitan dengan Geometri dan juga cabang matematik ini banyak
digunakan untuk menganalisis vektor. Laluan kapal terbang jet boleh ditentukan dengan
menyelesaikan daya-daya vektor pecutan dan angin yang bertindak terhadapnya. Bilangan jumlah
berat boleh diangkat oleh sebuah kren juga ditentukan dengan menyelesaikan daya vektor pada
kabel-kabelnya dan sambungan dalam kren itu. Ramai di antara kita mendapati tajuk Trigonometri
adalah sesuatu yang asing dan kadang kala ianya disalah tafsirkan atau dipersendakan.
Contohnya karton yang jelmakan of Jeff Mac Nelly ini menunjukkan betapa gerunnya orang awam
mengenai bidang matematik ini.
Shoe by Jeff MacNelly 4/7 Copyright 1998 by Tribune Media Services, Inc.
T
Unit 7 Trigonometri I |173
Beberapa ahli matematik yang mula-mula mengenalkan trigonometri adalah seperti Ptolemy dan
Hipparchus.
7.1 Penukaran Darjah ke Radian
2 radian = 360o
radian = 180o
1o = 180
π radian
1 radian ditakrifkan sebagai sudut yang dicakupi pada pusat bulatan oleh lengkuk yang
sama panjang dengan jejarinya.
Contoh
Nyatakan yang berikut sebagai radian dalam sebutan .
a) 15o b) 135o c) 210o
Penyelesaian:
a) 15o = 12
π
180
π15 radian
b) 135o = π4
3
180
π135 radian
c) 210o = π6
7
180
π210 radian
Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah menenai trigonometri:
Cari panjang lengkok suatu bulatan berjejari 5 cm yang menjana sudut 30 di pusat bulatan
tersebut.
O
j
B
A
s
Sudut perlu
ditukarkan kepada
radian jika formula ini
ingin digunakan.
j = jejari dan = sudut
dalam radian
Unit 7 Trigonometri I |175
Penyelesaian:
Sudut di pusat bulatan = 30 = 180
30π radian
Panjang lengkok s = j
= 5 (180
30π )
= 6
5π cm
Contoh
Cari sudut dalam rajah di sebelah.
Penyelesaian:
s = j
radian 1.336
8
j
sθ
Contoh
Cari panjang lengkok s.
Penyelesaian:
s = j
= 8 x 0.9 = 7.2 cm
Contoh
Panjang satu lengkok bagi sebuah bulatan berjejari 10 cm ialah 8 cm. Cari luas sektor yang
dibatasi oleh lengkok tersebut dan dua jejari bulatan itu.
O
o
6 cm
8 cm
8 cm
0.9 rad
s
O
o
Matematik Asas|176
L θj2
1 2
Penyelesaian:
Panjang lengkok, s = j
8 = 10 x
= 0.8 rad
Luas sektor, L = 2
1 j 2
= 2
1 (10)2(0.8)
= 40 cm2
ii) Luas Sektor
Dengan menggunakan 2π
θ
bulatan Luas
sektor Luas
2π
θ
πj
sektor Luas2
maka
Luas sektor suatu bulatan dengan sudut yang dicangkum di pusat ialah
Contoh
Merujuk kepada rajah di bawah, jika panjang lengkok PQ ialah 20 cm, kira luas sektor OPQ.
10 cm
10 cm 8 cm
Unit 7 Trigonometri I |177
Penyelesaian:
Luas sektor = 2
1 j 2
tetapi, =j
s
maka, Luas sektor, L = 2
1 j 2 )(j
s =2
1 j s
L = 2
js = 2cm150
2
20 x15
1. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat di O dan berdiameter AB sepanjang
12 cm. C ialah satu titik di atas lilitannya dengan lengkok BC = 4 cm. Kirakan dalam sukatan
radian, sudut yang dicangkum oleh perentas AC di pusat bulatan O. Seterusnya carikan luas
sektor minor AOC.
.
2. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat di O dan jejari 10 cm. OST ialah
satu segitiga sama kaki, dengan sudut OTS = 65.
Cari
a) luas sektor SOT b) Panjang lengkok ST
O
S T
10cm 10cm
Latihan Formatif 7.1
O
O
Matematik Asas|178
3. Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O. AB adalah satu tangen kepada
bulatan dengan AB = OA.Garis OC dipanjang dan bertemu garis AB pada B. Jika luas
segitiga OAB = 8 cm2.
a) Dapatkan panjang OA b) Tunjukkan luas kawasan berlorek ialah ( 8 - 2 ) cm2
4. Rajah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 5 cm.
a) Jika panjang lengkok APB ialah 4 cm, tentukan sudut dalam darjah. Berikan
jawapan dalam 0.01 yang terdekat.
b) Jika luas sektor OAPB ialah 30cm2, carikan sudut dalam radian.
c) Jika sudut = 60, carikan
i) Panjang lengkok OBQA
ii) Luas sektor OBQA
iii) Luas tembereng major BQA.Berikan jawapan betul kepada 3 angka bererti.
A
O
B
5cm P
Q
A
B
O
C
Unit 7 Trigonometri I |179
7.3 Nisbah Trigonometri Bagi Sudut Tirus
a) Nisbah asas
r
y
hipotenus
anbertentangθ in s
r
x
hipotenus
anbersebelahθ kos
x
y
anbersebelah
anbertentangθ tan
b) Nisbah tambahan dan salingan
y
x
θ tan
1θkot
y
r
θ sin
1θ kosek
x
r
θ kos
1θ sek
c) Nisbah trigonometri bagi beberapa sudut khas:
Dengan menggunakan segi tiga unit, didapati bahawa:
i) Untuk sudut 30
2
130 sin
2
330 kos
3
1
3
2
2
130 tan
r2 = x2 + y2
r y
x
2 2
1 1
2
3
30o
60o 60o
Ingat… sinus = sin kosinus = kos tangen = tan dan kotangen = kot, kosekan = kosek sekan = sek
kotangen = kot,
kosekan = kosek
sekan = sek
Matematik Asas|180
A
B C D
ii) Untuk sudut 60
2
360 sin
2
160 kos
360tan
Untuk sudut 45o;
kos 45 = sin 45 = 2
1
tan 45 = 1
7.4 Formula Segi tiga
Luas ABC ABBC2
1
ADBC2
1 ABC Luas
B
A
C
Kenapa 2
1 ? Apakah
sebenarnya BC x AB?
Apakah perkaitan
antara sudut 30°
dan 60°?
45o
1
1
2
45o
Unit 7 Trigonometri I |181
1. Cari luas segi tiga berikut:
a) b)
c)
A
B C D
7.5 Petua Sinus dan Kosinus
Jika diberi satu segi tiga bersudut tirus ABC,
Maka
a) Rumus Kosinus
a2 = b2 + c2 – 2bc kos A
b2 = a2 + c2 – 2ac kos B
c2 = a2 +b 2 – 2ab kos C
Pembuktian
Katakan OA = x dan OB = y.
Menggunakan Teorem Pithagoras:
a2 = y2 + (x + b)2, tetapi y = c sin (180 - A) = c sin A dan x = – c cos A
Latihan Formatif 7.2
B
A
C
20cm
16cm
24cm
16cm
sin (180-A) = sin A
cos (180-A) – cos A
60°
B
A
b
20cm
14cm
C
y c a
b O
x
180-A
A
B
C
Matematik Asas|182
Masukkan nilai x dan y dalam a2 = y2 + (x + b)2
a2 = c2sin2A + (– ccosA + b)2 = c2 sin2A + c2 cos2 A – bc cosA – bc cosA +b2
= b2 + c2 sin2 A + c2 cos2 A – 2bc cos A
= b2 + c2 (sin2 A + cos2 A ) – 2bc cos A
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
b) Rumus Sinus
C sin
c
B sin
b
Asin
a
Bilakah Petua Sinus digunakan?
1. Jika satu sisi dan dua sudut diberi.
2. Jika dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberi.
Nota: Bahagian ini akan dibincangkan dengan lebih lanjut dalam Unit 8 Contoh
Rajah menunjukkan segitiga PQR. Cari panjang RQ.
Cuba anda buktikan
dengan mengunakan
gambar rajah ini.
y c
A
B
C
a
b O
x
180 –A
sin (180 – A) = sin A
cos (180 – A) – cos A
(sin2 A + cos2 A ) =1
Identiti Trigonometri)
Unit 7 Trigonometri I |183
Penyelesaian:
PRQsin
PQ
RPQ sin
RQ
sin30
6
110 sin
RQ
sin110sin30
6RQ
cm 11.28RQ
1. Cari nilai x untuk setiap segi tiga yang berikut:
a) b)
7.6 Nisbah Trigonometri Bagi Sudut-Sudut Khas
o 0o 30o 45o 60o 900 180o 270o 360o
sin 0
2
1
2
1
2
3 1 0 -1 0
kos 1
2
3
2
1
2
1 0 -1 0 1
tan 0
3
1 1 3 0 0
Latihan Formatif 7.3
16
20
A
B
C
15°
x
18
A B
C
92° 30°
x
Matematik Asas|184
Contoh
Jika tan x = 4
1, cari tan y.
Penyelesaian:
tan x =4
1
QR
SR
maka 4
1
QR
5 , QR = 20
Jadi tan y = 5
3
20
12
QR
PR
Contoh
Jika tan = 0.75, kira nilai bagi 1 – kos .
Penyelesaian:
tan = 0.75 =4
3
1 – kos = 5
1
5
41
Contoh (Sudut-sudut khas)
Cari nilai berikut tanpa menggunakan kalkulator
Penyelesaian:
i) kosek 30o = 230 sin
1
Q R
S
5 yo
xo
P
7
3
4
5
Unit 7 Trigonometri I |185
ii) 3
32
3
2
2
3
1
30 Kos
1
6
πkos
1
6
πsek
7.7 Nisbah Trigonometri Untuk Sudut Am
i) Bulatan unit berpusat asalan
y 1
yθ sin
= Nilai koordinat y sesuatu titik di lilitan bulatan unit.
x1
xθ kos
= Nilai koordinat x sesuatu titik di lilitan bulatan unit.
x .kepaday koordinat nisbah x
yθ tan
ii) Secara amnya dari Rajah 7.1, jika jejari bulatan ialah r, maka
r
y θ sin ,
y
r θ kosek ,
r
x θ kos ,
x
r θ sek ,
x
y θ tan ,
y
x θkot
dan nilai-nilai ini berubah apabila titik P bergerak ke sukuan kedua, ketiga dan
keempat seperti di dalam Rajah 7.2
Rajah 7.1
1 -1
P(x,y)
y
x
1
O
Matematik Asas|186
sin ( + ) semua ( + )
kosek
tan ( + ) kos ( + )
kot sek
Contoh
Rajah 7.2
Maka untuk Sudut Sukuan: 0 (0), 90(2
π
), 180( π ) atau 270(
2
3π ).
Maka
Sudut sin kos tan
0 0 1 0
90 1 0 -
180 0 -1 0
270 -1 0 -
Sukuan I Sukuan II
Sukuan III Sukuan IV
Cuba buktikan!
Unit 7 Trigonometri I |187
7.8 Sudut Sepadan / Rujukan
Definisi : Sudut rujukan bagi suatu sudut adalah sudut tirus yang dibentuk oleh
garisan dengan paksi-x.
Sukuan I : 1 = o
Sukuan II : 2 = 180o – o
Sukuan III : 3 = o – 180o
Sukuan IV : 4 = 360o - o
Contoh
i) sin 152 (sukuan II)
= sin (180 – 152) = sin 28o
ii) kos 240o (sukuan III)
= – kos (240 – 180) = – kos 60o
iii) tan 140(sukuan II)
= – tan (180 – 140
= – tan 40
iv) sin 320 (sukuan IV)
= – sin (360 – 320)
= – sin 40
1
4
2 3
152o
240o
140
320
Matematik Asas|188
Contoh PQRS adalah sebuah segi empat sama.
Di mana, PT = TQ dan RU = 15 cm
Cari
a) sudut UTQ
b) kos TUR
Penyelesaian:
a) UTQ =
tan = 4
3
12
9
maka = 36.9o
(b) kos TUR = - kos TUR
= 0.615
9
Contoh
Tentukan nilai bagi setiap fungsi trigonometri berikut:
a) sin 225° b) kos π)3
5(
Penyelesaian:
a) sin 225° = sin (180° + 45°)
= sin 45°= )2
2(
b) kos π)3
5( = kos ) π
3
5(
= kos 300° = kos (360°-300°)
= kos 60° = 2
1
S R
U
Q P T
24 cm
U
15 cm
15 cm 15 cm
Unit 7 Trigonometri I |189
1. Tentusahkan persamaan yang berikut.
a) sin2 60 + kos2 60 = 1
b) 1 + tan2 30 = sek2 30
c) kos 90 = kos 60kos 30 – sin 60sin 30
2. Cari nilai bagi yang berikut tanpa menggunakan sifir.
a)
30 kos
45 kos 60 kos
b) sin ( –300) tan (– 210) –(-135) kos
1
c)
6
7π sin
1
3
5π kos
4
π tan
3. Nyatakan setiap yang berikut sebagai nisbah trigonometri bagi sudut rujukan yang
sesuai dengan tanda yang betul.
a) sin 538
b) kos 465
c) tan 4
9π
4. Carikan nilai bagi nisbah trigonometri berikut dengan menggunakan sifir atau
kalkulator.
a) kos 325
b) tan 500
c) kos 2
7π
Latihan Formatif 7.4
Bagaimana anda
hendak buktikan
sesuatu
persamaan?
Matematik Asas|190
7.9 Sudut Positif Dan Sudut Negatif
Sudut positif ialah sudut yang diukur lawan arah jam dari arah positif paksi x
Sudut negatif ialah sudut yang diukur ikut arah jam dari arah positif paksi x Jika diberi sudut tirus negatif seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah, maka sudut itu
terletak dalam sukuan ke-empat.
7.10 Rumus Sudut Tirus
sin (90o – ) = kos kos (90o – ) = sin
tan (90o – ) = kot kot (90o – ) = tan
sek (90o – ) = kosek kosek (90o – ) = sek
Sudut negatif
Sudut positif
y
x O
-
Unit 7 Trigonometri I |191
Contoh Tentukan nilai bagi
i) sin 30 ii) kos 20 iii) sek 60 Penyelesaian:
i) sin 30o = sin(90o – 60o) = kos 60o = 2
1
ii) kos 20o = kos(90o – 60o) = sin 70o = 0.9397
iii) sek 60 = kosek (90-60) = kosek 30 = 30 sin
1=
2
1
7.11 Nisbah Trigonometri Bagi Sebarang Sudut Negatif
Rumus Sudut Negatif
sin( – ) = – sin
kos( – ) = kos
tan( – ) = – tan
a) Penyelesaian Tanpa Menggunakan Rumus Sudut Negatif
Contoh
i) sin(– 120o) = – sin (180- 120o)
= – sin 60 ii) kos(– 230o) = - kos (230 – 180o)
= - kos 50o
Semua Sin(+)
Kos (+) Tan (+)
-
120o
Sukuan III
230o
Sukuan II
Matematik Asas|192
iii) tan(– 300) = tan (360 – 300) = tan 60o
b) Penyelesaian Menggunakan Rumus Sudut Negatif
Contoh
Nyatakan setiap yang berikut sebagai nisbah trigonometri bagi sudut rujukan yang sesuai
dengan tanda yang betul:
a) sin (– 230)
b) kos (– 520)
Penyelesaian:
Dengan rumus bagi sudut negatif,
a) sin (–230) = – sin 230 (sukuan ke-3)
= – (– sin (230 – 180)
= sin 50
b) kos (– 520) = kos 520
= kos (520 – 360)
= kos 160(sukuan ke-2)
= – kos (180 – 160)
= – kos 20
300o Sukuan I
230
520
Di sini sudut
positif yang
dipertimbangkan.
Di sini sudut positif
yang dipertimbangkan.
Unit 7 Trigonometri I |193
1. Nyatakan setiap yang berikut sebagai nisbah trigonometri bagi sudut rujukan yang sesuai
dengan tanda yang betul:
a) sin (–340) b) kos (– 480) c) tan (–370°) d) sin 225° e) kos (– 5/3 )
2. Diberi sinx = ½ dan 0° < x < 360° , tanpa menggunakan kalkulator atau sifir, cari nilai bagi
a) x
b) sin 2x
3. Cari semua sudut antara 0°dengan 360° yang memuaskan persamaan
a) 2 kos 2x = 1
b) tan 2y = -1
4. Selesaikan persamaan 4 tan x – 2 tan2 x = sek2 x antara 0° hingga 360°.
5. Carikan semua sudut x dengan 0° x 360° yang memuaskan persamaan
sin x + 2kos 2x + 1 = 0
6. Cari semua sudut x diantara 0° hingga 360° yang memuaskan persamaan
kot x = 2 sin 2x
7. Jika tanx = 3 untuk 90 x 270. Tanpa meggunakan kalkulator, dapatkan nilai
a) tan 2x b) sin 2x
8. Diberi bahawa sin A = 3
5 dan dan 90 A 180. Carikan tanpa menggunakan sifir, nila
a) kos 2A
b) kos ( A + 45)
Latihan Formatif 7.5
Matematik Asas|194
1. Tentukan sudut rujukan.
2. Tentukan sukuan di mana sudut itu berada.
3. Cari nilai sudut dalam sukuan tersebut.
7.12 Penyelesaian Persamaan Trigonometri
Untuk mencari sudut-sudut yang memuaskan sesuatu persamaan trigonometri, langkah-
langkah berikut harus diikuti:
Contoh
Cari semua sudut dalam julat 0o < < 360o yang memuaskan persamaan-persamaan di bawah.
i) sin =0.6428 ii) kos = – 0.6428
iii) tan 2 = 1.732 iv) kos ( – 25o) = 0.9848
Penyelesaian:
i) Dari kalkulator di dapati sudut rujukan = 40o
Sin > 0 , maka terletak dalam sukuan ke- 1 atau ke-2
= 40o atau 140o
ii) Diperolehi, kos 50o = 0.6428
Kos < 0, maka terletak dalam sukuan ke-2 atau ke-3
= 130o atau 230o iii) Tan 60o = 1.732
Oleh kerana tan 2 > 0, maka 2 terletak dalam sukuan petama atau ke-3 Diberi,
0o < < 360o
0o < 2 < 720o
oleh itu, 2 = 60o, 240o, 420o, 600o.
= 30o, 120o, 210o, 300o
Unit 7 Trigonometri I |195
iv) kos ( – 25o) = 0.9848
Diperolehi Kos 10o = 0.9848
Oleh kerana kos ( – 25) > 0, maka ( – 25) terletak dalam sukuan ke-1 atau ke-4
Diberi,
0o < < 360o
– 25o < – 25o < 335o oleh itu,
– 25o = 10o, –10o
= 35o, 15o
Contoh
Selesaikan persamaan trigonometri yang berikut untuk 0o < x < 360o.
i) sin xo + kos 42o = 0 ii) 4 tan 2x = –1
Penyelesaian:
i) sin x = – kos 42o = - 0.7431
Diperolehi, sin 48o = 0.7431
sin < 0 , di mana terletak dalam sukuan ke -3 atau ke- 4
x = 228o, 312o
ii) tan 2x = 4
1 = – 0.25
Diperolehi, tan 14.04o = 0.25
tan 2x < 0, di mana 2x terletak dalam sukuan ke-2 atau ke-4
0o < x < 360o 0o < 2x < 720o
Oleh itu, 2x = 165.96o, 345.96o, 525.96o, 705.96o
x = 82.98o, 172.98o, 262.98o, 352.98o
Matematik Asas|196
1. Selesaikan untuk 0o < x < 360o persamaan 2 sin x kos x = kos x
2. Selesaikan persamaan 1 + sinx = 2 kos 2 x untuk 0o x 360o.
3. Buktikan bahawa sinx1
kosx
kosx
sinx1
4. Selesaikan persamaan-persamaan berikut untuk 0° 360°.