-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|86 UNIT PELAJARAN 4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
HASIL PEMBELAJARAN
Di akhir unit ini, anda diharap dapat:
1. Menentukan penentu untuk suatu matriks.
2. Menggunakan kaedah operasi baris pertama dan adjoin untuk
mendapatkan matriks songsang.
3. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah matriks
melibatkan dua dan tiga anu.
PENGENALAN
alam unit 4, kita akan memfokuskan kepada menyelesaikan sistem
persamaan linear yang
melibatkan dua atau tiga anu. Namun demikian, kita perlulah
menguasai bagaimana hendak
mendapatkan matriks songsang dan pada masa yang sama mengenali
apa itu penentu. Ini
kerana semua pengetahuan ini diperlukan semasa kita
menyelesaikan sistem persamaan linear. Oleh
itu, anda diminta untuk memberikan perhatian yang sepenuhnya. Di
samping itu, anda juga diharapkan
dapat memahami kaedah adjoin yang akan anda gunakan untuk
menyelesaikan masalah matriks. Unit
ini juga akan menerangkan tentang bagaimana untuk mendapatkan
matriks songsang. Setelah semua
D
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|87 ini dikuasai, maka secara tidak langsung anda sudah
bersedia untuk menyelesaikan sistem persamaan
linear dengan kaedah matriks.
4.1 APA ITU PENENTU?
Untuk kursus ini, kita akan memfokuskan kepada penentu bagi
matriks segiempat sama peringkat 2 x 2
dan peringkat 3 x 3. Penentu bagi suatu matriks A merupakan
suatu skalar dan ditandakan sebagai atau det(). Untuk pengetahuan
kita semua, jika = !" iaitu matriks peringkat 1 x 1, maka = !" .
Lain pula dengan penentu matriks 22 . Cuba kita lihat bagaimana
hendak mendapatkan penentu matriks 2 x 2.
Mari kita lihat contoh di bawah ini.
Contoh 4.1
Hitungkan penentu bagi matriks-matriks berikut: a) = 5 b) = 2 13
5 Penyelesaian
a) = 5 b) = 2 5 1 3 = 13
Layari:
http://www.analyzemath.com/Tutorial-System-Equations/determinants.html
untuk lebih memahami apa itu penentu.
Takrif. Jika = , maka = .
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|88 Untuk mencari penentu bagi matriks segi empat sama A
berperingkat ( > 2), kita perlu tahu bagaimana hendak
mendapatkan minor dan kofaktor matriks A. Mudah sahaja untuk
mendapatkan
minor dan kofaktor jika kita mengikut prosedur yang diberikan.
Perlu diingatkan bahawa ini merupakan
satu kaedah untuk mendapatkan penentu matriks peringkat 3 x 3
dan ke atas.
Minor
Jika = 1 2 34 5 67 8 9 , maka minor-minornya ialah: !! = 5 68 9
= 45 48 = 3 !" = 4 67 9 = 36 42 = 6 Seterusnya anda dikehendaki
untuk mendapatkan !" , !" , !! , !" , !" , !" ,!! . Kofaktor
Kofaktor, !" bagi suatu matriks n x n matriks A diberi oleh
rumus berikut:
Jika mengikut rumus yang diberikan, tanda-tanda untuk setiap
lajur dan baris ialah:
+ + + + + + +
Mari kita lihat kaitan antara minor dan kofaktor sesuatu
matriks.
!" = (1)!!! !" = { M!" jika i+ j adalah genapM!" jika i+ j
adalah ganjil
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|89
Jadual 4.1 Minor dan kofaktor bag matriks A peringkat 2 x 2
Jadual 4.2 Minor dan kofaktor bagi matriks A peringkat 3 x 3
Untuk contoh matriks dalam Jadual 4.2, terdapat enam minor dan
kofaktor lagi yang boleh didapati
melalui cara yang sama.
Matriks Minor Kofaktor !! !" !"!" !! !"!" !" !!
!! = !! !"!" !! = !!!! !"!" !" = !" !"!" !! = !"!! !"!" !" = !"
!!!" !" = !"!" !"!!
!! = (1)!!!!! = !! !" = (1)!!!!" = !" !" = (1)!!!!" = !"
Matriks Minor Kofaktor !! !"!" !!
!! = !! !" = !" !" = !" !! = !!
!! = (1)!!!!! = !! !" = (1)!!!!" = !" !" = (1)!!!!" = !" !! =
(1)!!!!! = !!
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|90 Cuba kita perhatikan contoh di bawah ini.
Contoh 4.2
Jika = 1 3 34 2 02 7 5 , cari !! ,!" , !! ,!! ,!" , dan !!.
Penyelesaian
!! = 2 07 5 = (2)(5) (7)(0) = 10 !" = 3 37 5 = (3)(5) (7)(3) = 6
!! = 1 32 5 = (1)(5) (2)(3) = 11 !! = (1)!!!!! = (1)(10) = 10 !" =
(1)!!!!" = (1)(6) = 6 !! = (1)!!!!! = (1)(11) = 11
Penentu matriks 3 x 3 matriks A boleh didapati:
= !! !" !"!" !! !"!" !" !! = !!!! + !"!" + !"!"
atau = !"!" + !!!! + !"!" atau = !"!" + !"!" + !!!!
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|91 Contoh 4.3
Jika = 2 2 01 5 13 4 5 , cari penentu matriks C.
Penyelesaian
!! = 5 14 5 = (5)(5) (4)(1) = 21 !! = (1)!!!!! = (1)(21) = 21 !"
= 1 13 5 = (1)(5) (3)(1) = 8 !" = (1)!!!!" = (1)(8) = 8 !" = 1 53 4
= (1)(4) (3)(5) = 19 !" = (1)!!!!" = (1)(19) = 19 Oleh itu, penentu
matriks C ialah = !!!! + !"!" + !"!"
= (2)(21) + (2)(8) + (0)(19) = 26
1. Bagi setiap matriks berikut, cari semua minor dan
kofaktor.
a) 7 15 0
b) 6 43 2
Latihan Formatif 4.1
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|92 c)
2 4 10 3 25 7 0 d)
5 2 14 7 03 4 1 2. Cari penentu untuk matriks-matriks
berikut.
a) 7 15 0
b) 6 43 2
c) 2 4 10 3 25 7 0
d) 5 2 14 7 03 4 1
Sifat-sifat penentu
(i) Jika A suatu matriks segiempat sama, maka = ! Sebagai
contoh,
= (ii) Jika matriks B diperoleh dengan saling pertukaran antara
dua baris atau dua lajur matriks
A, maka = Sebagai contoh,
=
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|93
(iii) Jika dua baris (dua lajur) matriks A adalah sama, maka = 0
Sebagai contoh,
= 0 (iv) Jika matriks B diperolehi dengan pendaraban k pada satu
baris / lajur matriks A, maka
= Sebagai contoh,
= (v) Jika matriks B diperoleh dengan menambahkan gandaan k satu
baris atau lajur kepada
satu baris atau lajur matriks A, maka =
Sebagai contoh,
+ + = (vi) Jika setiap unsur dalam satu baris atau lajur bagi
matriks A sifar, maka = 0
Sebagai contoh,
0 0 = 0
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|94 4.2 MATRIKS SONGSANG
Sebelum kita belajar untuk mendapatkan matriks songsang, adalah
disarankan agar kita mengulangkaji
apa itu matriks identiti (I). Ini adalah kerana matriks songsang
berkait rapat dengannya.
Mari kita kenali sifat-sifat matriks songsang.
(i) Jika !! wujud, maka matriks A disebut matriks tak singular.
(ii) Jika !! tak wujud, maka matriks A disebut matriks singular.
(iii) ()!! = !!!!. (iv) Jika satu matriks segi empat mempunyai
songsangan, maka sonsangannya adalah unik.
(v) Satu matriks A mempunyai songsangan jika dan hanya jika 0.
Setelah kita tahu sifat-sifat matriks songsang, mari kita mula
mencari matriks songsang. Baik, terdapat
dua kaedah untuk mencari matriks songsang iaitu:
i) Operasi Baris Permulaan
ii) Kaedah Adjoin
Takrif. Jika A dan B ialah matriks , maka B merupakan matriks
songsang bagi A (atau B sonsang A) jika dan hanya jika = = .
Syaratnya matriks songsang itu wujud dan diwakilkan sebagai !!.
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|95 Operasi Baris Permulaan (OBP)
Terdapat beberapa langkah dalam OBP yang perlu kita lakukan
untuk mendapatkan matriks songsang.
Langkah 1
Tuliskan AI dalam bentuk matriks imbuhan.
] Langkah 2
Lakukan operasi baris permulaan terhadap matriks imbuhan
sehingga menjadi satu matriks imbuhan
yang baru. ] Matriks B yang diperoleh ialah sonsangan bagi A
] = !!] Cuba kita fokus kepada contoh ini.
Contoh 4.4
Jika = 5 32 1 . Dapatkan songsangan bagi A dengan menggunakan
operasi baris permulaan. Penyelesaian
= 5 32 1 1 00 1 5 30 1 1 02 5 5! 2!
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|96 Penerangan: Tugas anda ialah untuk menukarkan 5 32 1
kepada 1 00 1 dengan menggunakan OBP. Paling mudah ialah anda perlu
berfikir yang anda akan menyelesaikan persamaan serentak
dengan mengambilkira Baris 1 (B1) dan Baris 2 (B2). Di atas, apa
yang telah saya lakukan ialah:
2 perlu diubah kepada 0. Oleh itu, darabkan B1 dengan 2 (2B1)
dan B2 dengan 5 (5B2). Selepas itu, kita
jalankan operasi tolak: 5B2 - 2B1 .
B1 x 2 = 10 6 2 0 B2 x 5 = 10 5 0 5 Oleh kerana, 2 (yang perlu
diubah kepada 0) berada dalam B2, maka B2 mesti tolak B1 . Dalam
kes ini
kita akan lakukan operasi 5B2 - 2B1. Hasilnya ialah: 5 30 1 1 02
5 Perlu diingat bahawa kita hanya menjalankan operasi dalam B2,
maka unsur-unsur dalam B2 sahaja
yang berubah. Seterusnya kita akan lakukan perkara yang sama
sehingga dapat menukarkan 5 32 1 kepada 1 00 1 . 5 30 1 1 02 5 5 00
1 5 152 5 ! 3!
!5 32 1!1 00 1! Baris 1 Baris 2
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|97
5 00 1 5 152 5 1 00 1 1 32 5
1 00 1 1 32 5 1 00 1 1 32 5 Oleh itu, songsangan bagi A
ialah
!! = 1 32 5
Kaedah Adjoin
Pertimbangkan suatu matriks = !! !" !"!" !! !"!" !" !! . Adjoin
matriks A adalah matriks transposisi yang diperoleh dengan
menggantikan setiap unsur !" dengan kofaktor-kofaktornya dan
ditandakan sebagai adj(A):
adj() = !! !" !"!" !! !"!" !" !!!
Oleh itu, matriks songsang boleh diperoleh melalui adj(A).
15!
!
Cuba and fikirkan bagaimana kita hendak tentukan bahawa matriks
songsang yang kita dapati itu betul atau tidak.
!! = 1 adj()
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|98
Perlu kita ambil perhatian bahawa jika penentu, = , maka
sonsangan bagi A tidak wujud. Terdapat beberapa langkah yang boleh
membimbing kita untuk mendapatkan matriks songsang.
Langkah-langkah tersebut ialah:
Langkah 1
Cari penentu bagi matriks A.
(i) Jika = 0, langkah berikutnya tidak perlu dilakukan. (ii)
Jika 0, terus ke langkah 2
Langkah 2
Hitungkan matriks kofaktor bagi !"
Langkah 3
Dapatkan adjoin matriks A dengan melakukan transposisi matriks
kofaktor !" , iaitu adj = !" !
Langkah 4
Gantikan hasil langkah 1 - 3 dalam rumus
!! = 1 adj()
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|99 Baik, setelah kita mengetahui langkah-langkah yang perlu
dilaksanakan, mari kita cuba buat contoh
yang diberikan.
Contoh 4.5
Diberi = 1 2 31 3 41 4 3 , cari matriks songsang !! menggunakan
kaedah adjoin.
Penyelesaian
Langkah 1
Hitung penentu
= 1 3 44 3 2 1 41 3 + 3 3 44 3 = 2 0, terus ke langkah 2
Langkah 2
Hitung kofaktor !" !! = 1 !!! 3 44 3 = 7 !" = 1 !!! 1 41 3 = 1
!" = 1 !!! 1 31 4 = 1 !" = 1 !!! 2 34 3 = 6 !! = 1 !!! 1 31 3 = 0
!" = 1 !!! 1 21 4 = 2 !" = 1 !!! 2 33 4 = 1 !" = 1 !!! 1 41 3 = 1 =
1 !!! 1 21 3 = 1
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|100 !" = 7 1 16 0 21 1 1
Langkah 3
adj = 7 1 16 0 21 1 1! = 7 6 11 0 11 2 1
Langkah 4
!! = 12 7 6 11 0 11 2 1 = 7/2 3 1/21/2 0 1/21/2 2 1/2
1. Cari matriks songsang untuk setiap matriks berikut jika wujud
menggunakan kaedah Operasi
Baris Permulaan (OBP).
a) 2 41 3 b) 3 24 5 c) 2 44 8 d) 3 16 2 e)
3 1 02 2 00 0 4 f) 2 2 31 1 00 1 4
Latihan Formatif 4.2
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|101 2. Cari matriks songsang untuk setiap matriks berikut
jika wujud menggunakan kaedah adjoin.
a) 2 41 3 b) 3 24 5 c) 2 44 8 d) 3 16 2 e)
3 1 02 2 00 0 4 f) 2 2 31 1 00 1 4
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Untuk kursus ini, kita akan memfokuskan kepada penyelesaian
persamaan linear dua dan tiga anu
menggunakan Petua Cramer dan Kaedah Songsang. Sistem persamaan
linear (SPL) boleh ditulis:
!!! + !"+ . . .+!! = ! !"! + !!+ . . .+!! = ! .
.
. !!! + !!+ . . .+!" = ! dengan !" , ! SPL boleh ditulis dalam
bentuk matriks iaitu:
Ax = b
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|102
Pekali matriks Penyelesaian
Petua Cramer
Untuk menggunakan Petua Cramer, kita mesti pastikan bahawa
matriks yang terbentuk daripada sistem
persamaan linear mempunyai matriks songsang. Penyelesaian unik
untuk SPL, Ax = b diberi oleh:
Pertimbangkan contoh di bawah ini:
Contoh 4.6
Selesaikan SPL menggunakan Petua Cramer:
3! 2! = 6 5! + 4! = 8 Penyelesaian
Tuliskan SPL tersebut dalam bentuk matriks: 3 25 4 !! = 68
Selepas itu, kita akan dapatkan:
! = !!! = ! !!! !! = !"!!"! = 20
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
21
22221
11211
=
nx
xx
2
1
x
=
mb
bb
b2
1
! = ! untuk = 1, 2, . . . ,
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|103 ! = !!! = ! !!! !! = !"!!"! = 27 Maka, !! = 2027
Contoh 4.7
Selesaikan SPL menggunakan Petua Cramer: ! + ! + 2! = 9 2! + 4!
3! = 1 3! + 6! 5! = 0 Penyelesaian
Tuliskan SPL tersebut dalam bentuk matriks: 1 1 22 4 33 6 5 !!!
= 910
Selepas itu, kita akan dapatkan: (Cuba lihat kembali Contoh
4.3)
! = !!! = ! ! !! ! !!! ! !!!! = !!!! = 1 ! = !!! = ! ! !! ! !!!
! !!!! = !!!! = 2 ! = !!! = ! ! !! ! !! ! !!! = !!!! = 3 Maka,
= 123
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|104 Kaedah Songsang
Untuk menggunakan Kaedah Songsang, kita perlu mengulangkaji
bagaimana mendapatkan matriks
songsang. Juga kita mesti ketahui bahawa:
i. Jika suatu matriks didarabkan dengan songsangannya, hasilnya
ialah matriks identiti. I. !! = !! =
ii. Jika suatu matriks didarabkan dengan I, hasilnya ialah
matriks itu sendiri.
= = Untuk Kaedah Songsangan, kita perlu fahami
langkah-langkah/prosedur berikut bagi mencari
penyelesaian SPL:
= !!() = !! = !! = !! (Kita perlu gunakan rumus ini untuk cari
nilai anu)
Nota Penting
Untuk matriks 2 x 2, kita akan gunakan rumus ini untuk mencari
songsangannya:
Jika = maka !! = 1 di mana, =
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|105 Mari kita lihat contoh di bawah ini.
Contoh 4.8
Selesaikan SPL menggunakan Kaedah Songsang:
3! 2! = 6 5! + 4! = 8 Penyelesaian
Tuliskan SPL tersebut dalam bentuk matriks: 3 25 4 !! = 68
Selepas itu, kita akan dapatkan: = ! Untuk itu, dapatkan matriks
songsang, !! (Guna kaedah penentu atau adjoin).
= = (3)(4) (5)(2) = 2 !! = 1
!! = 12 4 25 3 = 2 15 2 3 2
Oleh itu, = ! = 2 15 2 3 2 68 = 12+ 815+ 12 = 2027
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|106 Contoh 4.9
Selesaikan SPL menggunakan Kaedah Songsang: ! + ! + 2! = 9 2! +
4! 3! = 1 3! + 6! 5! = 0 Penyelesaian
Tuliskan SPL tersebut dalam bentuk matriks: 1 1 22 4 33 6 5 !!!
= 910 Selepas itu, kita akan dapatkan: = ! *Lihat contoh 4.3 untuk
dapatkan penentu A,
= 1 *Untuk itu, dapatkan matriks songsang, !! (Guna kaedah OBP
atau adjoin).
!! = 2 17 111 11 70 3 2 = 2 17 111 11 70 3 2 910 = 123
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|107
1. Selesaikan SPL yang berikut menggunakan Petua Cramer.
a) + 2 = 1, 2 3 = 12 b) 2 3 = 1, 4 + 9 = 4 c) 4 5 = 2, 2 10 = 5
d) 5 + 2 = 7, 2 + 2 = 0, 3 + = 17 e) 2 + 6 4 = 1, 3 2 = 4, 2 + 3 =
7 f) 2 3 + 2 = 3, 3 + 2 + = 1, 4 + 3 = 4
2. Selesaikan SPL yang berikut menggunakan Kaedah Songsang.
a) 2 + 3 = 2, 2 = 8 b) 2 + 5 = 16, 3 7 = 24 c) 3 + 4 = 3, 2 = 4
d) 4 + 3 = 6, 8 + 3 5 = 6, 5 4 = 9 e) + 3 3 = 5, 2 + = 3, + 5 = 4
f) 2 3 + = 2, 3 + 2 = 5, 5 2 + = 0
Latihan Formatif 4.3
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|108 RUMUSAN
Secara keseluruhannya, Matriks II telah menunjukkan kepada kita
bahawa salah satu kegunaan matriks
adalah untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear (SPL)
dua atau tiga anu. Untuk
mencapai hasrat ini, unit ini telah disusun dengan
sebaik-baiknya iaitu bermula dengan mencari
penentu. Ini diikuti dengan mencari matriks songsang menggunakan
kaedah operasi baris permulaan
(OBP) atau kaedah adjoin. Contoh-contoh telah kami sertakan
untuk memudahkan anda untuk
memahami bagaimana mencari penentu dan juga matriks songsang.
Setelah kita menguasai cara
mendapatkan matriks songsang, kita akan maju selangkah lagi
dengan mengaplikasi matriks songsang
dalam menyelesaikan masalah SPL. Untuk itu, kami memperkenalkan
Petua Cramer dan Kaedah
Songsang untuk membantu anda mencari nilai anu yang dikehendaki.
Semoga unit ini dapat membantu
anda untuk lebih mengenali kegunaan matriks.
KATA KUNCI
penentu, operasi baris permulaan, kaedah adjoint, matriks
sonsang, sistem persamaan linear
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|109
1. Bagi setiap matriks berikut, cari semua minor dan
kofaktor.
a) 5 43 2 b) 6 43 2
c) 3 1 24 2 56 3 1 d) 5 4 13 2 72 0 6
2. Cari penentu untuk setiap matriks berikut.
a) 5 43 2 b) 6 43 2
c) 3 1 24 2 56 3 1 d) 5 4 13 2 72 0 6
3. Cari matriks songsang untuk setiap matriks berikut jika wujud
menggunakan kaedah Operasi
Baris Permulaan (OBP) atau/dan kaedah adjoint.
a) 2 32 1 b) 3 51 4 c)
2 3 40 4 21 1 6 d) 1 3 12 5 03 1 2
4. Selesaikan SPL yang berikut menggunakan Petua Cramer atau/dan
Kaedah Songsang.
a) 2 4 = , + 3 = i) = 31 ii) = 25
Latihan Sumatif
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|110 b) 2 + 2 + 3 = , = , + 4 =
i) = 132 ii) = 104
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|111 RUJUKAN
Dugopolski, M. (2009). Algebra for College Students (5th. ed.).
New York: McGraw-Hill.
Larson, R., & Hostetler, R. P. (2004). Algebra and
Trigonometry (6th. ed.). Boston: Houghton Mifflin.
Larson, R., & Hostetler, R. P. (2004). College Algebra
(6th.ed.). Boston: Houghton Mifflin.
Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2009). College
Algebra (5th. ed.). Belmont, CA:
Brooks/Cole, Cengage Learning.
Swokowski, E.W. & Cole, J.A. (2003). Algebra and
trigonometry with analytic geometry (I0th. ed.).
Brooks Cole: Pacific Grove.
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|112 JAWAPAN
Latihan Formatif 4.1
1. a) !! = 0; !! = 0; !" = 5; !" = 5; !" = 1; !" = 1; !! = 7; !!
= 7
b) !! = 2; !! = 2; !" = 3; !" = 3; !" = 4; !" = 4; !! = 6; !! =
6
c) !! = 14; !! = 14; !" = 10; !" = 10; !" = 15; !" = 15 !" = 7;
!" = 7; !! = 5; !! = 5; !" = 34; !" = 34 !" = 11; !" = 11; !" = 4;
!" = 4; !! = 6; !! = 6
d) !! = 7; !! = 7; !" = 4; !" = 4; !" = 37; !" = 37 !" = 2; !" =
2; !! = 2; !! = 2; !" = 14; !" = 14 !" = 7; !" = 7; !" = 4; !" = 4;
!! = 43; !! = 43
2. a) 5 b) 24 c)83 d) 6
Latihan Formatif 4.2
1. a) !!" 3 41 2 b) !! 5 24 3 c) Tidak wujud d) Tidak wujud
2. Jawapan sama seperti dalam (1).
Latihan Formatif 4.3
1. a) = 3; = 2 b) = !! ; = 2 c) = !! ; = !! d) = 2; = 4; = 5 e)
= !! ; = !"! ; = !! f) = !! ; = !"!" ; = !!"
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|113 2. a) = 4; = 2 b) = 8; = 0 c) = 1; = !! d) = 3; = 6; = 0
e) = 2; = !! ; = !! f) = !! ; = !! ; = !"!
Latihan Sumatif
1. a) !! = 2; !! = 2; !" = 3; !" = 3; !" = 4; !" = 4; !! = 5; !!
= 5
b) !! = 2; !! = 2; !" = 3; !" = 3; !" = 4; !" = 4; !! = 6; !! =
6
c) !! = 17; !! = 17; !" = 26; !" = 26; !" = 0; !" = 0 !" = 5; !"
= 5; !! = 15; !! = 15; !" = 15; !" = 15 !" = 9; !" = 9; !" = 23; !"
= 23; !! = 10; !! = 10
d) ) !! = 12; !! = 12; !" = 2; !" = 2; !" = 4; !" = 4 !" = 24;
!" = 24; !! = 32; !! = 32; !" = 8; !" = 8 !" = 30; !" = 30; !" =
38; !" = 38; !! = 12; !! = 12
2. a) 2 b) 24 c) 77 d) 56
3. a) !! 1 32 2 b) !! 4 51 3 c) !!! 22 14 102 16 44 5 8
d) !! 10 7 54 1 213 10 11
-
Unit Pelajaran 4 Matriks II | UNIT PELAJARAN 4. Sistem persamaan
linear|114 4. a) i) = 1 !!" ; = !!" ii) = 1 !! ; = 1 !! b) i) = 8
!! ; = 11 !! ; = 2 !! ii) = 5 !! ; = 5 !! ; = !!