ME.07 Transformarea Fourier Cuvinte cheie Funct ¸ii absolut integrabile, transformarea Fourier, transformate Fourier, derivare, integrare, convolut ¸ie, liniaritate. asem˘ anare, ˆ ıntˆ arziere, deplasare, formule de inversare, relat ¸ia lui Parseval ME.07.1 Introducere Transformarea Fourier reprezint˘ a una dintre cele mai semnificative inovat ¸ii din istoria matematicii, cu aplicat ¸ii ˆ ın foarte multe domenii din matematic˘ a, fizic˘ a¸ si inginerie. Primele elemente ale transform˘ arii Fourier apar ˆ ın cercet˘ arile lui Newton privind reflexia luminii printr-o prism˘ a¸ si descoperirea descompunerii luminii albe ˆ ın culorile spectrului. Idei conexe apar ¸ si la Euler, care a enunt ¸at ˆ ın 1748 posibilitatea reprezent˘ arii configurat ¸iei (?) vibrante ca o combinat ¸ie liniar˘ a de ”moduri normale”. Jean Baptiste de Fourier (1768 - 1830) ˆ ıncepe s˘ a fie preocupat de subiect ˆ ın 1799, cˆ and particip˘ aˆ ın calitate oficial˘ a de fizician la campania lui Napoleon ˆ ın Egipt. Studiind problema propag˘ arii c˘ aldurii, el a ajuns la descoperirea seriilor Fourier, pe care le-a prezentat ˆ ın 1807 la Academia Francez˘ a. Plecˆ and de la reprezentarea funct ¸iilor periodice prin dezvolt˘ ari de sinusuri ¸ si cosinusuri, Fourier o extinde la reprezentarea funct ¸iilor aperiodice ca integrale de astfel de funct ¸ii ¸ si astfel apare ideea de transformare Fourier. Aceste idei sunt expuse ˆ ın cartea ”Teoria analitic˘ a a c˘ aldurii” publicat˘ a de Fourier ˆ ın 1822. Deducerea empiric˘ a a transform˘ arii fourier se poate sintetiza astfel: pen- tru o funct ¸ie periodic˘ a de perioad˘ a T > 0 are loc reprezentarea ˆ ın serie Fourier complex˘ a f (x)= ∞ ∑ n=-∞ c -n e -inωx iar coeficient ¸ii Fourier sunt c -n = 1 T T/2 R -T/2 f (y)e inωy dy, unde ω = 2π T . ˆ Inlocuind ˆ ın serie se obt ¸ine formula f (x)= 1 2π T/2 R -T/2 f (y) ∞ ∑ n=-∞ 2π T e -inω(x-y) dy. 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ME.07 Transformarea Fourier
Cuvinte cheie
Functii absolut integrabile, transformarea Fourier, transformate Fourier, derivare,integrare, convolutie, liniaritate. asemanare, ıntarziere, deplasare, formule deinversare, relatia lui Parseval
ME.07.1 Introducere
Transformarea Fourier reprezinta una dintre cele mai semnificative inovatiidin istoria matematicii, cu aplicatii ın foarte multe domenii din matematica,fizica si inginerie.
Primele elemente ale transformarii Fourier apar ın cercetarile lui Newtonprivind reflexia luminii printr-o prisma si descoperirea descompunerii luminiialbe ın culorile spectrului. Idei conexe apar si la Euler, care a enuntat ın 1748posibilitatea reprezentarii configuratiei (?) vibrante ca o combinatie liniara de”moduri normale”.
Jean Baptiste de Fourier (1768 - 1830) ıncepe sa fie preocupat de subiectın 1799, cand participa ın calitate oficiala de fizician la campania lui Napoleonın Egipt. Studiind problema propagarii caldurii, el a ajuns la descoperireaseriilor Fourier, pe care le-a prezentat ın 1807 la Academia Franceza. Plecandde la reprezentarea functiilor periodice prin dezvoltari de sinusuri si cosinusuri,Fourier o extinde la reprezentarea functiilor aperiodice ca integrale de astfel defunctii si astfel apare ideea de transformare Fourier. Aceste idei sunt expuseın cartea ”Teoria analitica a caldurii” publicata de Fourier ın 1822.
Deducerea empirica a transformarii fourier se poate sintetiza astfel: pen-tru o functie periodica de perioada T > 0 are loc reprezentarea ın serie
Fourier complexa f(x) =∞∑
n=−∞c−ne
−inωx iar coeficientii Fourier sunt c−n =
1T
T/2∫−T/2
f(y)einωydy, unde ω = 2πT .
Inlocuind ın serie se obtine formula f(x) = 12π
T/2∫−T/2
f(y)
( ∞∑n=−∞
2πT e−inω(x−y)
)dy.
1
2
Se considera o diviziune echidistanta δ = (ξn)n∈Z a lui R, cu ξn = nω,deci cu norma ν(δ) = ξn+1 − ξn = ω = 2π
T . La limita, pentru T → ∞ rezultaν(δ)→ 0 si se presupune (formal) ca suma din formula , scrisa ca o suma in-
tegrala∞∑
n=−∞e−iξn(x−y)(ξn+1− ξn) tinde la integrala Riemann
∞∫−∞
e−iξ(x−y)dξ.
Formula de mai sus devine la limita reprezentarea functiei f ca integrala
Fourier f(x) = 12π
∞∫−∞
(∞∫−∞
f(y)e−iξ(x−y)dy
)dξ.
Scriind f(x) = 12π
∞∫−∞
e−iξx
(∞∫−∞
f(y)eiξydy
)dξ se defineste transformata
Fourier f(ξ) =∞∫−∞
f(x)eiξxdx iar din formula obtinuta se deduce formula
de inversare f(x) = 12π
∞∫−∞
f(ξ)e−iξxdξ.
In realitate sunt necesare diferite tipuri de conditii care sa asigure convergentaintegralelor improprii ın discutie sau comportari adecvate ale functiilor f(x)si f(ξ), ajungandu-se la extinderi ın cadrul teoriei distributiilor sau la trans-formarea Fourier multidimensionala.
ME.07.2 Transformarea Fourier a functiilor din L1
Notam cu L1 sau L1(R) multimea functiilor absolut integrabile pe R,
adica functiile f : R → C cu proprietatea ‖f‖1 =∞∫−∞|f(x)|dx < ∞. Din
convergenta integralei improprii rezulta limx→±∞
f(x) = 0, ∀f ∈ L1.
Definitie Se numeste transformata Fourier a functiei f ∈ L1 functiaf(ξ) definita de integrala cu parametru
F[f(x)] = f(ξ) =
∞∫−∞
f(x)eiξxdx (1)
Functia f este bine definita, deoarece |eiξx| = 1 si deci |f(ξ)| ≤∞∫−∞|f(x)||eiξx|dx =
∞∫−∞|f(x)|dx <∞.
Se poate arata ca daca f ∈ L1 atunci transformata ei Fourier este ın L∞
si satisface ‖f‖∞ ≤ ‖f‖1. In plus f ∈ C0(R), spatiul functiilor continue carese anuleaza la infinit (lema Riemann- Lebesgue).
Operatorul F definit de (1) se numeste transformarea Fourier. Variabilax ∈ R are de multe ori semnificatia de timp, iar variabila ξ are semnificatia
3
de frecventa; functia f(x) se numeste semnalul ın domeniul timp, iar f(ξ)semnalul ın domeniul frecventa. Marimea |f(ξ)| se numeste amplitudine iarϕ(ξ) = arctg (Im f(ξ)/Re f(ξ)) se numeste faza.
Exemplul 1. f(x) = e−a2x2 , a > 0
Pentru a verifica conditia f ∈ L1 se utilizeaza integrala lui Euler∞∫−∞
e−u2du =
√π. Se obtine, cu schimbarea de variabila u = ax,
∞∫−∞|f(x)|dx =
∞∫−∞
e−a2x2dx =
1a
∞∫−∞
e−u2du =
√πa <∞, deci f ∈ L1.
Calculam transformata Fourier F[e−a2x2 ] =
∞∫−∞
e−a2x2eiξxdx =
∞∫−∞
e−[a2x2−iξx]dx.
Formam un patrat perfect a2x2 − iξx = (ax)2 − 2(ax) iξ2a +(iξ2a
)2−(iξ2a
)2=(
ax− iξ2a
)2+ ξ2
4a2deci F[e−a
2x2 ] = e−ξ2
4a2
∞∫−∞
e(ax−iξ2a)
2
dx. Cu schimbarea
de variabila z = ax − iξ2a si cu Teorema fundamentala Cauchy aplicata in-
tegralei curbilinii complexe∮Γ
e−z2dz (unde Γ este reunuinea axei reale cu
paralela prin iξ2a la axa reala) se obtine F[e−a
2x2 ] = e−ξ2
4a2
∞∫−∞
e−z2dz, deci
F[e−a2x2 ] =
√πa e− ξ2
4a2 .
Exemplul 2. f(x) = e−a|x|, a > 0
Deoarece |x| =
{x , x ≥ 0
−x , x < 0, se obtine F[e−a|x|] =
∞∫−∞
e−a|x|eiξxdx =
0∫−∞
eaxeiξxdx+∞∫0
e−axeiξxdx = 1a+iξe
(a+iξ)x|0−∞+ 1−(a−iξ)e
−(a−iξ)x|∞0 = 1a+iξ +
1a−iξ = 2a
ξ2+a2.
Exemplul 3. Se considera functia r(x) =
{1 , x ∈ (−1/2, 1/2)
0 , ın restcare reprezinta
un semnal de tip puls rectangular de amplitudine 1 si latime 1. (Fig. 1)
Transformarea Fourier este r(ξ) =∞∫−∞
r(x)eiξxdx =1/2∫−1/2
eiξxdx = 1iξe
iξx∣∣∣1/2−1/2
=
2ξei·ξ/2−e−i·ξ/2
2i = 2 sin ξ/2ξ = sinc (ξ/2). Functia sinc se defineste prin sinc(s) =
sin ss si are graficul din Fig. 2.
4
ME.07.3 Proprietatile transformarii Fourier
Transformarea Fourier este un instrument eficient de rezolvare a multor prob-leme din diverse domenii datorita proprietatilor ei care evidentiaza conexiuniledintre operatii ın domeniul timp si operatii ın domeniul frecventa.
1. Liniaritate
F[αf + βg] = αF[f ] + βF[g], ∀f, g ∈ L1, ∀α, β ∈ C (2)
Evident αf+βg ∈ L1, iar din definitia transformatei Fourier si din proprietateade liniaritate a integralei rezulta
+∞∫−∞
[αf(x) + βg(x)]eiξxdx = α+∞∫−∞
f(x)eiξxdx+ β+∞∫−∞
g(x)eiξxdx,
adica egalitatea (2).
2. Asemanare (sau schimbarea scalei timpului)
F[f(ax)] =1
af
(ξ
a
), a > 0 (3)
Formula se obtine din definitie si schimbarea de variabila t = ax :
F[f(ax)] =+∞∫−∞
f(ax)eiξxdx =+∞∫−∞
f(t)eiξat dta = 1
a f(ξa
).
Exemplul 4. Consideram semnalul puls de amplitudine A si la time L,notat rAL (Fig. 3). Se observa ca rAL = Ar(ax) cu a = 1/L.
Din Exemplul 3, aplicand proprietatile de liniaritate si asemanare, obtinem
F[rAL(t)] = F[Ar(ax))] = A · 1asinc ξ
2a = ALsincLξ2 = 2Asin Lξ
2ξ .
Observatie In mod analog se poate demonstra ca pentru a < 0 Ff(ax)] =
1a
−∞∫+∞
f(t)eiξatdt = − 1
a f(ξa
)si cum |a| = −a formula (3) se poate scrie
F[f(ax)] = 1|a| f
(ξa
), a 6= 0.
3. Intarziere
F[f(x− a)] = eiξaf(ξ), a ∈ R (4)
Calculam integrala cu schimbarea de variabila t = x− a:
F[f(x−a)] =+∞∫−∞
f(x−a)eiξxdx =+∞∫−∞
f(t)eiξ(t+a)dt = eiξa+∞∫−∞
f(t)eiξtdt =
eiξaf(ξ).
Exemplul 5. Consideram semnalul puls de amplitudine A, latime L si cen-tru C, rALC(x) = Ar
Observatie Se poate arata ca f ∗ g ∈ L1 daca f, g ∈ L1.
Exemplul 7. Se considera functia f(x) =1/2∫−1/2
e−(x−t)2dt. Conform exem-
plelor 1 si 3 putem scrie f(x) =∞∫−∞
r(t)e−(x−t)2dt si urmeaza ca F[f(x)] =
7
F[r(x) ∗ e−x2 ] = F[r(x)]F[e−x2] = e
ξ2
4 sinc(ξ/2).
Exemplul 8. Se considera f(x) =
{1 , x ∈ (−1, 1)
0 , ın rest. Conform exemplului
4, F[f(x)] = 2 sin ξξ . Din formula (12) F[(f ∗f)(x)] = F[f(x)]F[f(x)] = 4 sin2 ξ
ξ2=
4sinc2ξ. Se obtine (f ∗ f)(x) = F−1[4sinc2ξ] =
{2(1− |x|/2) , x ∈ (−2, 2)
0 , ın rest.
(a se vedea exercitiul 8).Exemplul 9. FiltrareFiltrarea este o operatie frecventa ın procesarea semnalelor. Filtrul liniar
este descris de o functie h ∈ L1. Daca semnalul de intrare este functia u, sem-nalul de iesire (ın domeniul timp) este y(t) = (u∗h)(t). Aplicand transformareaFourier se obtine aplicatia intrare-iesire ın domeniul frecventa y(ξ) = h(ξ)u(ξ).Transsformata h = F[h(x)] se numeste functia de transfer de tip Fourier
Consideram filtrul descris de functiah(t) = r(t) din exemplul 3. Iesirea
este y(t) = r(t) ∗ u(t) =∞∫−∞
r(x)u(t − x)dx deci y(t) =1/2∫−1/2
r(x)u(t − x)dx =
1/2∫−1/2
u(t − x)dx. Cu schimbarea de variabila v = t − x se obtine semnalul de
iesire y(t) =t+1/2∫t−1/2
r(x)u(v)dxv.
De exemplu, daca semnalul de intrare este functia treapta unitate a lui
Heaviside H(t) =
1 , t > 0
0 , t < 0
1/2 , t = 0
, atunci un calcul simplu arata ca semnalul
de iesire este y(t) =
0 , t ≤ −1/2
t ,−1/2 < t < 1/2
1 , 1/2 ≤ t(se spune ca filtrul este trece-jos).
In domeniul frecventa se obtine y(ξ) = r(ξ)u(ξ), deci functionrea filtruluieste y(ξ) = sinc(ξ/2)u(ξ).
deci semnalul de iesire este y(ξ) = sinc(ξ/2)(iξ + πδ(ξ)
).
9. Produsul
F[f(x)g(x)] =1
2π
∞∫−∞
f(z)g(ξ − z)dz. (13)
Pentru demonstratie se utilizeaza formula de inversare pentru transformarea
8
fourier (v. ME.07.4) f(x) = 12π
∞∫−∞
f(z)e−izxdz. Schimband ordinea de inte-
grare ın integrala dubla, obtinem
F[f(x)g(x)] =∞∫−∞
f(x)g(x)eiξxdx =∞∫−∞
(1
2π
∞∫−∞
f(z)e−izxdz
)g(x)eiξxdx =
12π
∞∫−∞
f(z)
(∞∫−∞
g(x)ei(ξ−z)dx
)dz = 1
2π
∞∫−∞
f(z)g(ξ − z)dz.
Urmatoarele doua proprietati sunt valabile pentru functii din spatiul L2 =
{f : R→ C|∞∫−∞|f(x)|2dx <∞}. L2 este un spayiu Banach cu norma ‖f‖2 =
∞∫−∞|f(x)|2dx (si spatiu Hilbert cu produsul scalar < f, g >=
∞∫−∞
f(x)g(x)dx).
Se poate arata ca daca f ∈ L1 ∩ L2, atunci f ∈ L2.10. Formula lui Plancherel
∞∫−∞
f(x)g(x)dx =1
2π
∞∫−∞
f(ξ)g(ξ)dξ. (14)
Consideram conjugata transformatei Fourier a functiei g(x) ın care ınlocuim
ξ cu −ξ. Se utilizeaza egalitatea e−iθ = eiθ.
g(−ξ) =∞∫−∞
g(x)e−iξxdx =∞∫−∞
g(x)eiξxdx = F[g(x)]. Inlocuim ın (13) g(x)
cu g(x) si avem F[f(x)g(x)] = 12π
∞∫−∞
f(z)g(−ξ + z)dz. Pentru ξ = 0 se obtine
∞∫−∞
f(x)g(x)eiξxdx|ξ=0 = 12π
∞∫−∞
f(z)g(−ξ + z)dz|ξ=0 adica∞∫−∞
f(x)g(x)dx =
12π
∞∫−∞
f(z)g(z)dz.
ın particular, pentru g(x) = f(x) se obtine relatia lui Parseval
∞∫−∞
|f(x)|2dx =1
2π
∞∫−∞
|f(ξ)|2dξ. (15)
Numarul ‖f‖2 din (15) se numeste energia totala a semnalului f ∈ L2.Functiile din L2 se numesc semnale cu energie. Astfel de semnale sunt exponentialacauzala, functia e−a|t|, a > 0 sau pulsul rectangular r(t). Exista functii careau transformata Fourier dar nu sunt semnale cu enrgie, de exemplu functiasignum sau functia treapta unitate.
Consideram functii f ∈ L1 continue pe portiuni ın R. Se noteaza limitelelaterale ale unei functii f ın punctul x astfel: f(x−) = lim
t↗xf(t) si f(x+) =
limt↘x
f(t).
Teorema ∀x ∈ R are loc egalitatea
f(x−) + f(x+)
2=
1
2π
∞∫−∞
f(ξ)e−iξxdξ. (16)
Demonstratie Vom calcula integrala∞∫−∞
e−a2ξ2 f(ξ)e−iξxdξ, unde a > 0. La
limita, pentru a→ 0 se va obtine integrala din (16).Se obtine, folosind definitia transformatei Fourier si schimband ordinea de
integrare,∞∫−∞
e−a2ξ2
(∞∫−∞
f(y)eiξydy
)e−iξxdξ =
∞∫−∞
f(y)
(∞∫−∞
e−a2ξ2eiξ(y−x)dξ
)dy.
Conform exemplului 1, F[e−a2x2 ] =
∞∫−∞
e−a2x2eiξxdξ =
√πa e− ξ2
4a2 si integrala
de mai sus devine∞∫−∞
f(y)√πa e− (y−x)2
4a2 dy si cu schimbarea de variabilay−x2a = v
obtinem∞∫−∞
e−a2ξ2 f(ξ)e−iξxdξ = 2
√π
(0∫−∞
f(x+ 2av)e−v2dv +
0∫−∞
f(x+ 2av)e−v2dv
).
In prima integraladin membrul drept v < 0, deci x + 2av < x, iar ın adoua integrala v > 0 , deci x2av > x. Lua nad limita pentru a → 0 si
10
tinand seama si de egalitatea lui Euler∞∫−∞
)e−v2dv =
√π, egalitatea devine
∞∫−∞
e−a2ξ2 f(ξ)e−iξxdξ = 2
√π(f(x−)+f(x+))
∞∫0
)e−v2dv = 2
√π(f(x−)+f(x+))
√π
2
de unde rezulta formula (16).
Observatia 1. Daca functia f este continua ın punctul x ∈ R rezultaf(x−) = f(x+) = f(x)’ deci (16) devine
F−1[f(ξ)] = f(x) =1
2π
∞∫−∞
f(ξ)e−iξxdξ. (17)
Formula (17) defineste operatorul F−1 numit transformarea Fourier inversa.
Spunem ca o functie f continua pe portiuni este standardizata daca val-oarea ın orice punct de discontinuitate x verifica f(x) = f(x−)+f(x+)
2 . Pentrufunctii standardizate formul a(17) este adevarata, ∀x ∈ R.
Se poate demonstra urmatorul rezultat:
Teorema Transformarea Fourier F si transformarea Fourier inversaF−1
definite initial pe L1 ∩ L2 pot fi extinse prin continuitate la F : L2 → L2 siF−1 : L2 → L2 . In plus, operatorul F−1 este inversul operatorului F.
Observatia 2. Formula de inversiune are loc ın conditii mai slabe decatcontinuitatea pe portiuni.
Teorema (Dini) Daca f ∈ L1 verifica ın punctul x ∈ R conditia ∃δ > 0astfel ıncat functia ϕ(t) = 1
t (f(x + t)− f(x)) este ın L1(−δ, δ) atunci are locformula de inversiune ın punctul x.
Teorema (Jordan) Daca f este cu variatie marginita pe [−δ, δ] atunci areloc formula de inversiune ın punctul x.
Exemplul 11. Am vazut ca transformata Fourier a semnalului puls rect-angular r(x) (v. Fig. , exemplul 3) este r(ξ) = sinc(ξ/2) = sin ξ/2
ξ . Dinformula de inversiune rezulta ca acest semnal se poate prezenta si sub formaunei integrale r1(x) = 1
π
∫−∞∞ sin ξ/2
ξ (ξ)e−iξxdξ unde, conform teoremei, r1 este
semnalul standardizat r1(x) =
1 , x ∈ (−1/2, 1/2)
0 , x ∈ (−∞,−1/2) ∪ (1/2,∞)
1/2 , x = ±1/2
. (v. Fig.
4)
Exemplul 12. Se considera functia f(ξ) = 2aξ2+a2
. Se cere semnalul ın
domeniul timp f(x)
Conform formulei de inversiune f(x) = aπ
∞∫−∞
e−iξx
ξ2+a2dξ. Vom calcula aceasta
integrala cu teorema reziduurilor. Pentru x ≤ 0 consideram conturul Γ ınsemiplanul superior (Fig. 5)
11
Calculam integrala urbilinie complexa∮Γ
e−izx
z2+a2dz = 2πiRez
(e−izx
z2+a2, ia)
=
2πi e−izx
2z |z=ia = πae
ax (am aplicat formula Rez(P (z)Q(z) , a
)= P (a)
Q′(a) unde P si Q
sunt functii olomorfe si a este pol simplu al functiei P (z)Q(z)).
Deoarece pentru z ∈ BCA avem |Z| = R obtinem |z2 + a2| ≥ |z2| − a2 =R2− a2 si rezulta | 1
z2+a2| ≤ 1
R2−a2 ∀z ∈ BCA , deci lim|z|→∞
1z2+a2
= 0 uniform
ın raport cu θ = arg(z). Conform Lemei a doua Jordan , limR→∞
∫BCA
e−izx
z2+a2dz =
0, deci f(x) = aπ
∞∫−∞
e−iξx
ξ2+a2dξ = a
π limR→∞
∮Γ
e−izx
z2+a2dz = a
ππae
ax = eax.
In mod similar, pentru x > 0 se alege conturul ın semiplanul inferior (Fig.6) si se obtine (tinand seama si de sensul trigonometric)
f(x) = aπ2πiRez
(e−izx
z2+a2,−ia
)= e−ax.
Deci rezultatul este exponentiala bilateralaf(x) = e−a|x| (v. exemplul 2).
ME.07.5 Aplicatii ale transformarii Fourier
Proprietatea 5 din ME.07.3 arata ca prin transformarea Fourier operatia dederivare din domeniul timp se traduce ın domeniul frecventa prin operatiaalgebrica de ınmultire cu variabila (mai exact cu −iξ). De aici rezulta caecuatii diferentiale liniare din domeniul timp devin ecuatii algebrice ın dome-niul frecventa, iar ecuatii cu derivate partiale pot deveni ecuatii diferentiale,rezolvarea lor fiind mult mai usoara decat a ecuatiilor initiale. TransformareaFourier este adecvata problemelor cu conditii la frontiera.
Aplicatia 1. Consideram problema cu conditii la frontiera
y′′(x)− ω2y(x) = h(x), limx→±∞
= 0
Conform formulei (7), F[y′′(x)] = (−iξ)2y(ξ) = −ξ2y(ξ), deci operatorulF transforma ecuatia diferentiala ın ecuatia algebrica −ξ2y(ξ) − ω2y(ξ) =
h(ξ) cu solutia y(ξ) = − h(ξ)ξ2+ω2 . Conformformulei de inversiune solutia ecuatiei
diferentiale va fi y(x) = − 12π
∞∫−∞
h(ξ)ξ2+ω2 e
−iξxdξ.
Fie, de exemplu, h(x) = e−|x| cu transformata Fourier (vezi exemplul 2)h(ξ) = 2
ξ2+1. Rezulta y(ξ) = − 2
(ξ2+1)(ξ2+ω2). Pentru determinarea semnalului
ın domeniul timp putem utiliza teorema reziduurilor ca ın exemplul 11. Ometoda mai simpla se bazeaza pe descompunerea ın fractii simple si identifi-
ξ = ±i. Aplicam teorema reziduurilor si ıntr-un pol a de ordinul k rez(f, a) =1
k−1 , limz→a
[(z − a)kf(z)]k−1, obtinem
y(x) = − 2
2π· 2πirez
(eiξx
(ξ2 + 1)2, i
)= −2i lim
ξ→i
[(ξ − i)2 e−iξx
(ξ − i)2(ξ + i)2
]=
= −2i limξ→∞
e−iξx(−ix)(ξ + i)2 − 2(ξ + i)
(ξ + i)3=
1
2(x− 1)ex
Analog, pentru x > 0 se calculeaza (cu semnul − impus de sensul trigono-metric, vezi exercitiul 11)
y(x) = 2irez
(e−iξx
(ξ2 + 1)2,−i)
= −1
2(x+ 1)e−x,
deci solutia problemei, pentru ω = ±1 este y(x) = −12(|x|+ 1)e−|x|.
Pentru rezolvarea ecuatiilor cu derivate partiale, ın anumite conditii seextinde formula (7) la functii u(t, x), aplicand transformarea Fourier ın raportcu variabila spatiala x, variabila temporala t ramanand ca parametru liber,deci
F[∂nu
∂xn(t, x)] = (−iξ)nu(t, ξ), n ≥ 1 (18)
Aplicatia 2. Sa se rezolve ecuatia cu derivate partiale ∂u∂t + a∂u∂x = 0 cu
Pentru a obtine solutia problemei initiale, vom aplica formula de inversare
g(x) = 12π
∞∫−∞
g(ξ)e−iξxdξ, deci
u(t, x) =1
2π
∞∫−∞
e−a2ξ2tf(ξ)eiξxdξ =
1
2π
∞∫−∞
e−a2ξ2t
∞∫−∞
f(y)eiξydy
e−iξxdξ.
Am ınlocuit f(ξ) si schimbam ordinea de integrare. Rezulta:
u(t, x) =1
2π
∞∫−∞
f(y)
∞∫−∞
e−a2ξ2teiξ(y−x)dξ
dy.
Din exemplul 1 avem F[e−a
2ξ2]
=∞∫−∞
e−a2ξ2eiξxdx =
√πa e− ξ2
4a2 . Daca
ınlocuim x cu ξ, a cu a√t si ξ cu y − x obtinem a doua integrala de mai sus,
deci
u(t, x) =1
2π
∞∫−∞
f(y)
√π
a√te−
(y−x)2
4a2t dy
15
si rezulta formula lui Poisson
u(t, x) =1
2a√πt
∞∫−∞
f(y)e−(y−x)2
4a2t dy
ME.07.6 Transformarea Fourier a distributiilor
Spatiul functiilor test D si spatiul distributiilor D′
Suportul functiei ϕ : R → C este multimea suppϕ = {x ∈ R|ϕ(x) 6= 0}.Se numeste functie test o functie cu suport compact indefinit derivabila.Evident, multimea functiilor test cu adunarea si ınmultirea cu scalari α ∈ Ceste spatiu vectorial complex.
Spunem ca un sir de functii test (ϕn) este convergent la 0 daca exista
o multime compacta K astfel ıncat suppϕn ⊂ K, ∀n ∈ N si limn→∞
ϕ(k)n = 0
uniform, ∀k ∈ N.Notam cu D spatiul functiilot test cu topologia convergentei sirurilor.
Spunem ca ϕnD−→ ϕ daca ϕn − ϕ
D−→ 0.Definitie O functionala liniara si continua f : D→ C se numeste distributie.Notam cu D′ spatiul distributiilor (dualul spatiului D). Se foloseste notatia
f(ϕ) =< f,ϕ > pentru f ∈ D′ si ϕ ∈ D (sau < f(x), ϕ(x) >).O functie f : R → C este local integrabila daca ∀a, b ∈ R cu a < b ,
b∫a|f(x)|dx < ∞. Fiecarei functii local integrabile ıi corespunde o distributie
notata tot cu f , definita pentru ∀ϕ ∈ D prin
< f, ϕ >=
∞∫−∞
f(x)ϕ(x)dx
∫suppϕ
f(x)ϕ(x)dx
(se verifica usor ca functionala f este liniara si continua). Distributiile definitee functii local integrabile se numesc distributii regulate. Celelalte distributiise numesc singulare.
De exemplu distributia Dirac delta definitaa prin < δ, ϕ >= ϕ(0), ∀ϕ ∈ D,este singulara, neputand fi reprezentata printr-o integrala ca mai sus.
Operatii cu distributiiPentru distributii regulate pot fi obtinute formule care definesc anumite
operatii si care sunt extinse la distributiile singulare.1. Inmultirea cu multiplicatori functii indefinit derivabile a : R→ CPentru o functie local integrabila f , distributia af verifica
< af, ϕ >=
∞∫−∞
[a(x)f(x)]ϕ(x)dx =
∞∫−∞
f(x) [a(x)ϕ(x)] dx, ϕ ∈ D,
16
deci pentru orice distributie f−∞,
< af, ϕ >=< f, aϕ > (17)
2. Schimbari liniare de variabila
Cu schimbarea de variabila y = ax + b, deci y = y−ba se obtine
∞∫−∞
daca
a > 0 si−∞∫∞
= −∞∫−∞
daca a < 0. Deci, ın continuare avem, pentru a >
0, 1a
∞∫−∞
f(y)ϕ(y−ba
)dy si pentru a < 0, 1
−a
∞∫−∞
f(y)ϕ(y−ba
)dy.
In concluzie
< f(ax+ b), ϕ(x) >=1
|a|< f(y), ϕ
(y − ba
)>,∀ϕ ∈ D,∀f ∈ D (18)
3. Derivarea distributiilorFie ϕ ∈ D. Deoarece ϕ este cu suport compact, ∃a ∈ R a.ı. suppϕ ⊂
[−a, a] si ϕ(−a) = ϕ(a) = 0. Pentru f functie derivabila, calculam distributia
f ′, utilizand integrarea prin parti: < f ′, vf >=∞∫−∞
f ′(x)ϕ(x)dx =a∫−af ′(x)ϕ(x)dx =
f ′(x)ϕ(x)|a−a −b∫af(x)ϕ′(x)dx = − < f,ϕ > .
Extindem formula la toate distributiile f ∈ D′:
< f ′ϕ >= − < f,ϕ′ >,∀ϕ ∈ D (19)
Prin inductie obtinem
< f (k)ϕ >= (−1)(k) < f,ϕ(k) >,∀n ∈ N∗,∀ϕ ∈ D (20)
Rezulta ca o distributie are derivate de orice ordin.
Exemplul 13. Fie H functia treapta unitate, H(x) =
1 , x ∈ (0,∞)
0 , x ∈ (−∞)12 , x = 0
, H
este evident local integrabila, ∀a, b, 0 < a < b.
b∫a
H(x)dx =
b∫a
dx = b− a <∞
, deci ıi corespunde o distributie regulata H. Pentru orice ϕ ∈ D, < H ′, ϕ >=
;∀ϕdeci F[δ(x)] = 1.Exemplul 16. Functia f(x) = 1, x ∈ R nu este absolut integrabila,
deci ca functie nu are transformata Fourier. Fiind ınsa marginita, ea de-fineste o distributie temperata, notata cu 1 si vom putea calcula transformataFourier a acestei distributii. In formula de inversiune pentru functii ϕ(x) =
12π
∞∫−∞
ϕ(ξ)e−iξxdξ ınlocuim x cu −x si rezulta ϕ(−x) = 12π
∞∫−∞
ϕ(ξ)eiξxdξ =
12πF[ϕ(ξ)], deci
F[ϕ(ξ)] = 2πϕ(−x) (25)
. Conform formulei (24) avem
< F[1], ϕ >=< 1,F[ϕ(ξ)] >=< 1, 2πϕ(−x)] >= 2π∞∫−∞
ϕ(−x)dx
Inlocuim x cu−x si avem mai departe 2π∞∫−∞
ϕ(x)dx = 2π∞∫−∞
ϕ(−x)eiξxdx|ξ=0 =
2π < δ(ξ), ϕ(ξ) >, deci F[1] = 2πδ.Formula de inversare a transformarii Fourier pentru distributii
< F−1[f(ξ)], ϕ(x) >=1
2π< f(ξ),F[ϕ(−x)] > . (26)
Pentru a demonstra (26), ın egalitatea F[ϕ(−x)] =∞∫−∞
ϕ(−x)eiξxdx schimbam
variabila de integrare x cu −x si obtinem F[ϕ(−x)] =∞∫−∞
ϕ(x)e−iξxdx =
19
2πF−1[ϕ(x)] (conform formulei de inversare pentru functii F−1[ϕ(x)] = 12π
∞∫−∞
ϕ(x)e−iξxdx).
Deci F[ϕ(−x)] = 2πF−1[ϕ(x)]. Atunci membrul drept din (26) devine (folosindsi (24)):
Transformata Fourier (continua) se calculeaza folosind functia Matlab fourier,iar transformata Fourier inversa folosind functia ifourier. Formulele de calcul
sunt fourier(f) =∞∫−∞
f(x)e−iwxdx si ifourier(F ) = 12π
∞∫−∞
F (w)eiwxdw, deci
variabila ξ din capitolele anterioare este aici −w.Sintaxa comenzii fourierF = fourier(f) transforma scalarul simbolic f cu variabila independenta
implicita x ın scalarul simbolic F cu variabila implicita de returnare w. Dacaf este declatrataa ca depinzand de w (f=f(w)) variabila de raspuns va fi v(F=F(v)).
F=fourier(f, v) ınlocuieste ın raspuns w cu v. F=fourier(f, u, v) ınlocuiestex cu u si w cu v.
Exemple
1.
syms x;
f = exp(-x^2);
F=fourier(f) Raspuns: F = pi^(1/2)/exp(w^2/4)
// Graficele celor doua semnale: f (in domeniu timp) si F (in domeniul
// frecventa) se realizeaza cu comenzile:
x = -2: .1 : 2; w = -2*pi: .1: 2*pi;
f = exp(-x.^2); F=pi^(1/2)*exp(w.^2/4);
plot(x. f)
plot(w, F)
2.
syms a, w;
a=2;
f= exp(-a*abs(w));
F=fourier(f) Raspuns: F=4/(v^2 + 4)
3.
syms v u;
f= exp(-v)*heaviside(v)
20
\\ heaviside este functia treapta unitate H
F=fourier(f,v, u) Raspuns: F= 1/(i*u + 1)
4.
syms x;
f= exp(i*x);
F=fourier(f) Raspuns: F=2*pi*dirac(1 - w)
\\dirac(w) este distributia Dirac
5.
syms x;
f=cos(x);
F=fourier(f) Raspuns: F=pi*(dirac(- w - 1) + dirac(1 - w))
f = ifourier(F) transforma scalarul simbolic F cu variabila independentaimplicita w ın scalarul simbolic f cu variabila implicita de returnare x. DacaF este declarata ca depinzand de x variabila de raspuns va fi t.
f=ifourier(fF, u) ınlocuieste ın raspuns variabila implicita x cu u.
f=ifourier(F, v, u) ınlocuieste F(w) cu F(v) si f(x) cu f(u).
Exemple
1.
syms w;
F=2*i/w;
f= ifourier(F) Raspuns: f = 1 - 2*heaviside(x)
2.
F=2*pi*dirac(w);
f= ifourier(F) Raspuns: f = 1
3.
syms w a
a=2;
F=2*a/(w^2+a^2);
f= ifourier(F, u) Raspuns: f = (2*pi*heaviside(-u)*exp(2*u) + (2*pi*heaviside(u))/exp(2*u))/(2*pi)
4.
syms v u;
21
F=2*pi*dirac(v+3);
f= ifourier(F,v, u) raspuns: f = 1/exp(3*i*u)
5.
syms w;
F=i*pi*exp(-abs(w))/w;
f= ifourier(F) Raspuns: f = atan(-x)
// atan reprezinta functia arctan
6.
syms x;
F= cos(x);
f= ifourier(F) Raspuns: f = dirac(- t - 1)/2 + dirac(1 - t)/2
ME.07.8 Probleme rezolvate
Sa se determine transformatele Fourier ale urmatoarelor functii.