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MatematicasAvanzadas
paraIngeniera:
TransformadaZ Inversa
Departamentode
Matematicas
X1(z)
MFP
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Matematicas Avanzadas para Ingeniera:Transformada Z Inversa
Departamento de Matematicas
MA3002
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MatematicasAvanzadas
paraIngeniera:
TransformadaZ Inversa
Departamentode
Matematicas
X1(z)
MFP
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Transformada z InversaLa transformada Z inversa de una funcion
de variable complejaX (z) se define como
x(n) =1
2pi i
CX (z) zn1 dz
donde la integral se calcula sobre una curva cerrada simple
Cpostivamente orientada que encierra el origen y que cae en
laregion de convergencia (ROC) de X (z). A pesar de ladefinicion,
es mas conveniente calcular la transformada Zinversa buscando la
senales que tienen como transformada Z ala expresion X (z). Veremos
tales metodos.
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MatematicasAvanzadas
paraIngeniera:
TransformadaZ Inversa
Departamentode
Matematicas
X1(z)
MFP
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Metodo de Fracciones ParcialesEn la mayora de las aplicaciones
el problema consiste endeterminar la transformada Z inversa de una
funcion racionalX (z). Es decir, de la division entre dos
polinomios. El Metodode Fracciones Parciales la expresion se
convierte en unacombinacion lineal de transformadas de funciones
basicas como(n), an u(n) y n an u(n). De ser posible tal
descomposicion,entonces es sencillo encontrar la transformada
inversa mediantela aplicacion de una tabla. En muchos casos, sera
masconveniente primero desarrollar X (z)/z en fracciones
parciales,y despues despejar X (z) multiplicando por z . Ello
porque elcaballito de batalla es Z {an u(n)} = z/(z a) y
cuandomultipliquemos por z los factores lineales quedaran a
modo.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Metodo Rapido de Fracciones Parciales IEs practico que recuerde
el metodo rapido para el calculo defracciones parciales en el caso
de terminos lineales NOREPETIDOS: En el desarrollo de fracciones
parciales cuandoz = a NO es un cero de Q(z)
P(z)
(z a)Q(z) =A
z a +R(z)
Q(z)
el valor de A puede calcularse en forma independiente de
R(z)mediante la formula
A =P(a)
Q(a)
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X1(z)
MFP
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Metodo Rapido de Fracciones Parciales IIEs tambien practico que
recuerde el metodo rapido para elcalculo de fracciones parciales en
el caso de terminos linealesREPETIDOS: En el desarrollo de
fracciones parciales cuandoz = a NO es un cero de Q(z)
P(z)
(z a)2Q(z) =A
(z a)2 +B
(z a) +R(z)
Q(z)
el valor de A puede calcularse en forma independiente de
R(z)mediante la formula
A =P(a)
Q(a)
mientras que el valor de B se calcula como
B =P (a) A Q (a)
Q(a)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Metodo Rapido de Fracciones Parciales IIICuando en el
denominador se tiene un cero de orden tres:
P(z)
(z a)3Q(z) =A
(z a)3 +B
(z a)2 +C
(z a) +R(z)
Q(z)
(Se supone que Q(a) 6= 0). Entonces los coeficientes
puedencalcularse por las formulas:
A =P(a)
Q(a)
B =P (a) A Q (a)
Q(a)
C =P (a) A Q (a) 2B Q (a)
2!Q(a)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 1Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z
(z 15)(z 14)
SolucionTrabajamos mejor con
X (z)
z=
1
(z 15)(z 14)=
A
z 15+
B
z 14=20z 15
+20
z 14Para a = 1/5: P(z) = 1, Q(z) = z 1/4, P(a) = 1,Q(a) = 1/5
1/4 = 1/20 y as A = 20. Para a = 1/4:P(z) = 1, Q(z) = z 1/5, P(a) =
1,Q(a) = 1/4 1/5 = 1/20 y as B = 20. As
X (z) = 20 zz 15
+20 zz 14
: x(n) =
(20 1
5n+ 20 1
4n
)u(n)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 1Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z
(z 15)(z 14)Solucion
Trabajamos mejor con
X (z)
z=
1
(z 15)(z 14)=
A
z 15+
B
z 14=20z 15
+20
z 14Para a = 1/5: P(z) = 1, Q(z) = z 1/4, P(a) = 1,Q(a) = 1/5
1/4 = 1/20 y as A = 20. Para a = 1/4:P(z) = 1, Q(z) = z 1/5, P(a) =
1,Q(a) = 1/4 1/5 = 1/20 y as B = 20. As
X (z) = 20 zz 15
+20 zz 14
: x(n) =
(20 1
5n+ 20 1
4n
)u(n)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
TI: Fracciones parciales para el ejemplo 1
El unico inconveniente sera que debemos hacer un poco
dearitmetica para que el coeficiente en la z del denominador sea1:
por ejemplo, en la primera fraccion debemos dividirnumerador y
denominador entre 4, mientras que en el segundoentre 5.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 2Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z2
(z 12)(z + 13)
SolucionTrabajamos mejor con
X (z)
z=
z
(z 12)(z + 13)=
A
z 13+
B
z + 13=
35
z 12+
25
z + 13
AsX (z) = 35 zz 1
2
+ 25 zz( 13)
x(n) =
(3
5(
1
2
)n+
2
5(1
3
)n)u(n)
-
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 2Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z2
(z 12)(z + 13)Solucion
Trabajamos mejor con
X (z)
z=
z
(z 12)(z + 13)=
A
z 13+
B
z + 13=
35
z 12+
25
z + 13
AsX (z) = 35 zz 1
2
+ 25 zz( 13)
x(n) =
(3
5(
1
2
)n+
2
5(1
3
)n)u(n)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
TI: Fracciones parciales para el ejemplo 2
El unico inconveniente sera que debemos hacer un poco
dearitmetica para que el coeficiente en la z del denominador sea1:
por ejemplo, en la primera fraccion debemos dividirnumerador y
denominador entre 15, mientras que en el segundoentre 10.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 3Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z
z2 2 z + 2 =z
(z (1 + i))(z (1 i))
SolucionTrabajamos mejor con
X (z)
z=
A
z (1 + i) +B
z (1 i) =12 i
z (1 + i) +12 i
z (1 i)As
X (z) = 12 i zz(1+i) + 12 i zz(1i)
x(n) =
(1
2i (1 + i)n + 1
2i (1 i)n
)u(n)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 3Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z
z2 2 z + 2 =z
(z (1 + i))(z (1 i))Solucion
Trabajamos mejor con
X (z)
z=
A
z (1 + i) +B
z (1 i) =12 i
z (1 + i) +12 i
z (1 i)As
X (z) = 12 i zz(1+i) + 12 i zz(1i)
x(n) =
(1
2i (1 + i)n + 1
2i (1 i)n
)u(n)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
TI: Fracciones parciales para el ejemplo 3Es un poco mas
enredado, pero no tanto: debemos pensar laexpresion como:
p
f1 f2
En este caso calculamos directamente los coeficientes de
lasfracciones.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 4Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z2 2 z + 2z2 712 z + 112
=z2 2 z + 2
(z 13)(z 14)
SolucionTrabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones
parciales:
X (z)
z=
A
z+
B
z 13+
C
z 14=
24
z+
52
z 13 75
z 14As
X (z) = 24 1 + 52 zz 13
75 zz 14
x(n) = 24 (n) +(
52 (
1
3
)n 75
(1
4
)n)u(n)
-
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 4Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z2 2 z + 2z2 712 z + 112
=z2 2 z + 2
(z 13)(z 14)Solucion
Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones
parciales:
X (z)
z=
A
z+
B
z 13+
C
z 14=
24
z+
52
z 13 75
z 14As
X (z) = 24 1 + 52 zz 13
75 zz 14
x(n) = 24 (n) +(
52 (
1
3
)n 75
(1
4
)n)u(n)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
TI: Fracciones parciales para el ejemplo 4
Nuevamente debemos hacer un poco de aritmetica para que
elcoeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, enla
primera fraccion debemos dividir numerador y denominadorentre 4,
mientras que en el segundo entre 3.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 5Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z2(
z 13)2 (
z 12)
SolucionTrabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones
parciales:
X (z)
z=
z(z 13
)2 (z 12
) = A(z 13
)2 + B(z 13) + C(z 12)Para calcular A y B: tenemos que a = 1/3,
P(z) = z yQ(z) = z 1/2, por tanto
A =P(a)
Q(a)=
13
13 12
= 2
yB =
P (a) AQ (a)Q(a)
=1 (2)(1)16
= 18
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 5Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z2(
z 13)2 (
z 12)
SolucionTrabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos fracciones
parciales:
X (z)
z=
z(z 13
)2 (z 12
) = A(z 13
)2 + B(z 13) + C(z 12)Para calcular A y B: tenemos que a = 1/3,
P(z) = z yQ(z) = z 1/2, por tanto
A =P(a)
Q(a)=
13
13 12
= 2
yB =
P (a) AQ (a)Q(a)
=1 (2)(1)16
= 18
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 5 (continuacion)
Para calcular C : tenemos que a = 1/2, P(z) = z yQ(z) = (z
1/3)2, por tanto:
C =12(
12 13
)2 = 18As
X (z) = 2 z(z 12
)2 18 zz 13 + 18 zz 12y por tanto
x(n) =
(2 n
(1
3
)n1 18
(1
3
)n+ 18
(1
2
)n)u(n)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
TI: Fracciones parciales para el ejemplo 5
Nuevamente debemos hacer un poco de aritmetica para que
elcoeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, enla
primera fraccion debemos dividir numerador y denominadorentre 3, el
segundo entre 9 (pues el factor es 3 y el exponentees 2) y el
tercero entre 2.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 6Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z2 + 1
z2(z 13)
Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos
fraccionesparciales:
X (z)
z=
z2 + 1
z3(z 13)=
A
z3+
B
z2+
C
z+
D
z 13Aplicando los metodos de fracciones parciales descritos
tenemosque: A = 3, B = 9, C = 30 y D = 30 y por tanto
X (z) = 3 1z2 9 1
z 30 1 + 30 z
z 13
x(n) = 3 (n 2) 9 (n 1) 30 (n) + 30 (
1
3
)nu(n)
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X1(z)
MFP
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 6Calcule la transformada Z inversa de
X (z) =z2 + 1
z2(z 13)
Trabajamos mejor con X (z)/z y aplicamos
fraccionesparciales:
X (z)
z=
z2 + 1
z3(z 13)=
A
z3+
B
z2+
C
z+
D
z 13Aplicando los metodos de fracciones parciales descritos
tenemosque: A = 3, B = 9, C = 30 y D = 30 y por tanto
X (z) = 3 1z2 9 1
z 30 1 + 30 z
z 13
x(n) = 3 (n 2) 9 (n 1) 30 (n) + 30 (
1
3
)nu(n)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
TI: Fracciones parciales para el ejemplo 6
Nuevamente debemos hacer un poco de aritmetica para que
elcoeficiente en la z de cada denominador sea 1: por ejemplo, enla
primera fraccion debemos dividir numerador y denominadorentre
3.
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 7Considere una senal gobernada por la ecuacion en
diferencias:
y(n) = 2 x(n) x(n 1) + 3 x(n 2)+ 920
y(n 1) 120
y(n 2)
con condiciones iniciales y(1) = 3 y y(2) = 2 para unaentrada
x(n) = u(n), la funcion escalon unitario.
Aplicaremos la transformada Z en ambos miembros utilizandolas
propiedades:
Z {x(n)} = zz1 ; Z {x(n 1)} = 1z1 ; Z {x(n 2)} = 1z(z1)Z {y(n)}
= Y (z);Z {y(n 1)} = y(1) + z1 Y (z) = 3 + z1 Y (z)Z {y(n 2)} =
y(2) + z1 y(1) + z2 Y (z)
= 2 + 3 z1 + z2 Y (z)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 7Considere una senal gobernada por la ecuacion en
diferencias:
y(n) = 2 x(n) x(n 1) + 3 x(n 2)+ 920
y(n 1) 120
y(n 2)
con condiciones iniciales y(1) = 3 y y(2) = 2 para unaentrada
x(n) = u(n), la funcion escalon unitario.Aplicaremos la
transformada Z en ambos miembros utilizandolas propiedades:
Z {x(n)} = zz1 ; Z {x(n 1)} = 1z1 ; Z {x(n 2)} = 1z(z1)Z {y(n)}
= Y (z);Z {y(n 1)} = y(1) + z1 Y (z) = 3 + z1 Y (z)Z {y(n 2)} =
y(2) + z1 y(1) + z2 Y (z)
= 2 + 3 z1 + z2 Y (z)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 7 (continuacion)
Aplicando en ambos miembros la transformada Z y obtenemos
Y (z) = 2 zz1 1z1 + 3z(z1)+920(3 + z
1 Y (z)) 120 (2 + 3 z1 + z2 Y (z))
Despues de multiplicar por z2 tenemos:
z2 Y (z) =z (2 z2 z + 3)
z 1 +(
5
4z2 3
20z
)+
(9
20z 1
20
)Y (z)
De donde:(z2 9
20z +
1
20
)Y (z) =
z (2 z2 z + 3)z 1 +
(5
4z2 3
20z
)As:
Y (z)
z=
(2 z2z+3)z1(
z2 920 z + 120) + (54 z 320)(
z2 920 z + 120)
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 7 (continuacion)
Factorizando denominadores:
Y (z)
z=
2 z2 z + 3(z 1) (z 15) (z 14) +
(54 z 320
)(z 15
) (z 14
)de donde:
y(n) =20
3+ 72
(1
5
)n 230
3
(1
4
)n2
(1
5
)n+
13
4
(1
4
)n=
20
3+ 70
(1
5
)n 881
12
(1
4
)nvalida para , n = 0, 1, 2, . . .
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Ejemplo 7 (continuacion)
y(n) =20
3+ 72
(1
5
)n 230
3
(1
4
)n2
(1
5
)n+
13
4
(1
4
)n=
20
3+ 70
(1
5
)n 881
12
(1
4
)nParticular Con entrada cero
Transitoria
Estado estable
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Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Referencias
Referencias
Captulo 10 de: D. Sundararajan: A practical approachto Signals
and Systems. 2008. John Wiley and
Sons.www.wiley.com/go/sundararajan
X-1(z)MFPEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Ejemplo
6Ejemplo 7Referencias