Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Análisis de Sistemas y Señales Transformada Inversa: Laplace Alumnos: Anzures Robles Jorge García Luciano Laura Quezada Borja Arnulfo Rojas Arteaga I. Karina Fecha de entrega: Abril-2008. Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería Análisis de Sistemas y Señales
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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Análisis de Sistemas y Señales
Transformada Inversa:
Laplace
Alumnos:
Anzures Robles Jorge García Luciano Laura Quezada Borja Arnulfo Rojas Arteaga I. Karina
Fecha de entrega: Abril-2008.
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Análisis de Sistemas y Señales
Transformada Inversa: Laplace
Análisis de Sistemas y Señales 2
Transformada 1.- [Ejercicio que se le asignó al equipo para exponer]
Sea X(s) la siguiente función: , calcular su transformada inversa
Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación.
… Dividiendo tenemos:
Sustituyendo nos queda la siguiente expresión:
X(s)=s-4+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:
Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado:
√= = √ √ , las raíces de esta ecuación son:
Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= . ,
Descomponiendo: v(s)= . ,
; calculando A y B para sustituirlos.
a) Si s=0.449 20(0.449)-12=A(0.449+4.449)
b) Si s=-4.449 20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449)
v(s)= ..
.,
, con esta expresión tenemos la expresión completa,
2.-Sea X(s) la siguiente función: , calcular su transformada inversa
Realizamos una división para obtener una ecuación que pueda solucionarse, ya que podemos ver que el grado de el denominador es mayor, se debe de simplificar a lo máximo para poder realizar la operación.
… Dividiendo tenemos:
Sustituyendo nos queda la siguiente expresión:
X(s)=s-4+ , para resolver necesitamos encontrar las raíces de la última expresión:
Resolviendo por la fórmula de resolución de ecuaciones de 2 grado:
√= = √ √ , las raíces de esta ecuación son:
Sustituyendo en la ecuación para resolverlas por fracciones parciales: v(s)= . ,
Descomponiendo: v(s)= . ,
; calculando A y B para sustituirlos.
a) Si s=0.449 20(0.449)-12=A(0.449+4.449)
b) Si s=-4.449 20(-4.449)-12=A(-4.449-0.449)
v(s)= ..
.,
, con esta expresión tenemos la expresión completa,
C1+C2+C3=0…(1) De (4) 3C1+C2+2C3+C4=3…(2) C1=1/2 y sustituyendo C1 en (1,2 y 3) 3C1+C2+2C4=4…(3) C2+C3=-1/2 2C1=1…(4) C2+2C3+C4=3/2 C2+2C4=5/2 Despejando C3 y C4 de (1) y (3)
C3=-1/2-C2…(5) 2C4=5/2-C2 C4=5/4-1/2C2…(6) Sustituyendo (5) y (6)
C2+2(-1/2-C2)+(5/4-1/2C2)=3/2
1 3 3 2 ‐2 ‐2 ‐2 ‐2 1 1 1 0
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10.- Sea la señal X(s)= 2s² + 12s + 20 Hallar su transformada inversa de Laplace:
Calculando las raíces de el denominador y vemos que contiene raíces complejas r1= 5/2 + √3/2 j r2 = 5/2 - √3/2 j ( s2 – r1) ( s + r2) y sustituyendo en la ecuación α = 5/2 β= √3/2 p= α + pj x(s) = c1 + c2 Calculando el valor de las constantes (S-r 1) (S- r 2) C1 = -3 / 2/√3 j + ½ C2 = C1
C2= (3 / 2/√3) j + ½ X(t) = 2 (C1) e2t cos (β + α c1) + c3 e β3t
tan-1 (ln C1/ R2 C1 ) cuando Re C1 > 0 } α C1
180º + tan -1 (ln C1/ R2 C1) cuando Re C1 < 0 α C1 = 180º + tan -1 ( -3 ( 2√3) / ½ ) = 120º
Entonces tenemos que la transformada inversa de esta función es:
x(t) = 2 e-2t cos (√3/2 t +120º)
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12.- Teniendo la ecuación x(s)= = Hallar su transformada inversa.
Factorizando 2 ² 5 2 este polinomio tenemos:
Agrupando ( +5) + (25² +2)
Sacado el factor común (S +2) (S² +1) Y desarrollado por fracciones:
= + ²
…..(1)
3 + 4 1 1 2
3 + 4 1 2 1 2
Calculando sus coeficientes:
3 ² 3 = A+B… (2)
4s = 2Bs + Cs 4 = 2B+C…. (3)
1 = A+2i…. (4) Despejando de 4; A = 1-2c… (4)
Substituyendo 4´ en 2 3 = 1-2c+B… (2´) Despejando B de 2´