Matem aticas Avanzadas para Ingenier acb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-transformada-z-inversa... · Matem aticas Avanzadas para Ingenier a Transformada Z Inversa: Ejemplos

Matematicas Avanzadas para IngenierıaTransformada Z Inversa: Ejemplos resueltos

1. Indique la transformada Z inversa para cada funcion de variables compleja de la siguiente lista.

a) zz+6

b) zz−1

c) 6 z6 z+1

d) 6 z6 z−1

e) zz5 (z−1)

Indique su transformada inversa dentro de la siguiente lista:

1) (−6)nu(n)

2) 6−n u(n)

3) n 3n u(n)

4) (−6)−n

u(n)

5) u(n− 5)

6) u(n)

7) δ(n) + δ(n− 4)

Solucion

Para a) tenemos:

Z −1{

z

z + 6

}= Z −1

{z

z − (−6)

}= (−6)

nu(n)

Para b) tenemos:

Z −1{

z

z − 1

}= (1)

nu(n) = u(n)

Para c) tenemos:

Z −1{

6 z6 z+1

}= Z −1

{6 z

6 (z+ 16 )

}= Z −1

{z

z+ 16

}=(− 1

6

)nu(n) = (−6)

−nu(n)

Para e) tenemos:

Z −1{

6 z6 z−1

}= Z −1

{6 z

6 (z− 16 )

}= Z −1

{z

z− 16

}=(16

)nu(n) = 6−n u(n)

Para d) tenemos:

Z −1{

zz5 (z−1)

}= Z −1

{z−5 · z

z−1

}= Z −1

{z

z−1

}n=n−5

= u(n− 5)

2. Determine la transformada Z inversa x(n) de:

X(z) =4 z2(

z − 14

) (z − 1

2

)De sus primeros 4 valores iniciando en 0.

Solucion

Apliquemos fracciones parciales a Z(x)/z:

X(z) =4 z2(

z − 14

) (z − 1

2

) = z ·(

16

2 z − 1− 16

4 z − 1

)=

16 z

2 z − 1− 16 z

4 z − 1

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 2

Por tanto

x(n) = Z −1{

16 z2 z−1 −

16 z4 z−1

}= 16

2 ·Z−1{

zz− 1

2

}− 16

4 ·Z−1{

zz− 1

4

}=(8(12

)n − 4(14

)n) · u(n)

3. Determine la transformada Z inversa x(n) de:

X(z) =z

3 z2 − 6 z + 3

De los primeros 4 valores iniciando en 0.

Solucion

Al intentar aplicar fracciones parciales sobre X(z)/z en la TI obtenemos:

z

3 z2 − 6 z + 3= z · 1

3 (z2 − 2 z + 1)

esto se debe a que el denominador es un binomio al cuadrado:

z

3 z2 − 6 z + 3=

1

3z · 1

(z − 1)2

Por ello es que debemos buscar otros caminos. La clave de este problema esta en las formulas siguientes:

Z {an u(n)} =z

z − ay Z {nx(n)u(n)} = −z · d

dzZ {x(n)u(n)}

De ellas deducimos la formula

Z {nan u(n)} =a z

(z − a)2

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 3

Si ahora regresamos a nuestro problema:

Z −1 {X(z)} = Z −1{

13

z(z−1)2

}= 1

3 ·F−1{

z(z−1)2

}= 1

3 · n · 1n · u(n) = 1

3 n · u(n)

4. Determine la transformada Z inversa x(n) de:

X(z) =3 z + z2

z2 − 2 z + 2

De los primeros 4 valores iniciando en 0.

Solucion

Al aplicar fracciones parciales a X(z)/z en la TI obtenemos la misma expresion. Y al revisar las raıces del denominador

vemos que son complejas. Estas raıces las salvaremos en las variables v1 y v2 y cambiaremos el denominador de la expresion

original para buscar fracciones parciales con ellas.

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 4

Agrupando el resultado obtenemos:

X(z) = z ·((

r2+3r1−r2 + 1

)· 1z−r1 −

r2+3r1−r2 ·

1z−r2

)=

(r2+3r1−r2 + 1

)· zz−r1 −

r2+3r1−r2 ·

zz−r2

Por tanto

x(n) =

(1

2− 1

2i

)(1 + i)

nu(n)−

(−1

2− 1

2i

)(1− i)

nu(n)

Simplificando:

x(n) =

(1

2(1− i) (1 + i)n +

1

2(1 + i) (1− i)n

)u(n)

O bien

x(n) =

(1

2(1− i) (1 + i) (1 + i)n−1 +

1

2(1 + i) (1− i) (1− i)n−1

)u(n)

y observando que (1− i) (1 + i) = 2 tenemos que:

x(n) =((1 + i)n−1 + (1− i)n−1

)u(n)

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 5

5. Determine la transformada Z inversa x(n) de:

X(z) =−3 z2

z2 − 9

De los primeros 4 valores iniciando en 0.

Solucion

Aplicamos fracciones parciales a X(z)z :

−3 z2

z2 − 9= z ·

(−3 z

z2 − 9

)= z ·

(−3

2· 1

z + 3− 3

2· 1

z − 3

)= −3

2· z

z + 3− 3

2· z

z − 3

Por lo tanto y usando linealidad:

Z −1 {X(z)} = Z −1{− 3

2 ·z

z+3 −32 ·

zz−3

}= − 3

2 ·Z−1{

zz+3

}− 3

2 ·Z−1{

zz−3

}Por lo tanto

x(n) = Z −1 {X(z)} = −3

2· (−3)

nu(n)− 3

2· 3n u(n)

6. Determine la transformada Z inversa x(n) de:

X(z) =−2 z

z2 − 9 z + 9

De los primeros 4 valores iniciando en 0.

Solucion

Este es un problema ilustrativo para hacerlo en la calculadora. Si intentamos aplicar fracciones parciales a X(z)/z en la TI

obtenemos la misma expresion:

El algoritmo se basa en la factorizacion en base a polinomios con coeficientes racionales. Que no haya obtenido una expresion

nueva puede significar dos cosas: que el denominador es un binomio al cuadrado o bien que las raıces son irracionales o

complejas. Para probar busquemos las raıces complejas del denominador:

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 6

Observamos que en nuestro caso las raıces son irracionales. Para seguir en el ambiente de la calculadora, imaginemos que

la primera de ella es r1 y la segunda r2; bajo este supuesto y debido a que el coeficiente de z2 en del denominador es 1,

podemos pensar que la expresion original es

X(z) =−2 z

(z − r1) (z − r2)

Si aplicamos fracciones parciales a X(z)/z obtenemos:

X(z) = z ·(

2

r1 − r2· 1

z − r2− 2

r1 − r2· 1

z − r1

)=

2

r1 − r2· z

z − r2− 2

r1 − r2· z

z − r1

Por tanto

x(n) = Z −1 {X(z)} = Z −1{

2r1−r2 ·

zz−r2 −

2r1−r2 ·

zz−r1

}= 2

r1−r2 ·Z−1{

zz−r2

}− 2

r1−r2 ·Z−1{

zz−r1

}Y ası:

x(n) =2

r1 − r2· (r2)

nu(n)− 2

r1 − r2· (r1)

nu(n)

Si asumimos los valores de r1 y r2 para hacer los siguientes calculos (observe que r1 y r2 son palabras reservadas en la

calculadora!):

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 7

7. Determine la transformada Z inversa x(n) de:

X(z) =−10 z + 21 z2

−1 + 8 z − 21 z2 + 18 z3

De los primeros 4 valores iniciando en 0.

Solucion

Aplicando fracciones parciales a X(z)/z tenemos:

X(z) = z ·(− 3

3 z − 1+

9

(3 z − 1)2+

2

2 z − 1

)

De donde (si hacemos que los coeficientes de z en los denominadores sean 1 factorizando la constante y simplificando):

X(z) = − z

z − 13

+z(

z − 13

)2 +z

z − 12

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 8

Aquı debemos recordar la formula:

Z {nan u(n)} =a z

(z − a)2

obtenemos que:x(n) = −

(13

)nu(n) + 3n

(13

)nu(n) +

(12

)nu(n)

= (3 · n− 1) ·(13

)nu(n) +

(12

)nu(n)

8. Determine la transformada Z inversa x(n) de:

X(z) =−4 z + 20 z2

−z2 + 4 z3

De los primeros 4 valores iniciando en 0.

Solucion

Aplicando fracciones parciales a X(z)/z obtenemos:

X(z) = z ·(

16

4 z − 1− 4

z+

4

z2

)= 4 · z

z − 14

− 4 · 1 + 4 z−1

De donde:

x(n) = 4

(1

4

)n

u(n)− 4 δ(n) + 4 δ(n− 1)

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 9

9. Determine la transformada Z inversa x(n) de:

X(z) =6 z

23− 10 z + z2

De los primeros 4 valores iniciando en 0.

Solucion

Como las raıces del denominador de X(z) no son enteras (son r1 = 5 +√

2 y r2 = 5−√

2), manejemoslas en forma simbolica

para hacer el desarrollo en fracciones parciales a X(z)/z:

X(z) = z · X(z)

z= z ·

(6

r1 − r2· 1

z − r1− 6

r1 − r2· 1

z − r2

)Por lo tanto,

Z −1 {X(z)} = Z −1{z ·(

6r1−r2 ·

1z−r1 −

6r1−r2 ·

1z−r2

)}= Z −1

{6

r1−r2 ·z

z−r1 −6

r1−r2 ·z

z−r2

}= 6

r1−r2 ·Z−1{

zz−r1

}− 6

r1−r2 ·Z−1{

zz−r2

}= 6

r1−r2 · rn1 · u(n)− 6

r1−r2 · rn2 · u(n)

= 3·√2

2 ·((5 +

√2)n − (5−

√2)n)· u(n)

10. Resuelva la ecuacion en diferencias:

y(n) = x(n) +1

4y(n− 1)

si y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1)n y

(1/4)n.

Solucion

Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:

Z {y(n)} = Z

{x(n) +

1

4y(n− 1)

}Por la propiedad de linealidad:

Z {y(n)} = Z {x(n)}+1

4Z {y(n− 1)}

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 10

Por la propiedad de adelantamiento de senales:

Z {x(n− 1)} = z−1 Z {x(n)}+ x(−1)

Z {x(n− 2)} = z−2 Z {x(n)}+ z−1 · x(−1) + x(−2)

Z {x(n− 2)} = z−3 Z {x(n)}+ z−2 · x(−1) + z−1 · x(−2) + ·x(−3)...

Al aplicarla a Z {y(n− 1)} nos queda:

Z {y(n)} = Z {x(n)}+1

4·(z−1 Z {y(n)}+ y(−1)

)Si pasamos los terminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda:(

1− 1

4z−1)

Z {y(n)} = Z {x(n)}+1

4y(−1)

Por lo tanto

Z {y(n)} =

(1

1− 14 z−1

)·(

Z {x(n)}+1

4y(−1)

)Como los datos son: y(−1) = 3 y x(n) = (−1)n u(n); la expresion queda:

Z {y(n)} =

(1

1− 14 z−1

)·(

z

z − (−1)+

3

4

)Y haciendo algebra y fracciones parciales nos queda:

Z {y(n)} =z (7 z + 3)

(z + 1) (4 z − 1)= z ·

(19

5 (4 z − 1)+

4

5 (z + 1)

)Por tanto, la solucion para y(n) nos queda:

y(n) = Z −1 {Y (z)} = 195·4 Z −1

{z

z− 14

}+ 4

5 Z −1{

zz+1

}= 19

20

(14

)nu(n) + 4

5 (−1)n u(n)

En la ultima imagen del siguiente grupo de cuatro, se comprueba que la solucion encontrada al menos satisface los primeros

valores.

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 11

11. Resuelva la ecuacion en diferencias:

y(n) = x(n) +1

5y(n− 1)

si y(−1) = 4 y x(n) = (−1/5)n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen (−1/5)n

y (1/5)n.

Solucion

Si aplicamos la transformada Z en ambos miembros obtenemos:

Z {y(n)} = Z

{x(n) +

1

4y(n− 1)

}Por la propiedad de linealidad:

Z {y(n)} = Z {x(n)}+1

5Z {y(n− 1)}

Por la propiedad de adelantamiento de senales a Z {y(n− 1)} nos queda:

Z {y(n)} = Z {x(n)}+1

5·(z−1 Z {y(n)}+ y(−1)

)Si pasamos los terminos con Z {y(n)} y los factorizamos queda:(

1− 1

5z−1)

Z {y(n)} = Z {x(n)}+1

5y(−1)

Por lo tanto

Z {y(n)} =

(1

1− 15 z−1

)·(

Z {x(n)}+1

5y(−1)

)Como los datos son: y(−1) = 5 y x(n) = (−1/5)n u(n); la expresion queda:

Z {y(n)} =

(1

1− 15 z−1

)·(

z

z + 15

+4

5

)Y haciendo algebra y fracciones parciales nos queda:

Z {y(n)} =z (45 z + 4)

(5 z − 1) (5 z + 1)= z ·

(5

2 (5 z + 1)+

13

2 (5 z − 1)

)Por tanto, la solucion para y(n) nos queda:

y(n) = Z −1 {Y (z)} = 52·5 Z −1

{z

z+ 15

}+ 13

2·5 Z −1{

zz− 1

5

}= 1

2

(− 1

5

)nu(n) + 13

10

(15

)nu(n)

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 12

12. Resuelva la ecuacion en diferencias:

y(n+ 1) = x(n) + 3 y(n)

si y(0) = 3 y x(n) = 3n u(n). Determine la forma cerrada de y(n) e indique los coeficientes que en ella tienen 3n · u(n) y

n · 3n · u(n).

Solucion

Si suponemos que la senal y(n) es cero para n < 0, podemos pensar que y(n) = y(n) · u(n), y ası Z {y(n+ 1)} = z ·Z {y(n)} − z · y(0). Entonces al aplicar la transformada Z a la ecuacion de recurrencia tenemos:

Z {y(n+ 1)} = Z {x(n) + 3 y(n)}

Ası:

z ·Z {y(n)} − z · y(0) = Z {x(n)}+ 3 ·Z {y(n)}

De donde

z ·Z {y(n)} − 3 ·Z {y(n)} = Z {3n u(n)}+ 3 · z =z

z − 3+ 3 · z

Ma3002, Transformada Z Inversa: Ejemplos resueltos 13

Por lo tanto

Z {y(n)} =z

z−3 + 3 · zz − 3

=z

(z − 3)2+ 3 · z

z − 3

Y ası

y(n) = Z −1 {Z {y(n)}} = Z −1{

z

(z − 3)2+ 3 · z

z − 3

}Como

Z {n · an · u(n)} =a · z

(z − a)2y Z {an · u(n)} =

z

z − a

Ası

Z −1{

z

(z − 3)2

}= Z −1

{1

3· 3 · z

(z − 3)2

}=

1

3·Z −1

{3 · z

(z − 3)2

}=

1

3· n · 3n · u(n)

y por tantoy(n) = 1

3 · n · 3n · u(n) + 3 · 3n · u(n)

= 3 · 3n · u(n) + 13 · n · 3

n · u(n)

=(3 + 1

3 · n)· 3n · u(n)

De acuerdo a lo solicitado, en la forma cerrada de y(n) el coeficiente de 3n · u(n) es 3, mientras que el coeficiente de

n · 3n · u(n) es 1/3.