Transformada de Laplace02

8/18/2019 Transformada de Laplace02

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SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONESDIFERENCIALES POR EL MÉTODO DE LAPLACE

Consideremos el siguiente sistemas de ecuaciones diferenciales:

)01()(

)(

2221

1211

t g ya xadt

dy

t f ya xadt

dx

++=

++=

Con condiciones iniciales x(0) =x0 ; y(0) =y0 , dondex, y son las funciones incógnitas, a

11; a

12; a

21; a

22 son

constantes y f(t), g(t) son funciones conocidastomando la transformada de laplace a ambas

ecuaciones diferenciales del sistema (1)


2/29

• !ediante las propiedades de la transformada se tiene:

{ }

{ })(

)(

2221

1211

t g ya xa Ldt

dy L

t f ya xa Ldt

dx L

++=

++=

{ } { } { } { }{ } { } { } { })()0()()0(

2221

1211

t g L y La x La y y sLt f L y La x La x x sL

++=− ++=−


3/29

• "grupando t#rminos se tiene:

( ) { } { } { }{ } ( ) { } { } )02()()0(

)()0(

2221

1211

t g L y y La s x Lat f L x y La x La s

+=−+−+=−−

{ })(0

t f L xSi +

{ })(0 t g L y y +no son ambos cero, entonces se pueereso!"er e! s#stema $%&, me#ante !a

re'!a e C$"!%$, es ec#r(


4/29

{ }

{ }

{ } { }( )( ) { }( )

( )( )

{ }( )( ) { }( )

( ) ( ) 21122211012220

22

12

22

11

21122211

012220

2221

1211

220

120

)()()()()(

)(

22

aaa sa s

t g L yaa st f L x

a s

a

a s

a

aaa sa s

t g L yaa st f L x

aa

aa s

a st g L y

at f L x

xL−−−

++−+=

−

−

−

−

−−−

++−+=

−

−−

−+

−+

=

{ }( )( ) { }( )( )( )

−−−++−+= −21122211

0122201 )()(aaa sa s

t g L yaa st f L x L x


5/29

{ }

21

11

21

11

a

a s

a

a s

y L

−

−

−

−

=

{ }

{ } ( ) { }( ) { }( )( ) ( ) 21122211

021011

22

12

0

0

)()()(

)(

aaa sa s

t f L xat g L ya s

a s

a

t g L y

t f L x

−−−

++++−=

−

−

+

+

( ) { }( ) { }( )

( ) ( )

−−−

++++−= −

21122211

0210111 )()(

aaa sa s

t f L xat g L ya s L y


6/29

• &or lo tanto es e'idente ue latransformada de aplace, nospermite con'ertir un sistema deecuaciones diferenciales concondiciones iniciales dadas en un

sistema de ecuaciones simult*neas%ste m#todo puede generali+arse asistemas de n- ecuaciones

diferenciales de primer orden decoe.cientes, dado entonces unsistema correspondiente a n-

ecuaciones lineales simultaneas


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%/emplos

)2.....(....................044

)1....(....................0410

212

2

2

2121

2

=+−

=−+

x x

dt

xd

x xdt xd

$esol'iendo el sistema por el m#todo de aplace,tomamos la trasformada de aplace a cada ecuación:

)4.....(....................044

)3....(....................0410

212

2

2

2121

2

=

+−

=

−+

x x

dt

xd L

x xdt

xd L

)* $+& +- )% $+& +-

)*.$+& *-

)%.$+& /*


8/29

{ } { } { }

{ } { } { } )4....(....................044)0(')0(

)3....(....................0410)0(')0(

212222

21111

2

=+−−−

=−+−−

x L x L x sx x L s

x L x L x sx x L s

{ } { } { }{ } { } { } )4....(....................044)0(')0(

)3....(....................0410)0(')0(

21222

2

21111

2

=+−−−

=−+−−

x L x L x sx x L s

x L x L x sx x L s

( ) { } { }( ) { } { }

( ) { } { } )5....(..........1410

)5..(..............................1410

)0(')0(410

212

21

2

1121

2

=−+

=−+

+=−+

x x L s

x L x L s

x sx x L x L s


9/29

{ } { } { }{ } { } { } )4....(....................044)0(')0(

)3....(....................0410)0(')0(

21222

2

21111

2

=+−−−

=−+−−

x L x L x sx x L s

x L x L x sx x L s

{ } ( ) { }

{ } ( ) { }

( ) { } { } )5....(..........1410

)6.......(....................144

)0(')0(44

21

2

22

1

222

2

1

=−+

−=++−

+=++−

x x L s

x L s x L

x sx x L s x L

( ) { } { }( ) { } { }

( ) { } { } )5....(..........1410

)5..(..............................1410

)0(')0(410

21

2

21

2

1121

2

=−+

=−+

+=−+

x x L s

x L x L s

x sx x L x L s

inalmente el sistema uedara como semuestra:

( ) { } { }( ) { } { }

( ) { } { } )5....(..........1410

)5..(..............................1410

)0(')0(410

21

2

21

2

1121

2

=−+

=−+

+=−+

x x L s

x L x L s

x sx x L x L s

{ } ( ) { }{ } ( ) { }

( ) { } { } )5....(..........1410

)6.......(....................144

)0(')0(44

21

2

2

2

1

222

2

1

=−+

−=++−

+=++−

x x L s

x L s x L

x sx x L s x L


10/29

"plicando la regla de cramer se tiene:

{ }

4

10

1

1

21

−+

−= s

x L( )( )122

4

4

4

4

22

2

2

2

++=

+

−+

−

s s

s

s

s

( )( ))212()212()()(

122122

232

2222

2

D B sC A s Db sC A s

s

DCs

s

B As

s s

s

+++++++=

+

++

+

+=

++

" = 0; C = 0; = 134; 5 = 634


11/29

( )( )

{ }

t sent sen s

L s

Lt x

s s

Lt x

s s

x L

s s s s

s

325

32

10

2

12

1

5

6

2

1

5

1)(

12

1

5

6

2

1

5

1)(

12

1

5

6

2

1

5

1

12

1

5

6

2

1

5

1

122

2

1

2

1

1

22

1

1221

2222

2

+−=

++

+−=

++

+−=⇒

++

+−=

++

+−=

++

−−

−


12/29

• &ara x2

{ }( )( )122

6

44

410

14

110

22

2

2

2

2

2++

+−=

+−

−+

−−

+

= s s

s

s

s

s

x L

( )( ))212()(6

122122

6

32

2222

2

B A s B A s

s

B

s

A

s s

s

−−+−−=+

+−

+−=

++

+

" = 234; = 734


13/29

( )( )

{ }

t sent sen s

L s

Lt x

s s Lt x

s s x L

s s s s

s

3210

32

5

2

12

1

5

3

2

1

5

2)(

12

1

5

3

2

1

5

2)(

12

1

5

3

2

1

5

2

12

1

5

3

2

1

5

2

122

6

2

1

2

1

2

22

1

2222

2222

2

+=

++

+=

+

+

+

=⇒

+

+

+

=

++

+=+++

−−

−


14/29

t sent sent x 325

32

10

2)(1 +−=

t sent sent x 321032

52)(2 +=


15/29

APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

• $esortes "coplados: Supon'amos0ue os masas m* 1 m% est2nsu3etas a os resortes A 1 4, emasa #ns#'n#5cante, cu1ascomponentes son 6 * 1 6 % ,respect#"amente7 A su "e8 os

resortes est2n conectaas comose muestra en en la .gura:


16/29

6 *

)*

)%

9 %

m*

m%

)*0

)%0

A

4


17/29

• 8ean x1(t) y x2(t) los despla+amientos 'erticales

de las masas con respecto a sus posiciones de

euilibrio cuando el sistema se encuentra enmo'imiento, el resorte esta su/eto tanto a unalargamiento como a un acortamiento; porconsiguiente; su alargamiento neto es x2 9 x1

•

8egn la ley de :oo6e(• 5onde: =


18/29

• 8i no se aplica ninguna fuer+a externa al sistema yno >ay fuer+a de amortiguamiento, entonces la

fuer+a neta sobre m1 es:• F F* ;F%

( )↓−= 111 xk F

( ) ( )↑−= 1222 x xk F

)( 12211 x xk xk F −+−=%ntonces por la segunda ley de ne?ton tenemosue:


19/29

&or la segunda ley de ne?tontenemos

am F ×=

2

1

2

112211 )(dt

xd m x xk xk =−+−

5e igual modo la fuer+a neta e/ercida sobre la masam

2 se debe solamente al alargamiento neto de , es

decir:

( ) ( )↓−−= 1222

x xk F


20/29

( ) 2

2

2

2122

dt

xd m x xk =−−

)01()(

)(

12222

2

2

1221121

2

1

x xk dt

xd m

x xk xk dt

xd m

−−=

−+=


21/29

• Como las masas parte de su posición deeuilibrio entonces x1 (0)= 0; x2 (0)= 0; y

como sus 'elocidades son unitarias yopuestas entonces x1@(0)= 1; x2@(0)= 1; a>ora

rempla+amos en el sistema (1), tenemos:

&$A%!" $esol'er el sistema (01)

suponiendo ue 1 = 6; 2 = B; m1 = 1; m2 =1; y ue las masas parten de sus posicionesde euilibrio con 'elocidades unitarias dedirecciones opuestas


22/29

• 8olucionar el sistema de ecuaciones

1005580

1

10055100

1

32

3

322

=++

=++

iidt

di

iidt

di

{ }

{ }1005580

1

10055100

1

323

322

Liidt

di L

Liidt

di L

=

++

=

++


23/29

{ } { } { }

{ } { } { } )2...(.....................10055)0(801

)1...(.....................100

55)0(100

1

3233

3222

si Li Lii sL

si Li Lii sL

=++−

=++−

{ } { }

{ } { } )4...(.....................10058015

)3...(.....................100

55100

1

32

32

si L si L

si Li L s

= ++

=+

+


24/29

{ }

5

5100

1

100

100

2

+

= s

s

s

i L ( ) s s s

s

9004

40000

580

1

5

580

1

5

2 +=

+

+

( ) ( ))4()900(40000

90049004

400002

s s A

s

B

s

A

s s

++=

++=

+

" = B003; = 1003


25/29

( ) ( )9001

9

100

4

1

9

400

9004

400002 +

−=+ s s s s

{ }( )

( )

)5.......(..........9

100

9

100

900

1

9

1001

9

100

900

1

9

100

4

1

9

400

900

2

11

2

2

t ei

s L

s Li

s s

i L

−

−−

−=

+−

=

+−=


26/29

&ara i7

( )900

8000

5805

55100

1005

1005

100

}{ 3 +=

+

+

+

= s s

s

s

s

s

s

i L


27/29

( ) ( ))()900(8000

900900

8000

Bs s A

s

B

s

A

s s

++=

++=

+

" = D03; = D03

( ) ( ){ }

( )( )

t ei

s L

s Li

s s

i L

s s s s

900

3

11

3

3

9

80

9

80

900

1

9

801

9

80

900

1

9

801

9

80

900

1

9

801

9

80

900

8000

−

−−

−=

+−

=

+

−=

+−=

+


28/29


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