Transformada Z Transparenciasdsp1.materia.unsl.edu.ar/Transformada Z Transparencias.pdf · 2013. 4. 26. · Transformada Z Transformada Antitransformada { }[ ] +∞ [ ] − =−∞

Transformada Z

Transformada Z

{ }∞−

−∞= = ∫1 ( ) ( ) ( ) tsTL X s x t X s e ds

Transformada Antitransformada

{ }∞ −

−∞= = ∫( ) ( ) ( ) stTL x t X s x t e dt

Transformada de Laplace

Transformada Z

Transformada Antitransformada

[ ]{ } [ ]+∞

−

=−∞

= = ∑( ) n

n

TZ x n X z x n z { } [ ]π

− −= = ∫�1 11( ) ( )

2

n

CTZ X z x n X z z dz

j

( ) [ ]∞

−

=−∞

∈ ⇔ = < ∞∑ n

n

z ROC X z x n z

Región de convergencia

Transformada Z

Función polinómica

( ) ( ) ( )

10 11

0 1

1

1

0

...( )

( ) .

...

..

MMM Mk M

k MM

MM

k

k

k

MM

b z b z bH z b z b b z

H z z z c z c

z

z c

b z

z−

−

−

=

− − −

=

+ + += = + + +

− −

=

= − =

∑

∏

Transformada ZPolos y ceros

Función polinómica racional

Transformada ZPolos y ceros

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

10 10

1

10 1

10 1

10 0 1

0 1 0

1

1 110

10 1

0 1

0

...( )

.

...

... ..

...( )

...

1 ... 1( )

1 ..

Mk

k MMk

N NNk

k

N MM M

M NN N

M

kM

N M N M k

N

M

k

Nk

k

z b z b z b

z a z a z a

z cz c z cb b

H z z z

b zb b z b z

H

a z p z p az p

c z c zbH z

a p z

za a z a z

a z

−−

−

−

− − =

=

−=

− −

=

−

−

−

−

+ + +=

+ + +

−− −

=

+ + += =

+ +

=− −

−

− −=

−

+

∏

∏

∑

∑

( )( )

( )

1

0 1

10 1

1

1

. 11

M

k

k

NN

k

k

c zb

ap zp z

−

=−

−

=

−=

− −

∏

∏

Función polinómica racional

Transformada ZPolos y ceros

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

1 10 1 0 10

1 10 1 0 1

10 0 1

0 1 0

1

1 110

10 1

0

... ...( )

... ..

...( )

...

1 ... 1(

.

)1 ..

M

kM

N M N M k

NN

Mk

k M N MM M Mk

N N M NN

k

k

M

N Nkk

k

z cz c z cb

b zb b z b z z b z b z b

H za a z a z z a z

bH z z z

a z p

a z a

z p az p

c z c zbz

a p z

a

H

z

− − =

−− −

−=− −

−

=

− −

−

−

=

+ + + + + += = =

+ + + + + +

−− −

= =− −

−

− −=

−

∏

∏

∑

∑

( )( )

( )

1

0 1

10 1

1

1

. 11

M

k

k

NN

k

k

c zb

ap zp z

−

=−

−

=

−=

− −

∏

∏

Función polinómica racional

Transformada ZPolos y ceros

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

1 10 1 0 10

1 10 1 0 1

1 110

0

10 0 1

0 1 0

1

10 1

... ...( )

... ...

.

1 ... 1( )

..( )

.

1 .

..

.

Mk

k M N MM M Mk

N N M NN N Nk

k

k

M

kM

N M N M k

NN

k

k

M

b zb b z b z z b z b z b

H za a z a z z a z a z a

a z

z cz c z cb b

H z z za z p z p a

z

c z c zH z

a p

p

b

z

−− −

−=− −

−−

=

−

− −

−

−

=

=

+ + + + + += = =

+ + + + + +

− −=

−

−− −

= =− −

−

∑

∑

∏

∏

( )( )

( )

1

0 1

10 1

1

1

. 11

M

k

k

NN

k

k

c zb

ap zp z

−

=−

−

=

−=

− −

∏

∏

Función polinómica racional

Transformada ZPolos y ceros

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

1 10 1 0 10

1 10 1 0 1

0

10 0 1

0 1 0

1

1 110

10 1

... ...( )

... ...

...( )

...

1 ... 1( )

1 ..

Mk

k M N MM M Mk

N N M NN N Nk

k

k

M

kM

N M N M k

NN

k

k

M

b zb b z b z z b z b z b

H za a z a z z a z a z a

a z

z cz c z cb b

H z z za z p z p a

z p

c z c zbH z

a p z

−− −

−=− −

−−

=

− − =

=

− −

−

+ + + + + += = =

+ + + + + +

−− −

= =− −

−

− −=

−

∑

∑

∏

∏

( )( )

( )

1

0 1

10 1

1

1

. 11

M

k

k

NN

k

k

c zb

ap zp z

−

=−

−

=

−=

− −

∏

∏

( )

( )→

→

= ∞

=

lim

lim 0

k

k

z p

z z

H z

H z

Transformada ZPolos y ceros

Función racional

Número de polos = número de ceros

Polos y ceros triviales: Ubicados en z=0 ó z=∞

Número de ceros no triviales: M

Número de polos no triviales: N

Transformada ZPolos y ceros

[ ]δ n

[ ]u n−− 1

1

1 z

>1z

[ ]na u n −− 1

1

1 az

>z a

[ ] [ ]ωcos n u nω

ω

−

− −

−− +

1

1 2

1 cos

1 2 cos

z

z z

>1z

[ ] [ ]ωsen n u nωω

−

− −− +

1

1 2

sen

1 2 cos

z

z z

>1z

[ ] [ ]ωcosna n u n

ωω

−

− −

−− +

1

1 2 2

1 cos

1 2 cos

az

az a z

>z a

[ ] [ ]ωna sen n u n

ωω

−

− −− +

1

1 2 2

sen

1 2 cos

az

az a z

>z a

Antitransformada Transformada ROC

1 Z

Transformada ZTabla de pares de funciones y transformadas

Propiedades

[ ] [ ]+ ↔ + = ∩1 1 2 2 1 1 2 2 1 2( ) ( ) ;TZ

c x n c x n c X z c X z ROC ROC ROC

Linealidad

Convolución

[ ] [ ]∗ ↔ = ∩1 2 1 2 1 2( ) ( ) ;TZ

x n x n X z X z ROC ROC ROC

Transformada Z

Desplazamiento Temporal

[ ] −− ↔ = ∨ ⊄ ∨ ⊄ ∞( ) ; 0TZ

kx n k z X z ROC ROC ROC

[ ] ( )−− ↔ < <1

sup inf

1 1; : ;

TZ

x n X z ROC zr r

Reflexión Temporal

Propiedades

Transformada Z

Escalado en el Dominio Z

Diferenciación en el Dominio Z

[ ] ↔ < <

inf sup; :

TZn z

a x n X ROC a r z a ra

[ ] ∂↔− = ∨ ⊄ ∨ ⊄ ∞

∂( )

; 0TZ X z

nx n z ROC ROC ROCz

Propiedades

Transformada Z

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

− ∞ ∞

= = =

= = + + + <−

= + + = − = <− −

= <−

<=

−

<−= − =

−

∑

∑

∑

∑

∑ ∑ ∑

⋮

⋮

2

0

2

1

2

2

1

0 0

11 ... 1

1

1... 1 1

1 1

11

1

1

11

1

n

n

n

n

n

n

Nn

n N

NNn n n

n n n N

a a a si aa

aa a a si a

a a

aa si a

a

si aaa

a

si aaa a a

a

Transformada ZSerie Geométrica

Antitransformada Z

Cálculo directo

Integración en contorno C en sentido antihorario

ROC ⊂ C y z=0

ROC ⊂ zi simples

C

Im {Z}

Re {Z}

Transformada Z

Antitransformada Z

Expansión en Serie de Potencias

División de polinomios en orden creciente o decreciente

Por inspección se determina la antitransformada

1 10 1 1 00

1 10 1 1 0

0

... ...( )

... ...

Mk

k M MM Mk

N N NN Nk

k

k

b zb b z b z b z b z b

H za a z a z a z a z a

a z

−− − − −

=− − − −

−

=

+ + + + + += = =

+ + + + + +

∑

∑

Transformada Z

Expansión en Series de z-k

División de polinomios en orden decreciente

<: ksi ROC p z

− − − − −

− − − −

− − −

− − −

+ + + + + + +−

+ + + + + + +

+ + + +−

+ + + + +

⋮

1 1 20 0 1 21

1 10 1 0 1

1

1

1

1

... ...

... ... ...

... ...

... ... .....

M NM N

M NM N

M NM N

M NM N

b b z b z a a z a z a z

b d z d z d z c c z

e z e z e z

e z f z f z

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en Series de z-k

Por inspección se determina la antitransformada

{ }

10 1 1 2

0 1 210 1

1

0 1 0 1 2

...( ) ...

...

( ) ... ; ; ;...; ;...

MM

NN

Z

k

b b z b zH z c c z c z

a a z a z

H z c c z c c c c h n

− −− −

− −

−

↑

+ + += = + + +

+ + +

= + + ↔ =

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en Series de z+k

División de polinomios en orden creciente

− − − −

− − + − − +− + − + −

− +− +

− +− +

+ + + + + +−

+ + + + + +

+ + + +−

+ + + + +

⋮

2 10 2 1 0

10

1

0

0

... ...

... ... ...

... ...

... ... .....

M NM N

M M N N M N MM M N M N M N

M N

M N

M N

M N

b z b a z a z a z a

b z d d z c z c z

e e z

f f z

<: ksi ROC z p

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en Series de z+k

Por inspección se determina la antitransformada

{ }

− −− − +

− + − + −− −

− − + − + − + − − ↑

+ + += = + + + +

+ + +

= + + ↔ =

11 0 1

1 111 0

1

1 1

...( ) ... ...

...

( ) ... ...; ; ;...;0

MM N M N M

M N M N M NNN

ZN M N M

M N M N M N M N

b z b z bH z c z c z c

a z a z a

H z c z c z c c h n

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en Serie de Potencias

Una función H(v) puede expresarse como serie de potencias

∞

=

=−

∑( )

0 0

0

( )( )( )

!

n n

n

H v v

n

vH v

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en Serie de Potencias

Una función H(v) puede expresarse como serie de potencias

∞

=

−

− −+ − +

=

+ += +

∑( )

0 0

0

0 0 0 00 0 0

'' 2 ( )'

( )

( )(

( )( )

) ( )( )( ) ( )( ) ... ...

2 !

!

n n

n

k k

H v vH v

n

v v v vv v v

v

H v H vH H v

k

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en Serie de Potencias

Una función H(v) puede expresarse como serie de potencias

Para eso se calculan las derivadas y se evaluan en v=v0

⇒

⇒

⇒

⋮

0

' '

'' '

0

'

0

( )

( ) ( )

( )

)

)

(

(

H

H H

H H

H v v

v v

v v

∞

=

−

− −+ − +

=

+ += +

∑( )

0 0

0

0 0 0 00 0 0

'' 2 ( )'

( )

( )(

( )( )

) ( )( )( ) ( )( ) ... ...

2 !

!

n n

n

k k

H v vH v

n

v v v vv v v

v

H v H vH H v

k

Antitransformada Z

Transformada Z

Serie de Potencias

Si v0=0

Si v=z-1

∞

=

+ + + += = +∑( '' 2 ))

0

('(0) 0 0

( ) 0 0( ) ( ) ( )

( ) ( ) .. ...2 !!

.kn kn

n

v H v H vH H

k

HH v v

n

( )( ) '' 2' 1

0

( ) '' ( )'

0

(0) (0) (0)( ) (0) (0) ... ...

! 2 !

(0) (0) (0)( ) (0); (0); ;...; ;...

! 2 !

kn n k

n

n n kZ

n

H z H z H zH z H H z

n n

H z H HH z H H h n

n k

− − −∞−

=

−∞

↑=

= = + + + + +

= ↔ =

∑

∑

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en fracciones simples

Grados de los polinomios: °N(z)=M y °D(z)=N

Si M≥N → división previa para reducir el grado

Si M<N y no ∃ zi de orden s≠1 → cálculo directo

Si M<N y ∃ zi de orden s≠1 → cálculo separado

−− −

=− −

−

=

+ + += =

+ + +

∑

∑

10 10

10 1

0

...( )

...

Mk

k MMk

N NNk

k

k

b zb b z b z

H za a z a z

a z

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en fracciones simples

Si M≥N → división previa para reducir el grado

donde °R(z)<°D(z)

10 1 1

0 110 1

... ( ) ( )( ) ...

... ( ) ( )

MM M N

M NNN

b b z b z N z R zH z c c z c z

a a z a z D z D z

− −− − −

−− −

+ + += = = + + + +

+ + +

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en fracciones simples

Si M<N y no ∃ zi de orden s≠1 → cálculo directo

[ ][ ]

11

1

( )1

:

1 1 :

Mk

kk

nTZ k k kk

nk k k k

AH z

p z

A p u n si ROC p zA

p z A p u n si ROC z p

−=

−

=−

<↔

− − − − <

∑

Antitransformada Z

Transformada Z

Expansión en fracciones simples

Polos complejos conjugados ↔ residuos complejos conjugados

10 1

1 1 1 20 1 21 1

k k

k k

A A b b z

p z p z a a z a z

∗

∗

−

− − − −

++ =

− − + +

Antitransformada Z

Transformada Z

Transformada Z unilateral

Transformada

[ ]{ } [ ]0

( ) n

n

TZ x n X z x n z+∞

+ + −

=

= =∑

<:ROC a z

Región de convergencia

Transformada Z

Teorema del Valor Final

Propiedades

Retardo temporal

Avance Temporal

[ ] [ ]+

− +

=

− ↔ + − >

∑

1

( ) ; 0kTZ

k n

n

x n k z X z x n z k

[ ] [ ]+ −

+ −

=

+ ↔ − >

∑

1

0

( ) ; 0kTZ

k n

n

x n k z X z x n z k

( ) + →∞ →

= −1

1 ( )n zlím x n lím z X z

Transformada Z

Transferencia H(z)

Transformada ZConvolución

h[n]

n

entrada salidaℵ{.}

x[n]

n

y[n]

n

X(z)

Im{z}

Re{z}

Y(z)

Im{z}

Re{z}

H(z)

Re{z}

Im{z}

( )

*

( ) ( ) ( )

( )

( )

TZ TZ

y n h n x n

Y z H z X z

Y zH z

X z

=

=

⇓

=

վ վ

Convolución

Transformada Z

0 0

N M

k k

k k

a y n k b x n k

= =

− = −∑ ∑

Ecuación en diferencias

Transformada Z

0 0

0 0

( ) ( )

N M

k k

k k

TZ TZ

N Mk k

k k

k k

a y n k b x n k

a Y z z b X z z

= =

− −

= =

− = −

=

∑ ∑

∑ ∑

վ վ

Ecuación en diferencias

Transformada Z

0 0

0 0

0 0

( ) ( )

( ) ( )

N M

k k

k k

TZ TZ

N Mk k

k k

k k

N Mk k

k k

k k

a y n k b x n k

a Y z z b X z z

Y z a z X z b z

= =

− −

= =

− −

= =

− = −

=

=

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

վ վ

Ecuación en diferencias

Transformada Z

( )

0 0

0 0

0 0

0

0

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

N M

k k

k k

TZ TZ

N Mk k

k k

k k

N Mk k

k k

k k

Mk

k

k

Nk

k

k

a y n k b x n k

a Y z z b X z z

Y z a z X z b z

b zY z

H zX z

a z

= =

− −

= =

− −

= =

−

=

−

=

− = −

=

=

⇓

= =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

վ վ

Ecuación en diferencias

Transformada Z

Ecuación en diferencias

Transformada Z

Transformada ZAnálisis de sistemas

y n x n h n = ∗

0 0

N M

k k

k k

a y n k b x n k

= =

− = −∑ ∑

( ) 0

0

( )

( )

Mk

k

k

Nk

k

k

b zY z

H zX z

a z

−

=

−

=

= =∑

∑

FIR IIR

M ceros y 1 polo de orden M

N polos y 1 cero de orden N

M ceros y N polos no triviales

∑∑=

−

=

− ==M

k

kMk

M

M

k

kk zb

zzbzH

00

1)(

∑∑=

−

=

−

==N

k

kNk

N

N

k

kk za

zb

za

bzH

0

0

0

0)(

∑

∑

=

−

=

−

=N

k

kk

M

k

kk

za

zb

zH

0

0)(

MA (Promediador Móvil)

AR (Autoregresivo)

ARMA (Promediador Móvil Autoregresivo)

Análisis de sistemas LIT

Transformada Z

Lateralidad Longitud infinita Longitud finita

Derecha

Bilateral

Izquierda

…

…

…

Transformada ZROC

…

estable

causal

-1 1-1 1-1 1

inestable

anticausal no causal

-1 1-1 1-1 1 -1 1

Análisis de sistemas LIT

Transformada Z

< ⇒:1 ( )ROC z H z es SE

< ⇒: ( )ROC a z H z es SC

( )

( )ω

ω ==

=

−⊂ = ⇒ = =

−

∏

∏1

1

1 ( ) ( ) j

M

s

j s

Nz e

k

k

z c

ROC z H e H z

z p

Estabilidad

Causalidad

Respuesta espectral

Análisis de sistemas LIT

Transformada Z

Salida

Análisis de sistemas LIT

Transferencia

Entrada

( ) ( )( )

0;1;...;k

B zH z con polos p k N

A z= =

( )( ) 0;1;...;

( )k k

Q zX z con polos q p k L

N z= ≠ =

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

Q z B zY z X z H z

N z A z= =

Transformada Z

Análisis de sistemas LIT

Salida

[ ] [ ] [ ]

1 11 1

1 1

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 1 1

N Lk k

k kk k

N Ln n

k k k k

k k

A QB z Q zY z X z H z

A z N z p z q z

y n A p u n Q q u n

− −= =

= =

= = = +− −

= +

∑ ∑

∑ ∑

Transformada Z

Respuesta Respuesta

Natural forzada

Salida

[ ]

[ ]

0 1

0 1

0

1

1

11 0

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

1

kn

M Nk k

k k

k k

M Nk k

k k

k k

M Nk k

k k

k k

Nk

k

n

k

n

kn

Y z b X z z a Y z z

Y z b X z z a Y z

b X z z a zN zB z

Y z

z y n z

X zA z A z

a

y n z

z

− −

= =

+ + − −

= =

− −

+ = =

−

+

=

=

=

= −

= −

−=

+

=+

−

−

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑∑

∑

∑

Transformada ZAnálisis de sistemas LIT

Salida

[ ] ( ) [ ] [ ]

1 11 1

1 1

( )1 1

N Lk k k

k kk k

N Ln n

k k k k k

k k

A D QY z

p z q z

y n A D p u n Q q u n

+− −

= =

= =

+= +

− −

= + +

∑ ∑

∑ ∑

Transformada Z

Respuesta Respuesta

natural forzada

(ZS + ZI)

Análisis de sistemas LIT

( )

( )=

=

−=

−

∏

∏1

1

( )

M

s

s

N

k

k

z c

H z

z p

ω

ω

ω

=

=

−=

−

∏

∏1

1

( )

Mj

s

j s

Nj

k

k

e c

H e

e p

( ) ( )ω ω ω

= =

∠ = ∠ − − ∠ −∑ ∑1 1

( )M N

j j js k

s k

H e e c e p

MóduloEs la relación entre los productos

de las distancias del círculo unitario ejω

a cada cero y a cada polo

FaseEs la resultante de las fases de los

vectores que van de los ceros y polos

al número complejo ejω

Análisis de sistemas LIT

Transformada Z

zt

Computa y grafica la Transformada Z en dB de una transferencia

Sintaxis

[Hz,Hw,z,w,c,p]=zt(b,a,f,graficar)

Transformada Z

zplane

Grafica el mapa de polos y ceros en el plano Z

Sintaxis

zplane[z,p]

Transformada Z

impz

Computa la respuesta al impulso de un sistema discreto

Sintaxis

[h,t] = impz(b,a,n,fs)

impz(b,a,n,fs)

Transformada Z