Transformada de Laplace Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior
Transformada de Laplace
Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior
Controle de Sstemas Mecânicos 2
AGENDA Definição da Transformada de Laplace Transformada de Laplace de alguns sinais Propriedades da Transformada de Laplace
Exercícios
3
Transformada de Laplace Objetivo: O objetivo desta seção é fazer
uma introdução à Transformada de Laplace e sua aplicação em engenharia.
Controle de Sstemas Mecânicos
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Transformada de Laplace A transformada de Laplace converte equações integrais
e diferenciais em equações algébricas. Desta forma a Transformada de Laplace torna-se uma técnica extremamente útil na solução de equações diferenciais lineares invariantes no tempo;
aplica-se também para sinais em geral;
permite análise do regime transitório de um sistema;
serve para análise de circuitos;
facilita a manipulação de sistemas complicados, com integradores, derivadores, ganhos, etc.
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Transformada de Laplace Definição da Transformada de Laplace Unilateral:
∫∞
−==0
. )(.)()]([ dttfesFtfL ts
f(t) = função do tempo t, tal que f(t) = 0 para t<0s = σ + jw (variável complexa ou freqüência (1/segundos))L = operação de Transformação de LaplaceF(s) = transformada de Laplace de f(t), é uma função complexa de números complexost é a variável tempo em segundosConvenção: letras minúsculas denotam o sinal em função do tempo, letras maiúsculas denotam a transformada de Laplace do sinal.
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Transformada de Laplace
−=
=
=×
−=×
=
=
+=
×−×=×
∫
∫
∫∫∫∫
∫
∫∫+
at
aedtte
aedte
uduu
uduu
edue
uudu
nuduu
duvvudvu
atat
atat
uu
nn
1
1
1
sincos
cossin
)ln(
Integração ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )22
22
2
2
2
2
42
2
42
2
ωωωωω
ωωωωω
ωω
ωωω
ωωω
ωωω
ωω
ωωω
ωωω
ωωω
++=
+−=
+=
+=
=
−=
−=
−=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
attaedtte
attaedtte
tttdttt
ttdtt
tdtt
tttdttt
ttdtt
tdtt
atat
atat
sincoscos
cossinsin
sincoscos
sincos
sincos
cossinsin
sinsin
cossin
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Transformada de Laplace
≥<
= − 0,0,0
)(tparaAe
tparatf at
∫∞
−−==0
dtAeesFtfL atst)()]([ ( )∫∫∞
+−∞
−− ==00
dteAdteeA tasatst
Exemplo 1: função exponencial
( ) ( ) ( )
+
−−
+
−=
+
−=+−∞+−∞+−
ase
aseA
aseA
asastas 0
0
[ ] [ ]as
AsFAeLtfL at
+=== − 1)()(
0 1
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Transformada de Laplace
Exemplo 2: função degrau
≥<
==0,0,0
)()(tparaAtpara
tutf
∫∞
−==0
AdtesFtfL st)()]([∞−∞
−
−== ∫
00 seAdteAst
st
[ ] ( )s
AsFtfL 1==)(
sA
se
seA
ss 10
=
−−
−=
−∞− ..0 1
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Transformada de Laplace
Exemplo 3: função rampa
≥<
=0
00)(
tparaAttpara
tf
[ ] [ ] ∫∫∞
−∞
− ===00
dtteAAtdteAtLtfL stst)(
−−
−−
−−∞
−=
−−
−=
−∞−∞−
sse
sseA
st
seA
ssst 1011 0
0
..
[ ] 2
1s
AsFtfL == )()(
0 1
Controle de Sstemas Mecânicos
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Transformada de Laplace
( )
≥<
=0sin
00)(
tparatAtpara
tfω
[ ] ( ) ( )∫∫∞
−∞
− ===00
dtteAdttAesFtfL stst ωω sinsin)()(
( )jeet
tjtj
2
ωω
ω−−=sin
Exemplo 4: função seno
Lembrando:
∫∫∫∞
−−∞
−∞ −
− −=
−=000 222
dteejAdtee
jAdt
jeeeA tjsttjst
tjtjst ωω
ωω
∫∫∞
+−∞
−− −=00 22
dtejAdte
jA tjstjs )()( ωω
( ) ( ) ∞+−∞−−
+
−−
−
−=00
22 ωω
ωω
jse
jA
jse
jA tjstjs
( ) ( )( )( )
+=
+−
−−+=
+
−−
= 22
222
112 ω
ωωω
ωωωω s
jjA
jsjsjsjs
jA
jsjsjA
[ ] 22 ωω+
==s
AsFtfL )()(
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Transformada de Laplace - Tabela
( )
( ) ( )
22
22
1
2
2
8
7
11
16
15
14
13
12
11
ωωω
ωω
δ
+⇔
+⇔
+⇔
−
+⇔
+⇔
⇔
⇔
⇔
−−
−
−
stsen
sst
aset
n
aset
ase
st
stu
t
natn
at
at
)()
)cos()
!)
.)
)
)
)()
)()
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Transformada de Laplace – Tabela
( )
( )
( )
222
2
2
22
22
2
22
22
2
22
22
21
1113
12
11
1112
21
111
10
9
nnn
t
nn
nn
t
nn
nn
tn
at
at
ssstsene
arctgsss
tsene
sstsene
asaste
astsene
n
n
n
ωζ ωφζω
ζ
ζζφ
ωζ ωωφζω
ζ
ωζ ωωζω
ζω
ωω
ωωω
ζ ω
ζ ω
ζ ω
++⇔−−
−−
−=
++⇔+−
−−
++⇔−
−
+++⇔
++⇔
−
−
−
−
−
)()
,)()
)()
)cos()
)()
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Transformada de Laplace -Propriedades
( ) ( )
)(.lim)(lim)10
)(.lim)(lim)9
).(.)8
)()(.)7
)()(1).()6
)()()5
)(1)()()4
)0(')0(.)(.)()3
)0()(.)()2
)()()1
0
00
22
2
22112211
sFstf
sFstf
saFaatf
sFdsdtft
sFeatatf
asFtfe
dttfss
sFdttf
ffssFsdt
tfd
fsFsdt
tdfsFasFatfatfa
st
st
as
att
∞→→
→∞→
−
−=
=
=
⇔
−⇔
⇔−−
+⇔
+⇔
−−⇔
−⇔
+⇔+
∫ ∫
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Transformada de Laplace
Propriedades
1) Linearidade:
2) Teorema da derivação real: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace da derivada de f(t) é:
( ) ( )0fssFtfdtdL −=
)(
f(0) = valor inicial de f(t) calculado em t = 0
( ) ( )sFasFatfatfa 22112211 )()( +⇔+
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Transformada de Laplace - Propriedades
ttdtd ωωω cossin =
[ ] 22 ωωω+
=s
tL sin
( )022 ⋅−
+=
ω
ωωω sinsin
sst
dtdL
Exemplo: transformada da função cos(ωt).
Sabe-se que a derivada do seno é:
Além disso, a transformada de Laplace do seno é:
Aplicando a propriedade da derivação:
[ ] [ ]
+=⇒
+= 2222 ω
ωωωω
ωωωs
stLs
stL coscos
[ ] 22 ωω
+=sstL cos0
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Transformada de Laplace - Propriedades
3) Transformada da segunda derivada de f(t): seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace da segunda derivada de f(t) é:
( ) ( ) ( )0022
2
ffssFstfdtdL ′−⋅−=
)(
f(0) = valor inicial de f(t) calculado em t = 0
f’(0) = valor inicial da derivada primeira de f(t) calculado em t = 0.
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Transformada de Laplace - Propriedades
Exemplo - seja a equação diferencial: tAyadtdya
dtyd ⋅=++ 212
2
Aplicar a transformada de Laplace em cada elemento da EDO:
[ ] ( ) ( )
[ ] 22
2
2 100
0
stLyyssYs
dttydL
yssYdttdyLsYtyL
=′−⋅−=
−=
=
);()()()(
);()(;)(
Onde y é uma função de t: y = y(t)
A transformada da EDO é:
( ) 2212 1000
sAsYayssYayyssYs =+−+′−⋅− )()()()()()(
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Transformada de Laplace - Propriedades
[ ] ( ) [ ]0
1=∫∫ +=t
dttfss
sFdttfL )()(
4) Teorema da integração real: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace da integral de f(t) é:
5) Multiplicação de f(t) por e-at: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace de f(t) multiplicado por e-at é:
[ ] ( )asFtfeL at +=− )(
F(s+a) significa substituir a variável s por (s+a) na F(s)
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Transformada de Laplace - Propriedades
Exemplo: transformada de Laplace de ( )tetg at ωsin)( −=
Seja f(t) = sin(ωt), então: 22 ωω+
=s
sF )(
Aplicando a propriedade:
[ ] [ ] [ ] ( )asFtfeLteLtgL atat +=== −− )(sin)( ω
[ ] ( ) ( ) 22 ωωω
++=+== −
asasFteLsG at sin)(
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Transformada de Laplace - Propriedades
6) Função transladada no tempo: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). Se a função f(t) sofrer um atraso de tempo α a transformada de Laplace será:
( )[ ] ( )sFetfL sαα −=−
f(t)
0 α0
f(t-α)
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Transformada de Laplace -Propriedades
7) Teorema da diferenciação complexa: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A multiplicação da função f(t) pelo tempo t produz a transformada de Laplace calculada por:
[ ] )()( sFdsdtftL −=⋅
8) Mudança na escala de tempo: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace da função f(t) quando se faz uma mudança na escala de tempo por um fator α é calculado por:
)( sFtfL ⋅⋅=
αα
αControle de Sstemas Mecânicos
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Transformada de Laplace -Propriedades
9) Teorema do valor final: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). Pode-se calcular o valor de f(t) no regime permanente (t → ∞) usando:
)(lim)(lim sFstfst
⋅=→∞→ 0
10) Teorema do valor inicial: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). Pode-se calcular o valor de f(t) para tempo t = 0+ usando:
)(lim)(lim sFstfst
⋅=∞→→ 0
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Exercícios
1) Calcular a transformada de Laplace, usando a definição, da função f(t) = A.cos(ωt)
2) Calcular a transformada de Laplace:a) f(t) = e-at cos(ωt) b) f(t) = cos(wt/4)c) f(t) = t. e-5t d) f(t) = cos(wt + θ)e) f(t) = t+2 f) f(t) = at+bg) f(t) = acos(2t) g) f(t) = e-at+b j
eexsen
eex
jxjx
jxjx
2)(
2)cos(
−
−
−=
+=
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Exercícios
3) Mostre que:
( )
( ) 22
2
}cos{)
1}{)
ωω
+−−=
−=
asasteLb
asteLa
at
at
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Exercícios4) Supondo condições iniciais nulas, calcule as seguintes
transformadas:
)(.)()() txykdttdyf
dttydma =++2
2
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26
FIM
Muito Obrigado!
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