Top Banner
Transformada de Laplace Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior
26

Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

Mar 20, 2018

Download

Documents

trinhcong
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

Transformada de Laplace

Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior

Page 2: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

Controle de Sstemas Mecânicos 2

AGENDA Definição da Transformada de Laplace Transformada de Laplace de alguns sinais Propriedades da Transformada de Laplace

Exercícios

Page 3: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

3

Transformada de Laplace Objetivo: O objetivo desta seção é fazer

uma introdução à Transformada de Laplace e sua aplicação em engenharia.

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 4: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

4

Transformada de Laplace A transformada de Laplace converte equações integrais

e diferenciais em equações algébricas. Desta forma a Transformada de Laplace torna-se uma técnica extremamente útil na solução de equações diferenciais lineares invariantes no tempo;

aplica-se também para sinais em geral;

permite análise do regime transitório de um sistema;

serve para análise de circuitos;

facilita a manipulação de sistemas complicados, com integradores, derivadores, ganhos, etc.

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 5: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

5

Transformada de Laplace Definição da Transformada de Laplace Unilateral:

∫∞

−==0

. )(.)()]([ dttfesFtfL ts

f(t) = função do tempo t, tal que f(t) = 0 para t<0s = σ + jw (variável complexa ou freqüência (1/segundos))L = operação de Transformação de LaplaceF(s) = transformada de Laplace de f(t), é uma função complexa de números complexost é a variável tempo em segundosConvenção: letras minúsculas denotam o sinal em função do tempo, letras maiúsculas denotam a transformada de Laplace do sinal.

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 6: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

6

Transformada de Laplace

−=

=

−=×

=

=

+=

×−×=×

∫∫∫∫

∫∫+

at

aedtte

aedte

uduu

uduu

edue

uudu

nuduu

duvvudvu

atat

atat

uu

nn

1

1

1

sincos

cossin

)ln(

Integração ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )22

22

2

2

2

2

42

2

42

2

ωωωωω

ωωωωω

ωω

ωωω

ωωω

ωωω

ωω

ωωω

ωωω

ωωω

++=

+−=

+=

+=

=

−=

−=

−=

attaedtte

attaedtte

tttdttt

ttdtt

tdtt

tttdttt

ttdtt

tdtt

atat

atat

sincoscos

cossinsin

sincoscos

sincos

sincos

cossinsin

sinsin

cossin

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 7: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

7

Transformada de Laplace

≥<

= − 0,0,0

)(tparaAe

tparatf at

∫∞

−−==0

dtAeesFtfL atst)()]([ ( )∫∫∞

+−∞

−− ==00

dteAdteeA tasatst

Exemplo 1: função exponencial

( ) ( ) ( )

+

−−

+

−=

+

−=+−∞+−∞+−

ase

aseA

aseA

asastas 0

0

[ ] [ ]as

AsFAeLtfL at

+=== − 1)()(

0 1

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 8: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

8

Transformada de Laplace

Exemplo 2: função degrau

≥<

==0,0,0

)()(tparaAtpara

tutf

∫∞

−==0

AdtesFtfL st)()]([∞−∞

−== ∫

00 seAdteAst

st

[ ] ( )s

AsFtfL 1==)(

sA

se

seA

ss 10

=

−−

−=

−∞− ..0 1

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 9: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

9

Transformada de Laplace

Exemplo 3: função rampa

≥<

=0

00)(

tparaAttpara

tf

[ ] [ ] ∫∫∞

−∞

− ===00

dtteAAtdteAtLtfL stst)(

−−

−−

−−∞

−=

−−

−=

−∞−∞−

sse

sseA

st

seA

ssst 1011 0

0

..

[ ] 2

1s

AsFtfL == )()(

0 1

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 10: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

10

Transformada de Laplace

( )

≥<

=0sin

00)(

tparatAtpara

tfω

[ ] ( ) ( )∫∫∞

−∞

− ===00

dtteAdttAesFtfL stst ωω sinsin)()(

( )jeet

tjtj

2

ωω

ω−−=sin

Exemplo 4: função seno

Lembrando:

∫∫∫∞

−−∞

−∞ −

− −=

−=000 222

dteejAdtee

jAdt

jeeeA tjsttjst

tjtjst ωω

ωω

∫∫∞

+−∞

−− −=00 22

dtejAdte

jA tjstjs )()( ωω

( ) ( ) ∞+−∞−−

+

−−

−=00

22 ωω

ωω

jse

jA

jse

jA tjstjs

( ) ( )( )( )

+=

+−

−−+=

+

−−

= 22

222

112 ω

ωωω

ωωωω s

jjA

jsjsjsjs

jA

jsjsjA

[ ] 22 ωω+

==s

AsFtfL )()(

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 11: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

11

Transformada de Laplace - Tabela

( )

( ) ( )

22

22

1

2

2

8

7

11

16

15

14

13

12

11

ωωω

ωω

δ

+⇔

+⇔

+⇔

+⇔

+⇔

−−

stsen

sst

aset

n

aset

ase

st

stu

t

natn

at

at

)()

)cos()

!)

.)

)

)

)()

)()

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 12: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

12

Transformada de Laplace – Tabela

( )

( )

( )

222

2

2

22

22

2

22

22

2

22

22

21

1113

12

11

1112

21

111

10

9

nnn

t

nn

nn

t

nn

nn

tn

at

at

ssstsene

arctgsss

tsene

sstsene

asaste

astsene

n

n

n

ωζ ωφζω

ζ

ζζφ

ωζ ωωφζω

ζ

ωζ ωωζω

ζω

ωω

ωωω

ζ ω

ζ ω

ζ ω

++⇔−−

−−

−=

++⇔+−

−−

++⇔−

+++⇔

++⇔

)()

,)()

)()

)cos()

)()

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 13: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

13

Transformada de Laplace -Propriedades

( ) ( )

)(.lim)(lim)10

)(.lim)(lim)9

).(.)8

)()(.)7

)()(1).()6

)()()5

)(1)()()4

)0(')0(.)(.)()3

)0()(.)()2

)()()1

0

00

22

2

22112211

sFstf

sFstf

saFaatf

sFdsdtft

sFeatatf

asFtfe

dttfss

sFdttf

ffssFsdt

tfd

fsFsdt

tdfsFasFatfatfa

st

st

as

att

∞→→

→∞→

−=

=

=

−⇔

⇔−−

+⇔

+⇔

−−⇔

−⇔

+⇔+

∫ ∫

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 14: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

14

Transformada de Laplace

Propriedades

1) Linearidade:

2) Teorema da derivação real: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace da derivada de f(t) é:

( ) ( )0fssFtfdtdL −=

)(

f(0) = valor inicial de f(t) calculado em t = 0

( ) ( )sFasFatfatfa 22112211 )()( +⇔+

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 15: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

15

Transformada de Laplace - Propriedades

ttdtd ωωω cossin =

[ ] 22 ωωω+

=s

tL sin

( )022 ⋅−

+=

ω

ωωω sinsin

sst

dtdL

Exemplo: transformada da função cos(ωt).

Sabe-se que a derivada do seno é:

Além disso, a transformada de Laplace do seno é:

Aplicando a propriedade da derivação:

[ ] [ ]

+=⇒

+= 2222 ω

ωωωω

ωωωs

stLs

stL coscos

[ ] 22 ωω

+=sstL cos0

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 16: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

16

Transformada de Laplace - Propriedades

3) Transformada da segunda derivada de f(t): seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace da segunda derivada de f(t) é:

( ) ( ) ( )0022

2

ffssFstfdtdL ′−⋅−=

)(

f(0) = valor inicial de f(t) calculado em t = 0

f’(0) = valor inicial da derivada primeira de f(t) calculado em t = 0.

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 17: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

17

Transformada de Laplace - Propriedades

Exemplo - seja a equação diferencial: tAyadtdya

dtyd ⋅=++ 212

2

Aplicar a transformada de Laplace em cada elemento da EDO:

[ ] ( ) ( )

[ ] 22

2

2 100

0

stLyyssYs

dttydL

yssYdttdyLsYtyL

=′−⋅−=

−=

=

);()()()(

);()(;)(

Onde y é uma função de t: y = y(t)

A transformada da EDO é:

( ) 2212 1000

sAsYayssYayyssYs =+−+′−⋅− )()()()()()(

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 18: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

18

Transformada de Laplace - Propriedades

[ ] ( ) [ ]0

1=∫∫ +=t

dttfss

sFdttfL )()(

4) Teorema da integração real: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace da integral de f(t) é:

5) Multiplicação de f(t) por e-at: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace de f(t) multiplicado por e-at é:

[ ] ( )asFtfeL at +=− )(

F(s+a) significa substituir a variável s por (s+a) na F(s)

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 19: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

19

Transformada de Laplace - Propriedades

Exemplo: transformada de Laplace de ( )tetg at ωsin)( −=

Seja f(t) = sin(ωt), então: 22 ωω+

=s

sF )(

Aplicando a propriedade:

[ ] [ ] [ ] ( )asFtfeLteLtgL atat +=== −− )(sin)( ω

[ ] ( ) ( ) 22 ωωω

++=+== −

asasFteLsG at sin)(

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 20: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

20

Transformada de Laplace - Propriedades

6) Função transladada no tempo: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). Se a função f(t) sofrer um atraso de tempo α a transformada de Laplace será:

( )[ ] ( )sFetfL sαα −=−

f(t)

0 α0

f(t-α)

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 21: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

21

Transformada de Laplace -Propriedades

7) Teorema da diferenciação complexa: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A multiplicação da função f(t) pelo tempo t produz a transformada de Laplace calculada por:

[ ] )()( sFdsdtftL −=⋅

8) Mudança na escala de tempo: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). A transformada de Laplace da função f(t) quando se faz uma mudança na escala de tempo por um fator α é calculado por:

)( sFtfL ⋅⋅=

αα

αControle de Sstemas Mecânicos

Page 22: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

22

Transformada de Laplace -Propriedades

9) Teorema do valor final: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). Pode-se calcular o valor de f(t) no regime permanente (t → ∞) usando:

)(lim)(lim sFstfst

⋅=→∞→ 0

10) Teorema do valor inicial: seja uma função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). Pode-se calcular o valor de f(t) para tempo t = 0+ usando:

)(lim)(lim sFstfst

⋅=∞→→ 0

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 23: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

23

Exercícios

1) Calcular a transformada de Laplace, usando a definição, da função f(t) = A.cos(ωt)

2) Calcular a transformada de Laplace:a) f(t) = e-at cos(ωt) b) f(t) = cos(wt/4)c) f(t) = t. e-5t d) f(t) = cos(wt + θ)e) f(t) = t+2 f) f(t) = at+bg) f(t) = acos(2t) g) f(t) = e-at+b j

eexsen

eex

jxjx

jxjx

2)(

2)cos(

−=

+=

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 24: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

24

Exercícios

3) Mostre que:

( )

( ) 22

2

}cos{)

1}{)

ωω

+−−=

−=

asasteLb

asteLa

at

at

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 25: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

25

Exercícios4) Supondo condições iniciais nulas, calcule as seguintes

transformadas:

)(.)()() txykdttdyf

dttydma =++2

2

Controle de Sstemas Mecânicos

Page 26: Transformada de Laplace - educatec.eng.breducatec.eng.br/engenharia/Controle e servomecanismos/Aulas... · A transformada de Laplace converte equações integrais ... Transformada

26

FIM

Muito Obrigado!

Controle de Sstemas Mecânicos