Teori Penaksiran

TEORI PENAKSIRAN (TEORI ESTIMASI)

Pendahuluan :

Tujuan utama kita mengambil sampel dari suatu populasi adalah untuk memperoleh informasi mengenai parameter populasi.

Oleh karena parameter populasi tidak diketahui, maka dalam statistika inferensia dipelajari bagaimana cara mengetahui parameter tersebut.

Ada dua cara untuk mengetahui parameter populasi yang dipelajari dalam statistika inferensia, yaitu : Cara pendugaan (penaksiran/estimasi) Pengujian hipotesis.

Dua cara ini didasarkan pada besaran yang dihitung dari sampel.

Parameter populasi ditulis dengan huruf Yunani , di mana bisa berupa: rata-rata populasi, simpangan baku populasi, proporsi populasi.

Sedangkan statistik dari sampel ditulis (tetha topi), bisa berupa : rata-rata sampel, simpangan baku sampel, proporsi sampel.

Dalam statistika inferensia, statistik inilah yang dipakai untuk menduga parameter dari populasi

Teori Pendugaan dikenal dua jenis pendugaan (estimasi) yaitu :

Pendugaan Titik (Estimasi Titik). Bila nilai parameter dari populasi hanya diduga

dengan memakai satu nilai statistik dari sampel yang diambil dari populasi tersebut

Pendugaan Interval (Estimasi Interval). Bila nilai parameter dari populasi diduga dengan

memakai beberapa nilai statistik yang berada dalam suatu interval, misalnya 1 < < 2

Pendugaan Titik

penduga titik untuk

penduga titik untuk 2

penduga titik untuk P

n

XX

1

)( 22

n

XXS

n

Xp ˆ

Estimasi Interval

Sampel Besar ( n 30 )

Pendugaan parameter rata-rata :

Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga rata-rata , bila diketahui adalah :

nZX

nZX

2/2/

Bila tidak diketahui, maka dapat digunakan penduga dari yaitu S

Contoh

Rata-rata dan simpangan baku nilai matematika suatu sampel acak 36 mhs masing-masing adalah 2.6 dan 0.3. Hitung selang kepercayaan 95% dan 99% untuk semua mhs.

3.0

6.2

s

x

Karena selang kepercayaan 95% maka luas kurva di sebelah kiri adalah 2.5% dan sebelah kanan adalah 2.5% sehingga z0.025 = 1.96

Jadi selang kepercayaan 95% adalah:

36

3.096.16.2

36

3.0)96.1(6.2

70.25.2

Pendugaan perameter proporsi P:

Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga proporsi P adalah :

n

qpzpP

n

qpzp

ˆˆˆ

ˆˆˆ 2/2/

N

XP

n

xpP ˆ

Dimana :

dan

Contoh

Pada suatu sampel acak n = 500 keluarga yang memiliki pesawat TV diketahui 340 keluarga memiliki TV berwarna. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk proporsi sebenarnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna

Contoh

32.068.01ˆ1ˆ

68.0500

340ˆ

pq

p

500

)32.0)(68.0(96.168.0

500

)32.0)(68.0(96.168.0 p

Jadi selang kepercayaan 95% untuk proporsi keluarga yang memiliki TV berwarna adalah:

72.064.0 p

Pendugaan parameter beda dua rata-rata (1 - 2) :

Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga beda dua rata-rata 1 - 2 :

2

22

1

21

2/21212

22

1

21

2/21 )()(nn

ZXXnn

ZXX

Pendugaan parameter beda dua proporsi (P1 - P2):

Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga beda dua proporsi ( P1 - P2 ) adalah :

2

22

1

112/2121

2

22

1

112/21 )()(

n

qp

n

qpZppPP

n

qp

n

qpZpp

Sampel Kecil ( n < 30 )

Pendugaan parameter rata-rata :

Interval kepercayaan (1 - ) untuk menduga rata-rata . dengan sampel kecil, bila tidak diketahui adalah:

n

StX

n

StX ,2/,2/

Pendugaan parameter beda dua rata-rata (1 - 2) :

Misalkan diketahui dua populasi masing-masing mempunyai rata-rata 1 dan 2 , dan distribusinya mendekati normal.

Misalkan variansi dua populasi itu sama yaitu 1

2 = 22 = 2 tetapi tidak diketahui

berapa besarnya.

21,2/2121

21,2/21

11)(

11)(

nnStXX

nnStXX pp

Simpangan baku gabungan adalah

2

)1()1(

21

222

211

nn

SnSnS p

di mana : derajat kebebasan = n1 + n2 - 2

bila variansi dua populasi itu tidak sama besarnya yaitu 1

2 22 dan kedua variansi

tidak diketahui nilainya, maka interval kepercayaan (1-) untuk beda dua rata-rata (1 - 2) dari dua populsai tersebut adalah :

2

22

1

21

,2/21212

22

1

21

,2/21 )()(n

S

n

StXX

n

S

n

StXX

di mana derajat kebebasan

11 2

2

2

22

1

2

1

21

2

2

22

1

21

n

nS

n

nS

n

S

n

S

Pendugaan parameter beda dua rata-rata (1 - 2) jika kedua sampel tidak bebas :

Misalnya bila pengamatan dalam kedua sampel diambil secara berpasangan sehingga kedua sampel saling terkait, maka interval kepercayaan (1-) untuk beda dua rata-rata (1 - 2 = d) dari dua populasi tersebut adalah :

n

Std

n

Std d

vdd

v ,2/,2/

Dimana derajat kebebasan = n - 1