PENAKSIRAN PenaksiranTitik Penaksiran Selang Selang Kepercayaan untuk RATAAN Selang Kepercayaan untuk RATAAN Selang Kepercayaan untuk VARIANSI MA MA2081 STATISTIKA DASAR Utriweni Mukhaiyar 21 Maret 2012
PENAKSIRANPenaksiranTitikPenaksiran Selang
Selang Kepercayaan untuk RATAANSelang Kepercayaan untuk RATAANSelang Kepercayaan untukVARIANSI
MAMA2081 STATISTIKA DASARUtriweni Mukhaiyar
21 Maret 2012
Metode PenaksiranMetode Penaksiran
Penaksiran Titik1
Penaksiran Selang2
Penaksiran Titik Penaksiran Selang
Nilai tunggal dari suatu parameter l l i d k d
Nilai sesungguhnya dari suatub d di lmelalui pendekatan metode tertentu. parameter berada di selang tertentu.
Contoh 1. Seorang mahasiswa mengulang kuliah Statdas, ketika di
Contoh 2. Seiring berjalannya waktu, mahasiswa tersebut
awal perkuliahan, memiliki target nilai lulus matkul Statdas adalah B.
mengubah target nilai lulus matkul Statdas adalah minimal AB
Nilai : B = 3Nilai : B = 3 IP : AB = [3, 4]IP : AB = [3, 4]
2
[ , ][ , ]
Ilustrasi
P r m t r P pul siParameter Populasi
σ2µ
Populasi
Sampelσ2µ
menaksir
? ?titik?? selang??
Parameter Sampel
? ?
Parameter sampel menaksir parameter populasi
m mp
3
Penaksiran Titik
Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik
4
y g g pdisebut penaksir atau fungsi keputusan.
X22 s
X Apakah dan s2 merupakan penaksir yang baik dan paling efisien bagi dan 2?
Penaksir Takbias dan Paling Efisien
Definisi5
Statistik dikatakan penaksir takbias parameter bila,
]ˆ[ˆ E
Dari semua penaksir takbias yang mungkindibuat, penaksir yang memberikan variansiterkecil disebut penaksir yang paling efisienterkecil disebut penaksir yang paling efisien
2ˆ
2ˆ
21
Penaksir Tak Bias untuk dan 2
Misalkan peubah acak X ~ N(,2)
6
M sa a peuba aca N(, )
penaksir tak bias untuk .
n
iiX
nX
1
1
penaksir takbias untuk 2.
i 1
n
i XXs 22
11 p
iin 11
Bukti : dengan menunjukkan bahwa,
][XE22 ][ sE ][ sE
Penaksiran Selang7
Taksiran selang suatu parameter populasi :
2 2121
ˆˆ
1
g p p p
dan : nilai dari peubah acak dan dan dicari sehingga memenuhi :
1 2 1ˆˆP
2 211 p
121P
taraf/koefisien keberartiandengan 0 < < 1.
taraf/koefisien keberartian
21ˆˆ Selang kepercayaan : perhitungan selang
berdasarkan sampel acak berdasarkan sampel acak.
Skema PenaksiranPOPULASI
2μ σ2
1 POPULASI1 POPULASI 2 POPULASI BERPASANGAN
2 POPULASI BERPASANGAN
2 POPULASI2 POPULASI 1 POPULASI1 POPULASI 2 POPULASI BERPASANGAN
2 POPULASI BERPASANGAN
2 POPULASI2 POPULASI
b l 2
2 2 id k
D DTabel 21n Tabel
1 2,v vF
σ2
diketahuiσ2 tidak
diketahui σ12 , σ2
2
diketahuiσ1
2 = σ22
tidak diketahuiσ1
2 ≠ σ22
tidak diketahui
Tabel z Tabel t b l b l b l8Tabel z Tabel t Tabel z Tabel t Tabel t
Kurva Normal Baku (Z~N(0,1))menghitung tabel z
1 -
/2/2 P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)
= 0
1
z1-/2-z1-/2
(1-/2)
= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975
9
dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96.
Kurva t-Student (T~tv)menghitung tabel t
/2/2
1 -
/2/2 P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)
= 0
1
t/2-t/2
= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025
d t t 2 26210
dan -t/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262
Selang Kepercayaan (1-) untuk
Kasus 1 populasi, 2 diketahui
11
1
21
21
zZzP
TLP : )1,0(~/
NZn
X
1
21
21 n
zXn
zXP
zXzX
SK (1-) untuk jika 2 diketahui :
nn
21
21
Selang Kepercayaan (1-) untuk
Kasus 1 populasi, 2 tidak diketahui
12
1
22
tTtP
1~/ n
X ts n
2 2
1s sP X t X tn n
s sX t X t
SK (1-) untuk jika 2 tidak diketahui :
2 2
X t X tn n
Contoh 1Contoh 1
Survey tentang waktu maksimum pemakaian Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku 10 jam dan rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam.D k t f k b ti 2% Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !
13
Contoh 2Contoh 2
Survey tentang waktu maksimum pemakaian Survey tentang waktu maksimum pemakaian komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan baku 10 jam. Dengan
k t f k b ti 2% il hmenggunakan taraf keberartian 2% carilahselang kepercayaannya !
Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengancontoh 2?
14
contoh 2?
Analisis Contoh15
Contoh 1 Contoh 2Diketahui : n = 50 , , σ = 10 n = 50 , , S = 10 55X 55X
Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02)
Jenis kasus : kasus menaksir dengan 2
diketahui,kasus menaksir dengan 2
tidak diketahui,
Jawab : z1 /2 = z0 99 = 2,33 t/2;n 1 = t0 01;49 = 2,326Jawab : z1-/2 z0,99 2,33 t/2;n-1 t0,01;49 2,326
nzX
nzX
11
nStX
nStX
22
nn 22 nn 22
Solusi Contoh 1 dan 2Selang Kepercayaan untuk g p y
1 Jika 2 diketah i 2 Jika 2 tidak diketah i
10 1055 2,33 55 2,33
1. Jika 2 diketahui. 2. Jika 2 tidak diketahui.
10 1055 2,326 55 2,32650 50
50 50
50 50
51,705 58,295 51,711 58,290
16
Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2Kasus 2 populasi
17
X1 ~ N(µ1 , σ12) X2 ~ N(µ2 , σ2
2)
1. SK (1-) untuk (1-2) jika 12 dan 2
2 diketahui
2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 21 2 1 2
( ) ( )X X Z X X Zn n n n
1 2 1 2n n n n
Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2
Kasus 2 populasi18
2. SK (1-) untuk (1-2) jika 12 , 2
2 tidak diketahui dan 12 ≠ 2
2
2 2 2 21 2 1 2
1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 2 1 2
( ) ( ) s s s sX X t X X tn n n n
22 21 2s s
1 22 2 2 21 1 2 2
dimana ( / ) ( / )
1 1
n ns n s nn n
1 21 1n n
Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2
Kasus 2 populasi
3 SK (1-) untuk (1 2) jika 12 2
2 tidak diketahui dan 12 = 2
2
19
3. SK (1-) untuk (1-2) jika 1 , 2 tidak diketahui dan 1 2
1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 1 1 1( ) ( )p pX X t s X X t s 1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2
1 2 1 2
( ) ( )p pn n n n
2 22 1 1 2 2( 1) ( 1)dimana
n S n SS dan v = n1 + n2 - 21 2
dimana 2
pS
n n
1 1 2 22 2
2 21 1 1 2 2 2
n n n n
X X n X X n
dan v n1 n2 2
1 1 2 2
1 1 1 12
1 2
atau 2
p
X X X X
Sn n
JK JK
1 2 2
n n
Pengamatan BerpasanganPengamatan Berpasangan
Ciri ciri:Ciri-ciri: Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang
pengamatanp g Data berasal dari satu populasi yang sama
hContoh Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan 2000 Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm) Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm)
beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia
20
Selang Kepercayaan (1 ) untukSelang Kepercayaan (1-) untuk d
SK untuk selisih pengamatan berpasangan dengan rataan dp g p g gdan simpangan baku Sd :
s s
d
1; 1;2 2
d dn D n
s sd t d tn n
21 ddimana dengan n : banyaknya pasangan.
d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.
21
Kurva khi kuadrat (x~ )menghitung tabel
2v2g g
/2 /2
/2
1
12
2
22
21
XP
0 2
2
2
21
1 -
22
023,1929;025,0
2
1,2
n = 5% dan n =10 maka,
22
7,229;975,0
2
1,2
1
n
Kurva fisher (F~ )menghitung tabel F 21,vvF
g g
/2 /2
/2
1
1
2121 ,;2
,;2
1 vvvvfFfP
1,1;1,1;
21
12
21
1
nnnn f
f
0
2f
21
f
1 - 1,1;2 12 nn
22
36,48,9;025,01,1;2 21
ffnn = 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, dan
111
23
24,01,4
111
9,8;975,01,1;2
1,1;2
112
21
fff
nnnn
Selang Kepercayaan (1-) untuk σ2
Kasus 1 populasi24
12
2
22
21
XP
2 2( 1) ( 1)
22 2
12
( 1) ~ nn sX
2 22
2 2/2 1 /2
( 1) ( 1) 1n s n sP
2
2 22
2 2
( 1) ( 1)n s n s
SK (1 - ) 100% untuk 2 :
2 2
( 1); ( 1);12 2
n n
Selang Kepercayaan (1-) untuk 12 /2
2
Kasus 2 populasi25
2 22 1sF f
1
2121 ,;2
,;2
1 vvvvfFfP
1 2
2 12 2 , ,1 2 2
~v v
sF fs
2 2 21s s
SK (1 ) 100% t k 2 / 2
2 1
1 2
1 1 12 2 2 ; ,2 2 2 2; ,
2
1 1v v
v v
s sP fs f s
SK (1 - ) 100% untuk 12 /2
2 :2 2 21 1 12 2 2 ;
1v v
s s fs f s
2 1
1 2
; ,2 2 2 2; ,
2
v vv v
s f s
ReferensiReferensi Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and p
Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
Wild C J d S b G A F Ch E t A fi t Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.y
Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB 1995Penerbit ITB, 1995.
Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice
26
, g , J yHall, 2007.