TEORI BILANGAN UNTUK MAHASISWA PGSD

Penerbit Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Universitas Syiah Kuala

Linda Vitoria, S.Si., M.Sc.

TEORI BILANGAN UNTUK MAHASISWA PGSD

i

TEORI BILANGAN UNTUK MAHASISWA PGSD

Linda Vitoria, S.Si., M.Sc.

Penerbit Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP)

Universitas Syiah Kuala

ii

Teori Bilangan untuk Mahasiswa PGSD

Penulis:

Linda Vitoria, S.Si., M.Sc.

Editor:

Dra. Monawati, M.Pd.

Hak cipta 2019 pada Penulis.

Hak cipta dilindungi undang-undang.

Dilarang memperbanyak sebagian atau seluruh isi buku ini dalam

bentuk apapun tanpa izin tertulis dari pemegang hak cipta/Penerbit.

Diterbitkan oleh:

Penerbit Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP)

Universitas Syiah Kuala

Jalan Tgk. Hasan Krueng Kale

Darussalam, Banda Aceh 23111

Telepon 085260002082, Faximile 06517551407

Homepage: www.fkip.unsyiah.ac.id

E-mail: [email protected]

Perpustakaan Nasional RI: Katalog dalam Terbitan (KDT)

Linda Vitoria.

Teori Bilangan untuk Mahasiswa PGSD. -- Banda Aceh :

Penerbit Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP)

Universitas Syiah Kuala, 2019.

v, 95 hlm.; 15,5 cm x 23 cm.

ISBN: 978-602-73716-9-9

iii

KATA PENGANTAR

Buku ini disusun sebagai buku referensi mahasiswa Pendidikan

Guru Sekolah Dasar (PGSD) dalam mengikuti matakuliah Teori

Bilangan. Pembahasan teori bilangan diperlukan untuk memperkuat

pemahaman mahasiswa PGSD sebagai calon guru sekolah dasar

mengenai aturan-aturan yang berlaku pada bilangan.

Materi-materi yang dikaji meliputi sifat-sifat dan teorema-

teorema yang berlaku pada sistem bilangan bulat seperti aturan

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian; urutan

bilangan bulat; keterbagian; faktor persekutuan terbesar (FPB) dan

kelipatan persekutuan terkecil (KPK); dan kekongruenan.

Buku ini dirancang sedemikian rupa sehingga menuntut

keaktifan mahasiswa dalam mengerjakan contoh-contoh dan soal-

soal latihan. Dengan demikian diharapkan mahasiswa dapat

membangun pemahamannya secara mandiri tentang materi-materi

teori bilangan.

Banda Aceh, Januari 2019

Penulis

iv

DAFTAR ISI

1. PENDAHULUAN .................................................................... 1 2. HIMPUNAN BILANGAN ....................................................... 5

Soal Latihan ................................................................................. 9 3. BILANGAN PRIMA .............................................................. 11

Soal Latihan ............................................................................... 13 4. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN ................................. 15

4.1 Operasi Hitung pada Bilangan Cacah .................................. 15

4.2 Operasi Hitung pada Bilangan Bulat ................................... 18

4.3 Operasi Hitung Bilangan Rasional ....................................... 19 4.4 Sifat Komutatif (Pertukaran) ................................................ 20

4.5 Sifat Asosiatif (Pengelompokan) ......................................... 23 4.6 Unsur Identitas ..................................................................... 25 4.7 Invers .................................................................................... 28

4.8 Sifat Distributif .................................................................... 29 4.9 Sifat Ketertambahan. ............................................................ 30

4.10 Sifat Ketergandaan ............................................................. 31 4.11 Sifat Kanselasi .................................................................... 31

Soal Latihan ............................................................................... 32 5. ATURAN PENJUMLAHAN, PENGURANGAN, PERKALIAN

DAN PEMBAGIAN BILANGAN BULAT .................................. 34

5.1 Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat ....... 34 Soal Latihan ............................................................................... 36

5.2 Aturan Perkalian Bilangan Bulat ......................................... 36 Soal Latihan ............................................................................... 38 5.3 Aturan Pembagian Bilangan Bulat ....................................... 38

Soal Latihan ............................................................................... 45

6. URUTAN BILANGAN BULAT ............................................... 46 Soal Latihan ............................................................................... 52

7. KETERBAGIAN BILANGAN BULAT ................................ 54

Soal Latihan ............................................................................... 57 8. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB) .................. 59

Algoritma Pembagian ................................................................ 62 Soal Latihan ............................................................................... 68

9. KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK) ............ 70 Soal Latihan ............................................................................... 73

v

10. HUBUNGAN FPB DAN KPK DARI DUA BILANGAN .... 74 Soal Latihan ............................................................................... 77

11. KEKONGRUENAN BILANGAN ......................................... 78

Soal Latihan ............................................................................... 90 DAFTAR PUSTAKA .................................................................... 91 GLOSARIUM ................................................................................ 92 INDEKS ......................................................................................... 94

1

1. PENDAHULUAN

Kajian mata kuliah Teori Bilangan pada buku ajar ini membahas

aturan-aturan yang berlaku pada sistem bilangan, khususnya sistem

bilangan bulat. Terdapat beberapa istilah yang sering digunakan

dalam pembahasan teori bilangan. Untuk memudahkan pembaca,

berikut disajikan beberapa istilah yang lazim digunakan dalam teori

bilangan dan pembahasannya.

1. Angka dan bilangan

Bilangan menyatakan banyaknya anggota suatu himpunan,

sedangkan angka adalah lambang bilangan.

Contohnya:

a. Terdapat lima buah pensil di atas meja.

Bilangan lima dapat dilambangkan dengan angka 5 atau

V (angka romawi).

b. Bilangan 4.537 terdiri dari 4 angka, yaitu angka 4, 5, 3

dan 7.

c. Bilangan VI terdiri dari 2 angka, yaitu angka V dan I.

d. Penjumlahan dua buah bilangan tiga angka artinya

penjumlahan yang melibatkan dua bilangan yang

masing-masing terdiri atas tiga angka, misalnya 225 +

314.

2. Sistem desimal

Sistem desimal merupakan salah satu metode penulisan

bilangan. Dalam sistem desimal digunakan pengelompokan

2

bilangan dengan basis sepuluh, yaitu pengelompokan ke

dalam sepuluh-sepuluh.

Lambang bilangan pada sistem desimal terdiri atas sepuluh

angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.

Penulisan lambang bilangan pada sistem desimal didasarkan

pada nilai tempat angkanya.

Lambang “30” menyatakan tigapuluh, yaitu 3 puluhan dan 0

satuan.

Lambang “270” menyatakan bilangan dua ratus tujuh puluh,

yaitu 2 ratusan, 7 puluhan, dan 0 satuan.

Lambang “1445” menyatakan 1 ribuan, 4 ratusan, 4 puluhan,

dan 5 satuan. Di sini, angka 4 pada ratusan tidak sama

nilainya dengan angka 4 pada puluhan, karena perbedaan

nilai tempatnya.

3. Notasi

Notasi adalah cara menuliskan atau melambangkan sesuatu

sesuai dengan kesepakatan yang berlaku. Misalnya:

untuk menyatakan bilangan dua puluh lima, notasinya

adalah 25 atau 20 + 5;

untuk menyatakan “lebih dari” notasinya adalah “>”.

Contohnya: 0 > –3, dibaca “0 lebih besar dari negatif 3”.

notasi untuk operasi penjumlahan adalah +

notasi untuk operasi pengurangan adalah –

notasi perkalian adalah ×

notasi pembagian adalah ÷

3

4. Faktor dan Kelipatan

Suatu bilangan 𝑎 dikatakan faktor dari bilangan 𝑏 apabila 𝑎

membagi habis 𝑏 tanpa sisa. Contohnya, 2 adalah faktor dari

8 karena 2 habis membagi 8 tanpa sisa.

Yaitu 8 ÷ 2 = 4, sisa = 0. Atau ditulis 8

2= 4.

3 bukan faktor dari 16 karena 3 tidak membagi habis 16.

Yaitu 16 ÷ 3 = 5, sisa = 1.

Atau ditulis 16

3= 5

1

3.

Suatu bilangan 𝑎 dikatakan kelipatan dari bilangan 𝑏 jika 𝑎

diperoleh dari mengalikan 𝑏 dengan bilangan lain.

Contohnya, 8 adalah kelipatan dari 2 karena 8 diperoleh dari

mengalikan 2 dengan 4.

Atau ditulis 8 = 2 x 4.

12 adalah juga kelipatan dari 2 karena 12 = 2 x 6.

4 dan 6 juga kelipatan dari 2. Jika didata kelipatan dari 2

adalah 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, dst.

Kelipatan dari 1 adalah 1, 2, 3, 4, …

Kelipatan dari 3 adalah 3, 6, 9, 13, …

Kelipatan dari 15 adalah 15, 30, 45, 60, ….

5. Faktorisasi yaitu menguraikan menjadi faktor-faktor.

Misalnya 12 dapat difaktorisasi menjadi: 12 = 2 x 6;

12 = 3 x 4;

12 = 3 x 2 x 2.

4

6. Algoritma

Algoritma artinya prosedur penyelesaian suatu masalah

secara bertahap. Istilah algoritma diambil dari nama Al-

Khwarizmi, seorang ahli matematika berkebangsaan Arab.

7. Teorema

Teorema merupakan sebuah pernyataan yang dapat

dibuktikan berdasarkan asumsi-asumsi yang telah disetujui.

Contoh teorema yang terkenal adalah Teorema Pythagoras

yang mengatakan bahwa pada suatu segitiga siku-siku,

kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi

yang lain.

8. Aksioma

Yaitu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran tanpa

memerlukan bukti.

Contohnya: melalui dua titik A dan B hanya dapat dibuat satu

garis lurus saja.

9. Dan lain-lain.

5

2. HIMPUNAN BILANGAN

Tujuan Pembelajaran

1. Mahasiswa mampu mengidentifikasi klasifikasi suatu

bilangan.

2. Mahasiswa mampu menyatakan pecahan dalam bentuk

desimal dan persen, dan sebaliknya.

Secara garis besar, bilangan dikelompokkan menjadi dua himpunan

yaitu himpunan bilangan real dan himpunan bilangan imajiner.

Himpunan bilangan imajiner atau bilangan khayal terdiri atas

bilangan √−1. Sedangkan himpunan bilangan riil atau bilangan

nyata terdiri atas bilangan-bilangan lain selain √−1.

Diagram berikut ini menggambarkan himpunan bilangan real.

Bilangan Real (R)

Bilangan Rasional (Q)

Bilangan Bulat (Z)

Bilangan Cacah

Bilangan NolBilangan Asli

(N)

Bilangan Bulat Negatif

Pecahan

Bilangan Irrasional

6

Berikut penjelasan dari diagram di atas, dimulai dari bilangan

terkecil yaitu bilangan nol.

Bilangan Nol dilambangkan dengan “0” menyatakan tidak ada.

Bilangan Asli dilambangkan dengan N (Natural Numbers) yaitu

bilangan yang digunakan untuk membilang banyak benda.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Bilangan asli dapat dikelompokkan menjadi 3 bagian, yaitu:

1) Unit, terdiri atas bilangan 1.

2) Bilangan prima, yaitu bilangan asli yang mempunyai

tepat 2 faktor saja yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh

bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, dan seterusnya.

3) Bilangan komposit, yaitu bilangan asli yang mempunyai

lebih dari 2 faktor. Contohnya: 4, 6, 8, 9, 10, dan

seterusnya.

Berdasarkan habis dibagi 2, bilangan asli juga dapat

dikelompokkan menjadi bilangan genap dan bilangan ganjil.

1) Bilangan genap, yaitu bilangan asli yang habis dibagi 2

seperti 2, 4, 6, 8, dan seterusnya.

2) Bilangan ganjil, yaitu bilangan asli yang tidak habis

dibagi 2 seperti 3, 5, 7, 9, dan seterusnya.

Bilangan Cacah yaitu himpunan bilangan yang terdiri atas 0 dan

bilangan asli. Bilangan cacah = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}.

7

Bilangan Bulat atau Integer dilambangkan dengan I (integer) atau

Z (Zahlen, yaitu bahasa Jerman yang artinya ‘bilangan’). Bilangan

bulat terdiri atas bilangan cacah dan bilangan bulat negatif. Anggota

himpunan bilangan bulat adalah:

Z = { …, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.

Bilangan Rasional dilambangkan dengan Q (Quotient) merupakan

bilangan yang dapat ditulis sebagai pembagian dua bilangan

bulat 𝑝

𝑞 dengan 𝑞 ≠ 0. Notasi untuk bilangan rasional adalah:

Q = {𝑝

𝑞, 𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑞 ∈ 𝒁, 𝑞 ≠ 0}.

Beberapa contoh bilangan rasional: 1

3 , 5, –2, 0, −

4

5 , 1000,

dan lain-lain.

Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan

biasa, bentuk desimal dan persen.

Contoh:

a. Nyatakan bentuk pecahan biasa dan bentuk persen berikut

ini ke dalam bentuk desimal.

1

2= 0,5 75% =

75

100= 0,75

1

10= 0,1 20% =

20

100= 0,2

1

100= 0,01 33% =

33

100= 0,33

1

1000= 0,001 2,5% =

2,5

100=

25

1000= 0,025

23

10= 2,3 8% =

8

100= 0,08

8

b. Nyatakan bentuk desimal berikut ke dalam bentuk

pecahan.

0,5 =5

10=

1

2 2,3 =

23

10= 2

3

10

0,25 =25

100=

1

4 2,70 = 2

70

100= 2

7

10

24,5 = 245

10= 24

1

2 12,25 = 12

25

100= 12

1

4

c. Nyatakan bentuk pecahan dan desimal berikut ke dalam

bentuk persen.

1

2= 50%

Perhitungannya sebagai berikut: 1

2=

1

2 𝑥 100% = 50%

0,4 = 40%

Perhitungannya sebagai berikut: 0,4 = 0,4 𝑥 100% =

40%

3

5=

3

5× 100% = 60%

0,25 = 0,25 × 100% = 25%.

Bilangan Irrasional adalah bilangan yang tidak dapat ditulis

sebagai pembagian dua bilangan bulat. Contohnya 𝜋. Bilangan

𝜋 adalah rasio keliling suatu lingkaran dengan diameternya.

Nilai bilangan 𝜋 = 3,14159265358979323846 …. Bilangan

9

𝜋 ini tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pembagian dua

bilangan bulat. Dengan kata lain, tidak ada bentuk pecahan

untuk 𝜋. Tapi, untuk memudahkan dalam perhitungan,

biasanya diambil nilai pendekatan 𝜋 yaitu 22

7 atau 3,14. Contoh

lain bilangan irrasional adalah √2 .

Bilangan Real dilambangkan dengan R merupakan gabungan dari

semua bilangan di atas. Bilangan real atau bilangan nyata

adalah lawan dari bilangan imajiner atau bilangan khayal.

Bilangan imajiner dilambangkan dengan I yaitu √−1 .

Soal Latihan

1. Diantara pernyataan-pernyataan berikut ini, manakah yang

benar?

a. 0 ∈ 𝑵

b. −1

5∈ 𝒁

c. −3 ∈ 𝒁

d. 100 ∈ 𝑸

e. √5 ∈ 𝑹

2. Lengkapilah tabel berikut ini.

No. Pecahan Desimal Persen

a 3

4

10

b

0,1

c

24%

d

1,50

e 4

5

11

3. BILANGAN PRIMA

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu menentukan suatu bilangan adalah bilangan

prima atau komposit.

Pada bab sebelumnya telah dibahas himpunan-himpunan bilangan.

Pada bab ini akan dikaji lebih mendetil tentang bilangan prima.

Sebagaimana telah disebutkan sebelumnya, bilangan prima adalah

bilangan asli yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi oleh 1

dan bilangan itu sendiri. Dengan kata lain, bilangan prima hanya

mempunyai dua faktor. Contoh bilangan prima: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

19, 29, dst.

Berikut ini adalah beberapa teorema yang berlaku pada bilangan

prima.

1. Setiap bilangan asli yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh

suatu bilangan prima.

Coba berikan contohnya.

2. Setiap bilangan asli yang lebih besar dari 1 adalah bilangan

prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian

bilangan-bilangan prima.

Berikan contohnya.

12

Untuk memeriksa apakah suatu bilangan 𝑛 adalah prima atau bukan,

coba bagi 𝑛 dengan bilangan-bilangan prima yang kurang dari √𝑛.

Apabila 𝑛 tidak habis dibagi oleh bilangan-bilangan prima tersebut,

maka 𝑛 adalah bilangan prima. Namun apabila 𝑛 habis dibagi oleh

bilangan-bilangan prima tersebut, maka 𝑛 bukan bilangan prima.

Contoh: apakah 109 prima?

Jawab:

√𝑛 = √109 = 10,44

Kita periksa dengan membagi 109 dengan bilangan-bilangan

prima yang lebih kecil dari 10 yaitu 2, 3, 5, dan 7.

109 ÷ 2 = 54,5

109 ÷ 3 = 36,3

109 ÷ 5 = 21,8

109 ÷ 7 = 15,57

Tampak bahwa 109 tidak habis dibagi oleh semua bilangan-

bilangan prima di atas. Itu artinya 109 adalah bilangan prima.

Contoh lain, apakah 2191 bilangan prima?

Jawab:

√𝑛 = √2191 = 46,81

Kita periksa dengan membagi 2191 dengan bilangan-bilangan

prima yang lebih kecil dari 46 yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,

29, 31, 37, 41, dan 43.

13

2191 ÷ 3 = 730,33

2191 ÷ 5 =438,2

2191 ÷ 7 = 313

Ternyata 2191 habis dibagi 7, hasilnya 313. Ini artinya 7 dan 313

adalah faktor dari 2191. Jadi faktor-faktor dari 2191 adalah 1, 7,

313, dan 2191. Karena 2191 memiliki lebih dari 2 faktor, maka

2191 bukan bilangan prima.

Soal Latihan

1. Manakah yang saling prima?

a. 4 dan 6

b. 8 dan 18

c. 15 dan 42

d. 12 dan 25

2. Untuk menentukan apakah 1027 merupakan bilangan prima

atau bukan, dapat ditunjukkan ada atau tidaknya bilangan-

bilangan prima yang membagi 1027. Bilangan-bilangan

prima itu adalah yang …

a. Kurang dari 1027

b. Kurang dari 32

c. Kurang dari 100

d. kurang dari 10

14

3. Dari bilangan-bilangan berikut ini, yang merupakan

bilangan prima adalah …

a. 117

b. 237

c. 357

d. 227

4. Dari bilangan-bilangan berikut ini, yang merupakan

bilangan komposit adalah …

a. 37

b. 137

c. 237

d. 337

15

4. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu menerapkan sifat-sifat penjumlahan,

pengurangan, perkalian dan pembagian dalam menyelesaikan soal-

soal operasi hitung bilangan.

Pada himpunan bilangan riil dapat dilakukan operasi-operasi hitung

seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, penarikan

akar, perpangkatan, dan lain-lain. Berikut ini akan dibahas beberapa

definisi yang berkaitan dengan operasi hitung pada bilangan, dimulai

dari bilangan cacah.

4.1 Operasi Hitung pada Bilangan Cacah

1. Misalkan p dan q adalah bilangan cacah. Penjumlahan p dan

q ditulis p + q. Hasilnya adalah cacah gabungan himpunan

yang memiliki p buah anggota dan himpunan yang memiliki

q buah anggota.

Contoh: 3 + 5 = 8

15 + 28 = ....

7 + .... = 16

.... + .... = 27

.... + .... = ....

Operasi penjumlahan bilangan cacah bersifat tertutup,

artinya hasil penjumlahan dua bilangan cacah adalah

bilangan cacah juga.

16

2. Operasi pengurangan merupakan lawan dari operasi

penjumlahan. Pengurangan bilangan cacah p – q = r adalah

lawan dari penjumlahan q + r = p. Dapat ditulis,

p – q = r ⇔ p = q + r. Dibaca: p – q = r jika dan hanya jika

p = q + r.

Contoh: 5 – 2 = 3 ⇔ 5 = 2 + 3

6 – 4 = .... ⇔ 6 = 4 + ....

7 – .... = .... ⇔ 7 = .... + ....

.... – .... = .... ⇔ .... = .... + ....

Bagaimana dengan pengurangan dua bilangan yang sama?

Contoh: 12 – 12 = 0 ⇔ 12 = 12 + 0

6 – 6 = 0

.... – .... = 0

Dapat disimpullkan bahwa pengurangan dua bilangan yang

sama menghasilkan 0. Secara umum dapat ditulis p – p = 0.

Operasi pengurangan bilangan cacah tidak memenuhi

sifat tertutup. Hal ini karena hasil pengurangan dua bilangan

cacah bisa berupa bilangan cacah, namun bisa juga bukan

bilangan cacah. Coba berikan contohnya.

3. Operasi perkalian dua bilangan cacah p × q adalah

penjumlahan berulang q sebanyak p kali. Ditulis:

p × q = q + q + q + ... + q

sebanyak p kali

17

contohnya: 2 × 4 = 4 + 4 = 8

4 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

3 × 5 = .... + .... + .... = ....

5 × 6 = .... + .... + .... + .... + .... = ....

7 × 1 =

Operasi perkalian bilangan cacah memenuhi sifat tertutup.

4. Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi

perkalian. Pembagian dua bilangan cacah p ÷ q = r adalah

kebalikan dari p = q × r. Ditulis, p ÷ q = r ⇔ p = q × r.

Dibaca: p ÷ q = r jika dan hanya jika p = q × r.

Contoh: 12 ÷ 3 = 4 ⇔ 12 = 3 × 4

10 ÷ 2 = .... ⇔ 10 = 2 × ....

21 ÷ .... = 7 ⇔ 21 = .... × 7

.... ÷ .... = 6 ⇔ .... = .... × 6

.... ÷ .... = .... ⇔ .... = .... × ....

Bagaimana hasil pembagian dua bilangan yang sama?

Contoh: 2 ÷ 2 = 1 ⇔ 2 = 2 × 1

3 ÷ 3 = ....

.... ÷ .... = ....

Dapat disimpulkan bahwa pembagian dua bilangan yang

sama menghasilkan 1. Secara umum dapat ditulis p ÷ p =1.

18

Operasi pembagian bilangan cacah tidak bersifat

tertutup karena hasil pembagiannya bisa berupa bilangan

cacah, namun bisa pula bukan bilangan cacah. Berikan

contohnya.

4.2 Operasi Hitung pada Bilangan Bulat

Himpunan bilangan bulat merupakan perluasan dari himpunan

bilangan cacah. Himpunan bilangan bulat terdiri atas bilangan cacah

dan bilangan bulat negatif. Definisi-definisi serta sifat-sifat operasi

hitung yang berlaku pada bilangan cacah juga berlaku pada bilangan

bulat ditambah dengan sedikit perluasan.

Penjumlahan dan perkalian bilangan bulat memenuhi sifat

tertutup, sama seperti bilangan cacah. Namun, sifat pengurangan

bilangan bulat berbeda dengan pengurangan bilangan cacah.

Pengurangan bilangan cacah tidak bersifat tertutup sedangkan

pengurangan bilangan bulat bersifat tertutup. Hal ini karena

pengurangan dua bilangan bulat menghasilkan bilangan bulat pula.

Contohnya, 3 – 2 = ....

4 – 5 = ....

2 – (–3) = ....

–6 – 7 = ....

Bagaimana dengan operasi pembagian bilangan bulat, apakah

memenuhi sifat tertutup? Perhatikan contoh berikut.

8 ÷ 4 = ....

19

3 ÷ 2 = ....

–12 ÷ 6 = ....

–9 ÷ 4 = ....

Dari contoh-contoh di atas, apa yang dapat Anda simpulkan tentang

sifat pembagian bilangan bulat?

4.3 Operasi Hitung Bilangan Rasional

Himpunan bilangan rasional merupakan perluasan dari himpunan

bilangan bulat. Himpunan bilangan rasional terdiri atas bilangan

bulat dan pecahan. Definisi-definisi serta sifat-sifat operasi hitung

yang berlaku pada bilangan bulat juga berlaku pada bilangan

rasional ditambah dengan sedikit perluasan.

Pada bilangan bulat, penjumlahan, pengurangan, dan

perkalian memenuhi sifat tertutup. Hal ini juga berlaku pada

bilangan rasional. Pembagian bilangan bulat tidak memenuhi sifat

tertutup, namun pembagian bilangan rasional memenuhi sifat

tertutup karena hasil pembagian dua bilangan rasional adalah

bilangan rasional pula.

Contohnya,

14 ÷ 7 = ....

5 ÷ 15 = ....

–8 ÷ 0,5 = ....

3 ÷1

5 = ....

2

3 ÷

1

4 = ....

20

Disamping sifat tertutup yang dibahas di atas, terdapat sifat-sifat

operasi hitung lainnya yaitu sifat komutatif, asosiatif, distributif,

unsur identitas dan invers. Berikut akan dibahas satu persatu.

4.4 Sifat Komutatif (Pertukaran)

Urutan mengerjakan sesuatu terkadang mempengaruhi hasil.

Misalnya memakai kaus kaki sebelum memakai sepatu berbeda

hasilnya jika urutannya diubah, yaitu memakai sepatu dulu baru kaus

kaki. Tetapi, terkadang urutan tidak mempengaruhi hasil. Misalnya

saat membuat segelas air manis, memasukkan gula sebelum air

maupun memasukkan air sebelum gula, hasilnya tetap sama. Begitu

pula bila kita berjalan 3 langkah, lalu berjalan lagi 5 langkah,

hasilnya akan sama jika kita berjalan 5 langkah terlebih dahulu,

kemudian 3 langkah. Pada operasi hitung, apabila urutan pengerjaan

tidak mempengaruhi hasil (tetap memberikan hasil yang sama),

maka operasi seperti itu dikatakan bersifat komutatif.

Untuk memeriksa sifat komutatif operasi hitung pada

bilangan riil, lengkapilah tabel berikut ini dan bandingkan hasil pada

kolom kiri dan kolom kanan.

Penjumlahan

4 + 7 =

2 + (–3) =

7 + 4 =

–3 + 2 =

21

5,2 + 6,9 =

–4,6 + 0,8 =

1 + 3

4 =

6,9 + 5,2 =

0,8 + (–4,6) =

3

4 + 1 =

Pengurangan

4 – 7 =

2 – (–3) =

5,2 – 6,9 =

–4,6 – 0,8 =

1 – 3

4 =

7 – 4 =

–3 – 2 =

6,9 – 5,2 =

0,8 – (–4,6) =

3

4 – 1 =

Perkalian

4 × 7 =

2 × (–3) =

5,2 × 6,9 =

–4,6 × 0,8 =

4 × 7 =

2 × (–3) =

5,2 × 6,9 =

–4,6 × 0,8 =

22

1 × 3

4 =

1 × 3

4 =

Pembagian

6 ÷ 3 =

8 ÷ (–2) =

4 ÷ 0,5 =

3 ÷ 6 =

–2 ÷ 8 =

0,5 ÷ 4 =

Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa operasi penjumlahan

memenuhi sifat komutatif. Secara umum ditulis, 𝑝 + 𝑞 = 𝑞 + 𝑝.

Apakah operasi perkalian memenuhi sifat komutatif?

Secara umum dapat ditulis, 𝑝 × 𝑞 = .... × ....

Apakah operasi pengurangan memenuhi sifat komutatif?

Apakah operasi pembagian memenuhi sifat komutatif?

Sifat komutatif dapat memudahkan kita pada saat melakukan operasi

hitung penjumlahan dan perkalian. Contohnya, 6 + 148. Soal ini

lebih mudah dihitung dengan menukarkan tempat kedua suku

penjumlahan menjadi 148 + 6. Dengan cara bersusun ke bawah dapat

ditulis,

148

6 +

....

23

Untuk perkalian contohnya, 34 × 1652. Soal ini juga lebih mudah

dihitung dengan menukarkan tempatnya menjadi

1652

34 ×

.......

4.5 Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

Hasil penjumlahan tiga bilangan tidak bergantung pada cara kita

mengelompokkan ketiga bilangan tersebut. Contohnya,

penjumlahan 2 + 3 + 4 dapat dilakukan dengan menjumlahkan 2 + 3

terlebih dahulu kemudian hasilnya dijumlahkan dengan 4; dapat pula

dilakukan dengan menjumlahkan 3 + 4 terlebih dahulu, baru

kemudian dijumlahkan dengan 2. Cara yang pertama ditulis sebagai

berikut.

(2 + 3) + 4

Sedangkan cara yang kedua ditulis sebagai berikut.

2 + (3 + 4)

Keduanya memberikan hasil yang sama. Yaitu (2 + 3) + 4 = 2 + (3

+ 4) = 9. Oleh karena itu dikatakan operasi penjumlahan memenuhi

sifat asosiatif. Secara umum ditulis, (𝑝 + 𝑞) + 𝑟 = 𝑝 + (𝑞 + 𝑟).

Untuk memeriksa apakah pengurangan, perkalian, dan pembagian

juga memenuhi sifat asosiatif, lengkapilah tabel berikut ini

kemudian bandingkan hasil di kolom kanan dan di kolom kiri.

24

Pengurangan

(7 – 5) – 4 =

(2 – (–1)) – 3 =

(23

4−

1

3) − 1 =

(4,6 – 3,2) – 0,5 =

7 – (5 – 4) =

2 – (–1 – 3) =

23

4− (

1

3− 1) =

4,6 – (3,2 – 0,5) =

Perkalian

(3 × (–2)) × 4 =

(23

4×

1

3) × (– 3) =

(4 × 2,4) × 0,5 =

3 × (–2 × 4) =

23

4× (

1

3× (−1)) =

4 × (2,4 × 0,5) =

Pembagian

(6 ÷ 3) ÷ 2 =

(−8 ÷ 4) ÷ (−3) =

(2

3÷ 1

1

4) ÷ 4 =

6 ÷ (3 ÷ 2) =

−8 ÷ (4 ÷ (−3)) =

2

3÷ (1

1

4÷ 4) =

25

Apakah operasi pengurangan bersifat asosiatif?

Apakah operasi perkalian bersifat asosiatif?

Apakah operasi pembagian bersifat asosiatif?

Sama halnya dengan sifat komutatif, sifat asosiatif juga

memudahkan kita dalam menghitung hasil penjumlahan dan

perkalian. Contohnya, penjumlahan 53 + 86 + 47 + 24 lebih mudah

dilakukan dengan menukar tempat dan mengelompokkan suku-suku

penjumlahannya menjadi (53 + 47) + (86 + 24) = 100 + 110 = 210.

Begitu juga perkalian 4 × 39 × 25 lebih mudah dihitung dengan

(4 × 25) × 39 = 100 × 39 = 3900.

4.6 Unsur Identitas

Dalam matematika, 0 dan 1 adalah bilangan yang istimewa.

Diskusikan kasus-kasus berikut ini untuk melihat keistimewaan 0

dan 1.

a. Menjumlahkan suatu bilangan positif atau negatif dengan 0.

Contoh: a. 5 + 0 = ....

b. –6 + 0 = ....

c. 1235 + 0 = ....

Kesimpulan:

b. Mengurangkan suatu bilangan positif atau negatif dengan 0.

Contoh: a. 5 – 0 = ....

b. –24 – 0 = ....

26

c. 450 – 0 = ....

Kesimpulan:

c. Mengalikan suatu bilangan positif atau negatif dengan 0.

Contoh: a. 2 × 0 = ....

b. −3 × 0 = ....

c. 1000 × 0 = ....

Kesimpulan:

d. Membagi suatu bilangan positif atau negatif dengan 0.

Contoh: a. 4 : 0 = ....

b. –3 : 0 = ....

c. 120 : 0 = ....

Kesimpulan:

e. Membagi 0 dengan suatu bilangan positif atau negatif.

Contoh: a. 0 : 12 = ....

b. 0 : (–5) = ....

c. 0 : 100 = ....

Kesimpulan:

f. Mengalikan suatu bilangan positif atau negatif dengan 1.

Contoh: a. 3 × 1 = ....

b. –30 × 1 = ....

c. 1000 × 1 = ....

Kesimpulan:

27

g. Membagi suatu bilangan positif atau negatif dengan 1.

Contoh: a. 27 : 1 = ....

b. –50 : 1 = ....

c. 1500 : 1 = ....

Kesimpulan:

h. Membagi 1 dengan suatu bilangan positif atau negatif.

Contoh: a. 1 : 2 = ....

b. 1 : 4 = ....

c. 1 : (–50) = ....

Kesimpulan:

Kasus a di atas menunjukkan keistimewaan 0 sebagai unsur identitas

penjumlahan. Sedangkan kasus f menunjukkan 1 sebagai unsur

identitas perkalian. Hal ini dapat didefinisikan sebagai berikut.

Catatan. Operasi pengurangan dan pembagian tidak memiliki unsur

identitas.

Unsur Identitas

0 adalah unsur identitas penjumlahan karena menjumlahkan

dengan 0 tidak mengubah hasil penjumlahan. Secara umum ditulis,

𝑝 + 0 = 0 + 𝑝 = 𝑝

1 adalah unsur identitas perkalian karena mengalikan dengan 1

tidak mengubah hasil perkalian. Secara umum ditulis,

𝑝 × 1 = 1 × 𝑝 = 𝑝

28

4.7 Invers

Dalam operasi hitung dikenal istilah invers penjumlahan dan invers

perkalian. Untuk memahami makna invers penjumlahan, lengkapi

perhitungan berikut ini.

1 + .... = 0, maka invers penjumlahan dari 1 adalah ....

24 + .... = 0, maka invers penjumlahan dari 24 adalah ....

–3 + .... = 0, maka invers penjumlahan dari –3 adalah ....

3

5 + .... = 0, maka invers penjumlahan dari

3

5 adalah ....

−1

2 + .... = 0, maka invers penjumlahan dari −

1

2 adalah ....

Invers penjumlahan dari suatu bilangan adalah lawan dari bilangan

itu. Apabila suatu bilangan dijumlahkan dengan invers

penjumlahannya maka hasilnya 0. Secara umum ditulis,

𝑝 + (−𝑝) = 0.

Untuk memahami makna invers perkalian, lengkapi perhitungan

berikut ini.

2 × .... = 1, maka invers perkalian dari 2 adalah ....

−5 × .... = 1, maka invers perkalian dari −5 adalah ....

3

4× .... = 1, maka invers perkalian dari

3

4 adalah ....

−1

2× .... = 1, maka invers perkalian dari −

1

2 adalah ....

3,5 .... = 1, maka invers perkalian dari 3,5 adalah ....

29

Invers perkalian dari suatu bilangan adalah kebalikan (reciprocal)

dari bilangan tersebut. Apabila suatu bilangan dikalikan dengan

kebalikannya maka hasilnya 1. Secara umum ditulis, 𝑝 ×1

𝑝= 1.

4.8 Sifat Distributif

Pada operasi hitung berlaku sifat distributif (penyebaran), yaitu

p × (q + r) = p × q + p × r dan

(p + q) × r = p × r + q × r

Sifat distributif memudahkan kita dalam melakukan operasi hitung.

Contohnya, 25 × 42 dapat diselesaikan sebagai berikut.

25 × 42 = 25 × (40 + 2)

= (25 × 40) + (25 × 2)

= 1000 + 50

= 1050

Contoh lain, 16 × 5 dapat diselesaikan sebagai berikut.

36 × 5 = (30 + 6) × 5

= (30 × 5) + (6 × 5)

= 150 + 30

= 180

30

4.9 Sifat Ketertambahan.

Misalkan p, q, dan r adalah bilangan real. Jika p = q, maka

p + r = q + r. Sifat ini dinamakan sifat ketertambahan, yaitu

menambahkan bilangan yang sama pada kedua ruas penjumlahan

tidak mengubah hasil penjumlahan tersebut.

Sifat ketertambahan digunakan dalam menyelesaikan suatu

persamaan yang memuat operasi penjumlahan.

Contoh:

1. Tentukan nilai m yang memenuhi 3 + m = 12.

Soal ini diselesaikan dengan menerapkan sifat ketertambahan,

yaitu kedua ruas ditambah dengan –3 sebagai berikut.

3 + m + (–3) = 12 + (–3),

m = 9.

2. Tentukan nilai k yang memenuhi.

a) k – 3 = 8

k = 8 + ...

k = ....

b) 2k + 4 = 10 + k

2k – k = .... – ....

k = ....

31

4.10 Sifat Ketergandaan

Misalkan p, q, dan r adalah bilangan real. Jika p = q, maka p×r =

q×r. Sifat ini dinamakan sifat ketergandaan, yaitu mengalikan

bilangan yang sama pada kedua ruas perkalian tidak mengubah hasil

perkalian tersebut.

Sifat ketergandaan diterapkan dalam menyelesaikan suatu

persamaan operasi perkalian.

Contoh:

1. Tentukan nilai m yang memenuhi 8m = 24.

Soal ini diselesaikan dengan menggunakan sifat ketergandaan,

yaitu kedua ruas dikalikan dengan invers dari 8 yaitu 1

8

8m × 1

8 = 24 ×

1

8 ,

m = 3.

2. Tentukan nilai p yang memenuhi

a) 9p – 3 = 15

9p = ............

p = ......

b) 10 – 3p = 4p + 3

4.11 Sifat Kanselasi

Pada operasi penjumlahan dan perkalian bilangan real juga berlaku

sifat kanselasi. Misalkan p, q, dan r adalah bilangan real. Sifat

kanselasi pada penjumlahan yaitu jika p + r = q + r, maka p = q. Sifat

32

kanselasi pada perkalian yaitu jika p × r = q × r dan r ≠ 0, maka

p = q.

Contoh:

1. Tentukan nilai m yang memenuhi 125 + m = 175.

Soal ini dapat diselesaikan dengan menerapkan sifat

ketertambahan, namun juga dapat diselesaikan dengan

menerapkan sifat kanselasi sebagai berikut.

125 + m = 125 + 50, artinya m = 50.

2. Tentukan nilai t yang memenuhi 13t = 39.

Soal ini dapat diselesaikan dengan menerapkan sifat

ketergandaan yaitu membagi kedua ruas dengan 13, namun bisa

juga diselesaikan dengan menerapkan sifat kanselasi sebagai

berikut.

13 × t = 13 × 3, artinya t = 3.

Soal Latihan

1. Lingkari Benar (B) atau Salah (S) pada pernyataan-pernyataan

berikut ini. Apabila salah, tuliskan jawaban yang benarnya.

a. B – S Perkalian bilangan cacah bersifat asosiatif.

b. B – S Pengurangan bilangan asli bersifat tertutup.

c. B – S Invers penjumlahan dari 10 adalah 1

10

d. B – S Invers perkalian dari 25 adalah –25

33

e. B – S Operasi-operasi yang memenuhi sifat komutatif

adalah penjumlahan, pengurangan dan perkalian

bilangan rasional.

2. Pada soal berikut ini, terapkan sifat komutatif dan asosiatif

dalam menghitung hasilnya.

a. 47 + 58 + 12

b. 34 + 23 + 46 + 17

c. 4 × 3,4 × 5

3. Tentukan nilai k.

a. 5 – k = 16 – 2k

b. 4k – 8 = k + 19

c. 3,5 + 2k = 7,7

4. Sifat apakah yang ditunjukkan berikut ini sehingga ruas kiri

dapat dinyatakan menjadi seperti yang tertera pada ruas kanan?

a. (a + b) + ((−c) + c) = a + b

i. ((−c) × a) + ((−c) × b) = (−c) (a + b)

j. (−a) + (−b + b) + c = (−a) + c

k. (a × (−c)) + (b × (−c)) = (a + b) (−c)

34

5. ATURAN PENJUMLAHAN, PENGURANGAN,

PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN

BULAT

Tujuan Pembelajaran:

Mahasiswa mampu menyelesaikan operasi penjumlahan,

pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan.

Operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian

bilangan bulat merupakan operasi hitung yang biasa digunakan

dalam kehidupan sehari-hari. Prosedur melakukan operasi hitung

telah diajarkan sejak sekolah dasar dan selalu digunakan baik dalam

ruang belajar maupun di luar kelas. Aturan-aturan operasi hitungpun

telah dimaklumi secara luas, misalnya perkalian dua bilangan bulat

negatif menghasilkan bilangan positif, perkalian dengan 0

menghasilkan 0, dan lain-lain. Pada bab ini akan dibahas pembuktian

aturan-aturan tersebut dimulai dari aturan penjumlahan dan

pengurangan bilangan bulat.

5.1 Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat

Berikut akan dibahas pembuktian tiga aturan penting dalam

penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.

1. (−𝑝) + (−𝑞) = −(𝑝 + 𝑞)

Bukti

(−𝑝) + (−𝑞) = (−𝑝) + (−𝑞) + 0

= (−𝑝) + (−𝑞) + (𝑝 + 𝑞) + (−(𝑝 + 𝑞))

35

= (𝑝 + (−𝑝)) + (𝑞 + (−𝑞)) + (−(𝑝 + 𝑞))

= 0 + 0 + −(𝑝 + 𝑞)

= −(𝑝 + 𝑞)

Contoh: a. −2 + (−3) = −(2 + 3) = −5

b. −4 + (−2) = −6

2. 𝑝 + (−𝑞) = 𝑝 − 𝑞

Bukti

𝑝 + (−𝑞) = 𝑝 + (−𝑞) + 0

= 𝑝 + (−𝑞) + 𝑞 − 𝑞

= 𝑝 + ((−𝑞) + 𝑞) − 𝑞

= 𝑝 + 0 − 𝑞

= 𝑝 − 𝑞

Contoh: a. 3 + (−2) = 3 − 2 = 1

b. 5 + (−1) = 4

3. 𝑝 − (−𝑞) = 𝑝 + 𝑞

Bukti

Pada no.2 telah dibuktikan bahwa 𝑝 − 𝑞 = 𝑝 + (−𝑞), maka

𝑝 − (−𝑞) = 𝑝 + (−(−𝑞))

= 𝑝 + (−(−𝑞)) + 0

= 𝑝 + (−(−𝑞)) + 𝑞 + (−𝑞)

= 𝑝 + 𝑞 + (−(−𝑞)) + (−𝑞)

= 𝑝 + 𝑞 + 0

= 𝑝 + 𝑞

36

Contoh: a. 2 − (−5) = 2 + 5 = 7

b. 3 − (−1) = 4

Soal Latihan

Jawablah soal-soal berikut.

1. –4 + (–5) =

2. 4 + (–1) =

3. –2 + (–6) =

4. 3 – (–2) =

5. –5 – (–1) =

5.2 Aturan Perkalian Bilangan Bulat

Berikut akan dibahas tiga aturan penting dalam perkalian bilangan

bulat dimulai dari aturan yang pertama yaitu perkalian dengan 0

menghasilkan 0.

1. 𝑝. 0 = 0

Bukti

𝑝. 0 = 𝑝. 0 + 0

= 𝑝. 0 + 𝑝𝑞 + (−(𝑝𝑞))

= 𝑝(0 + 𝑞) + (−(𝑝𝑞))

= 𝑝𝑞 + (−(𝑝𝑞))

= 0

37

2. 𝑝(−𝑞) = −(𝑝𝑞) dan (−𝑝)𝑞 = −(𝑝𝑞)

Aturan ini menyebutkan bahwa bilangan positif dikali

bilangan negatif, hasilnya adalah bilangan negatif.

Bukti

Pertama akan ditunjukkan bahwa 𝑝(−𝑞) = −(𝑝𝑞)

𝑝(−𝑞) = 𝑝(−𝑞) + 0

= 𝑝(−𝑞) + 𝑝𝑞 + (−(𝑝𝑞))

= 𝑝(−𝑞 + 𝑞) + (−(𝑝𝑞))

= 𝑝(0) + (−(𝑝𝑞))

= 0 + (−(𝑝𝑞))

= −(𝑝𝑞)

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (−𝑝)𝑞 = −(𝑝𝑞)

(−𝑝)𝑞 = (−𝑝)𝑞 + 0

= (−𝑝)𝑞 + 𝑝𝑞 + (−(𝑝𝑞))

= (−𝑝 + 𝑝)𝑞 + (−(𝑝𝑞))

= (0)𝑞 + (−(𝑝𝑞))

= 0 + (−(𝑝𝑞))

= −(𝑝𝑞)

3. (−𝑝)(−𝑞) = 𝑝𝑞

Aturan ini menyebutkan bahwa bilangan negatif dikali

dengan bilangan negatif, hasilnya adalah bilangan positif.

Bukti

(−𝑝)(−𝑞) = (−𝑝)(−𝑞) + 0

= (−𝑝)(−𝑞) + 𝑝𝑞 + (−(𝑝𝑞))

38

= ((−𝑝)(−𝑞) + (−(𝑝𝑞))) + 𝑝𝑞

Pada aturan no.2 telah dibuktikan bahwa−(𝑝𝑞) = (−𝑝)𝑞,

maka

= ((−𝑝)(−𝑞) + ((−𝑝)𝑞)) + 𝑝𝑞

= (−𝑝)(−𝑞 + 𝑞) + 𝑝𝑞

= (−𝑝)(0) + 𝑝𝑞

= 0 + 𝑝𝑞

= 𝑝𝑞

Soal Latihan

Tentukan hasil perkalian bilangan-bilangan bulat berikut ini.

1. 1000 × 0 = ……

2. 0 × (–250) = ……

3. 4 × (–3) = ……

4. –2 × 6 = ……

5. –7 × (–2) = ………

6. Jika 50 × a = 0, maka a = …….

5.3 Aturan Pembagian Bilangan Bulat

Ingat kembali definisi pembagian bilangan bulat, yaitu 𝑝 ÷ 𝑞 =

𝑟 ⟺ 𝑝 = 𝑞𝑟, dimana 𝑞 ≠ 0. Hal ini menunjukkan bahwa operasi

pembagian berkaitan erat dengan operasi perkalian.

39

Dari aturan perkalian p(–q) = –(pq), maka menurut definisi

pembagian:

–(pq) ÷ p = –q

–(pq) ÷ (–q) = p

Begitu juga untuk (–p)q = –(pq), maka menurut definisi pembagian:

–(pq) ÷ (–p) = q

–(pq) ÷ q = –p

Demikian pula untuk (–p)( –q) = pq, maka:

pq ÷ (–p) = –q dan

pq ÷ (–q) = –p

Dari turunan di atas dapat disimpulkan:

1. Bilangan negatif dibagi bilangan positif hasilnya bilangan

negatif.

2. Bilangan positif dibagi bilangan negatif hasilnya bilangan

negatif.

3. Bilangan negatif dibagi bilangan negatif hasilnya bilangan

positif.

Berikut akan dijabarkan aturan-aturan pembagian bilangan bulat.

1. p ÷ 1 = p.

Bukti

Mencari hasil pembagian p ÷ 1 = …., artinya mencari bilangan

yang memenuhi p = 1 × …. Dari sifat identitas perkalian

40

diketahui bilangan yang memenuhi adalah p yaitu p = 1 × p. Jadi,

p ÷ 1 = p. Disimpulkan bahwa semua bilangan bulat dibagi 1

hasilnya adalah bilangan bulat itu sendiri.

Contoh:

a. 5 ÷ 1 = 5

b. –7 ÷ 1 = –7

c. 0 ÷ 1 = 0

d. 100 ÷ 1 = 100

e. –2500 ÷ 1 = –2500

2. p ÷ p = 1

Bukti

Sama seperti pembuktian no.1, mencari hasil pembagian p ÷ p

adalah mencari bilangan yang memenuhi p = p × …. Dari sifat

identitas perkalian diketahui bilangan yang memenuhi adalah 1

karena p = p × 1.

Disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat dibagi dengan dirinya

sendiri hasilnya adalah 1.

Contoh:

a. 2 ÷ 2 = 1

b. –4 ÷ –4 = 1

c. 1000 ÷ 1000 = 1

41

3. p × (1 ÷ p) = 1

Bukti

Pembuktiaan dilakukan dengan mencari hasil perkalian

p × (1 ÷ p) = …. Dari definisi invers perkalian diketahui bahwa

(1 ÷ p) adalah invers perkalian dari p. Telah diketahui pula bahwa

hasil perkalian suatu bilangan dengan inversnya adalah 1. Jadi,

p × (1 ÷ p) = 1.

Contoh:

a. 6 × (1 ÷ 6) = 1

b. –5 × (1 ÷ (–5)) = 1

c. –30 × (1 ÷ (–30)) = 1

4. p ÷ (p ÷ q) = q

Bukti:

Untuk mencari hasil pembagian p ÷ (p ÷ q) = …, terlebih dahulu

dimisalkan (p ÷ q) = k, maka dari definisi pembagian dapat ditulis

p = q × k, atau p = k × q. Substitusikan kembali nilai k sehingga

didapatkan p = (p ÷ q) × q.

Menurut definisi pembagian, p = (p ÷ q) × q

artinya p÷(p÷q) = q.

Contoh:

a. 7 ÷ (7 ÷ 3) = 3

b. –2 ÷ ((–2) ÷ 5) = 5

c. –3 ÷ ((–3) ÷ (–4)) = –4

42

5. p ÷ q = p × (1 ÷ q)

Bukti

p ÷ q = (p ÷ q) × 1

= (p ÷ q) × [q × (1 ÷ q)]

= [(p ÷ q) × q] × (1 ÷ q)

Pada aturan 4 telah ditunjukkan bahwa p ÷ (p ÷ q) = q.

Berdasarkan definisi pembagian, ini berarti p = (p ÷ q) × q, atau

(p ÷ q) × q = p.

Jadi, [(p ÷ q) × q] × (1 ÷ q) = p × (1 ÷ q), maka terbukti

bahwa p ÷ q = p × (1 ÷ q).

Contoh:

a. 2 ÷ 3 = 2 × (1 ÷ 3)

b. 4 ÷ (–7) = 4 × (1 ÷ –7)

6. (1 ÷ p) × (1 ÷ q) = 1 ÷ pq

Bukti

(1 ÷ p) × (1 ÷ q) = 1 × (1 ÷ p) × (1 ÷ q)

= (pq ÷ pq) × (1 ÷ p) × (1 ÷ q) (aturan 2)

= [pq×(1 ÷ pq)]×(1 ÷ p) × (1 ÷ q) (aturan 4)

= [p × (1 ÷ p)] × [q × (1 ÷ q)] × (1 ÷ pq)

= 1 × 1 × (1 ÷ ab) (aturan 3)

= 1 ÷ pq

Contoh:

a. (1 ÷ 2) × (1 ÷ 3) = 1 ÷ (2.3) = 1 ÷ 6

43

b. (1 ÷ (–4)) × (1 ÷ 5) = 1 ÷ (–4.5) = 1 ÷ (–20)

c. (1 ÷ (–3)) × (1 ÷ (–6)) = 1 ÷ ((–3)( –6)) = 1 ÷ 18

7. (p ÷ q) × (r ÷ s) = pr ÷ qs

Bukti:

(p ÷ q) × (r ÷ s) = [p × (1 ÷ q)] × [r × (1 ÷ s)] (aturan 5)

= pr × [(1 ÷ q) × (1 ÷ s)]

= pr × (1 ÷ qs) (aturan 6)

= pr ÷ qs (aturan 4)

Catatan:

Perkalian (p ÷ q) × (r ÷ s) = pr ÷ qs dapat pula ditulis dalam

bentuk pecahan sebagai berikut. 𝑝

𝑞 ×

𝑟

𝑠=

𝑝𝑟

𝑞𝑠

Dapat disimpulkan bahwa cara menghitung perkalian dua

pecahan adalah pembilang kali pembilang dan penyebut kali

penyebut.

Contoh:

a. (2 ÷ 5) × (3 ÷ 4) =2

5 ×

3

4=

2 × 3

5 × 4=

6

20=

3

10

b. (1 ÷ (–5)) × (6 ÷ 7) =1

−5 ×

6

7=

1 × 6

−5 × 7=

6

−35= −

6

35

8. (p ÷ q) + (r ÷ q) = (p + q) ÷ r

Bukti

(p ÷ q) + (r ÷ q) = [p × (1 ÷ q)] + [r × (1 ÷ q)] (aturan 5)

= (p + r) × (1 ÷ q)

= (p + r) ÷ q (aturan 5)

44

Catatan:

Penjumlahan (p ÷ q) + (r ÷ q) = (p + r) ÷ q dapat pula ditulis

dalam bentuk pecahan 𝑝

𝑞+

𝑟

𝑞=

𝑝 + 𝑟

𝑞

Dapat disimpulkan bahwa cara menjumlahkan dua pecahan

berpenyebut sama adalah dengan menjumlahkan kedua

pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap.

Contoh:

a. (4 ÷ 5) + (7 ÷ 5) = 4

5+

7

5=

4 + 7

5=

11

5= 2

1

5

b. (3 ÷ 4) + ((–1) ÷ 4) = 3

4+

−1

4=

3 +(−1)

4=

3−1

4=

2

4=

1

2

9. (p ÷ q) ÷ (r ÷ s) = ps ÷ qr

Bukti

Dengan menggunakan bentuk pecahan, (p ÷ q) ÷ (r ÷ s) dapat

dijabarkan sebagai berikut.

(p ÷ q) ÷ (r ÷ s) =

𝑝

𝑞𝑟

𝑠

=

𝑝

𝑞𝑟

𝑠

× 1

=

𝑝

𝑞𝑟

𝑠

× 𝑠

𝑟𝑠

𝑟

= 𝑝

𝑞 ×

𝑠

𝑟

1

= 𝑝

𝑞 ×

𝑠

𝑟

45

=𝑝𝑠

𝑞𝑟

Jadi (p ÷ q) ÷ (r ÷ s) = ps ÷ qr.

Catatan: Dapat disimpulkan pembagian dua pecahan dapat

ditulis sebagai perkalian, dimana suku kedua dibalik.

Contoh

a. (3 ÷ 2) ÷ (4 ÷ 5) =3

2÷

4

5=

3 ×5

2 ×4=

15

8= 1

7

8

b. (–1 ÷ 3) ÷ (2 ÷ (–7)) =−1

3÷

2

−7=

−1 ×(−7)

3 ×2=

7

6= 1

1

6

Soal Latihan

Selesaikan soal-soal pembagian berikut ini.

1. –5 ÷ (2 ÷ (–4))

2. 5 ÷ ((–2) ÷ (–4))

3. ((–5) ÷2) ÷ (–4)

4. (–4 ÷ 3) × (2 ÷ 8)

5. (1 ÷ (–6)) × (1÷2)

6. (9 ÷ (–2)) ÷ (3÷4)

46

6. URUTAN BILANGAN BULAT

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu menentukan urutan bilangan bulat.

Urutan bilangan bulat merupakan relasi yang menggambarkan nilai

suatu bilangan bulat terhadap bilangan bulat lainnya. Urutan

bilangan bulat dapat digambarkan pada garis bilangan sebagai

berikut.

Pada garis bilangan, apabila suatu bilangan 𝑝 terletak di sebelah

kanan bilangan 𝑞, maka 𝑝 lebih besar nilainya daripada 𝑞. Namun

apabila 𝑝 berada di sebelah kiri 𝑞, maka 𝑝 lebih kecil nilainya

daripada 𝑞. Contohnya, –2 lebih besar dari –3, tetapi –2 lebih kecil

dari 0. Simbol untuk menyatakan 𝑝 lebih besar dari 𝑞 adalah 𝑝 > 𝑞,

dan simbol untuk menyatakan 𝑝 lebih kecil dari 𝑞 adalah 𝑝 < 𝑞.

Pada relasi urutan bilangan bulat berlaku sifat transitif, yaitu

jika 𝑝 < 𝑞 dan 𝑞 < 𝑟, maka 𝑝 < 𝑟. Sebagai contoh, −1 < 4 dan 4 <

5, maka −1 < 5.

Perlu diingat, 5 > 4 sama artinya dengan 4 < 5.

Begitu juga –2 < 0 sama artinya dengan 0 > –2.

Secara umum ditulis, (𝑝 > 𝑞) ⟺ (𝑞 < 𝑝) dan (𝑝 < 𝑞) ⟺ (𝑞 > 𝑝).

-2 -1 1 2 3 4 5 0 -5 -4 -3

47

Definisi urutan bilangan bulat.

Untuk bilangan bulat 𝑝 dan 𝑞, berlaku 𝑝 < 𝑞 jika dan hanya jika

terdapat sebuah bilangan bulat positif 𝑟 sehingga 𝑝 + 𝑟 = 𝑞.

Contoh:

a. 2 < 5 artinya terdapat suatu bilangan bulat positif yaitu …

sehingga 2 + … = 5.

b. –3 < –1 artinya terdapat suatu bilangan bulat positif yaitu …

sehingga –3 + … = –1.

c. –4 < 2 artinya terdapat suatu bilangan bulat positif yaitu …

sehingga –4 + … = 2.

Ingat kembali aturan pada perkalian bilangan positif dan negatif

a. Jika 𝑝 > 0 dan 𝑞 > 0 maka 𝑝𝑞 > 0

b. Jika 𝑝 > 0 dan 𝑞 < 0 maka 𝑝𝑞 < 0

c. Jika 𝑝 < 0 dan 𝑞 < 0 maka 𝑝𝑞 > 0

Poin a, b dan c di atas menyatakan bahwa perkalian bilangan positif

dengan bilangan positif menghasilkan bilangan positif; perkalian

bilangan positif dengan bilangan negatif menghasilkan bilangan

negatif; dan perkalian bilangan negatif dengan bilangan negatif

menghasilkan bilangan positif.

Ketiga poin di atas dapat juga dilihat sebagai berikut.

a. Untuk 𝑝𝑞 > 0, jika 𝑝 > 0 maka 𝑞 > 0.

Begitu juga, jika 𝑞 > 0 maka 𝑝 > 0.

b. Untuk 𝑝𝑞 > 0, jika 𝑝 < 0 maka 𝑞 < 0.

Begitu juga, jika 𝑞 < 0 maka 𝑝 < 0.

48

c. Untuk 𝑝𝑞 < 0, jika 𝑝 > 0 maka 𝑞 < 0.

Begitu juga, jika 𝑞 > 0 maka 𝑝 < 0.

Berikut ini akan dibahas beberapa sifat dan aturan yang berlaku pada

relasi urutan bilangan bulat.

1. Sifat ketertambahan pada ketaksamaan. Yaitu jika 𝑝 < 𝑞,

maka 𝑝 + 𝑐 < 𝑞 + 𝑐.

Bukti

𝑝 < 𝑞 artinya terdapat suatu bilangan bulat positif 𝑟 sehingga

𝑝 + 𝑟 = 𝑞.

Menambahkan kedua ruas dengan suatu bilangan bulat 𝑐

diperoleh (𝑝 + 𝑟) + 𝑐 = 𝑞 + 𝑐.

atau (𝑝 + 𝑐) + 𝑟 = 𝑞 + 𝑐.

Jadi, (𝑝 + 𝑐) < (𝑞 + 𝑐).

Contoh:

a. 1 < 4, maka (1 + 2) < (4 + 2) yaitu 3 < 6.

b. –2 < 5, maka (–2 + 3) < (5 + 3) yaitu 1 < 8.

c. –3 < 6, maka (–3 + (–2)) < (6 + (–2)) yaitu –5 < 4.

2. Sifat kanselasi pada ketaksamaan. Yaitu jika (𝑝 + 𝑐) < (𝑞 +

𝑐) maka 𝑝 < 𝑞.

Bukti

(𝑝 + 𝑐) < (𝑞 + 𝑐) berarti terdapat suatu bilangan bulat

positif 𝑟 sehingga (𝑝 + 𝑐) + 𝑟 = 𝑞 + 𝑐.

49

Apabila kedua ruas ditambahkan dengan – 𝑐 maka diperoleh

(𝑝 + 𝑐) + 𝑟 + (−𝑐) = 𝑞 + 𝑐 + (−𝑐). Sehingga didapatkan

𝑝 + 𝑟 = 𝑞. Ini artinya 𝑝 < 𝑞.

3. Misalkan 𝑝, 𝑞 dan 𝑟 adalah bilangan bulat.

a. Untuk 𝑟 > 0, berlaku 𝑝 < 𝑞 jika dan hanya jika 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟.

b. Untuk 𝑟 < 0, berlaku 𝑝 < 𝑞 jika dan hanya jika 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟.

Aturan 3a mengatakan bahwa pada ketaksamaan 𝑝 < 𝑞,

apabila kedua ruas dikalikan dengan suatu bilangan bulat

positif 𝑟, maka 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟. Begitu juga sebaliknya, pada

ketaksamaan 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟, apabila 𝑟 > 0, maka 𝑝 < 𝑞.

Sebagai contoh, 3 < 5. Bila kedua ruas dikalikan dengan 2,

maka diperoleh (3 × 2) < (5 × 2) yaitu 6 < 10.

Aturan 3b mengatakan bahwa pada ketaksamaan 𝑝 < 𝑞,

apabila kedua ruas dikalikan dengan suatu bilangan bulat

negatif 𝑟, maka 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟. Begitu pula sebaliknya, pada

ketaksamaan 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟, apabila 𝑟 < 0, maka 𝑝 < 𝑞.

Sebagai contoh, 3 < 5. Bila kedua ruas dikalikan dengan –2,

maka diperoleh (3 × (−2)) > (5 × (−2)) yaitu −6 > −10.

Dengan kata lain, apabila kedua ruas ketaksamaan dikali

dengan suatu bilangan positif, maka tanda ketaksamaannya

tetap. Namun apabila kedua ruas ketaksamaan dikali dengan

bilangan negatif, maka tanda ketaksamaannya berubah.

50

Berikut akan diberikan pembuktian untuk aturan 3a dan 3b.

3a. Untuk bilangan bulat 𝑝, 𝑞 dan 𝑟. Apabila 𝑟 > 0, berlaku 𝑝 < 𝑞

jika dan hanya jika 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟.

Pernyataan di atas memuat relasi ‘jika dan hanya jika’, artinya

berlaku dua arah yaitu:

1) jika 𝑝 < 𝑞 maka 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟, dan sebaliknya

2) jika 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟 maka 𝑝 < 𝑞.

Oleh karena itu, pembuktiannya ada dua arah.

Bukti

1) Akan ditunjukkan bahwa jika 𝑝 < 𝑞 maka 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟.

𝑝 < 𝑞 berarti terdapat bilangan bulat positif 𝑘 sehingga

𝑝 + 𝑘 = 𝑞. Apabila kedua ruas dikalikan dengan 𝑟, maka

diperoleh:

(𝑝 + 𝑘) × 𝑟 = 𝑞 × 𝑟

(𝑝𝑟) + (𝑘𝑟) = 𝑞𝑟

(𝑘𝑟) bernilai positif, maka berdasarkan definisi urutan

bilangan bulat disimpulkan bahwa 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟.

2) Akan ditunjukkan bahwa jika 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟 maka < 𝑞.

Pada ketaksamaan 𝑝𝑟 < 𝑞𝑟, bila kedua ruas ditambah dengan

(–𝑞𝑟), maka diperoleh:

𝑝𝑟 + (−𝑞𝑟) < 𝑞𝑟 + (−𝑞𝑟)

(𝑝 + (−𝑞)) × 𝑟 < 0

Karena 𝑟 > 0, maka (𝑝 + (−𝑞)) < 0

Lalu, menambahkan kedua ruas dengan 𝑞 diperoleh:

51

𝑝 + (−𝑞) + 𝑞 < 0 + 𝑞

Jadi, 𝑝 < 𝑞.

3b. Untuk bilangan bulat 𝑝, 𝑞 dan 𝑟. Apabila 𝑟 < 0, berlaku 𝑝 < 𝑞

jika dan hanya jika 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟.

Pernyataan ini berarti:

1) jika 𝑝 < 𝑞 maka 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟, dan sebaliknya

2) jika 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟 maka 𝑝 < 𝑞.

Bukti

1) Akan ditunjukkan bahwa jika 𝑝 < 𝑞 maka 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟.

𝑝 < 𝑞 berarti berarti terdapat bilangan bulat positif 𝑘 sehingga

𝑝 + 𝑘 = 𝑞.

Tambahkan kedua ruas dengan – 𝑘, diperoleh:

𝑝 = 𝑞 + (−𝑘)

Mengalikan kedua ruas dengan 𝑟, diperoleh:

𝑝𝑟 = (𝑞 + (−𝑘))𝑟

𝑝𝑟 = 𝑞𝑟 + (−𝑘𝑟) atau 𝑞𝑟 + (−𝑘𝑟) = 𝑝𝑟

Karena (−𝑘𝑟) > 0, maka menurut definisi urutan bilangan

bulat disimpulkan bahwa 𝑞𝑟 < 𝑝𝑟, atau 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟.

2) Akan ditunjukkan bahwa 𝑝𝑟 > 𝑞𝑟 maka 𝑝 < 𝑞.

𝑝𝑟 > 𝑞𝑟

𝑝𝑟 + (−𝑞𝑟) > 𝑞𝑟 + (−𝑞𝑟)

(𝑝 + (−𝑞)) × 𝑟 > 0

Karena 𝑟 < 0 maka (𝑝 + (−𝑞)) < 0

𝑝 + (−𝑞) + 𝑞 < 0 + 𝑞

Jadi, 𝑝 < 𝑞.

52

Soal Latihan

Untuk soal nomor 1 sampai 6, pilihlah pilihan jawaban yang paling

benar. Soal nomor 1 sampai 4 dikutip dari buku Herry Sukarman

yang berjudul Teori Bilangan.

1. Jika p, q, dan r bilangan bulat dan p > q, maka ….

a. p × r > q × r

b. p × r < q × r

c. p – r > q – r

2. Jika a × (–c) < b × (–c) maka a < b. Dari pernyataan ini dapat

disimpulkan bahwa

a. c adalah bilangan bulat tidak nol

b. c adalah bilangan bulat positif

c. c adalah bilangan bulat negatif

3. Jika (p + q) × r < 0 dan (p + q) > 0, maka …..

a. p > q

b. r > 0

c. r < 0

4. Jika p, q, r, dan s bilangan bulat dengan p > q dan r > s, maka

pernyataan yang benar adalah …..

a. p × r > q × r

b. p + r > q + r

c. p – q > r – s

53

Soal nomor 5 dan 6 berikut ini dikutip dari laporan penelitian

Zachary Scott McIntyre (2005).

Untuk soal 7 dan 8, uraikan jawaban Anda.

7. Jika 𝑎 > 0, kapankah 𝑎𝑏 bernilai negatif?

8. Jika diketahui (𝑝 + 𝑞) (𝑝𝑞) > 0 dan 𝑝𝑞 < 0, maka apa yang

dapat disimpulkan tentang 𝑝 dan 𝑞?

5. Diketahui x adalah suatu bilangan Riil. Apabila x < 5,

maka manakah yang benar dari tiga pilihan jawaban

berikut ini?

a. x + 1 = 5

b. x + 1 < 5

c. x + 1 < 6

6. Apabila diketahui x adalah bilangan Riil yang nilainya

lebih besar dari 7, maka nilai 2x + 1 ….

a. sama dengan 17

b. lebih besar dari 15

c. lebih besar dari 16

54

7. KETERBAGIAN BILANGAN BULAT

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu menentukan keterbagian suatu bilangan bulat.

Konsep keterbagian berkaitan erat dengan konsep faktor dan

kelipatan. Pada bab ini akan dibahas tentang keterbagian bilangan

bulat dan teorema-teorema yang berlaku pada keterbagian bilangan

bulat.

Definisi Keterbagian

Untuk bilangan bulat 𝑝 dan 𝑞, 𝑝 habis membagi 𝑞 (ditulis 𝑝|𝑞) jika

dan hanya jika terdapat tepat satu bilangan bulat 𝑘 sehingga 𝑝𝑘 = 𝑞.

Contoh:

3|18 karena terdapat tepat satu bilangan bulat yaitu 6 sehingga

3×6 =18.

3∤20 (dibaca: 3 tidak habis membagi 20) karena tidak terdapat

bilangan bulat 𝑘 yang memenuhi 3 × 𝑘 = 20.

4|32 karena terdapat tepat satu bilangan bulat yaitu 8 sehingga

4×8 =32.

4∤25 karena tidak terdapat bilangan bulat 𝑘 yang memenuhi

4 × 𝑘 = 25.

Sebagaimana dapat dilihat dari contoh di atas, jika 𝑝|𝑞 maka 𝑝 adalah

faktor dari 𝑞; dan 𝑞 adalah kelipatan dari 𝑝.

55

Dari yang berikut ini, manakah yang benar?

a. 77|7

b. 7|77

c. 24|24

d. 0|24

e. 24|0

Berikut akan dibahas beberapa teorema yang berlaku pada

keterbagian bilangan bulat.

1. Jika 𝑝|𝑞 dan 𝑞|𝑟, maka 𝑝|𝑟.

Bukti

𝑝|𝑞 berarti terdapat satu bilangan bulat 𝑘 sehingga 𝑝𝑘 = 𝑞.

Begitu juga 𝑞|𝑟 berarti terdapat satu bilangan bulat 𝑚 sehingga

𝑞𝑚 = 𝑟. Dengan mensubstitusikan 𝑝𝑘 = 𝑞 ke 𝑞𝑚 = 𝑟 diperoleh

𝑝𝑘𝑚 = 𝑟. Atau ditulis 𝑝(𝑘𝑚) = 𝑟. Karena 𝑘𝑚 adalah bilangan

bulat, maka berdasarkan definisi keterbagian dapat disimpulkan

bahwa 𝑝|𝑟.

Contoh:

a. Jika 3|6 dan 6|24 maka 3|24.

b. Jika (–2)|4 dan 4|8 maka (–2)|8.

c. Jika 5|(–10) dan (–10)|250 maka 5|250.

2. Jika 𝑝|𝑞 dan 𝑝|𝑟 maka 𝑝|(𝑞 + 𝑟).

Bukti

56

𝑝|𝑞 berarti terdapat suatu bilangan 𝑚 sehingga 𝑝𝑚 = 𝑞. Begitu

juga 𝑝|𝑟 berarti terdapat suatu bilangan 𝑛 sehingga 𝑝𝑛 = 𝑟. Jika

dijumlahkan, 𝑝𝑚 + 𝑝𝑛 = 𝑞 + 𝑟

𝑝(𝑚 + 𝑛) = 𝑞 + 𝑟

(𝑚 + 𝑛) adalah suatu bilangan bulat, maka dari definisi

keterbagian dapat disimpulkan bahwa 𝑝|(𝑞 + 𝑟).

Contoh:

a. Jika 4|12 dan 4|16 maka 4|(12 + 16) yaitu 4|28.

b. Jika 2|(–6) dan (–6)|18 maka 2|(–6+18) yaitu 2|12.

c. Jika (–3)| (–9) dan (–9)|27 maka (–3)|( (–9 + 27) yaitu (–

3)|18.

3. Jika 𝑝|𝑞 maka 𝑝|𝑟𝑞 untuk sembarang bilangan bulat 𝑟. Dengan

kata lain, jika 𝑝|𝑞, maka 𝑝 membagi semua kelipatan 𝑞.

Bukti

𝑝|𝑞 berarti terdapat bilangan bulat 𝑘 sehingga 𝑝𝑘 = 𝑞. Apabila

kedua ruas dikali dengan suatu bilangan bulat 𝑟, maka diperoleh

𝑝𝑘𝑟 = 𝑞𝑟. Atau dapat ditulis 𝑝(𝑘𝑟) = 𝑞𝑟. Menurut definisi

keterbagian, dapat disimpulkan bahwa 𝑝|𝑞𝑟.

Contoh:

Diketahui 5|30. Maka 5| (30 × (–2))

5| (30 × 0)

5| (30 × 4)

5| (30 × 31), dan seterusnya.

57

4. Jika 𝑝|𝑞 dan 𝑞|𝑝 maka 𝑝 = 𝑞 atau 𝑝 = −𝑞.

Bukti

𝑝|𝑞 berarti terdapat bilangan bulat 𝑘 sehingga 𝑝𝑘 = 𝑞. Begitu

juga, 𝑞|𝑝 berarti terdapat bilangan bulat 𝑙 sehingga 𝑞𝑙 = 𝑝.

Dengan mensubstitusikan 𝑞 = 𝑝𝑘 ke 𝑞𝑙 = 𝑝, diperoleh 𝑝𝑘𝑙 = 𝑝.

Menurut aturan perkalian, haruslah 𝑘𝑙 = 1. Hal ini hanya

dipenuhi oleh 𝑘 = 𝑙 = 1 atau 𝑘 = 𝑙 = −1.

Untuk 𝑘 = 𝑙 = 1 maka 𝑝𝑘 = 𝑞 menjadi 𝑝 = 𝑞.

Untuk 𝑘 = 𝑙 = −1 maka 𝑞𝑙 = 𝑝 menjadi 𝑝(−1) = 𝑞 atau

𝑝 = −𝑞.

Soal Latihan

Jawablah soal-soal berikut. Untuk nomor 1 dan 2, lingkari semua

pilihan jawaban yang Anda anggap benar.

1. Diantara yang berikut ini mana sajakah yang benar?

a. 2|4

b. 4|2

c. 6|60

d. 60|6

e. 3|(–9)

f. (–9)|3

2. Diketahui 5|10. Maka mana sajakah dari yang berikut ini yang

benar?

58

a. 5 adalah faktor dari 10.

b. 10 adalah faktor dari 5.

c. 5 adalah kelipatan dari 10.

d. 10 adalah kelipatan dari 5.

Untuk soal nomor 3 sampai 5, uraikan jawaban Anda.

3. Benarkah jika 𝑝 > 𝑞, maka 𝑝 tidak habis membagi 𝑞?

4. Benarkah jika 𝑝|𝑚 dan 𝑞|𝑛 maka 𝑝𝑞|𝑚𝑛? Jika benar, buktikan

dan berikan contohnya.

5. Benarkah jika 𝑝|𝑚 dan 𝑝|𝑛 maka 𝑝|(𝑚 − 𝑛)? Jika benar,

buktikan dan berikan contohnya.

59

8. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu menentukan fpb dari 2 bilangan atau lebih.

Pada Bab Pendahuluan telah dijelaskan makna dari faktor. Pada bab

ini akan dibahas tentang faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua

bilangan. Untuk itu perhatikan uraian berikut ini.

Bilangan 24 dihasilkan dari perkalian bilangan-bilangan asli berikut.

24 = 1 × 24

= 2 × 12

= 3 × 8

= 4 × 6

Jadi, faktor-faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 dan 24.

Bagaimana dengan faktor-faktor dari 36? Bilangan 36 didapatkan

dari perkalian bilangan-bilangan asli berikut.

36 = 1 × 36

= 2 × 18

= 3 × 12

= 4 × 9

= 6 × 6

Jadi, faktor-faktor dari 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 dan 36.

60

Dari jabaran di atas dapat dilihat bahwa faktor-faktor persekutuan

dari 24 dan 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. Secara umum, istilah faktor

persekutuan dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi faktor persekutuan.

Untuk bilangan bulat 𝑘, 𝑝 dan 𝑞, apabila 𝑘|𝑝 dan 𝑘|𝑞 maka 𝑘 adalah

faktor persekutuan dari 𝑝 dan 𝑞.

Telah didapatkan faktor-faktor persekutuan dari 24 dan 36 di atas,

yaitu 1, 2, 3, 4, 6 dan 12. Dari fakor-faktor persekutuan ini, manakah

faktor persekutuan terbesarnya? Jawabannya adalah 12. Oleh karena

itu 12 disebut sebagai faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 24 dan

36, ditulis fpb(24, 36) = 12.

Secara umum, istilah FPB dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi FPB.

Suatu bilangan bulat 𝑟 adalah faktor persekutuan terbesar dari

bilangan bulat 𝑝 dan 𝑞, ditulis 𝑟 = fpb(𝑝, 𝑞), apabila 𝑟 lebih besar

dari semua faktor-faktor persekutuan 𝑝 dan 𝑞.

Contoh:

1. fpb(3, 12) = ....

2. fpb(15, 24) = ....

3. fpb(45, 60) = ....

4. fpb(9, 23) = ....

5. fpb(17, 25) = ....

61

Catatan. Jika fpb(𝑝, 𝑞) = 1, maka dikatakan 𝑝 dan 𝑞 saling prima

atau 𝑝 prima relatif dengan 𝑞.

Berapakah FPB dari 32 dan 0?

Menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya, mula-mula

dijabarkan faktor-faktor dari masing-masing 32 dan 0.

32 = 1 × 32

= 2 × 16

= 4 × 8

Jadi, faktor dari 32 adalah 1, 2, 4, 8, 16 dan 32.

Bagaimana dengan faktor-faktor dari 0?

0 = 0 × 0

= 0 × 1

= 0 × 2

= 0 × 3

dan seterusnya.

Jadi faktor dari 0 adalah semua bilangan bulat.

Dapat dilihat bahwa faktor-faktor persekutuan dari 32 dan 0 adalah

1, 2, 4, 8, 16 dan 32. Dan faktor persekutuan terbesarnya adalah 12,

ditulis fpb(32, 0) = 32.

Kesimpulan apakah yang dapat Anda ambil dari penjabaran di atas?

62

Tentukanlah:

fpb(12, 0) = ….

fpb(15, 0) = ….

fpb(0, 127) = ….

fpb(5374, 0) = …

Ada beberapa cara menentukan FPB dari dua bilangan. Salah

satunya adalah dengan cara mendaftarkan faktor-faktor persekutuan

dari kedua bilangan tersebut sebagaimana dicontohkan di atas. Cara

lainnya adalah dengan pohon faktor atau faktorisasi prima.

Cara-cara ini dapat digunakan untuk menentukan FPB dari

dua bilangan yang relatif kecil nilainya. Namun untuk bilangan yang

besar, misalnya menentukan FPB dari 31.145 dan 387.597,

dibutuhkan cara lain yang lebih efisien. Oleh karena itu berikut ini

akan dibahas tentang algoritma pembagian.

Algoritma Pembagian

Untuk memahami tentang algoritma pembagian, terlebih dahulu

mari ingat kembali cara pembagian yang diajarkan di SD dengan

cara bersusun ke bawah. Misalnya 117 ÷ 31. Soal ini diselesaikan

sebagai berikut.

Pada penyelesaian soal di atas, 117 adalah bilangan yang dibagi

(dividen), 31 adalah pembagi (divisor), 3 adalah hasil bagi

63

(quotient), dan 24 adalah sisa pembagian (remainder). Jadi

pembagian 117 ÷ 31 dapat ditulis sebagai 117

31= 3 +

24

31. Apabila

kedua ruas dikali dengan 31, maka penulisannya menjadi 117 =

31 × 3 + 24.

Secara umum, pembagian 𝑏 oleh 𝑎 dengan hasil bagi 𝑞 dan

sisa pembagian 𝑟 dapat ditulis sebagai berikut:

𝑏

𝑎= 𝑞 +

𝑟

𝑎 atau 𝑏 = 𝑎𝑞 + 𝑟

Contoh:

a. 9 : 4 = 9

4= 2

1

4 atau

9

4= 2 +

1

4 dapat juga ditulis menjadi:

9 = 2 × 4 + 1.

b. 16 : 5 = 16

5= 3

1

5 atau

16

5= 3 +

1

5 dapat juga ditulis menjadi:

16 = 5 × 3 + 1.

Berkaitan dengan penjabaran di atas, berikut ini diberikan dua

teorema yang dapat membantu memudahkan dalam menentukan fpb

dari dua bilangan.

Teorema 1.

Untuk bilangan bulat a dan b, dimana a > 0, terdapat satu pasang

bilangan bulat q dan r sehingga b = aq + r dengan 0 ≤ r < a , dimana

q adalah hasil bagi dan r adalah sisa pembagian b oleh a.

64

Contoh:

1. Misalkan a = 7 dan b = 12, maka 12 : 7 dapat ditulis menjadi

12 = 7q + r. Di sini, q = 1 dan r = 5, yaitu 12 = 7 × 1 + 5.

2. Misalkan a = 4 dan b = 21, maka 21 : 4 dapat ditulis menjadi

21 = 4q + r. Di sini q = 5 dan r = 1, yaitu 21 = 4 × 5 + 1.

3. Misalkan a = 3 dan b = 18, maka 18 : 3 dapat ditulis menjadi

18 = 3q + r. Di sini q = 6 dan r = 0, yaitu 18 = 3 × 6 + 0.

Teorema 2.

Untuk bilangan bulat a, b, q dan r, berlaku aturan berikut ini.

Jika b = aq + r, maka fpb(b, a) = fpb(a, r).

Contoh:

1) 12 = 7 × 1 + 5.

Maka menurut teorema di atas, fpb(12, 7) = fpb(7, 5) = 1.

2) 18 = 3 × 6 + 0.

Maka fpb(18, 3) = fpb(3, 0) = 3.

3) 26 = 4 × 6 + 2.

Maka fpb(26, 4) = fpb(4, 2) = 2.

65

Dengan bantuan teorema 1 dan 2, kita dapat menentukan FPB dari

dua bilangan a dan b dengan menggunakan algoritma pembagian

berkali-kali sehingga kita hanya menentukan FPB dari dua bilangan

yang masing-masing lebih kecil dari a dan b. Prosedur penentuan

FPB dengan cara ini dinamakan Algoritma Euclid atau Algoritma

Pembagian.

Contoh:

1. Gunakan Algoritma Pembagian untuk menentukan FPB dari

24 dan 36.

Jawab

36 = 24 × 1 + 12

24 = 12 × 2 + 0

Menurut Teorema 2, fpb(36,24) = fpb(24, 12) = fpb(12, 0) = 12.

Jadi, FPB dari 24 dan 36 adalah 12.

2. Pada sebuah olimpiade, ada 2 kota yang bertanding. Kota A

mengirimkan 5767 orang perwakilan dan Kota B, 4453 orang.

Jika perwakilan kedua kota dikelompokkan ke dalam beberapa

grup yang anggotanya sama banyak,

a. Berapa maksimal grup yang dapat dibentuk?

b. Berapa banyak masing-masing perwakilan Kota A dan Kota B

pada tiap grup?

66

Jawab

a. Soal ini adalah soal FPB. Maksimal banyak grup yang dapat

dibentuk adalah FPB dari 5767 dan 4453.

5767 = 4453 × 1 + 1314.

4453 = 1314 × 3 + 511

1314 = 511 × 2 + 292

511 = 292 × 1 + 219

292 = 219 × 1 + 73

219 = 73 × 3 + 0

Menurut teorema 2, fpb(5767,4453) = fpb(4453,511) =

fpb(511,292) = fpb(292, 219) = fpb(219, 73)= fpb(73, 0) = 73.

Jadi FPB dari 5767 dan 4453 adalah 73. Maka maksimal

banyak grup yang dapat dibentuk adalah sebanyak 73 grup.

b. Banyak perwakilan dari Kota A pada tiap grup adalah 5767 :

73 = 79 orang; dan Kota B = 4453 : 73 = 61 orang.

3. Coba tentukan FPB dari 260 dan 632.

632 = 260 × …. + ….

260 = 112 × …. + ….

112 = 36 × …. + …..

36 = 4 × …. + 0

Jadi, fpb(632, 260) = fpb(4, 0) = ....

4. Tentukan FPB dari 314 dan 159.

5. Tentukan fpb(305, 185).

67

Catatan. untuk bilangan bulat a dan b berlaku,

fpb(a, b) = fpb(–a, b) = fpb(a, –b) = fpb(–a, –b).

Algoritma pembagian memudahkan kita menentukan FPB dari dua

bilangan. Bagaimana dengan FPB dari tiga bilangan atau lebih?

Teorema berikut ini menjelaskan cara menentukan FPB dari tiga

bilangan atau lebih.

Teorema 3.

fpb(𝑝1, 𝑝2, 𝑝3, … , 𝑝𝑘) = fpb(fpb(𝑝1, 𝑝2), 𝑝3, … , 𝑝𝑘)

Menurut Teorema 3 di atas, untuk menentukan FPB dari 𝑘 buah

bilangan 𝑝1, 𝑝2, sampai dengan 𝑝𝑘, dilakukan dengan menentukan

FPB dari dua bilangan terlebih dahulu. Misalkan telah didapatkan

fpb(𝑝1, 𝑝2) = 𝑑. Selanjutnya ditentukan fpb(d, 𝑝3), dan seterusnya

sehingga pada akhirnya tinggal ditentukan FPB dari dua bilangan

saja.

Contoh:

1. Tentukan FPB dari 36, 24, 54 dan 27.

Jawab

fpb(54, 36, 27, 24) = ....

Mula-mula ditentukan FPB dari 2 bilangan, misalkan 54 dan

36. Kedua bilangan ini cukup mudah ditentukan FPB nya

dengan cara biasa atau cara faktorisasi prima. Didapatkan

fpb(54, 36) = 9. Selanjutnya ditentukan fpb 9 dan 27, yaitu

68

fpb(9, 27) = 9. Kemudian tinggal dicari fpb dari 9 dan 24,

yaitu fpb(9, 24) = 3.

Proses di atas dapat ditulis sebagai berikut.

fpb(54, 36, 27, 24) = fpb((fpb(54, 36)), 27, 24)

= fpb(9, 27, 24)

= fpb((fpb(9, 27)), 24)

= fpb(9, 24)

= 3

2. Tentukan fpb dari 25, 81, 46 dan 63.

3. Tetukan fpb dari 100, 144 dan 164.

4. Tentukan fpb dari 90, 138, 150 dan 162.

5. Kakak mempunyai 12 pulpen, 36 buku dan 20 pensil dan

akan dibagikan ke dalam beberapa parcel yang isinya sama

banyak. Berapa maksimal banyak parcel yang dapat Kakak

buat? Berapa isi masing-masing pulpen, buku dan pensil

pada tiap parcel?

Soal Latihan

Untuk soal-soal berikut ini, tentukan salah atau benar dan berikan

alasannya.

1. B – S Sisa pembagian dari 120 : 9 adalah 5.

2. B – S Jika 𝑚|𝑛 dan 𝑝|𝑛 maka 𝑛 adalah faktor persekutuan

dari 𝑚 dan 𝑝.

69

3. B – S Diketahui 𝑎 dan 𝑏 mempunyai hanya dua faktor

persekutuan yaitu 𝑟 dan 𝑠. Jika 𝑟 < 𝑠, maka

𝑠 = fpb(𝑎, 𝑏).

4. B –S fpb(921, 654) = 3.

5. B –S fpb(315, 81, 72, 125) = 3.

70

9. KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL

(KPK)

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu menentukan kpk dari 2 bilangan atau lebih.

Pada bab sebelumnya telah dibahas mengenai faktor suatu bilangan.

Pada bab ini akan dibahas tentang kelipatan bilangan dan kelipatan

persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan.

Konsep kelipatan berkaitan erat dengan konsep faktor.

Sebagaimana telah dijabarkan sebelumnya, jika 4 habis membagi 8

maka 4 adalah faktor dari 8. Jelas bahwa 8 diperoleh dari mengalikan

4 dengan suatu bilangan bulat, maka 8 dikatakan sebagai kelipatan

dari 4. Berapa sajakah kelipatan dari 4? Kelipatan 4 didapatkan dari

mengalikan 4 dengan bilangan bulat lainnya. Namun pada buku ini,

pembahasan kelipatan dibatasi pada bilangan asli saja.

4 × 1 = 4

4 × 2 = 8

4 × 3 = 12

4 × 4 = 16

4 × 5 = 20

4 × 6 = 24

dan seterusnya.

Jadi, himpunan kelipatan dari 4 adalah {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}.

Berapa sajakah kelipatan dari 6?

71

Himpunan kelipatan dari 6 adalah {6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}.

Perhatikan himpunan kelipatan 4 dan 6. Tampak bahwa 4 dan 6

memiliki kelipatan persekutuan, yaitu 12, 24, 36, dan seterusnya.

Diantara kelipatan-kelipatan persekutuan ini, yang paling kecil

nilainya adalah 12 maka 12 dikatakan sebagai KPK dari 4 dan 6,

ditulis kpk[4, 6] = 12.

Secara umum, istilah KPK dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi KPK.

Bilangan bulat positif 𝑟 adalah KPK dari 𝑝 dan 𝑞 apabila 𝑝|𝑟 dan

𝑞|𝑟, dan 𝑟 juga habis membagi semua kelipatan persekutuan dari 𝑝

dan 𝑞.

Perhatikan kembali contoh di atas, kpk[4, 6] = 12. Ini berarti 4|12

dan 6|12. Juga 12 habis membagi semua kelipatan persekutuan

lainnya dari 4 dan 6, yaitu 12|24, 12|36, dan seterusnya.

Ada beberapa cara menentukan KPK dari dua bilangan atau lebih.

Berikut ini akan dibahas satu persatu.

1. Metode irisan himpunan.

Yaitu dengan mendata himpunan kelipatan dari bilangan-

bilangan yang akan ditentukan KPK nya.

Contoh:

72

a. Tentukan KPK dari 3 dan 8.

Himpunan kelipatan dari 3 = {3,6,9,12,15, 18, 21, 24, ...}

Himpunan kelipatan dari 8 = {8,16,24, 32, 40, 48, 56, ...}

Jadi KPK dari 3 dan 8 adalah 24. Ditulis kpk[3, 8] = 24.

b. Tentukan KPK dari 15, 45 dan 60.

Himpunan kelipatan dari 15 = {15,30, 45, 60, ..., 180, ...}

Himpunan kelipatan dari 45 = {45, 90, 135, 180, 225, ...}

Himpunan kelipatan dari 60 = {60,120,180, 240, 300, ...}

Jadi, kpk[15, 45, 60] = 180.

2. Metode faktorisasi prima.

Yaitu dengan menentukan faktor-faktor prima dari bilangan-

bilangan yang akan dicari KPK nya.

Contoh:

a. Tentukan KPK dari 8 dan 12.

Faktorisasi prima dari 8 adalah 2 × 2 × 2 = 23.

Faktorisasi prima dari 12 adalah 2 × 2 × 3 = 22 × 3.

kpk[8, 12] adalah sebuah bilangan yang merupakan

kelipatan dari 8 dan juga kelipatan dari 12 sehingga ia

harus memuat semua faktorisasi prima dari 8 dan 12

sebagai faktornya. Tapi, untuk faktor prima yang sama,

cukup diambil bilangan prima dengan pangkat tertinggi

saja. Di sini, 23 adalah kelipatan dari 22, oleh karena itu

cukup diambil 23 saja.

Jadi, kpk[8, 12] = 23 × 3 = 8 × 3 = 24.

73

b. Tentukan KPK dari 15, 45 dan 60.

15 = 3 × 5

45 = 3 × 3 × 5 = 32 × 5

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5

Jadi, kpk[15, 45, 60] = 22 × 32 × 5 = 4 × 9 × 5 = 180.

Metode faktorisasi prima tampaknya lebih efisien dibandingkan

metode irisan himpunan, terutama jika bilangan-bilangan yang

terlibat nilainya cukup besar. Pada bab berikutnya akan dibahas cara

lain menentukan KPK dari dua bilangan yaitu dengan melibatkan

FPB kedua bilangan tersebut.

Soal Latihan

Jawablah soal-soal berikut ini.

1. Tentukan KPK dari 28 dan 36.

2. Tentukan KPK dari 14, 38 dan 54.

3. Budi dan Anto bekerja sebagai pengawas kebersihan. Budi

melakukan pemeriksaan setiap 84 hari sekali, sedangkan

Anto setiap 56 hari sekali. Jika hari ini Budi dan Anto

melakukan pemeriksaan kebersihan bersama-sama,

kapankah mereka bertemu untuk pemeriksaan kebersihan

berikutnya?

74

10. HUBUNGAN FPB DAN KPK DARI DUA

BILANGAN

Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa mampu menggunakan rumus hubungan fpb dan kpk

untuk menentukan kpk dari 2 bilangan.

Pada bab 8 dan 9 telah dibahas tentang cara menentukan FPB dan

KPK. Juga telah dikaji tentang algoritma pembagian untuk

menentukan FPB dari dua bilangan yang nilainya cukup besar. Pada

bab ini akan dibahas tentang cara menentukan KPK dari dua

bilangan dengan melibatkan FPB dari kedua bilangan tersebut.

Hubungan FPB dan KPK dari dua bilangan dinyatakan oleh

teorema berikut ini.

Teorema 1.

Untuk bilangan bulat 𝑝 dan 𝑞 berlaku, 𝑓𝑝𝑏(𝑝, 𝑞) × 𝑘𝑝𝑘[𝑝, 𝑞] = 𝑝𝑞.

Contoh:

1. fpb(12, 16) = 4 dan kpk[12, 16] = 48.

Dapat dilihat bahwa,

fpb(12,16) × kpk[12,16] = 12 × 16

4 × 48 = 12 × 16

192 = 192.

75

2. fpb(24, 56) = 8 dan kpk[24, 56] = 168.

Dapat dilihat bahwa,

fpb(24,56) × kpk[24,56] = 24 × 56

8 × 168 = 24 × 56

1344 = 1344

Teorema 1 menyebutkan bahwa untuk menentukan KPK dari dua

bilangan 𝑝 dan 𝑞 dapat digunakan rumus berikut.

𝑘𝑝𝑘[𝑝, 𝑞] = (𝑝 × 𝑞) ÷ 𝑓𝑝𝑏(𝑝, 𝑞)

Atau dapat juga ditulis,

𝑘𝑝𝑘[𝑝, 𝑞] =𝑝 × 𝑞

𝑓𝑝𝑏(𝑝, 𝑞)

Teorema ini dapat digunakan untuk menentukan KPK dari dua

bilangan yang cukup besar nilainya. Sedangkan untuk bilangan-

bilangan yang nilainya relatif kecil, KPK nya lebih mudah

ditentukan dengan menggunakan metode irisan himpunan atau

metode faktorisasi prima.

Contoh:

1. Tentukan KPK dari 212 dan 326.

Jawab

Untuk menggunakan rumus kpk[212, 326] = (212×326) ÷

fpb(212, 326), terlebih dahulu dicari FPB dari 212 dan 326.

FPB bisa ditentukan dengan faktorisasi prima atau dengan

menggunakan algoritma pembagian sebagai berikut.

76

326 = 212 × 1 + 114

212 = 114 × 1 + 98

114 = 98 × 1 + 16

98 = 16 × 6 + 2

16 = 2 × 8 + 0

Jadi fpb(212, 326) = 2

Maka kpk[212, 326] = (212 × 326) ÷ 2 = 69.112 ÷ 2 =

34.556

2. Tentukan KPK dari 12378 dan 3054.

Jawab

FPB dari 12378 dan 3054 ditentukan dengan algoritma

pembagian.

12378 = 3054 × 4 + 162

3054 = 162 × 18 + 138

162 = 138 × 1 + 24

138 = 24 × 5 + 18

24 = 18 × 1 + 6

18 = 6 × 3 + 0

Jadi fpb(12378, 3054) = 6.

Maka kpk[12378, 3054] = (12378 × 3054) ÷ (12378, 3054)

= 37.802.412 ÷ 6

= 6.300.402

77

Teorema 2.

Jika fpb(p, q) = 1 maka kpk[p, q] = pq.

Teorema 2 merupakan turunan dari teorema 1. Teorema ini

menyebutkan bahwa jika p prima relatif dengan q yaitu FPB nya =

1, maka KPK dari p dan q sama dengan pq.

Contoh:

a. fpb(5, 6) = 1, maka kpk[5, 6] = 5 × 6 = 30

b. fpb(9, 13) = 1, maka kpk[9, 13] = 9 × 13 = 117

Soal Latihan

Jawablah soal-soal berikut ini.

1. Misalkan fpb(a,b) = d, apakah d habis membagi kpk[a, b]?

2. Misalkan suatu bilangan bulat 𝑘 habis membagi KPK dari

bilangan bulat 𝑝 dan 𝑞, apakah 𝑘 juga habis membagi FPB

dari 𝑝 dan 𝑞? Jelaskan.

3. Untuk bilangan bulat 𝑝 dan 𝑞, jika diketahui 𝑝|𝑞

tunjukkanlah bahwa KPK dari 𝑝 dan 𝑞 adalah 𝑞.

4. Dengan menggunakan hubungan FPB dan KPK, tentukanlah

KPK dari:

a. 260 dan 632.

b. 214 dan 1023.

c. 90, 105 dan 315.

78

11. KEKONGRUENAN BILANGAN

Tujuan Pembelajaran

1. Mahasiswa mampu menentukan kekongruenan suatu

bilangan.

2. Mahasiswa mampu menyelesaikan masalah kontekstual

yang berkaitan dengan kekongruenan bilangan.

Materi kekongruenan bilangan atau aritmetika modular merupakan

kajian tentang salah satu bentuk sistem bilangan yang meliputi

bilangan cacah. Pembahasan tentang kekongruenan bilangan serupa

dengan pembahasan tentang jam duaan, jam tigaan, jam empatan,

jam limaan, dan lain-lain yang pernah dipelajari di SD. Contohnya

pada jam limaan, bilangan yang digunakan adalah lima bilangan

cacah pertama yaitu 0, 1, 2, 3, dan 4. Penulisannya biasanya

digambarkan seperti jam sebagai berikut.

Pada jam limaan tidak ada bilangan lain, hanya kekongruenannya

saja. Contohnya, bilangan 5 kongruen dengan 0;

6 kongruen dengan 1;

7 kongruen dengan 2;

8 kongruen dengan 3;

2

4

3

1

0

79

9 kongruen dengan 4;

10 kongruen dengan 0;

11 kongruen dengan 1;

12 kongruen dengan 2;

dan seterusnya.

Hal ini dapat dijelaskan lebih rinci sebagai berikut. Pada jam

limaan,

5 = 5 × 1 + 0, jadi 5 kongruen dengan 0.

6 = 5 × 1 + 1, jadi 6 kongruen dengan 1.

7 = 5 × 1 + 2, jadi 7 kongruen dengan 2.

8 = 5 × 1 + 3, jadi 8 kongruen dengan 3.

9 = 5 × 1 + 4, jadi 9 kongruen dengan 4.

10 = 5 × 2 + 0, jadi 10 kongruen dengan 0.

11 = 5 × 2 + 1, jadi 11 kongruen dengan 1.

12 = 5 × 2 + 2, jadi 12 kongruen dengan 2.

dan seterusnya.

Dengan kata lain, nilai kekongruenan suatu bilangan di jam limaan

sama dengan sisa pembagian bilangan tersebut oleh 5.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang jam limaan,

jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.

1. Berapa nilai 12 pada jam limaan?

Jawab

12 = 5 × ... + ...., jadi 12 kongruen dengan ....

80

2. Bilangan-bilangan apa saja yang kongruen dengan 2 pada

jam limaan?

Jawab

Di jam limaan, bilangan yang kongruen dengan 2 adalah:

2 + 5 = 7;

7 + 5 = 12;

12 + 5 = 17;

17 + 5 = 22;

22 + 5 = 27;

dan seterusnya.

Jadi 2 kongruen dengan 7, 12, 17, 22, dan seterusnya.

3. Berapa nilai 100 pada jam limaan?

Jawab

100 = 5 × .... + ...., jadi 100 kongruen dengan ....

Perhatikan bahwa pada jam limaan, semua kelipatan 5

kongruen dengan 0.

4. Berapa nilai 250 pada jam limaan?

Jawab

250 juga adalah kelipatan 5, maka 250 kongruen dengan 0.

5. Berapa nilai 254 pada jam limaan?

Jawab

254 = 5 × .... + .... Jadi 254 kongruen dengan ....

81

6. Berapa nilai 69 pada jam limaan?

Jawab

69 = 5 × .... + .... Jadi 69 kongruen dengan ....

Pada jam enaman, bilangan yang digunakan adalah enam bilangan

cacah pertama yaitu 0, 1, 2, 3, 4, dan 5.

Pada jam enaman, 6 kongruen dengan 0;

7 kongruen dengan 1;

8 kongruen dengan 2;

9 kongruen dengan 3;

10 kongruen dengan 4;

Cara menentukan kekongruenan di atas sama seperti pada jam

limaan yaitu dengan menentukan nilai hasil bagi.

Berkaitan dengan jam enaman, mari kaji pertanyaan-pertanyaan

berikut ini.

1. Berapa nilai 25 pada jam enaman?

Jawab

25 = 6 × 4 + 1, jadi 25 kongruen dengan 1.

2. Bilangan-bilangan apa saja yang kongruen dengan 1?

Jawab

Di Jam enaman, bilangan yang kongruen dengan 1 adalah:

1 + 6 = 7;

7 + 6 = 13;

13 + 6 = 19;

82

19 + 6 = 25;

dan seterusnya.

Jadi bilangan yang kongruen dengan 1 adalah 7, 13, 19, 25,

dan seterusnya.

3. Berapa nilai 35 pada jam enaman?

Jawab

35 = 6 × ... + .... Jadi, 35 kongruen dengan ....

4. Bilangan-bilangan apa saja yang kongruen dengan 5?

Pada jam duabelasan, bilangan yang digunakan adalah 0 sampai 11.

Jam duabelasan tampak mirip dengan jam yang kita gunakan sehari-

hari, hanya saja angka yang digunakan adalah 0 sampai 11.

Perhatikan gambar jam duabelasan berikut.

Berapa nilai 15 pada jam duabelasan?

Berapa nilai 20 pada jam duabelasan?

Berapa nilai 24 pada jam duabelasan?

Berapa nilai 28 pada jam duabelasan?

11 10

9

8 7

6 5

4

2

3

1 0

83

Apabila sekarang pukul 3, pukul berapakah 12 jam lagi? 24 jam

lagi? 30 jam lagi?

Penjabaran tentang jam limaan dan seterusnya di atas merupakan

pengantar untuk memahami konsep kekongruenan bilangan. Berikut

ini diberikan definisi dari kekongruenan.

Definisi Kekongruenan

Jika m suatu bilangan positif, maka a kongruen dengan b modulo m

(ditulis a ≡ b (mod m)), jika dan hanya jika terdapat bilangan bulat

k sehingga a = mk + b.

Contoh:

1. Pada jam duabelasan, 15 = 12 × 1 + 3, disini nilai k = 1.

Jadi, 15 kongruen dengan 3, ditulis 15 ≡ 3 (mod 12).

2. Pada jam enaman, 24 = 6 × 4 + 0, disini nilai k = 4.

Jadi, 24 kongruen dengan 0, ditulis 24 ≡ 0 (mod 6)

3. Hitunglah kekongruenan 25 dan 30 pada modulo 12.

Jawab

25 = 12 × … + ….

Jadi 25 kongruen dengan ...., ditulis 25 ≡ …. (mod 12).

30 = 12 × … + ….

Jadi, 30 kongruen dengan ...., ditulis 30 ≡ …. (mod 12).

84

4. 142 ≡ …. (mod 5).

5. 215 ≡ …. (mod 4).

Catatan.

1) Pada kekongruenan bilangan, perhitungan hasil operasi

hitung seperti penjumlahan dan perkalian sama seperti pada

bilangan real. Tetapi nilai bilangannya bergantung pada

modulo nya.

2) Pada kekongruenan bilangan berlaku aturan berikut.

Jika ac ≡ bc (mod m) dan fpb(c, m) = d maka

a ≡ b (mod 𝑚

𝑑).

Contoh:

1. Berapakah hasil 142 + 59 di modulo 5?

Jawab

Di modulo 5, 142 kongruen dengan 2 dan 59 kongruen dengan 4.

Maka 142 + 59 ≡ 2 + 4 ≡ 6 ≡ 1 (mod 5).

2. Berapakah hasil 142 × 59 di modulo 6?

Jawab

142 × 59 ≡ 4 × 5 ≡ 20 ≡ 2 (mod 6).

85

3. Tentukan nilai p yang memenuhi 5p ≡ 10 (mod 8).

Jawab

5p ≡ 10 (mod 8) dapat ditulis sebagai 5p ≡ 5.2 (mod 8).

Kedua ruas dibagi 5 sehingga didapatkan p ≡ 2 (mod 8

𝑓𝑝𝑏(5,8))

Yaitu p ≡ 2 (mod 8

1)

p ≡ 2 (mod 8).

4. Tentukan nilai a yang memenuhi 3a ≡ 20 (mod 12).

Jawab

3a ≡ 20 (mod 12)

3a ≡ 6 (mod 12).

3a ≡ 3.2 (mod 12).

Kedua ruas dibagi 3, didapatkan a ≡ 2 (mod 12

𝑓𝑝𝑏(3,12))

a ≡ 2 (mod 12

3)

a ≡ 2 (mod 4)

Berikut ini akan diberikan contoh penerapan kekongruenan bilangan

pada masalah kontekstual.

Contoh Soal

1. Misalkan sekarang hari selasa. Seribu hari lagi jatuh pada hari

apa?

Jawab

Ada 7 hari dalam seminggu, berarti yang digunakan adalah

modulo 7.

86

0 1 2 3 4 5 6

Sel Rab Kam Jum Sab Min Sen

Jika hari ini hari Selasa, maka 7 hari lagi adalah Selasa, 14 hari

lagi juga Selasa, 21 hari lagi juga Selasa, dst.

Semua kelipatan 7 di modulo 7 senilai dengan 0.

Sekarang akan dicari nilai kekongruenan 1000 pada modulo 7,

yaitu

1000 ≡ …. (mod 7)

Atau, 1000 = 7 × …. + …..

yaitu 1000 = 7 × 142 + 6, berarti 1000 ≡ 6 (mod 7).

Jadi, 1000 hari lagi jatuh pada hari Senin.

2. Ibu membeli manik-manik biru dan merah untuk membuat

perhiasan. Harga manik biru adalah Rp500 per butir, dan manik

merah Rp800 per butir. Jika ibu membayar Rp1800, berapa butir

masing-masing manik biru dan merah yang ibu beli?

Jawab

Misalkan p = banyaknya manik biru yang dibeli ibu, dan

q = banyaknya manik merah yang dibeli ibu,

maka model matematika untuk masalah di atas adalah

500p + 800q = 1800

87

Kedua ruas dibagi dengan 100, diperoleh bentuk yang lebih

sederhana:

5p + 8q = 18.

Persamaan seperti ini dinamakan dengan persamaan Diophantin

yaitu sebuah persamaan yang memuat beberapa variabel, dimana

penyelesaiannya berupa bilangan bulat.

Persamaan diophantin dapat diselesaikan dengan kekongruenan.

Ingat definisi kekongruenan yaitu

a = mk + b ↔ a ≡ b(mod m), k ∈ Z.

Berdasarkan definisi di atas, persamaan 5p + 8q = 18 dapat

ditulis menjadi

i) 18 = 5p + 8q, atau

ii) 18 = 8q + 5p.

Dari persamaan i, bentuk kekongruenannya adalah

18 ≡ 8q (mod 5) atau 8q ≡ 18 (mod 5).

Dari persamaan ii, bentuk kekongruenannya adalah

18 ≡ 5p (mod 8) atau 5p ≡ 18 (mod 8).

Pilih salah satu kekongruenan yang lebih mudah untuk

diselesaikan.

Misalkan kita pilih 5p ≡ 18 (mod 8).

5p ≡ 2 (mod 8)

88

Cari bilangan lain yang kongruen dengan 2 di modulo 8 yang

habis dibagi oleh 5.

5p ≡ 10 (mod 8)

5p ≡ 5 × 2 (mod 8)

Ingat: jika ac ≡ bc (mod m) dan (c, m) = d maka a ≡ b (mod 𝑚

𝑑)

Maka diperoleh p ≡ 2 (mod 8).

Artinya p = 8t + 2 untuk suatu bilangan bulat t.

Substitusikan nilai p ke persamaan 5p + 8q = 18, diperoleh:

8q = 18 – 5(8t + 2)

8q = 18 – 40t – 10

8q = 8 – 40t

q = 1 – 5t

Jadi solusi untuk persamaan 500p + 800q = 1800 adalah

p = 8t + 2 dan q = 1 – 5t, untuk suatu bilangan bulat t.

Pilih t = 0 sehingga didapatkan p = 2 dan q = 1

(Kita tidak akan mengambil nilai t yang lain, mengapa?)

Jadi, jawaban dari soal no.2 adalah Ibu membeli manik biru

sebanyak 2 butir dan manik merah 1 butir.

89

3. Tiket masuk suatu taman wisata adalah Rp7000 untuk anak-

anak dan Rp15.000 untuk orang dewasa. Jika total tiket yang

terjual hari ini adalah senilai Rp51.000, berapa lembar masing-

masing tiket anak-anak dan tiket dewasa yang terjual?

Jawab

Misalkan a = banyak tiket anak-anak yang terjual, dan

b = banyak tiket dewasa yang terjual,

Model matematika untuk masalah di atas adalah

7000a + 15000b = 51.000,

atau disederhanakan menjadi 7a + 15b = 51

berarti 15b ≡ 51 (mod 7)

b ≡ 2 (mod 7)

Jadi, b = 7t + 2 untuk suatu bilangan bulat t.

Substitusi nilai b ke persamaan 7a + 15b = 51, diperoleh:

7a = 51 – 15(7t + 2)

7a = 51 – 105t – 30

7a = 21 – 105t

a = 3 – 15t

Masukkan t = 0 diperoleh a = 3 dan b = 2.

(Apakah perlu dimasukkan nilai t yang lain?)

Jadi, tiket yang terjual adalah 3 lembar tiket anak-anak dan 2

lembar tiket dewasa.

90

Soal Latihan

1. Pak Amad menjual sejumlah telur ayam dan telur itik dengan

harga Rp180 per telur ayam dan Rp290 per telur itik. Pak

Amad menerima hasil penjualan semua telurnya sejumlah

Rp2.890. Berapa banyak telur yang dijual pak Amad?

2. Ulang tahun Nita yang ke-17 jatuh pada hari Rabu. Apabila

ada 360 hari dalam satu tahun, pada hari apakah ulang tahun

Nita yang ke 20?

3. Ibu membeli dua jenis jeruk. Jeruk A harganya Rp3.000 per

kg, dan jeruk B Rp4.000 per kg. Jika Ibu membayar

Rp44.000, berapa kg jeruk A dan B yang Ibu beli?

4. Sebuah lift dapat menampung berat hingga 268 kg. Jika rata-

rata berat seorang anak adalah 12 kg dan dewasa adalah 52

kg, berapa banyak anak-anak dan dewasa yang dapat

ditampung lift tersebut secara bersamaan?

91

DAFTAR PUSTAKA

McIntyre, Z.S. (2005). An analysis of variable misconceptions

before and after various collegiate level mathematics

courses. Thesis: University of Maine.

Negoro, S. T. & Harahap, B. (2010). Ensiklopedia Matematika

Edisi keenam. Bogor Selatan: Penerbit Ghalia Indonesia.

Nelson, D. (2003). Dictionary of Mathematics. England:

Penguin Books Ltd.

Sukarman, H. (1993). Teori Bilangan. Jakarta: Departemen

Pendidikan dan Kebudayaan.

92

GLOSARIUM

Bilangan : konsep yang menyatakan banyaknya

anggota suatu himpunan.

Bilangan bulat : bilangan yang terdiri atas 0 dan bilangan

bulat positif serta bilangan bulat negatif.

Bilangan komposit : bilangan asli yang mempunyai lebih dari 2

faktor.

Bilangan negatif : bilangan yang nilainya lebih kecil dari 0.

Bilangan positif : bilangan yang nilainya lebih besar dari 0.

Bilangan prima : bilangan asli yang mempunyai tepat 2 faktor.

Definisi : penjelasan atau pembatasan arti suatu

konsep atau istilah.

Faktor : bilangan yang habis membagi bilangan

tertentu. Contohnya, 2 adalah faktor dari 8

karena 2 habis membagi 8.

Faktor persekutuan : faktor yang sama dari 2 bilangan atau lebih.

Faktorisasi prima : penguraian suatu bilangan menjadi perkalian

bilangan-bilangan prima.

Himpunan : sekumpulan objek yang didefinisikan

dengan jelas.

Invers penjumlahan : lawan penjumlahan dari suatu bilangan,

yaitu jika suatu bilangan dijumlahkan

dengan inversnya maka menghasilkan 0.

Invers perkalian : kebalikan dari suatu bilangan, yaitu jika

suatu bilangan dikalikan dengan inversnya

maka menghasilkan 1.

Jika dan hanya jika : salah satu relasi matematika yang

menunjukkan hubungan dua arah.

Pernyataan “p jika dan hanya jika q”

menunjukkan relasi dua arah yaitu jika p

benar maka q juga benar. Demikian pula

sebaliknya, jika q benar maka p benar.

Kelipatan : bilangan yang diperoleh dari menjumlahkan

suatu bilangan dengan dirinya sendiri

sebanyak n kali, dimana n adalah bilangan

asli. Contohnya, 12 adalah kelipatan dari 3,

yaitu 12 = 3 + 3 + 3 + 3 atau 12 = 4 x 3.

93

Kelipatan persekutuan: kelipatan yang sama dari 2 bilangan atau

lebih.

Kesamaan : pernyataan matematika yang menggunakan

relasi “=”.

Ketaksamaan : pernyataan matematika yang menggunakan

relasi “≠”, “>”, “<”, “≥”, atau “≤”.

Kongruen : sama nilainya.

Model matematika : representasi suatu masalah menggunakan

simbol-simbol matematika.

Modulo : kekongruenan.

Operasi hitung : pengerjaan terhadap bilangan seperti

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan

pembagian.

Persamaan : kalimat matematika yang memuat variabel

dan menggunakan relasi “=”.

Pertidaksamaan : kalimat matematika yang memuat variabel

dan menggunakan relasi “≠”, “>”, “<”, “≥”,

atau “≤”.

Relasi : hubungan.

Substitusi : penggantian.

Urutan bilangan : posisi suatu bilangan dibandingkan dengan

bilangan lainnya pada garis bilangan.

Variabel : peubah yang digunakan untuk mewakili

suatu bilangan yang belum diketahui

nilainya.

94

INDEKS

algoritma pembagian, 62, 65,

74, 75, 76

asosiatif, 20, 23, 25, 32, 33

bilangan, 2, 3, 20, 23, 28, 29,

36, 38, 40, 41, 46, 48, 50,

51, 54, 55, 56, 57, 59, 60,

61, 62, 63, 64, 65, 67, 70,

71, 73, 74, 75, 77, 79, 80,

82, 85, 87, 88, 89, 93

bilangan asli, 6

bilangan bulat, 1, 7, 8, 18, 19,

34, 36, 38, 39, 40, 46, 47,

48, 49, 50, 51, 54, 55, 56,

57, 60, 61, 63, 64, 67, 70,

74, 77, 83, 87, 88, 89, 92

bilangan cacah, 6, 7, 15, 16,

17, 18, 32, 78, 81

bilangan ganjil, 6

bilangan genap, 6

bilangan imajiner, 5, 9

bilangan irrasional, 9

bilangan komposit, 6, 92

bilangan negatif, 37, 39, 47,

49

bilangan positif, 25, 26, 27,

34, 37, 39, 47, 49, 83

bilangan prima, 6, 11, 12, 13,

14, 72, 92

bilangan rasional, 7, 19, 33

bilangan real, 5, 9, 30, 31, 84

definisi, 15, 18, 19, 38, 39,

41, 42, 50, 51, 55, 56, 83,

87

desimal, 1, 2, 5, 7, 8

distributif, 20, 29

faktor, 3, 6, 11, 13, 54, 58,

59, 60, 61, 62, 68, 69, 70,

72, 92

faktor persekutuan, 59, 60,

61, 62, 68, 69

faktor persekutuan terbesar,

59, 60

faktorisasi prima, 62, 67, 72,

73, 75

himpunan, 1, 5, 6, 7, 11, 15,

18, 19, 70, 71, 73, 75, 92

identitas perkalian, 27, 39, 40

invers, 20, 28, 31, 41

irisan, 71, 73, 75

kanselasi, 31, 32, 48

kekongruenan, 78, 79, 81, 83,

84, 85, 86, 87, 93

kelipatan, 3, 54, 56, 58, 70,

71, 72, 80, 86, 92, 93

kelipatan persekutuan

terkecil, 70

ketaksamaan, 48, 49, 50

keterbagian, 54, 55, 56

ketergandaan, 31, 32

ketertambahan, 30, 32, 48

komutatif, 20, 22, 25, 33

kongruen, 78, 79, 80, 81, 82,

83, 84, 88

modulo, 83, 84, 85, 86, 88

operasi hitung, 15, 18, 19, 20,

22, 28, 29, 34, 84

pangkat, 72

pecahan, 5, 7, 8, 9, 19, 43, 44,

45

penyebut, 43

persamaan, 30, 31, 87, 88, 89

2

persamaan diophantin, 87

persen, 5, 7, 8

prima relatif, 61, 77

reciprocal, 29

relasi, 46, 48, 50, 92, 93

sifat tertutup, 16, 17, 18, 19,

20

sifat transitif, 46

teorema, 4, 11, 54, 55, 63, 64,

65, 66, 74, 77

unit, 6

unsur identitas, 20, 27

urutan bilangan, iii, 46

95

Buku Teori Bilangan untuk Mahasiswa PGSD ini

bertujuan untuk membekali mahasiswa PGSD

dengan konsep-konsep penting yang berkaitan

dengan teori bilangan. Materi yang dikaji

mencakup himpunan bilangan, operasi hitung

bilangan, sifat-sifat dan aturan-aturan yang

berlaku pada operasi hitung bilangan, urutan

bilangan, penentuan faktor persekutuan

terbesar (FPB) dan kelipatan persekutuan

terkecil (KPK), serta kekongruenan bilangan.

Buku ini dilengkapi dengan contoh soal dan soal-

soal latihan untuk membantu pembaca,

khususnya mahasiswa PGSD, dalam memahami

teori bilangan.