Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Problema 3. a) Fie P AB , P BC , P CD ¸ si P DA puncte pe muchiile (AB), (BC ), (CD), respectiv (DA) ale unui tetraedru ABCD. Ar˘ atat ¸i c˘ a planele (P AB CD), (P BC DA), (P CD AB)¸ si (P DA BC ) au un punct comun dac˘ a¸ si numai dac˘ a are loc relat ¸ia AP AB P AB B · BP BC P BC C · CP CD P CD D · DP DA P DA A =1. (Teorema lui Ceva ˆ ın spat ¸iu) b) Fie P AB , P BC , P CD , P DA , P AC ¸ si P BD puncte pe muchiile (AB), (BC ), (CD), (DA), (AC ), respectiv (BD) ale unui tetraedru ABCD cu proprietatea c˘ aexist˘a punctele {A 0 } = BP CD ∩ CP BD ∩ DP BC , {B 0 } = AP CD ∩ CP DA ∩ DP AC , {C 0 } = AP BD ∩ BP DA ∩ DP AB ¸ si {D 0 } = AP BC ∩ BP AC ∩ CP AB . Demonstrat ¸i c˘ a dreptele AA 0 , BB 0 , CC 0 ¸ si DD 0 sunt concurente.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro
Problema 3. a) Fie PAB, PBC , PCD si PDA puncte pe muchiile (AB), (BC),(CD), respectiv (DA) ale unui tetraedru ABCD.Aratati ca planele (PABCD), (PBCDA), (PCDAB) si (PDABC) au un punct comundaca si numai daca are loc relatia
APAB
PABB· BPBC
PBCC· CPCD
PCDD· DPDA
PDAA= 1.
(Teorema lui Ceva ın spatiu)
b) Fie PAB, PBC , PCD, PDA, PAC si PBD puncte pe muchiile (AB), (BC), (CD),(DA), (AC), respectiv (BD) ale unui tetraedru ABCD cu proprietatea ca existapunctele {A′} = BPCD ∩ CPBD ∩DPBC , {B′} = APCD ∩ CPDA ∩DPAC ,{C ′} = APBD ∩BPDA ∩DPAB si {D′} = APBC ∩BPAC ∩ CPAB.Demonstrati ca dreptele AA′, BB′, CC ′ si DD′ sunt concurente.
aungureanu
Text Box
Problema 3, Clasa a VIII-a Etapa 6, Ediția a X-a
Related Documents
