TEKNIK SIMULASI

TEKNIK SIMULASITEKNIK SIMULASIInformatika UndipInformatika Undip

Pembangkit Bilangan AcakPembangkit Bilangan Acak(Random Number Generator)(Random Number Generator)

• CARA MEMPEROLEH :CARA MEMPEROLEH :– ZAMAN DAHULU, dgn cara :ZAMAN DAHULU, dgn cara :

•Melempar daduMelempar dadu•Mengocok kartuMengocok kartu

– ZAMAN MODERN (>1940), dgn cara :ZAMAN MODERN (>1940), dgn cara :membentuk bilangan acak secara membentuk bilangan acak secara numerik/ aritmatik(menggunakan numerik/ aritmatik(menggunakan komputer) , disebut “Pseudo Random komputer) , disebut “Pseudo Random Number” (bilangan pseudo acak).Number” (bilangan pseudo acak).

• PEMBANGKIT BILANGAN ACAK, HARUSPEMBANGKIT BILANGAN ACAK, HARUS ::– Berdistribusi uniform(0,1) dan tidak Berdistribusi uniform(0,1) dan tidak

berkorelasi antar bilangan.berkorelasi antar bilangan.– Membangkitkan cepat, storage tidak Membangkitkan cepat, storage tidak

besarbesar– Dapat di “reproduce”Dapat di “reproduce”– Periode besar, karena mungkin bil.acak Periode besar, karena mungkin bil.acak

dibangkitkan berulangdibangkitkan berulang

Pseudo Random Number GeneratorPseudo Random Number Generator

• METODE KONGRUEN MULTIPLIKATIFMETODE KONGRUEN MULTIPLIKATIF

XXnn = (aX = (aXnn-1-1) modulo m) modulo mDimana :Dimana :– Bil. Pseudo dimulai dgn nilai awal Bil. Pseudo dimulai dgn nilai awal

XX00 yang disebut benih. yang disebut benih.– a & m : bilangan bulat positif tertentua & m : bilangan bulat positif tertentu– aXaXnn-1 -1 dibagi dgn m dan sisanya diambil dibagi dgn m dan sisanya diambil

sebagai nilai Xsebagai nilai Xnn

Pseudo Random Number GeneratorPseudo Random Number Generator

• Agar Xn berprilaku acak yang dapat Agar Xn berprilaku acak yang dapat dipertanggungjawabkan :dipertanggungjawabkan :– Modulo m dipilih sebesar mungkin untuk Modulo m dipilih sebesar mungkin untuk

memperbesar periodememperbesar periode– a dipilih agar korelasi antar Xa dipilih agar korelasi antar Xnn minimum minimum– Benih XBenih Xoo: bil. Bulat positif ganjil, X: bil. Bulat positif ganjil, Xoo<m<m– Bil acak : UBil acak : Uii = X = Xnn/m/m

Metode Pembangkit Kongruen Metode Pembangkit Kongruen CampuranCampuran

XXnn = (aX = (aXn-1n-1 + C) mod.m + C) mod.m

Pemilihan a,c, m dan xPemilihan a,c, m dan x00 : :• m = 2m = 2w-1w-1

• a a 2 2w/2w/2 dan a dan a 1 (mod 4) 1 (mod 4)• c & Xc & X00 bil. Bulat positif ganjil < m bil. Bulat positif ganjil < m

(c<m , X(c<m , X00<m)<m)

Metode Pembangkit Kongruen Metode Pembangkit Kongruen CampuranCampuran

Catatan:Catatan:• Periode pembangkit multiplikatif m/4Periode pembangkit multiplikatif m/4• Pembangkit campuran dgn periode penuh Pembangkit campuran dgn periode penuh

(=m) jika :(=m) jika :– m dan c pembagi bersamanya adalah 1m dan c pembagi bersamanya adalah 1– Jika m habis dibagi oleh bil. q yang prima, Jika m habis dibagi oleh bil. q yang prima,

maka (a-1) juga habis dibagi oleh qmaka (a-1) juga habis dibagi oleh q– Jika m habis dibagi 4 maka begitu pula (a-Jika m habis dibagi 4 maka begitu pula (a-

1)1)

Contoh :Contoh :• METODE KONGRUEN MULTIPLIKATIFMETODE KONGRUEN MULTIPLIKATIF

misal komputer berkapasitas 12 bit wordmisal komputer berkapasitas 12 bit wordW = 12W = 12

m = 2 m = 2 w-1w-1 = 2 = 2 1111 = 2048 = 2048a = 67 a = 67 a a 2 2 66 & a & a 3 (mod 8) 3 (mod 8)misal : Xo = 129misal : Xo = 129

XX11 = (67)(129) mod 2048 = 451 = (67)(129) mod 2048 = 451XX22 = (67)(451) mod 2048 = 1545 = (67)(451) mod 2048 = 1545XX33 = (67)(1545)mod 2048 = 1115 = (67)(1545)mod 2048 = 1115XX44 = (67)(1115)mod 2048 = 977 = (67)(1115)mod 2048 = 977

Contoh :Contoh :

UU11 = 451/2048 = 0,22015 = 451/2048 = 0,22015UU22 = 1545/2048 = 0,754395 = 1545/2048 = 0,754395UU33 = 1115/2048 = 0,544434 = 1115/2048 = 0,544434UU44 = 977/2048 = 0,477051 = 977/2048 = 0,477051

Periode : m/4 = 2048/4 = 512Periode : m/4 = 2048/4 = 512UU11 = U = U513513

UU22 = U = U514514

Contoh :Contoh :• METODE KONGRUEN CAMPURANMETODE KONGRUEN CAMPURAN

misal komputer berkapasitas 12 bit wordmisal komputer berkapasitas 12 bit word a = 65 ( a = 65 ( 2 2 66 & & 1 mod 4 ) 1 mod 4 )

m = 2 m = 2 12-112-1 = 2048 = 2048misal c = 1 , Xo = 129misal c = 1 , Xo = 129

XX11 = {(65).(129)+1} mod 2048 = 194 = {(65).(129)+1} mod 2048 = 194XX22 = {(65).(194)+1} mod 2048 = 323 = {(65).(194)+1} mod 2048 = 323XX33 = {(65).(323)+1} mod 2048 = 516 = {(65).(323)+1} mod 2048 = 516XX44 = {(65).(516)+1} mod 2048 = 773 = {(65).(516)+1} mod 2048 = 773

UU11 = 194/2048 = 0,094727 = 194/2048 = 0,094727UU22 = 323/2048 = 0,157715 = 323/2048 = 0,157715UU33 = 516/2048 = 0,251953 = 516/2048 = 0,251953UU44 = 773/2048 = 0,377441 = 773/2048 = 0,377441

VARIABEL ACAK DAN FUNGSI VARIABEL ACAK DAN FUNGSI DISTRIBUSI PROBABILITASDISTRIBUSI PROBABILITAS

• Variabel acak (random variable):Variabel acak (random variable):variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil sebuah eksperimen. Yaitu, variabel acak sebuah eksperimen. Yaitu, variabel acak merepresentasikan hasil yang tidak pasti.merepresentasikan hasil yang tidak pasti.

• Variabel acak diskrit:Variabel acak diskrit:variabel acak yang nilainya dapat dicacah variabel acak yang nilainya dapat dicacah (dihitung).(dihitung).Contoh:Contoh:- Jumlah pembeli yang memasuki sebuah - Jumlah pembeli yang memasuki sebuah toko.toko.- Jumlah televisi yang terjual pada periode - Jumlah televisi yang terjual pada periode

tertentu.tertentu.

• Variabel acak kontinu:Variabel acak kontinu:Variabel acak yang nilainya tidak dapat Variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah.dicacah.Contoh:Contoh:-- Perpanjangan pegas jika ditarik.Perpanjangan pegas jika ditarik.-- Berat segenggam strawberry.Berat segenggam strawberry.

• Distribusi probabilitasDistribusi probabilitas dari variabel acak dari variabel acak diskrit adalah tabel, grafik, atau rumus yang diskrit adalah tabel, grafik, atau rumus yang menyatakan probabilitas setiap nilai yang menyatakan probabilitas setiap nilai yang mungkin dimiliki variabel acak.mungkin dimiliki variabel acak.

Contoh:Contoh:Ada sebuah kuis dengan tiga pertanyaan Ada sebuah kuis dengan tiga pertanyaan dengan kemungkinan jawaban benar/salah. dengan kemungkinan jawaban benar/salah. Ruang sampel kuis ini terdiri dari hasilRuang sampel kuis ini terdiri dari hasil

Variabel Acak DiskritVariabel Acak DiskritDistribusi BinomialDistribusi Binomial• Ciri: * Percobaan terdiri dari n ulangan

independen, yang dapat diklasifikasikan menjadi berhasil atau gagal * Probabilitas berhasil (p) dari satu ulangan ke ulangan lainnya konstan.

• Fungsi Probabilitas:

• Nilai Ekspektasi: np• Varians: np (1 – p)

Variabel Acak DiskritVariabel Acak Diskrit

Algoritma Binomial•Bangkitkan U•C=P/(1-P), I=0, pr=(1-P)n, F=pr• if U<F, then x=I, stop•Pr={C (n-i)/(i+1)}pr, F=F+pr, i=i+1•Go to 3


Distribusi Poisson• Ciri: Dalam selang waktu T jumlah peristiwa

terjadi independen terhadap jumlah kejadian yang terjadi pada waktu yang lain, dengan peluang kejadian tunggal selama periode waktu sangat singkat proporsional terhadap panjang interval waktu. Peluang lebih dari satu kejadian dlm waktu yang sangat singkat neglibible.


• Fungsi Probabilitas :

• Nilai Ekspektasi : • Varians :

Algoritma:• Bangkitkan U U(0,1)• i=0, p=e- , F=P• if U<F then x=i stop• p=p/(i+1), F=F+P, i=i+1• Go to 3

!

k

ke


DistribusiDistribusi HipergeometriHipergeometriCiri: Sampel acak dengan ukuran n dipilih dari populasi ukuran N, dimana sejumlah k dapat diklasifikasikan sukses dan N-k gagal.

Fungsi Probabilitas :

nN

xnMN

CC

,

,xM,C

Variabel Acak DiskritVariabel Acak DiskritNilai Ekspektasi:

NMn

Varians :Varians :

1M-NnM

2

NNnN

Distribusi Acak KontinuDistribusi Acak KontinuAlgoritma:• bangkitkan bilangan acak U1 dan U2• Set t=-log(U1U2)• Bangkitkan bilangan acak U3• X=tU3, Y=t-XDistribusi EksponensialDistribusi Eksponensial

Fungsi Probabilitas :Fungsi Probabilitas :f (x) = aef (x) = ae-ax-ax

Prosedur Statistik untuk membandingkan Prosedur Statistik untuk membandingkan data output dari observasi dunia nyata dan data output dari observasi dunia nyata dan

simulasisimulasi• Pendekatan InspeksiPendekatan Inspeksi

Korelasi Pendekatan Inspeksi :Korelasi Pendekatan Inspeksi :Data Input Sistem Secara

Historis

Model SimulasiSistem Aktual

Data Output Sistem

Data Output Model

Data Input Sistem Secara Historis

Perbandingan

•Pendekatan Interval Konfidensi berdasarkan data independen

•Pendekatan Time Series

Contoh – Kasus 1Contoh – Kasus 1

•Kasus Komputer On-LineKasus Komputer On-Line Komputer segera merespon perintah yang Komputer segera merespon perintah yang

diterimanyaditerimanya Perintah diterima melalui saluran komunikasi Perintah diterima melalui saluran komunikasi

dengan kecepatan B perintah / detikdengan kecepatan B perintah / detik Rata-rata setiap perintah terdiri dari b Rata-rata setiap perintah terdiri dari b

karakter.karakter. Sebagian perintah (k) membutuhkan jawaban Sebagian perintah (k) membutuhkan jawaban

rata-rata sebanyak r karakter.rata-rata sebanyak r karakter. Setiap perintah diterima oleh buffer Setiap perintah diterima oleh buffer

(sekaligus tempat mengirim jawaban) yang (sekaligus tempat mengirim jawaban) yang berdaya tampung maksimum m karakter per berdaya tampung maksimum m karakter per detik. detik.


• Proses sebuah perintah yang diterima Proses sebuah perintah yang diterima membutuhkan 2000 instruksi.membutuhkan 2000 instruksi.

• Penyiapan jawaban membutuhkan Penyiapan jawaban membutuhkan program dengan 1000 instruksi.program dengan 1000 instruksi.

• Proses interupsi dalam melakukan Proses interupsi dalam melakukan transfer data baik ke dalam / ke luar transfer data baik ke dalam / ke luar komputer membutuhkan eksekusi 1000 komputer membutuhkan eksekusi 1000 instruksi.instruksi.

Contoh – Kasus 1Contoh – Kasus 1• Asumsi :Asumsi :

1.1. Terdapat 3 jenis komputer berdasarkan tingkat Terdapat 3 jenis komputer berdasarkan tingkat kecepatan : kecepatan : • kecepatan rendah (P1 = 25.000 instruksi/detik)kecepatan rendah (P1 = 25.000 instruksi/detik)• kecepatan sedang (P2 = 50.000 instruksi/detik)kecepatan sedang (P2 = 50.000 instruksi/detik)• kecepatan tinggi (P3 = 100.000 instruksi/detik)kecepatan tinggi (P3 = 100.000 instruksi/detik)

2. Terdapat 4 ukuran buffer (m) = 1 , 2 , 5, dan 10 2. Terdapat 4 ukuran buffer (m) = 1 , 2 , 5, dan 10 karakterkarakter

• Permasalahan :Permasalahan :• Bila data harga diketahui maka mana rancangan Bila data harga diketahui maka mana rancangan

yang termurah ?yang termurah ?• Rancangan komputer yang mana yang mampu Rancangan komputer yang mana yang mampu

mempertahankan aliran data ? mempertahankan aliran data ?

Contoh – Kasus 1Contoh – Kasus 1• Solusi :Solusi :

• Akan dihitung berapa karakter per detik yang Akan dihitung berapa karakter per detik yang ditransfer dan ditransfer dan

• membandingkannya dengan jumlah instruksi membandingkannya dengan jumlah instruksi yang harus dieksekusi setiap detiknya.yang harus dieksekusi setiap detiknya.

• Berdasarkan kondisi yang ada :Berdasarkan kondisi yang ada :• Terdapat B perintah yang masuk dan kB jawaban Terdapat B perintah yang masuk dan kB jawaban

yang ke luar per detik, sehingga akan yang ke luar per detik, sehingga akan membutuhkan Bb + kBr karakter per detik untuk membutuhkan Bb + kBr karakter per detik untuk melewati Buffer.melewati Buffer.

• Kapasitas maksimum Buffer m karakter sehingga Kapasitas maksimum Buffer m karakter sehingga akan terdapat (Bb + kBr)/m interupsi per detik.akan terdapat (Bb + kBr)/m interupsi per detik.


Instruksi yang terjadi per detik:Instruksi yang terjadi per detik:• untuk perintah masuk = 2000 x Buntuk perintah masuk = 2000 x B• untuk jawaban = 10000 x kBuntuk jawaban = 10000 x kB• untuk interupsi = 1000 x B(b+kr)/muntuk interupsi = 1000 x B(b+kr)/m

Jumlah Instruksi per detik (N) :Jumlah Instruksi per detik (N) :N = 2000 x B + 10000 x kB + N = 2000 x B + 10000 x kB +

1000 x B(b + kr)/m1000 x B(b + kr)/m


Jadi Model Matematikanya :Jadi Model Matematikanya :N = 2000 x B + 10000 x kB + N = 2000 x B + 10000 x kB +

1000 x B(b + kr)/m1000 x B(b + kr)/m

Simulasinya : Bila Simulasinya : Bila B = 5 perintahB = 5 perintahb = 15 karakterb = 15 karakterk = 10 % dari perintah yang memerlukan jawabank = 10 % dari perintah yang memerlukan jawabanr = 50 karakter jawabanr = 50 karakter jawaban


Maka rancangan komputer yang mampu Maka rancangan komputer yang mampu mempertahankan aliran data yaitu :mempertahankan aliran data yaitu :

N N P(i) P(i)

N = 2000 x 5 + 10000 x 5 x 0.1 + N = 2000 x 5 + 10000 x 5 x 0.1 + 1000 x 5 (15 + 5)/m1000 x 5 (15 + 5)/m

= 15000 + 100000/m = 15000 + 100000/m P(i) …. ( N P(i) …. ( N P(i) ) P(i) ) 3 + 20/m 3 + 20/m P(i)/5000 P(i)/5000

20/m 20/m P(i)/5000 - 3 ………..(1) P(i)/5000 - 3 ………..(1)


Berdasarkan pers (1), dengan kondisi Berdasarkan pers (1), dengan kondisi minimal akan diperoleh rancangan dengan minimal akan diperoleh rancangan dengan alternatif sebagai berikut :alternatif sebagai berikut :1.1. Komputer Komputer Kecepatan tinggiKecepatan tinggi dengan Buffer dengan Buffer 22

karakterkarakter2. 2. Komputer Komputer Kecepatan sedangKecepatan sedang dengan Buffer dengan Buffer

5 5 karakter karakter

3. 3. Komputer Komputer Kecepatan rendahKecepatan rendah dengan Buffer dengan Buffer 10 10 karakterkarakter


Bila memperhatikan harga dari komputer Bila memperhatikan harga dari komputer berdasarkan tingkat kecepatannya maka berdasarkan tingkat kecepatannya maka solusi optimal yang diperoleh dengan tetap solusi optimal yang diperoleh dengan tetap mempertahankan aliran data yang ada yaitu mempertahankan aliran data yang ada yaitu

::

Rancangan Komputer Kecepatan rendah Rancangan Komputer Kecepatan rendah dengan Buffer 10 karakterdengan Buffer 10 karakter


Algoritma Kasus 1 :Algoritma Kasus 1 :1. 1. Input data sistem.Input data sistem.2. Hitung jumlah instruksi yang dibutuhkan per 2. Hitung jumlah instruksi yang dibutuhkan per detik untuk setiap alternatif buffer yang adadetik untuk setiap alternatif buffer yang ada3. Bandingkan setiap hasil langkah-2 dengan 3. Bandingkan setiap hasil langkah-2 dengan kecepatan maksimum dari setiap kemungkinan kecepatan maksimum dari setiap kemungkinan komputer yang tersedia.komputer yang tersedia.4. Tetapkan rancangan sistem komputer yang 4. Tetapkan rancangan sistem komputer yang

mampu mempertahankan aliran data.mampu mempertahankan aliran data.


• Kasus Komputer Real TimeKasus Komputer Real TimeDiberikan suatu rancangan sebuah mesin Diberikan suatu rancangan sebuah mesin pengolah data yang bekerja secara real time, pengolah data yang bekerja secara real time, yang terdiri dari komponen-komponen (lihat yang terdiri dari komponen-komponen (lihat Gambar 2.1) :Gambar 2.1) :

Terminal Masukkan,Terminal Masukkan, CPU,CPU, Memory,Memory, Sabuah saluran komunikasi dari CPU ke Sabuah saluran komunikasi dari CPU ke

media penyimpan (disk), danmedia penyimpan (disk), dan 3 buah media penyimpan.3 buah media penyimpan.


Gambar 2.1. Rancangan Mesin - Real Time

Message

C P U

Disk - 1

Disk - 2

Disk - 3

Memory


Spesifikasi perangkat keras dari Spesifikasi perangkat keras dari komponen-komponen sistim :komponen-komponen sistim :• Kecepatan CPU mengolah data bervariasi antara Kecepatan CPU mengolah data bervariasi antara

6 milidetik (mdet) sampai dengan 14 mdet.6 milidetik (mdet) sampai dengan 14 mdet.• Waktu yang dibutuhkan CPU untuk memasukkan Waktu yang dibutuhkan CPU untuk memasukkan

perintah (message) ke dalam memori adalah 1 perintah (message) ke dalam memori adalah 1 mdet.mdet.

• Panjang perintah berkisar antara 10 sampai 20 Panjang perintah berkisar antara 10 sampai 20 unit.unit.

• Kapasistas memori 2000 unit.Kapasistas memori 2000 unit.• Waktu untuk mencari lintasan dari disket Waktu untuk mencari lintasan dari disket

berkisar antara 40 - 2000 mdet.berkisar antara 40 - 2000 mdet.


• Waktu untuk mencari sektor media Waktu untuk mencari sektor media penyimpanan berkisar antara 0 - 50 mdet.penyimpanan berkisar antara 0 - 50 mdet.

• Berkas yang dibutuhkan agar suatu perintah Berkas yang dibutuhkan agar suatu perintah dapat dilayani terdistribusi secara merata ke dapat dilayani terdistribusi secara merata ke ketiga media penyimpanan.ketiga media penyimpanan.

• Waktu yang dibutuhkan oleh berkas untuk Waktu yang dibutuhkan oleh berkas untuk menempuh saluran komunikasi adalah 2 menempuh saluran komunikasi adalah 2 mdet.mdet.


Asumsi dari komponen-komponen Asumsi dari komponen-komponen sistim :sistim :• Waktu kedatangan perintah berdistribusi Waktu kedatangan perintah berdistribusi

eksponensial dengan rata-rata 50 mdet.eksponensial dengan rata-rata 50 mdet.• Berkas yang dibutuhkan oleh suatu perintah Berkas yang dibutuhkan oleh suatu perintah

tersebar ke ketiga media penyimpanan tersebar ke ketiga media penyimpanan dengan kemungkinan yang sama.dengan kemungkinan yang sama.

• Panjang perintah berdistribusi uniform dari 10 Panjang perintah berdistribusi uniform dari 10 - 20 unit.- 20 unit.

• Waktu proses berdistribusi normal dengan Waktu proses berdistribusi normal dengan rata-rata 10 mdet dan standar deviasi 4 mdet.rata-rata 10 mdet dan standar deviasi 4 mdet.

Contoh – Kasus 2Contoh – Kasus 2Pengendalian kerja sistim :Pengendalian kerja sistim :• Perintah yang dibaca oleh CPU dimasukkan Perintah yang dibaca oleh CPU dimasukkan

dalam antrian di memori.dalam antrian di memori.• Kemudian CPU mendecode perintah yang Kemudian CPU mendecode perintah yang

berada terdepan pada antrian di memori.berada terdepan pada antrian di memori.• Bila saluran komunikasi dalam keadaan tidak Bila saluran komunikasi dalam keadaan tidak

terpakai maka berkas yang dibutuhkan oleh terpakai maka berkas yang dibutuhkan oleh perintah yang sedang dilayani dapat perintah yang sedang dilayani dapat ditransfer ke CPU untuk diolah.ditransfer ke CPU untuk diolah.

• Sebaliknya, bila saluran komunikasi dalam Sebaliknya, bila saluran komunikasi dalam keadaan terpakai maka pelayanan ditunda keadaan terpakai maka pelayanan ditunda sampai saluran komunikasi siap dan sampai saluran komunikasi siap dan permintaan akan ditransfer berkas permintaan akan ditransfer berkas dimasukkan dalam antrian saluran dimasukkan dalam antrian saluran komunikasi.komunikasi.


Permasalahan :Permasalahan :Bagaimana unjuk kerja dari sistim melalui Bagaimana unjuk kerja dari sistim melalui pengukuran besaran-besaran sebagai berikut :pengukuran besaran-besaran sebagai berikut :• Waktu tunggu rata-rata, waktu tunggu Waktu tunggu rata-rata, waktu tunggu

maksimum, waktu tunggu minimum dari maksimum, waktu tunggu minimum dari suatu perintah untuk mendapat layanan CPU,suatu perintah untuk mendapat layanan CPU,

• Panjang antrian yang terjadi,Panjang antrian yang terjadi,• Utilisasi dari komponen-komponen sistim Utilisasi dari komponen-komponen sistim

(waktu sibuk CPU, waktu sibuk saluran (waktu sibuk CPU, waktu sibuk saluran komunikasi, rata-rata pemakaian memori).komunikasi, rata-rata pemakaian memori).

TEKNIK SIMULASI

Documents