Tiểu luận lý thuyết nhóm NHÓM ĐIỂM ĐỐI XỨNG C 4v 1. Các yếu tố đối xứng Nhóm C 4v gồm các yếu tố E, C 4 , C 2 , C 4 -1 của nhóm C 4 và các phép phản xạ gương , , qua bốn mặt phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu là , , , trong đó trực giao với và thu được từ sau khi thực hiện phép quay , trực giao với và thu được từ sau khi thực hiện phép quay , và là hai mặt phân giác của hai góc vuông của hai mặt phẳng và (Hình 1). Hình 1 HVTH: Trần Thị Phường 1 v x v v o y v o
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Tiểu luận lý thuyết nhóm
NHÓM ĐIỂM ĐỐI XỨNG C4v
1. Các yếu tố đối xứng
Nhóm C4v gồm các yếu tố E, C4, C2, C4-1 của nhóm C4 và các phép phản xạ
gương , , qua bốn mặt phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu là ,
, , trong đó trực giao với và thu được từ sau khi thực hiện phép
quay , trực giao với và thu được từ sau khi thực hiện phép quay ,
và là hai mặt phân giác của hai góc vuông của hai mặt phẳng và (Hình
1).
Hình 1
2. Các phép đối xứng
HVTH: Trần Thị Phường 1
v
x
v v
o
y
v o
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Nhóm là một phép các nhóm đối xứng của một hình trụ thẳng đứng đáy
là một hình vuông. Hình 1 ta vẽ mặt đáy của một hình trụ đó và các giao tuyến
của các mặt phẳng gương , , , với mặt phẳng đáy. Ta chọn trục Oz trùng
với trục quay , mặt phẳng tọa độ xOy là mặt phẳng đáy của hình trụ, chọn đi
qua trục Ox và đi qua Oy . Như vậy các yếu tố đối xứng là trục quay C4 và
bốn mặt phẳng gương chứa trục quay , , , .
Hình 2
Biểu diễn 3 chiều của nhóm:
Chọn trục quay trùng với trục Oz
Trong phép quay :
: nên =
(1)
Ma trận biến đổi của phép quay là:
HVTH: Trần Thị Phường 2
x
y
z
o
v
v
v
v
Tiểu luận lý thuyết nhóm
=
Trong phép quay = :
= : nên =
100
010
001
(2)
Ma trận biến đổi của phép quay là:
=
Trong phép quay = :
= : nên =
(3)
Ma trận biến đổi của phép quay = là:
=
Trong phép quay :
: nên =
(4)
Ma trận biến đổi của phép quay =E là:
=
Phép phản xạ gương :
HVTH: Trần Thị Phường 3
Tiểu luận lý thuyết nhóm
: nên =
(5)
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:
=
Các phép phản xạ gương :
: nên =
(6)
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:
=
Phép phản xạ gương :
: nên =
(7)
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:
=
Phép phản xạ gương :
: nên =
(8)
Ma trận biến đổi của phép phản xạ gương là:
HVTH: Trần Thị Phường 4
Tiểu luận lý thuyết nhóm
=
Trong đó mặt phẳng gương là mặt phẳng xOz và là mặt phẳng yOz
còn và là hai mặt phẳng phân giác trực giao với nhau (Hình 2).
3. Bảng nhân nhóm
Sử dụng quy tắc nhân ma trận với các ma trận biến đổi trên từ (1), (2), (3),
(4), (5), (6), (7) và (8) ta có:
EE = = = = = = E (9)
E = E = = = = = = = (10)
E = = = E = = = = = (11)
E = = = E= = = = = (12)
E = E = = = = = = = (13)
E = = = = = E = = = (14)
E = = = = = = E = = (15)
E = = = = = = = E = (16)
Từ các công thức (9), (10), (11), (12), (13), (14), (15) và (16) ta có bảng
nhân nhóm C4v như sau:
HVTH: Trần Thị Phường 5
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Bảng1: Bảng nhân nhóm
C4v E C4 C2 C4-1
E E C4 C2 C4-1
C4 C4 C2 C4-1 E
C2 C2 C4-1 E C4
C4-1 C4
-1 E C4 C2
E C2 C4 C4-1
C2 E C4-1 C4
C4-1 C4 E C2
C4 C4-1 C2 E
4. Sự phân lớp
Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta
có thể nghiệm lại rằng nhóm có 8 yếu tố đối xứng {E, C4, C2, , , , ,
và } chia thành năm lớp các yếu tố liên hợp như sau:
Ta xét từng yếu tố đối xứng và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố
đã cho.
Nếu a là một yếu tố nào đó của nhóm C4v thì tất cả các yếu tố gag-1 với mọi
yếu tố g của C4v tạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố a.
Nếu a là yếu tố đơn vị E thì tất cả các yếu tố gag-1 đều trùng với E. Vậy
chính yếu tố đơn vị E là một lớp.
Lấy a là C4. Các yếu tố liên hợp với nó là:
= ; ( )-1 = ; ( )-1 = ( )-1 =
( )-1 = ( )-1 = = tương tự
= =
= =
= =
HVTH: Trần Thị Phường 6
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Như vậy, hai yếu tố và tạo thành một lớp liên hợp
Nếu lấy a là :
( )-1= ( )-1 =
( )-1 = ( )-1=
( )-1 = ( )-1 = = tương tự
= =
= =
= =
Như vậy, là một lớp.
Nếu chọn a là . Các yếu tố liên hợp với nó là
( )-1= =
( )-1 = ( )-1=
( )-1 = E( )-1 =
= =
= =
= =
Như vậy, hai yếu tố và tạo thành một lớp liên hợp.
Nếu chọn a là . Các yếu tố liên hợp với nó là
( )-1= ( )-1 =
( )-1 = ( )-1=
( )-1 = ( )-1 =
= =
=E =
= =
HVTH: Trần Thị Phường 7
Tiểu luận lý thuyết nhóm
Như vậy, hai yếu tố và tạo thành một lớp liên hợp.