Statistika 1-Distribusi Probabilitas

1

BAB 9DISTRIBUSI PROBABILITAS

STATISTIKA DESKRIPTIF PlusDrs. Algifari, M. Si.

TUJUAN Mendefinisikan masalah distribusi probabilitas dan variabel random

Membedakan antara distribusi probabilitas diskrit dan kontinyu

Menghitung rata-rata, varians, dan standar deviasi distribusi probabilitas diskrit

Memahami karakteristik dan menghitung probabilitas menggunakan formula distribusi probabilitas binomial, multinomial, hipergeometrik, dan Poisson

Memahami karakteristik dan menghitung probabilitas menggunakan formula distribusi probabilitas normal dan distribusi eksponensial

2

PEMBAHASAN

1. Variabel Random, Variabel Diskrit, dan Variabel Kontinyu

2. Faktorial, Permutasi, dan Kombinasi3. Nilai Harapan Matematis4. Distribusi Probabilitas Variabel

Diskrit: Distribusi Binomial, Distribusi Poisson, Distribusi Multinomial, dan Dsitribusi Hipergeometrik

5. Distribusi Probabilitas Variabel Kontinyu: Distribusi Normal dan Distribusi Eksponensial

3

PENGERTIAN Pada bagian ini akan diuraikan mengenai penentuan probabilitas suatu peristiwa pada percobaan yang dilakukan secara berulang.

Distribusi probabilitas adalah suatu distribusi frekuensi teoritis (Teoritical Frequency Distribution), yaitu distribusi probabilitas yang menggambarkan bagaimana hasil (outcome) diperkirakan berubah-ubah

4

PERCOBAAN Misalnya percobaan dilakukan dengan melempar koin

(memiliki sisi angka dan sisi gambar) sebanyak dua kali. Distribusi probabilitas muncul sisi angka (A) adalah

5

Banyaknya

Angka (A)

HasilPasangan

ProbabilitasP(A)

012

(G;G)(A;G) + (G;A)(A;A)

0,250,500,25

0,25

0,5

0,25

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 1 2Banyaknya Sisi Angka

Prob

abil

itas

VARIABEL DISKRIT, VARIABEL KONTINYU DAN NILAI HARAPAN MATEMATIS Variabel Random: Suatu variabel merupakan random apabila nilai variabel tersebut diperoleh dari hasil suatu percobaan random yang nilainya antara percobaan yang satu dengan percobaan yang lain adalah berbeda. Variabel random dapat berbentuk diskrit (discrete) dan dapat pula berbentuk kontinyu (continuous).

Variabel diskrit: variabel yang nilainya tidak dapat dalam bentuk pecahan. Jumlah karyawan di suatu perusahaan merupakan variabel diskrit, karena banyaknya karyawan tidak mungkin dalam bentuk pecahan (misalnya 234 orang

Variabel kontinyu: variabel yang nilainya dapat dalam bentuk pecahan. Jarak tempuh sepeda motor merek Honda setiap liter premium merupakan variabel kontinyu, karena jarak dapat dalam bentuk pecahan (misalnya 54,6KM).

6

FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI

Aturan 1Apabila suatu percobaan akan menghasilkan k peristiwa yang berbeda dan peristiwa saling meniadakan dan percobaan tersebut dilakukan sebanyak n kali, maka banyaknya kemungkinan hasil percobaan tersebut adalah kn. Misalnya kita melempar koin yang mempunyai 2 sisi (gambar dan angka) dilempar sebanyak 10 kali, maka banyaknya kemungkinan hasilnya adalah 210 = 1.024. Sedangkan sebuah dadu yang mempunyai 6 sisi dilempar sebanyak 2 kali, maka banyaknya kemungkinan hasil adalah 62 = 36.

7

LANJUTAN ... Aturan 2Apabila pada suatu percobaan menghasilkan k1 peristiwa pada percobaan pertama, k2 peristiwa pada percobaan kedua, ..., kn peristiwa pada n kali percobaan, maka banyaknya hasil yang mungkin terjadi adalah (k1)(k2)... (kn).

Misalnya sebuah perusahaan menyediakan menu yang dapat dipilih pelanggan terdiri dari 4 macam donat, 10 macam masakan Indonesia, 3 macam puding, dan 6 macam lalapan. Banyaknya kemungkinan menu yang dapat dinikmati adalah (4)(10)(3)(6) = 720.

8

LANJUTAN ...

Aturan 3Apabila terdapat n obyek, maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah n! = n.(n-1).(n-2) ... 1. Notasi n! disebut n faktorial dan 0! = 1.

Misalnya 6 buah kotak akan kita susun, maka banyaknya susunan yang bisa dibentuk adalah 6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720

9

FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI Aturan 4Permutasi adalah banyaknya cara untuk menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek dengan memperhatikan urutannya Formulasinya:

Banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk menyusun 6 buku di tempat yang hanya dapat menampung 4 buah buku (permutasi) adalah

Contoh: Dari 3 calon pemimpin (misalnya A, B, C) akan dipilih 2 orang untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua. Berapa pasangan yang dapat terjadi?

Jawab:

Ada 6 pasangang, yaitu AB, AC, BC, BA, CA, dan CB.10

x)!-(n n! Pn

x

360 = 2720 = 2!

6! = 4)! - (66! = P 6

4

6 = 16 = 1!

3! = 2)! - (33! = P 32

LANJUTAN ... Aturan 5Kombinasi adalah banyaknya cara untuk menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek dengan mengabaikan urutannya.Formulasinya :

Banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk menyusun 6 buku di tempat yang hanya dapat menampung 4 buah buku dengan mengabaikan susunan (kombinasi) yang mengandung obyek yang sama adalah

Contoh:Jika ada 3 orang pemain bulu tangkis (misalnya A, B, dan C) akan dijadikan pemain ganda. Berapa kombinasi yang dapat disusun?

Jawab:

Ada 3 kombinasi pasangan, yaitu pasangan AB, AC, dan BC.11

x)!-(n x!n! C n

x

3)1(26

)!23(!2!3

x)!-(n x!n! C n

x

15 = 48720 = 4!2!

6! = 4)!-(64!6! = C 6

4

LANJUTAN ... Harapan Matematis (Mathematical Expectation) Apabila P adalah probabilitas untuk memperoleh sejumlah Q, maka harapan matematisnya adalah sebesar PQ.

Formulasi nilai harapan matematis:

E(x) = {X . P(x)}

E(x): Nilai harapan matematis x.x: Setiap nilai asumsi dari variabel x.P(x): Probabilitas terjadinya nilai x.

12

LANJUTAN ...Contoh:Seorang penjual es mendapat laba Rp5000 jika hari panas. Namun ia akan rugi Rp1000 jika hari hujan. Berapa harapan matematisnya jika probabilitas akan turun hujan sebesar 0,4?

Jawab:

Nilai harapan matematisnya adalah Rp3.4000

13

X.P(X) E(X)

3.4000,4(1000)0,6(5000)

DISTRIBUSI PROBABILITAS:VARIABEL DISKRIT

• Distribusi Binomial• Distribusi Poisson• Distribusi Multinomial• Distribusi Hipergeometrik

14

DISTRIBUSI BINOMIALProses Bernoulli memiliki ciri-ciri sebagai

berikut:1.Setiap percobaan hanya ada dua

kemungkinan peristiwa yang akan terjadi, yaitu sukses atau gagal.

2.Setiap percobaan adalah independen secara statistik, sehingga peristiwa yang dihasilkan dari suatu percobaan tidak berpengaruh terhadap peristiwa pada percobaan berikutnya.

3.Probabilitas peristiwa setiap percobaan tidak berubah

15

LANJUTAN BINOMIAL..Apabila pada suatu percobaan, probabilitas sukses p dan percobaan tersebut dilakukan sebanyak n kali, maka probabilitas sukses sebanyak x kali adalah

di mana q = 1 - p

16

q p x)!- (nx!n! = P(x) x- nx

LANJUTAN ...Soal 1Koin yang mempunyai dua sisi, yaitu sisi gambar (G) dan sisi angka (A) dilempar sebanyak 3 kali. Berapa probabilitas yang muncul sisi gambar (G) sebanyak dua kali?Jawab:Percobaan ini memenuhi proses Bernoulli, karena:1. hanya ada dua kemungkinan peristiwa yang akan terjadi, yaitu muncul sisi gambar dan muncul bukan sisi gambar.

2. munculnya sisi gambar dan munculnya bukan sisi gambar adalah dua peristiwa yang independen.

Karena percobaan tersebut memenuhi proses Bernoulli, maka probabilitas suatu peristiwa dapat digunakan formula distribusi binomial dengan n = 3; x = 2; p= 0,5. Jadi probabilitas munculnya sisi gambar dua kali dari 3 kali melempar koin adalah

17

50, . 50, 2)! - (32!3! = 2)P(x 2 - 32 0,375,5).(0,25).(02

650, . 50, 2!1!3! = 12

LANJUTAN ...Soal 2Berdasarkan informasi dari manajer produksi, pada setiap proses produksi terdapat 20% barang yang cacat. Apabila diambil 6 barang hasil suatu proses produksi secara random, berapa probabilitas tiga barang yang rusak?Jawab:n = 6, X = 3, p(X) = 0,2.Jadi probabilitas terambilnya 3 barang yang rusak dari 6 kali pengambilan adalah

18

3-63 0,8 . 0,2 3)! - (63!6! = 3)P(x 0,08190,512).(0,008).(36

720,..0,2 3!3!6! = 3 380

LANJUTAN ...Soal 3Berdasarkan informasi dari manajer produksi, pada setiap proses produksi terdapat 20% barang yang cacat. Apabila diambil 6 barang hasil suatu proses produksi secara random, berapa probabilitas paling sedikit 4 barang yang rusak

Jawab:n = 6 ; p = 0,2; q = 0,8 ; x 4Karena X 4, maka probabilitas yang kita cari adalah probabilitas x = 4, x = 5, dan x = 6 yang kemudian probabilitas tersebut dijumlahkan untuk memperoleh probabilitas x 4.

P(x4) = P(x = 4) + P(x = 5) + P(x = 6) = 0,0154 + 0,0015 + 0,0001 = 0,0170

19

LANJUTAN ...Soal 4Berdasarkan informasi dari manajer produksi, pada setiap proses produksi terdapat 20% barang yang cacat. Apabila diambil 6 barang hasil suatu proses produksi secara random, berapa probabilitas paling sedikit 1 barang yang rusak?

Jawab:Probabilitas yang akan kita tentukan adalahP(x1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)

atauP(x 1) = 1 - P(x < 1) = 1 - P(x = 0)

Probabilitas terambil 0 barang yang rusak (tidak ada terambil berang yang rusak) adalah

20

LANJUTAN ...

P(x 1) = 1 – 0,2621= 0,7379

21

80, 20, )! - (6!6! = )=P(x - 6 00000

0,2621 = 80, 20, 0!.6!6! = 60

MEMBACA TABEL BINOMIALSoal 5Berdasarkan informasi dari manajer produksi, pada setiap proses produksi terdapat 20% barang yang cacat. Apabila diambil 6 barang hasil suatu proses produksi secara random, berapa probabilitas tiga barang yang rusak? Tentukan dengan menggunakan Tabel Distribusi Binomial. Jawab:Banyaknya percobaan: n = 6Probabilitas sukses: p = 0,2Banyaknya sukses yang diharapkan: x = 3

22

n xp

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.506 0     0.2621            

1     0.3932            2     0.2458            3     0.0819            4     0.0154            5     0.0015            6     0.0001            

MEMBACA TABEL BINOMIALSoal 6Berdasarkan informasi dari manajer produksi, pada setiap proses produksi terdapat 20% barang yang cacat. Apabila diambil 6 barang hasil suatu proses produksi secara random, berapa probabilitas kurang tiga barang yang rusak? Tentukan dengan menggunakan Tabel Distribusi Binomial. Jawaban 5

Banyaknya percobaan: n = 6Probabilitas sukses: p = 0,2Banyaknya sukses yang diharapkan: x ≤ 3

P(x < 3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = 0,2621 + 0,3932 + 0,2458 = 0,9011

23

n xp

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.506 0     0.2621            

1     0.3932            2     0.2458            3     0.0819            4     0.0154            

LANJUTAN … Rata-rata () dan Standar Deviasi () Distribusi BinomialRata-rata ():

= n . p

Standar Deviasi ()

24

npq = σ

LANJUTAN ...Soal 7Berdasarkan informasi dari manajer produksi, pada setiap proses produksi terdapat 20% barang yang cacat. Apabila diambil 6 barang hasil suatu proses produksi secara random, berapa rata-rata () dan standar deviasi () barang yang rusak?

Jawab:

= n . P = 6(0,2) = 1,2

25

9798,0)8,0)(2,0(6npq = σ

KASUS UNTUK LATIHAN (1)Berdasarkan informasi dari manajer produksi, pada setiap proses produksi terdapat 20% barang yang cacat. Apabila diambil 6 barang hasil suatu proses produksi secara random, tentukan pada setiap kali proses produksi:1. Rata-rata dan standar deviasi barang yang

cacat.2. probabilitas tiga barang yang cacat.3. probabilitas tidak ada barang yang cacat.4. probabilitas kurang dari 2 barang yang cacat.5. probabilitas minimal satu barang yang cacat. 

26

KASUS UNTUK LATIHAN (2)Sebuah survey yang dilakukan oleh pengelola sebuah pusat perkantoran diperoleh informasi bahwa terdapat 32 persen karyawan yang berkantor di pusat perkantoran tersebut tidak setuju atas pemberlakuan aturan pembatasan penggunaan telpon kantor oleh karyawan. Misalnya diambil secara random 12 orang karyawan yang berkantor di pusat perkantoran tersebut, tentukan:1. rata-rata dan standar deviasi karyawan yang tidak

setuju atas pembatasan penggunaan telpon kantor.2. probabilutas 7 karyawan yang tidak setuju yang

tidak setuju atas pembatasan penggunaan telpon kantor.

3. probabilitas kurang dari 3 karyawan yang tidak setuju atas pembatasan penggunaan telpon kantor.

4. probabilitas lebih dari 2 karyawan yang tidak setuju atas pembatasan penggunaan telpon kantor.

27

DISTRIBUSI POISSONSama dengan proses Bernoulli, namun probabilitas sukses relatif kecil dan frekuensi percobaan relatif tinggiFormulasi distribusi Poisson:

atau

P(x): probabilitas x dengan tertentu.: banyaknya sukses yang diharapkan (rata-rata)e: suatu konstanta matematis yang nilainya mendekati 2,71828

x: banyaknya sukses pada percobaan 28

x!μe = P(x) x-μ

x!.eμ = P(x) μ

x

LANJUTAN ……..

Rata-rata (µ) distribusi Poisson: = E(X) = n . P

Standar Deviasi () distribusi Poisson:

29

CONTOH KASUS Soal 8Berdasarkan catatan kantor imigrasi suatu negara bahwa setiap bulan terdapat 5% turis mancanegara yang berasal dari Inggris. Jika pada bulan April di negara tersebut terdapat 100 turis mancanegara, tentukan probabilitas 2 turis berasal dari Inggris.

Jawab:a. = E(X) = n . p = 100 (5%) = 5x = 2

30

0,08425(148,4)(2)25

(2x1)(2,71828)5

.x!eμP(x) 5

5

μ

x

LANJUTAN ...Soal 9Berdasarkan catatan kantor imigrasi suatu negara bahwa setiap bulan terdapat 5% turis mancanegara yang berasal dari Inggris. Jika pada bulan April di negara tersebut terdapat 100 turis mancanegara, tentukan probabilitas kurang dari 3 turis berasal dari Inggris.

= E(X) = n . p = 100 (5%) = 5P(x < 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2)

Probabilitas untuk x = 0:

Probabilitas untuk x = 1

Probabilitas untuk x = 2

Jadi P(x<3) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = 0,00674 + 0,03370 + 0,08425 = 0,1247

31

0,00674 = (148,4)(1)1 = 0! .(2,71828)

5 = 0)=P(x 5

0

0,03370 = (148,4)(1)5 = 1! .(2,71828)

5 = 1)=P(x 5

1

0,08425 = (148,4)(2)25 = 2! .(2,71828)

5 = 2)=P(x 5

2

MEMBACA TABEL DISTRIBUSI POISSON

Probabilitas x = 2 dan µ = 5 menggunakan Tabel Poisson.

32

x µ1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0,00671 0,03372 0,08423 0,14004 0,17555 0,17556 0,1462. .. .

LANJUTAN ...

Probabilitas x < 3 dan µ = 5 menggunakan Tabel Poisson.

33

x µ1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0,00671 0,03372 0,08423 0,14004 0,17555 0,17556 0,1462. .. .

KASUS UNTUK LATIHAN (1)Bagian Produksi melaporkan terdapat 5% prododuk rusak pada setiap kali proses produksi. Jika diambil 100 produk yang dihasilkan dari proses produksi tersebut secara random, tentukan:1. rata-rata dan standar deviasi produk

yang rusak pada setiap kali proses produksi.

2. probabilitas 2 produk rusak.3. probabilitas kurang dari 2 produk

rusak.

34

HUBUNGAN DISTRIBUSI POISSON DAN DISTRIBUSI BINOMIALMisalnya suatu percobaan memiliki nilai-nilai sebagai berikut:n = 20 ; p = 2% ; dan x = 3

Formula Distribusi Poisson: = np = 20 . (2%) = 0,4

Formula Distribusi Binomial:

Hasil perhitungan menggunakan formula distribusi Poisson dan formula distribusi Binomial memiliki selisih yang sangat kecil.

35

0,00715 = 60,064)(0,67032)( = 3!

40, e = 3)=P(x 3-0,4

qp x)-(nx!n! = 3)=P(x x-nx

)98(0, )02(0, 3)!-(203!20! = 3-203 0,0065 = )98(0, )02(0, 3!17!

20! = 173

KASUS UNTUK LATIHAN (2)Misalnya berdasarkan pengalaman frekuensi error network per hari pada local area network (LAN) terdistribusi Poisson dengan rata-rata banyaknya error network per hari adalah 4,2. Tentukan probabilitas suatu hari:1. tidak terjadi error network.2. dua kali terjadi error network.3. paling banyak sekali terjadi error

network.4. tiga kali terjadi error network.

36

DISTRIBUSI MULTINOMIALCiri-ciri percobaan dengan probabilitas multinomial adalah sebagai berikut:1. Setiap percobaan memiliki lebih dari

dua kemungkinan peristiwa yang akan terjadi.

2. Setiap percobaan adalah independen secara statistik, sehingga peristiwa yang dihasilkan dari suatu percobaan tidak berpengaruh terhadap peristiwa pada percobaan berikutnya.

3. Probabilitas setiap peristiwa pada setiap percobaan tidak berubah.

37

LANJUTAN ...

38

Misalnya suatu percobaan akan menghasilkan m peristiwa, yaitu A1, A2, A3, ..., Am dengan probabilitas masing-masing peristiwa berturut-turut p1, p2, p3. ..., pm. Jika percobaan dilakukan sebanyak n kali, maka probabilitas terjadinya peristiwa A1 sebanyak k1 kali, A2 sebanyak k2 kali, A3 sebanyak k3 kali, ..., Am sebanyak km kali adalah

p1 + p2 + p3 + ... + pm = 1k1 + k2 + k3 + ... + km = n

p ,..., p p p !k,..., !k !k !kn! = )k;...;k;kP( kmk

3k2

k1m321

m21 m321

LANJUTAN ...Soal 10Pada percobaan pelemparan buah dadu sebanyak 4 kali, berapa probabilitas muncul permukaan 2 sebanyak satu kali, 4 sebanyak dua kali.

Jawab:p1 = p2 = 1/6; dan p3 = 4/6k1 = 1 ; k2 = 2; dan k3 = 1

Probabilitas muncul permukaan 2 sebanyak satu kali, 4 sebanyak dua kali adalah

39

p p p !k !k !kn! = )kk;kP( k

3k2

k1

321321

321

0,0371 = )(4/6 )(1/6 )(1/6 1! 2! 1!4! = )k;k;kP( 121

321 121

LANJUTAN ...

Soal 11:Molex Cosmetics memproduksi tiga macam lipstick, yaitu lipstick rasa Strawberry, lipstick rasa Jeruk, dan lipstick rasa Mangga. Berdasarkan hasil riset pasar diperoleh kesimpulan bahwa persentase wanita yang menggunakan lipstick menyukai lipstick rasa strawberry, rasa jeruk, dan rasa mangga berturut-turut 0,2; 0,3; dan 0,5. Apabila kita berjumpa denga 6 wanita yang memakai lipstick, berapa probabilitas 2 wanita tersebut menyukai lipstik rasa strawberry, seorang menyukai lipstick rasa jeruk, dan sisanya menyukai lipstik rasa mangga.

40

LANJUTAN ...Jawab:p1 = 0,2 (probabilitas menyukai lipstick rasa strawberry)p2 = 0,3 (probabilitas menyukai lipstick rasa jeruk)p3 = 0,5 (probabilitas menyukai lipstick rasa mangga)k1 = 2 (banyaknya wanita yang menyukai lipstick rasa

strawberry)k2 = 1 (banyaknya wanita yang menyukai lipstick rasa jeruk)k3 = 3 (banyaknya wanita yang menyukai lipstick rasa mangga)

Besarnya probabilitas 2 wanita tersebut menyukai lipstik rasa strawberry, seorang menyukai lipstick rasa jeruk, dan sisanya menyukai lipstik rasa mangga adalah

41

p p p !k !k !kn! )k;k;P(k k

3k2

k1

321321

321

0,090 = )(0,5 )(0,3 )(0,2 3! 1! 2!6! )k;k;k(P 312 312 321

KASUS UNTUK LATIHANSuatu kotak yang berisi permen terdapat 3 macam rasa, yaitu 60% rasa Jeruk (J), 30% rasa Apel (N), dan 10% rasa Durian (D). Jika diambil 8 buah permen secara random, tentukan probabilitas terambil:1. dua rasa Jeruk dan 3 rasa Apel2. paling banyak 1 buah rasa Jeruk3. empat buah rasa Jeruk

42

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIKCiri-ciri percobaan dengan probabilitas

hipergeometrik adalah sebagai berikut:1. Setiap percobaan hanya terdapat dua

kemungkinan peristiwa yang akan terjadi.

2. Setiap peristiwa pada setiap percobaan adalah dependen . Artinya peristiwa yang dihasilkan dari suatu percobaan berpengaruh terhadap peristiwa pada percobaan berikutnya.

3. Probabilitas setiap peristiwa pada setiap percobaan berubah.

43

LANJUTAN … Distribusi HipergeometrikFormulasi:

N : banyaknya elemen dalam populasik : banyaknya yang sukses dalam populasin : banyaknya elemen dalam sampelx : banyaknya yang sukses dalam sampel

44

CC C = P(x) Nn

k-N x-nkx

LANJUTAN ..Soal 12:Bank ANASAI mempunyai 8 karyawan front office. Dari 8 karyawan tersebut terdapat 4 karyawan yang bergelar Sarjana Ekonomi. Apabila dipilih 5 karyawan front office secara random dari 8 karyawan tersebut untuk mengikuti trainning, berapa probabilitas terpilih 3 karyawan yang bergelar Sarjana Ekonomi?

Jawab:N = 8 (semua karyawan front office)k = 4 (karyawan front office yang bergelar Sarjana Ekonomi)n = 5 (banyaknya karyawan front office yang dipilih)x = 3 (karyawan front office yang terpilih bergelar Sarjana Ekonomi)

45

CC C = P(x) Nn

k-Nx-n

kx

CC C = 3)=P(x 85

4-83-5

43

CC C = 85

42

43

5)!-(85!8!

2)!-(42!4! 3)!-(43!

4!

= 0,4285 =

(3)!5!8!

(2)!2!4! (1)!3!

4!

=

KASUS UNTUK LATIHAN

Dalam suatu kelas terdapat 14 mahasiswa yang terdiri dari 8 mahasiswa pria (P) dan 6 mahasiswa wanita (W). Jika dipilih 5 mahasiswa secara random, tentukan probabilitas terpilih:1. empat mahasiswa pria2. kurang dari 2 mahasiswa wanita

46

DISTRIBUSI PROBABILITAS VARIABEL KONTINYU

Distribusi Normal

47

KARAKTERISTIK Karakteristik kurva normal yang dihubungkan dengan nilai rata-rata dan nilai standar deviasi data adalah Sekitar 68% nilai data observasi yang terdistribusi secara normal, berada di dalam ± 1 standar deviasi dari rata-ratanya.

Sekitar 95,5% nilai data observasi yang terdistribusi secara normal, berada di dalam ± 2 standar deviasi dari rata-ratanya.

Sekitar 99,7% nilai data observasi yang terdistribusi secara normal, berada di dalam ± 3 standar deviasi dari rata-ratanya.

48

LANJUTAN … Bentuk Kurva Distribusi Normal

49

68%

96%

99,7%

LANJUTAN …. Formulasi probabilitas distribusi normal

e : konstanta yang nilainya mendekati 2,7183 : konstanta yang nilainya mendekati 3,1416x: rata-rata populasix: standar deviasi populasiX : setiap nilai variabel random kontinyu yang besarnya - sampai dengan +

50

e21 = f(X) ])/-(1/2)[(X-

x

2xx

LANJUTAN …. Formulasi probabilitas disribusi normal menggunakan tabel distribusi normal

X : nilai data tertentu : rata-rata : standar deviasi

51

σμ - X = Z

LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA NORMAL

52

µ

0,50,5

MENENTUKAN NILAI Z Misalnya nilai Z = 1,26. Dengan menggunakan Tabel Z (Tabel Distribusi Normal) diperoleh luas daerah dibawah kurva normal dari sampai dengan X adalah 0.3962. Berarti probabilitas X adalah 0.3962.

53

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000

0.0040

0.0080

0.0120

0.0160

0.0199

0.0239

0.0279

0.0319

0.0359

0.1 0.0398

0.0438

0.0478

0.0517

0.0557

0.0596

0.0636

0.0675

0.0714

0.0753

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

1.2 0.3962

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2.9 0.4981

0.4982

0.4982

0.4983

0.4984

0.4984

0.4985

0.4985

0.4986

0.4986

3.0 0.4987

0.4987

0.4987

0.4988

0.4988

0.4989

0.4989

0.4989

0.4990

0.4990

LANJUTAN ...Soal 13:Waktu tempuh rata-rata dari kota A ke kota B menggunakan sepeda motor adalah 50 menit dengan standar deviasi 4,8 menit. Tentukan probabilitas waktu tempuh sebuah sepeda motor dari kota A ke kota B adalah 62 menit.

Jawab: = 50; = 4,8; dan X = 62

54

50 62

P(X=62) = 0,4938

2,54,85062

σμ -x = Z

LANJUTAN ...Soal 14Penghasilan rata-rata per bulan lulusan sebuah perguruan tinggi swasta di Yogyakarta adalah $500 dengan standar deviasi $100. Tentukan probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut adalah $625.

Jawab: = $500; = $100; X = $625

55

500 625

P(X=625) = 0,3944

25,100500625

σμ -x = Z 1

LANJUTAN ...Soal 15Penghasilan rata-rata per bulan lulusan sebuah perguruan tinggi swasta di Yogyakarta adalah $500 dengan standar deviasi $100. Tentukan probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut lebih dari $687.

Jawab: = $500; = $100; X > $625

56

500 687

P(X>687) = 0,0307

Luas daerah di bawah kurva normal dengan nilai Z = 1,87 adalah 0,4693. Dengan demikian probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut lebih dari $687 adalah 0,5- 0,4693 = 0,0307

87,100500687

σμ -x = Z 1

LANJUTAN ...Soal 16Penghasilan rata-rata per bulan lulusan sebuah perguruan tinggi swasta di Yogyakarta adalah $500 dengan standar deviasi $100. Tentukan probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut antara $625 sampai dengan $687.

Jawab: = $500; = $100; $625 < X < $687

Luas daerah Z = 1,87 adalah 0,4693 dan Z = 1,25 adalah 0,3944. Probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta antara $625 sampai dengan $687 adalah 0,4693 - 0,3944 = 0,0749.

57

500 625

P(625<X<687) = 0,0749

687

25,100500625

σμ -x = Z 1

87,100500687

σμ -x = Z 1

LANJUTAN ...Soal 17Penghasilan rata-rata per bulan lulusan sebuah perguruan tinggi swasta di Yogyakarta adalah $500 dengan standar deviasi $100. Tentukan probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut kurang dari $625

Jawab: = $500; = $100; X < $625

Luas daerah di bawah kurva normal dengan nilai Z = 1,25 adalah 0,3944. Dengan demikian probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut kurang dari $625 adalah 0,8944, yaitu dari 0,5 + 0,3944 = 0,8944.

58

500 625

P(X<625) = 0,8944

0,525,100

500625σμ -x = Z 1

LANJUTAN ...

Soal 18Penghasilan rata-rata per bulan lulusan sebuah perguruan tinggi swasta di Yogyakarta adalah $500 dengan standar deviasi $100. Tentukan probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut mempunyai penghasilan rata-rata antara $386 sampai dengan dari $625.

Jawab: = $500; = $100; $386 < X < $625.

Luas daerah dengan nilai Z = 1,25 adalah 0,3944 dan nilai Z = -1,14 adalah 0,3729. Probabilitas $386 sampai dengan $625 adalah 0,7673 , yaitu dari 0,3944 + 0,3729 = 0,7673.

(Catatan: Tanda minus pada Z menunjukkan bahwa nilai X kurang dari . Tanda minus tidak mempengaruhi cara menentukan luas daerah di bawah kurva normal menggunakan Tabel Z).

59

500 625

P(386<X<625) = 0,7673

386

25,100500625

σμ -x = Z 1

1,14100500386

σμ -x = Z

LANJUTAN ...Soal 19Penghasilan rata-rata per bulan lulusan sebuah perguruan tinggi swasta di Yogyakarta adalah $500 dengan standar deviasi $100. Tentukan probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut kurang dari $386.

Jawab: = $500 ; = $100 ; X < $386

Luas daerah di bawah kurva normal dengan nilai Z = - 1,14 adalah 0.3729. Dengan demikian probabilitas seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut kurang dari $386 adalah 0,5- 0.3729 = 0,0271.

60

500

P(386<X) = 0,1271

386

14,100500386

σμ -x = Z 1

KASUS UNTUK LATIHANSebuah perusahaan memproduksi minuman ringan dalam kemasan kaleng. Setiap kaleng berisi rata-rata 200 ml dengan standar deviasi 8 ml. Jika diambil sebuah kaleng secara random, tentukan probabilitas berisi minuman:1.210 ml2.lebih dari 220 ml3.lebih dari 186 ml4.210 ml sampai dengan 220 ml

61

MENENTUKAN NILAI XMisalnya suatu populasi diketahui memiliki nilai rata-rata 500.Berdasar gambar berikut ini:

Nilai X adalah batas terendah dari 20% nilai data tertinggi. Dengan demikian nilai X tersebut dapat dikatakan sebagai nilai data terendah dari 20% nilai data tertinggi.

62

X

20%

LANJUTAN ...Berdasar gambar berikut ini:

Nilai X adalah batas tertinggi dari 10% nilai data terendah. Dengan demikian nilai X tersebut dapat dikatakan sebagai nilai data tertingi dari 10% nilai data terendah.

63

X

10%

500

LANJUTAN ...Soal 20Penghasilan rata-rata per bulan lulusan sebuah perguruan tinggi swasta di Yogyakarta adalah $500 dengan standar deviasi $100. Tentukan besarnya penghasilan terendah dari 20% penghasilan tertinggi seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut.

Jawab: = $500 dan = $100

Cari nilai Z pada Tabel Z untuk luas daerah di bawah kurva normal 0,3. Atau jika tidak ada, gunakan nilai terdekat 0,3. Pada Tabel Z, nilai terdekat dengan 0,3 adalah 0,2995. Nilai Z untuk 0,2995 adalah 0,84. (Lihat Tabel)

100 (0,84) = X – 50084 = X – 500X = 500 + 84 = 584

64

X

20% = 0,20,

3

XZ 100

500840 X,

MENENTUKAN NILAI Z

65

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000

0.0040

0.0080

0.0120

0.0160

0.0199

0.0239

0.0279

0.0319

0.0359

0.1 0.0398

0.0438

0.0478

0.0517

0.0557

0.0596

0.0636

0.0675

0.0714

0.0753

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

0.8 0.2967

0.2995

0.3023

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2.9 0.4981

0.4982

0.4982

0.4983

0.4984

0.4984

0.4985

0.4985

0.4986

0.4986

3.0 0.4987

0.4987

0.4987

0.4988

0.4988

0.4989

0.4989

0.4989

0.4990

0.4990

LANJUTAN ...

Soal 21Penghasilan rata-rata per bulan lulusan sebuah perguruan tinggi swasta di Yogyakarta adalah $500 dengan standar deviasi $100. Tentukan besarnya penghasilan tertinggi dari 25% penghasilan terendah seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut.

Jawab: = $500 dan = $100

Nilai Z untuk probabilitas 0,25 atau mendekati 0,25, yaitu 0,2486 adalah 0,67. (lihat Tabel)

66

X

25% = 0,25

0,25

500

XZ

LANJUTAN ...Niai Z bertanda minus karena nilai X yang akan kita tentukan terletak di sebelah kiri rata-rata ().

100 (- 0,67) = X – 500- 67 = X – 500X = 500 - 67= 433

Besarnya penghasilan tertinggi dari 25% penghasilan terendah seorang lulusan perguruan tinggi swasta tersebut adalah $433.

67

10050067,0

X

MENENTUKAN NILAI Z

68

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.0000

0.0040

0.0080

0.0120

0.0160

0.0199

0.0239

0.0279

0.0319

0.0359

0.1 0.0398

0.0438

0.0478

0.0517

0.0557

0.0596

0.0636

0.0675

0.0714

0.0753

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

0.6 0.2454

0.2486

0.2517

0.2549

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

2.9 0.4981

0.4982

0.4982

0.4983

0.4984

0.4984

0.4985

0.4985

0.4986

0.4986

3.0 0.4987

0.4987

0.4987

0.4988

0.4988

0.4989

0.4989

0.4989

0.4990

0.4990

CONTOH KASUS 2:Pada suatu ujian diperoleh informasi nilai rata-rata peserta 60 dengan standar deviasi 6,4. Tentukan:1. probabilitas seorang peserta

memperoleh nilai kurang dari 70.2. nilai terendah dari 20% nilai

tertinggi3. nilai tertinggi dari 30% nilai

terendah

69

DISTRIBUSI NORMAL SEBAGAI PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL

Formulasi distribusi normal dapat digunakan untuk menentukan probabilitas distribusi binomial.

Penggunaannya untuk percobaan yang memiliki karakteristik probabilitas sukses relatif tinggi dan frekuensi percobaan juga tinggi

70

PEMBUKTIAN: Misalnya besarnya probabilitas sukses adalah 0,5 dan percobaan dilakukan sebanyak 8 kali. Tentukan probabilitas minimal 5 yang sukses.

Dengan distribusi binomial: p = 0,5 dan n = 8 P(X 5) = P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

= 0,2188 + 0,1094 + 0,0312 + 0,0039

= 0,3633

71

LANJUTAN …Dengan distribusi normal:µ = n p = 0,5 (8) = 4

Untuk menentukan besarnya P(X5) adalah dengan menghitung luas daerah di bawah kurva normal dari 4,5 ke kanan seperti pada gambar berikut ini:

72

P(X=4,5) = 0,1368

4,54 5

P(X 5) = 0,5 – 0,1368 = 0,3632

1,41420,5)8.(0,5).(1p)n.p.(1σ

LANJUTAN ...Untuk menentukan nilai Z dimulai dari X = 4,5 disebabkan oleh karena nilai X = 5 termasuk ke dalam probabilitas yang kita cari. Oleh karena itu, perhitungan luas daerah di bawah kurva normal dimulai dari 5 – 0,5. Besaran 0,5 disebut faktor koreksi (correction factor) penggunaan formulasi distribusi binomial untuk menentukan probabilitas peristiwa pada distribusi normal. Nilai Z untuk X = 4,5 adalah

Nilai Z = 0,35 pada Tabel Z adalah 0,1368. Luas daerah dari 4 s.d 4,5 adalah 0,1368. Luas daerah di bawah kurva normal lebih dari 4,5 adalah 0,5 – 0,1368 = 0,3632. Nilai yang diperoleh mendekati P(X5) menggunakan formulasi distribusi binomial 0,3633.

73

0,35 = 1,4144 - 4,5 = σ

μ - X = Z

LANJUTAN ...Soal 22Manajer sebuah toko mainan anak-anak menyatakan bahwa 80% konsumen merasa puas terhadap pelayanan yang diberikan oleh karyawannya. Jika dipilih 100 konsumen secara random, tentukan probabilitas 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya.

Jawab = n . p = (100) . (0,8) = 80

Luas daerah di bawah kurva normal dengan nilai Z = 1,63 adalah 0,4484 dan luas daerah di bawah kurva normal dengan nilai Z = 1,38 adalah 0.4162. Dengan demikian probabilitas 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya adalah 0,0322, diperoleh dari 0,4484 - 0.4162 = 0,0322.

74

P(X=86) = 0,0322

85,580 86

86,5

4 0,8)(1100.(0,8).p)n.p.(1σ

1,631,625480-86,5

σμ -x = Z

1,381,375485,5

σμ -x = Z

80

LANJUTAN ...

Soal 23Manajer sebuah toko mainan anak-anak menyatakan bahwa 80% konsumen merasa puas terhadap pelayanan yang diberikan oleh karyawannya. Jika dipilih 100 konsumen secara random, tentukan probabilitas lebih dari 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya.

Jawab

Luas daerah di bawah kurva normal yang dicari adalah di sebelah kanan rata-rata () dimulai dari 86,5. Nilai X yang dicari adalah lebih dari 86, berarti 86 tidak termasuk. Dengan demikian kita mulai dari nilai X = 86,5 ke kanan.Luas daerah di bawah kurva normal dengan nilai Z = 1,63 adalah 0,4484. Probabilitas lebih dari 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya adalah 0,0516, diperoleh dari 0,5 - 0,4484 = 0,0516.

75

P(X>86) = 0,0516

80 8686,5

1,631,625480-86,5

σμ -x = Z

LANJUTAN ...Soal 24Manajer sebuah toko mainan anak-anak menyatakan bahwa 80% konsumen merasa puas terhadap pelayanan yang diberikan oleh karyawannya. Jika dipilih 100 konsumen secara random, tentukan probabilitas kurang dari 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya.

Jawab = n . p = (100) . (0,8) = 80

Luas daerah di bawah kurva normal dengan nilai Z = 1,38 adalah 0,4162. Dengan demikian probabilitas kurang dari 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya adalah 0,9162, diperoleh dari 0,5 + 0,4162 = 0,9162.

76

P(X<86) = 0,9162

80 8685,5

4 0,8)(1100.(0,8).p)n.p.(1σ

1,381,375485,5

σμ -x = Z

80

LANJUTAN ...Soal 25Manajer sebuah toko mainan anak-anak menyatakan bahwa 80% konsumen merasa puas terhadap pelayanan yang diberikan oleh karyawannya. Jika dipilih 100 konsumen secara random, tentukan probabilitas tidak kurang dari 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya.

Jawab = n . p = (100) . (0,8) = 80

Luas daerah di bawah kurva normal dengan nilai Z = 1,38 adalah 0,4162. Dengan demikian probabilitas tidak kurang dari 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya adalah 0,0838, diperoleh dari 0,5 - 0.4162 = 0,0838.

77

P(X86) = 0,0838

80 8685,5

4 0,8)(1100.(0,8).p)n.p.(1σ

1,381,375485,5

σμ -x = Z

80

LANJUTAN ...Kasus 26Manajer sebuah toko mainan anak-anak menyatakan bahwa 80% konsumen merasa puas terhadap pelayanan yang diberikan oleh karyawannya. Jika dipilih 100 konsumen secara random, tentukan probabilitas lebih dari 72 dan kurang dari 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya.

Jawab = n . p = (100) . (0,8) = 80

Luas daerah dengan nilai Z = - 1,88 adalah 0,4699 dan dengan nilai Z = 1,38 adalah 0.4162. Probabilitas lebih dari 72 orang dan kurang dari 86 orang yang merasa puas atas pelayanan yang diberikan karyawannya adalah 0,8861, diperoleh dari 0,4699 + 0.4162 = 0,8861.

78

P(72<X<86) = 0,0322

80 8685,5

7272,5

4 0,8)(1100.(0,8).p)n.p.(1σ

1,881,875480-72,5

σμ -x = Z

1,381,375485,5

σμ -x = Z

80

KASUS UNTUK LATIHAN (1)Misalnya kapasitas produksi cat per hari dari PT. ADRN Paint Ltd. berdistribusi normal dengan rata-rata 12.000 liter dengan standar deviasi 1.500 liter.1. Tentukan probabilitas perusahaan cat tersebut berproduksi lebih dari 15.200 liter.

2. Tentukan probabilitas perusahaan tersebut berproduksi kurang dari 10.000 liter.

3. Perusahaan cat tersebut memutuskan akan mengganti mesin yang digunakan jika produksinya hanya 20 persen terendah dari kapasitas produksi. Tentukan pada tingkat produksi maksimum berapa perusahaan tersebut harus mengganti mesin?

4. Perusahaan cat tersebut memutuskan akan memberi insentif bonus kepada karyawan jika produksinya mencapai 90 persen tertinggi dari kapasitas produksi. Tentukan pada tingkat produksi minimum berapa perusahaan tersebut harus memberikan insentif bonus kepada karyawan?

79

KASUS UNTUK LATIHAN (2)Berdasarkan hasil riset dari sebuah lembaga swadaya masyarakat (LSM) diperoleh kesimpulan bahwa terdapat 80 persen rekening pengeluaran di instansi pemerintah daerah di Indonesia terjadi penggelembungan nilai (mark-up). Misalnya Anda akan melakukan pemeriksaan terhadap rekening di suatu instansi pemerintah daerah di Indonesia dengan mengambil sebanyak 200 buah rekening. Berdasar kesimpulan dari riset LSM dan dari 200 buah rekening yang diambil tadi, tentukan: rata-rata dan standar deviasi rekening pengeluaran dimark-up.

probabilitas terdapat mark-up lebih 172 rekening. probabilitas terdapat mark-up kurang dari 150 rekening.

probabilitas terdapat mark-up 170 rekening. 80

DISTRIBUSI EKSPONENSIALDistribusi probabilitas eksponensial termasuk distribusi probabilitas kontinyu yang bermanfaat untuk menggambarkan interval waktu terjadinya suatu peristiwa. Misalnya pada masalah waktu tunggu (waiting time) pada suatu pelayanan, interval waktu perbaikan mesin, dan lain-lain, Fungsi densitas probabilitas eksponsial adalah

f(X) = e- X

: tingkat rata-ratae = 2,71828X: banyaknya peristiwa suksesX > 0 dan > 0

Rata-rata uatu distribusi eksponensial: E(X) = = 1/Standar deviasi: = 1/

81

LANJUTAN ...Soal 27Banyaknya nasabah yang datang pada Loket Teller Bank EmY mengikuti pola distribusi eksponensial dengan tingkat rata-rata = 0,75. Apabila waktu datang antara pengunjuang satu dengan lainnya paling cepat 3 menit, petugas di Loket Teller dapat memberikan pelayanan kepada nasabah tanpa nasabah harus menunggu.Pertanyaan:a. Tentukan rata-rata dan standar deviasi waktu

antara kedatangan nasabah di Loket Teller Bank EmY.

b. Tentukan probabilitas nasabah tidak menunggu.

82

LANJUTAN ...Jawaba. Rata-rata : E(X) = = 1/ = 1/0,75 = 1,33 menit untuk setiap nasabahStandar deviasi: = 1/= 1/0,75= 1,33 menit

b. Petugas Loket Teller dapat melayani nasabah tanpa menunggu apabila X < 3 menit.P(X 3) = e- 3

P(X < 3) = 1 - e- (0,75)(3)

= 1 - 0,105 = 0,895Probabilitas pelanggan tidak akan menunggu adalah 89,5%.

83

LANJUTAN ...Soal 28Misalnya interval waktu (dalam menit) antara kedatangan bis satu dengan bis berikutnya berdistribusi eksponensial dengan tingkat rata-rata 0,2. a. Tentukan rata-rata dan standar deviasi waktu

antara kedatangan bis di terminal tersebut.b. Tentukan probabilitas waktu antara kedatangan

minimal 6 menit.c. Tentukan probabiltas waktu antara kurang dari 2

menit.

84

LANJUTAN ...Jawab

= 0,2Rata-rata: = 1/ = 1/0,2 = 5Standar deviasi: = 1/ = 1/0,2 = 5Misalnya x adalah waktu antara kedatangan bis satu dengan bis berikutnya.

P(X 6) = e- x

= (2,71828) –(0,2)(6) = 0,3012Misalnya x adalah waktu antara kedatangan bis satu dengan bis berikutnya.

P(X < 2) = 1 - e- x

= 1 - (2,71828) –(0,2)(2) = 0,3297

85