1 Polinomi Zadatak 1.1 Odrediti koliˇ cnik K i ostatak r pri dijeljenju polinoma P sa poli- nomom Q ako je 1. P (x)= x 3 - 2x 2 + x - 1 i Q(x)= x 2 - x - 1, 2. P (x)=2x 4 + x 3 - 2x 2 - 3x +2 i Q(x)= x 2 +3x +2, 3. P (x)= x 5 +3x 3 - x 2 - 1 i Q(x)= x 2 - x +4, 4. P (x)= x 4 +5x 3 - 3x 2 + x - 6 i Q(x)= x 2 +1, 5. P (x)= x 4 - 3x 2 - 2 i Q(x)= x 3 + x +1, 6. P (x)= x 5 - x 4 + x 3 - x 2 + x - 1 i Q(x)= x 2 +2x - 1, 7. P (x)= x 5 - x i Q(x)= x - 1. Zadatak 1.2 Koriste´ ci Hornerovu ˇ semu odrediti koliˇ cnik K i ostatak r pri di- jeljenju polinoma P sa monomom Q ako je 1. P (x)=2x 3 + x 2 +4x - 5 i Q(x)= x - 1, 2. P (x)= x 3 - 3x 2 - 6x +1 i Q(x)= x +2, 3. P (x)=4x 4 - 2x 3 + x 2 +2x - 6 i Q(x)= x - 8, 4. P (x)= x 4 +6x 2 - 6x +1 i Q(x)= x - 3, 5. P (x)= x 4 - 3x 2 +2 i Q(x)= x +1, 6. P (x)= x 5 + x 3 + x i Q(x)= x - 1, 7. P (x)= x 5 - 1 i Q(x)= x - 1, Zadatak 1.3 Odrediti ostatak pri dijeljenju polinoma P sa monomom Q ako je 1. P (x)= x 3 - 2x 2 + x - 2 i Q(x)= x - 3, 2. P (x)= x 4 + x 3 - 2x 2 + x - 2 i Q(x)= x +1, 3. P (x)= x 5 + x 3 - 2x i Q(x)= x +2, Zadatak 1.4 Polinom P pri dijeljenju sa x - 1 daje ostatak 3, a pri dijeljenju sa x - 2 ostatak 4. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P sa (x - 1)(x - 2)? Zadatak 1.5 Polinom P pri dijeljenju sa x - 1 daje ostatak 3, a pri dijeljenju sa x +1 ostatak 1. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P sa x 2 - 1? Zadatak 1.6 Sastaviti polinom (sa koeficijentom 1 uz najstariji ˇ clan) ˇ cije su nule 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1 Polinomi
Zadatak 1.1 Odrediti kolicnik K i ostatak r pri dijeljenju polinoma P sa poli-nomom Q ako je
Zadatak 1.2 Koristeci Hornerovu semu odrediti kolicnik K i ostatak r pri di-jeljenju polinoma P sa monomom Q ako je
1. P (x) = 2x3 + x2 + 4x− 5 i Q(x) = x− 1,
2. P (x) = x3 − 3x2 − 6x + 1 i Q(x) = x + 2,
3. P (x) = 4x4 − 2x3 + x2 + 2x− 6 i Q(x) = x− 8,
4. P (x) = x4 + 6x2 − 6x + 1 i Q(x) = x− 3,
5. P (x) = x4 − 3x2 + 2 i Q(x) = x + 1,
6. P (x) = x5 + x3 + x i Q(x) = x− 1,
7. P (x) = x5 − 1 i Q(x) = x− 1,
Zadatak 1.3 Odrediti ostatak pri dijeljenju polinoma P sa monomom Q akoje
1. P (x) = x3 − 2x2 + x− 2 i Q(x) = x− 3,
2. P (x) = x4 + x3 − 2x2 + x− 2 i Q(x) = x + 1,
3. P (x) = x5 + x3 − 2x i Q(x) = x + 2,
Zadatak 1.4 Polinom P pri dijeljenju sa x− 1 daje ostatak 3, a pri dijeljenjusa x− 2 ostatak 4. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P sa (x− 1)(x− 2)?
Zadatak 1.5 Polinom P pri dijeljenju sa x− 1 daje ostatak 3, a pri dijeljenjusa x + 1 ostatak 1. Koliki je ostatak pri dijeljenju polinoma P sa x2 − 1?
Zadatak 1.6 Sastaviti polinom (sa koeficijentom 1 uz najstariji clan) cije sunule
1
1. x1 = −1, x2 = 1 i x3 = 5,
2. x1 = 1, x2 = x3 = −2,
3. x1 = 3, x2 = 2 +√
3 i x3 = 2−√3,
4. x1 = −2, x2 = 1− 2i i x3 = 1 + 2i,
5. x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2 i x4 = −3,
6. x1 = −1, x2 = 2, x3 =√
5 i x4 = −√5,
7. x1 = 1, x2 = 3, x3 = 2 + i i x4 = 2− i.
Zadatak 1.7 Rastaviti polinom P na faktore
1. P (x) = x3 + 2x2 − x− 2,
2. P (x) = x3 − 4x2 + x + 6,
3. P (x) = −x3 + 6x2 − 11x + 6,
4. P (x) = x3 + 4x2 − 11x + 6,
5. P (x) = x3 + x− 2,
6. P (x) = x4 + x3 − x2 + x− 2,
7. P (x) = x4 + 4x3 + 3x2 − 4x− 4,
8. P (x) = x3 − 2x2 − 7x + 2,
9. P (x) = x3 − 3x2 − 5x + 7,
10. P (x) = 2x3 + 3x2 − 11x− 6,
11. P (x) = 3x3 + x2 − 6x− 2,
12. P (x) = 2x3 − 3x2 + 6x + 4.
Zadatak 1.8 Odrediti vrijednost parametra α ∈ R tako da x1 bude jedna nulapolinoma P, pa za tako dobijenu vrijednost parametra α odrediti ostale nulepolinoma P ako je
1. P (x) = x3 + αx2 − 5x− 6 i x1 = 2,
2. P (x) = x3 + αx2 − 2x + 24 i x1 = −2.
Zadatak 1.9 Zadanu racionalnu funkciju rastaviti na parcijalne razlomke
1. R(x) = 5x+1x3+2x2−x−2 ,
2. R(x) = 2x2−8x−72x3+x2−13x+6 ,
2
3. R(x) = −2x2+5x−4x3−4x2+5x−2 ,
4. R(x) = 3x2−7x+8x3−3x2+4 ,
5. R(x) = x2−x−1x3−x2 ,
6. R(x) = 2x2+xx3−2x2+x−2 ,
7. R(x) = x2+2x−3x3+x2+3x+3 ,
8. R(x) = 4x2+x+5x3+2x−3 ,
9. R(x) = x3+x2−2x+3x2+x−2 ,
10. R(x) = 2x4−3x3+x2+5x−32x2−3x+1 .
2 Matrice i determinante
Zadatak 2.1 Izracunati αA + βB ako je
1. A =(
1 −2 40 −1 −3
), B =
( −1 3 −52 −2 0
), α = 2 i β = 3,
2. A =
2 0−1 −4
7 −31 1
, B =
1 1−2 −4−3 7−2 0
, α = 3 i β = −2,
3. A =
−1 6 −3
2 −2 10 −1 4
, B =
2 0 −21 −1 36 2 −3
, α = −2 i β = −1.
Zadatak 2.2 Izracunati (ako postoje) proizvode AB i BA ako je
1. A =
−1 1
3 −84 −2
i B =
( −2 1 2 −3−4 2 −5 −1
),
2. A =( −1 0 2
1 1 −3
)i B =
−1 1 0 2
0 2 −3 −11 2 −2 −1
,
3. A =
1 −13 2
−2 4
i B =
(0 −2 0
−1 3 0
),
4. A =(
3 −3 5)
i B =
2 −2 1−1 5 2
3 −3 2
,
3
5. A =
2−1
5
i B =
( −2 1 −5),
6. A =(
5 4−1 1
)i B =
(1 −32 −2
),
7. A =
−2 2 5
1 0 −13 −2 3
i B =
3 −2 1−5 4 −1
2 0 2
,
8. A =
−1 2 −2
1 3 10 5 2
i B =
−1 2 0
1 1 1−4 6 −2
.
Zadatak 2.3 Izracunati sljedece determinante
1.∣∣∣∣
3 −21 4
∣∣∣∣ ,
2.∣∣∣∣
x 22 x
∣∣∣∣ ,
3.∣∣∣∣
sin x cos x− cosx sin x
∣∣∣∣ ,
4.
∣∣∣∣∣∣
2 −1 33 1 1
−1 2 5
∣∣∣∣∣∣,
5.
∣∣∣∣∣∣
0 2 −31 0 −12 −2 4
∣∣∣∣∣∣,
6.
∣∣∣∣∣∣
2 1 43 −1 5
−2 2 −6
∣∣∣∣∣∣,
7.
∣∣∣∣∣∣
−3 5 62 −1 −43 −3 5
∣∣∣∣∣∣.
Zadatak 2.4 Odrediti (ako postoji) inverznu matricu zadane matrice
1. A =(
1 4−2 −7
),
2. A =( −2 −3−5 −8
),
4
3. A =(
2 −3−5 6
),
4. A =
−1 1 4−2 0 5
1 4 3
,
5. A =
1 2 −22 6 −1
−1 −1 3
,
6. A =
−2 1 −2−2 2 −7−2 −1 9
,
7. A =( −1 4
2 −8
),
8. A =
−1 2 −3
2 1 −23 4 −7
.
Zadatak 2.5 Rijesiti sljedece matricne jednacine
1.(
2 −3−5 8
)X =
(1 0 −12 3 2
),
2. X
1 −1 30 2 32 1 10
=
(1 0 −12 3 2
).
Zadatak 2.6 Izracunati rang sljedecih matrica
1. A =
−1 3 2 −21 2 −1 −22 −1 −3 0
,
2. A =
−1 2 −21 3 2−1 7 −2
,
3. A =
−2 1 0 9 −9 24 −2 0 −18 18 −42 −1 0 −9 9 −2
,
4. A =
1 a −1 22 −1 a 51 10 −6 1
(u zavisnosti od parametra a ∈ R)
5
3 Sistemi linearnih jednacina
Zadatak 3.1 Rijesiti sljedece sistema linearnih jednacina