Simpleks linearno programiranje

Linearno Programiranje-Simplex metodLinearnoLinearno ProgramiranjeProgramiranje--Simplex Simplex metodmetod

LineLineaarno rno ProgramiranjeProgramiranje

Simplex metodSimplex metod

Predavanja

Mart 2005.

Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima


• Uvod o Linearnom Programiranju

• Grafička metoda

• Principi Simplex metode

• Simplex metod



LP Istorija

• George Dantzig, 1947• Prvi računarski kod – 1951• Komercijalna upotreba LP – rane 60te• Mainframe računari– rane 70s• Ogroman progres poslednjih 15 godina (PC)



∑=

=n

iii xcy

1

ljbxan

ijiij K,2,1 ;

1, =≤∑

=

mlljbxan

ijiij K,2,1 ;

1, ++==∑

=

n,, ixi K210 =≥



( ) 321321 ,, cxbxaxxxxy ++=

; ; ;321

cxyb

xya

xy

=∂∂

=∂∂

=∂∂

a,b,c su konstante pa se rešenje traži na granicama

baxy +=21 xxx ≤≤

0 1 2 3 4 5 62

4

6

8

10

12

14

16

x1

x2

Primer


Minimum

Maksimum





• Simplex metod



212 xxy −= xx 0,0 21 ≥≥

223 21 ≤+− xx342 21 ≤− xx621 ≤+ xx

50 1 2 3 4 6

1

2

3

4

5

6

4.5, 1.5

x1

x2

maksimum



Zemljoradnik poseduje 100 hektara obradive zemlje i planira da zaseje 2 vrste useva.

Seme za usev A košta $40 po hektaru, seme za usev Bkošta $20 po hektaru.

Na seme može da potroši najviše $3200.Procenjena zarada od useva A je $150 po hektaru i $100 po

hektaru od useva B.Koliko hektara po usevu treba da zaseje da bi maksimizirao

zaradu ?



LP Formulacija:x1 hektara pod usevom A.x2 hektara pod usevom B. P zarada $.Zadatak

maksimizirati P = 150x1 + 100x2

Uz ograničenjapovršina (u hektarima): x1 + x2 ≤ 100 (1)cena semena: 40x1 + 20x2 ≤ 3200 (2)Prirodna ograničenja: x1 , x2 ≥ 0 (3)


x1

x2(2)

(1)100

10080

160 x1 + x2 ≤ 100 (1)40x1 + 20x2 ≤ 3200 (2)

x1, x2 ≥ 0 (3)


P = 150x1 + 100x2


x1

x2(2)

(1)100

10080

160x2 = (P − 150x1)/100

Gradient: −3/2


Najveće moguće P

P = 150x1 + 100x2

Smer porasta P

P = 0: x2 = −1.5 x1


x1

x2(2)

(1)100

10080

160

Najveće moguće P


x1 + x2 ≤ 100 (1)40x1 + 20x2 ≤ 3200 (2)

Znači rešava se sistem

x1 + x2 = 10040x1 + 20x2 = 3200 x1 = 60, x2 = 40


Region ograničen sa jedne strane

212 tiMinimizova yyf +=

y1 + 3y2 ≥ 63y1+ y2 ≥ 9y1, y2 ≥ 09

3 62 y1

y2

Dozvoljeni region

(bez ograničenja)

f = 0: y2 = −2y1

AA A: Optimalno rešenje

8928

211 , == yy





• Simplex metod



212 xxy −=223 21 ≤+− xx342 21 ≤− xx621 ≤+ xx

Prvi korak

≤ ↔ =

223 321 =++− xxx342 421 =+− xxx6521 =++ xxx

Drugi korak

Izbor baznog (početnog rešenja)

m ograničenja

N promenjvih

N-m slobodnih (=0)

m zavisnih, ako su >0 onda je ovorešenje i bazis

6 ,3 ,2 ,0 54321 ===== xxxxx

213 232 xxx −+=

214 423 xxx +−=

215 6 xxx −−=

212 xxy −=

Treći korak

Transformacija


Četvrti korak

Izmena promenjivih uvek 0 , nema 31 >xx213 232 xxx −+=

215 6 xxx −−=

212 xxy −=

1.51 =x 61 =x

214 423 xxx +−=


x1

1.51 =x

Peti korak

Ponavljanje procedure421 5.025.1 xxx −+=

423 5.145.6 xxx −+=

425 5.035.4 xxx +−=

4233 xxy −+=

5.4,0,5.6,0x, 1.5

5

43

21

=

==

==

xxx

x



Peti korak

Ponavljanje procedure

541 667.0167.05.4 xxx −−=

543 33.1833.05.12 xxx −−=542 333.0167.05.1 xxx −+=

545.05.7 xxy −−=0

,0,5.12,5.1x, 4.5

5

43

21

=

==

==

xxx

x

Kraj






• Simplex metod



02 21 =+− xxy

223 21 ≤+− xx342 21 ≤− xx621 ≤+ xx

120116423232

5

4

3

21

−

−−

yxxx

xx

223 321 =++− xxx342 421 =+− xxx6521 =++ xxx02 21 =+− xxy

Drugi korak

Izbor baznog (početnog rešenja)

m ograničenja

N promenjvih

N-m slobodnih (=0)

m zavisnih, ako su >0 onda je ovorešenje i bazis

6 ,3 ,2 ,0 54321 ===== xxxxx



120116423232

5

4

3

21

−

−−

yxxx

xx

Maksimizira y

213 232 xxx −+=

215 6 xxx −−=214 423 xxx +−=

212 xxy −=

120111/6422/3233/2

/

5

4

3

211

−

−−−

yxxx

xxx

Najmanji pozitivni



120116423232

5

4

3

21

−

−−

yxxx

xx

Pivotski elemet ili pivot ec

PivotskiPivotski red red eerr

PivotskaPivotska kolonakolona eecc

eeeyeeexeeexeeexxx

c

c

rpr

c

5

1

3

24


p

crpc

p

cr

p

crpc

p

cr

prppr

p

crpc

p

cr

eeeeee

eeeey

eeeeee

eeeex

eeeeexeeeeee

eeeex

xx

−−−

−−−

−−−

/

/

//1/

/

5

1

3

24

2332 ×−

−

31335.05.425.05.145.15.6

5

1

3

24

−−

−−

yxxx

xx

120116423232

5

4

3

21

−

−−

yxxx

xx

31335.05.425.05.145.15.6

5

1

3

24

−−

−−

yxxx

xx 541 667.0167.05.4 xxx −−=

543 33.1833.05.12 xxx −−=542 333.0167.05.1 xxx −+=

545.05.7 xxy −−=

15.05.7333.00167.05.1667.0167.05.4333.18333.05.12

2

1

3

54

yxxx

xx

− 0,0,5.12,5.1x, 4.5

5

43

21

=

==

==

xxx

x

Kraj


Problem Dijete*

Cilj držati dijetu, sa ograničenim budžetom, odnosno potrošiti što je moguće manje para.

Nutricionistički zahtevi su sledeći:

1. 2000 kcal

2. 55 g protein

3. 800 mg calcium

* Iz Linear Programming, od Vaŝek Chvátal



Nutricionističke vrednosti hrane

Ogrničeni smo na sledeće namernice:

Hrana Veličina porcije Energy (kcal) Protein (g) Calcium (mg) Cena po porcijiOvsena kaša 28 g 110 4 2 $0.30Piletina 100 g 205 32 12 $2.40Jaja 2 large 160 13 54 $1.30Neobrano mleko 237 cc 160 8 285 $0.90Pita od višanja 170 g 420 4 22 $0.20Svinjetina i pasulj 260 g 260 14 80 $1.90



Promenjive

Promenljive predstavljaju porcije pojedinih namernica:

x1 porcija ovsene kaše

x2 porcija piletine

x3 porcija jaja

x4 porcija mleka

x5 porcija pite od višanja

x6 porcija svinjetine i pasulja



Promenljive i ograničenja predstavljaju porcije pojedinih namernica:

Hrana Veličina porcije Energy (kcal) Protein (g) Calcium (mg) Cena po porcijiOvsena kaša 28 g 110 4 2 $0.30Piletina 100 g 205 32 12 $2.40Jaja 2 large 160 13 54 $1.30Neobrano mleko 237 cc 160 8 285 $0.90Pita od višanja 170 g 420 4 22 $0.20Svinjetina i pasulj 260 g 260 14 80 $1.90

x1x2x3x4x5x6

KCAL ograničenje:110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000(110x1 = kcal u ovsenoj kaši)



Formulacija LP problemaKriterijum optimalnostiMinimizovati

y=0.3x1 + 2.40x2 + 1.30x3 + 0.90x4 + 2.0x5 + 1.9x6

ograničenja: Nutricionistički zahtevi110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000

4x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 552x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800

Prirodno Ograničenje0,,,,, 654321 ≥xxxxxx



Rešenje

Kada se reši LP problem (upotrebom MATLAB-a) dobijamo da nas optimalan dijetetski obrok košta $6.71, pri čemu je jelovnikom obuhvaćeno:

14.24 porcija ovsene kaše

0 porcija piletine

0 porcija jaja

2.71 porcija mleka

0 porcija pite sa višnjama

0 porcija svinjetine sa pasuljem ???????Univerzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima


Formulacija LP problemaKriterijum optimalnostiMinimizovati

y=0.3x1 + 2.40x2 + 1.30x3 + 0.90x4 + 2.0x5 + 1.9x6

ograničenja: Nutricionistički zahtevi110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000

4x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 552x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800

x6 ≥ 1 barem jedan obrok svinjetine i pasulja

Prirodno Ograničenje0,,,,, 654321 ≥xxxxxx



Rešenje

Kada se reši LP problem (upotrebom MATLAB-a) dobijamo da nas optimalan dijetetski obrok košta $7.78, pri čemu je jelovnikom obuhvaćeno:

12.27 porcija ovsene kaše

0 porcija piletine

0 porcija jaja

2.44 porcija mleka

0 porcija pite sa višnjama

1 porcija svinjetine sa pasuljemUniverzitet u Novom SaduUniverzitet u Novom Sadu, , Fakultet tehniFakultet tehniččkih naukakih nauka, , Katedra za Automatiku i upravljanje sistemimaKatedra za Automatiku i upravljanje sistemima


Dijeta i trgovac tabletama

Za dijetu iz prethodnog primera trgovac tabletama nudi energetske, proteinske i kalcijumske pilule. Cene pilula su date na sledeći način:

y1 cena (u dolarima) za pilulu sa energetskom vrednošću od 1 kcal

y2 cena (u dolarima) za pilulu od 1 g proteina

y3 cena (u dolarima) za pilulu od 1mg calcium-a



LP problemKriterijum optimalnostiMinimizovati

y=0.3x1 + 2.40x2 + 1.30x3 + 0.90x4 + 2.0x5 + 1.9x6

ograničenja: Nutricionistički zahtevi

110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 20004x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 552x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800

y1 kcaly2 proteiny3 calcium

x1 = porcija ovsenih kaša: Cena nutricionističkih komponentiU jednom obroku ovsene kaše ne sme da pređe cenu same kaše u jednoj porciji 110y1 + 4y2 + 2y3 ≤ 0.3 (4 y2 = cena proteina u ovsenoj kaši)



Trgovački pristupTrgovački putnik želi a zaradi što je moguće više para, da maksimizira cenu pilula, vodeći računa o nutricionističkimograničenjima. (2000 kcal, 55g protein i 800 mg calcium-a).Problem se formuliše na sledeći način:Maksimizirati 2000y1 + 55y2 + 800y3

Uz ograničenja 110y1 + 4y2 + 2y3 ≤ 0.3205y1 + 32y2 + 12y3 ≤ 2.4160y1 + 13y2 + 54y3 ≤ 1.3160y1 + 8y2 + 285y3 ≤ 0.9420y1 + 4y2 + 22y3 ≤ 2.0260y1 + 14y2 + 80y3 ≤ 1.9y1, y2, y3 ≥ 0



Rešenje

Rešavanjem ovog LP dobijaju se sledeće maksimalne cene pilula:

$0.27 za 1 kcal eneretsku pilulu

$0.00 za 1 g proteinske pilule

$0.16 za 1mg kalcijumske pilule

$6.71Ukupno = 0.27 (2000) + 0.16 (800) =

ISTO KAO I U PRETHODNOM PRIMERU



Slaba Dualnost:

Cena bilo koje moguće dijete ≥ Cene bilo koje moguće dijete pilulama

Stroga Dualnost: (Von Neumann, 1947)

Optimalna cena dijete = Optimalna cena pilula


Simpleks linearno programiranje

Documents