8. Linearno programiranje 8.1 Maksimalizacija 5 8.1.1 Postavka matematičkog modela 5 8.1.2 Grafičko rješenje 6 8.1.3 Analitičko rješenje 7 8.2 Minimalizacija 9 8.2.1 Postavka matematičkog modela 10 8.2.2 Grafičko rješenje 10 8.2.3 Analitičko rješenje 10 8.2.4 Dualni model 12 8.3 Zadaci – LP 13 8.3.1 Maksimalizacija 13 8.3.2 Minimalizacija 15 8.3.3 Postoptimalna analiza 16 8.4 Transportna metoda 16 8.4.1 Postavljanje matematičkog modela 17 8.4.2 Zatvoreni transportni problem 17 8.4.3 Maksimalizacija 20 8.4.4 Otvoreni transportni problem 22 8.4.5 Zadaci – TP 22 8.5 Metoda raspodjele 23 8.5.1 Postavljanje matematičkog modela 24 8.5.2 Minimalizacija 24 8.5.3 Maksimalizacija 26 8.5.4 Zadaci – MR 28 Linearno programiranje (LP) je formalni postupak optimalizacije dijelova/sustava kod ko- jih se funkcija cilja i ograničenja mogu izraziti linearnim kombinacijama varijabli. Strojarski inženjeri će najčešće koristiti LP (u pravilu uz računalnu podršku) za: • određivanje količina proizvoda (koje je moguće izraditi s raspoloživim resursima i prodati po aktualnim cijenama) s kojima se postiže maksimalna dobit, • određivanje dinamike proizvodnje (pri izraženim sezonskim kolebanjima prodaje proizvoda) s kojom se postiže maksimalna dobit, • određivanje plana proizvodnje (koja se može ostvariti s raspoloživim resursima uz aktualne troškove) s kojima se postižu minimalni troškovi, • određivanje količine sirovine (određenih svojstava) čijim se miješanjem formiraju proizvodi (različitih sastava i cijena) uz maksimalnu dobit, • određivanje količina sirovina (različitih sastava i cijena) čijim se miješanjem formi- ra proizvod (određenih svojstava) uz minimalne troškove.
28
Embed
8. Linearno programiranje - ffri.hrzvonimir/Kvantitativne/08 Linearno programiranje.pdf · Linearno programiranje (LP) je formalni postupak optimalizacije dijelova/sustava kod ko-jih
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
8.4 Transportna metoda 16 8.4.1 Postavljanje matematičkog modela 17 8.4.2 Zatvoreni transportni problem 17 8.4.3 Maksimalizacija 20 8.4.4 Otvoreni transportni problem 22 8.4.5 Zadaci – TP 22
8.5 Metoda raspodjele 23 8.5.1 Postavljanje matematičkog modela 24 8.5.2 Minimalizacija 24 8.5.3 Maksimalizacija 26 8.5.4 Zadaci – MR 28
Linearno programiranje (LP) je formalni postupak optimalizacije dijelova/sustava kod ko-jih se funkcija cilja i ograničenja mogu izraziti linearnim kombinacijama varijabli.
Strojarski inženjeri će najčešće koristiti LP (u pravilu uz računalnu podršku) za: • određivanje količina proizvoda (koje je moguće izraditi s raspoloživim resursima i
prodati po aktualnim cijenama) s kojima se postiže maksimalna dobit, • određivanje dinamike proizvodnje (pri izraženim sezonskim kolebanjima prodaje
proizvoda) s kojom se postiže maksimalna dobit, • određivanje plana proizvodnje (koja se može ostvariti s raspoloživim resursima uz
aktualne troškove) s kojima se postižu minimalni troškovi, • određivanje količine sirovine (određenih svojstava) čijim se miješanjem formiraju
proizvodi (različitih sastava i cijena) uz maksimalnu dobit, • određivanje količina sirovina (različitih sastava i cijena) čijim se miješanjem formi-
ra proizvod (određenih svojstava) uz minimalne troškove.
2 Kvantitativne metode
Nakon analize postupka, različite primjene LP-a će biti ilustrirane na primjerima.
Matematički model Funkcija ce cilja (matematički opis postavljenog cilja) – izabrati vrijednosti n promjenlji-
vih veličina xj (j = 1, 2, .., n) tako da se dobije optimalno rješenje:
F c (F-8.1) n
Tj j
j j 1
optoptx x
=
= = •∑ C X
gdje je: cj – j-ti koeficijent funkcije cilja (jedinični trošak ili jedinična cijena), C = [c1 c2 cn], jednodimenzijski vektor koeficijenata funkcije cilja, xj – j-ta promjenljiva veličina (količina), X = [x1 x2 xn], jednodimenzijski vektor promjenljivih veličina, n – broj promjenljivih veličina.
j
optx znači: odrediti skup vrijednosti promjenljivih veličina kojim se postiže op-
timalna vrijednost (maksimalna ili minimalna) funkcije cilja F.
Ograničenja – m ograničenja oblika:
( )n
ij jj 1
= a x=∑ X ≤ = ≥ bi = B (F-8.2) A •
gdje je: aij – ij-ti koeficijent skupa ograničenja (višedimenzijski vektor, m×n kom-ponenti),
bi – i-ti slobodni član ograničenja (jednodimenzijski vektor, m komponenti), – mogući su znakovi ≥ ili = ili ≤.
Skraćeni je vektorski zapis: A X ≥, =, ≤ B
Dodatna su ograničenja (nenegativnosti promjenljivih veličina. te realne vrijednosti koefi-cijenata i slobodnih članova): xj ≥ 0 (F-8.3) cj , aij , gi ∈ R (F-8.4)
gdje je: R – skup realnih brojeva. (Dodatna ograničenja se u pravilu ne pišu i podrazumijevaju se.)
Formalnim se postupkom LP traži aktualni optimum (maksimum, opt = max, ili minimum, opt = min) za zadanu linearnu funkciju cilja F-8.1, s n promjenljivih veličina, uz zadovolja-vanje m linearnih ograničenja vrijednosti promjenljivih veličina F-8.2 (F-8.3 i F-8.4). Mogu-će je: n > m , n = m i n < m. Postupak LP je moguće provesti na više različitih načina, a pos-tuple je najjednostavnije pojasniti na primjerima.
PRIMJER P-8.1
Tvrtka može proizvoditi dva proizvoda (P1 i P2) u četiri pogona (I , II , III , IV) koji su spe-cijalizirani za proizvodnju – pogoni I i II za proizvode tipa P1 , pogoni III i IV za proizvode ti-pa P2 . Za proizvodnju je potrebna radna snaga i dvije vrste sirovina (S1 i S2). Proizvodno-ekonomski pokazatelji su dati u tabeli. Odrediti optimalni mjesečni plan proizvodnje.
08. Linearno programiranje 3
Proizvod P1 Proizvod P2 Pogon I Pogon II Pogon III Pogon IV
F = 82 800 kn/mjs Opaska: ostaje raspoloživo 480 – 4 69 – 6 23 = 66 sati rada radnika. (sirovine?)
PRIMJER P-8.2
U maloj termoelektrani, uz korištenje sustava turbina/generator, proizvodi se električna struja. Turbina se napaja s 3,2 kilograma po sekundi pregrijane vodene pare, a moguće je prodavati: (a) struju, po cijeni od 0,03 € po kilovat-satu, (b) niskotlačnu paru za centralno grijanje x1, po
cijeni 1,10 € po toni pare, te (c) visokotlačnu tehnološku paru x2, po cijeni
1,65 € po toni pare. Potrošači su zainteresirani za neograničene količine struje i ograničene količine pare:
4 x1 + 3 x2 ≤ 9,6 kg/s Snaga generatora (u kW) ovisi o protocima pare kroz sekcije turbine (u kg/s):
PI = 48 mI PIII = 56 mII PIII = 80 mIII Kako bi se spriječilo pregrijavanje niskotlačnog dijela turbine, kroz sekciju III mora protje-
cati bar 0,6 kg/s pare. Zbog sprječavanja prekomjernog neravnomjernog opterećenja vratila turbine, za x1 = 0 kg/s dozvoljeno je x2 ≤ 1,8 kg/s, a pri povećanju oduzimanja pare x1 za svaki kg/s smanjuje se oduzimanje pare x2 za 0,25 kg/s. Odrediti optimalnu proizvodnju.
Na kontroli proizvoda rade dvije grupe kontrolora: I grupa s 6 kontrolora i II grupa s 10 kontrolora. Dnevno je za 8 h potrebno obaviti kontrolu bar 1800 komada. Kontrolori grupe I kontroliraju 25 kom/h, s 2 % grešaka i plaćom od 5 NJ/h, a kontrolori grupe II kontroliraju 15 kom/h, s 5 % grešaka i plaćom od 3 NJ/h. Svaki neispravan proizvod pušten na tržište proizvoda prati šteta od 2 NJ. Odrediti optimalnu kontrolu.
08. Linearno programiranje 5
Funkcija cilja:
F = j
minx plaća kntl I + šteta kntl I + plaća kntl II + šteta kntl II
Rješenje: x1 = 6 kontrolora I grupe x2 = 5 kontrolora II grupe F = 468 NJ/dan. Opaska: pet kontrolora iz II grupe je ostalo neraspoređeno.
8.1 Maksimalizacija
8.1.1 Postavka matematičkog modela PRIMJER P-8.4
Na dva proizvoda (1, 2), pri čijoj se proizvodnji angažiraju tri stroja (A, B, C), mogu se os-tvariti dobiti: 1. proizvod: 20 NJ/kom (novčanih jedinica/komadu) i 2. proizvod: 30 NJ/kom. Proizvod 1 se obrađuje na stroju A 2 h (sata) i na stroju B 2 h, a proizvod 2 na stroju A 4 h, stroju B 1 h i na stroju C 4 h. Strojevi su tjedno raspoloživi: A 16 h, B 10 h i C 12 h. Odrediti optimalnu tjednu proizvodnju.
Matematski model: Funkcija cilja:
F = (20 x1 + 30 x2) jx
max
6 Kvantitativne metode
Ograničenja: stroj A 2 x1 + 4 x2 ≤ 16
stroj B 2 x1 + x2 ≤ 10
stroj C 4 x2 ≤ 12
8.1.2 Grafičko rješenje Na osnovu matematskog modela, na grafiku x2 = f(x1) ucrtavaju se pravci ograničenja od-
ređeni raspoloživostima strojeva A, B i C. Moguća rješenja se nalaze unutar prostora definira-nog zadanim ograničenjima (i dodatnim uvjetima F-8.3, F-8.4). U drugom koraku se po toč-kama (T) presjeka pravaca ograničenja pomjera funkcija cilja (T0 ⇒ T1 ⇒ T2 ⇒ T3 ) do dobi-vanja optimalnog rješenja – pravac F3 , odnosno točka T3 .
Slika S-8.1 Grafičko rješenje P-8.4
Rješenje: x1 = 4 kom x2 = 2 kom F = 140 NJ U pravilu, optimalna rješenja leže u kutovima (točke Tk). Izuzeci su kada se poklope pravci
ograničenja i funkcije cilja – tada dva kuta i sve točke na pravcu između dva kuta daju jedna-ko optimalno rješenje.
1. Postaviti matematski model (funkcija cilja i ograničenja)
2. Prilagoditi matematski model uvođenjem dopunskih promjenljivih yj (koje u og-raničenjima omogućavaju zamjenu znakova ≤ sa znakovima =, a u funkciji cilja imaju zajednički koeficijent = 0), te funkciju cilja izraziti u implicitnom obliku
2 x1 + 4 x2 + y1 = 16
2 x1 + x2 + y2 = 10
4 x2 + y3 = 12
F – 20 x1 – 30 x2 – 0 (y1 + y2 + y3) = 0
1. korak – formiranje 0-te tabele (rješenja) i usmjeravanje postupka:
3. Unijeti vrijednosti aij , gi , cj , F u odgovarajuća polja Tabele 0
Tabela 1. Preračunavanje/prijepis odabranog reda u aktualna tabela s
x1 = 0 x2 = 3 * y1 y2 y3
0/4= 0
4/4= 1
0/4= 0
0/4= 0
1/4= 0,25
12/4= 3
* Iz trećeg reda (R = 3), odnosno trećeg ograničenja (najvećeg za xj) slijedi: 4 x2 = 12 ⇒ x2 = 3
U polju presjeka druge kolone (j = 2) s trećim redom (i = 3) nalazi se brojčani iznos 1, a izračunata vrijednost za x2 pri najvećem ograničenju upisana je u zad-njem polju trećeg reda. Prema tome, u 2. koraku se prelazi iz točke T0 u točku T1 (S-8.1).
6. Vrijednosti ostalih polja (Pij) izračunati po formuli: Pij
U polju presjeka prve/druge kolone s prvim/trećim redom nalazi se brojčani iznos 1 (ostali brojčani iznosi u kolonama su = 0) ⇒ izračunate vrijednosti x1 = 4 kom x2 = 2 kom upisane su u zadnjem polju prvog/trećeg reda. Prema tome, u ponovljenom 2. koraku se prelazi iz toč-ke T1 u točku T3 (S-8.1). Kako su sve vrijednosti cij ≥ 0 dobiveno rješenje je optimalno: F = 140 NJ.
8.2 Minimalizacija PRIMJER P-8.5
Na dva tipa strojeva (I i II) treba proizvoditi tri vrste dijelova (A, B i C), u minimalnim ko-ličinama: A 10 kom/h (komada na sat), B 74 kom/h, C 9 kom/h. Ispitivanjima su utvrđeni ka-paciteti strojeva – dio A: I 5 kom/str h (komada po stroju i satu) i II 1 kom/str h, dio B: I 9
kom/str h i II 13 kom/str h, te dio C: I 1 kom/str h i II 3 kom/str h. Cijene rada strojeva su: I
6 NJ/str h, II 3 NJ/str h. Odrediti optimalnu proizvodnju.
10 Kvantitativne metode
8.2.1 Postavka matematičkog modela Funkcija cilja:
F = (6 x1 + 3 x2) jx
min
Ograničenja: dio A 5 x1 + x2 ≥ 10
dio B 9 x1 + 13 x2 ≥ 74
dio C x1 + 3 x2 ≥ 9
8.2.2 Grafičko rješenje Na osnovu matematskog modela, na grafiku x2 = f(x1) (S-8.2) ucrtavaju se pravci ograni-
čenja određeni uvjetima pokretanja strojeva A, B i C. Moguća rješenja se nalaze unutar pros-tora definiranog zadanim ograničenjima i uvjetom (i dodatnim uvjetima F-8.3, F-8.4). U dru-gom koraku se po točkama (T) presjeka pravaca ograničenja pomjera funkcija cilja (T0 ⇒ T1 ⇒ T2 ⇒ T3 ) do dobivanja optimalnog rješenja – pravac F3 , odnosno točka T3 .
1. Postaviti matematski model (funkcija cilja i ograničenja – 8.4.1)
2. Prilagoditi matematski model uvođenjem
08. Linearno programiranje 11
a) dopunskih promjenljivih yj (koje u ograničenjima omogućavaju zamjenu znaka ≥ sa znakom =, a u funkciji cilja imaju zajednički koeficijent = – 0)
b) umjetnih promjenljivih zj (koje u funkciji cilja imaju zajednički koeficijent M či-ji je brojčani iznos >> od brojčanih iznosa ostalih koeficijenata)
c) iz ograničenja odrediti vještačke promjenljive zj i uvrstiti ih u funkciju cilja, te funkciju cilja izraziti u implicitnom obliku
z1 = 10 – 5 x1 – x2 + y1
z2 = 74 – 9 x1 – 13 x2 + y2
z3 = 9 – x1 – 3 x2 + y3
F– (6 – 15 M) x1 – (3 – 17 M) x2 – M y1 – M y2 – M y3 = 93 M
1. korak – formiranje 0-te tabele (rješenja) i usmjeravanje postupka:
3. Unijeti vrijednosti aij , gi , cj , F u odgovarajuća polja Tabele 0 4. Odabrati:
a) kolonu j = K s najvećom vrijednošću cj (što je veća vrijednost cK to će biti ve-ći doprinos cK xK minimalizaciji funkcije cilja F ⇒ u rješenje se uključuje xK).
b) red i = R s najmanjim količnikom gi/aiK (što je manja vrijednost količnika gR/aRK to će biti veće ograničenje u rješenje uključenog xK).
Postupak je okončan – ispunjen je uvjet: cij ≤ 0. Slijedi: x1 = 1 kom, x2 = 5 kom, F = 21 NJ.
8.2.4 Dualni model Kada je to pogodno, rješenje "primala":
F = jx
max⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧∑=
n
1jjj xc F =
jxmin
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧∑=
n
1jjj xc
≤ gi ( )∑=
n
1jjij xa ≥ gi ( )∑
=
n
1jjij xa
se dobiva rješavanjem "duala":
F = iu
min
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑=
m
1iii ug F =
iumax
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∑=
m
1iii ug
≥ cj ( )∑=
m
1iiji ua ≤ cj ( )∑
=
m
1iiji ua
PRIMJER P-8.6 Riešiti P-8.6 preko duala.
0. korak – postavljanje matematskog modela i formiranje duala:
9. Postaviti matematski model (funkcija cilja i ograničenja – 8.4.1)
Matematski model:
Funkcija cilja: F = (6 x1 + 3 x2) jx
min
dio A 5 x1 + x2 ≥ 10
Ograničenja: dio B 9 x1 + 13 x2 ≥ 74
dio C x1 + 3 x2 ≥ 9
08. Linearno programiranje 13
10. Formirati dual smjenama: c) u funkciji cilja: xj s ui , te cj s gi (iz ograničenja) d) u ograničenjima: xj s ui , aij s aji , te gi s cj (iz funkcije cilja)
Dualni je model:
F = (10 u1 + 74 u2 + 9 u3) iu
max
5 u1 + 9 u2 + u3 ≤ 6
u1 + 13 u2 + 3 u3 ≤ 3
1. korak – rješavanje duala:
11. Za maksimalizaciju dualnog modela provesti postupak opisan pod 8.3.3 Prilagođeni dualni model:
Postupak je okončan – ispunjen je uvjet: gi ≤ 0. Slijedi: v1 = 1 kom, v2 = 5 kom, F = 21 NJ.
12. Za minimalizaciju dualnog modela provesti postupak opisan pod 8.4.3
2. korak – rješavanje primala:
13. Zamjeniti vrijednosti vi s xi
Zamjenom se dobiva: x1 = 1 kom, x2 = 5 kom, F = 21 NJ.
8.3 Zadaci – LP
8.3.1 Maksimalizacija
Z-8.1 Na dva proizvoda (1, 2), pri čijoj se proizvodnji angažiraju tri stroja (A, B, C), mogu se ostvariti dobiti: 1. proizvod: 20 NJ/kom i 2. proizvod: 30
14 Kvantitativne metode
NJ/kom. Proizvod 1 se obrađuje na stroju A 2 h (sata) i na stroju B 2 h, a pro-izvod 2 na stroju A 4 h, stroju B 1 h i na stroju C 4 h. Strojevi su tjedno raspoloživi: A 16 h, B 10 h i C 12 h. Odrediti optimalnu tjednu proizvodnju.
4 x2 ≤ 12 Rješenje: x1 = 4 kom/tjd, x2 = 2 kom/tjd, F = 140 NJ/tjd. Opaska: y3 = 4 kom/tjd – stroj 3 je pri optimalnoj proizvodnji raspoloživ još 4 h/tjd.
Z-8.2 Na tri stroja (1, 2, 3) se obrađuju dva proizvoda (A, B). Odrediti optimalnu proizvodnju.
1. stroj
t = 1 h/komA,1
T = 4 h/danr,1 3. stroj
t = 3 h/komA,3
T = 18 h/dan
t = 2 h/kom
r,3
B,3
2. strojT = 12 h/danr,2
t = 2 h/komB,2
A
B
A
B
A
B
T raspoloživost strojat vrijeme obrade proizvodac
r −
dobit−
c = 3 NJ/komA
c = 5 NJ/komB
−Matematski model/ograničenja:
Fmax( NJ/dan) = [3( NJ/kom) xA( kom/dan) + 5 xB]
1( h/kom) xA( kom/dan) ≤ 4( h/dan)
2 xB ≤ 12
3 xA + 2 xB ≤ 18 Rješenje: xA = 2 kom/dan, xB = 6 kom/dan, F = 36 NJ/dan. Opaska: y3 = 2 h/dan – stroj 3 je pri optimalnoj proizvodnji raspoloživ još 3 /dan.
Z-8.3 Od sirovine A se proizvode dva proizvoda (C, D). Kapacitet opreme ograni-čava proizvodnju na: 2 x2 + 3 x3 ≤ 60 kg/dan. Odrediti optimalnu proizvod-nju.
2( kg/dan) xB( kg/dan) + 3 xC ≥ 60( kg/dan) Rješenje: xA = 40 kg/dan, xB = 0 kg/dan, F = 800 NJ/dan. Opaska: y2 = 20 kg/dan – pri optimalnoj proizvodnji nedostaje još 20 kg/dan proiz-voda C.
8.3.2 Minimalizacija
Z-8.4 Na dva tipa strojeva (I i II) treba proizvoditi tri vrste dijelova (A, B i C), u minimalnim količinama: A 10 kom/h (komada na sat), B 74 kom/h, C 9 kom/h. Ispitivanjima su utvrđeni kapaciteti strojeva – dio A: I 5 kom/str h
(komada po stroju i satu) i II 1 kom/str h, dio B: I 9 kom/str h i II 13
kom/str h, te dio C: I 1 kom/str h i II 3 kom/str h. Cijene rada strojeva su: I 6
NJ/str h, II 3 NJ/str h. Odrediti optimalnu proizvodnju.
x1 + 3 x2 ≥ 9 Rješenje: x1 = 1 str, x2 = 5 str, F = 140 NJ/h. Opaska: y3 = 7 kom/h – pri optimalnoj proizvodnji nedostaju za izradu još 7 kom/h proizvoda C.
Z-8.5 Na kontroli proizvoda rade dvije grupe kontrolora: 1 s 6 kontrolora i 2 s 10 kontrolora). Dnevno je za 8 h potrebno obaviti kontrolu bar 1800 komada. Kontrolori grupe 1 kontroliraju 25 kom/h, s 2 % grešaka i plaćom od 5 NJ/h, a kontrolori grupe 2 kontroliraju 15 kom/h, s 5 % grešaka i plaćom od 3 NJ/h. Svaki neispravan proizvod pušten na tržište prati šteta od 2 NJ. Odrediti op-timalnu kontrolu.
Zaključak: Promjene koeficijenta c2 imaju veći utjecaj na optimalno rješenje od promje-na koeficijenta c1.
Uz korištenje dualnog modela na isti način se može odrediti i utjecaj promjena gj .
Pri određivanju utjecaja aij koristi se matrični račun, a postupak je obrađen u literaturi.
8.4 Transportna metoda Transportna metoda (skraćeno: TM) je formalni postupak dobivanja optimalnih troškova
opskrbe skupa recipijenata (R) iz skupa izvora (I) , uz uvjet linearne ovisnosti troškova tran-sporta o transportiranoj količini.
Opskrba (S-8.3) se može optimalizirati primjenom simplex metode, ali su specifičnosti (koeficijenti aij su jedinice ili nule) dovele do razvoja TM. Danas se TM najčešće koristi za optimalizaciju opskrbe skupa prodavaonica iz skupa skladišta.
08. Linearno programiranje 17
I1 I2
R1 R2
I3 I4
R3 R4 R5
c45
x45
Slika S-8.3 Shematski prikaz transportnog problema
Strojarski inženjeri će najčešće koristiti TM za optimalizaciju:
8.4.1 Postavljanje matematičkog modela • Funkcija cilja – n promjenljivih veličina:
F = (F-8.7) ijx
opt⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧∑∑= =
m
1i
n
1jijij xc
gdje je: cij – jedinični trošak transporta od i-tog izvora do j-tog recipijenta, xij – transportirana količina od i-tog izvora do j-tog recipijenta, m – broj izvora, n – broj recipijenata.
• Skup ograničenja – m + n ograničenja oblika:
= ai (F-8.8) ∑=
n
1jijx
= bj (F-8.9) ∑=
m
1iijx
gdje je: ai – ukupna raspoloživa količina u i-tom izvoru, bj – ukupna potrebna količina j-tog recipijenta. Dodatna su ograničenja (nenegativnosti promjenljivih veličina. te realne vrijed-nosti koeficijenata i slobodnih članova):
xij ≥ 0 (F-8.10) cij , ai , bj ∈ R (F-8.11)
gdje je: R – skup realnih brojeva.
Prema tome, s TM postupkom LP se traži optimum (maksimum ili minimum) za zadanu li-nearnu funkciju cilja F-8.7, s m n promjenljivih veličina, uz zadovoljavanje m + n linearnih ograničenja vrijednosti promjenljivih veličina F-8.8, F-8.9 (F-8.10 i F-8.11).
8.4.2 Zatvoreni transportni problem Raspoloživa količina izvora jednaka potrebnoj količini recipijenata:
18 Kvantitativne metode
= ∑ (F-8.12) ∑=
m
1iia
=
n
1jjb
TM obuhvaća dva koraka:
14. određivanje početnog rješenja
15. određivanje optimalnog rješenja
Minimalizacija PRIMJER P-8.5
Proizvod je potrebno iz četiri skladišta (tabela s količinama i troškovima) transportirati u tri prodavaonice. Optimalizirati transport.
1. korak – određivanje početnog rješenja – metoda sjeverozapadnog kuta:
Postupak počinje u gornjem (prednjem) lijevom kutu ("sjeverozapadnom") i odabirue se količina koja potpuno prazni skladište i/ili popunjava prodavaonicu.
Kod ovog postupka se od početka "skače" po poljima s najmanjim mogućim troškom i odabire količina koja potpuno prazni skladište i/ili popunjava prodavaonicu. Ako je ravnop-ravno više mogućnosti prioritet ima:
polje s većom transportiranom količinom, polje s najmanjim brojem reda, polje s najmanjim brojem kolone.
U 2. koraku se prethodno određeno početno rješenje P-8.5 optimalizira. Početna rješenje dobiveno metodom najmanjih troškova je i optimalno rješenje (što nije pravilo), te je steping-stone metoda ilustrirana na početnom rješenju dobivenom metodom sjeverozapadnog kuta.
U prvom koraku se izračunavaju relativni troškovi za sva nezauzeta polja, dij (12, 13, 23, 31, 32, 41, 42). Relativni troškovi izražavaju promjene troškova transporta pri uključivanju aktualnog nezauzetog polja – "skače" se po zauzetim poljima ("kamenju") do zatvaranja puta, uz održavanje ravnoteže pražnjenja skladišta i punjenja prodavaonica (S-8.4).
Ako se put ne može zatvorit sa zauzetim poljima (broj zauzetih polja < m + n – 1), uvodi se polje ("kamen") sa zanemarivo malom transportiranom količinom ε (S-8.4 – polje 31).
Negativan relativni trošak (dij < 0) znači smanjenje cijene transporta, a pozitivan (dij > 0) povećanje. Prema tome, transport se prebacuje na polje s najnegativnijom vrijednošću relativ-nog troška (d13).
F = c13◦x13 + c21◦x21 + c22◦x22 + c31◦x31 + c43◦x43 = 0+160+40+120+50 = 370 NJ U odnosu na rješenje dobiveno metodom sjeverozapadnog kuta, troškovi transporta su
smanjeni za 160 NJ (530 – 370), ali negativna vrijednost u nezauzetom polju i = 2, j = 3 pret-hodne tabele (d23 = – 3) ukazuje da je moguće dalje smanjivanje troškova.
F = c13◦x13 + c21◦x21 + c22◦x22 + c23◦x23 + c31◦x31 + c41◦x41 = 0+80+40+30+120+70 = 340 NJ U odnosu na prethodno rješenje, troškovi transporta su smanjeni za 30 NJ (370 – 340). Ka-
ko su pozitivne sve vrijednost u nezauzetim poljima prethodne tabele (dij > 0) slijedi zaklju-čak da je dobiveno rješenje optimalno.
Putovi transporta se opisuju jednodimenzijskim vektorom:
Tvrtka proizvodi u četiri tvornice proizvod kojim opskrbljuje četiri prodajna centra. U ta-beli su date količine i dobiti, koje ovise o lokacijama tvornica i prodajnih centara. Optimalizi-rati opskrbu.
1. korak – određivanje početnog rješenja – metoda najvećih dobiti:
Kod ovog postupka (maksimalizacija) se od početka "skače" po poljima s najvećim mogu-ćim dobitima i odabire količina koja potpuno prazni tvornicu i/ili popunjava prodajni centar. Ako je ravnopravno više mogućnosti prioritet ima:
polje s većom transportiranom količinom, polje s najmanjim brojem reda, polje s najmanjim brojem kolone.
U odnosu na prethodno rješenje, troškovi transporta su smanjeni za 40 NJ (4620 – 4580). Kako su negativne sve vrijednost u nezauzetim poljima prethodne tabele (dij < 0) slijedi zak-ljučak da je dobiveno rješenje optimalno.
Putovi transporta se opisuju jednodimenzijskim vektorom: X = (x13 , x24 , x31 , x34 , x41 , x42 , x43 ) = (18, 18, 4, 14, 4, 12, 2)
8.4.4 Otvoreni transportni problem Otvorenim se naziva transportni problem s različitom ponudom od potražnje. e) ukoliko je ponuda veća od potražnje:
∑ a > ∑ (F-8.13) =
m
1ii
=
n
1jjb
uvodi se fiktivni recipijent bn+1 s troškovima transporta ci(n+1) = 0 i:
b(n+1) = ∑ – ∑ j (F-8.14) =
m
1iia
=
n
1jb
f) ukoliko je ponuda manja od potražnje:
< ∑ (F-8.15) ∑=
m
1iia
=
n
1jjb
uvodi se fiktivni izvor an+1 s troškovima transporta c(n+1)j = 0 i:
a(n+1) = ∑ – ∑ ia (F-8.16) =
n
1jjb
=
m
1i
Dalji postupci su isti kao prethodno opisani za zatvorene transportne probleme (minimali-zacija – 8.8.3.1 i maksimalizacija – 8.8.3.2).
8.4.5 Zadaci – TP Z-8.6 Proizvod je potrebno iz četiri skladišta transportirati u tri prodavaonice. U tab-
lici su date raspoložive količine na skladištima, potrebne količine u prodavao-nicama i troškovi transporta. Optimalizirati transport.
Z-8.7 Tvrtka proizvodi u četiri tvornice proizvod kojim opskrbljuje četiri prodcentra. U tabeli su date količine koje mogu proizvesti tvornice (u zagradama) i količine koje mogu prodati prodajni centri. Dobiti navedene u poljima tabele ovise o lokacijama tvornica i prodajnih centara. Optimalizirati opskrbu.
8.5 Metoda raspodjele alni postupak dobivanja optimalne raspodjele m
ak
e m X = (x11 , x15 , x24 , x25 , x32 , x35
F = 202 h
Metoda raspodjele (skraćeno: MR) je formtivnosti (A – S-8.5) ili resursa na n radnika (R) ili lokacija. Uvjet je da se jedna aktiv-
nost/resurs može dodijeliti samo jednom radniku/lokaciji.
24 Kvantitativne metode
Postupak MR je specifičan i njegov će tijek biti pojašnjen na primjerima minimalizacije (na primjer, troškova) i maksimalizacije (na primjer, dobiti).
A1 A A A2
R1 R2
3 4
R3 R4 R5
c45
Slika S-8.5 Shematski prikaz problema raspodjele
Strojarski inženjeri će najčešće koristiti MR za optimalizaciju raspodjele:
• uposlenika (radnika po strojevima, inženjera po projektima),
• poslova (poslova po strojevima, projekata po odjelima).
8.5.1 Postavljanje matematičkog modela • Funkcija cilja – n promjenljivih veličina:
F = (F-8.17) ijx
opt⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧∑∑= =
m
1i
n
1jijij xc
gdje je: cij – jedinični trošak transporta od i-tog izvora do j-tog recipijenta, xij – transportirana količina od i-tog izvora do j-tog recipijenta, m – broj izvora, n – broj recipijenata.
• Skup ograničenja – m + n ograničenja oblika:
∑ = 1 (F-8.18) =
m
1iijx
∑ = 1 (F-8.19) =
n
1jijx
Prema tome, s MP postupkom LP se traži optimum (maksimum ili minimum) za zadanu li-nearnu funkciju cilja F-8.17, s m n promjenljivih veličina, uz zadovoljavanje m + n linear-nih ograničenja vrijednosti promjenljivih veličina F-8.18, F-8.19.
8.5.2 Minimalizacija
PRIMJER P-8.7
Pet radnika treba obaviti pet poslova. Svaki radnik je osposobljen za obavljanje svih poslo-va, ali pri tome radnici utroše različita vremena, navedena u poljima tabele (u satima), za obavljanje istih/različitih poslova. U aktualnom vremenskom razdoblju jedan radnik može biti angažiran samo na jednom od poslova. Odrediti optimalnu proizvodnju.
Dobiveno rješenje nije optimalno jer je broj nezavisnih nula < broja poslova.
21. Usmjeravanje postupka optimaliziracije: i) označiti redove bez nezavisnih nula
d) precrtati kolone u kojima prethodno označeni redovi imaju zavisne nule 22. označiti redove sa nezavisnim nulama u prethodno označenim kolonama 23. precrtati kolone u kojima prethodno označeni redovi imaju zavisne nule 24. ponavljati korake c) ⇒ d) ⇒ c) … dok je to moguće (do pojave označenih re-
dova bez zavisne nule ili precrtanih kolona bez nezavisne nule) e) precrtati neoznačene redove (točke 4.a) i/ili 4.c))
Poslovi Radnici P1 P2 b) P3 P4 P5
R1 0 7 10 1 5 R2 5 9 0 0 0
R3 c) 30 0 11 5 2 R4 5 1 11 0 0
R5 a) 4 0 6 8 6
25. Optimaliziracije: j) odrediti najmanje neprecrtano polje (2 – polje 34)
26 Kvantitativne metode
26. dodati vrijednost najmanjeg polja vrijednostima svih dvostruko precrtanih polja
f) oduzeti vrijednost ovog polja od vrijednosti svih neprecrtanih polja
27. Ponavljati postupak do dobivanja optimalnog rješenja:
Poslovi Radnici P1 P2
P3 P4 P5 R1 0 9 10 1 5 R2 5 11 0 0 0 R3
28 0 9 3 0 R4 5 3 11 0 0 R5
2 0 4 6 4
Dobiveno rješenje je optimalno jer je broj nezavisnih nula = broju poslova. X = (x11 , x23 , x35 , x44 , x52 ) = (1, 1, 1, 1, 1)
Od raspoloživih pet radnika treba odabrati tim za rad na četiri dobavljena stroja. Broj ko-mada koji su izradili radnici tijekom testiranja na dobavljenim strojevima je dat u tabeli. Oda-brati optimalni tim.
Dobivena su dva moguća optimalna rješenja – broj zavisnih nula = broju poslo-va. U prvom rješenju će tim biti formiran od radnika R2, R3, R4 i R5 (radnik R1 otpada jer je raspoređen na fiktivno radno mjesto), a u drugom od radnika R1, R3, R4 i R5 (radnik R2 otpada jer je raspoređen na fiktivno radno mjesto). Optimalno rješenje o izboru radnika R1 ili R2 u tim mora biti donesena na te-melju dodatnih kriterija. Međutim, iz rješenja se zapaža kako će o izboru radnika R1 ili R2 ovisiti i raspored radnika R5 na stroj S3 ili S2.
Za prvo moguće optimalno rješenje je: X = (x15 , x22 , x31 , x44 , x53 ) = (1, 1, 1, 1, 1, 0)
8.5.4 Zadaci – MR Z-8.10 Pet radnika treba obaviti pet poslova. Svaki radnik je osposobljen za obav-
ljanje svih poslova, ali pri tome radnici utroše različita vremena, navedena u poljima tabele (u satima), za obavljanje istih/različitih poslova. U aktualnom vremenskom razdoblju jedan radnik može biti angažiran samo na jednom od poslova. Odrediti optimalnu proizvodnju.
Z-8.11 Od raspoloživih pet radnika treba odabrati tim za rad na četiri dobavljena stroja. Broj komada koji su izradili radnici tijekom testiranja na dobavljenim strojevima je dat u tabeli. Odabrati optimalni tim.