È possibile È possibile misurare misurare la fortuna? la fortuna? LABORATORIO SCIENTIFICO Classi III Scuola edia Rainerum
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È possibileÈ possibilemisuraremisurare
la fortuna?la fortuna?
LABORATORIO SCIENTIFICOClassi III
Scuola edia Rainerum
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Un po’ di storia…
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Il gioco dei dadi ha sempre affascinatol’umanità: era una sfida alla fortuna.
Giocavano a dadi gli Egiziani nel 5000a.C.,i Greci, gli Etruschi, i Romani …
Si giocava a dadi nelle più diverse parti
del mondo e in tutte le epoche: nelMedioevo, nel Rinascimento … sempre.
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Il matematico G. Cardano (1501-1576) scrive il
“Liber de ludo aleae” (Libro sul gioco dei dadi),
che verrà pubblicato solo 87 anni dopo la sua morte.
X V I
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il cavaliere De Méré si pose questo quesito:
”È preferibile, scommettere sull’uscita di
ALMENO un 6 lanciando 4 volte un dado
oppure
ALMENO un doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?”
X V II
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De Meré chiese aBlaise Pascal e Pierre De Fermatdi studiare il problema
Dagli studi dei due matematici scaturì la modernaTeoria delle Probabilità (1650 circa)
X V II
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1656L’olandese C. Huygens,prendendo spunto dal carteggio tra Pascal e Fermat,pubblica“De ratiociniis in ludo aleae” (Ragionamenti nel gioco dei dadi)
X V II
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Nel 1713 viene pubblicato postumo il volume”Ars conjectandi” (L’arte di congetturare)
dello svizzero J. Bernoulli.
Nel volume si propone l’uso della probabilitànel campo della medicina e della meteorologia.
X VIII
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Il tedesco C.F. Gauss utilizza la probabilitànello studio della geodesia e topografia.
L’abate G. Mendel pone le basi della genetica usando metodi probabilistici.
X I X
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L’inglese K. Pearson introduce l’indaginestatistica nella medicina e nella biologia.
Nel 1944 l’americano di origine unghereseJ.Von Neumann pubblica
“Theory of Games end Economic Behavior”
(Teoria dei giochi e comportamento economico),dando inizio alle applicazioni della teoria dei giochinelle scienze sociali, nelle strategie elettorali,nell’economia.
X X
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Un po’ diterminologia
…
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T E R M I N O L O G I A
EVENTO (E) Ogni possibile risultato dell’esperimento
Esperimento: lancio di una monetaEvento (Risultati possibili):
Testa , Croce
Esperimento: lancio di un dadoEvento (Risultati possibili):
1, 2, 3, 4, 5, 6,# pari , # dispari,
3 o 5, 1 o 2 o 6, …,# < 2, # <4, … ,# > 1, # >3, … ,
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SPAZIO DEGLI EVENTI (S)l’INSIEME di tutti i risultati dell’esperimento
Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado
Spazio degli Eventi:
{1,2,3,4,5,6,#pari,#dispari,3o5,1o2o6,#<2,#<4,#>1,#>3, …}
{Testa, Croce}
Spazio degli Eventi:
S
TC
S1 2
35
46
< 2< 5
pari
dispari
< 6
< 3> 6
> 3 …
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EVENTO CERTO
Evento che SICURAMENTE si verificherà
Esperimento: lancio di una moneta
EVENTO CERTO:Esce
TESTA o CROCE
Esperimento: lancio di un dado
EVENTO CERTO:Esce
un numero compreso tra 1 e 6
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EVENTO POSSIBILE
Evento che PUÒ verificarsi
Esperimento: lancio di una moneta
EVENTI POSSIBILI:Esce TESTA
Esce CROCE
Esperimento: lancio di un dado
EVENTI POSSIBILI:Esce 1
Esce 2Esce un # ≥ 3
Esce numero pari…
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EVENTO IMPOSSIBILE
Evento che NON PUÒ verificarsi
Esperimento: lancio di una moneta
EVENTI IMPOSSIBILI:Esce 1
Esce Giallo…
Esperimento: lancio di un dado
EVENTI IMPOSSIBILI:Esce 0
Esce un # ≥ 7Esce Testa
…
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Iniziamo (iniziate)a lavorare
…
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1^ Prova1^ Prova1^ Prova1^ Prova
Lavoro a coppie ogni coppia lancia un dado
esaedrico regolare NON truccatoe compila la scheda n°1, n°2,
n°4, n°5 consegnatale
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Confronta i risultati dell’istogrammacon quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca dispiegarne la ragione
Scheda 1Scheda 1Scheda 1Scheda 1
Prima di iniziare a lanciare indica qualenumero, secondo te, uscirà PIÙ
FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la risposta
10 lanci di un dado10 lanci di un dado
ISTOGRAMMA
Esegui i 10 lanci riportandoogni volta il risultato (in BLU)
nell’ISTOGRAMMA.
Evento:Numero suldado
N u m
e r o U s c i t e
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Confronta i risultati dell’istogrammacon quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca dispiegarne la ragione
Scheda 2Scheda 2Scheda 2Scheda 2
Prima di iniziare a lanciare indica quale numero,secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la risposta
125 lanci di undado125 lanci di undado
ISTOGRAMMA
Riporta i dati dell’istogrammaprecedente e aggiungi (in VERDE) i
risultati di ulteriori 115 lanci.
Evento:Numero suldado
N u m
e r o U s c i t e
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FREQUENZA ASSOLUTA f A(E)
Numero di volte che si è verificato l’evento E
X
X XX X XX X X XX X X XX X X X XX X X X X X
1 2 3 4 5 6
Rappresenta l’ALTEZZA della colonna dell’istogramma
ISTOGRAMMA
Evento:Numero suldado
N u m e r o
U s c i t e
f A ( E
)
f A(1) = 5
f A(2) = 4
f A(3) = 6
f A(4) = 1
f A(5) = 2
f A(6) = 7
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È il rapporto tra la Frequenza Assoluta e il numerototale di lanci effettuati
X
X XX X XX X X XX X X XX X X X XX X X X X X
1 2 3 4 5 6
ISTOGRAMMA
Evento:Numero suldado
N u m e r o U s c i t e
f A ( E
)
( )( )
leLanci NumeroTota
E f E f A
r =
( ) ( )( )
.
leLanciNumeroTota
f f f
A
rA===→=
( ) ( ) ( ) .
leLanciNumeroTota
f f f A
rA ===→=
( ) ( )( )
.
leLanciNumeroTota
f f f
A
rA===→=
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FREQUENZA RELATIVA f r(E)
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Essendo la Frequenza Relativa un numero compreso tra0 e 1,
a volte si preferisce esprimerla in percentuale:
ciò significa che si moltiplica per 100 il suo valore e siscrive il simbolo %
( ) ( ) %20120.01 % =→= f f r
( ) ( ) %8208.02 % =→= f f r
( ) ( ) %4404.04%
=→= f f r
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FREQUENZA RELATIVA f r(E)
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Relativamente all’ultimo istogramma (quello con i 125
lanci), ogni coppia calcoli, per ogni Evento,
Frequenza AssolutaFrequenza Relativa
Frequenza Relativa in percentuale
Eseguiti i calcoli passare la scheda alla coppia allapropria destra per la correzione
Scheda 3Scheda 3Scheda 3Scheda 3calcolo frequenzecalcolo frequenze
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Due gruppi si uniscono e creano un unicoistogramma di 250 dati. Confrontano i treistogrammi (10, 125 e 250 lanci) ponendoattenzione su: Frequenze Assolute e Relative
500 lanci di undado500 lanci di undadoDue gruppi si uniscono, formandone uno di 8 persone, e
creano un unico istogramma di 500 dati. Verificano se leosservazioni precedenti sono ancora valide.Porre l’attenzione su:
Frequenze Assolute (si osservino le differenze)Frequenze Relative (si osservino i valori)
Scheda 4Scheda 4Scheda 4Scheda 4250 lanci di un
dado
250 lanci di un
dado
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Creiamo un istogramma di 1000 lanciutilizzando tutti i dati che avete rilevato.
Simuliamo con un foglio di calcolo (‘Calc’ o ‘Excel’) 1000000 lanci di un dado.
Tiriamo le conclusioni :
Scheda 5Scheda 5Scheda 5Scheda 51000 lanci di un dado1000 lanci di un dado
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Osservazione QualitativaAumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la formadi un rettangolo (distribuzione rettangolare)
100 Lanci 1000000 Lanci
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Aumentando il numero dei lancile differenze tra i valori delle f
Adi ogni evento si riducono
avvicinandosi a zero, ossia
Frequenza ASSOLUTA:
Frequenza RELATIVA:
Aumentando il numero dei lanci
( )PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasi
iNumeroLanc
teEventoNumeroUsciEf
r→=
( )PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasiEf
A→
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Osservazione Qualitativa
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Osservazione QualitativaAbbiamo un dado NON truccato
con 6 facce uguali tra di loro,allora non vi è alcun motivo di
pensare che una faccia debbamostrarsi più volte di un’altra.
Si può quindi ipotizzare che ognifaccia debba comparire unnumero di volte pari a 1/6 delnumero dei lanci totale
1/6 perché:“1” è il numero dei casi favorevoli
“6” è il numero dei casi possibili DefiniamoPROBABILITÀ Matematica
dell’evento E il numero
( )itiPossibilNumeroEven
FavorevoliNumeroCasiEP =
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Abbiamo fatto vedere chel’espressione Matematica
indicante la PROBABILITÀche esca un valore sul dado è nota
prima del lancio
ed è confermata dall’esperienza sevengono effettuate un numero
estremamente elevato di prove
PROBABILITÀ Matematicadell’evento E
( ) itiPossibilNumeroEven
FavorevoliNumeroCasi
EP =
( )PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasi
iNumeroLanc
teEventoNumeroUsciEf
r→=
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La
PROBABILITÀ P(E) è una stima numerica del
verificarsi di un determinato
evento
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2^ Prova2^ Prova2^ Prova2^ Prova
Si vuole studiare cosaavviene se anzichélanciare 1 dado se nelancino 2.
Questo studio avverrà confrontando irisultati del lancio di 2 dadiesaedrici con il lancio di 1 dadododecadrico
Confronteremo poi il risultato anchecon un secondo esperimento chepreveda la somma di 2 numeri‘casuali’: il gioco del ‘pari odispari’
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Lavoro: 5 coppie e 2 terne
4 coppie: lancio di due dadiesaedrici regolari NON truccati e
compilazione della scheda n°6,n°7 e n°8
1 coppia: lancio di 1 dadododecaedrico regolare NON
truccato e compilazione dellascheda n°8a
terna: due elementi giocano a‘pari e dispari’ , il terzo segna i
risultati; viene compilata la
2^ Prova2^ Prova2^ Prova2^ Prova
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Confronta i risultati dell’istogrammacon quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca dispiegarne la ragione
Prima di iniziare a lanciare indica qualenumero, secondo te, uscirà PIÙ
FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la rispostaEsegui i 50 lanci riportando
ogni volta il risultato (in BLU)in un ISTOGRAMMA.
Scheda 6Scheda 6Scheda 6Scheda 650 lanci di due dadi50 lanci di due dadi
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Confronta i risultati dell’istogrammacon quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca dispiegarne la ragione
Prima di iniziare a lanciare indica qualenumero, secondo te, uscirà PIÙ
FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la rispostaRiporta i dati dell’istogramma
precedente e aggiungi (in VERDE) irisultati di ulteriori 150 lanci.
Scheda 7Scheda 7Scheda 7Scheda 7200 lanci di due dadi200 lanci di due dadi
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Creiamo un istogramma di 1000 lanciutilizzando tutti i dati che avete rilevato.
E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci
Scheda 8Scheda 8Scheda 8Scheda 81000 lanci di duedadi1000 lanci di duedadi
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Creiamo un istogramma di 1000 lanci.
E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci
Scheda 8aScheda 8aScheda 8aScheda 8a1000 lanci di un dadododecaedrico1000 lanci di un dadododecaedrico
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Confronta i risultati dell’istogrammacon quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca dispiegarne la ragione
Prima di iniziare a giocare indica quale numero,secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la risposta
Esegui i 500 scambi riportando ogni voltail risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA.
IMPORTANTE: “ NON giocare per vincere “
Scheda 6bScheda 6bScheda 6bScheda 6b500 scambi a ‘pari/dispari’500 scambi a ‘pari/dispari’
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Creiamo un istogramma di 1000 scambiutilizzando tutti i dati che avete rilevato.
Scheda 8BScheda 8BScheda 8BScheda 8B1000 scambi a‘pari/dispari’1000 scambi a‘pari/dispari’
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Lancio di 1 dado dodecaedrico
Avete (abbiamo) ottenuto un risultato analogo al lancio di undado esaedrico in quanto ogni evento (uscita di un numerocompreso tra 1 e 12) è equivalente agli altri.Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma
di un rettangolo (distribuzione rettangolare)
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Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la formadi un triangolo (distribuzione triangolare)
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Lancio di 2 dadi esaedrici
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Confrontiamo come si ‘formano’ gli eventi che analizziamo
1 dado 2 dadi
O S S E R V A Z I O N I
Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici
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1 dado 2 dadi
121211111010998877665544332211
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
661256,6511
46,55,641036,45,54,639
26,35,44,53,62816,25,34,43,52,617
45,24,33,42,516
41,23,32,41512,22,214
12,213112
+→
++→
+++→
++++→
+++++→
++++++→
+++++→
++++→
+++→
++→
+→
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Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici
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1212111110109988 77
665544332211
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
661256,6511
46,55,641036,45,54,639
26,35,44,53,62816,25,34,43,52,617
45,24,33,42,51641,23,32,415
12,22,21412,213
112
+→
++→
+++→
++++→
+++++→
++++++→
+++++→
++++→
+++→
++→
+→
Ogni determinazione ha unUNICO ‘modo’ per potersiverificare:
(Evento ELEMENTARE)
Le determinazioni hanno unnumero di ‘modi’ diversi perpotersi verificare:
(Evento COMPOSTO)
O S S E R V A Z I O N IConfronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici
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Per mostrare l’esito del lancio di 2 dati è anche possibileutilizzare una
TABELLA A DOPPIA ENTRATA
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
T E R M I N O L O G I A
TABELLA A DOPPIA ENTRATA
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Come si legge la Tabella a doppia entrata
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
determinazioni 1° dado
d e t e r m i n a z i o n i 2 ° d a d o
Ci sono 2 casi favorevoli all’ 11
Determinazioni1°+ 2° dado:
36 casi possibili
( )
ibiliEventiPoss
voliCasiFavoreP ==
( )
ibiliEventiPoss
voliCasiFavoreP ==
Ci sono 4 casi favorevoli al 9
( )
ibiliEventiPoss
voliCasiFavoreP ==
Ci sono 6 casi favorevoli al 7
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E S E R C I Z I O
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E S E R C I Z I OA questo punto, utilizzando la tabella a doppiaentrata, calcola la probabilità di uscita di ogni
determinazione ottenibile con il lancio di 2 dadi
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
( )36
1
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore2P ==
( )36
2
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore3P ==
( )36
3
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore4P ==
( )36
4
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore5P ==
( )36
6
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore7P ==
( )36
1
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore12P ==
( )36
2
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore11P ==
( )36
3
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore10P ==
( )36
4
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore9P ==
( )36
5
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore6P == ( )
36
5
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore8P ==
E S E R C I Z I O
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TC
T C
TT TCCT CC
1ª
moneta
2ª
moneta
Determinazioni 2 monete:TT, TC, CC
( )4
1
ibiliEventiPoss
voliCasiFavoreTTP ==
( )4
2
ibiliEventiPoss
voliCasiFavoreTCP ==
( )4
1
ibiliEventiPoss
voliCasiFavoreCCP ==
E S E R C I Z I OConsideriamo il lancio di 2 monete:
- individua le possibili determinazioni- compila la relativa tabella a doppia entrata
- calcola la probabilità di ogni determinazione
O S S E R V A Z I O N I
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2 dadi Per il gioco del “pari dispari"mi aspetto qualcosa di analogo
al lancio di 2 dadi.
Prima confrontiamo le due tabelle a
doppia entrata
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
67 8 9 10 11 12
+ 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 9 10
Poi verifichiamo l’ipotesiosservando l’istogramma ottenuto
dai due gruppi
O S S E R V A Z I O N IConfronto: 2 dadi esaedrici e “pari dispari”
O S S E R V A Z I O N I
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RISULTATI STUDENTI
….
O S S E R V A Z I O N IConfronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici
A B B I A M O
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L’evento certo ha probabilità 1:
( ) 1EP0 ≤≤
( )PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasiEP =
A B B I A M O
V I S T O C H E
La PROBABILITÀ dell’evento E è un numero compreso tra 0 e 1
È possibile determinare la PROBABILITÀdell’evento E tramite la relazione
( ) 1EP =
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E ora alcuni calcoli…
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Esistono situazioni in cui l’espressione
( )PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasiEP =
è di difficile utilizzo perché è complesso il calcolo di- Numero dei casi favorevoli- Numero dei casi possibili
Vediamo alcune situazioni in cui il calcolo dellaprobabilità può essere eseguito con semplici calcoli
Eventi EQUIPROBABILIEventi EQUIPROBABILI
Eventi che SI ESCLUDONORECIPROCAMENTEEventi che SI ESCLUDONORECIPROCAMENTE
Eventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTEEventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE
EventiINDIPENDENTIEventiINDIPENDENTI
Esperimento che genera eventi
Esperimento che genera eventi
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Lancio di un dado esaedrico: 6 eventi identici
Lancio di una moneta: 2 eventi identici
Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 40 eventi identici
Estrazione di un numero della tombola: 90 eventi identici
La probabilità di un eventoè data dalla relazione:
( )IdenticiEventiNumero
1EP =
( )40
1EP =
( )901EP =
( )21EP =
( )61EP =
Esperimento che genera eventiequiprobabili
Esperimento che genera eventiequiprobabili
Eventi che si escludono reciprocamente
Eventi che si escludono reciprocamente
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Lancio di un dado esaedrico: uscita 3 o 5
Lancio di una moneta: uscita T o C
Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 5 o 3
Estrazione di un numero della tombola: 36 o 57
( ) ( ) ( )3
1
6
2
6
1
6
15P3P5o3P ==+=+=
( ) ( ) ( ) 122
21
21CPTPCoTP ==+=+=
( ) ( ) ( )201
402
401
4013sP5cP3so5cP ==+=+=
( ) ( ) ( )451
902
901
90157P36P57o36P ==+=+=
Dati gli eventi E1 , E2 ed E3
che si escludono vicendevolmenteLa probabilità P(E1 o E2 o E3) è data da:
P(E1 o E2 o E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3)
Eventi che si escludono reciprocamenteEventi che si escludono reciprocamente
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Eventi che NON si escludono
Eventi che NON si escludono
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Lancio di due dadi esaedrici: numero ≥ 8 o numero multiplo 3
In questo modo abbiamo 5 valori ≥ 8 e multiplidi 3 dobbiamo tenerli presente nel calcolo deicasi favorevoli
I casi favorevoli sono dati da12 valori multipli di 315 valori ≥ 8
casi favorevoli = 12 [ mult. 3 ] + 15 [ ≥ 8 ] – 5 [ (mult. 3) ≥ 8 ] = 22
P([mult. 3] o [≥ 8])=
Casi FavorevoliNumero Casi Possibili
2240
=
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
reciprocamenteEventi che NON si escludono
reciprocamente
Eventi che NON si escludono
Eventi che NON si escludono
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Estrazione di un Re o una carta di coppe
A 2 3 4 5 6 7 F C R
A 2 3 4 5 6 7 F C R
A 2 3 4 5 6 7 F C R
A 2 3 4 5 6 7 F C R
Casi Favorevoli = 4 [R ] + 10 [] – 1 [R ]
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Lancio di 2 dadi # ≥ 8 o # multiplo 3
CF= 12 [mult. 3] + 15 [≥ 8] – 5 [(mult. 3)≥ 8]
Dati i 2 eventi E1 ed E2
che NON si escludono vicendevolmenteLa probabilità P(E1 o E2) è data da:
P(E1 o E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
reciprocamenteEventi che NON si escludono
reciprocamente
Eventi
Eventi
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Sono eventi che NON si influenzano reciprocamenteINDIPENDENTI
eINDIPENDENTI
Lancio (consecutivi o contemporanei) di due dadiL’esito del 1° dado non influenza il risultato del 2° dado
Lancio (consecutivi o contemporanei) di due moneteL’esito della 1ª moneta non influenza il risultato della 2ª moneta
Doppia estrazione di una carta da un mazzoL’esito della 1ª estrazione non influenza il risultato della 2ª
Eventi
Eventi
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T C( )21TP = ( )
21CP =2ª moneta ( )
21TP = ( )
21CP = T C2ª moneta
( )21TP = ( )
21CP =
Lancio di due monete
( ) ( ) ( )41
21
21TPTPTTP =⋅=⋅= ( ) ( ) ( )
41
21
21CPCPCCP =⋅=⋅=
( ) ( ) ( )41
21
21CPTPTCP =⋅=⋅= ( ) ( ) ( )
41
21
21TPCPCTP =⋅=⋅=
Risultati in accordo con quanto già visto
Sono eventi che NON si influenzano reciprocamenteINDIPENDENTIINDIPENDENTI
T C1ª moneta
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Eventi
Eventi
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Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E1 ed E2 (= NON si influenzano vicendevolmente)
La probabilità P(E1 e E2) è data da:
P(E1 e E2) = P(E1) • P(E2)
Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E1 ed E2 (= NON si influenzano vicendevolmente)
La probabilità P(E1 e E2) è data da:
P(E1 e E2) = P(E1) • P(E2)
n
1 2 3 4 5 6
Lancio di due dadiLancio di due monete
T
T C
C
T C
INDIPENDENTIINDIPENDENTI