Semejanza de triángulos

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Víctor Eduardo Agrono HurtadoUniversidad Nacional de Colombia –

PalmiraMECENA II

SEMEJANZAS

http://www.youtube.com/watch?v=aaGIGjr2NiI

Observa las figuras 1, 2, 3 y 4 que están ubicadas en el plano cartesiano.

Si se reflejan respecto al eje y ¿Cuál de las siguientes ilustraciones muestra las figuras reflejadas?

En la ilustración se muestra el plano de tres lotes contiguos, E, F y G, y algunas de las medidas de sus lados. La suma de las medidas de los frentes sobre la carrera segunda es 120m. Los segmentos resaltados en el plano son paralelos.

¿Las medidas de los frentes de los lotes E,F, G sobre la carrera segunda son, respectivamente?

A. 16 m, 41 m y 25 m.B. 24 m, 60 m y 36 m.C. 24 m, 64 m y 32 m.D. 40 m, 70 m y 50 m.

Andrea construyó una cometa con cuatro triángulos de papel que cortó de dos rectángulos con las medidas que se señalan en los dibujos

La cometa armada tiene la siguiente forma:

La distancia entre los puntos K y S es:

A. 40 cm.B. 55 cm.C. 60 cm.D. 75 cm.

Torres KIODeben su nombre a la empresa kuwaití KIO (Kuwait Investments Office). Ubicadas en la Plaza de Castilla de Madrid, estas torres gemelas cuentan con una altura de 114 m y 26 plantas y una inclinación de 15° respecto a la vertical.

La torre de la izquierda en dirección salida de Madrid se conoce como Puerta de Europa I y ocupa la sede de Caja Madrid, mientras que la de la derecha se conoce como Puerta de Europa II y pertenece a la inmobiliaria Realia.

Para evitar su confusión la primera dispone de un helipuerto pintado en color azul y la segunda en rojo. Su proyección se llevó a cabo por el arquitecto Philip Johnson y su socio John Burge, iniciando su construcción en 1989 y terminando la misma en el año 1996.

¿Será que podemos superponer las torres?

Para que dos triángulos sean semejantes se debe cumplir las siguientes condiciones:

Condiciones de semejanza

1. Los ángulos correspondientes son congruentes.

2. Los lados correspondientes son proporcionales.

Si una recta interseca dos lados de un triángulo y es paralela al tercer lado, entonces, determina un triángulo semejante al triángulo dado.

Teorema de la semejanza de triángulos

Por tanto, si la recta l interseca a los lados AB y AC del ΔABC, en los puntos D y E, de tal forma que l ║BC se cumple que ΔABC ~ ΔADE.

Para demostrar que dos triángulos son semejantes, no se hace explícitamente necesario comprobar que sus tres lados respectivos son congruentes y sus lados correspondientes proporcionales.

Los siguientes criterios nos permiten comprobar la semejanza de triángulos con menos condiciones.

Criterios de congruencia

CRITERIO LADO-LADO-LADO (LLL)

Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales.Ejemplo:

Como las razones son iguales, los lados de ambos triángulos son proporcionales y en consecuencia el ΔDEF ~ ΔMNP

CRITERIO LADO-ÁNGULO-LADO (LAL)

Dos triángulos son semejantes si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos entre ellos son congruentes.Ejemplo:

Como los lados son proporcionales y el ∢P≌∢A los triángulos son semejantes.

CRITERIO ÁNGULO-ÁNGULO (AA)

Dos triángulos son semejantes si dos ángulos correspondientes son congruentes

Para este caso, por la propiedad de los triángulos que dice: que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, no es necesario demostrar el criterio.

Ejercicio: Hallar el valor de x y y en los siguientes triángulos.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumplen con alguno de los siguientes criterios: Tienen un ángulo agudo congruente. Las medidas de sus catetos son proporcionales. Las medidas de uno de sus catetos y las hipotenusas

son proporcionales.

Ejercicio: Determinar si los triángulos rectángulos son semejantes.

RAMÍREZ Rincón, Marisol; SALAZAR Suarez,

Francia Leonora y otros. Hipertexto Santillana 8. Bogotá D.C. Editorial Santillana, 2010. 304 p.ISBN 978-958-24-1382-8

CHÁVES, Hugo Hernan, CASTAÑEDA, Neyla Yamile; y otros. Hipertexto Santillana 9. Bogotá D.C. Editorial Santillana, 2010. 304 p.ISBN 978-958-24-1423-8

Bibliografía