72 2 36 2 18 2 9 3 3 1 3 3 27 81 9 3 3 3 3 3 2 60 120 30 15 2 2 2 2 2 5 3 2 2 2 240 2 1202 60 2 30 2 15 5 1 3 5 D = 3 C = 9 B = 18 A = 36 Çarpanlar ve Katlar Ders – 01 5 Notlar İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! Hatırlayalım Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölebilen sayılara o doğal sayı- nın çarpanları denir. 1'den büyük, 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara asal sayılar denir. Örneğin; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 Dikkat Bir doğal sayının çarpanlarına aynı zamanda o sayının bölenleri de de- nir. Dikkat "1" asal sayı değildir. ÇARPANLAR VE KATLAR Örnek 48 tam sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını çarpan ağacı ve asal çarpan algorit- ması yardımıyla bulalım. Çarpan Ağacı Asal Çarpan Algoritması 2 24 48 2 12 2 2 2 6 2 2 2 2 2 3 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 3 48 = 1 . 48 = 2 . 24 = 3 . 16 = 4 . 12 = 6 . 8 48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 48 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 ve 48'dir. 48 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Alıştırma 1. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını çarpan ağacı veya asal çarpan algoritması yar- dımıyla bulunuz. A) 72 B) 81 C) 120 D) 240 2. Aşağıdaki bilinmeyenleri bulunuz. a) A B C D 1 2 2 3 3 b) 2 Y X 3 Z 7 3 İSABET YAYINLARI ÇÖZÜMLER
52
Embed
SABET YAYINLARI ÇÖZÜMLER · 2018-10-24 · Der – 01 Çarpanlar ve Katlar 7 otlar ˜sabe Defteri ile ÖÖren - Çöz - Kazan! Örnek Aşağıdaki sayılardan hangilerinin asal
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
72 236 218 29 331
3
3 27
81
93
3 33 3
2 60
120
30152
2 22 2
53222
240 2120 260 230 21551
35
D = 3C = 9B = 18A = 36
Çarpanlar ve KatlarDers – 01
5
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
Hatırlayalım
Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölebilen sayılara o doğal sayının çarpanları denir.
1'den büyük, 1 ve kendisinden başka böleni olmayan sayılara asal sayılar denir. Örneğin; 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
Dikkat
Bir doğal sayının çarpanlarına aynı
zamanda o sayının bölenleri de de
nir.
Dikkat
"1" asal sayı değildir.
ÇARPANLAR VE KATLAR
Örnek48 tam sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını çarpan ağacı ve asal çarpan algorit
ması yardımıyla bulalım.
Çarpan Ağacı Asal Çarpan Algoritması
2 24
48
2 122
22 62
222 2 3
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
48 = 1 . 48 = 2 . 24 = 3 . 16 = 4 . 12 = 6 . 8
48 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3
48 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 ve 48'dir.
48 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
Alıştırma1. Aşağıdaki sayıların çarpanlarını çarpan ağacı veya asal çarpan algoritması yar-
dımıyla bulunuz.
A) 72 B) 81 C) 120 D) 240
2. Aşağıdaki bilinmeyenleri bulunuz.
a) A
B
C
D
1
2
2
3
3
b)
2 Y
X
3 Z
73
İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
56 = 23.7 100 = 22.52 180 = 22.32.5 225 = 32.52
Çarpanlar ve KatlarDers – 01
6
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
Örnek36 sayısının çarpanlarını ve asal çarpanlarını bularak üslü ifade şeklinde yazalım.
36
18
9
3
1
2
2
3
3
36 = 1 . 36 = 2 . 18 = 3 . 12 = 4 . 9 = 6 . 6
36 sayısının çarpanları 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36'dır.
36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
36 sayısı üslü ifade olarak
36 = 2 . 2 . 3 . 3
36 = 22 . 32 şeklinde yazılır.
Örnek120 sayısının asal olmayan kaç pozitif böleni olduğunu bulalım.
24 ve 36'nın ortak bölenleri 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. Bu ortak bölenlerin en büyüğü 12'dir.
II. yol
24
12
6
3
1
36
18
9
9
3
1
222
33
En küçük asal çarpandan başlayarak bölme işlemi yapılır. Her iki sa
yıyı da bölen asal çarpanlar işaretlenir ve bu asal sayıların çarpımı en
büyük ortak bölene eşittir. O halde EBOB = 2 . 2 . 3 = 12 'dir.
Alıştırma
Aşağıda verilen sayı çiftlerinin EBOB'unu bulunuz.
A) (28, 42) B) (32, 56) C) (48, 96) D) (15, 60)
AlıştırmaAşağıdaki sayı çiftlerinin EBOB'larını bulunuz.
A) EBOB(5, 20) B) EBOB(8, 24)
C) EBOB(33, 66) D) EBOB(42, 84)
Örnek28 m ve 42 m uzunluğundaki iki ayrı ip eşit uzunlukta ve en büyük parçalara bölünecektir.
İsabetli Bilgi
İki veya daha fazla sayının ortak
bölenlerinin en büyüğüne bu sayı
ların en büyük ortak böleni ya da
kısaca EBOB'u denir.
x ve y iki doğal sayı olmak üzere,
bu sayıların EBOB'u (x, y)ebob veya
EBOB(x,y) şeklinde gösterilir.
Kural
Biri diğerinin katı olan iki veya daha fazla sayma sayısının EBOB'u bu sayılardan en küçük olan sayıya eşittir.
Örneğin;
16
8
4
2
1
48
24
12
6
3
1
2
2
2
2
3
EBOB(16, 48) = 2 . 2 . 2 . 2
= 16
42212171
2814771
2237
56281477
3216842
71
1
222227
964824126
48241263
311
3
222223
60301551
15151551
2235
2.7 = 14
24.3 = 483.5 = 15
23 = 8
= 5 = 8= 42İS
ABET YAYIN
LARI
ÇÖZÜMLER
12 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
EBOB-EKOKDers – 02Her bir parça ipin uzunluğunun en fazla kaç metre olabileceğini bulalım.
28
14
7
7
1
42
21
21
7
1
2+
2
3
7+
Bu iki ipi eşit uzunlukta en büyük parçalara bölmek için 28 ve 42 sayılarının EBOB'unu bulmalıyız.
EBOB(28, 42) = 2.7 = 14
O halde her bir parça 14 m olmalıdır.
ÖrnekK, L ve M birer doğal sayı olmak üzere,
K . L = 72 ve K . M = 120
olduğuna göre, L + M toplamının alabileceği en küçük değeri bulalım.
K doğal sayısı 72 ve 120'nin tam böleni olmalıdır. L + M'nin en küçük olması için K sayısının 72 ve 120'yi bölen en büyük sayı
olması gerekir. O halde 72 ve 120'nin EBOB'u K'dır. Buradan72
36
18
9
3
1
120
60
30
15
5
5
1
2+
2+
2+
3+
3
5
EBOB (72, 120) = 23 . 3
= 24 = K Bulunur.
24 . L = 72 ise L = 3
24 . M = 120 ise M = 5
L + M = 3 + 5 = 8 dir.
ÖrnekBoyu 70 m, eni 10 m olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına eşit aralıklarla köşelere de konulmak üzere ağaç dikilecektir.
Buna göre, bu iş için en az kaç ağaç gerektiğini bulalım.
Ağaç sayısının en az olması için ağaçlar arasındaki mesafenin en fazla olması gerekir. Bu mesafe de 70 ve 30'un EBOB'una
eşittir.
70
35
35
7
1
30
15
5
1
2+
3
5+
7
EBOB (70, 30) = 2.5 = 10
Her bir ağaç arası 10 m olmalı. O halde tarlanın çevre uzunluğunu ağaçlar arasındaki mesafe uzunluğu
na bölerek gereken ağaç sayısını bulunuz.
Çevre = 2 . (70 + 30) = 2 .100 = 200
200 : 10 = 20 tane ağaç gerekir.
482412631
5628147771
222237
1507575757525
24012060301551 5
1
2222355
23 = 8 kg
B en büyük olmalı, yani ebob (150, 240) = B
Ebob (48, 72) = 24 mher iki ağaç arası 24 mÇevre = 2.(48 + 72)= 240
B = 2.3.5 = 30
A = 5C = 8 13
24024
= 10 tane direk
İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
Çarpanlar ve KatlarDers – 01
13
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
AlıştırmaBir kuruyemişçi 56 kg leblebi ve 48 kg fındığı birbirine karıştırmadan hiç artmayacak
şekilde aynı büyüklükteki en büyük boylarda torbalara koyacaktır.
Buna göre kuruyemişçinin kullanması gereken her bir torba kaç kg olmalıdır?
AlıştırmaA, B ve C doğal sayılar olmak üzere A.B = 150 ve B.C = 240 olduğuna göre A + C top-lamının değeri en az kaçtır?
AlıştırmaBoyutları 72 m ve 48 m olan bir bahçenin etrafına köşeler de dahil olmak üzere eşit aralıklarla direkler dikilecektir. Bu iş için en az kaç direk gerekir?
İsabetli Bilgi
İki veya daha fazla sayının ortak
katlarının en küçüğüne bu sayıların
en küçük ortak katı ya da kısaca
EKOK'u denir.
x ve y iki doğal sayı olmak üzere,
bu sayıların EKOK'u (x, y)ekok veya
EKOK(x, y) ile gösterilir.
= 90
= 252
= 120
= 40
= 112
= 300İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
14 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
EBOB-EKOKDers – 02İKİ DOĞAL SAYININ EN KÜÇÜK ORTAK KATI (EKOK)
Örnek 15 ve 20 doğal sayılarının ortak katlarını bularak bunların içindeki en küçük olanı belirleyelim.
15 ve 20'nin ortak katları; 60, 120, ...'dır. Bu sayıların en küçüğü 60'dır.
II. Yol
15 ve 20'nin en küçük ortak katını asal çarpan algoritmasından yararlanarak bulabiliriz.
15
15
15
5
1
20
10
5
5
1
2
2
3
5
2 . 2 . 3 . 5 = 60
15 ve 20'nin en küçük ortak katı 60'dır.
Alıştırma
Aşağıda verilen sayıların EKOK'larını bulunuz.
A) (18, 30) B) (10, 24) C) (16, 28)
D) (36, 42) E) (5, 8, 10) D) (12, 15, 25)
= 18 = 60
= 39= 69
Ekok(12, 15) = 6060.2 = 120172 - 120 = 52
45.x = ebob(45, x).ekok(45, x45.x = 1350x = 30
İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
15İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
EBOB-EKOKDers – 02
Kural
Biri diğerinin katı olan iki doğal sayının en küçük ortak katı, büyük olan sayıya eşittir.
Örnek8 ve 16 sayılarının EKOK'unu bulalım.
8
4
2
1
16
8
4
2
1
2
2
2
2
EKOK(8, 16) = 24 = 16'dır.
Örnek140 sayısına en az kaç eklenirse elde edilen toplamın 9 ve 12'ye tam olarak bölünebileceğini bulalım.
9
9
9
3
1
12
6
3
1
2
2
3
3
9 ve 12'ye tam bölünebilen en küçük sayıyı yani EKOK'u bulmalıyız.
EKOK(9, 12) = 22 . 32 = 36 dır.
36 ve 36'nın katları 9 ve 12'ye kalansız bölünür.
140 sayısından büyük 140 sayısına en yakın ve 36'nın katı olan sayı 144'tür.
O halde 144 – 140 = 4'tür. 140 sayısına 4 eklenirse sonuç 9 ve 12'ye tam bölünür.
Kural
İki sayının EBOB ve EKOK'larının çarpımı bu iki sayının çarpımına eşittir.
ÖrnekEBOB ve EKOK'larının çarpımı 180 olan iki sayıdan biri 15 ise diğer sayının kaç olduğunu bulalım.
İstenen sayı x olsun.
EBOB(15, x) . EKOK(15, x) = 15 . x
180 = 15 . x ⇒ x = 12 dir.
Alıştırma
1. Aşağıdaki sayı çiftlerinin EKOK'larını bulunuz.
A) (9,18) B) (15, 60)
45.x = ebob(45, x).ekok(45, x45.x = 1350x = 30
Ekok(4, 7) = 2828.2 = 5656 + 1 = 57
İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
16 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
EBOB-EKOKDers – 02 C) (23, 69) D) (13, 39)
2. 172 sayısından en az kaç çıkarılırsa 12 ve 15 sayısına tam bölünür.
3. EBOB ve EKOK'larının çarpımı 1350 olan iki sayıdan biri 45 ise diğer sayı kaçtır?
ÖrnekBir fabrikada bulunan iki otomatik zilden biri 30 dakikada, diğeri 50 dakikada bir çalıyor. Bu iki zilin ilk defa birlikte çaldıktan
kaç dakika sonra tekrar birlikte çalacağını bulalım.
30
15
5
1
50
25
25
5
1
2
3
5
5
30 ve 50 sayılarının EKOK'unu bulalım.
EKOK(30, 50) = 2 . 3 . 52 = 150
Buna göre, 150 dakika sonra tekrar birlikte çalarlar.
A) ebob(12, 17) = 1 ekok(12, 17) = 204
C) ebob(10, 21) = 1 ekok(10, 21) = 210
21.32
31.71
31.52
23.35.53.71
23.32.53.71
21.35.53.71
B) ebob(9, 16) = 1 ekok(9, 16) = 144
D) ebob(13, 18) = 1 ekok(13, 18) = 234
İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
Çarpanlar ve Katlar
17
Bil – Bul – Uygula
İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
1. Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
a) EBOB (75, 50) b) EBOB (32, 80) c) EKOK(4, 27) d) EKOK(54, 63)
2. EBOB'u 3 ve EKOK'u 54 olan iki sayıdan biri 6 ise diğer sayı kaçtır?
3. Aralarında asal iki sayının EKOK'u 360'tır. Sayılardan biri 9 olduğuna göre diğer sayı kaçtır?
4. 48 kg mercimek, 60 kg bulgur ve 36 kg pirinç birbirine karıştırılmadan eşit kütleli paketlere doldurulacaktır.Buna göre, bu iş için en az kaç paket gerekir?
5. 96 Matematik, 72 Türkçe ve 80 İngilizce testi branşlar birbirine karıştırılmadan öğrencilere dağıtılacaktır. Her öğrenci yalnızca bir branştan olmak üzere eşit sayıda test olacağına göre, bu testlerin en az kaç öğrenciye dağıtılabileceğini bulunuz.
6. Alperen, bilyelerini üçerli, beşerli ve yedişerli grupladığında her seferinde 2 bilye artmaktadır. Bilyelerin sayısının 200'den fazla olduğu bilindiğine göre, Alperen'in bilyelerinin sayısı en az kaçtır?
= 25
360 : 9 = 40
6.x = 3.54 → x = 3.546
→ x = 27
ebob(48, 60, 36) = 12 kg 48 + 60 + 3612
= 12 tane
ebob(96, 72, 80) = 8 96 + 72 + 808
= 31
ekok(3, 5, 7) = 105105.2 = 210 → 210 + 2 = 212
27
2
= 16 = 108 = 378
İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
Çarpanlar ve Katlar
18
Test – 01
İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
Test – 02
1. 16 ve 20 sayılarının en küçük ortak katı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 72 B) 80 C) 100 D) 120
2. 15, 12 ve 20 sayılarının en küçük ortak katı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 50 B) 60 C) 70 D) 80
3. 36 ve 48 sayılarının en küçük ortak katı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 144 B) 150 C) 180 D) 192
4. 36 ve 24 sayılarının en büyük ortak böleni aşağıdakilerden hangisidir?
A) 18 B) 12 C) 9 D) 8
5. Bilgi: Birbirlerinin katı olan iki sayının en büyük ortak böleni sayılardan küçük olanına eşittir.
Aşağıdakilerden hangisi yukarıdaki bilgiye ait örnektir?
A) (6, 12)ekok = 12 B) (6, 10)ebob = 2
C) (5, 6)ebob = 1 D) (4, 12)ebob = 4İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
Çarpanlar ve Katlar
19
Test – 01
İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
Test – 02
6. 60 ve 75 sayılarının en büyük ortak böleni aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 20
7.
Üsküdar'dan Eminönü'ne her 30 dakikada bir, Beşiktaş'a her 25 dakikada bir tekne kalkmaktadır.
Bu tekneler Eminönü ve Beşiktaş'a ilk seferini saat 7.00'de yaptığına göre tekrar birlikte hareket ettiklerinde saat kaçı gösterir?
A) 09.00 B) 09.15 C) 09.30 D) 09.45
8.
Cengiz misketlerini beşer beşer, altışar altışar ve sekizer sekizer saydığında her seferinde 4 misketi artıyor.
Buna göre, Cengiz'in en az kaç tane misketi vardır?
A) 120 B) 124 C) 240 D) 244İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
Çarpanlar ve KatlarDers – 01
21
Notlar
İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
ÜSLÜ İFADELER
Örnek
52 , 51, 50, 5–1, 5–2
Yukarıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulalım.
52 = 5 . 5 = 25 50 = 1
51 = 5 5–1 = 15
50 = 1 5–2 = 152
= 125
Üslü ifadelerin değerlerini belirten sayılar, birbirinin 5’e bölümü ile ifade edilmiştir.
Tabanı tam sayı olan üslü ifadelerde kuvvetler pozitif olunca üslü ifadelerin değerleri
tam sayı, negatif olunca üslü ifadelerin değerleri rasyonel sayılardır.
Aşağıdaki sayıları 10'un farklı tam sayı kuvvetlerini kullanarak ifade ediniz.
= 72.106 = 25,3.107
= 87.10-6 = 1071.10-8
İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
32
10'un Kuvvetleri ve Bilimsel GösterimiDers – 04
İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!32 İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
Notlar
a) 72000000 b) 253000000
c) 0,000087 d) 0,00001071
İsabetli Bilgi
a bir gerçek sayı, n bir tam sayı ve
1 ≤ | a | < 10 olmak üzere a.10n gös
terimi bilimsel gösterimdir.
Kural
a.10n yazımında; a sayısı kaç basa
mak büyürse n sayısı o kadar kü
çülür, yine a sayısı kaç basamak
küçülürse n sayısı o kadar büyür.
ÖrnekDünya'nın Güneş'e uzaklığı 149 600 000 km'dir. Bu sayıyı km cinsinden bilimsel gösterimle ifade edelim.
149600000 = 1,496.108 dir.
ÖrnekAşağıda verilen ifadelerin bilimsel gösterimini yazalım.
a) 300.1035 b) 2120000 c) 0,000123 d) 0,00322
a) 300.1035 = 3.1037 b) 2120000 = 2,12.106
c) 0,000123 = 1,23.10–4 d) 0,00322 = 3,22.10–3
Örnek
İSABET Y
AYINLA
RI
ÇÖZÜMLER
33
10'un Kuvvetleri ve Bilimsel GösterimiDers – 04
İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan! 33İsabet Ders Defteri ile Öğren - Çöz - Kazan!
Notlar
a = 27.1036 b = 0,073.1038 c = 5,6.1035 d = 0,41.1035
Yukarıda verilen sayıları büyükten küçüğe sıralayalım.
Çözüm
10'un kuvvetlerini en küçük kuvvet olan 35'te eşitleyelim.
a = 27.1036 = 270.1035 b = 0,073.1038 = 73.1035
c = 5,6.1035 d = 0,41.1037 41.1037
Bulduğumuz sonuçları karşılaştıralım.
270.1035 > 73.1035 > 41.1035 > 5,6.1035 ⇒ a > b > d > c dir.
Alıştırma
1. Aşağıdaki ifadeleri bilimsel gösterimle yazınız.
a) 3750000000 b) 5270000
c) 0,000756 d) 0,00000011
2. Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe sıralayınız.
0,72.1041 , 21.1040 , 0,038.1043 , 1,06.1041
Kural
Birler basamağındaki sayının üzerine 0 yazalım, sola doğru 1,2,3 ... şeklinde sağa doğru ise –1, –2, –3, ... şeklinde devam edilim. Bu yazdığımız sayılar çözümlemede 10'un kuvvetlerini temsil etmektedir. Yani
1 0 –1 –2–32 7 , 3 2 1 = 2.101 + 7.100 + 3.10–1 +
2.10–2 + 1.10–3
Örnek4,7.10–19; 0,81.10–18 ; 95.10–22 ve 10,32.10–20 ifadelerini küçükten büyüğe sıralayalım.
İfadelerdeki 10'ların kuvvetlerini en küçük kuvvet olan (–22)'de eşitleyelim.